（材料加工工程专业论文）流动诱导短纤维取向分布的理论与数值研究.pdf

摘要 摘要 在注塑制品生产中，为了增强制品的性能，最常用的方法就是在聚合物基中 添加短纤维如玻璃纤维、碳纤维。纤维的存在将最终影响到制品的弹性模量、拉 伸强度、热传导、导电性能以及光学性质等。纤维的尺寸是变化的，典型的注塑 用短纤维的直径为o o 卜0 0 2 m ，长径比为1 0 5 0 ，单位体积含有1 0 ，o o o r 衄3 个 取向的纤维。 在注塑充填中，悬浮在熔体中的纤维由于受到变形流场的作用，将沿一定方 向取向，并且取向会随着不同的位置和不同的时刻而发生变化。最终固化到制品 中纤维取向处于一个复杂状态，从而导致力学性能的各向异性。因此，理解、预 测和控制纤维的取向行为，进而控制最终制品的性能具有非常重要的意义。 本论文针对短纤维增强塑料，利用j e f f e r y 单纤维的动力学方程，解析研究 了单个纤维在简单剪切流和拉伸流场中纤维的运动轨迹和取向行为，分析了剪切 速率、作用时间、纤维的长径比、纤维的初始取向角等因素对纤维运动和取向行 为的影响。 同时，利用统计学意义取向概率分布函数描述取向状态，建立了纤维取向分 布函数演化的偏微分方程，即f o k k e r p l a n k 方程，结合j e f f e r y 的只考虑流动引 起取向的方程模型，在悬浮体流变学的基础上并考虑由流动及纤维内部影响两个 方面作用引起的取向，最后得到预测纤维取向的微分方程。 在此基础上，针对于三维剪切和拉伸两个特殊的特征流场，解析求解了纤维 取向分布演化方程，并得到了在这两个流场中纤维的取向特征。而对于复杂流场， 采用有限差分的方法来求解这个演化方程，并得到不同时刻不同位置的纤维取向 状态。 关键词： 短纤维增强 纤维悬浮液纤维取向分布函数数值研究 有限差分方法 a b s t r a c t a b s t r a c t ac o m m o np m c t i c ei n 蝎e c t i o nm o l d i n gi sr e i n f o r c i n gt h ep o l y m e rm a t r i x 、v i t l l s h o r tf i b e r s ，t h ep u 耳l o s eb e i n gt oi m p r o v et h em e c h a n i c a lp r o p e m e so ft 1 1 em a t e r i a l ， p r o p e n i e s 甜ea f 诧c t c db ym ep r e s e n c eo ft h e6 b e r si n c l u d et h ee l a s t i cm o d u l u s ，t h e t e n s i l es _ c f e n g m ，a n dt h ct h e n a la n de l e c 仃i c a lc o n d u 矾v i t i e s t h es i z eo f 舶e rv a r i e s u s l l a l l yt l l et y p i c a li n j e c t i o nm o l d e ds h o n - f i b e rd i m e n s i o ni sa b o u t t e nt ot 、e n t ym i c r o n s i nm d i u sa i l dt e nt of i f c yi na s p e c tr a t i o t h c r ea r ea b o u tr o u 曲1 yl o ，o o o 舶e rp e rc u b i c m i l l i m e t e ro r i e r l t e di nv a r i o u sd i r e c t i o n d l l r i n gt h ei n j e c t i o nm o l d i n gf i l l i n gp r o c e s s ，t 1 1 es u s p e r l d e dn b e r so r i e n ti nr e s p o n s e t ot h ek i r l e m a t i c so ft h en o wt h eo r i e n t a t i o ns t a t eo ff i b e r sc h a l l g e sw i mt i m ea i l d p o s i t i o n c o n s e q u e n t l y ，t h ef i n a lm i c m s t m c t u r eo f t h es 0 1 i d i f i e dc o m p o s i t ei sc o m p l e x a n dt l l em e c h a n i c a lp r o p e n i e so fm em a t e r i a la r ea t l i s o 廿0 p i c f i b e ro r i e m a t i o nc a n s 追n m c a l l