（基础数学专业论文）非自伴dirac特征值问题的伴随问题.pdf

郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有 剽窃、抄袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意 承担由此产生的一切法律责任和法律后果，特此郑重声明 学位论文作者：翟永趋 2 d d 年斗月2 d 日 中文摘要 摘要：d i r a c 特征值问题的自伴性是由它的边界条件所确定本 文通过d i r a c 特征值问题和它的伴随问题的讨论，得到了判断自伴性 的一个充分必要条件此外讨论了一个非自伴的问题，对它和它的伴 随问题的特征值、特征函数进行了详细的讨论，得到了一特征展开定 理 关键词：d i r a c ；伴随问题；特征展开 a b s t r a c t ：t h es e l f a d j o i n 恤e s so fd i m ce i g e n v a l u ep m b l 锄d e t e h l l i n e d b yi t sb o r d e rc o n d i t i o n b yv i n l l eo fe i g e n v a l u ep m b l e ma n d i t s a d j o i n tp r o b l e m ，w ec a no b t a i nas u 衔c i e n ta n de s s e n t i a lc o n d i t i o n t oj u d g et h es e l f a 由o i n t n e s so fd i r a ce i g e n v a l u ep m b l e m b e s i d e s ， b yg i v i n gad i r a ce i g e n v a l u ep r o b l 锄e x a m p l ea n ds t u d 姐n g 位 e i g e n v a l u ea n de 垃e n r m c t i o no fi ta n di t sa d j o i n tp r o b l e m ，w ec a i l o b t a i na i le i g e n 如n c t i o ne x p a i l s i o n 也e o r e m k e yw o r d s ：d i r a c ；a d j o i n tp r o b l e m ；e i g e n m n c t i o ne x p a n s i o n 4 1 引言 s t u n n l i o u v i l l e 问题起源于1 9 世纪初叶f o u r i e r 对热传导问 题的数学处理中1 9 世纪3 0 年代，s t u r m 和l i o u v i l l e 对常型的s l 问题进行了详细的研究常型问题是指有限区间上且位势有界的微 分方程边值问题奇型问题，是指区间为无限或势函数在有限区间上 无界的微分方程边值问题常型问题研究的内容包括：特征值和特种 函数的存在性及渐进估计，特征函数系在哪些空问中具有完备性的问 题和反谱问题奇型问题研究的内容包括：l e v i n s o n l e v i t a n 理论， w e y l e 理论，t i t c h m a r s h 公式等，解决了谱函数系的存在性和唯一性 d i r a c 特征值问题起源于量子力学1 9 2 1 年，w h u r w i t z 证明了 一个一阶微分方程系的特征函数系的完备性1 9 7 5 年，b m l e v i t a n 和i s s a r g s j a n 将其应用于积分方程，从而使d i r a c 问题的研究得到 进一步的发展 对于有限区间上的s t u r m l i o u v i l l e 问题的研究，不管是白伴的 还是非自伴的都已经有相当好的理沧。h 对于有限区间上的d i r a c 特征值问题，在文 3 和 6 中有着较为完善的讨论，但是对于一般有 限区间上的d i r a c 特征值问题的白伴性的条件却没有文献涉及本文 在第二段中讨论_ 这个问题，得到了它自伴的充要条件，其结果与前 述的s l 问题的结论相平行在第三段中讨论了个非自伴的d i r a c 特征值问题，获得了它的展开定理 2 自伴的条件 定义2 1 称形如d ( 加( b 纠一一驯y 的算式为一维的 算式，其中口= 二习，p ( n ，( z ) 为复值函数 p = 匕臻 巧 y 】= 口i l 咒( o ) + 口。儿( o ) + 乜。