（电磁场与微波技术专业论文）时域积分方程精确稳定求解及其在宽带天线分析中的应用.pdf

摘要摘要伴随着对电磁脉冲和超宽带通信的研究日益深入，采用时域方法分析电磁散射和辐射问题越来越受到重视。时域积分方程法( t d i e ) 兼具积分方程方法和时域方法的优点，具有广阔的应用前景。但其求解所应用的时间步进算法( m o t )存在着后时不稳定和精度不高等问题，从而限制了时域积分方程法的发展。本文主要研究针对通过精确计算阻抗矩阵元素来获得时域积分方程时间步进算法的稳定精确解，并采用磁流环模型模拟同轴馈电，研究时域积分方程法在天线辐射方面的应用。本文主要分为三个部分进行讨论。1 介绍利用时域积分方程求解电磁问题的相关研究背景。首先给出了理想导体目标的时域积分方程形式和时间步进算法的详细过程。其次，介绍了常用的和本文所选取的空间和时间基函数。电磁散射问题常用的入射场形式，以及远区场和雷达散射截面积的计算。2 基于样条时间基函数精确稳定求解时域积分方程。首先将标量位、矢量位和矢量位旋度转换为空间上的角度函数和时间上的卷积计算，给出其精确表达形式，继而给出多项式形式时间基函数的卷积解析结果，这样得到时域积分方程中精确计算的阻抗矩阵元素。最后给出计算实例，表明该方法能确保时间步进算法的稳定性和精确度。3 将磁流模型模拟同轴馈电和基于样条时间基函数精确稳定求解时域积分方程结合起来，分析电磁辐射问题。首先介绍磁流环模型的基本原理及其在时间步进算法中的实现形式，继而介绍对同轴馈电结构的几何建模和输入阻抗的计算。最后给出数值结果并加以讨论，表明针对线天线的瞬态电磁辐射问题，该方法是准确有效的。关键词：时间步进算法，阻抗矩阵元素，多项式形式时间基函数，后时稳定性，磁流环a b s t r a c t晰i it h ed e v e l o p m e n to fr e s e a r c hi ne l e c t r o m a g n e t i cp l u s ea n du l t r a - w i d eb a n dc o m m u n i c a t i o n ，t h ea n a l y s i so fa r b i t r a r ye l e c t r o m a g n e t i cr a d i a t i o na n ds c a t t e r i n gb yl i m ed o m a i n m e t h o da t t r a c t sm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n t h et i m ed o m a i ni n t e g r a le q u a t i o n ( t d m ) ，w h i c hh a sb o t ht h ea d v a n t a g eo fi n t e g r a le q u a t i o nm e t h o da n dt i m ed o m a i nm e t h o d ，s h o u l db ew i d e l ya p p l i c a t e d h o w e v e r , s o m ep r o b l e m ss u c ha si n s t a b l ea n di n a c c u r a t ee x i s ti nt h em a r c h i n g o n - t i m e 似0 dm e t h o df o rs o l v i n gt h n ed o m a i ni n t e g r a le q u a t i o n , a n dl i m i tt h ea p p l i c a t i o no ft i m ed o m a i ni n t e g r a le q u a t i o n t h es t u d i e so ft h i st h e s i sa r em a i n l yc o n c e n t r a t e do na c c u r a t ec o m p u t a t i o no fi m p e d a n c em a t r i xe l e m e n t st og e ta c c u r a t ea n dt h es t a b l es o l u t i o no ft h et i m ed o m a i ni n t e g r a le q u a t i o n ，a n di t sa p p l i c a t i o ni na n t e n n ar a d i a t i o n 谢廿lm o d e l i n gt h ec o a x i a lf e e dl i n eb ym a g n e t i cf r i l ls o u r c e t h et h e s i si sc o m p o s e do ft h ef o l l o w i n gt h r e ep a r t s 1 t h er e s e a r c hb a c k g r o u n do fs o l v i n ge l e c t r o