ya 肫c tt h em e c h a i l i c a ip r o p e r l yo fp a n s ，w h i c he i t h e rm a d ep a n sd e v e l o p i n g a n i s o t r o p i cp m p e n yo rd e v e l o pr c s i d u a ls 仃e s s “et ow h i c hs o l i d i n e di nt 1 1 ep a n sc a u s e p a r t s t ow a i pd e f o 肌a t i o n f i b e ro r i e n t a _ c i o ni s t l l em a i np r o p e r t i e so ft l l ep a n s m i c m s t r u c t u r e d u et om er o l eo ft 1 1 em i c r o s 仃u c t i l r ei nd e t e m l i n i n g 廿l em e c h a n i c a l p r o p e r t i e so fc o m p o s i t cp m d u c t ，“i sv e r ys i g n j f i c a n tt oc a t c h o na n d p r e d i c tt h eo r i e n t e d b e h a v i o ro ff i b e r si n d e e dt oc o n t r o li t f o rt l l es h o r tf l b c rr e i n f o r c e dc o m p o s i t c s ，1 em o t i o no fas i n g l e6 b e rw a ss t u d i e d a n a l 蛳c a l l yi 1 1s i m p l es h e a rf l o wa n de x t e n s i o n a lf l o ww i mj e 舵r yd y m m i c se q u a t i o n b e s i d e s ，、v ea i l a l y z em a tt h ef i b e rm o t i o na l l do r i e m e db e h a v i o rw a sa f r e c t e db yt h es h e a r v e l o c i t y ，t h et i m e ，t h ea s p e c t 硎oa n d 1 eo r i g i n a lo r i e n t a t i o na i l g l c s a tt 蝣s a r r 坨t i m e w ed e s c r i b e 也es t a 士eo fo r i e n t a t i o nf i b e rw i t hm es t a t i s t i c s 丘b e r d i s t 曲u t i o n 铀l c t i o n ，a n ds e tu pt 1 1 e d i 腩r e n t i a lc o e m c i e n te q u a t i o np r o v i d e st 1 1 e e v o l u t i o no ft h ed i s t r i b u t i o n 劬c t i o n 、v i mt i m e ，a sf o k k e 卜p l a i l ke q u a t i o n a p p e n d i n g 山e j e 丘b r y sm o d e lt a k i n g i n t oa c c o u i l tt h em o t i o nc a u s e do n l yb yn u i dm o v e m e n t ，f i n a l l yw eo b t a i n e dt h ed i 琢；r e m i a lc o e m c i e me q u a d o nt op r e d i c t 山ef i b e r o r i e m a t i o nb yt 撕r 培i m oa c c o m tt 、o f 缸t o r s ，血en u i dn o w 姐dt h en b c r i f i b e r i n t e r a c t i 0 1 1 s ，w h i c hi n d u c e dt h eo r i e n 协t i o nm 而o nb a s e do n 廿1 es u s p e n s i o nr h e 0 1 0 9 y a b s t r a c t t 0m es p e c i a l 血e ed i m e n s i o ns h e a ra i l de x t e n s i o n a ln o w ，t h e 肺e rd i s t r i b u t i o n f h n c t i o nc a nb es 0 