（固体力学专业论文）功能梯度材料板的二维与三维分析.pdf

中文摘要 本文对功能梯度材料的应用发展和力学研究现状做了简要的综述，对功能 梯度板壳结构的求解方法特别是精确解的求解方法做了详细的介绍。 在第二章和第三章中，从弹性力学的基本方程出发，当材料的杨氏模量呈 以e 为底的指数分布、线性分布和杨氏模量的倒数线性分布时，分别求得了简支 条件下，功能梯度板二维柱型弯曲问题和三维矩形板问题的精确解。并利用杨 氏模量倒数呈线性分布情况下的精确解，对杨氏模量呈任意梯度变化的功能梯 度板二维柱型弯曲问题和三维矩形板问题用叠层板法进行逼近求解。通过算例， 求得了板内的所有位移分量和应力分量，考察了这种新分层模型计算的结果在 取不同分层数目时的收敛速度。 第四章直接从正交各向异性热释电材料的基本方程出发，假定材料的机械、 电学和热学性质沿板厚方向按统一的以e 为底的指数函数形式梯度分布，分别采 用状态空间法和s t r o h 方法对四边简支、接地并四边恒温的正交各向异性功能梯 度热释电材料矩形板进行三维精确求解，分别获得了当上下表面作用双三角函 数形式分布以及均匀分布的机械、电和热荷载情况下的三维精确解。通过算例， 分析了在机械荷载、电荷载和热荷载分别作用下，材料性质的不同梯度变化对 平板结构响应的影响；分析了受均布荷载作用时各物理量双三角级数解的收敛 性，给出了均匀分布机械、电和热荷载作用下各物理量随厚度方向变化的分布 曲线。 关键词：功能梯度材料，柱型弯曲， 功能梯度热释电材料，状态空间法， 矩形板，精确解，叠层板，正交各向异性， s t r o h 方法，三角级数 a b s t r a c t ab r i e fr e v i e wo ft h ed e v e l o p m e n t sa n da p p l i c a t i o n sc o n c e r n e dw i t hf u n c t i o n a l l y g r a d e dm a t e r i a l s ( f g m ) i sp r e s e n t e d ，a n dt h e nt h es o l u t i o n ，e s p e c i a l l yt h ee x a c t s o l u t i o n ，f o rt h em e c h a n i c sb e h a v i o r so ff g mp l a t ea n ds h e l la l ei n t r o d u c e di nt h i s t h e s i s i nc h a p t e r2a n d3 ，a s s u m i n gt h a tt h ey a n g sm o d u l u so ft h em a t e r i a lh a v et h e e x p o n e n t - l a wo rl i n e a r d i s t r i b u t i o no rt h er e c i p r o c a lo fy a n g sm o d u l u si sl i n e a r d i s t r i b u t i o n ，t h ee x a c ts o l u t i o no ft w od i m e n s i o n a lc y l i n d r i c a lb e n d i n gp r o b l e mo ft h e s i m p l es u p p o r t e df u n c t i o n a l l yg r a d e dp l a t ea n dm e c h a n i c a lb e h a v i o ro ft h et h r e e d i m e n s i o n a ls i m p l es u p p o r t e dr e c t a n g u l a rp l a t ea l eo b t a i n e dr e s p e c t i v e l ya c c o r d i n gt o t h eb a s i ce q u a t i o n so fe l a s t i cm e c h a n i c s t h e nm a k i n gu s eo ft h ee x a c ts o l u t i o nb a s e d o nt h ea s s u m p t i o nt h a tt h er e c i p r o c a lo fy a n g sm o d u l u sh a st h el i n e a ld i s t r i b u t i o n ，t o t h ef u n c t i o n a l l yg r a d e dp l a t ew h o s ey a n g sm o d u l u sh a st h ea r b i t r a r yd i s t r i b u t i o n ，t h e t w od i m e n s i o n a lc y l i n d e r e db e n d i n ga n dt h r e ed i m e n s i o n a lm e c h a n i c a la n a l y s i sa r e e v a l u a t e da s y m p t o t i c a l l yb yl a m i n a t e dp l a t em e t h o d t h r o u g ht h en u m e r i c a le x a m p l e s ， a l lo ft h ed i s p l a c e m e n ta n ds t r e s sc o m p o n e n ta r ea n a l y z e d ，a n dt h er e l a t i o n s h i po ft h e c o n v e r g e n c er a t ei nn e ws t r a t i f i e dm o d e lt od i f f e r e n tl a y e rn u m b e ri s t a k e ni n t o a c c o u n t i nc h a r