（基础数学专业论文）关于具有记忆项的kirchhoff型方程整体解的渐近行为.pdf

学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注 和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本 人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名： l 虱蚴 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：圈缩捅指导教师签名：孽参蠡整一 签名日期：年 月日 行为：在衰减项和记忆项满足适当的条件下证明了解的指数衰减性，当初始能量为负， 并且衰减性( 6 o ) 充分小的时候，证明了在有限时间内解的破裂性 关键词：k i r c h h o f f 型方程：记忆项：整体解：衰减性：破裂性 辽宁师范大学硕十学位论文 a s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n st ot h e k i r c h h o f f t y p ee q u a t i o n sw i t hm e m o r y a b s tr a c t l c tqb eab o u n d e do p e nd o m a i ni nr “w i t hs m o o t hb o u n d a r y ，h = r fq 】w ec o n s i d e r n o n - d e g e n e r a t ek i r c h h o f ft y p ee q u a t i o n sw i t hm e m o r yt e r mo nt h eh i l b e r ts p a c eh 1 “圩+ 彳2 “+ ( 口+ m ( 1 la 2 “0 2 ) ) _ 比一f ：g ( f f ) 彳“p ) d f + b u 。一厂 ) w h e r eai sal i n e a ro p e r a t o ri nh ，ma n d ga r ep o s i t i v er e a lf u n c t i o n s w h e nt h ei n i t i a le n e r g y a s s o c i a t e dw i t ht h ee q u a t i o n si sn o n n e g a t i v ea n ds m a l l ，w ep r o v et h eg l o b a le x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so ft h ew e a ks o l u t i o n s w ea l s os t u d yt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o u ro ft h es o l u t i o n s u n d e rs u i t a b l ea s s u m p t i o n so nt h ed a m p i n gt e r ma n d m e m o r yt e r mw ep r o v et h ee x p o n e n t i a l d e c a yo ft h es o l u t i o n s w h e nt h ei n i t i a le n e r g yi sn e g a t i v ea n dd e c a yt e r mi ss m a l le n o u g h ， w ep r o v et h a tt h es o l u t i o nb l o w s u pa ts o m ef i n i t et i m e k e yw o r d s ：k i r c h h o f ft y p ee q u a t i o n ；m e m o r yt e r m ；g l o b a ls o l u t i o n ；d e c a y ；b l o wu p r 一 辽宁师范人学硕十学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t iii i ；l 言】l 1 预备知识2 2 局部解的存在性。3 3 整体解的存在性8 4 解的衰减性1 0 5 解的破裂性1 3 参考文献1 7 攻读硕士学位期间发表学术论文情况1 9 j l 迂谢2 1 v 一jjj-1 辽宁师范大学硕士学位论文 引言 本文我们考虑在空间日上具有记忆项的非退化k i r c h h o f f 型方程 1 。 + 么2 u + ( a + m ( 1 la 2 u l l 2 ) ) a u - g ( f f ) 彳甜( f ) d f + 6 = 厂( “) ，( x ，f ) t 2 x r + ； u ( x ，f ) = 0 ，( x ，f ) a q 乏+ ；u ( x ，0 ) = u 0 ( x ) ，z ( x ，o ) = u l ( 力，x q ( 0 1 ) 这里a 0 ，并且记忆核g ，非线性项厂及m 满足条件( a i ) 一( a 5 ) 没有记忆项即：g = o 时为k i r c h h o f f 类方程，此类方程在研究弹性弦振动时经常出现 这种形式的方程已被许多学者进行过研究并得到了许多有关解的存在性及渐近行为的 结论1 1 2 当弹性弦振动方程的初始条件属于一般s o b o l e v 空间时，整体弱解的存在性还 没有得到完全的解决【3 1 为了得到此类方程的整体解的存在性，人们通常在k i r c h h o f f 型添加如：a 2 , a u ，彳4 u l 或u ，等项来进行研究【4 ，5 】像k o s u k eo n o 4 1 研究了添加彳“，项的 k i r c h h o f f 型非线性退化波动方程： 三 u 。+ m ( i i 么2 u l l 2 ) a u + 8 a u ，= 厂( 扰) ，( x ，t ) q 【o ，+ 的) ( 0 2 ) u ( x ，f ) = 0 ，( 工，f ) a q 0 ，佃) ；u ( x ，o ) = u o ( x ) ，( x ，0 ) = u i ( x ) ，x q 证明了当初始能量为非负且充分小的时侯方程的解的存在性和衰减性作者还证明了 当初始能量为负的时侯解的破裂性h o s o y a 和y a m a d a 1 0 】研究了在( 0 2 ) 中把彳“替换成 l “，并且当m 0 的时候，证明了在d ( a ) xd ( a 2 ) 中整体解的存在性与唯一性在方程 ( 0 2 ) 中万 0 ，f ( u ) 三0 时，n a k a o 】研究了解的衰减估计而当万= 0 时，a r o s i o 和 七k - i 6 a r a v a l d i 1 2 】贝。证明了关于初值 ，“。) d ( 彳j ) d ( a - y ) ，| i 昙的局部解的存在性 z 在本文我们研究具有a 2 u ，坼和记忆项 g ( t r ) a u ( r ) d r 的k i r c h h o f f 型记忆项是 反映系统的过去状态对系统的未来行为的影响，是材料的某种“记忆”性能，而很多弹 性材料具有这种“记忆 性能【6 1 针对这种方程我们将要证明整体解的存在性和唯一性 在衰减项和记忆项满足适当的条件下我们还证明解的指数衰减性以及初始能量为负的 时侯的解的破裂性 本文由以下几个部分组成：在下一节里我们给出了一些符号、定义、对非线性项和 记忆核的附加条件以及研究所需的预备结果在第三节我们利用压缩映射的不动点原理 证明了局部解的存在性在第四部分利用改进的“势阱”证明整体解的存在性在第五部 分证明了衰减性在第六节给出解的破裂性 关于具有记忆项的k i m h h o f f 型方程整体解的渐进行为 1 预备知识 在这部分，我们给出一些本文所需的概念、符号及预备知识q 是具有光滑边界 硷的科的有界开区域，日= r ( q ) ，用( ， 和来表示其内积和范数彳为在日上的 一个无界半正定自反的线性算子，其定义域记为d ( 彳) ，并且算子彳的定义域有紧的连 续嵌i x , d ( a 7 ) v - d ( a 5 ) ，r s 0 记忆核g ，非线性项及m 满足如下条件： ( a 1 ) g ：i t + 专r + 为连续可微且在 o ，帕) 上可积函数，并且f g ( f ) 如= o ，0 口，( 当0 即4。 刀一4 时，0 口 佃) ，对任意u ，v 都有l f ( u ) - f ( v ) l 0 ) 下面介绍必要的两个引理( 其证明可参见文献【刀) 引理1 1 ( g a g l i a r d o n i r e n b e r g ) 如果1 ， 0 ， 使得对0 日l ( 当聊一旦为非负整数并l q 4 - 0 0 时，0 秒 1 ) ，以及任 g 甜d ( a 詈) 厂、r ( q ) 有i iu l l ，c g 一彳詈甜甜y 这里口：( ! 一土) ( ! + 丝一晏) 甜 2 ) 厂、r ( q ) 有i i ，c g 一 r 彳2 甜甜y 这里口= ( 三一亡) ( 三+ 竺一寺) ， p，门 z 引理1 2 ( s o b 。l e v p 。