1 v e da n a l y t i c a l l y ，a n dm eo r i e m a t i o nc h l r a c t e r i s t i co f n b e r s 、v a s o b t a i n e d b u tt oc o m p l e xn u i d ，i ti sn o tp o s s i b l et os o l v ea n a l y t i c a l l yt h ee q u a t i o nf o r g e n e r a lc a s e s ，s ot h cc v o l u d o ne q u a t i o nw a ss o l v e dw n h 也ef - m i t ed i 腩r e n c em e m o d a i l d o b t a i n e dt h eo r i e n t a t i o ns t a t eo ff i b c r sa td i 行e r e n tt i 1 ea n dp o s i t i o n k e y w o r d s ： s h o r t 助e rr e i n f o r c e d f i b e rs u s p e n s i o n sf i b e ro r i e n t a t i o nd i s 廿i b u t i o n 血n c t i o n f i n i t ed i f r e r e n c em e l o d i i i 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、抄 袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切 法律责任和法律后果，特此郑重声明。 学位论文作者( 签名) ：酞兼；王： 如咿年中月巧日 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 短纤维增强塑料加工过程简单，加工费用低廉，在工业范围得到广泛应用，如 注塑成型、注压成型等。纤维增强塑料是以塑料为基体，以各种纤维( 如玻璃纤 维、碳纤维等) 为分散质的高分子复合材料。纤维增强热塑性复合材料大致可以 分成两类，一是连续性纤维或长纤维增强，一是短纤维增强。其中短纤维增强塑 料是一种重要的工程材料，具有高强度、高弹性模量和刚度以及抗蠕变性能好等 优点，近年来得到了广泛的应用 1 _ 5 l 。 大多数商业上的短纤维增强热塑性塑料包含质量比约3 0 ，或体积百分比约为 1 5 的短纤维。相比与长纤维增强塑料的生产方式如预浸料模压成型、片状模塑料 冲压成型、片状模塑料真空成型、预浸纱缠绕成型以及拉挤成型等，短纤维增强 塑料的成型方式更具自动化，如注射成型、挤出成型等。特别是注射成型，可以 高效并低消耗地生产各种形状复杂的复合材料结构制件0 1 。 作为柱状粒子的纤维具有方向性，柱状纤维在流场的作用下，不断地移动和 转动而发生取向，在短纤维增强塑料注塑成型过程中，不同的时刻和位置，熔体 中的纤维会受到不同的流场和热场作用，将会引起纤维的运动和旋转，进而导致 纤维沿一定方向取向。纤维的取向分布取决于流体的速度梯度、作用在纤维上的 力矩等因素，这些因素通常导致纤维获得一个占优的取向，同时，熔体固化的过 程中纤维的取向也会发生变化。取向分布不仅会引起材料的各向异性行为，而且 也是制件微观结构的重要特征，决定着最终产品的力学性能、光学性能以及热物 理性能，预测和控制产品的取向分布和各向异性行为是学术界和工程界面临的主 要课题18 1 。 本论文将采用解析和数值方法研究纤维在二维、三维简单和复杂流场中纤维 的运动、取向和流场之间的关系，以及纤维在流场中的运动轨迹。在此基础上， 利用统计学意义概率分布函数描述取向状态，利用控制体积的概念得到了取向分 布函数演化的f o k k e r p l a n k 方程，解析求解了在简单剪切流和拉伸流场中取向分 布函数随累积应变的演化，采用c r a n k n i c o l s o n 格式的有限差分方法计算了任意 流场中，纤维取向概率分布函数的演化，比较准确地描述纤维在复杂流场中的运 郑州大学硕士学位论文 动和取向。 1 2 国内外研究现状 纤维悬浮液的特征可以由悬浮液中纤维的长度l 纤维的直径d 以及单位体积 中纤维的个数n 来描述，根据这些特征，纤维悬浮液可以分成： ( 1 ) 稀释悬浮液，( n p l ，n l 2 d 1 ，n l 2 d 1 ) 图1 稀释悬浮液图2 半稀释悬浮液图3 集中悬浮液 f i g 1d i l u t es u s p e n s i o nf i g 2s e m i d i l u t es u s p e n s j o nf i g 3c o n c e n t r a t e ds u s p e n s i o n 对于长度为l 和直径为d 的纤维，一个纤维在空间自由旋转，如果能够相遇的 纤维远远小于1 ，即每一个纤维能自由的旋转，这样的纤维悬浮液称为稀释悬浮液； 如果一个纤维在空间自由旋转，如果能够相遇的纤维远远大于1 ，但自身所占有空 间中，与其它纤维相互交叉的个数又远远小于下，这样的纤维悬浮液称为半稀释 悬浮液；如果这两个数都远远大于1 ，则纤维悬浮液称为集中悬浮液。