（计算机应用技术专业论文）反模糊粗糙代数.pdfVIP

摘翳 摘要 本文研究并讨论了反模糊粗糙予半群、反模糊粗糙子群、反模糊粗糙正规子群、半 群的反模糊理想、反模糊双理想、( 岛v q u t , , ) ) 一模糊子群、( 岛v g 注群，) 一模糊更规子群、 广义反模糊予环、广义反模糊理想、( q v g ( 五) 一模糊子环、( ，e v g ( ) 一模糊理想、 、( v q ( 枷1 ) 一子空闻和( ，v 嚷却，) 一模糊向量空间等概念。丰富了反模糊数学与粗糙 集的研究成果，得出一系列有意义的结论。具体内容如下： 首先给出了模糊粗糙集的两个新的分解定理，通过上( 下) 近似集，下截集等概念 刻谶了反模糊子半群，给出了半群上的反模糊睾r 糙予半群同时给出了群上的反模糊粗 糙子群及反模糊粗糙话规子群及其等价刻画。 ( 2 ) 给出了反模糊理想的一些实例，并通过下截集和强下截集等概念对其加以亥0 劂。 引入了反模糊双理想的概念，并指出理想、反模糊左( 右) 理想和反模糊双理想之间联系。 ( 3 ) 给磁( 毯，v 孽( _ 棚) 一模糊子群和( 毛芒v g ( ，一) ) 一模糊正规子群的概念，及多个等价条 件当a 拳l ，= o 5 时，( ，vg z 。邸，) 一模糊予群即为( 毫，v q + ) 一模糊子群；当名= l ，= 0 时，( ，v 譬纸芦) ) 一模糊子群即为津，e v q ) - 模糊子群因此t 我们这单弓| 入酶 ( ，ev 鲠l 扪) 一模糊子群是这些模糊子群的统一 ( 4 ) 给如了广义反模糊予加群、广义及模糊子半环和广义反模糊子环的定义及其等价 刻画，并推导如广义反模糊子环的充要条件和基本代数性质给出了广义反模糊左( 右) 理想、广义反模糊理想、广义反模糊双理想、广义反模糊内理想的概念和一些基本代数 性质及等价条件进一步丰富和完善了模糊环理论。 ( 5 ) 我们提出了( ，v 9 z ，群) ) 一模糊子环、( v g l ) 一模糊左( 右) 理想、 ( ，v 敏毒，鼬) 一模糊理想、( ，g v 垡毒，芦) ) 一模糊双理想、( g ，v g 童，芦) ) 一模糊内理想的概念， 并讨论了它们的多个等价条件，是前两章的延伸及拓展 ( 6 ) 定义了( ，v q 栅) ) 一模糊向量空间，讨论了它的一些等价刻画当力，取不同的 值时，( ，v q ( o ) 一模糊囱量空间即为模糊向量空闽( 载，v 酝o 0 5 ) ) 一模糊商量空l a j p - , i 】为 ( ，gv q ) - 模糊向量空闻( ，v 鲰咄) ) 一模糊向量空间即为饼模糊向量空间因此，我 们这罩引入新型模糊向量空间是这些常见模糊向量空间的统一，具有较重要的学术意义 关键词：反模黻拳爨糙( 正勰) - 7 群- ；( e v q t 枷) ) 一模糊( 歪规) 子群；反模糊双理想；广义 反模糊子环( 理想) ；( ，e v q ( 盖) 一模糊子环( 理想) ；( ，gv q ( 名，) ) 一模糊向量空间 一一一。，! ! ! ! ! ! ! ! ! 。，。一 - _ - - _ _ _ _ _ - _ _ - _ - - _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ i _ _ _ _ _ _ - - _ _ - _ - - - 一一一 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r t h ed e f i n i t i o n so fa n t i f u z z yr o u g hs u b s e m i g r o u p s ，a n t i - f u z z yr o u g h s u b g r o u p s ，a n t i f u z z y r o u g h n o r m a l s u b g r o u p s ， ( ，ev 窖( _ ， ) 一f u z z ys u b g r o u p s ， ( ，vg f ) ) - f u z z y n o r m a ls u b g r o u p s ，a n t i - f u z z yi d e a s ，a n t i f u z z yb i - i d e a s ，g e n e r a l i z e d a n t i f u z z y s u b r i n g s ，g e n e r a l i z e da n t i f u z z y i d e a s ， ( ，evg ( i ，们) f u z z ys u b r i n g s ， ( ，v q ( 1 ) 一f u z z yi d e a s ，( ，v q ( 五，卢) ) 一s u b s p a c e sa n d ( ，v q ( 。) ) 一f u z z yv e c t o rs p a c e s a r eg i v e na n ds o m ef u n d a m e n t a lp r o p e r t i e so ft h e ma r ed i s s c u s s e d 。