y ，( 石) + 白：y ：( 万) ， 正 y 】= 哆l y i ( o ) + q 2 此( o ) + 6 2 i y l ( ，) + 6 2 2 y 2 ( 万) 我们将问题简记为： d ( y ) = 五y ； 墨【卅= o ， 正 叫= o 设g 表示r o ，万 内满足下述条件的函数组成的集合 ( 1 ) y ( 工) 在 o ，疗】上绝对连续； ( 2 ) d ( ，) y r 【o ，z 】； ( 3 ) ， 纠= 0 用软化算子4 1 可以证明： 引理2 1 ：g 在研o ，刀】中稠密 妇，v e g 按复研o ，石 中通常的内积定义： ( d 7 0 ) ，v ) = r d 7 ( “) 记氏 = n i p ( 咖i 一“一r ( 鹕讷 应用分部积分法，得： 引理2 2 ： j ：r d 7 ( “) i ；投一r “7 d + ( v x = 【m ，】( o ) _ “v 】( 石) ( 2 1 ) 其中d ，( 。) ：l 叱乞世竺l 称为d ( ，) 的共轭微分式 i v l 一r ( 工) 叱j “v 】( x ) = “，( x ) 匹( 一“：( 工) i ( z ) ( 2 2 ) 定义2 2 称复值函数，( f ，叩) 是关于f = ( 宣篇) ，叩= ( 仍，矾) 的半双线性型 若对任意的复数口，满足： ( 1 ) ( c 瑶+ 麟，7 ) = 口厂( 袅，叩) + ，6 y ( 友，7 ) ， ( 2 ) ，( f ，口玎。+ 卢仍) = “，( f ，研) + j 眵厂( 善，) 我们将 “v ( z ) 写成为： 2 一 w = g f ( x ) “小) v ( 工) 根据( 2 2 ) 式，可得g = g ：= o ，吼：= 一1 ，g ：= 1 设陋纷 ? 1 1 锄帅汹嘲x ， 显然 ( x ) 是一个关于矢量“，v 的半双线性型 定义2 3 称z 刎是关于咒( o ) ，儿( o ) ，y ( 万) ，_ y ：( 万) 的边界型 22 缈 = 口f y p ) + 乃( 玎) ( 2 3 ) 其中，为复常数，( f = 1 ，2 ) 如果令驯= c 篇 ，爿制一( ) ，( f = 1 ，2 ) 则( 2 3 ) 可记为： 研y 】= 4 ) ( o ) + 缈( 石) 若令 爿剀= 暖：2 乏：乏 皇日，我们称日为问题( d 的伴随矩阵 ) = 只( 0 ) 儿( o ) h ( 万) 咒( 万) 皇，( y ) 则上式可进一步写为： 【y j = 爿，【j j 定义2 4 称边界型矢量玎y 是2 维的，若矩阵日的秩m 础( ) ：2 也可 以说墨m ，殂纠是相互独立的 定义2 5 设l m = 暖高 是秩为2 的边界型矢量，称边界型矢量i 圳 钿舡朴若矢量勒= ( 瑟 是4 黼 显然，给出与研纠互补的l m ，相当于在矩阵日上添加2 个线性 无关的行矢量 定理2 1 ：给定2 维边界型矢量，m 和任一与之互补的2 维边界型矢 量礓“】，必唯一地对应有2 维的互补边界型矢量蜒m 和q v ，使得： ，v ( o ) 一 “，v ( 丌) = 丁 “ - 己 v 】+ z “】k v 】 其中“”表示的是欧，l 里得矢量点乘我们称研v 是丁m 的伴随边界 型矢量 证明： 令研“ = 爿c ( “) 。+ 口c ( “) 。= 爿口】f ( 甜) ， i 阻】= j c 0 ) 。+ 否c ( “) ，： j 否 f ( “) ， 其帕战= ( 掰c ，= ( 捌，一( 矧= “l ( o ) “2 ( 0 ) ”l ( 万) 2 ( 石) 再令m = ；耋 ，由于研“】，i m 互补，故m 必为。个非奇矩阵， 于是上面两式就给出了f ( “) 的一个非奇线性变换 确= 篇 _ 脚一 而且，由( 2 2 ) 可得： “，川( 0 ) 一 “，v 】( 万) = “l ( 0 ) v 2 ( o ) 一“：( 0 ) v l ( o ) 一“。( o ) 屹( o ) + “2 ( o ) v l ( o ) = ( 驴( “) ，f ( v ) ) = ( 亘时一讯 ，f ( v ) ) = ( “ ，( q 咐。) + f ( v ) ) 其协曙三 修( ? 1 1 州垆( 矧= ( 0 ) ( o ) ( 万) ( 7 r ) ，( ，) 表示有 限维欧几里得空间得内积，“t ”表示矩阵的共轭转置 显然，亘为非奇矩阵，因此f 亘m 。) + 也为非奇 锄小饼 _ 酣帅， 则于( v ) 是一个4 维的边界型矢量，其中墨( v ) ，k ( v ) 为互补的2 维 边界型矢量故可得： “，v ( o ) 一 v 】( 石) = ( 于陋】，于 v ) = 研“ t k 。