（电路与系统专业论文）基于深度图象的3d曲面物体识别方法研究.pdf

摘要 三维曲面物体识别是计算机视觉领域的重要研究课题之，该 领域的研究个仅有重要的理论意义，而且在工农业生产和国防建设 方面白者的深远的垃用前景。t 三维曲面物体识别的一个关键问题是 如何建立一个有效的物体表示的问题。r f 深度图象中存储的景物表面的深度值，与灰度图象相比，深度 图g g ) - 析中没有由于光照的阴影及物体光滑表面上纹理( 图案) 所 产生的困扰，从深度图象数据巾可比较容易地求得有关物体的更加 可靠的几何信息。对于物体识别，若使用深度图象，则在深度图象 分析的基础上，可以使识别系统大大简化。入 我们在研究基于深度图象的物体识别方法的基础上，针对室内 条件下机器零部件的识别问题，设计并完成了一个曲面物体识别软 件系统。系统分为预处理、图象分割、特征提取、物体表示、识别 等几部分。曲面物体采用全表面属性关系图表示，物体的每个面为 属性关系图中的一个结点，曲面特征用以曲率及其分布为基础的 组几何特征描述，该组几何特征能较好地表示机器零部什巾的曲面 形状。识别部分，物体属性关系图与模型属性关系图的匹配，采用 了遗传算法以获得全局优化匹配结果，提高正确识别率。 该识别系统已在p c 机上进行，模拟，得到了较好的实验结 果，模拟程序运行稳定可靠，实验的重复性较好。 本系统的具体方案虽然是针对机器零部件类物体的识别设计 的，但其中的许多方法可用于其它比较简单的曲面物体的识别。 a b s t r a c t r e c o g n i t i o no fc u r v e dc o b j e c t si so n eo f t h ek e yi s s u e si nc o m p u t e r v i s i o n i ti s p r e s e n tn o to n l yi nt r a t i o n a la p p l i c a t i o n s s u c ha si n d u s t r i a l o b j e c tr e c o g n i t i o na n dl h c er e c o g n i t i o n ，b u t a l s oi ne m e r g i n ga p p l i c a l i o n s s u c ha sn a v i g a t i o na n dm a n i p u l a t i o n t h ek e yt ob u i l d i n gap r a c t i c a l r e c o g n i t i o ns y s t e mi st od e f i n es u i t a b l ep h i e c tr e p r e s e n t a t i o n s i nar a n g ei m a r e t i l ev a l u eo f e a c hp o i n tr e p r e s e n t st h ed i s t a n c et o a0 h y s i c a is u r f a c ef r o mak n o w nr e f e f e n c es u r f a c ew h i c hi si i t t l ea f f e c t e d b yi l l u m i n a t i o no rt e x t u r e ，s o ，i t se a s i e rt oe x t r a c tu s e f u lg e o m e t r i c a l i n f o r m a t i o n sa b o u tt h ep h y s i c a is u r f a c ef r o mar a n g ei m a g et h a nf r o ma i n t e n s i t yi m a r e t h e r e f o r e 。