对于用于注 塑的短纤维增强塑料，纤维的长度l = o 1 m m 1 m m ，纤维的直径d = o 0 1 衄左右， 而体积充填百分数为1 5 一4 5 ，则i l l 3 = 1 0 0 1 0 0 0 ，而n l 2 d = 5 1 0 ，因此为典 型的集中悬浮液。 在流场作用下，纤维悬浮液中纤维的运动和取向研究在国内外得到广泛的重 视，1 9 2 2 年，j e 恐r y 【1 9 解析解决了浸没在粘性流体中单根纤维的运动状况，在他 的研究中，纤维被视为刚性的椭球体并浸没在简单剪切流体中，在忽略了粒子间 内部作用力以及布朗运动引起的旋转的假设下，计算了在牛顿蠕流中具有一定角 度的椭球形纤维的瞬时速率1 ，发现了椭球形纤维的周期性旋转以及纤维粒子的 运动轨迹，称之为j e 髓r y 轨迹。b r e t l l e r t o n ( 1 9 6 2 ) 【2 1 】利用通过引入等价长径比y 。 的概念，利用j e 虢r y f 方程描述任一个轴对称粒子在牛顿流体中的运动。用j e f f e r y 2 第一章绪论 方程计算引入等价椭球长径比之后，可以较好的预测到纤维的取向【2 。 b a t c h e l o r ( 1 9 7 0 ) 【2 3 ，2 4 】推导出对于在任意浓度的牛顿流体中纤维粒子的悬浮液都适 用的一般性连续性方程，在忽略惯性条件下，针对于轴对称的刚性长纤维悬浮粒 子，方程可以得到流体应力作用下产生的的形变率，并且给出了纤维粒子的微观 结构和显示出来的宏观性能之间的关系式。d i n ha n da r m s t r o n g ( 1 9 8 4 ) 在 b a t c h e l o r 的方法的基础上，结合j e 位r y 的方程，得到了无限长刚性纤维半稀释悬 浮液在均匀牛顿流体中的流变学本构方程。d i n ha n d a n s t r o n g 模型的预测与熔体 复杂的流变学行为吻合性非常高，并得到广泛应用。a u s i a se ta 1 删用一种与d i i l l l a 1 1 da 衄m o n g 相似的方法，推导出一个对于长刚性纤维的稀相悬浮液的方程并将 这个方程扩展到到集中悬浮液，并们提出了一个能够将应力与纤维取向联系起来 的参数j 。 在对短纤维增强塑料的取向状态描述存在两种最常用的方法，一种是基于纤 维分布函数，这个函数提供了纤维沿某一个方向取向的可能性，即概率分布。 第二种方法是采用了取向张量来描述取向问题。f 0 1 9 a ra 1 1 d t u c k e r s ( 1 9 8 4 ) 2 8 1 运用 现象学方法模拟了纤维旋转推导出了一个数学模型，这个模型预测了对于浓悬浮 液中刚性纤维粒子的取向分布函数。在这个模型中引起纤维旋转考虑了两个方面 的力：一个是扩散影响，是由纤维与纤维之间的内部相互作用引起的，另一个是 对流影响。他们提出了一个经验参数来考虑纤维之间的相互作用，还有大量的研 究者用这种方法对于纤维集中悬浮液开展了一系列工作 2 9 。3 2 】。 s h a q f e ha n dk o c h ( 1 9 9 0 ) 3 3 】研究了在拉伸流体中，由纤维内部影响引起的纤维 取向分布在集中悬浮液和稀释溶液中都会增加，但是在半稀释悬浮液中却会减少。 s t o v e rc ta 1 ( 1 9 9 2 ) 口4 用实验测量描述取向方向角的分布，证明了与j e r r e r y 的在 半稀释悬浮液的简单剪切流结论完全一致。这里面的矽角是纤维取向方向在流动 梯度面上与作用力方向的夹角 3 5 j 。b e r c r a f ta n dm e t z l l e r 【2 0 】通过对d o i 【4 7 】关于流体 结晶聚合物分子理论的修正，基于“分子模型”来考虑宏观尺度的纤维。g h o s he t a 1 口6 】采用了热力学方法，提出了一个运用构象张量描述在取向空间的一个纤维取 向状态的模型。 采用张量描述取向结构也是目前在计算纤维取向时的一个较常用的方法，在 聚合物的流动在型腔内已知的条件下采用取向张量的演化方程能够预测到由流动 引起的取向。但是在实际的生产中型腔内部的流动并不是十分容易就能够完全准 郑州大学硕士学位论文 确的掌握的，因为大部分的型腔形状都是不规则的，那么导致内部的流动也呈现 多态性。在这种情况下，数值的方法就是一个比较有利的工具f 3 7 4 0 j 。 目前也有大量的学者针对于成型过程中的不同问题作了相关研究1 4 “。但大 多数分析的都仅仅是高聚物熔体流动在注射成型过程中的填充阶段。可是填充阶 段之后，聚合物熔体的保压补偿了最终成型制品可能出现的收缩。在保压阶段， 型腔内部发生了由于聚合物熔体的可压缩性产生的聚合物流动。保压过程中的流 动引起纤维重新取向。因此，保压结束后最终制品中的纤维取向结构与填充结束 后纤维取向的结构有很大的不同。m a l z a h n 与s c h u l t z 用实验方法观察填充阶段末 期与保压阶段结束后纤维取向的改变。