m a g n e t i cp r o b l e m sb yt i m ed o m a i ni n t e g r a le q u a t i o ni sr e v i e w e d f i r s t ，t h es t y l eo ft i m ed o m a i ni n t e g r a le q u a t i o nf o rp e r f e c te l e c t r o n i cc o n d u c t e ra n dt h eb a s i ci d e ao fm a r c h i n g o n - t i m em e t h o df o rs o l v i n gt i m ed o m a i ni n t e g r a le q u a t i o na r eg i v e n n e x t ，t h es p a c eb a s i cf u n c t i o na n dt i m eb a s i cf u n c t i o nw h i c ha r ew i d e l ya p p l i c a t e do rc h o s e nb yt h et h e s i sa r ei n t r o d u c e d a tl a s t ，t h ed e s c r i p t i o no fn u m e r i c a la l g o r i t h m st os o l v i n gt h em a t r i xe q u a t i o na n dp h y s i c a lc o n c e p ti ne l e c t r o m a g n e t i cr a d i a t i o na n ds c a t t e r i n ga r em a k e n 2 a na c c u r a t ea n ds t a b l em a r c h i n g - o n t i m em e t h o du s i n gs p l i n et e m p o r a lb a s i sf u n c t i o n s f i r s t , t h es c a l a rp o t e n t i a lf u n c t i o n ，t h ev e c t o rp o t e n t i a lf u n c t i o na n dt h ec u r lo ft h ev e c t o rp o t e n t i a lf u n c t i o ns h o u l db et r a n s f o r m e dt oa c c u r a t es t y l ea st h ea r cl e n g t hf u n c t i o ni ns p a c ea n dc o n v o l u t i o ni nt i m e t h e nt h ea n a l y t i c a le x p r e s s i o no fc o n v o l u t i o no fp o t e n t i a lf u n c t i o na n dt e m p o r a lb a s i sf u n c t i o ni ns t y l eo fp o l y n o m i a li ss h o w nt og e tt h ea c c u r a t ei m p e d a n c em a t r i xe l e m e n t so ft i m ed o m a i ni n t e g r a le q u a t i o n a tl a s t ，n u m e r i c a lr e s u l t sd e m o n s t r a t et h es t a b i l i t ya n da c c u r a c yo ft h ep r o p o s e dm e t h o d 3 a na c c u r a t ea n ds t a b l em a r c h i n g - o n t i m em e t h o du s i n gs p l i n et e m p o r a lb a s i sf u n c t i o n si sc o m b i n e dw i t hm o d e l i n gt h ec o a x i a lf e e dl i n eb ym a g n e t i cf r i l ls o u r c e ，t oa n a l y z et h er a d i a t i o no fw i r ea n t e n n ao np e r f e c te l e c t r o n i cc o n d u c t o ro b j e c t f i r s t ，m et ta b s t r a ( 玎b a s i st h e o r yo fm a g n e t i cf r i l ls o u r c em o d e la n dt h es t y l eo fi t