t e r4 ，a ne x a c tt h r e ed i m e n s i o n a la n a l y s i si sp r e s e n t e df o raf u n c t i o n a l l y g r a d i e n tp i e z o t h e r m o e l e c t r i cm a t e r i a lr e c t a n g u l a rp l a t e t h a ti s s i m p l ys u p p o r t e d ， g r o u n d e da n di s o t h e r m a la l o n g i t sf o u re d g e s t h es t a t ee q u a t i o n so ft h ef u n c t i o n a l l y g r a d i e n tp i e z o t h e r m o e l e c t r i cm a t e r i a lw e r ed e v e l o p e db a s e do nt h eb a s i ce q u a t i o n so f a n i s o t r o p i cp i e z o t h e r m o e l e c t r i cm a t e r i a l sb ys t a t es p a c ea p p r o a c ho rs t r o c ha p p r o a c h a s s u m i n gt h a tt h em e c h a n i c a l ，e l e c t r i ca n d t h e r m a lp r o p e r t i e so ft h em a t e r i a lh a v et h e s a m ee x p o n e n t i a ll a wd e p e n d e n c eo nt h et h i c k n e s s c o o r d i n a t e ，w eo b t a i n e da l le x a c t t h r e ed i m e n s i o n a ls o l u t i o no fas i m p l y s u p p o r t e d ，g r o u n d e d a n di s o t h e r m a l r e c t a n g u l a rp l a t eu n d e rd o u b l es i n u s o i d a lo ru n i f o r mm e c h a n i c a l ，e l e c t r i ca n dt h e r m a l i i l o a d i n go nt h et o pa n db o t t o ms u r f a c e s t h r o u g 血n u m e r i c a li n v e s t i g a t i o n s ，t h e i n f l u e n c eo fd i f f e r e n tf u n c t i o n a l l yg r a d i e n tm a t e r i a l p r o p e r t i e s o nt h es t r u c t u r a l r e s p o n s eo ft h ep l a t et ot h em e c h a n i c a l ，e l e c t r i ca n dt h e r m a ls t i m u l ia r es t u d i e d ，t h e d i s t r i b u t i o nc u r v e so fd i f f e r e n tv a r i a b l ea l o n gt h et h i c k n e s sc o o r d i n a t ea r es h o w n ，a n d t h ec o n v e r g e n c er a t eo fd o u b l es i n u s o i d a ls o l u t i o nu n d e ru n i f o r ml o a da r ea l s o d i s c u s s e d k e y w o r d s ：f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l s ，c y l i n d r i c a lb e n d i n g ，r e c t a n g u l a rp l a t e ，e x a c t s o l u t i o n ，l a m i n a t e dp l a t e ，o r t h o t r o p i c ，p i e z o t h e r m o e l e c t r i c , s t a t es p a c em e t h o d ，s t r o h m e t h o d ，s i n u s o i d a l i i i 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本：学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 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的材料热应力问题，日本科学家提出了功能梯度材料的概念i l j 。他们把耐高温的 工程陶瓷和高承载力的金属结合起来，材料内部是连续的，没有明显的材料性 能不连续界面，从而达到缓解高温使用环境下材料内部热应力的目的f 2 1 i 卯。后来， 随着研究的不断深入，人们发现在电子、化学、核能、光学、声学、生物医学 等技术领域，功能梯度材料都有十分广阔的应用前景【6 】。例如，在机械工程中利 1 绪论 用功能梯度涂层的方法来提高机械构件的耐磨性，或利用功能梯度材料来增强 结构的强度和韧性等等，利用功能梯度的材料概念还可以制备出具有优良力学 性能和电学性能的功能梯度压电器件1 7 l - 1 1 0 1 ，找到更加高效实用的热电转换材料 等【l l j i i ，它们在能源学科领域具有很明朗的应用前景，如固体燃料电池、太阳能 电池、热电转换装置等。 