i n c a 6 ) 设o p 两面2 i ( 当n2 m 时，o 0 ，方程( 0 1 ) 存在唯一的解u ，满足 u ( t ) c ( 【0 ，丁】；d ( 彳) ) ；z f f o ) c ( 【0 ，r l ；日) 且f g ( f f ) o 彳三甜( f ) 一彳i 甜( f ) 1 1 2 d f 有界进而下面的两个结论之一成立 ( f ) t = 佃； ( f f ) 当卜争丁一时，p ( z f ( ，) ) ：= | | u , ( t ) 1 1 2 + i ia u ( t ) l 2 专o o 为了证明本定理，我们首先给出一个有用的命题，其证明参见f 5 】 命题2 1 设晰( f ) 是一个非负三劾s 幽j 纫函数，f ( t ) 为z 筇动j 芒z 函数，并且 d ( 彳) ，日那么对任意r 0 ，存在唯一的甜( x ，f ) 满足 u c ( o ，丁】；d ( 彳) ) ；u t c ( 【o ，丁】；日) ； 并且 u u + a 2 u + 聊o ) 彳“- i g ( t - f ) 彳甜( f ) d f + 6 甜，= ； u ( x ，f ) = 0 ，( x ，f ) a q 毫+ ；u ( x ，0 ) = n o ( 石) ，u t ( x ，0 ) = u l ( x ) ，x q 定理( 2 1 ) 的证明：对于给定的t o ，r 0 ，我们定义函数空间 墨r ：= 1 ，0 ) lv o ) c o ( 【0 ，r 】；d ( 彳”；一( f ) c o ( 【o ，丁】；日) ； p ( v ( f ) ) r 2 , v t e o ，r l ；v ( o ) = u o ，q ( o ) = 甜1 ) 那么在度量 d ( u ，v ) s u pp ( 甜( f ) 一v ( f ) ) o 鱼j 汀 之下，x 眦为完备的度量空间下面我们在x r 。凡中定义非线性映射为s ：对 v v 4 掰= s ( 1 ，) 是方程 z ，f f + 彳2 + ( 口+ m ( i id 1 2 ) ) 彳“一i g ( t - f ) 彳“( f ) d f + 6 = 厂( v ) ； 关于具有记忆项的k i r c h h o f f 型方程整体解的渐进行为 “( o ) = u o ，( o ) = u i ，x q ；u ( x ，f ) = 0 ，v ( x ，f ) a q ( 2 1 ) 的唯一解下面我们要证明当选择适当的丁和r 时，映射s 满足： ( i ) s 把4 。月映射到墨。r ： ( i i ) s 在耳r 上是一个压缩映射 从而，利用b a n a c h 空间的不动点原理可以得到方程( 0 1 ) 的局部解的存在性 下面首先证明( i ) 成立为了简便，我们定义 ( g 口“) o ) = i g ( t - f ) | i 甜( ，) 一甜( s ) 1 1 2 d s 那么，经过一个简单的计算得到 f g o f ) d f = l ( g n a ) 丢( 刚确1 ) + 三胁叫珈扁1 1 1 2 妣 ( 2 2 ) 丢枷_ f ) i l 属1 ) l 2 d r = g ( f ) 1 1 彳乞( t ) 1 1 2 + 枷叫和扁i ( t ) 1 1 2 以( 2 3 ) 将方程( 2 1 ) 的两端乘以2 u ，并在q 上积分得 2 ( “。( f ) ，“。( f ) + 2 - 2 i g ( t - f ) ( 彳j “( f ) ( f ) ，4 j “，o ) d f + 2 6 ( o ) ，( f ) ) = 2 ( ( v ( f ) ) ，“，( f ) 并结合( 2 2 ) - ( 2 3 ) 得到 扣删1 1 2 4 4 1a 酬1 2 + ( 铲胁) 咖+ m ( i ia | 1 2 ) ) 怕毛| 1 2 + g 口( ) = ( 兰m 0 s a ：v ( t ) 1 1 2 ) ) 8a z u ( t ) l 2 + g ，口( 么2 甜o ) ) + 2 厂( v o ) ) ，“o ) ) ( 2 4 ) a t 三 一g ( t ) l la 2 u ( t ) 1 1 2 - 2 b l l “，( t ) 1 1 2 由( a 5 ) 和引理( 1 1 ) 可推出 ( dm ( i ia ；1 ，( f ) i l z ) ) i i 彳；“( f ) l l ：2 l i ia 1 ，( f ) 0 0v o ) l | 0 彳i i 材o ) | l ： c 0 2 r ：p ( “( f ) ) ( 2 5 ) a c t 辽宁师范大学硕士学位论文 一_ 这里c o = 2 口利用6 o ，( a 2 ) ，( a 4 ) 和赫尔德不等式可得 l g d ( a 2 “( ，) ) 0 ； 1 2 2 ( c 0a v ( t ) 1 1 ) 4 + 