t i l es y s t e mo fo b j e c tr e c o g n i t i o nn l a yb e s i m p l i f i e dw h e nr a n g ei m a g e sa r ea d o p t e d o nt h eb a s i so f t h er e s e a r c ho f o b i e c t sr e c o g n i t i o nt l m mr a n g ei m a g e s w eh a v e d e s i g n e d a n d a c c o m p l i s h e d a s y s t e m o fc u r v e d o b j e c t s r e c o g n i t i o n w h i c hi sa i m c d a tt h cr e c o g n i t i o no fm a c h i n e p a r t si n d o o r s o u r s y s t e m c o n s i s t so f p r e p r o c e s s t i o n ，i m a g es e g m e n t a t i o n ，f e a t u r e e x t r a c t i o n ，o b j e c t sr e p r e s e n t a t i o n a n d r e c o g n i t i o n c u r v e do b j e c t i s r e p r e s e n t e db y aa r g ( a t t r i b u t er e l a t i o n a lg r a p h ) ，a n de a c hf a c ep a t c ho f t h es u r f a c eo f 协eo b i e c ti sr e g a r d e da san o d ei nt h ea r g t h e c h a r a c t e r i s t i co fc u r v e df a c ei sd e s c r i p t e db ya g r o u po f f e a t u r e sb a s e do n i t sc u r v a t u r ed i s t r i b u t i o n s i nr e c o g n i t i o n g e n e t i ca l g o r i t h m si sa p p l i e d t ot h eo p t i m a lm a t c h i n gb e t w e e ns c e n ea r ga n dm o d e la r g st oi m p r o v e r e c o g m t t oa c c u r a c y t h er e c o g n i t i o ns y s t e mh a sb e e ns i m u l a t e do f f ap cm a c h i ea n d p r e f e r a b l e r e s u l t sh a v eb e e ng a i n e d t h es i m u l a t t i n gp r o c e d u r ew o r k s t a b l l ya n d t h ee x p e r i m e n t sc a nb ew e l lr e p e a t e d t h o u g ht h es y s t e mi sd e s i g nf o rt i l er e c o g n i t i o no f m a c h i n ep a r t s m a n ym e t h o do fi tc a nb ea p p l i e dt or e c o g n i t i o no fo t h e rs i m p l ec u r v e d o b j e c t s 致谢 短短的硕士生涯即将结束，回首三年来走过的道路，感激之情 无以言袁。 首先，我要感谢我的思师程义琵老师和王以孝老师，我能顺利 完成这三年的学习和研究工作，并取得很大的进步和提商，这一切 全离不开两位恩师的悉心指导和不倦教诲。从如何查阅文献、如何 选题立项，到如何发现问题、解决问题直到如何撰写论文， 恩师一步步引导我走上正确的治学道路，是他们呕心沥血的培育， 才使我在研究方法和业务素质上获得长足的进展和提高。恩师言传 身教不仅是治学的方法，还有做人的道理，程老师的工作作风极其 严谨、求实，王老师渡人如春风化雨，这一切都给我以深刻的启迪 和影响，会使我受益终生! 衷心感谢你们! 我将铭记你们的谆谆教导! 其次，我要感谢庄镇泉教授、戴蓓倚教授、冯焕清教授、郭立 教授、朱领娣老师以及电子科学与技术系的其他各位老师，是他们 的辛勤工作和无私奉献精神，激励我更加努力地学习和钻研。