si nt d i ea r ei n t r o d u c e d n e x t ，t h en u m e r i c a lr e s u l t sa n di t sd i s c u s s i o na r eg i v e n , a n dt h ea c c u r a c yo ft h ep r o p o s e dm e t h o da p l l i c a t e di nr a d i a t i o no fw i r ea n t e n n ao np e r f e c te l e c t r o n i cc o n d u c t o ro b j e c ti sd e m o n s t r a t e d k e y w o r d ：m a r c h i n g - o n - t i m e ( m o t ) ，i m p e d a n c em a t r i xe l e m e n t s ，t e m p o r a lb a s i sf u n c t i o ni ns t y l eo fp o l y n o m i a l ，s t a b i l i t y , m a g n e t i cf r i l ls o u r c e ( m f s )i l i独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。签名：超熟丝日期：功，。年i 月7 日论文使用授权本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定)签名：拉壑丝豸搠导师签名：翌兰、日期：洲。年月7 日第一章绪论1 1 研究背景第一章绪论随着科学技术的进步，在应用电磁学的很多领域需要对任意结构中的瞬态电磁响应进行准确高效的模拟和分析。这些应用领域包括：高分辨率雷达、目标识别与成像、地下资源勘探、针对高强度电磁脉冲的电磁兼容、生物电磁测量以及遥感技术等。因此，通过数值准确高效地求解时域电磁场传输、辐射与散射问题具有日益重要的意义。求解实际应用中的宽频带电磁响应问题，如果采用频域方法，需要分别计算多个频点上的响应数据，再利用傅立叶( f o u r i e r ) 逆变换来求得时域信号。特别是当目标电尺寸位于谐振区时，计算频点的数量将急剧增加，有时不同的频点还需要采用不同的计算方法来处理，这样大大增加了计算量和复杂度。相比之下，直接采用时域分析方法不但可以直接获得时域脉冲响应，更可以通过一次计算得到所求目标的宽频带特性，提高了计算效率，而且采用时域方法分析还可以直接获得求解目标空间区域电磁场随时间的变化，从而可以更加直观地理解电磁现象。时域积分方程法( t d i e ，t i m ed o m a i ni n t e g r a le q u a t i o n ) 是频域中矩量法( m o m ，m e t h o do fm o m e n t ) 在时域中的应用，该方法与其他时域电磁数值方法相比，具有独特的优势。首先，时域积分方程法由于采用了时域格林( g r e e n ) 函数，自动满足索莫菲( s o m m e r f e l d ) 辐射条件，因此不需要截断计算区域和相应的吸收边界。其次，时域积分方程法的空间仅为目标表面，不需要对整个空间进行离散化，降低了未知量个数。最后，由于时域积分方程法属于积分方程方法，而积分算子不存在网格色散误差，相比微分方程方法而言，同样的剖分网格密度积分方程方法更加精确。尽管时域积分方程法兼具时域方法和积分方程方法的优点，但也存在着若干问题。首先，在数值建模过程中，时域积分方程法所采用的近似或数字截断误差会导致其阻抗矩阵元素计算精度不足，影响最后结果的准确性。其次，求解时域积分方程的时间步进算法( m o t ，m a r c h i n g - o n t i m e ) 常常出现后时不稳定现象，即伴随着时间的推移计算结果出现震荡发散，这在一定程度上限制了时域积分方程法的应用。最后，对于电大尺寸的电磁辐射或散射问题，时域积分方程法求解电子科技大学硕士学位论文所需的计算量和存储量过于庞大。因此，精确稳定求解时域积分方程，对解决宽频带电磁散射问题和天线辐射问题，有着重要的理论和应用价值。1 2 研究历史和现状时域积分方程法的起步始于二十世纪中叶。b e n n e t t 、e km i l l e r 等首先将时域积分方程法应用于导体散射问题的研究与分析【1 1 - 6 1 。二十世纪九十年代之后，时域积分方程法获得了长足发展。首先是针对时域积分方程后时稳定性问题的研究。1 9 9 0 年，d a v e c h i n s k i和s m r a o 基于信号处理中的平滑滤波提出时间平均方法【_ 7 1 。该方法改善了时域积分方程法在处理电小尺寸、简单几何结构目标的后时稳定性。1 9 9 3 年，s m r a o和t ks a r k a r 提出隐式( i m p l i c i t ) 时间步进算法【8 】。相比显式( e x p l i c i t ) 时间步进算法而言，隐式时间步进算法可以选取较大的时间步长，并且具有更高的计算效率和更好的后时稳定性，但其代价是需要在每个时间步上对矩阵求逆。