【v + 殂“】研v 口 命题2 1 ：若将定理中的研“ 换成硝“】，并令置： v 】，置 v 是由研“ ，础“】 唯一确定的矢量则必存在非奇矩阵c ，使得： 足 v = c 研v 】 称k 【v 】与k m 是等价的 证明： 令吼“ = 彳c ( 砜+ i c ( 吐= 孑i f ( “) ，相应的记m = ( ； ， 则得： 于m = ( 篙 = m 。f c “，= m m 。于c “，+ 令m m ：，则得： r “】= r 丁。 “ 注意到新 与开“ 的前2 维矢量均是研“】，因此非奇线性变换r 并 不变动矢量的前2 个元素这就说明尺具有形式： 只：f 巨o z i 置心j 其中易是2 2 单位矩阵，o ：是2 2 零矩阵，墨是2 2 矩阵，r 是2 2 非奇矩阵 于是得到： “，v 】( o ) 一 “，v ( 疗) = ( 于阻 ，于 v 】) = ( r r “ ，研v ) = ( 丁 “ ，f 玎v ) 但是另一方面： 【“，v ( 0 ) 一 “，v ( 玎) = ( 丁 ” ，7 1 v 】) 这里，酥黜 如( 薏善 d = ( ：纛：卜 ( z ，) o 埘纠= o 用软化算子4 1 可以证明： 引理2 3 ：g + 在研o 万 中稠密 由文 2 ，易正如下命题： 命题2 2 ：设由问题( ，) ，凹) 生成的算子分别为d ，对应的定义 域为g ，g ，则矢量 v g + v g ，且对一切v g ，有【“，v 】( o ) 一【 ，v 】( 万) = o 命题2 3 ：设研卅= 砂( o ) + 印( 力与研川= 妙( o ) + 坳( 力都是2 维的边界型 矢量，则二者互为伴随的充要条件为： 一q 。，= b g 。m + 由上命题容易证明： 定理2 2 ：问题( ，) 自伴的充要条件为： ( 1 ) p ( 石) ，r ( x ) 为实值函数 ( 2 ) 爿q - 1 彳= 曰q _ 1 b + 推论：问题( ，) 自伴的充要条件为： ( 1 ) p ( 曲，( x ) 为实值函数 厂口1 2 仃】l 一口1 1 4 】2 一电2 岛l + 岛l 巨2 = o i 口：口：、一口l l 口：一6 l ：趣i + 6 l 。6 2 2 = o ( 2 ) la ：q t 一日z t “，z 一6 2 ：6 l t + 6 2 6 1 。2o l l4 2 2 d 2 i n 2 i d 2 2 6 2 26 2 l + 6 2 l6 2 2 = o 3 一个非自伴d i r a c 特征值问题 下面举一个简单的例子，来说明如何可以找到非自伴d f m c 问题的伴 随问题 考虑： ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 由定理2 2 ，容易证明该问题是一个非自伴的d i m c 问题 该问题的伴随矩阵为： h = 我们将其补充为一个秩为4 的简单矩阵： m = 利用初等行变换，我们可以求得m 的逆矩阵： ，一= 一1 0o o0 0 00 1 010 4 o 0 = i i m m + + m + + ； 啦 讪 瑚 y y y 啦 秒 秒 ，、l d n 叫川| 吖 l l o o o l o 1 l 1 1 o 、， o o o o o o 一 一0 o o o ，o o ，l i | 、l o q q o ， l q 又 可得： 妒一= ( 亘h 1 ) = 令( 黜 o o o 一1 1 一l 0 1 h ( o ) 屹( o ) u 协) 屿( 石) 0 1 1 1 可细小( 祟嚣高州万， 于是得到原问题的伴随问题： 设矢量函数妒( a ) ，y ( t 五) 为d ( y ) = a y 的两个解，且满足 仍( 0 ) = l ，吼( o ) = o ，( o ) = 0 ，( o ) = 1 ( 3 1 ) ( 3 ，2 ) ( 3 3 ) 口 ( 3 4 ) 则妒( x ，五) ，缈( x ，五) 的w r o n s k i 行列式恒为l ，且妒( x ，五) ，5 f ，( x ， ) 均为五的 整函数【4 1 设d ( y ) = 五y 的通解为：y ( x ，a ) = c 妒( x ， ) + c 2 ( x ， ) 代入上而的条件( 3 2 ) ，( 3 3 ) 得： 5 、， l o l l 0 1 o l l l o o 一 一 o o o 0 = )协 吡 = h 力 协 儿 ； y “ h 兄 y j l = = o 卅 纠 q 硪 孔 ，、l i y 】= c 1 互【妒 + c 2 石【妒】= o ， l 正 y 】= c l 五 尹】+ c 2 乏 y 】= o 可以把上式看成是一个关于c l ，c 2 的方程组其系数行列式为： 一黝珊 则上一方程组有非平凡解的充要条件是甜( a ) = o 易证如下命题： 命题3 1 ：凡是( d ) 的特征值营矗是( a ) 的零点 利用条件( 3 4 ) 可得： ( 五) = 觋( 丌，a ) + 讫( ，r ，五) 一驴，2 ( 石，a ) 假设m ( ) 只有单重零点， 令五= 盯+ f ，问题： d 妒= 卸；仍( o ) = 1 ，仍( o ) = o ) ，有解的渐进估计： 仍( 石， ) = c 。