这里 还要特别感谢朱老师，感谢您在这三年中在学习和生活上所给予我 的慈母般的关怀和帮助! 再次，我要感谢我的亲人和朋友们，感谢你们对我的工作所给 予的理解和支持，你们的宽厚的关爱永远是我的力量之泉! 另外，我还要感谢我的同学们：张冬青。朱俊株、罗瑞江、沈 勇、张海宏、傅庆冬，许文杰，几年的朝夕相处，你们的勤奋与乐 观向上的精神时感染我，激励我前进，谢谢你们! 丁红侠 1 9 9 9 年5 月 第一章引言 第一章引言 物体识别是计算机视觉研究领域的重要课题之- 一，该领域的研 究不仅有重要的理论意义，而且在工农业生产及国防建设方面有深 远的应用前景。该研究领域发展的主要趋势是从二维物体识别l l - 2 l 到三维物体识别1 3 - 4 1 ；从多面体类物体识别到曲面物体识别1 5 - 6 1 ；从 室内环境物体识别到自然景物识别。三维曲面物体识别因其复杂性 其识别方法的研究有一定的挑战性，该领域的研究成果可应用于工 业零部件检测、视觉指导卜i 的自动装配、人脸识别、机器人视觉、 自动导航等领域。 根据d m a r t 的视觉计算理论i ”。视觉信息可用三级表象来描 述，即要素图、2 5 维图和三维表象。其中，要素图主要把图象 中的重要信息，如图像中强度变化的位置及分布等几何信息及组织 结构表达清楚；2 5 维图是在以观察者为中心的坐标系中，将可见 面的表面朝向( 表面方向图象) 、深度( 深度图象) 等2 5 维信息 及它们的不连续轮廓表达清楚：三维表象，是在以物体为中心的坐 标系中，用含有体基无、面基元等模块化分层次表篡来描述彤状及 形状的空间形式。若以2 ，5 维圈为基础研究幕予深度图象的三维物 体识别方法，可使识别系统简化，提高系统的效率。 灰度图象中存储的是景物点的“强度”，它反映景物点的亮度 及纹理的变化，在以纹理、灰度等特征为主的二维物体识别中，可 获得较好的结果降删。但是，当从灰度图蒙识别3 d 物体对，由子从 灰度图像数据中较难抽取比较可靠的、有关物体的三维几何信息， 因此，识别的过程比较复杂，而且识别精度常不能保证。如 a c r o n y m 识别系统”由灰度图象识别3 d 物体，该系统景物和模 犁以广义柱表示，并采用了分级匹配的镱略，即根据预测，采用金 字塔分级结构广义柱模型与景物进行匹配，在多数情况下都能实现 有效识别，但景物的理解及解释主要依赖于从灰度图象提取出来的 广义柱及其之闯的夹角及长度等，这种二维特征受观察方向的影响 较大，当观察方向与广义柱士轴夹角较小时。由透视变换产生的长 度或角度的畸变超出一定范围时，物体的识别就比较困难。 心理学的研究表明o z l ，人类的视觉系统在理解及识别物体时， 应用了大量的基千视觉的深度信息，如双眼透视f i l l 、运动视差 等。这给研究人员一个重要启示：可直接从深度信息出发，研究 基于深度图像的物体识别系统。 在深度圈象中，由于有直接可以利用的2 5 维信息及较可靠的 深度数据，且深度数据独立于光照及物体表面的光反射特性，与灰 度图象相比，深度图象分析中没有由于光照的阴影及物体光滑表面 第一章引言 上纹理( 图案) 所产生的困扰，因此，从深度图象数据中可比较容 易地求得有关物体的更加可靠的几何信息，对于物体识别，若使用 深度图象，则在深度图象分析的基础上，可以使系统大大简化。 三维物体识别的一个关键问题是如何建立一个有效的物体表 示的问题。a l e o n a r d i s i ”i 用曲面拟合方法，将深度图象中的曲面物 体的曲面表示成一个超二次曲面，k i k e u c h i f ”1 则将物体图象表面 映射成高斯球上的结点网格，并透过景物与模型的这种高斯球面表 示进行匹削。idr e l d i 埘等采用“飞边”渊表示方法较好地实龇 了工业机械类物体的识别。 多面体类物体在图象中表现为平面、边和顶点的集台，无论是 选择面、边还是顶点作为特征基元，基元的特征都是比较容易提取 的，如可采用边的幅度、面的面积、夹角、顶点处的交叉数等作为 基元特征。 在本系统中，我们先抽取出曲面物体各面的局部曲面特征，将 物体表示成一个属性关系图a r g ( a t t r i b u t er e l a t i o n a lg r a p h ) l n j ，再 通过景物属性关系图与模型属性关系图的匹雕来判断物体的类 犁。微分几何表明，三维曲面物体表面的曲率是物体表面的固有 特性，它独立于物体旋转、位移和参数化方法，因此，曲面物体表 面的曲率特征可用来表征表面。