1 9 9 7 年，gm a n a r a , a m o n o r c h i o 和r r e g i n a n i n 选用高阶时间基函数研究时间步进算法的后时稳定性，并给出了保持后时稳定性时间步长所需要满足的标准【9 】。1 9 9 9 年，s m r a o 和t - ks a r k a r 提出时频联合互推方法【1 0 1 ，通过频域方法获得对时域积分方程法中后时不稳定性影响较大的低频信息，同时由时域早期响应求解频域高频信息，使得整个算法避免了后时不稳定问题的出现，而且提升了计算效率。2 0 0 2年，s p w a l k e l 、m j b l u c k 和i c h a t z i s f 研究了矩阵特征值对解的后时稳定性的影响【l l 】。同年，y o n g - s e e kc h u n g 等首次采用加权l a g u e r r e 多项式作为全域时间展开基函数，并提出阶数递推算法( m o d ，m a r c h i n g o n - d e g r e e ) i l2 | 。该算法在时间维和空间维均采用伽略金( g a l e r k i n ) 法进行检验，具有极佳的稳定性，但代价是阻抗矩阵的稀疏度大大降低，增加了存储量和计算量。2 0 0 4 年，d s w e i l e 等提出以近似椭球波函数( a p s w f s ，a p p r o x i m a t ep r o l a t es p h e r o i d a lw a v ef u n c t i o n s )作为时间基函数，同时采用l o o p t r e e 分解，从而获得了极其稳定的觯”】。但该基函数不满足时间因果律，需要对电流进行外插处理，而且对时间步长的要求非常苛刻，导致计算量增加。2 0 0 6 年，八c y u c e l 和a 八e r g i n 提出一种基于r w g基函数，用于提高时域积分方程法计算精度的新方、法【1 4 | 。2 0 0 7 年，h a u l k u 和八a e r g i n 又进一步提出基于r w g 基函数的时域磁场解析表达式【1 5 1 ，并将这一结果应用于时域磁场积分方程，提高了时间步进算法的后时稳定性。针对时域积分方程法的快速算法，具有里程碑意义事件的是在1 9 9 9 年。e r i c2第一章绪论课题组参考了频域的多层快速多极子( m l f m a ) 算法，提出时域平面波算法( p w t d ，p l a n a rw a v et i m ed o m a i n ) 1 0 】。该算法在近区场采用时间步进算法，在远区场采用时域平面波展开计算，可以显著降低时域积分方程法求解电大尺寸问题的计算量和存储量，使得时域积分方程法的应用范围大大拓宽。其他提高时域积分方程法计算效率的研究还包括t 快速傅立叶变换( f f t ) 与时域积分方程法的结合m 引，时域积分方程并行算法【4 3 】等。在时域积分方程法的工程应用方面自二十世纪末以来也得到了很大的发展。1 9 9 8 年j e s 、u sf o m i e l e sc a i l e j 、o n 在时域积分方程中采用线性参数模型技术，分析谐振天线和宽带天线 1 8 1 。1 9 9 9 年k _ a y g u n 利用t d i e f d t d 方法分析多天线系统i在任意理想导体平台上的瞬态响应【l9 1 。2 0 0 4 年，z h o n gj i 采用加权的l a g u e r r e 多项式作为全域时间基函数，分析线天线的瞬态散射与辐射【2 0 】。2 0 0 4 年，h u if e n gl i采用时域积分方程法分析偶极子天线和v 型天线的瞬态响应和增益【2 。2 0 0 7 年，n a nw e ic h e l a 用磁流环模式模拟同轴馈电，分析理想导体平台上的单极天线【2 2 1 。目前国内研究时域积分方程的单位主要有西安电子科技大学、西北工业大学、北京大学、国防科技大学、南京理工大学和电子科技大学等院校机构。本课题组自2 0 0 3 年以来对时域积分方程法稳定性的研究与国内水平保持同步【2 3 】吨2 6 】。1 3 本文的工作及创新点本文工作包括：1 针对时域积分方程的精确稳定求解，本文重点研究了将时域积分方程阻抗矩阵元素转化为空间上的推迟位函数和时间上的卷积关系，求得推迟位的解析表达。另一方面，本文研究了解析地计算多项式形式时间基函数下相应变量的卷积，将其与解析形式的推迟位函数结合，得到了精确计算的阻抗矩阵元素。2 在精确计算阻抗矩阵元素的基础上，本文选用存在二阶导数的二阶b s p l i n e 插值时间基函数求解时域积分方程，并将其应用于分析电磁散射问题。本文给出了目标体表面感应电流随时间变化关系和不同目标的雷达散射截面积，通过和其他数值方法结果的比较，证明了本文方法求解时域积分方程的稳定性和精确性。3 在精确稳定求解时域积分方程的基础上，本文利用磁流环模型模拟同轴馈电的辐射场，并对同轴馈电结构进行更为准确的几何建模，将其应用于求解线天3电子科技大学硕士学位论文线的瞬态电磁响应，给出了相应的天线辐射方向图和天线输入阻抗。通过和其他数值方法结果的比较，证明了本文方法可以有效的分析电磁辐射问题。