1 | ( ，) i i c j r 口卅e ( u ( t ) ) - i 这里c l = 2 k o c , 4 + 1 因此，结合( 2 5 ) - ( 2 7 ) ，从( 2 4 ) 可推出 丢以蝴) c 0 2 尺2 枷( f ) ) + c l 1 枷( f ) ) ； ( 2 6 ) ( 2 7 ) 这里 ( “( ，) ) = p ( 甜( f ) ，( f ) ) + ( 口一j g ( f ) 如+ m ( i 彳i l v ( f ) | 1 2 ) ) i 价1 甜( f ) | 1 2 + g 口( 彳毛1 ( 伽( 2 8 ) 显然，p ( 甜( f ) ) e ( f ) ) 利用g r o n w a l l 引理从( 2 8 ) 中得到 l ( 甜( f ) ) 矿( o ) i + c l + 1 丁) 2r ( c d - 冉2 ) r 当我们选择适当的r 与丁，使得 f ( o ) i + q r 州r ) 2 r ( c o l r 2 ) r r 2 有p ( f ) ) 尺2 从而( r ) 墨 其次证明( i i ) 对于m ，屹墨皿，定义甜1 = 观，“2 = 戳，令w ：材- 一材：，则w 满足 ( f ) + 彳2 以f ) + ( 口+ m ( 1 1 4 j v ( ) 1 1 2 ) ) 彳w ( f ) 一j g ( f - f ) a w ( t ) d f + 眺( f 1 l = 厂( h o ) ) 一厂( 屹o ) ) 一 m i i 彳j h o ) 0 2 - m l la i v 2 ( t ) 1 1 2 a u 2 ( t ) ，v ( z ，f ) q ； w ( o ) = 0 ，m ( 0 ) = 0 ；w ( x ，f ) = 0 ，v ( x ，f ) 翘 将方程( 2 9 ) 的两端乘以2 w , 并在q 上积分得 1 li 2 + 2 并结合( 2 2 ) ，( 2 3 ) 得到 d l lw , ( 胛+ i i 彳，( f ) 1 1 2 + ( 口一fg ( f ) 出+ m ( i ia j 删1 1 2 ) ) 憎w ( f ) 1 1 2 + g o w ( f ) ：( dm ( 1 l 彳j 1ho ) 1 1 2 ) ) ( 彳v lo ) ，m ，u ) l i4 ；w o ) 0 2 + g o ) 口( 彳；w o ) ) + 2 ( ( h o ) ) 一厂( v 2 ( f ) ) 彬( f ) 一删憎1 w ( 圳一2 b l lw , ( f ) 1 1 2 ( 2 1 0 ) 1 1 2 ( m 0 1a i v l ( t ) 1 1 2 ) 一m ( 1 la i v 2 ( t ) 1 1 2 ) ) ( 爿甜2 ( f ) ，w ，( f ) ( a o 、( a 2 ) 、( a 4 ) 和( a 5 ) 得到 ( 丢m ( o i v l ( 叫1 2 ) ) 轵m ( 吐m ，( f ) | l 彳w ( 圳1 2 c o 三r 2 口( w ( f ) ) ； 9 7 0 ( a 2 w ( f ) ) o ； l g ( t ) l la i w ( t ) 1 1 2 - 2 b l lw , ( t ) 1 1 2 0 ； 2u ( h ( f ) ) 一( v 2 ( f ) ) ，h ( f ) i c + 一k o ( 1 la v l ( t ) 1 1 4 - i l la v 2 ( t ) 1 1 4 ) 0 彳( v 。( f ) 一v j ( f ) ) 0 1 1w , ( t ) l l ( 2 1 1 ) _ c 2 r 4 p ( v l o ) 一屹o ) ) 2p ( w ( f ) ) 2 ； 1 i 2m ( 1 la i v t ( t ) l 2 ) 一m ( 1 la i v 2 ( t ) 1 1 2 ) l l ( a u 2 ( f ) ，w f ( f ) ) 1i1 2 l ( i ia i v , ( t ) l l + l la i v 2 ( t ) 1 1 ) l la i ( v l ( t ) - v 2 ( t ) ) l l i ia v 2 ( t ) l l 1 1w f ( f ) i 三 三 c 3 l r 2 e ( v l ( t ) 一屹( f ) ) 2 口( w ( f ) ) 2 这里常数c 2 = 2 c + 1 k o ，c 3 = 4 c 结合( 2 1 1 ) ，从( 2 1 0 ) 中得到 细w , ( t ) 1 1 2 + 1 1a w ( t ) 1 1 2 + ( 口一fg ( 珊付m o i a j 1 1 2 ) ) 1 1a j w ( t ) l