我们首先用局部拟和的方法求出表 面上各点的曲率，得到表面的曲率图象，然后对曲率图象进一步抽 取了多个特征，如：曲率平均值、曲率直方图、曲率的熵、脐点分 布等，这些特征分别从不同的角度描述了曲面的形状特性， 基元( 表面) 之间的关系即整个物体的结构用属性图的拓扑结 构采表达。景物类型的判断是通过景物属性关系图与模型库中的模 犁属性关系图的匹配进行的。 我们在研究基于深度图象的物体识别方法的基础上，针刘室内 条件下机器零部件的识别问题，设计并完成了一个曲面物体识别软 件系统。系统分为预处理、图象分割、特征提取、物体表示、识别 等几部分。曲面物体采用全表面属性关系图表示，物体的每个面为 属性关系图中的一个结点，曲面特征用以曲率及其分布为基础的一 组几何特征描述，该组几何特征能较好地表示机器零部件中的曲面 形状。识别部分，物体属性关系图与模型属性关系图的匹雕，采用 了遗传算法以获得全局优化匹配结果，提高正确识别率。 上述曲面物体识别系统已经在一p e n t i u mi ip c 机上进行了模 拟，并得到了较好的识别结果。 下面介绍一下论文的结构安排： 第一章引言 第一章为引言，第二章为深度图象。包括深度图象的成象原理， 深度图象识别的常用方法等。第三章介绍了曲面曲率计算的理论基 础。第四章为系统概述。第五章介绍了图象分割的相关内容。第六 章较详细介绍了用以描述曲面的各种特征及其抽取方法。第七章物 体表示，介绍了属性关系图( a t t r i b u t er e l a t i o n a lg r a p h ) 及曲面物体 的属性关系图表示。第八章介绍的是采用遗传算法进行属性关系图 的匹配。第九章、第斗章分别给出了实验结果和结沦。 第二章深度图象 第二章深度图象 深度图象数据为景物点到菜成像平面的距离，深度图象包含景 物可见表面的形状信息。这一章简述深度图象的表示成象原理、深 度图象的特点以及基于深度图象的物体识别的基本方法。 2 1 深度图象及其表示 在3 d 视觉中，深度图象可看成由方程= ：f ( x ，y ) 表示的曲面上 所测得的数据点的集合，这里，z 及y 平行于图象平面，= 为测得的 深度。 图象函数厂( x ，力常被看成非负有界的连续函数，即对所有的 ( 薯y ) 有0 ，y ) 蔓m 。习惯上催设f ( x ，y ) 是可解析的，如这些函数 是可积的，具有可逆的傅立叶变换等。 在计算机处理时，深度图象常被看成为一个整数矩阵，t y 取 整数，即有：0 x 删一1 ，0 y 疗一1 ，x ，y e l ；f ( x ，y ) 被量化到0 1 整数值，称该整数矩阵为数字深度图象，常记为 f o ，) ，0 i m 1 ，0 _ ，兰拧一i ，0 f ( x ，y ) ，一i 。其中。矩阵元素称为 象素或“点”，厂( ，) 称为( f ，) 点的深度数据，m 力表示一幅深度图 象数据的数目，是图象大小或“尺寸”的标志。 2 2 深度图象的生成 从数字成象系统可以获得数字陶象。图象的成象原堙一般可分 为两类：一是由物体辐射信号或物体表面反射生成图象，成象设备 不发出信号，如摄象机，热象机等；另一类是由成象设备发出一束 信号，通过接受从物体表面反射回来的，或穿透物体的该信号生成 图象，如激光雷达，c t 成象等。用这两类基本成象原理都可得到 深度图象数据。下面简要介绍几种常用的深度图象生成系统的成象 几何原理，以及象点与对应景物点的简单几何关系。 ( 1 ) 摄象机成象 在一阶近似的条件下，摄蒙机所成的簸，可以看成三维景物在 成象平面上的透视投影。如果摄象机聚焦中心在( o o ，) ，摄象机光 轴与= 轴重合，所得坐标系如图1 1 所示，常称为摄象机坐标系。 从图i 1 可知，任一空间点烈x ，y ，若其在图象平面上的对应象点 为( x ，y ) ，则二者之间有如下关系： 第二章深度图象 xr yy 7 一一 j 一：，f j ，f zf 即： xr ：三。，：兰 ；一2 。 f z 其中，为摄象机焦距。 单眼摄像机常生成灰度图象，其中不包含可直接应用的深度信 息。模仿生物通过双眼获得景物深度信息的功能，利爿j 双眼或多眼 摄像机系统所产生的视荠，可获得深度数据，见仁卅 圈21从双眼抉得深艘数据的系统示意圈 ( 2 ) 深度传感器成象 深度传感器成象，常采用扫描方式。