（基础数学专业论文）亚纯函数值分布论和circle+packing理论.pdf

亚纯函数值分布论和c i r c l ep a c k i n g 理论 基础数学专业 研究生黄小军指导教师顾永兴 本文主要研究亚纯函数的值分布正规族理论及其c i r c l ep a c k i n g 理论。 全文共分四章 第一章我们给出本文中要用到的一些基本知识z 亚纯函数值分布论的基础 知识和复分析里的一些结果 设芦是区域dc c 内的一族亚纯函数如果对于芦中的任何序列厶， 一定存在个子序列厶。使得厶在d 内按球面距离内闭一致收敛到一个亚 纯函数或内闭一致收敛到无穷，则称，在d 内正规 第二章我们研究正规族在正规族理论中，寻找薪的正规定则是一个重要 的课题在这一章中我们获得了一些新的正规定则，本章共分四节 在2 1 节和2 2 节中，我们给出正规族理论的基础知识和一些已知的结果 在发现z a l c m a n 引理以前，正规族理论中所惯用的方法是先建立界囿定理，再 消去原始值而z a l c m a n 开辟另外的途径，从m a x t y 正规定则出发建立了一 族亚纯函数不正规的一个充要条件。我们称之为z a l c m a n 引理在2 3 节中， 我们详细地介绍了z a l c m a n 方法及其发展 在2 4 节中，我们把已有的正规定则的条件中涉及函数取复数值与否的问 题，改为函数取全纯函数与否的情形其中主要困难在于当复数换成全纯函数 时。对其零点的处理问题我们综合运用了正规族理论中已有的各种方法，克服 了在零点处的困难，获得了一些正规定则。其中包括定理2 4 4 ，定理2 4 7 定理2 4 8 、定理2 4 1 0 定理2 4 1 1 定理2 4 1 2 和定理2 4 1 4 等 第三章，我们主要研究亚纯函数的值分布设，( 2 ) 是开平面上的超越亚纯 i 第i i 页四川大学博士学位论文 函数。h a y m a n 证明了函数，l ，取任何有穷非零复数无穷多次，其中n 3 为自然数1 9 7 9 午，e m u e s 证明了n = 2 时亦有与h a y m a n 相同的结论但 e m u e s 得到的是个定性的结果后来，张庆德得到了个定量的结果在 本章中我们把e m u e s 和张庆德的结果关于函数的一阶导数推广到了一般的女 阶导数，得到如下的结果： 。设( z ) 是开平面上的超越亚纯函数，七是一正 整数，则t ( r f ) 6 n ir 7 瓦i 彳 + s ( r ，) 。 jj一, i t ， 第四章，我们研究c i r c l ep a c k i n g 理论该理论是近二十年来新兴的个 复分析方向的分支。它最原始的想法是由t h u r s t o n 在1 9 8 5 年提出在本章 中，我们考虑用椭圆去填充一个有界单连通区域。得到了一列定向同胚映射 我们证明了这列同胚映射逼近个从单连通区域到单位圆的拟共形映射并且 证明了当椭圆的长轴与短轴之比趋于无穷时，相应的拟共形映射的复伸缩商趋 于1 在4 5 节，我们运用c i r c l ep a c k i n g 理论中的方法和技巧，对单复变函 数论中经典的s c h w a r z 引理绘出了一个新的证明。并且把s c h w m z 引理的结论 推广到了亚纯函数和多连通区域的情形同时，我们还给出个例子说明我们 定理中的条件是必要的 关键词t亚纯函敷。值分布。正规族。n e v a n l i n n a 理论，c i r c l ep a c k i n g 。 拟共形映射。s c h w a r z 引理 第i i i 页 v a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o na n d c i r c l rp a c k i n gt h e o r y g r a d u a t es t u d e n t ：h u a n gx i a o j u n s u p e r v i s o r ： g uy o n g x i n g i nt h i st h e s i sw em a i n l ys t u d yv a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r yo fm e r o m o 州c f u n c t i o na n dc i r c l rp a c k i n gt h e o r y t h i st h e s i si sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 w es t a t es o m eb a s i ck n o w l e d g eo nv a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r y a n ds o m ec l a s s i c a lt h e o r e m sw h i c hw i ub eu s e di nt h et h e s i s l e tfb eaf a n f i i l yo ff u n c t i o n sm e r o m o r p h i ei nad o m a i n d c c fi ss a i d t ob en o r m a li nd ，i fe v e r ys e q u e n c e 厶，c o n t a i n sas u b s e q u e n c e 厶w h i c h c o n v e r g e st oam e r o m o 咖cf u n c t i o n ，o rm e m i c a u y 。os p h e r i c a l l ya n dl o c a l l y u n i f o r m l yi nd i nc h a p e r2 ，w es t u d yn o r m a lf a m i l i e s i nt h et h e o r yo fn o r m a lf a m i l y , i t i sa ni m p o r t a n ts u b j e c to b t a i n i n gn e wn o r m a lc r i t e r i o n i nt h i sc h a p t e r ，w e o b t a i ns o m ei l e wn o r m a lc r i t e r i & t h i sc h a p t e ri sd i v i d e di n t of o u rs e c t i o n s i ns e c t i o n s2 1 2 2 w eg i v es o m eb a s i ck n o w l e d g eo nn o r m a lf a m i l ya n d s o m ek n o w nr e s u l t s i nt h et h e o r yo fn o r m a lf a m i l i e sb e f o r e1 9 7 5 ，t h eu s u a l m e t h o d sw a qt of o u n df i r s t l yai n e q u a t i o na b o u tt h ec h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n t h e n t oe x p u n c t i o nt h eo r i g i n a lv a l u e b u tz a l c m a ni n a u g u r a t e dan e wa p p r o a c h h e e s t a b l i s h e das u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o na b o u taf a m i l yo fm e r o m o r p h i c f u n c t i o nb e i n gn o tn o r m a lb a s e do nt h em a r r yn o r m a lc r i t e r i o n w eu s u a l l y c a l li tz a l c m a nl e m a n n i ns e c t i o n2 3 w ei n t r o d u c ei nd e t a i lt h em e t h o do f z a l c m a na n di t sd e v e l o p m e n t i ns e c t i o n2 4 ，w ei m p r o v es o m en o r m a lc r i t e r i a t h em a i nd i f f i c u l wi nt h e p r o o fi st h a th o w t op r