l + g 口w ( f ) ) a t ” 辽宁师范大学硕士学位论文 il 0 ) u o ) 其中七 ( f ) ) ：- - i ia 2 u ( t ) 1 1 2 肿- t l 材( f ) i l ：笔 引理3 1 4 1 ( d 设2 y 0 ，使得 d 1 i ia 2 u ( t ) 1 1 2 7 + 2 j ( “( f ) ) ( e ( “( f ) ，珥o ) ) ) 引理3 2 设2 厂 o 和岱 i , o 知 p ( ”( f ) ) e ( 甜( f ) ) se ( ”( 0 ) ) 定理3 1 ( 整体解存在性) 设1 2 0 r o ( cd ( 彳) ) ，u 。日且 。c4=扣打n泞嘶+2(去几2-27 i ， ( 3 4 ) 其中2 y a 0 ，使得对任 意o ，丁有g te ( o , 而蜥a 功，即：七( “( r ) ) = oj t 甜( r ) o 那么， 2 r 口j n - l 2 ( 当 刀= 1 ，2 时，口 佃) ，由引理( 1 1 ) 和( 3 4 ) 可知，对0 - 0 是在后面的证明过程中，根据需要确定它的值由 y o u n g 不等式得到 邮) = “呲) 出扣啪) 1 1 2 + 扣坩) l l 扣如) 1 1 2 + 争似叫1 2 c 5 聊 这里c 5 ：= m a x 1 2 ，a 2 因此，对于充分小的g ，存在常数0 哆，使得 f ( f ) e o ) 0 ，使得 o ) c 6 l i ( f ) 0 2 一去i la u ( t ) 1 1 2 - c 7 1 14 j u ( t ) 1 1 2 ( 4 3 ) 一ia j u ( t ) 1 1 2 ，+ 2 + c s g d ( a - i u ( t ) ) + l lu ( t ) l l ：2 2 证明：将方程( 3 1 ) 两端乘以“并在q 上积分得 “( f ) 甜( t ) d x + l 似2 “( f ) 如( t ) d x + n 4 1 a j u ( t ) 1 1 2 7 ) 彳甜( f ) k ( f ) 出 一tf g ( t f ) 彳“( f ) d r u ( t ) d x + l 钆( f ) “( f ) 出= l k ( f ) i 口“( f ) “( f ) 如 整理得到 珥，( f ) “( t ) d x = - i ia “( t ) 1 1 2 一( 口+ 1 1a - j u ( t ) 1 1 2 7 ) 1 1a - i u ( t ) 1 1 2 + o 甜( f ) l l ：； + f g o f ) ， ( 4 4 ) 结合( 4 4 ) 得到 l l ( f ) = i iu , ( t ) 1 1 2 一ia u ( t ) 1 1 2 一( a + l la - j u ( t ) 1 1 2 7 ) l la j u ( t ) 1 1 2 塑塑塑墼 一 一1 1 + g ( t f ) 0 ，并且g 满足( a 3 ) ，那么存在正常数c 和q 使得对于所有的， t o ，方程( 3 1 ) 的整体解指数衰减： e ( f ) 一即 证明：由引理( 4 1 ) 知 f ，( f ) ：e ，o ) + 和，o ) 辽宁师范大学硕士学位论文 5 解的破裂性 在这部分我们考虑方程( 3 1 ) 解的破裂性，并运用( 3 2 ) 有如下的结果 定理5 1 假设2 y 3 成立，且e ( o ) o ，( n o ，) d ( a ) xh ，则当在有限 一， 的时间里b 充分小时，方程( 3 1 ) 的解破裂 证明：在方程( 3 1 ) 两边乘以- 2 并在日上积分，由( 2 2 ) ，( 2 3 ) 得 d - i i ( t ) 1 1 2 一i 么”o ) 1 1 2 一( 口一f g ( f ) d f ) 1 1 彳甜o ) | | 2 一厂+ i _ l _ l i i 彳j i 甜( f ) 1 1 2 ，+ 2 一g o ( 彳2 z f o ) ) + 南恤佻a + + j 2 ) = - g o ( a 2 甜( ，) ) + g ( f ) | | a 2 “( 训2 + 2 b l lu , ( t ) 1 1 2 ，( 5 1 ) 令 h ( t ) = - e ( t ) 所以 日7 0 ) = - g o ( a 2 z f ( f ) ) + g o ) l la 2 u ( t ) 1 1 2 + 2 b l lu , ( t ) 1 1 2 0( 5 2 ) 由( 3 2 ) 。( 5 2 ) 得 o 日( o ) 日( f ) 南懒) 峨 设 三( f ) 三h 1 。