s ( 7 7 ( 功十五x ) + o ( 三扩1 仍( x ，丑) = 一s i n ( 叩( 功+ z x ) + d ( 去扩”) 其中，叩( z ) = r ( p ( 掌) + r ( 掌) 埘 同样，_ ；f ，( j ，五) 有解的渐进估计： 。( z ，五) ：s i n ( 即( 曲+ a x ) + d ( 昙一啦) ， ：( j ，五) ：c o s ( 叩( 曲+ 五曲+ o ( e ，) 于是： ( 丑) = 仍( 万，五) + 仍( 万，五) 一弘，2 ( 万，咒) = 一s i n ( 叩( 万) + 旯万) + o ( g 圳z ) 九 设q ( 旯) _ s i n ( 叩( 石) + 万) ，不妨令町( 万) = 2 肋+ 砌，一圭臼； 则q ( 五) 的零点为： = 以一口，l = o ，1 ，2 ，。_ 于是： 器小烈去彘，q ( a )、 s i n ( 叩( 石) + a 石) 。 令r 。= 一目一；，对上式余项的估计，有下面的引理： 引理3 1 。 班当盯= 时，l 彘i 咄 m 狮1 赢j 专 证明同文 4 命题3 2 ：问题( d ) 的特征集是可列集，记为： ，丑。，丑。，凡， ，一， 证明： 选取五平面上的单闭合回路g ，使它的四边分别为： 盯：氐，r ：； 则在q 内q ( 五) 有( 2 n + 1 ) 个零点： 以= n 一口，n = 0 ，l ，立， 由引理3 1 ，当n 充分大以后，在c 上 嬲小o c 争q m ) 、j v 。 由r o u c h 6 定理知，m r 五) 和q ( 们在c ，内有相同个数的零点 由于 = ”以一；口； 当一；口o 时，取r = n 一1 ； 当o p ；时，取r = 以； 在五平面上构造边长为1 的正方形回路以，其四边分别为： 盯= 屯，盯= b ，r = ； 则在每一个以内，只有q ( 五) 的一个零点 当n 充分大以后，国( ) 在y 。内也只有一个零点九口 同样，对于问题( 3 1 ) 一( 3 3 。) ，也可以得到： + ( 五) = 一鲲( 石，a ) 一仍( 石，丑) + 弘，2 ( 万，五) 命题3 1 舟：脶是( 3 1 ) 一( 3 3 ) 的特征值营肺是( 五) 的零点 命题3 2 * ：问题( 3 1 ) 一( 3 3 ) 的特征集是可列集，记为： ，p 一。，p _ ，越o ，p t ，1 一，j l 。，。 命题3 - 3 ：设矗，为d 的特征值和特征函数，i 。，；，为d + 的特征值和 特征函数 若五i 。，则( ，z ) = o 证明： 以( “。，；。) = ( 以，；。) = ( h 。，d v 。) = ( “。，。v m ) = 互，( 虬，；。) ( 以一。) ( “。，v m ) = o 由于屯互。，故( ，i ，) = o 命题3 4 ：对于d 的特征函数系慨( x ) ) ，可适当选取d 的特征函数系 舻。( z ) ) ，使二者成为双正交系，即( 识( x ) ，歹。( x ) ) = 屯 证明： 由g r a m s c h m i d t 定理可知，是 ( 工) ) 张成的线性流行，从而d 的正交补d “= o ) 对于d 的任意特征函数纸( 曲 仍( 曲= ( x ) m 2 q 并且有 ( 致( x ) ，婊( x ) ) = 芝：口。( 纸( x ) ，( z ) ) 一 由于( 纯( x ) ，纯( 功) o 又由上命题知，当以互，时，( 纸( 曲，谚。( x ) ) = o 从而可以得知，一定存在一个h 满足 = 互；，此时可适当选择 舡) ，使得( 纯( 工) ，谚，( x ) ) = 1 同样，对于任一个一，一定存在一个 满足五，= 磊， 此时可适当选择竹( 功，使得( 吼( x ) ，孑，( x ) ) = 1 从而命题得证 口 类似于文献 4 冲的证明，可以得到： 定理3 1 ：v ( 曲班o ，万】，有绝对一致收敛的展式 ，( 曲= 口。