本文的主要创新点如下：1 将源单元上对空间和时间的积分转化为在时间维上的卷积关系和空间维上的角度关系，并采用多项式形式的时间基函数，获得了源单元上空时积分在时间维上的卷积解析表达式，从而提高阻抗矩阵元素的计算精度和时域积分方程的后时稳定性。2 将准确模拟同轴馈电的磁流环模型和精确计算时域积分方程阻抗矩阵元素结合起来，并对天线馈电处几何结构进行准确的模拟，进而求解线天线的瞬态电磁辐射问题。1 4 本文的组织结构本文余下部分的组织结构如下：第二章综述时域积分方程的基本原理。首先介绍时域麦克斯韦方程组，推导出理想导体目标的时域电场积分方程及磁场积分方程。在此基础上，详细介绍时间步进算法，并讨论不同的空间基函数和时间基函数，特别引入二阶b s p l i n e 插值时间基函数。最后，介绍了计算电磁散射问题常用的激励源，远区场的计算和雷达散射截面积。第三章详细介绍一种基于高精度阻抗矩阵元素精确稳定求解时域积分方程的方法。首先从时域积分方程时间步进算法的时间卷积形式引入推迟位函数，接着介绍推迟位函数的解析表达式，随后给出多项式形式时间基函数与推迟位函数的卷积结果，并利用上述结果，得到基于r w g 基函数的m o t 算法中精确计算的阻抗矩阵元素，最后通过数值算例证明了算法的稳定性和精确性。第四章研究了磁流环模型模拟同轴馈电在时域积分方程法中的应用。首先详细引入时域积分方程中的磁流环模型，包括磁流环模拟同轴馈电在时间步进算法中的实现形式、对同轴馈电结构的几何建模和输入阻抗的计算。然后，针对线天线的瞬态辐射问题，给出了天线辐射方向图和输入阻抗的数值算例，验证了算法的准确性。第五章为全文总结以及作者对下一步研究工作的建议。4第二章时域积分方程及其时间步进算法第二章时域积分方程及其时间步进算法本章首先介绍时域麦克斯韦方程组，推导出理想导体目标的时域电场积分方程、时域磁场积分方程和时域混合场积分方程。在此基础上，介绍时间步进算法，并讨论不同的空间基函数和时间基函数，介绍了电磁散射问题常用的入射场形式，2 1 理想导体目标的时域积分方程并特别引入b - s p l i n e 时间基函数。最后，以及远区场和雷达散射截面积的计算。时域麦克斯韦方程组形式为：v 删) = 掣州彤)( 2 - 1 )v 咧叫= 一掣( 2 - 2 )v b ( ，t ) = 0( 2 - 3 )v d ( ，t ) = p ( ，t )( 2 - 4 )其中，l 厂( ，力和a ( r , 0 分别表示源电流密度和源电荷密度( 当源为感应电流或感应电荷时，所产生场即为散射场) ，满足电流连续性方程，v 州叫= 一掣( 2 5 )场量之间存在相互关系如下：b = 2 i - 1( 2 - 6 )d = e e( 2 7 )其中8 和分别为传输介质的介电常数和磁导率。由式( 2 6 ) 和式( 2 - 7 ) 可知可知，只要求出e ( r ，t ) 和h ( ，t ) ，即可获得时域麦克斯韦方程组中的全部场量。由于磁场满足式( 2 3 ) ，我们可以定义磁矢量位函数么( ，t ) 满足，电子科技大学硕士学位论文日( 吖) 2 去弘彳( ，f )( 2 - 8 )将式( 2 6 ) 和式( 2 8 ) 代入式( 2 2 ) l l p 得, ，v 卅掣】_ o协9 ，由于梯度的旋度恒为零，引入电标量位函数痧( ，t ) 衔l j ，即川= 一掣一v ”( 2 - 1 0 )由式( 2 8 ) 和式( 2 - 1 0 ) 可知，仅需求解出a ( r ，f ) 和咖( ，t ) 即可求得e ( ，t )和日( ，t ) 。若将式( 2 8 ) 和式( 2 1 0 ) 代入时域麦克斯韦方程组并经整理后可得，v 2 撕脚学一v v 讹卅掣掣 = 叫( ，r ) ( 2 - 1 1 )v 2 蜥脚学+ 扣撕脚掣 = 一掣协采用洛伦兹( l o r e n t z ) 规范条件，v 讹卅1 掣= 。( 2 - 1 3 )可以得到关于a ( r ，t ) f 6 咖( ，t ) 的二阶偏微分方程，v 2 劬川一掣鼍= 叫( ，f )( 2 - 1 4 )v 2 痧( 吖) 一掣掣= 叩( 吖) g( 2 - 1 5 )o t 。为了利用格林函数法求解式( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) ，定义均匀介质中的时域格林函数为，g(，f；，t，)=j!i!：!：41：,n型r，f f 7( 2 1 6 )( ，f ；，7 ) = 一( 2 1 6 )【0，t t k 时间区间的电流强度恒为零，所以式( 2 3 0 ) 中对时间求和只需取，= 1 ，2 k 即可。