t h em a i nr e s u l t so b t a i n e d i nt h i sp a p e ra r el i s t e da sf o l l o w s ： ( 1 ) t w on e wd e c o m p o s a b l et h e o r e m so ff u z z yr o u g hs e t sa r ep r o v e d t h r o u g ht h ec o n c e p t o ft h eu p p e ra n dl o w e ra p p r o x i m a t i o n sa n da n t i l e v e ls e t s ，t h ea n t i - f u z z ys u b s e m i g r o u p sa r e d e s c r i b e d ，a n dt h ec o n c e p to f a n t i f u z z yr o u g hs u b s e m i g r o u p sa r eg i v e n t h e n ，t h ed e f i n i t i o n s o fa n t i f u z z yr o u g hs u b g r o u p sa n da n t i - f u z z yr o u g hn o r m a ls u b g r o u p sa n ds o m ef u n d a m e n t a l p r o p e r t i e sa r ei n t r o d u c e d ( 2 ) s o m ee x a m p l e so fa n t i f u z z yi d e a sa r eg i v e n ，a n dd i s c u s s e ds o m eb a s a la l g e b r a p r o p e r t i e so fs u c hi d e a s t h ed e f i n i t i o n so fa n t i f u z z yb i - i d e a sa r ei n t r o d u c e df o rt h ef i r s tt i m e t h er e l a t i o n s h i po fi d e a s ，a n t i f u z z yl e f t ( r i g h t ) i d e a sa n da n t i f u z z yb i i d e a si sd i s c u s s e d ( 3 ) t h ed e f i n i t i o n s o f ( ，v 譬 口) ) f u z z y s u b g r o u p s ，( ，ev 碍i ，p ) ) 一f u z z y n o r m a l s u b g r o u p sa n ds o m ee q u i v a l e n ts t a t e m e n t s o ft h e ma r ei n t r o d u c e d s oi f 五= l ，= 0 5 ， ( ，v g ) f u z z ys u b g r o u p sa n di fa = 1 , p = 0 ，( ，v q ) - f u z z ys u b g r o u p sw i l lb e c o m e s p e c i f i ci n s t a n c e so f ( ，_ vg ( z ，p ) ) - f u z z ys u b g r o u p s “) d e f i n i t i o n so fg e n e r a l i z e da n t i - f u z z ya d d i t i o ns u b g r o u p s ，g e n e r a l i z e da n t i - f u z z y s u b s e m i r i n g sa n dg e n e r a l i z e da n t i f u z z ys u b r i n g s a n ds o m ee q u i v a l e n ts t a t e m e n t sa r e i n t r o d u c e d s o m eb a s a la l g e b r ap r o p e r t i e sa n de q u i v a l e n ts t a t e m e n t so fg e n e r a l i z e da n t i f u z z y s u b r i n g s a r ed i s c u s s e d t