可是这一研究只是定性的，没有做纤维取 向变化的定量比较，并且对取向变化的表述也不够充分。 1 3 本论文的主要工作 本论文针对短纤维增强塑料，重点研究研究纤维在二维、三维简单和复杂流 场中纤维的运动、取向和流场之间的关系，以及纤维在流场中的运动轨迹。利用 统计学意义概率分布函数描述取向状态，利用控制体积的概念得到取向分布函数 演化的f o k k e r p l a n k 方程，解析求解了在简单剪切流和拉伸流场中取向分布函数 随累积应变的演化，采用c r a n k n i c o l s o n 格式的有限差分方法计算了任意流场 中，纤维取向概率分布函数的演化。 论文的主要工作包括： 1 利用j e 舭r y 单纤维的动力学方程，解析研究了单个纤维在简单剪切流和拉伸 流场中纤维的运动轨迹和取向行为，分析了剪切速率、作用时间、纤维的长径 比、纤维的初始取向角等因素对纤维运动和取向行为的影响。 2 通过对单纤维动力学行为的研究，得出的主要结论包括：在简单剪切流动中， 纤维会在流场中作周期性旋转，旋转周期与剪切速率和长径比有关；纤维在旋 转周期中的旋转速率随巾的变化而变化，在剪切平面( 中 1 7 5 。) 中纤维缓慢旋转，而在其它角度，纤维会快速转向剪切平面。因此，可以认为 在简单剪切流动中，纤维是沿剪切或者说流动方向取向的。对于拉伸流动， 纤维会快速取向于拉伸方向。在拉伸时纤维的运动与剪切时最大的区别在于， 在拉伸时，纤维运动到拉伸方向时，纤维不会再翻转。而剪切流动时，尽管纤 第一章绪论 维取向于剪切方向，但纤维会继续翻转。 3 针对短纤维增强塑料，利用取向分布函数描述成型过程中的取向状态，建立纤 维取向分布函数演化的偏微分方程，即f o k k e r _ p 1 a n k 方程，结合j e f f e r y 的 只考虑流动引起取向的方程模型，在悬浮体流变学的基础上并考虑由流动及纤 维内部影响两个方面作用引起的取向，最后推到出预测纤维取向的微分方程。 4 针对于三维剪切和拉伸两个特殊的特征流场，解析求解了纤维取向分布演化方 程，并得到了在这两个流场中纤维的取向特征。而对于复杂流场，采用有限差 分的方法来求解这个演化方程，并得到不同时刻不同位置的纤维取向状态。 第二章纤维动力学研究 第二章纤维动力学研究 2 1 单纤维取向的描述 在描述纤维取向时，一般情况下假设： ( 1 ) 纤维为刚性的圆柱体； ( 2 ) 长度和半径统一； ( 3 ) 纤维初始状态时在空间是随机均匀分布的，但它们的取向可能不均匀。 在满足上述假设的条件下，单纤维的取向可以用一个与纤维一致的单位矢量p 表示。这个单位矢量用e u l e r 角目和角毋来表示。所以单根纤维在空间某一点的取 向行为完全可以用两个变量p ，) 在球坐标中描绘出来( 如图2 1 所示) 。 x ， p = p c 曰，矿，= ； c 2 ， 写成分量形式e = s i n 口c o s ， 岛= s i i l 毋s i n ，忍= c o s 口，其中最，b ，b 是内部 相关的，因为只只= 1 ，因此只有两个独立的。 由于对称性，取向的纤维没有头与尾的区别，即p 一一p ，在球坐标下， 郑州大学硕士学位论文 口斗丌一目以及西j 石+ 莎。这个性质只适用于前面假设的直的刚性纤维粒子。如果 研究柔性或者弯曲弧形纤维粒子的时候就要用不同的描述方式。在本篇论文中的 研究针对的是刚性纤维粒子。 单根椭球状刚性纤维存在很多的几何形状，其几何特性由其水力学作用参数 即纤维的形状因子 来描述， = 籍 z ， 其中儿= 工d 为纤维的长径比，对于用于短纤维增强注塑塑料，r 。一般为1 0 5 0 ， 根据纤维的长径比，还有几种特殊情况： ( 1 ) 当纤维长径比以o 。o 时，认为a = 1 ，此时为长纤维： ( 2 ) 当纤维长径比以= l 时，五= 0 ，此时为球形纤维； ( 3 ) 当纤维长径比九啼o 时，认为兄= 一1 ，此时为圆盘状纤维。 以上的三种观点只对刚性例子适用。忽略熔体中浮力的作用性，熔体的密度 被认为等于纤维的密度。所以悬浮液被看成是不可压缩的。 2 2 单纤维在流场中的运动 纤维粒子在流场中存在着两种运动的趋势，一种是纤维矢量p 中心以某个速 度矢量的平动，另一种是纤维粒子在流场作用下的转动p 。由于不存在相对运动， 旋转矢量p 与单位矢量p 之间存在着正交的关系。如图2 2 所示。 图2 2 纤维旋转矢量p 正交于纤维取向矢量p f i g 2 - 2f i b e rr o t a t i o n a lv e c t o rpi sp e r p e n d i c u l a rt ot h eo r i e n t a t i o nv e c t o rp 第二章纤维动力学研究 纤维粒子的运动行为都是由流场的运动引起，旋转矢量p 是在考虑了纤维粒 子间的内作用力得到的。对于牛顿流体中的刚性椭球形的单纤维，如果忽略纤维 粒子之间的相互作用力以及假设无表面滑移边界条件，j e f f e r y 【1 9 ) 在1 9 2 2 年推导 出了旋转矢量t 。岛仅仅表示由流体运动引起的取向行为。 