再令，= k z 并将其代入式( 2 3 0 ) 可得，( ，气一e c ) ：兰兰露? r ( ，垃一r c ) z ( r )”4(2-31k-il y e)= 丢善酬址肌五( ，)以时域电场积分方程为例，在时域采用点匹配，得到，川 掣一( ，) ，s 协3 2 )空间维检验采取伽略金方法，选用托厶( ，) ，m = l ，2 ，虬) 对式( 2 3 2 ) 做内积，( n x , ( ，) ，n x e 船( ，t k ) )= 刖q 3 3 )利用，【nxz ( ，) 】 以xf 】= ( 以刀) ( ，) ，卜 厶( ，) 以】( 以f ) ( 2 3 4 )由于厶( ，) 定义在理想导体面，有，( 刀以) = 1 ；厶( ，) 以= 0( 2 - 3 5 )将式( 2 - 3 4 ) 和式( 2 3 5 ) 代入式( 2 3 3 ) ，可得，9电子科技大学硕士学位论文( 厶( ，) ，e 妇( ，) ) = ( 厶( ，) ， 拍( ，) a t + v 西( r ，) 】) ，s ( 2 3 6 )对于矢量位，将式( 2 1 7 ) 代入式( 2 3 6 ) ，有， = 畚肌n 掣掣勰7 钟，再将式( 2 3 1 ) 代入式( 2 3 7 ) ，有，= 磊篡薹矗厶c ， 五鱼堕马掣劣7 勰q 。3 8 有同理，对于标量位，考虑，v ( 厶中) = 厶v 西+ 西v 厶i v ( f m 西) d s = ( j ( 厶中) n d ；6( 厶( ，) ，v 西( ，t k ) )( 2 3 9 )( 2 4 0 )纽- ( 。r ( t ) d t d s d s ( 2 4 1 )1u 叶17l 缸i将式( 2 3 8 ) 和式( 2 4 1 ) 代入式( 2 3 2 ) ，即可得到矩阵形式的时域电场积分方程，其中，( 2 4 2 )，( 所) = e ，垆8 ( ，z ) = 4 刀，厶( ，) e 衄( ，t , ) d s ( 2 - 4 3 )晶聊( m 川= 业咝掣坠业峦铅晶一一吉华陟，十铅c 2 谢，l oop蟛“h一哆l ip蛳第二章时域积分方程及其时间步进算法时域磁场积分方程也可类似离散成，k - i删，一f i n c6 一聊j h( 2 4 5 )i = ii k ( m ) = t ，俨_ ( m ) = 4 t of 厶( ，) n x h 址( ，t | | ) g s ( 2 - 4 6 )卅( m ，九) = 2 z c t ( i a t ) f 厶( ，) ( r ) a s一厶c ， 刀( 专+ 去未) 丁( 尬一尝) 以c ，7 ，胄钌7 搬2 4 7 由式( 2 - 4 2 ) 和式( 2 4 5 ) ，即可得矩阵形式的时域混合场积分方程，l 圳+ ( 1 - a ) r m ：i ，= 钟印+ ( 1 一咖垆一 一k - 1 嘶+ ( 1 一咖卅p 一，2 郴设第七一1 时间步以及之前时间步的电流为已知量，由式( 2 4 2 ) 、式( 2 4 5 )和式( 2 - 4 8 ) 即可得出第k 时间步上的电流。这就是传统的时间步进算法。由于在空间采用伽略金方法检验，因此获得的阻抗矩阵虽然不是对角矩阵，但却具有高度稀疏化的特点，且其非零元素的多少与时间步长的大小成正比关系。因此，求解矩阵方程所占时间相对较少，而计算式( 2 - 4 2 ) 、式( 2 4 5 ) 和式( 2 4 8 )右端电流向量和阻抗矩阵的乘积占用了更多的时间。2 3 空间基函数和时间基函数2 3 1 空间基函数积分方程的离散是矩量法中的关键环节，离散过程主要包括基函数和检验函数的选取，选取基函数的特性将直接决定方程求解的精度和效率。由于本文在空间采用伽略金方法检验，所以基函数和检验函数的选取具有一致性。空间基函数的选取主要由所分析的电磁目标特性，及进行电磁建模的剖分形式所决定，同时还应考虑该基函数能否满足与之相关的场或流的物理特性。对于三维目标的电磁建模，通常采用线段单元模型【2 睨9 1 、平面贴片模型或曲面贴片模型。由于三角形电子科技大学硕士学位论文平面贴片模型能较好的模拟目标的几何特征，具有良好的适应性，因此本文利用商业软件a n s y s 将目标表面采用三角形平面贴片模型进行剖分，并采用定义在三角形单元上的空间矢量基函数：r w g 基函数。r w g 基函数于1 9 8 2 年由s m r a o 、d r w i l t o n 和a w g l i s s o n 提出 3 0 1 ，定义在具有公共边的三角形单元对上( 如图2 1 所示) ，其表达式为：i 厶2 群= u 2 a ；( ，一) ，露z ( ，) = 1 p ；2 a ；= 一1 2 ( ，一，f ) ，巧，( 2 - - 4 9 )l0 ，其他图2 - 1r w g 基函数中的三角形单元对及其几何参数式( 2 4 9 ) 中厶为三角形单元乃+ 和乃公共边的长度，么疗+ 和彳疗分别为三角形单元乃+ 和乃的面积。r w g 基函数的表面散度在圆柱坐标系( 或极坐标) 下求得为，l n 疋。r ev 无( ，) = 4 ，巧( 2 - 5 0 )10 ，其他这样与厶( ，) 相关的总电荷幺可表示为，q = 露每+ 4 = 。协5 ，式( 2 5 1 ) 表示9 恒为零，因此利用r w g 基函数空间离散待求电流函数不会导致电荷的累积。2 3 2 时间基函数时间基函数的选取同样由所展开的时间变化函数的性质所决定。时间基函数所包含的频谱信息、时间基函数在时间维上的微分特性、时间基函数的插值精度1 2第二章时域积分方程及其时间步进算法等【1 3 】均对时域积分方程的求解质量，特别是后时稳定性有着重要影响。通常采用的时间基函数有：一阶插值基函数【8 】、高阶插值基函数、正弦基函数、指数基函数以及近似椭球时间插值基函数【1 3 等。文献 1 6 1 7 及 3 1 】提出以二阶b s p l i n e 插值函数作为时间基函数求解时域积分方程，与m i e 级数结果对比，吻合较好。