赢( f ) + 占u u , d x 三( f ) 三 2 + 2 o ) + 占1 对( 5 4 ) 求导并利用( 3 1 ) 有： 砌- ( 1 一夏南) 日赢( ，) ( _ g ，口( 伽1 ) ) + 驯嘲1 驯1 2 + 2 6 删1 2 ) + 圳u , ( t ) 1 1 2 一i ia u ( t ) 1 1 2 - ( a + l la j u ( t ) 1 1 2 7 ) l la i u ( t ) 1 1 2 叫i “( 仳：； ( 5 3 ) ( 5 4 ) ( 5 5 ) 一苤三墨查望坚堡塑堡! ! 些竺堡型查堡塑塑塑堂堑塑_ - _ _ _ _ - - - - _ _ _ _ - _ - _ _ _ - _ - _ _ _ _ _ _ _ 一。 ll + f g ( f f ) 彳j z ，( f ) ，4 i u ( t ) ) d r 一6 】 占忆( o i l ：一d i 彳“( 邮一占( 口+ i i “( f ) 1 1 2 ，一fg ( f ) 俐一“( f ) l l ： l 1i 一6 占 + 占i l “o ) o ：；+ 占fg ( t - f ) 彳j ”( f ) 一彳j “o ) ，么2 u ( t ) ) d f | 耳； y o u n g 不等式估计( 5 5 ) 的最后一项，得 ll 1 - f g ( t f ) 彳i “( f ) 一彳i “o ) ，彳i u ( t ) ) d f 却( g 口( 彳) ) - 南胁删i 赢) 1 1 2 ( 5 6 ) 由( 3 2 ) 式求| i “( f ) 嵫；得 峨：孚帆泔) 1 1 舢砸) 1 1 2 + ( 口一胁俐i 么) 1 1 2 + g 口( 赢) ) + 六臆1 1 2 川】 结合( 4 6 ) ，( 5 6 ) ，( 5 。7 ) ，( 5 5 ) 变为： 这里 令 则 肌膨( 孚+ l _ 一b 2 2 g ， l l 姒叫1 2 + s 孚删州孚一弘砸州2 叫孚刊g 口( 扁1 m co l i 彳1 1 2 2 a ( 川- 2 7 ) i ia ；u 1 1 2 川 c 。= 警+ c 孚小寺胁渺，南 刁 0 ( 5 8 ) 了 这里p = 爱护孚，且三t + 万1 _ l ，+ 2 再利用( 5 7 ) ，得 2 ( 口+ 2 )1 i z 出i4 + 4 c 月( f ) + i iu , ( t ) 1 1 2 + 1 1a u ( t ) 1 1 2 + 1 1 么j z ，o ) | 1 2 + g n ( a 2z f ( f ) ) 一la 2 u ( t ) 1 1 2 7 + 2 ) ( 5 9 ) 因此， ! f g 型：! 尝，三堕垫 三叶4 ( f ) = ( 日2 + 2 p ) + 占毗出) 叶4 结合( 5 8 ) 和( 5 9 ) 得 2 ( o t + 2 ) ， ! f 竺望 2 州( 日( f ) + 引l 刎，出i 辨4 ) c 日( f ) + l | u , ( t ) 1 1 2 刊la u ( t ) 1 1 2 + l la 一2u ( t ) 1 1 2 三三 + g m ( a 2 “( f ) ) 刊a 2 u ( t ) 1 1 2 7 + 2 ) 型堡! ! 三7 ( f ) k l4 + 4 ( f ) ，v t 0 这里七是仅依赖于6 ( a + 2 ) 和c 的正常数 将( 5 1 0 ) 在( o ，f ) 上积分得 ( 5 1 0 ) 关于具有记忆项的k i r c h h o f f 型方程整体解的渐进行为 导， 1 p 弋。赢焉 p + 4 ( 0 ) 一二 因此，( 5 1 1 ) 表明三( f ) 在满足定理( 5 1 ) 中初始时间的条件下是破裂的 ( 5 1 1 ) 辽宁师范大学硕士学位论文 参考文献 1 f a b r i z i o 地l a z z a r ib o nt h ee x i s t e n c ea n da s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fs o l u t i o n sf o rl i n e a r v i s c o e l a s t i cs o l i d s j a r c h r a t m e c h a n a l 1 9 9 1 。