在给定的坐标系中，任一 空间景物点( x ，y ，z ) 的象点位置o ，) ，可由该点到传感器的距离d ， 波束( 激光束) 方向( 破印用下式求出： x = d 曲口 y = d c o s 庐c , o s o z = d s i n c o s 0 其中，口分别是波束方向的垂直水平扫描角，d 为传感器( 如激 光扫描器) 剑“弘力点的距离，可以测出。角度以口与深度图象 ，( ，_ ，) 中的对应点( f _ ，) 有如下关系： 口= 0 0 4 - i a 0 垂= 垂，七j 枣 这里矿。，6 i 。是起点，= o = 0 时的扫描角；破口分别是两个连续列及 行间的角步长。 其它常用的获取深度图象的方法有： 第二章深度图象 ( 3 ) 雷达成象 通常，雷达系统依赖于发射电磁波和接收回波信号而生成深度 图象，其图象的获取是靠测量发射脉冲与脉冲回波的问隔时间，即 r ：a txc 2 得到的这里的。为光速，血为间隔时间，r 为深度数据。整幅图 象的获取是由扫描完成的，包括发射激光束扫描及接收显示系统的 扫描。该波段信号在空气中衰减很少，且能穿透云层和雨区，即能 全天候工作，因此在国防领域得到广泛的应用，比如用丁地貌分 析、目标识别等。 ( 4 ) 结构光成象 结构光成象是7 0 年代发展起来的直接获取深度图象的方法， 基本思想是用结构光投影的几何信息求得景物的深度信息。一个简 单的情况是，投影一已知光平面在景物上形成一“亮条”，该光平 面在图l 。l 的摄象机坐标系中可表示为： “+ 十+ d = 0 景物上这一亮条上的点都以上满足约束方程。由摄象机成象原理 知，任一空间点与象点在摄象机坐标系中有如下关系： x ，= 卫 一z y = 为 由以上的二个方程可求出z 来。 ( 5 ) m o i r e 技术 m o i r e 技术是通过光学系统将高密度光栅投影到景物上，通过 与成象系统中相同光栅干涉生成m o i r e 条纹，从条纹的位置或相位 变化来求得深度数据。这种方法可得到较高精确度的数据，因此 m o i r e 技术常被用来检测曲面物体的表面形状。 2 3 深度图象的特点 从以上介绍可知，虽然为了显示的方便，深度图象一般表示成 灰度图象的形式( 即对深度图象进行量化) ，但深度图象中各点存 储的是一种“距离”值，按照d m a r r 的视觉计算理论，这是一种 2 5 维信息。它独立于光照驶物体表面的光反射特性，与灰度图苏 第二章深度图象 相比，深度图象分析中没有由于光照的阴影及物体光滑表面上纹理 ( 图案) 所产生的困扰，因此，从深度图象可以比较容易地求得有 关物体的更可靠的几何信息，正是因为如此，深度固象分析越来越 受到计算机 ! ! l ! 觉、图象分析等领域研究t 作者的重视。 2 4 基_ 深度图象的物体识别 图象的理解和物体的识别可看成一些处理过程的循环，首先要 有一个可以存墩的存储体，用它来存储物体的表示( 模型) ，建模 及存储过稃实际上是一个学习过程；识别过稃可以被看成一个“匹 配”过程，在这个过程中，观测得到的数据，经过处理，进而与存 储体内的物体模型表示相匹配，以期得到识别结果。在计算机执行 过程中，模型常被表示成一个数据结构，匹配过程可以被映射成 个算法。 深度图象的识别与理解，模型及特征的提取都来自深度数据， 与灰度图象相比，有更多、更可靠的信息，从而可以减少识别及理 解过程中的小确定性。 深度图象识别常用的基本方法包括以下几种： ( 1 ) 特征矢量表示的物体识别 特征矢量表示的物体识别是物体识别最常用的方法之一，在这 种方法中，要分析物体图象，续选择提取能反映图象特点的重要特 征，将图象表示成一组数或一个矢量，所有图象的特征矢量构成图 象的特征空间，然后采用特征空间聚类、判决树搜索或其它方法识 别物体的类型。 在这种方法中，常用的特征有体积( 面积) ，表面积( 周长) ， 主轴长度，惯性矩，孔洞数日，角数日。 由统计识别方法。对识别孤立的二维物体常是自效的，二兰维物 体，对于识别部分遮挡的物体，由于不能从图象中得到物体的全部 特征，常不十分有效。对三维物体，可用视球( v i e w s p h e r e ) 或特征球 ( p r o p e n ys p h o r e ) 模型，将其用特征矢量震示，但三维物体用上述方 法识别还是有困难的。 ( 2 ) 姿态聚类 在一阶近似的条件下，三维物体可以看成是三维物体在图象平 面上的透视投影，在三维空间，物体的位置、方向不同，即物体的 第二章深度图象 姿态不同，所成的图象也不同，因此三维物体模型到物体的成象姿 态的变换矩阵常称为姿态变换( p o s et r a n s f o r m a t i o n ) 矩阵。 