o v et h ef a m i l yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o nb e i n gn o r m a la t t h ez e r oo ft h ea n a l y t i cf u n c t i o nw h e na c o m p l e xc o n s t a n ti sr e p l a c e daa n a l y t i c f u n c t i o n b ya p p l y i n gd v e r s i f i e dm e t h o d si n t h et h e o r yo fn o r m a lf a m i l y , w e 第v 页 四川大学博士学位论文 c o n q u e rt h ed i 矗i e u l t ya b o u tt h e7 , e i - o o ft h ea n a l y t i cf u n c t i o na n do b t a i n8 咖e n e wn o r m a lc r i t e r i a ，w h i c he o n t a i t l st h et h e o r e m2 4 4 ，t h e o r e m2 4 7 ，t h e o r e m 2 4 8 ，t h e o r e m2 4 1 0 ，t h e o r e m2 4 1 1 ，t h e o r e m2 4 1 2a n dt h e o r e m2 4 1 4 i ne l m p t e r3 ，w em a i n l ys t u d yv a l u ed i s t r i b u t i o no fm e r o m o r p h i ef u n c - t i o n l e ty ( z 、b eat r a n s c e n d e n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o ni nt h ec o m p l e xp l a n e h a y m a np r o v e dt h a tpr oh a si n f i n i t ez e r 0 6i nt h ec o m p l e xp l a n e ，w h e r e 口0a n dn 3 i n1 9 7 9 ，e m u e sp r o v e dt h ea b o v er e s u l t i 8s t mt t u e w h e nn 喾2 b u te m u e f f st h e o r e mi sa 脚t 驰r e s u l t l a t e r , z h a n g q m g d eo b t a i n e daq u 皿t i t & t i r er e s u l t i nt h i 8c h a p t e r w ei m p r m r em u e sa n d z l - u m gq m g d e ，sr e s u l t 8 柚do b t m i n ：。l e t ，( z ) b e8t r a n s c e n d e n tm e r o m o r p h i cf i l n e t i o ni nt h ec o m p l e xp l a n ea n d 七b e & p 璐i 虹v ei n t e g e r ，t h e n ? ( r ，) 6 ( r ，南) ”( r ，) i nc h a p t e r 如i l r w es t u d yc i r c l ep a c k i n gt h e o r y t h ec i r c l ep a c i n gt h e - o r yi sar k s i n go f e s h o o ti nt h ec o m p l e x 越l a ：i y s i sa n di t sp r i m o r d i a li d e ao w e t ot h t t r s t d ni n1 9 8 5 i nt 上曲c h a p t e r ，w ee o 盥i d e rt ou t h ee l l i p 吕e 8t op a c k t h eb o u n d e ds i m p l ye o m l e e t e dd o m a i