下面分别对一阶插值基函数、近似椭球时间插值函数、指数型基函数和二阶b s p l i n e 插值基函数进行介绍。1 一阶插值基函数一阶插值基函数，又称三角形时间基函数，是应用最为普遍的时间基函数，其数学表达式为：f纠t丁( ，) = 1 。卫a t ，础“础( 2 - 5 2 )一：【0 ，其他该函数具有形式简单，满足因果律，不需要进行外插处理等优点，但其一阶导数不连续，二阶导数不存在，因此在求解时域阻抗矩阵元素的精度方面存在问题。其时域波形如图2 2 所示。图2 - 2 三角形时间基函数时域波形2 二阶插值基函数和三阶插值基函数常用的多项式插值基函数还有二阶插值基函数和三阶插值基函数。二阶插值基函数的数学表达式为：电子科技大学硕士学位论文t ( t ) =f t 0o t a t，一三2 三a t + 1 2 ( 上a t ) 2 ，r r 2 fl。0 ，其他其时域波形如图2 - 3 所示。图2 3 三角形时间基函数时域波形三阶插值基函数的数学表达式为：r ( t ) =+ 芸古+ ( 古) 2 + 吉( 古) 3 ，一r r 。+ 告( 1 ( - 古1 3 ，0 t a t一丢古一( 古) 2 + 丢( 古) 3 ，r r 2 z- 一詈古一( 古 2 _ 丢( 甜2 a t t 3 出其时域波形如图2 - 4 所示。0 ，1 4其他( 2 5 3 )( 2 5 4 )上出：，一=，心】一2，一u。卜2，一出、上i3 2第二章时域积分方程及其时间步进算法二阶和三阶插值时间基函数可以较好的改善后期迭代的稳定性，阵的稀疏性降低。3 正弦基函数正弦基函数的数学表达式为：特p 2 2 纠铲显然，其具有连续的时间导数：型：卜西7 l ts i i l 州缸】，础 f 出o ti o ，其他其时域波形如图2 5 所示。t i m o ( a t )图2 - 5 正弦时间基函数时域波形其代价是阻抗矩( 2 5 5 )( 2 5 6 )电子科技大学硕士学位论文该函数在定义域内具有光滑连续的导数，但采用这种基函数，得到稳定m o t 解的时间步长较小、时间步长选取范围也较小，使得计算量有所增加。4 指数型基函数指数型时间基函数具有任意阶连续的时间导数，所包含的高频成分较少。其数学表达式如下：丁( f ) =e x p0 ，如果取- 2 ，对式( 2 - 5 5 ) 中系数a ，进行优化后可以得到，r ( t ) =，i t - 出( 2 5 7 )其他唧 一而孙h 出协5 8 ，其时域波形如图2 - 6 所示。图2 - 6 指数型时间基函数时域波形5 二阶b s p l i n e 插值基函数二阶b s p l i n e 插值基函数的数学表达式：1 6第二章时域积分方程及其时间步进算法t ( t ) =丢+ 古+ 圭( 古) 2 ，- r r 。圭+ 古一( 甜蛐协5 9 ，2 2 古+ 三( 古) 2 ，r r 2 r该函数具有连续的一阶时间导数：且二阶时间导数存在：掣- 曩掣o t = 2l-础t 0o t a t( 2 6 0 )a t t 2 a t由于其二阶导数存在，故选取该时间基函数可以采用第二类电场积分方程形式，避免在时间上进行数值积分。又因为其数学表达式为多项式形式，特别适用于本文第三章提出的精确计算阻抗矩阵元素的方法，因此本文选用该函数作为时间基函数。其时域波形如图2 7 所示。图2 - 7 二阶b s p l i n e 插值时间基函数时域波形石q如出尬q 压坯心胚妪电子科技大学硕士学位论文2 4 电磁散射问题入射场由时域积分方程表达形式可知，除了感应电流，入射场的准确建模对求解t d i e也是非常重要的。在时域电磁建模中，通常有两大类激励源，即集总激励和分布激励。讨论散射问题时一般采用分布激励。最常用的分布激励是平面波形式，其数学表达式为：e 址( r ，t ) = e o f ( t - t 。一r k c )( 2 6 2 )其中e o 表示入射场的强度及极化方向，f ( t ) 为激励函数。1 高斯平面波作为最普遍的平面波激励，其数学表达式如下：巾，f ) = 击e 彳( 2 6 3 )其中，y = 4 ( c t c 一，k ) l r( 2 - 6 4 )矗为脉冲延迟时间，z 为脉冲宽度，k 为入射场传播方向的单位矢量，为基于全局坐标的位置矢量，c 为真空中电磁波传播速度。图2 8 给出了c t o = 4 0 m 、t = 4 0 m时高斯平面波的时域波形和频谱成分。图2 - 8 高斯平面波的时域波形和频谱成分2 调制高斯平面波高斯平面波经正弦调制后成为调制高斯平面波，其数学表达式为：厂( ，t ) = c o s ( 2 z g f o r ) e 一户( 2 6 5 )第二章时域积分方程及其时间步进算法其中，y ；( 彳p ) 拉仃( 2 6 6 )f = t - r k c ，o r = 6 ( 2 z r f 6 ，) ，t p = 8 为脉冲延迟时间，f o 为脉冲中心频率，厶为脉冲宽度。图2 - 9 给出了中心频率2 5 0 m h z ，带宽2 5 0 m h z 的调制高斯平面波的时域波形和频谱成分。由于调制高斯平面波将频谱成分调制到石厶的频段上，这样入射波的能量主要集中在瓦附近，能够较为准确地控制不同的频率成分。