h e nt h ed e f i n i t i o n so fg e n e r a l i z e da n t i - f u z z yl e f t ( r i g h t ) i d e a s ， g e n e r a l i z e da n t i f u z z yi d e a s ，g e n e r a l i z e da n t i 一娩z yb i i d e a sa n dg e n e r a l i z e da n t i f u z z yi n n e r i d e a sa n ds o m eb a s a la l g e b r ap r o p e r t i e sa n de q u i v a l e n ts t a t e m e n t sa r ei n t r o d u c e d t h e r e o u t i n c r e a s e dt h ef u z z yr i n g st h e o r y ( 5 ) t h ed e f i n i t i o n so f ( ，vg f l 。) - f u z z ys u b r i n g s ，( e ，ev q _ f a , , o ) f u z z yl e f t ( r i g h t ) i d e a s ，( ，vg f 、“1 ) 一f u z z yi d e a s ，( ，e vq t a , t , ) ) 一f u z z yb i - i d e a s ，( ，e vg ( 1 p ) ) 一f u z z yi n n e r i d e a sa r ei n t r o d u c e da n ds o m ee q u i v a l e n ts t a t e m e n t sa r ed i s c u s s e d i ti st h ep r o l o n g a t i o no f c h a p t e r5a n dc h a p t e r6 ( 6 ) d e f i n e dt h ec o n c e p to f ( ，v q ( i “) ) 一f u z z yv e c t o rs p a c e sa n dd i s c u s s e ds o m e e q u i v a l e n ts t a t e m e n t so fi t i nt h i sc a s e ，t h e ( ，v 敏口1 1 ) 一f u z z yv e c t o rs p a c ei st h ef u z z y v e c t o rs p a c e s ， ( ，v 毋o 。o5 ，) - f u z z yv e c t o rs p a c e si st h e ( ，氐v q ) 一f u z z yv e c t o rs p a c e sa n d ( ，v q l 0 , a ) ) 一f u z z y v e c t o rs p a c e si st h ea f u z z yv e c t o rs p a c e s s ot h ed e f i n i t i o n so f ( ，v 瓴l ，p 1 ) 一f u z z yv e c t o rs p a c e sw i l lb et h eu n i f i c a t i o no fo t h e rf u z z yv e c t o rs p a c e sa n d h a v ei m p o r t a n ta c a d e m i cm e a n i n g k e y w o r d s ：a n t i f u z z yr o u g h ( n o r m a l ) s u b g r o u p s ；( ，evg ( z ，m ) 一f u z z y ( n o r m a l ) s u b g r o u p s ；a n t i f u z z yb i - i d e a s ；g e n e r a l i z e da n t i f u z z ys u b r i n g s ( i d e a s ) ；( ，ev 叮( ，) 一f u z z y s u b r i n g s ( i d e a s ) ；( ，v 吼- ， ) 一f u z z yv e c t o rs p a c e s i l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人为获得江南 大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 签名： e l 期： 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解江南大学有关保留、使用学位论文的规定： 江南大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文， 并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名： 导师签名： 2 鲤星：占! 