na n do b t a i nas e q u e n c em m p f i 酬h o m e o m o r p l l i 8 mb e t w e e ne m p 8 ep a c k i n ga n dc i r d ep a c k i n g w ep r o v e dt h a tt h e s e s i m p u c i a lh o m e o m o r p l m 瑚a p p r o x i m a t eaq i 唧五c o n f o 咖a im a p p i n go fb o u n d e d s i m p l yc o n n e c t e dd o m a i no n t ot h et m i td i s k 丽t ht h em o d e lo fi t sc o m p l e xd i - l a t a t i o nt e n d i n gt o1w h e nt h er a l i ob e t w e e nt h el o n g e r i sa n dt h es h o r t e r 础o ft h ee l l i p s et e n d i n gt oo o i ns e c t i o n4 5 u s i n gt h ed i v e r s i f i e dm e t h o d s a n dt e c h n i q u e si nc i r c l ep a c i n gt h e o r y , 骶g i 饨an e wp r o o fo ft h ec l a s s i c a l s c l l w a r zl e m m ai nt h eo n ee o m p l v a r i a b l e b e s i d e s ，i n gt h ea b o v em e t h o d w ei m p r o v et h es e h w a r zl e r a m af o rm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sa n dm u l t i p l ec o n - n e e t e dd o m m n s a tt h e m et i m e ，w e 舀、，ea e x m “p l et os h o wo u rc o n d i t i o n i n o i l rt h e o r e mj 8n e e e 啪r y k e yw o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n ，v a l u ed i s t r i b u t i o n ，n o r m a lf a m i l y n e v a n l i n r mt h e o r y , c k c l ep a c k l n g ，q u a s i e o n f o r m 出m a p p i n g ，s c h w a l e m m a 第一章绪论 十九世纪末，e b o r e l 成功地将e p i c a r d 。h p o i n c a r e 和j h a d m m a r d 等人关于解析函数取值的若干独立结果结合起来，证明了b o r e l 定理，从面产 生了值分布理论的萌芽1 9 2 5 年，r n e v a n l i n n a 为值分布论的发展做出了划 时代的贡献，刨立了n e v a n l i n n a 理论，构建了值分布论的基本理论7 0 多年 来。值分布论在n e v a n l i n n a 理论的影响下取得了巨大的发展近年来。这一理 论不断发展和完善，一些历史遗留问题逐步获得解决；同时，它向复分析的其 他分支。甚至是数学的其他领域逐渐渗透下面简要的介绍该理论。具体请参 阅1 1 8 1 ，1 6 3 】或【6 9 1 1 1 值分布的一些基本符号 议f 【z ) 为在i ：l r ，( 0 r 。) 上的非常数亚纯函数 1 n ( r ，) ：f ( z ) 在i 。l r ，( 0 r r 0 0 ) 的极点数，重级极点按其重数 计算； n ( r ，f ) ：f ( z ) 在lzi r ，( 0sr rs0 0 ) 的极点数，重级极点只计算一 次； 2 n ( r ， ) ：，( z ) 在i ：l r ，( o r 兄so o ) 的零点数，重级零点按其重 数计算5 筇( r ) ：，( ：) 在l ：l r ( o r l s 。