吼( z ) ，= ( ，) ； 厂( z ) = 吃( z ) ，吃= ( ，纯) 参考文献 1 曹策问，非自伴s t u n l i o u v i l l e 算子的渐近迹数学学报， 1 9 8 1 2 曹之江，常微分算子 m 上海：上海科技出版社，1 9 8 5 3 b m l e v i t a na n di s s a r g s j a n i n t r o d u c t i o nt o s p e c t r a l t h e o r y ：s e l f a d j o i n td i f f e r e n t i a l o p e r a t o r s m a m e r i c a n m a t h e m a t i c a ls o c i e t yp r o v i d e n c e ， p h o d e 工s l a n d ， 1 9 7 5 4 曹策问特征值理论讲义 m 郑州大学数学系研究生教材，1 9 8 0 5 m a 纳依玛克线性微分算子 m 北京：科学出版社1 9 6 4 6 b m l e v i t a na n d 工s s a r g s j a n s t u r m l i o u v i l l ea n dd i r a c p e r a t o r s m k l u w e ra c a d e m i cp u b li s h e r s 1 9 9 1 7 p h r a b i n o w i t z n o n l i n e a rs t u r m l i o u v i l l ep r o b l e m sf o r s e c o n do r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j c o i i l n p u r e a p p l e m a t h ，1 9 7 0 ，( 2 3 ) ：9 3 9 9 6 2 8 b r e r s t y c k i h o ns o m en o n l i n e a rs t u r m l i o u v i l l e p r o b l e m j j d i f f e q u a t i o n s ，1 9 7 7 ， 2 6 ：3 7 5 3 9 0 9 土竹溪郭敦仁特征函数概论 m 1 9 7 8 1 0 e c t i t c h m a r s h ，e i g e n f u n c t i o ne x p a n s i o n sa s s i o c i a t e dw i t h s e c o n d o r d e rd i f f e r e n t i a lw q u a t i o n s p a r t 工， s e c o n de d i t i o n 0 x f a r dp r e s s ， 1 9 6 2 11 a c o d d i n g t o na n dn l e v i n s o n ， t h e o r yo fo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， m c g r a w h i l lb o o kc o m p a n y ，i n c 1 9 5 5 1 2 b m l e v i t a n ，按二阶微分方程的特征函数的展开式，国立技术文 献出版社，1 9 5 0 1 3 b a m a r c h e k o ，s t u r m l i o u v i l l eo p e r a t o r sa n dt h e i r a p p l i c a t i o n s ，1 9 7 7 1 4 j w e i d m a n n ，0 r d i n a r yd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r ， s p r i n g e r v e r l a gb e r li nh e i d e l b e r g ，1 9 8 7 1 5 李梦如：离散s t u r m l i o u b i l l e 问题特征值的迹公式数学物理 学报1 2 ( 3 ) 1 6 e a b d u k a d y r o v ：c a l c u l a t o no ft h er e g u l a r i z e ds q u rf o rt h e d i r a cs y s t e m 41 9 6 7 1 7 2 4 1 7 朱俊逸，常型d i r a c 算子的谱分解，郑州大学学报( 理学版) ， 第3 5 卷，第期，2 0 0 3 年3 月，1 l 一1 5 1 8 h u r w i t z w ： a ne x p a n s i o nt h e o r e mf o ras y s t e mo f l i n e a