丑 日 期：皿脚畸一 第一章绪论 第一章绪论 本章余绍了与本论文有关的理论概述及研究现状，课题的研究背景及选题 意义，以及本文的主要工作和创新点 1 1 有关问题的理论概述及研究现状 1 1 1 模糊集理论概述及研究现状 1 9 6 5 年，美国著名的电子工程学家和控制论专家l a z a d e h ，在德的论文n 3 中明确 的用数学语言提出了非常基本的概念“f u z z ys e t ”( 模糊集) 作为表现模糊事物的数学模型， 著用“隶属丞数”( m e m b e r s h i pf u n c t i o n ) 来描述中闽差异的过渡，从两突破了1 9 世纪末 德国数学家g c o n t o r ：创立的经典集合理论的局限性 借助于隶属函数可以表达一个模糊概念从“完全不属于”到“完全隶属于”的过渡， 从而对所有的模糊概念进行定量表示这样，像“冷和“热 这些在常规经典集合中 无法解决的模糊概念就可在模糊集合中得到有效表达这就为计算机处理这种不确定 的模糊信息提供了一种可行的方法隶属函数的提出奠定了模糊理论的数学基础，标志 着模糊数学的诞生，吸引了一大批科学家的注意力 1 9 6 6 年，p n 。m a r i n o s 发表了模糊逻辑的研究报告，这一报告真正标志蓿模糊逻辑的 诞生这就为计算机模仿人的思维方式来处理普遍存在的语言信息提供了可能，因而具 有划时代的现实意义 1 9 7 1 年，由a r o s e u f e l d 弓 入了模糊子群的概念瞳1 ，将经典的代数结构和模糊结构相 结合，得到一个新的数学分支模糊代数，开创了模糊代数研究的薪领域 1 9 7 4 年，l a 。z a d e h 又进行了模糊逻辑推理的研究建立在模糊逻辑基础上的模糊 推理是一种近似推理，可以在所获褥的模糊信息前提下进行有效的判断和决策 1 9 8 0 年，k u r o k i 正式开始了模糊子半群的研究，它是自模糊代数研究开始以来，模 糊数学领域较活跃的研究领域硌2 2 3 之。 1 9 8 2 年，刘望金进一步引入群g 的模糊不变子群心舢，环的模糊理想等概念，这促使 模糊代数研究进一步深入到各代数分支的方方面面，例如，模糊子群、模糊子环、模糊 子域、模糊模、模糊代数等 1 9 8 4 年，“国际模糊系统学会”( i f s a ) 成立，学会下设“智能系统( 1 s ) 和“经营 与生产中的模糊系统 ( f s b m ) 两个研究部 1 9 9 2 年， “i e e ef u z z ys y s t e m 国际会议开始举办，每年一次。 江南人学硕士学位论文 1 9 9 3 年，i e e et r a n s o nf u z z ys y s t e m s 也开始出版 模糊数学为计算机科学的发展提供了强有力的工具电子计算机虽然在运算速度、 记忆性等方面远远超过了人脑，但人脑在对事物认识的灵活性方面则是电子计算机所无 法比拟的，它能对模糊事物进行识别和判断模糊数学的一个重要特点，就是要让数学 回过头来吸取人脑识别和判决的模糊特点，使之运用于计算机，以使人们能用简易之程 序调动机器完成更复杂的任务由于模糊数学既可探索事物“非此即彼”的明晰性态， 又可考察事物“亦此办彼”的过度性态，因而它的适应性也就比传统数学广泛得多 近些年来，不但基础理论( 如对模糊拓扑，模糊分析，模糊代数，模糊逻辑等) 的研 究更加深入m 。5 驯，使之分别自成理论体系，而且对现实问题的应用研究的锋芒集中指向 信息革命与机器智能、自动控制、系统理论、信息检索、语言检索、语言识别、人工智 能、图象识别等计算机科学应用学科，应用的触角伸向了科学技术、管理等许多领域， 而且已经取得了丰硕成果，体现了巨大的优越性 从应用的情况看，模糊理论已在图像识别、语音处理、自动控制、故障诊断、信息 检索、地震研究、环境预测、运输管理、楼宇自动化以及医学、生物学、社会学及心理 学等许多学科和领域中获得了广泛的应用近年来，空调、冰箱、洗衣机等家用电器中 也广泛采用了模糊控制技术近几年来，模糊理论与神经网络、遗传算法一起形成计算 智能这一新兴学科的三大组成部分，模糊理论与应用的发展将会极大地推动人类社会向 智能信息处理的新阶段迈进 目前，对待模糊理论，学术界一直有两种不同的观点，其中持否定态度的观点大有 人在，客观地说，有如下两个主要方面的原因：其一是推崇模糊理论的学者在强调其不 依赖于精确的数学模型是过分地夸大了其功效，而正确的观点似乎应该是模糊控制不依 赖于被控对象的精确数学模型，当然它也不应该拒绝有效的数学模型，模糊控制理论在 特定条件下可以达到经典控制理论难以达到的“满意控制”，而不是最优控制；其二是 