； 4 毗”= 击z h 刚价e 吲枷， 仇( r ，南) ：= 去z 新- o s + 赢蛾n 咄 第2 页四川大学博士学位论文 5 r ( r ，) ；厂型蔓盟；：! 塑盟出+ n ( o f ) l o g r ，( r ，) 称作，的计数函 数，亦称作，的幂指量，( r ，) 亦记作( r ，o o ) 。n ( r ，厂与) 亦记作 n ( r , a ) 。 6 飘r ，) ：= 厂塑生堕掣出+ - ( o ，f ) l o g r ，丙( ，) 称作，的精简幂 j 0 o 指量，丙( r t ，) 亦记作( r ，o o ) ，( r ，7 毛) 亦记作丙( r o ) 5 7 t ( r f ) _ m ( r ，f ) + ( r ，f ) 。? ( r ，) 称作，的n e v a n l i n n a 特征函数； 8 亚纯函数，( z ) 的级p 和下级p 定义如下； p ：= h m ，一$ 。u p l o g 品t f ( r , f ) ，r 一n 5 o 芦：h m i n f 掣 1 2 值分布的一些基本定理 命题1 3 1设 他，= 苗老暑# 若等 其中a o ，8 l ，一，嘞( o ) ；b l ，( 0 ) 是有穷复数则 t ( r ，f ) = i n a x p ，q ) l o g r + d ( 1 ) 定理1 2 1 ( 第基本定理) 设，( z ) 于lzi r ( so 。) 内亚纯若a 为任一 有穷复数，则对于0 r r 。有 丁( r 。f 三二) = r ( r ，) + l o g i c ：l + e ( o ，r ) 其中g 为f d 在原点的t a y l o r 展式中第个非零系数，而 i e ( n ，r ) f i o g + ia i + k 唔2 1 2 值分布的一些基本定理第3 页 定理1 2 2 ( 第二基本定理) 设函数f ( z ) 于开平面亚纯。不蜕化为常数又设 扣= 1 ，2 ，q ) 为q ( 3 ) 个判别的复数供中可以有一个复数等于无穷j ， 则 q 弦( r ，) v = l ( r ，忐) 一n i ( r ) + s ( r 1 ，) 其中1 ( r ) = 2 n ( r ，) 一( r ，) + i r ( r ，专) ，且s ( r ，) = o ( t c r ，) ) p o o ) 可能须除去一个例外集合e ，其线性测度为有穷 定理1 2 3 ( 对数导数引理) 设，( 。) 于l ：i r ( so o ) 内亚纯若，( o ) 0 ，o o ，则对于0 r p r 有 m ( r ，等) g i + l o g + l o g + 南+ l o g + ；、 + l o g + 采了+ l 。g + p + l o g + ? ( n ，) 其中c k 是仅依赖于i 的常数 定理1 2 4 ( m i l l o u x ：不等式) 设，( ：) 于i 引 r ( o 。) 内亚纯若，( 0 ) 0 ，o o ；，) ( 0 ) 1 ；，+ 1 ( o ) 0 。0 r r 丁爪_ ( r ，少( r ) + ( r ，南) - ( r ，7 南) 柑( “) 定理1 2 5 ( h a y m 粕不等式) 设，( 。) 为于l ：i r ( s 。o ) 内亚纯的函数， 不蜕化为多项式若k 为一正整数。且 ( 0 ) 0 ，c o ；，c ) ( o ) l ；，( + 1 ( o ) 0 以及 ( k + 1 ) c 钟( o ) ( ，( 的( o ) 一1 ) 一+ 2 ) ，+ 1 ( 0 ) 2 0 ， 则对于0 r r 有 毗爪( z + ；) ( r ，；) + ( z + ；) 丙( r ，志) 删堋 第4 页四川大学博士学位论文 足理1 2 6 b u r e a u 5 i 理j 役2 【r ) 悬区l 司0 r p 内田非负且非藏的瞳 数，又设。和b 均为正数，使b 芝2 a 且b 8 a 2 ，若不等式 ? ( r ) l o g + 丁( 功+ 口1 0 8 画墨i + 6 于区间0 r r p 成立。则不等式 t ( 小：2 。i o g 熹+ 2 6 于区间0 r r d 成立 定理1 2 7 设，( z ) 在h z r 内全纯，则 r ( r f ) l o g + m ( r ，) 等丁( p ，) ( o r p 0 ，存在n ( e ，) n 。