从深度图象中，可以得到物体的几何特征：顶点、边( 线段) 、 法矢、小块表面、体基7 亡的坐标及数学描述。这样，物体的识别就 成为从物体中得到几何特征，在物体模型库中寻找与其匹配的物体 模型并求得相应的姿态变换矩阵。姿态聚类( p o s ec l u s t e r ) 也称广义 h o u g h 变换，是基于这样的考虑；对于刚体在二维或三维空间的几 何变换，所有的点、边等几何特征的变换，可用同一个变换矩阵来 描述。如果矩阵有m 个参数。则该矩阵对应于掰维空闻的一个点。 这样，由模型特征和从图象数据得到的景物特征求得的变换矩阵， 若模型特征与景物特征匹配是正确的，则这些变换矩阵对应于m 维 空l 、日同一点；若匹配是不正确的。则所得变换矩阵偏离该点。由多 组模型及景物特征，可求得多个变换矩阵，正确变换矩阵聚类到m 维空间的一个点及其邻域。类似h o u g h 变换的累加矩阵，用m 维 累加矩阵来记录相应点对应的变换个数，可从m 维累加矩阵中搜索 到姿态变换矩阵。这样就得到了待识别物体的类型及其在真实世界 中的姿态、位置。 姿态聚类的方法是根据景物及模型的局部特征及局域几何信 息，将2 d 及3 d 的匹配问题变换为参数聚类问题，从而识别物体 及其在真实世界中的姿态、位置。由十变换矩阵是从多个候选矩阵 中检出来的，因此也可在由于遮挡，或特征提取不完全而缺少某些 特征，或由于噪声其它物体存在有多余特征时识别物体及成象姿 态。姿态聚类的方法对识别3 d 多面体物体通常是有效的，但是， 对于三维曲面物体，接边、角信息不明显确，特征基元的精确坐标 和数学描述较难获得，罔这种方法进行有效识别也是有困难的。 ( 3 ) 超二次曲而表示的物体识别 人类在认识物体的学习过程中及识别物体的辨认过程中，常自 然地将物体看成为几个部分按一定结构的组合。受人类认识及识别 物体这一过程的启发，在物体识别中，可将复杂物体表示成多个零 件( 称为基元或几何离子) 按一定结构的组合。体基元可用二次曲 面建模。经过建模后，各基元的形状发在空间的位置和姿态，可由 - - n 参数完伞确定。 景物图象的每一局部区域对应一体基元，识别该基元就是求得 与局域图形最优拟合的优化问题。拟合的过程一般是这样；先用假 定参数构造三维超二次曲面体基元模型。然后，根据直的成象 系统模型及传感器特征，构造深度图象。由于周了成象系统模型， 第二章深度图象 因此能较正确的反映透视、表面形状畸形等效果。对比由模型生成 的深度数据与原始图象局域图形的深度数据，计算这一组参数的拟 合精度( 匹配误差) 。若精度不符合要求，则可改变参数值，重复 上述过程直到求得最优拟合的基元参数表示。 求得所有局部区域及其邻域摹元的参数表示后( 可能有互相重 迭) ，整个物体可由这些基元组合，用与前面类似的方法，在整个 物体所在的区域( 孤立区域) ，求得全局最优拟含的最少基元组合 集。 最后，将物体的基元组合表示与模型库匹配，则可识别该物 体。 以超二次曲面表示的物体识别一般要求在图象中能观察到物 体的全部特征，当由千噪声和遮挡使特征部分可见时，会给识别 造成很大的障碍。 9 第三章微分几何及曲面的几何特征 第三章微分几何及曲面的几何特征 曲面的曲率是与曲面的旋转、位移和参数化方法无关的几何 量，它反映了曲面的固有特性，因此，在曲面物体的识别中，可用 曲率特征来描述 肄i 面。这一章简要介绍一下微分几何中有关曲面的 曲率计算方面的内容。 3 1 曲面的定义及其参数表示 设 o , , x - y z 是e 3 中的笛卡尔直角坐标系，而 lx = x ( u ，) y = y ( u ，1 ，) ( 3 1 ) l z = z ( u ，v ) 都是却、v 的单值连续函数，设它们的定义域是计平面r ：中的一个 单连通的开区域d ， ( 3 1 ) 给出从d 到e 3 中的一个连续的、一 在上的映射 ( v ) 辟( v ) ，y ( u ，v ) ，z ( “，v ) ) 在此映射下，d 的象就称为e 中的一个简单曲面，记作s 。 ( 3 i ) 常写成向量形式 ，= r ( ”， ) = x ( “，1 ，) y ( u ，v ) ，2 ( “，v ) ( h ，v ) d ( 3 2 ) 其中向量，( 蚝v ) 是曲面s 上任一点p ( x ，弘z ) 的向径，方程( 3 1 ) 、 ( 3 2 ) 称为曲面s 的参数表示或曲面s 的参数方程，( ，v ) 称为曲面 s 的参数或曲线坐标。 