模糊理论的确还有许多不完善之处，比如模糊规则的获取和确定，隶属函数的选择以及 稳定性问题至今还未得到完善的解决尽管如此，大量的工程系统已经应用上了模糊理 论，特别是同本，尤为重视模糊理论的工程应用从发展来看，模糊理论已经成为智能 信息处理的一个重要分支 1 1 2 粗糙集理论概述及研究现状 模糊集理论，使得含糊概念有了具体的数学描述，但它没有给出含糊概念的计算方 法，其应用基础很大程度上还要依赖人们的某些先验知识，从而限制了其应用的客观实 际性 2 第一章绪论 粗糙集作为一种处理不精确、不确定与不完全数据的新的数学理论，最初是由波兰 数学家z p a w l a k 于1 9 8 2 年提出 5 , 1 3 借鉴了逻辑学和哲学中对不精确信息的各种定义，针 对知识库，提出不精确范畴等概念，并在此基础上形成了完整的理论体系粗糙集理 论，该理论是一种刻画不完整和不确定性信息的数学工具，能有效地分析不精确 ( i m p r e c i s e ) 、不一致( i n c o n s i s t e n t ) 、不完整( i n c o m p l e t e ) 等不完备的信息，还可以对数据 进行分析和推理，从中发现隐含的知识、揭示潜在的规律惭制 1 9 9 1 年，p a w l a k 出版了专著 r o u g hs e t s ：t h e o r e t i c a la s p e c t so f r e a s o n i n ga b o u td a t a ) ) 嘞3 系统而全面地阐述了粗糙集理论奠定了其严密的数学基础该书与1 9 9 2 年出版的粗 糙集理论应用专集1 较好地总结了这一时期粗糙集理论与实践的研究成果，促进了它的 进一步发展，逐渐引起了各国学者的注意 1 9 9 2 年，第一届关于粗糙集理论的国际学术会议在波兰召开这次会议着重讨论了 集合近似的基本思想及其应用 1 9 9 3 年，在加拿大召开了第二界国际粗糙集与知识发现研讨会，这次会议积极推动 了国际上对粗糙集应用的研究 1 9 9 5 年，a c mc o m m u n i c a t i o n 将其列为新浮现的计算机科学的研究课题 1 9 9 8 年，国际信息科学杂志( i n f o r m a t i o ns c i e n c e s ) j 丕为粗糙集理论的研究出了一期专 辑国际上成立了粗糙集学术研究会，参加的成员来自世界各地，包括波兰、美国、加 拿大、日本、挪威、俄罗斯、乌克兰和印度等 这些都表明了粗糙集理论及其应用研究有着广泛的发展前景璩3 对于当代计算机 的应用来说，粗糙集理论无疑是最具有挑战性的领域之一对于人工智能和认知科学也 是十分重要的，尤其是在机器学习、知识获取、决策分析、数据库的知识发现、专家系 统、决策支持系统、归纳推理、矛盾归结、模式识别、模糊控制及其他各个方面的应用， 粗糙集理论都提供了一种很有效的新的数学方法 可利用粗糙集理论处理的主要问题包括数据库中的数据约简、数据相关性的发现、 数据意义的评估、由数据产生决策控制算法、数据的近似分类、数据中的相似性或差异 性的发现、数据中范式的发现以及因果关系的发现等等 众所周知，许多实践问题不能满足现存计算机的求解条件，特别是机器学习、模式 识别以及某些控制问题等，这种困难常常使得不能建立描述个体的算法而粗糙集理论 及其扩充对于建立此类个体的近似描述，提供了一种精确的数学技术，对于处理此类问 题，提供了一种通用的由精确数学语言支持的哲学框架 粗糙集方法已在数据挖掘和软计算，特别是处理大型数据库和复杂计算等方面，显 3 江南火学硕j ：学位论文 示出“用武之地”在数据挖掘和知识发现中，可利用各种知识源和各种知识结构地有 利条件探讨混合系统中的新的算术方法，也就是说，将粗糙集和其他方法，如模糊集、 神经网络、进化计算、统计推理、证据理论、置信网络等，结合起来使用，必将取得一 系列极具意义地成果 此外，基于粗糙集理论的控制系统研究也是一个非常有前途的应用领域，而粗糙集 理论对神经网络和遗传算法的开发也很重要如何将粗糙集理论、模糊集理论、证据理 论和概率论等处理不确定性问题的理论用一个统一的逻辑模型来解释也很值得研究 1 1 3 模糊集理论与粗糙集理论的关系 粗糙集理论和模糊理论在处理不确定性和不精确性问题方面都推广了经典集合论， 它们都可以用来描述知识的不精确性和不完全性，但是它们的出发点和侧重点不同狮7 i 粗糙理论考虑的是元素( 或对象) 间的不可区分性，与集合上的等价关系相联系，是经典 集合由等价关系而得出的近似；模糊理论考虑的是集合边界的病态定义，与元素和集合 的关系相联系，是经典集合属于和不属于关系的推广 对粗糙集理论而言呻3 ，一方面，它对信息系统中的离散性比较有效，而对连续属性 处理能力非常有限，通常对连续属性进行人为的区间划分，将每个区间用离散的属性值 来表示，把一般的决策表转化为二迸制决策表进行处理，但连续数据大多具有模糊性， 概念之问的界限并不十分明确另一方面，粗糙集理论以等价关系( 不可分辨关系) 为基 