使得当 r n ，l n c e ，) 时，对任意的：e ，有a ( 厶( 。) ， ( 2 ) ) ”1 ”2 - - - - ； 由此得懈) | 丽1 再根据定理2 2 3 就知，在d 内正规，至此定理得证 口 之后，李松鹰和谢晖春推广了m a n y 正规定则，得到了如下结果 定理2 2 5 ，为区域d c c 内的亚纯函数族，且族中每一函数，( z ) 在d 内的 切零点均不小于后，在。内正规的充要条件是 工( ，) - 器： f ， 是内闭一致有界的 2 3z a l c m a n 方法 z a l c m a n 引理为正规族理论的发展开辟了新的途径，它建立了一族亚纯函 数不正规的充要条件，这使得一些正规定则的证明就不必再用先建立界固定 理，再漕去原始值的方法，而是从反面出发，利用反证法得到矛盾这一方法 从而可使得一些证明简化以下的定理由z a l c m a n 在1 9 7 5 年建立。下面叙述 该定理并简要叙述它的发展 2 4h a y m a n 猜想第9 页 定理2 3 1 ( z a l c m 柚引理) 设，为单位圆盘上的亚纯函数族。 后，j 是正 整数，且族，中每个函数的零点重级均k ，极点重级均j ，设n 为一实 数且- j 口 k 。则，在上不正规的充要条件为存在点列知， 函数列厶芦，正数列 一0 + ，使得 如( f ) 2p t , 。厶( + p n ) 一9 ( ) 按球距内闭一致收敛，其中g 为c 上的非常数亚纯函数，满足夕孝( f ) s9 + ( 0 ) = 1 任c ) 这一定理是z a l c m a n 引理的推广形式，其中k = 1 ，j = l ，q = 0 就是 z a l c m a n 的结果，上面的形式是经庞学诚，s c h w i c k ，陈怀惠和顾永兴等推广而 得的，最近，庞学诚和z a l c m a n 对上面的结果作了进一步的推广，结论如下 定理2 3 2 设k 是一正整数，芦为单位圆盘上的亚纯函数族，且族，中 每个函数的零点重级均k ，若存在常数a 1 使得当，( ：) = 0 f ，时有 i ，。( 。) i s a 则，在上不正规的充要条件为存在点列，a ，函 数列厶，正数列 一0 + ，使得 如( f ) = 西厶( + 如f ) 一g ( f ) 按球距内闭一致收敛，其中g 为c 上的非常数亚纯函数，满足9 + ( 0 矿( o ) = k a + 1 。且g 为有穷级 2 4h a y m a n 猜想 在亚纯函数的正规族理论研究中，个很重要的目标就是寻求新的正规定 则b l o c h 提出的如下b l o c h 法则对正规族理论的发展起到了重要的作用，尽 管这个原理并不总是正确 b l o c h 法则：如果开平面上的个全纯( 或亚纯) 函数满足某条件即蜕化为一 常数，则在区域内一族全纯( 或亚纯) 函数一致地满足该条件时应该是一正规 第1 0 页四川大学博士学位论文 族简单地说，即相应于每个l i o u v i l l e - p i c a r d 型定理，必有个相应的正规 定则 在获得定理1 2 5 ( 即h a y m a n 不等式) 之后，i - i a y m a n 曾猜想 h a y m a n 猜想l ：设，为区域d 内的亚纯函数族，_ | 为一正整数若族，中 每个函数，( 。) 在d 内满足ty ( z ) 0 。，( 耐( 2 ) 1 ，则族，在d 内正规 1 9 7 9 年，顾永兴【6 4 1 证明了h a y m a n 猜想，获得了如下结果 定理2 4 1 ( g 1 1 正规定贝町设，为区域d 内的亚纯函数族，七为一正整数 若族，中每个函数，( z ) 在d 内满足：f ( z ) 0 ，( ( 力1 ，则族，在 d 内正规 在1 9 8 6 年，扬乐【5 7 l 推广了g u 正规定则得到了如下的结果t 定理2 4 2 设a ( z ) 0 为区域d 内的一全纯函数且七n 设，为区域d 内的亚纯函数族，若族芦中每- 骨 f i i 数f ( z ) 满足，( z ) 0 且，雌( 。) 口( 2 ) ， 则，在d 内正规 2 0 0 0 年，庞学诚和z a l c m a a l 3 8 】在七= 1 以及允许，有零点，但限制l ( z ) 的零点和极点重数的条件下。进一步推广了定理2 4 2 定理2 4 3 设，为区域d 内的亚纯函数族，a ( z ) 0 为区域d 内的全纯 函数。