2 5 远区场的计算图2 - 9 调制高斯平面波的时域波形和频谱成分通过求解时域积分方程得到目标的表面电流后，就可计算目标外空间任意点处时域散射远区场和任意方向雷达散射截面积( r a d a rc r o s ss e c t i o n ，r c s ) 。2 5 1 时域远区场设定目标表面电流己知。对于理想导体目标的时域电磁散射，其场点r 处散射磁场为：日删( 啊) = v x a ( ，归v j ( r 矿 , t - r c ) 拶5( 2 6 7 )= 咖r , t - r 啦嘉+ 掣x 去p其中，r = r r 7 。对于远区场，考虑到r 2 r ，可以将式( 2 6 7 ) 表示为：1 9电子科技大学硕士学位论文( r ，垆l 掣= 姜忑r4d s 7 r c r上3 t4 7 r c r( 2 6 8 )其中，a r 为r 的单位方向矢量。进一步近似，令r = ，r r = 珥= ，t 一纠c = t - - ( r - - r t a ，) c 可以得到：胪( r ，垆善nl弘( f 一( r - i t a ，) c ) z ( ，7 ) x a r3 t4 充c rd s 7( 2 6 9 )若进一步采用有限差分近似电流的时间导数，可以得到归一化的远区场散射磁场为：f ( ，善n 垫掣) 口( 2 - 7 。)其中气= t k - - ( r - f t a ，) c = 七f 一( ，一r 7 口，) c 。由远区场的散射磁场可以得到散射电场：腰删( ，气) = 7 7 艚删( ，t t ) x a ，( 2 - 7 1 )其中r 为自由空间波阻抗。2 5 2 雷达散射截面积定量表征目标散射强弱的物理量称为目标对入射雷达波的有效散射截面积，通常简称为雷达散射截面积。在时域方法当中，可以利用2 5 1 节的方法求得远区时域散射电场e 涮( ，t k ) ，通过傅立叶变换得到所求特定频点的散射电场占涮( ，动。再对该频点的入射时域电场进行傅立叶变换，得到e 加。( ，= o ，动，最后求出雷达散射截面积。雷达散射截面积的定义为：州捌= 叩l i m h 2 嚣黯i协7 2 ，其中e 5 删( ，功) 为接收机处散射电场值，e 咖( ，= o ，叫为目标处入射电场值，国为雷达工作频率。雷达散射截面积的单位为所2 。式( 2 7 2 ) 中的h 2 使得矿具有面积的量纲。对于三维几何结构，e 5 叫( r ，叫在远区按1 r 衰减，因此h 2 抵消了距离第二章时域积分方程及其时间步进算法的影响，即雷达散射截面积与距离无关。雷达散射截面积根据观察角度的不同，可分为双站散射截面积和单站散射截面积。其中双站散射截面积是入射方向固定情况下，不同散射方向的物体表面的散射截面积。单站散射截面积是观察方向始终与入射方向相反，即接收机和辐射源在同一位置时，不同入射方向的物体表面的散射截面积。此外，入射波的频率、波形、入射场的特性、接收天线的极化形式以及目标相对于入射和散射方向的姿态角也会产生不同的散射特征。在远场条件下，雷达散射截面积常用吼锄表示，其单位为d b s m ，定义为：吼跏= 1 0 1 9 仃f ，7 3 、2 l电子科技大学硕士学位论文3 1 引言第三章时域积分方程的精确稳定求解时域积分方程法由于兼具时域方法和积分方程方法的优点，成为解决时域电磁散射和电磁辐射问题的重要工具。然而，现有的求解时域积分方程的时间步进算法还存在后时不稳定性和求解精度较差的问题，严重制约了时域积分方程法的广泛应用。时域阻抗矩阵元素通常在场单元和源单元上通过双重高斯数值积分获得。然而，由式( 2 4 2 ) 和式( 2 - 4 7 ) 可知，t d e f i e 和t d m f i e 阻抗矩阵元素计算均需在源单元和场单元上计算面积分，由于源单元积分核中包含时间基函数及其微积分形式，使得积分不仅仅在空间域中的源单元上存在，而成为非常复杂的空时积分 2 6 1 。由于常用时间基函数的分域性以及时间基函数导数的不连续性，采用高斯积分计算阻抗矩阵元素将产生较大的数值误差，将降低时间步进算法的求解精度，并可能出现后时不稳定现象。为提高时域积分方程法的求解精度和后时稳定性，需要提高阻抗矩阵元素的计算精度。文献1 1 4 提出将时域电场积分方程矩阵阻抗元素源单元积分核中复杂的空时积分转化为在空间上一维的解析积分和时间维上的卷积计算，文献 2 6 】进一步将其推广到时域磁场积分方程和时域混合场积分方程。文献 1 5 1 在文献 1 4 的基础上，将磁场积分方程矩阵阻抗元素源单元积分核中的空时积分变换为更简单的几何参数关系，并指出时间维卷积存在解析解。本文将该方法推广至电场积分方程中，并详细给出在时间基函数为多项式时，源单元上空时积分的解析结果。并通过数值计算实例表明，精确计算阻抗矩阵元素可大幅度提高时间步进算法的后时稳定性和求解精度。本章首先给出时间关系表示为卷积形式的时域积分方程时间步进算法，并详细说明阻抗矩阵元素如何被转化成为空间维上的推迟位函数和时间维上的卷积关系，接着介绍时域标量位、矢量位及矢量位旋度中推迟位函数的解析表达式，随后给出多项式时间基函数与推迟位函数时域标量位、矢量位及矢量位旋度的时间卷积结果，得到基于r w g 基函数的m o t 算法中精确计算的阻抗矩阵元素，最后给出对该方法计算结