础把论域划分为等价类，生成粗糙集的上近似和下近似在实际利用中，粗糙集往往 把知识划分过细，导致问题复杂化所以，粗糙集理论需要模糊理论的补充 模糊集是由隶属函数来刻画集合中子类边界的模糊性的，但是这些隶属度和隶属函 数均需要凭借系统设计者的经验事先给定，也就是说这些不确定性的确定带有强烈的主 观色彩：而粗糙理论则不需要提供所需处理的数据集合之外的任何先验信息，即它对不 确定性的描述相对客观，这是粗糙理论的最重要的优点，也是与模糊理论的最主要区别 6 9 总之，粗糙集理论和模糊理论是处理两种不确定性( 粗糙性和模糊性) 的不同的数学 方法，二者是互为补充的，而不是相互排斥的 1 2 课题研究背景及选题意义 计算机技术发展的历史在某种意义上是数据自动采集、生成和处理的历史目前， 全球为各行各业服务的数据库至少有几百万个，数据库不但在数量上快速增长，而且在 4 第一章绪论 规模上也越来越大例如，美国宇航部门发射的一系列地球观察卫星每年发回的数据就 有约3 0 万g b 面对如此庞大的数据资源，一般的数据库管理系统的查询检索机制和统 计分桥方法已经不笺满足实际应j 雳的需要，大量的数据未能被充分利用，这一现象常常 被描述为“数据丰富，但信息贫乏” 1 9 6 5 年，l a z a d e h 提患了模糊集孙，不少计算秽i 科学家和逻辑学家试图通过这一 理论解决g f r e g e 的含糊概念，但是模糊集是不可计算的，既没有给出数学公式描述这一 含糊概念，无法计算毒它的具体的含糊的数暖1 9 8 2 年，波兰华沙理_ i 大学p a w l a k 教授 针对g f r e g e 的边界线区域思想提出了粗糙集概念陆4 1 ，把那些无法确认的个体都归属于边 界线区域，丽这种边界线区域被定义为上近似集和下近似集的差集出于他有确定的数 学公式描述，所以含糊元素数目是可以计算的，即在真假值之间的含糊度是可计算的 粗糙集理论的主要特点在予它恰好反映了人们嗣粗糙集方法处理不分明闻题的常 规性，即以不完全信息或知识处理一些不分明现象的能力，或依据观察、度量到的某些 不精确的结果丽进行分类数据的能力8 0 年代以来经过许多计算机科学家和数学家的努 力，粗糙集理论己经取得长足的发展它已经在信息系统分析、人工智能机器应用、决 策支持系统、模式识别与分类、故障检测等方面取得了较为成功的应用 7 5 - 8 0 相对于其它处理不确定性和模糊性的理论工具丽言，羊h 糙集理论有着许多不可替 代的优越性它的主要优势之一是它无需提供问题所需处理集合之外的任何先验信息 但是，由于这个理论未包含不精确或不确定原始数据的机制，因此单纯地使用这一理论 不一定能够有效地描述不精确或不确定的实际问题，这意味着需要其它方法的补充而 模糊集理论具有处理不精确和不确定数据的方法，因此，模糊集理论与粗糙集理论互相 补充，将它们结合已经产生了更强的功能 法圈学者d u b o i s 和p r a d e d 蹲1 予1 9 9 2 年提出的模糊糍糙集就是为了解决粗糙集的离敖 化过程的信息损失问题他们将模糊集理论引入粗糙集中，对信息系统中的对象不再进 行离敖化，瑟讨论对象闻的关系时也用对象的相似关系丽菲粗糙集中的等价关系正是 由于模糊粗糙集理论引入的模糊概念易于保韶连续属性值的信息，因此使用该理论处理 数据集更能保罄原始数据集所包含的信息跫有学者研究表明 9 0 , 9 1 应用模糊拳鼹糙集得 到的模糊规则或基于案例的推理系统以及原始数据集的约简比粗糙集具有更高的准确 度 目前，在模糊粗糙集的研究方面，国外学者主要集中在从不同的角度考察模糊粗糙 集的性质根掘模糊粗糙近似推演方式的不同，主要形成了三种从不网角度研究的模糊 粗糙集：基于形式逻辑的模糊粗糙集，基于三角模的模糊粗糙集，基于口一截集的模糊 粗糙集 江南大学硕j 二学位论文 将粗糙结构与代数结构、拓扑结构、序结构相互渗透，必将涌现出新的富有生机的 数学分支目前，粗糙结构与代数结构及模糊结构结合起来进行的研究已有系列论文出 现 r b i s w a s 在1 9 9 0 年引入了反模糊子群但到目前为止，这方面的成果还不多，因此， 对于；i | h 糙集理论和模糊集理论以及把它们相结合起来的研究具有重要的理论与实际意 义 1 3 本文主要工作和创新点 本文采用公理化的方法，通过上( 下) 近似集、下截集、强下截集、余模糊集及其隶 属函数等有关概念刻画反模糊数学和粗糙集中一系列新的概念，利用数学分析及代数的 方法及对偶、反证法等来得到它们的有关代数性质及等价刻画 主要工作如。