如粜f3 1 ) 或者( 3 2 ) 中的函数有直到k 阶的连续偏导数， 则把曲丽s 称为c 。类曲而( 或光滑曲而) 。 曲面示煮图 第三章微分几何及曲面的几何特征 3 2 1 曲面的第一种基本形式 存方向( k ，v 。) 南点( 巩v ) 计算参数化曲而，( “，v ) 的第一种基本形 式i 南下式给m ： i ( ，v ，h ；，匕) = = ( “；+ v 。) ( 气吒+ 1 ，；) = 气。+ 2 屹。“。v 。+ 。v ； = e u z , + 2 f u ；k + 雕 ( 3 3 ) - 匕按芝e j = u i y 】u 。 式中，u 。= ( “，v ) ，【y 】矩阵元素分别为： 9 1 1 = e = 乞。丘9 2 2 = g = ， 9 1 2 2 9 2 17 - - f 2 毛。 下标表示偏微商： ( m ，v ) = _ d r ，( h ，y ) = d = r 一 矢量气，分别为“切矢量函数和v 切矢量函数，它们彼此可能正交， 也可能不正交。这两个切矢量位于表面点r ( u ，v ) 的切平面( 或口切 空间) 内并形成一个基： t ( u ，v ) = ，r3 ：r = 棚二( 坞v ) + 6 0 ( 坞v ) ( 口，6 ) r 2 ( 34 ) l 岛，9 1 2l 矩阵成称为第一种基本形式旬矩阵或表面的矩阵张； l 9 2 】罟五j 量，因矢量点乘是可交换的，故该矩阵是对称的，且只有三个独立 分量。 第一种基本形式i ( b ，) 是在给定参数平面方向( 略，匕) 上有 小运动量d s 时，测量表面点( “，) 上的小运动量1 2 。在表面参数化 方法改变、表面平移、旋转时。这种形式并不随之改变。这种形式 仅依赖于表面本身，与表面如何嵌入三维空间无关，它体现表面的 周有性质，即内在性质。实际上，龉数f ，f ，n 确定了表面的所有内 在性质，因此，称为表面的第一基本量。 3 2 2 曲面的第二种基本形式 曲面的内在性质由曲面的第一种基本形式完全确定，它只与曲 面本身有关。曲面除了内在性质外，还有其它的几何性质，这就是 所谓的曲面的“外在”性质，即仅用第一种基本形式不能完全确定 的性质。它与曲面所在的外围空间有关，例如曲面在一点的形状， 第三章微分几何及曲丽的几何特征 故称为表面的非固有性质或面外在性质。 第二种基本形式i i 由下式给出： n ( 材，1 ，甜：v ：) ：k 。拧 = ( p 。u ：+ 2 p ，1 3 钌。+ 号。缸i ：) v = a u ；+ 2 m o 。面4 n m 。 - 【u 。窃般婶：1 5 = d ；吲u 。 式中，例矩阵象素分别为： 6 i j = 上= 乞雄，6 z 。= n = o 。一 6 12 = 6 2 ，= ，2o n 而： 砌5 尚 ( 3 6 ) 为表面单位法矢。 这里，双下标表示二阶偏微商，即 伊r伊r扩r 2 8 u z 2 万2 石瓦 j6 1 ，2j 为第二种基本彤式矩阵，若：，则这个矩阵也是 l 0 2 19 日j 对称的。厶m ，n 的引入方法与前面第一种基本形式中的e ，f ，g 的引 入方法类似称为，第二基本量。在参数化方法、表面的方向和位 置改变时，表面的第二种苯本形式也是不变的。 由于一与o 都是正交的，故有： 0 = ( 疗) f = n i 7 ；+ 撑r s s = 0 也就是说： i i ( 鸪m “。，匕) = 咚o r , 因此，第二种基本形式是度量在表面点( 地v ) ，由于参数空间 ( “以) 上的变化d s 所引起法矢打的变化和表面位置t 变化见的负相 关关系。由于n n ：1 ，珥n ：0 ，放法向矢量的微商总是位子切平面 t ( u ，v ) 上。 第二种基本形式刻画了曲面离开切平面的弯曲程度，即刻画了 曲面在空间的弯曲性。 3 3 曲面的曲率 3 3 1 高斯曲率和主曲率 第三章微分几何及曲面的几何特征 形状算孑矩阵【s 】是两个矩阵相乘，它将第一种和第二种基本形 式矩阵联成一个矩阵： 嗍= = 瞄纠二讣示i 矿f 烹- 一f 兕mg 驯m 一- 蹦f n | 7 ， s 】是一线性算子，它将切平面内的矢量映射到表面每一点的切 平面中的其它矢量。 曲面的高斯曲率函数k 定义为： 朴a e t 噼刖a e c ( 瞄船筹 8 ， 表面的平均曲率函数h 定义为形状算了矩阵的迹的一半，即 = 扣牛；护【面1 言甓嚣一z0 e ， g 一2 月m = 一 2 ( e g f 3 ) ( 3 9 ) 表面的曲率函数k ，h 是2 x2 的形状算了矩阵的两个“固有”的代数 不变量，且它们独立于参数化方法。 