若对族，中每个函数f f z ) ，i ( z ) 在d 内的零点之级23 ，极点之级 2 ，且在d 内，( z ) a c z ) ，则，在d 内正规 一个自然的问题是：对定理2 4 3 中，7 能否推广到，( 。) ? 在本文中，我们 回答了该问题，获得了如下结果 定理2 4 4 设k 2 为一正整数，为区域d 内的亚纯函数族，a ( z ) 0 为区域d 内的全纯函数，且a ( z ) 在d 内的零点之级22 ，若对族芦中每 个函数l ( z ) ，f ( z ) 在d 内的零点之级k4 - 1 。极点之级3 ，且在d 内 ，( z ) a ( z ) ，则，在d 内正规 2 4h a y m a n 猜想第1 1 页 以下的两个例子说明在定理2 4 4 的两个条件k 2 以及关于每介函数的 极点重级限制是必要的 例2 4 1 设a = z ：h 去她掣 因此，当j o o 时kg ，( 弓) g ( ) i 0 0 另一方面。 绁g ( z j ) = 粥，口( 弓) 所以当j 0 0 时。乃g ，( 白) g ( ) 收敛到个有穷复数，这是个矛盾因 此，g ( ) 一p 有无穷多零点 口 引理2 4 4 设p ( 。) ，q ( z ) 为两个互紊的多项式，其中d e gq ( z ) = m ，d e g p ( z ) = n , r r l n ，且后为一正整数若f 当芸1 忙o ，则我们有 、驯zj ， m ；05 剀筹= 石丽1 ，其中n ( 0 ) ，6 为两个复常数 证明；我们首先证明结论1 ) 若 = 1 。则 ( 豁) 忙= ( 器) = 4 ( z ) p 矿( z ) - q c z ) 矿c z ) ( 2 t 1 ) 设 口( z ) = o ，l ，+ 一l 扩一1 + ta o ，a m 0 ， 2 4h a y m a n 猜想第1 3 页 则我们有 p 乜) = k z ”+ b n i z ”一1 + + 6 d ，k 0 ( 2 归( z ) 一f ( z ) q ( z ) = ( m n ) m k z ”1 + + ( a l b o + a o b l ) ( 2 4 2 ) 由( 蚤舅) o 和等式( 2 4 1 ) 。我们能推断出口，( ；) p ( z ) 一r ( 。) g ( z ) 的所有零点 都是矿( z ) 的零点记这些零点为c l ，c 2 ，c 4 ，其重数分别为n 1 ，m ，m 因 为q ( z ) 和p ( 。) 是互素的，故根据( 2 4 2 ) ，c i 是p ( ：) 的零点，且重数为，l l + l ( i = 1 ，2 ，1 ) 因此，n l + r t 2 + + n t = m + n - 1 ，2 ( h i + r t 2 + + n t + 1 ) s2 n 。 故容易得到0 m + zs1 如果f = 1 。则m = 0 ；如果l = 0 ，则由( 2 4 2 ) 我们可得m + ，l 一1 = 0 。结合t ，l n ，有m = 0 因此结论1 ) 对七= 1 是 正确的 现在，我们假定结论1 ) 对j | = t l 是正确的下面我们考虑七= t l + 1 的情形设( 筹) 协= 豁，其中北) 州2 ) 是互素的两个多项式，则 ( 籍) 似+ 1 = ( 糕) 由归纳法容易证明d 酬冰d e g 础) ，眦 类似于前面的证明可得d e g 础) _ o 故( 鬻) 协= 豢= 赤。 因此，从对k = n 的假定我们可得d e g q ( z ) = m = 0 我们现在证明结论2 ) 也是正确的由结论1 ) ，我们有籍= 赢豸。其 中r ( 。) 是n 次多项式明显地。顽1 万。若= l ，( 器) 。，即 ( 寂万) 。= 一簧旨。，则f ( 。) 的零点都是r ( z ) 的零点设爿( z ) 的零点为 c l ，c 2 ，c f ，其重数分别为，l l ，n 2 ，m 。则我们有n 1 + t 1 2 + + m = n 一1 明显地，。l ，c 2 ，c 4 分别也是r ( 。) 的n l + l ，他+ 1 ，m 十1 重零点 因此有n i + 啦+ m + l 墨n 故我们可得0 ls1 若l = 0 。则 r ( 。) = a z + b ；若f = ! ，则c 1 是兄( ：) 唯一的零点，其重数为n ，故 r ( 2 ) = ( 。+ 6 r 因此豁2 面丽1 ，即结论2 ) 对= 1 是正确的我们 第1 4 页 四川大学博士学位论文 现在证明结论2 ) 对2 也是正确的这时有( 豁) = ( 高于。其 中弧一t ( z ) ，m 一( 。! 