f ： 1 首先给出了模糊半j i 糙集的两个新的分解定理，并在此基础上给出了反模糊子半群 的两个等价命题，通过上( 下) 近似集，下截集等概念刻画了反模糊子半群，给出了半群 上的反模糊粗糙子半群同时给出了群上的反模糊粗糙子群及反模糊粗糙正规子群及 其等价刻画，对它们下截集和强下截集进行了讨论 2 给出了反模糊理想的一些实例，指出了半群上的任一常函数都是反模糊理想，研 究并讨论了它的一些基本代数性质，并通过下截集和强下截集等概念对反模糊理想加以 刻画我们还引入了反模糊双理想的概念，指出理想、反模糊左( 右) 理想和反模糊双理 想之间联系，并用它给出了一个半群是群的等价刻画，得到了一些有意义的结论 3 在反属于( ) 、广义反重于( g ( 五川) 定义的基础上，给出( ，e vg ( 五川) 一模糊子群和 ( ，v g ( 咖) ) 一模糊正规子群的概念，并讨论了它们的多个等价条件，通过下截集和强下 截集等概念对其加以刻画在名= 1 ，= 0 5 的情况下，( ，vg 脚) ) 一模糊子群即为 ( ，v g ) 一模糊子群；在五= l ，l a 1 10 的情况下，( ，v g ( a ，) ) 一模糊子群即为( ，vq ) - 模 糊子群因此，我们这里引入的( ，vg ) ) 一模糊子群是这些模糊子群的统一 4 给出了广义反模糊子加群、广义反模糊子半环和广义反模糊子环的定义及其等价 刻画利用反模糊子集和、差、积的定义，推导出广义反模糊子环的充要条件并讨论了 它的一些基本代数性质在此基础上，我们给出了广义反模糊左( 右) 理想、广义反模糊 理想、广义反模糊双理想、广义反模糊内理想的概念并研究讨论了它们的一些基本代数 性质和等价条件通过下截集和强下截集等概念对它们其加以刻画，进一步丰富和完善 了模糊环理论 6 第一章绪论 5 提出了毒，一e v q c , t , , ) ) 一模糊子环、，苫v 石( 名) ) 一模糊左( 右) 理想、( 苫，苫v 孑( 枷) ) 一模 糊理想、，三v ；础) 一模糊双理想、，三v 孑冀，) 一模糊内理想的概念，并讨论了它们的 多个等价条件，是前两章的延伸及拓展 6 。将广义重域引入模糊向量空间，首先定义了 ，e v q t 缸) 一模糊向量空间，给出了 它的一些等价刻颟( ，e v q c o ) 一模糊向量空间即为模糊向量空间。( ，)一模1) e v q t o o 5 ) 糊向量空间即为妊，v q ) 一模糊向量空间传，v 级。稿，) 一模糊向量空闻即为甜一模糊向 量空间因此，我们这罩引入新型模糊向量空间是这些常见模糊向量空间的统一，具有 较重要的学术意义 7 江南入学硕i ：学位论文 第二章预备知识 本章主要介绍与本论文有关的模糊集、粗糙集等方面鲰概念争结论。以及 其他一些相关理论及结论 2 1 模糊集方面的概念和结论 定义2 1 1 秘玎设五为一个菲空集合，为上的一个二元关系，若“s 满足： ( 1 ) 自反性：v a l ，a a ； ( 2 ) 反对称性：v a ，b 仨l ，a 篓b 且b a 奢a = b ； ( 3 ) 传递性：v a ，b ，cel ，a 6 ，b c ja c 刚称为上的一个偏序关系，( l ，) 为一个偏序集 1 9 6 5 年，l a z a d e h 给出了模糊子集的概念： 定义2 1 3 设x 为一个集合，称映射a ：_ o ，1 】为x 的一个模糊子集用f ( x ) 表示x 的所有模糊子集的集合，称f ( x ) 为x 的模糊幂集 对彳，b ，( x ) ，则有 a b 争彳( 石) 艿( x ) ，v x x ； an 召：( 彳1 3 艿) ( x ) = 爿( x ) 雪( x ) ，溉x ： au b ：( a u 艿) ( 石) = 么( x ) v 召( x ) ，v x x ： a 。：a 。( x ) = l 一么 ) ，v x a x ： 望4 ：( 9 4 ) ( x ) = , v t 4 ( x ) ，v x x ： 旭t 3 r 4 ：( 9 4 ) ( x ) 2 2 t a , ( x ) ，v x x 使 定义2 1 4 翔3 设x ，y 为两个集合，称x y 的模糊子集为x 到】，上的模糊关系 下面给出模鞭点的定义： 定义2 1 5 删设为一个集合，爿：x 一 o ，l 】为一个映射，若存在xex ，a ( 0 ，1 】 彳( y ) ：f 竺， j ，= x ， l 嚷y x 8 第二章预备知识 剡称么为x 的一个模糊点，记作矗 定义2 1 。6 鼬3 设苁为一个模糊点，ae 罗( x ) ，若a ( x ) g ，则称艺属予a ，避侬蠢a 。 定义2 1 7 侧设屯为一个模糊点，ae ，( x ) ，若口+ a ( x ) 1 ，则称艺重于a ，记作屯叫 若矗ga 且吒叫，则记作艺 q a 若ga 或吃卵，则记作v 叫。 于是模糊点我与模糊集a 便有四种邻属关系协4 3 ： a ，艺私， 叫，毛v 卵 若窿表示，g ， g ，v q 鼹种关系中的一种关系，即蹬 ，蟊a q ，gv q 。则 x q o r a 表示艺与a 有此种邻属关系，x , a a 表示毛口彳不成立，则有： a q a v q a ； x o 一v q a 艺荟 私 下面给出模糊予群的定义： 定义2 1 8 疆3 设g 为一个嚣，a f ( g ) ，v x ，y g ： a ( x y ) 么( x ) a ( y ) ； a ( x - 1 ) 么； a ( e ) 燃1 ； a ( x y ) = a ( y x ) 。 