1 1 6 ：1 3 9 1 5 2 2 c a v a l c a n t imm ，d o m i n g o sc a v a l c a n t ivn e x i s t e n c ea n du n i f o r md e c a yo fs o l u t i o n so f ad e g e n e r a t ee q u a t i o nw i t hn o n l i n e a rb o u n d a r yd a m p i n ga n db o u n d a r y m e m o r ys o u r c e t e r m j n o n l a n a l 1 9 9 9 ，3 8 ：2 8 1 2 9 4 3 l u i za d a u t om e d e i r o s o nan e wc l a s so fn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s j m a t h a n a l a n d a p p l 1 9 7 9 ，6 9 ：2 5 2 2 6 2 4 k o s u k eo n e o ng l o b a le x i s t e n c ea s y m p t o t i cs t a b i l i t ya n db l o w i n gu po fs o l u t i o n sf o r s o m ed e g e n e r a t en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n so fk i r c h h o f ft y p ew i t has t r o n gd i s s i p a t i o n j m a t h m e t h i nt h ea p p l s c i e 1 9 9 7 ，2 0 ：1 5 1 1 7 7 5 s o l a n g ek o u 6 m o up a t c h e u o nag l o b a ls o l u t i o na n da s y m p t o t i cb e h a v i o u rf o r t h e g e n e r a l i z e dd a m p e de x t e n s i b l eb e a me q u a t i o n j d i f f e q u a 1 9 9 7 。1 3 5 ：2 9 9 3 1 4 6 r e n a r d ym ，h r u s awja n dn o h e ljn m a t h e m a t i c a lp r o b l e m si nv i s c 0 1 a s t i c i t y m l o n g m a n s c i e n t i f i ca n dt e c h n i c a l ，j o h nw i l e ya n ds o n s ，n e wy o r k ，1 9 8 7 7 l i o n sjl q u e l q u e sm d t h o d e sd er d s o l u t i o nd e sp r o b l 6 m e sa u xl i m i t e sn o nl i n da i r e s m d u n o dg a u t h i e r - v i l l a r s ，p a r i s 。1 9 6 9 8 m e s s a o u d ia ，b e r r i m is e x i s t e n c ea n dd e c a yo fs o l u t i o n so fav i s c o e l a s t i ce q u a t i o nw i t h an o n l i n e a rs o u r c e j n o n l i n e a ra n a l y s i s ，2 0 0 5 ，6 4 ：2 3 1 4 2 3 3 1 9 j u n ga ek i m ，y i n gh a om a n b l o wu po fs o l u t i o n so fan o n l i n e a rv i s c o e l a s t i cw a v e e q u a t i o n j a c t aa p p l m a t h 2 0 0 9 ，1 1 1 ：1 - 6 1 0 h o s o y am ，y a m a d ay o ns o m en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s i i ：g l o b a le x i s t e n c ea n d e n e r g y d e c a yo fs o l u t i o n s j f a c s c i u n i v t o k y os e c t i am a c h 1 9 9 1 3 8 ：2 3 9 2 5 0 1 1 n a k a o 虬d e c a yo fs o l u t i o n so fs o m e