是两个互素的多项式根据结论1 ) ，有耋兰2 寂豸，其 中r ( 2 ) 是一多项式因此，类似于前面的证明可得r ( 力；( a l z + h ) “，所以 ) 忙= ( 端) = ( 高夯) = 丽知。，? 鲁= 笔 因此，c = 鲁是p ( z ) 的唯零点结各结论1 ) 故我们有器2 丽1 ， 其中：c 由此引理得证 口 引理2 4 5 设，( z ) = d ，i 矿+ 一l 扩以+ + 知+ 器，其中a o ，o l ，i 为 复常数，p ( 2 ) 和q ( z ) 为两互素的多项式且d e g q ( z ) d e g p ( z ) ，又设k 为一 正整数若，1 ，则 砂n ；七，= 1 h 矽，( 力= 击+ + a o + 匹 r _ i ； 砂若，( 力的所有零点之级后+ l ，则，( z ) = 警。其中c ( o ) ，d 为两复常数 证明：我们首先证明绪论1 ) 看n ，则 ， 产k ，= ( 器) = 豁， 其中弧( z ) ，m ( z ) 为两互素的多项式满足d e gq k 。则 p i t z ) f q ) = p l + ( 器) 硇+ 豢， 其中p l ( 。) 为一多项式满足d e g p t ( z ) 1 ，弧( 。) ，m ( 力为两互素的多项式满 足d e g q ( z ) d e g m ( z ) 明显地，如下的方程有解 肌) - p 出) + 豢= 型铲= 1 2 4h a y m a n 猜想第1 5 页 这与，忙1 矛盾因此n k 教竹= 因而我们有，忙( ：) = 削诹+ 妻， 其中q k ( z ) ，p k ( z ) 为两互素的多项式，d e g 弧( ：) 七； 掣如卜t 掣+ 豪一。罂一 ， 其中g ，j = l ，2 ，k 为复常数因此 拶( f ) = f 妒( 钿+ f ) 乏号蠢硝“( + f ) + ( 2 4 1 0 ) r + ) 2 4h a y m a n 猜想第1 9 页 具中q = 0 ，j = m + 1 ，k ，如果m 0 ，使得l 脂( ) 在d 硝= 代： 2 毋内全纯因此，对充分大的n ， 第2 0 页四川大学博士学位论文 1 日t 。( ) 在d 6 = k ：蚓 6 ) 内全纯因为l 点k ( f ) = 砖p 厶( f ) 以及 厶( 0 ) 0 。故岛= 0 是l 风篮) 的t ，l 级零点因此，结合结论f = 0 是l 内( 0 的至少m 级零点，我们能推断出1 甄。健) 在d 如= 代：蚓 ；6 上一致收 敛到l p 参( f ) 因而我们有 嗽) ：= 学= 警凰一粼m ， 在复平面c 上任一紧集上按球面距离致收敛由上面的式子和定理条件立即 可知亚纯函数g ( f ) 的所有零点之级至少为女+ 1 ，极点之级至少为3 ，面且 g c 0 ) 0 我们可以说g ( ) 心) p 假如g ( 砷愉) = 镏则g ( ) 在点岛处解析且 烈沪警= 盟等巡0 因此，由h m - w i t z 定理，我们可得g ( 耐( f ) 三p 故g ( ) 为一非常数多项 式因为g ( o ) o ，而且g ( ) 的所有零点之级至少为k + 1 ，因而我们可得 一矛盾 。 因此g 竹) ( ) p 由引理2 4 3 。我们可得g ( f ) 为一有理函数若g ( f ) 是一多璎式，结合g ( ”篮) p 。易知 g ( f ) = 而两壬丽+ k 驴+ | + k ( 2 a 1 3 ) 其中“( o ) ，b o 为常数设岛为g ( f ) 的零点，注意到g ( f ) 的所有零点 之级+ 1 ，我们有 g 忙- 1 ( 岛) 2 鬲 1 嚣”1 + 口l 白+ 啦= o ； g ( 如) ；曰+ m = 0 ， 其中0 1 ( o ) ，口2 为两常数结合上面两个等式，可得矗= e ，其中e 为一常 数，即g c ) 只有个零点，所以 g = 两簪焉丽 ( 2 4 m ) 2 4h a y m a n 猜想第2 l 页 因为仇2 ( 这是根据定理条件口( z ) 在d 内的零点之级22 ) ，结合等式 ( 2 4 1 3 ) 和( 2 4 1 4 ) ，我们可推断出e = 0 ，即g ( ) = p ”。这与g ( ( f ) f ” 矛盾故g 旺) 为具有极点的有理函数设 1f 七 s ( f ) ：2 g ( f ) 一石两确p 舳+ 音， 我们可得到s i ( f ) 1 由引理2 4 5 ，可推断出 s ( f ) 2 莆+ 吣t 矿。1 + + + 蜘+