e = 盯尸+ 兄仁p e ：川甲) ( 2 3 ) 其中毋为纤维的涡量张量，e 为纤维的形变率。方程右边的第一项为旋转，括号 中的第一项为由拉伸引起的旋转，后面一项只是用于保证一般守恒。 万、e 的定义式分别为 萨! ! 二型( 2 4 ) 2 e ：! ! ! 生( 2 5 ) 2 式中v “为研究域中的速度梯度。 2 2 1 单纤维在三维流场中的运动 吣畦篡 珂= 三 ：；：篡：三! 二芝：；： ( 26 ) ( 2 7 ) “l 。2 + ”2 ，l甜i ，3 + “3 1 2 2 ，2“2 ，3 + “3 2 ( 2 8 ) 材”+ 甜2 32 “” j 由上式可以得到酊为反对称矩阵，而e 为对称矩阵。 单根纤维的取向方向矢量为p 。在球面坐标下，p 的表达式为 “ 甜 “+ + 2 j j 2 1 ， “ ，。l 1 2 = e 郑州大学硕士学位论文 j 置 尸：ib l b s i n 口c o s 西 s i n 口s i n 西 c o s 口 e 为p 随着时间的变化，尸p ，) 对时间t 求导得到， 由公式e = 刀，弓+ 五忙， 第一部分 c o s 目c o s 西塑一s i n 口s i n 击坐 c o s 臼s i n 击翌旦+ s i n 目c o s 西堂 一s 砌塑 讲 p | 一e u ：rp 1 只1 分步展开： q 1 置+ 矾2 马+ 吼3 b 万f 弓2 i 口2 1 只+ 玎2 2 b + 司k 昱 l 吒t 只+ 方3 2 足+ 吼3 b 第二部分： l 丢( 考一割s i n “n 一+ ；( 警一警 c 。s 曰 2l 印缸j 2 l 缸j = 矿j 三( 窑一势帆叫磅罡一刳c o s 占 b ( 罢一老) s 枷s 叫+ 丢 考一笔 s ；n 觚n 4 1 2 3 i 置i 置+ 蜀2 b + 巨，b | 旭f 只= a i 占2 1 只+ 易2 b + 岛，b l 岛- e + 毛2 最+ 玛，j f 五ls i n 口c o s 萨+ e 1 2s i n 口s i n 妒+ 与3c o s 口 = 五l e 2 ls i n 疗c o s 庐+ e 2 2s i n 臼s i n 庐+ e 2 3c o s 口i l e 3 ls i n 目c o s 妒+ 层) 2s i n 口s i l l 矿+ 毛3c o s 臼j 9 ( 2 g ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 第三部分： 地：p p p 第二章纤维动力学研究 e 1 1s i i l 臼c o s s i l l 占c o s + e 1 2s i n 护c o s s i n 占s i l l 1 l + e 13s i n 目c o s c o s 口+ e 2 1s i n 口c o s s m 目s i n = i l + e 2 2s i i l p s i n 庐s i n 日s i n 庐+ e 2 3s m 目s i i l c o s 目 l + e 3 is i n 臼c o s 妒c o s 口+ 岛2s i i l 目s i i l 妒c o s 口+ e 3 3c o s 目c o s 目 2 触：+ 爿老+ 芸陋s 2 l 出觑j 7 2 口s i n 西 ( 21 2 ) s i n 口c o s 庐l s i n 目s i n 庐l ( 2 1 3 ) c o s 臼f 将( 2 1 0 ) 、( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 、( 2 1 3 ) 代入到( 2 3 ) 式整理可以得到矩阵关系 ( 2 ，1 4 ) | 耋 啷 差； 、，ll、，一：刳劫卫出 + + 妒 (苦一瑟加一出 油罡罡吖烈数涫 弘 协 抽 西一瑟 钆 跳 + n n w y - 量 璺 却一劫 、ij vy，ll割卫砂嗄 + 矿 矿 加一砂 k 钆钆 卜， m m 矿、r，弘 瞄 乩一砂砌一出 llj 鼻b 巴 丌o o o i 0 业 b 己最驯 + + + 只巴嚣蚺 墨+ + + 只鼍只足己 e + + 啦西 s 1 o h 目 c s s曲们 s s 。，l 口l 宝c+ 丝如 卜 妒 n蹦日n s 西一砂 纠叫 燃础 一旧 一 c 1iu二_l 且疡歇 ri训i 型卉彬万 咖 啦 ：晏 觚 咖 咖塑西哮 枷一出卯一西-辱|磋哮叫 兰 咖 0 塑坐! 奎兰堡主兰篁丝苎 写成方程组形式为： c 。s 口c 。s 庐警“n 觚n 妒警= 4 + 碣+ 肥s i n 护c 。s 矿 c 。s 心n 庐警+ s i n s 声警咆+ 岛s i n “n “n 口警= 4 + 他+ 肥c 。s 臼 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 田力j 陧l z l 导刳 堂：一刍堡丝! ! 翌 西 s j n 曰 = 白t 3 c o s 妒+ s l n 庐) 叫 忙如) s i n 2 s 2 ( 21 8 ) + 詈暇。