若4 满足条件，则称a 为g 的一个模糊子半群；若一满足条件、，则称a 为 g 的一个模糊子群；若名满足条件、 、，则称么为g 的一个模糊正规子群 下面给出广义模糊子群的定义： 定义2 1 9 设g 为一个群，a 是g 上的一个模糊子集，名， o ，1 】且五 v 盖么( x ) 声。 则称彳为g 的一个广义模糊子群 9 江南人学硕j j 学位论文 定理2 1 1 徊叼群g 的一个模糊子集彳为g 的一个广义模糊子群当且仅当对于 v 口( 五，】，以a 且为群g 的一个子群 定义2 1 1 0 设g 为一个群，彳是g 上的一个模糊子群，对于v a g ，x g ，如果 a a ( x ) = a ( a 。1 x ) ，a a ( x ) = a ( x a 一) ， 则称以和a a 是a 的模糊左陪集和模糊右陪集 定义2 1 1 1 嘲1 设g 为一个群，a ，( g ) ，若对口， ，q ，人g ，v q ) ，ra g 有： o a ( x y ) 彳( x ) 彳( y ) ； i i ) a ( x 叫) a ( x ) 则称么为g 的一个 ，) 一模糊子群 显然，a 为g 的r o s e n f e l d 模糊子群a 为g 的( ，) 一模糊子群 下面给出模糊集的截集、分解定理、表现定理和扩展原理 定义2 1 1 2 设g 为一个群，彳是g 上的一个模糊子集， 若口 0 ，1 ，以= x ga ( x ) 口 ，则称以为a 的一个口一截集； 若口 o ，l 】，鬈= x ga ( x ) 口) ，则称4 为a 的一个口一强截集； 若口 0 ，1 ，a 口= xex ：a ( x ) 口 ，则称a 口为彳的一个口一下截集； 一j一童 若口 o ，1 】，a 。= x x ：a ( x ) m 艇融l l 、 j 文。 7 = ，麓，驯y e 乩，v a ( y ) 硒 【0 ，l 】、 。 lj 月 = y ，a ) 拳r 一( 么) ( x ) 弹l x l # 、 即r 一( 爿) = u 名( 兄( j 名) ) c 丑毫豫l 】 ( 2 ) v x 颤x ， ( u 。力( 震一( 么孟) ) 。) ( x ) = u ( 2 ( 灾一( 么毒) ) 。( x ) ) , m 0 ，l 】, t e t 0 j 、 = ，j 五lx ( r 一( 彳五) ) 。 量基融1 1 、l 、 = ， 名l x 熙r 一( 彳_ ) 1 加1 0 】、i 、 墨：篡驯【x 】詹n 凡= 辨 名群【o ，l r 。j 代 = v l 名| v y e x r , b u tye2eo r 么嘉 ，l 】、 = 2 v 五f v y 【x l ，么( 力五) e o1 】、 lj 。 = ；釜，1 冀| y 【x 】露， 么( y ) 盖 船融l 】、。 t 】嚣 = a ( y ) = 咫( 彳) ( 工) y e x r 、7 即足( 彳) = u 名( 凡一( 彳，) ) 。 2 e 0 ，1 1 定理3 1 1 对于s 上的一个模糊子集4 下列命题等价： ( 1 ) 童是s 的反模糊子半群； ( 2 ) v 2 o ，l 】，当彳工囝时，彳五为s 的普通子半群； 一， 一葶 ( 3 ) v 2 氐 o ，l 】，当a a f 2 j 时，彳名为s 的普通子半群 证明：( 1 ) j ( 2 ) ： 由定义2 1 1 2 ，a a = x 颤s ：彳( x ) 旯 ，z 联 0 ，1 】 当a , t 季彩时，v x ，ye 么毒，剥彳( x ) 名，么( 夕) 盖，基瑟 a ( x y ) 墨a ( x ) v a ( y ) 五，所以z ，y ea a ，即z 名是s 的普通予半群 口 江南人学硕i 二学位论文 ( 1 ) ( 3 ) ：i 司( 1 ) j ( 2 ) ( 2 ) j ( 1 ) ： 若彳不是s 的反模糊子半群，贝f j3 x o ，y o s ，使得 a ( x o y o ) a ( x o ) va ( y o ) ，取口 0 ，1 ，满足 a ( x o y o ) 口 a ( x o ) va ( y o ) ，贝ua ( x o ) 货， a ( y o ) 口， 即x o a 口，y o a 口 又因为a 口为s 的普通子半群，所以a 口，a ( x o y 。) 口，矛盾 即a 是s 的反模糊子半群 口 定理3 1 2 设尺是s 上的同余关系，a 是s 的普通子半群，则r 一( 彳) 为s 的普通子 半群，当足( 彳) 囝时，足( 彳) 也是s 的普通子半群。 证明：( 1 ) 。a 是s 的普通子半群，则有o a r 一( 彳) ， r 一( 么) 囝 又。对于v 五，而尺一( 彳) ，【五】月n 彳= a 和【恐】片f 3a = g 现【五】月i 三ly l a ，现【恐】月且儿a 乃奶 _ 】月f 恐】月= 【五恐l 且m 托a ，最0 y , y 2 五恐l n 彳 【五恐】异n 4