3 3 2 主f f i 率和脐点 主曲率反映了曲面上各点沿不同的方向弯曲的程度的大小。 若，( 曲为位于表面r ( u ，v ) 的曲线的参数化方法，则可写出作为一 条曲线和作为一个曲面的一部分r 的的微商： ( ( s ) = “j ) f ( s ) k ( s ) = v 。( 0 f ( 曲+ j r ( s 如2 ( 5 ) 哦s ) ( “( s ) ，“s ) ) = “。屹+ k = 气+ v 。+ k + 2 k + ，w 若将表面单位法矢呔域s ) ，“s ) ) 与曲线的单位法矢刀( s ) 对准，取这两个 法矢点乘，即得到法向曲率函数r ： 芷。( “，v ，呱s ) ，v ( 。) = ；：! 鬻 ( 3 1 0 ) j ( 职v ，矾5j 1 ，【s 位于表面的曲线的速率| 1 】v 是由第一种基本形式确定的，即 r 2 ( “( 5 ) ，“s ) ) = k ( “( ，v ( s ) ) 1 1 2 = i ( b ，1 ，( s ) ) ( 3 ii ) 利用二次型符号及u = ( “，v ) 和u 。：( ”拈) ，( s ) ) 重写公式( i oj 第三章微分几何及曲面的几何特征 可得到如下表示： k 小艘，= 嚣案 法向曲率值在点( 。，v ) 的最大、最小值，须满足条件善：0 。应用 c j u 一 商的微分规则，可以得到 拿立= ( u ；【丫( u ) 】u ；) 2 【p ( u ) 】u ；一( u ；【p ( u ) 】u ；) 砸y ( u ) 】u ；= o ( 3 13 ) l = u 一 这表明 ( 3 1 4 ) 解x 。的最大值和最小值即解广义本征值问题名x ：九敝，由于对任何 非退化的( n o n d e g e n e r a t e ) 参数化方法而言，总是非奇异的，矩 阵与标量可交换，因此，此问题即转化为个标准的本征值问题： 烈u ) 】u ；= k n u ； ( 3 1 5 ) 着r 给定如前定义的h = 妻护( s ) 和r ：d e r s ) 这一问题很容易用 z 平方公式解得本征值，即最大和最小主曲率： 莨，= + 日2 一k ( 3 】6 ) 1 c ：= 日一厨 嘲的本征矢量是在( “，v ) 参数平面内的方向，在这些方向上，法 向曲率函数达到最人值和最小值。”一v 平面内与主曲率k ，和，c ，相对 应的非正则方向矢量u ，和u ，由下式给出： 一， r c , f i $ 一f n 。卜j 。l ( e 一g l ) + g 厅i j ( 3 1 7 ) u ，：i i ：i ( 驯一说) + 譬妇2 i l v 2 j l 儿一k m j 式中，g = e g f 2 。这两个方j 旬矢晕在( 参数平面内通常是不正 交的。这是由于就表面参数化方法而言，2 2 的形状算子矩阵不是 对称的。但形状算子本身对三维切平面中的三维主方向矢量是正交 的。这一正交性质可由毛x ，：o 直接证明。这里， ，x ：为三维空间 的非正则最大和最小主方向矢量，由下式给出： 毛2 ( 均x “+ v l x v ) ( 3 1 8 ) 吃一( 吩3 气+ 1 2 x ，) 曲面的主坐标架( p r i n c i p a l f r a m e f i e l d ) p h ( 嘎”，v ) ，黾( ”，) ，口，“、，) ) 给 出，其中 第三章微分几何及曲莉的几何特征 铲南 ( ：= i _ 2 ) 若v = c o s 0 e 。+ , s i n o e ：为某点切平面内任一单位方向矢量，则( “，d 点 v 方向的法向曲率k n ( ) 为0 和主曲率的函数，即 k 。( 群，b e ) = kj c 0 8 2 e + 耗2 s i n 2 0( 3 ，1 9 ) 若在曲面上某点，c ，= k ，则这一点称为脐点，它表示主曲率相 等且每个方向都是主方向。脐点的法曲率函数是一个与方向无关的 常数，这是由于c o s 2e + s i n 2 0 ：1 的缘故。一个脐点的邻域必定是局部 甲坦的或是球面的。 在小范围局部为平面型和球面型的曲面上，处处是脐点。在没 有平面和球面的曲面上也存在着孤立的脐点。孤立脐点一般有三种 类型，星型( s t a r ) ，柠檬型( 1 e m o n