+ 局：) s 凇护+ 三日：s i f l 2 护s i t l z 矿 + e 2 3c o s 目s i n + e 3 lc o s 2 口s i n 】 一羔牡隹一韵s t 慨嘶t 陪一訇s 碱吲 + 啦瞎+ 塞) s m s 嘶+ ：陪+ 期s i n 鲥n 妒+ 老c 。叫 + 椎血椰c o 坼笋甜妒+ 暑耐口十辑+ 姗叫 + 净抵印+ 净z 强十斟 = ，b ( 警一豢) c 。s 声+ 圭( 塞一考 s 叫 + 刃瞰尝一考 s ；n ：“n z + 三( 塞+ 多 s i n z 护+ 去 ；+ 塞) s t n z 口s ；n z 一 + 圭 暑一茅 c 。s 心n 一十三( 罢十警) c 。s ：心n 一 将( 2 1 8 ) 式代入( 2 1 5 ) 可以得到： 警= 一c 培陡辔妒c s c 口o ，+ 碣+ 肥c 。s 口) 一c s c 口c s c 0 1 + 弛+ 五c s i n 口c o s 声) = 向2 l + 订2 3 c 辔口c o s 一甜1 3 c 培口s i l l 痧)( 2 1 9 ， + 五 三( e ：一蜀。) s ；n 2 妒+ 五：，c 辔口c 。s 一e 1 1 c 辔目s i n + e ，c o s 2 1 = 珥 第二章纤维动力学研究 c 噜增c s c 日巴( 尝一老) s ；n 铽n 一十j ( 考一象 s 证“n 一 s i n 目s i n 西 + c s c 臼c s c 一 罢s t n p c 。s 庐+ ；( 考+ 笔 s ；n 心n 庐+ ；( 警+ 豢) c 。s 邙 考 + 弦培口c 。s 痧圭( 老一考 一胁“n 妒：( 老老 + 最终得到单纤维在三维流场中随时间变化的三维动力学方程为： 旦旦= 一生2 苎堡! 墨竺! ! ! 旦 出s i n 口 = ，p 1 3 c 。s 妒+ 珂：3 s i n ) + 五b 陋。一) s i n 2 口c 。s 2 庐+ 昙陋。+ e ：) s i n 2 目( 2 2 。) + 去e 1 2s t n 2 口s h 2 妒+ e 2 3 c o s 口s i n + e 3 1c o s 2 p s m 庐】 以发， 等= 一啦良喀舾c 口o ，+ 弛+ 肥c 。s 口) = 白2 l + 巧2 3 c 留目c o s 庐一z 盯1 3 c 增口s i n 妒) + 五l 去( e 2 2 一巨1 ) s i n 2 r ( 22 1 ) + e ， c 辔口c o s 庐一e 1 c 坦白s i n + e ”c o s 2 庐1 l 厶 邙劫 + 奢黔 丝髓 埘 甄触 j 口 觚割卦羟坠砂叫 数加跳 ； 刚斗 矽 p 耄 眦 2 咖 嘟 堡缸 叫 塑砂 抬 厂卜0 n 一2、h厂 外 塑钯 蛐 一 ，一2 c 宅一砂 印 十 ， 抬 l 呈 暑 棚割 ( 若一觑 抛一瑟 舛弘从 一 十 一 却一缸 ，、 ，一2 = 、 鼬一砂 加一缸 r 例l 盹 却一玉 ( 砉一钞 r 硎l 钆 一2 势去髂喉 吨 驰 吨j ： 2 塑型盔堂堡圭堂篁笙苎 2 2 2 单纤维在二维流场中运动 v “= i 甜l ， “l z i k 叫，： o j2 l “2 ，1 一“啦 o j e 乱麓：0 1 2 l “2 1 + 1 2 2 “2 2 j 毗= 出锑 楼罄批= 户i 喜 圣一喜5 。i n 口。：1 2 乏 毗= 瞄：黝 一，：罢s i n 占c 。s + 丢( 考+ 昙 s i n 口s i n 2 兄，】三( 罢+ 考 s m 口：二+ 雾s 血口s 血 ：五e t - e e + e - ：置b r 只 2 z l + e ：。e 只+ e ：只只j 1 只jl + e 2 l e 只+ e 2 2 只只j l 只_ j 1 3 谁 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 叫麓嚣蒜= 堆箸l + 三( 罢+ 雾 s ；n 口c 。s 姆n 臼s i n 矿+ 参s m 臼s t n 倒n 口s i n 妒p 们8 i 叫j = c s i n 口c 。s 矿 l s i n 口s i n 妒j e 鸶黧靴h 州端 旧s 叫警“眦吲行训“蚓伽咖纠 警= + 彳b 。一最：) s i n z 目c 。s z + 言慨。+ 坶n z 目+ 三e ：。；。z 占。；。z = ； 巴蚴s t n z s z 庐+ 吾慨。鸲：) s l 。z p 鸲：。m 铡。： = 去心n 2 曰。，一) c 。s 2 + 3 0 。+ ) + o 。：+ ) s i n 2 】 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 警码- 十五旧瓯喝。) s i n 2 妒+ 即o s 2 力 ；兰型；! 鱼+ ；a o ：一。) 。i 。2 庐+ ；五0 。：+ 。：。) 。2 矿 2 _ 3 。 如果将纤维也考虑为二维，那么纤维取向状态函数的变量就只有，即目2 ； 为己知，则河，= 珂2 3 = o ，e 。3 = e ：，= e 。= 0 此时单根纤维的动力学方程为： 警电一旧皈：喝汹2 蛾c 喇1 2 尹 ( 妻一考 + 三五( 考一罢 s ；n z + 吉( 考+ 罢) c 。s z 庐1 2 _ 3 1 2 3 小结 由以上内容可知，在假设纤维之间无互相作用力，取向由流动引起时，纤维 在流场中的取向状态与其自身形状、初始状态及流场的主要特征有着密切的关系。 当给定一个确切的流场，即可得到不同特征的流场中纤维在某时刻的取向特点。 第三章平面流场中纤维的运动和取向行为 第三章平面流场中纤维的运动和取向行为 在上一章讨论了单根纤维在三维以及二维流场中随时间变化的运动方程，那 么在这一章将把这些方程运用到具体的流场中。以平面流场为例，来观察和研究 单纤维在平面流场中的运动特点。 对于平面流场，它的速度梯度特点是万= o 即昙= o 。但流场虽然为平面，纤 维在流场中可以空间布置，由第二章可知平面流场中纤维运动随时间的变化方程 为： 鲁= 驯如也：) 咖z 洌+ 吾( 置。+ 如) s i n 2 p + 巨：s i n 2 “n 2 庐i 警喝。+ 啦( 喝i ) s t n 2 川，：c o 浏) 旺：， 3 1 稳态简单剪切流场中纤维的运动和取向 1 l 回襁念间早男训、侃仕廷明功甲是非雨帚见也很伺计咒蒽义嗣一柙流物彤 式，它的速度梯度特点为掣：户，其余为零，即： w v 吲酬 n 。， 其中，为剪切率，它的涡量张量口及变形率张量e 分别为： 。：委f o 翻 。， 2 l 一尹o j e ：昙? ! i ， 2 l ，o j 。 将v “，万，e 分别带入到方程( 3 1 ) 及( 3 2 ) 中，整理后可以得到单纤维在 二维简单剪切流场中的动力学方程： 警= 扣m 纰z = 籍细z 2 妒 s ， 郑州大学硕士学位论文 警= 扣洌叫= 一氧筹c o s z 对方程( 3 7 ) 两边同时进行积分， 坛一睁o f s i n2 妒+ c o s 2 庐 j e + 1 令t a i l 庐= x ，则却= i 出并且可以推得s i n 2 = 禹 分别代入上方程，则： 焉一垮 j 专删a n 纯t 趴舻_ c 寿叫 对于曰，由( 3 6 ) 及( 3 7 ) 可以得到， 塑一a s i n 2 旦兰型 d 痧2 似c o s 2 声一1 ) d 口 s i n 2 彬庐 i 而刊瓦鬲硼 l n 切n 口= 一去l i l ( 1 一a c o s 2 妒) + 1 1 1 c ：1 n ! ：! 誓s i n 2 + c o s 2 c o s 2 砂= 二t 1 + x 4 协n 口：1 1 ：! ( 3 9 ) 孑s i n2 妒+ c o s 2 矿 这个方程类似与j e f f e r y 运动方程，这个方程适应于稀相悬浮牛顿流体，可 以用来计算任意长径比的纤维在流体中的取向状态。其中c 和足为积分常数，依 赖于初始的纤维取向角以及流场的剪切速率。 对于常数世，在t = 0 时， l g 垂o = r g k 世：伽留( ! c 培九) 31 0 对于常数c ，在t = o 时， 1 6 第三章平面流场中纤维的运动和取向行为 ，一t a n 岛2 s i n2 声+ c o s 2 矿 。一一 ( 31 1 ) 如果c = o ，则o = o ，即纤维与z 轴重合，并且永远绕z 轴旋转。如果c = 。o 则臼= 要，纤维处于x y 平面，并且永远处于x y 平面。 3 1 1 非周期性运动的纤维粒子 如果研究直径无穷小的杆状纤维粒子，从方程中可以看出来当纤维的长径比 斗o 。时，单纤维动力学方程( 3 6 ) 和( 3 7 ) 可以近似看成： 骞= ；籍心脚s i 恻= ；s ；脚s 喇 t z ， 舅= 一致筹c o s z 卜2 其中，= 声为累积的剪切形变量，由这两个式子可以整理得到在长径比无限大并 且忽略纤维粒子直径的情况下，描述纤维旋转的两个e u l e r 角随时间变化的动力 学方程： t a l l 口= t a n 岛陟2s i n 2 盛+ 2 y s i n 丸c 。s 丸+ 1 弘 ( 31 4 ) t a l l 函：l( 3 】5 ) c o t 九+ y 这是d i n ha n da r m s t r o n g m 3 方程。在长径比趋于无穷大时，纤维在整个流场 中随时间变化的运动情况主要与纤维的初始角度有关，并受到流场剪切力的影响。 由方程( 3 1 4 ) 和( 3 1 5 ) 可以得出纤维在，= 0 时刻的纤维所处的状态，从而在 给定了初始e r u l e r 角之后便可以得到纤维粒子在每一个时刻的运动状态。 下面观察一下纤维在相同的九不同的吼下，随着累积剪切形变量y 变化的运 动状态的不同： 郑州大学硕士学位论文 第三章平面流场中纤维的运动和取向行为 行一次翻转，并向与剪切面呈零度方向靠近。反转过程所需要的形变张力为，。 由于纤维永远不能和剪切面重合，那么我们定义一个角度区域作为剪切面的边界 来考虑y 的取值区间。 如果把角度区间定为1 0 0 即庐 1 7 5 0 时，即纤维在这个区间内都大致 看成为处于剪切面状态。那么由图3 2 可以看出从1 7 5 0 开始经过一次翻转变化 到5 0 ，需要的y 大约为2 5 。我们扩宽剪切面的边界范围，当我们取角度区间为2 0 0 即 1 7 0 0 时，纤维经过一次翻转后，形变张力的变化区间为，* “