功能梯度压电材料( f u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l s ) 是近几年来 人们研究的热点【1 2 】- 1 1 3 1 。压电材料由于具有良好的机电耦合性质，在电声学、传 感技术、光电和结构振动控制等领域都有着广泛地应用，利用功能梯度材料的 制备工艺将压电陶瓷与金属构件结合在一起，让两种材料组分均匀连续地分布， 使材料内部不存在明显的界面，这样就克服了压电陶瓷本身易碎易断的弱点以 及压电片与结构构件之间粘合所带来的固有缺陷。另外，功能梯度压电材料除 了具有我们熟知的机电耦合效应外，还同时具有光、热、电、磁、弹等丰富的 多场耦合效应。多场耦合理论的研究是二十一世纪力学发展的一个发展趋势 【1 4 1 _ 【1 5 1 ，通过对这些多场耦合效应的深入了解，并配合功能梯度特性，有望设计 和制备出许多新型多功能智能元件。由于功能梯度材料存在复杂的多场耦合效 应，再加上材料本身的不均匀特性，这就使问题的求解变得非常复杂。 现在，功能梯度材料的研究还刚刚起步，主要还停留在理论研究和实验室 制备阶段，成型的产品几乎没有。从理论上对这种新型材料进行系统的分析， 可以为将来功能梯度材料的广泛应用提供理论指导，或者从理论研究中发现新 的现象和特殊规律，指导功能梯度材料的设计和实际应用方向。 1 2 功能梯度材料板壳问题的研究进展 自从功能梯度材料的概念提出以来，功能梯度材料在高温环境下的应用始 终是国内外研究的热点，研究的问题主要集中在热弹性耦合问题以及断裂损伤 问题上，研究的方法多是将经典的或考虑简切变形的一维梁理论或二维板、壳 理论直接套用到功能梯度材料结构的分析上【1 6 1 【捌，对此王保林等【3 1 、李永等【4 】 。二 绪论 和e r d o g a n 等【2 0 】人作了回顾和评述，沈惠申【2 l l 专门对功能梯度复合材料板壳结 构的弯曲、屈曲和振动做了综述。近年来，随着功能梯度压电材料的出现，人 们又开始研究具有热、机、电、磁等多场耦合的功能梯度材料的结构响应问题 2 2 1 - 2 8 1o 在功能梯度材料的材料常数的处理方面，由于对板壳类功能梯度材料的研 究通常只考虑材料参数只在厚度方向变化【2 3 】- 【堋。因此使用复合材料层合板模型 鳓【3 6 1 特别有效。假设它由大量垂直于厚度方向的单层组成，每一单层内材料均 匀，但相邻两单层材料参数稍有不同，这样每一层都可以用经典板壳理论来求 解，然后考虑界面间的连续条件，可进一步获得解答。应用这一模型，t a n i g a w a 和0 0 t a o 等人关于非均匀梁、板、壳的热应力与热弯曲问题作了大量工作【3 7 l 。【4 2 1 。 采用分层模型的好处是可以直接利用原有层合板壳结构的分析方法进行求解， 但当分层数很大时，求解的计算量也会变得很大，并容易导致数值误差。 还有一种方法在求解功能梯度材料三维精确解的研究中经常采用，假设所 有力学、电学和热学材料常数均沿厚度方向按同一指数函数规律变化： k ；k o p “，k 代表相应的材料常数的值，口则代表了材料的梯度变化程度。指 数函数形式的材料常数梯度分布假设，由于数学求解上比较简单，且在一定程 度上反映了功能梯度材料的特点，因此在功能梯度材料的力学研究中被广泛采 刖4 3 】【垌。还可以假设所有材料常数按照统一的幂函数形式变化：k ；k o z 8 ，这 种假设形式多用于极坐标系下的圆柱壳、球壳等结构分析中【4 刀【5 3 1 ，配合幂级数 展开或f r o b e n i u s 级数展开【5 4 】解法，使得问题的求解交得非常方便。 最初，人们对功能梯度板壳的结构分析都是基于经典板壳理论和一阶剪切 变形板理论进行的【5 5 1 s g l ，r c d d y 等 6 0 i 最先讨论过功能梯度复合材料圆形和环形 薄板的轴对称弯曲问题，材料常数用e ：( 巨一e 2 ) ( 兰警) + e ：表示1 6 1 1 ，利用经 厶h 典板理论和一阶剪切变形板理论之间的对应关系，导出多种边界条件下的解析 解，这种分析方法最早由w a n g 6 2 j 提出，并发展用于弯曲、屈曲和振动各种问题 3 绪论 的分析中【6 3 1 4 6 7 1 。后来，r e d d y 发展了一种新的高阶剪切变形理论【鹋卜1 6 9 1 ，假定沿 板厚方向剪应变的变化为坐标的二次函数，将功能梯度材料的热物参数表示为 幂律变化1 6 ，得到了四边简支功能梯度材料板静动力问题的n a v i e r 解。基于高 阶理论，s h e n 7 0 ，y a n g 和s h e n l 7 1 1 ，y a n g 等【7 2 1 ，g o n g 捌和x h w u 等【7 4 】对功能 梯度材料板壳结构的分析方面做了大量的工作。此外还有g r e e n 函数解法【7 5 】和 渐进解法【7 6 1 【7 9 l 等，g r e e n 函数法一般仅限于一些特殊的材料梯度分布规律，渐 近解法与分层解法一样也提供了一种能无限逼近精确解的方法。 由于功能梯度材料的梯度特性，再加上近年来发展的力、热、电、磁等多 场耦合作用，原有的板壳理论能否完全适用于功能梯度材料还不十分清楚，因 此寻找不带任何人为假设的功能梯度材料板壳的三维精确解或者是可以控制精 度的三维解析解是十分必要的。三维解有助于全面了解功能梯度材料板或壳内 部的位移、应力以及电场、磁场等场量的分布规律，为发展针对功能梯度材料 特点的简化理论和发展有限元方法提供依据，还可以作为检验简化理论和有限 元方法正确性的标准算例。 在特定的边界条件下，针对具有特定物理参数的特定几何结构，功能梯度 材料板壳结构的精确解或者是解析解是可以得到的。陈伟球、丁皓江等【舳】f 蚓和 t a m 等f 4 7 】- 【4 9 】，1 8 州8 9 】利用状态空间法，直接从三维基本方程出发，对压电材料板、 壳等结构的弯曲、振动、稳定等一系列问题作了研究。用状态空间法对板壳问 题进行求解的过程，范加让在其专著【则中有详细的论述。用状态空间法求解的 好处是对位移场、应力场不引入任何人为的假设，直接导入到状态空间求解， 获得精确解，对任何厚度的板都适用，并且形式简单，很容易推广到具有热、 电、磁等多场耦合效应的情况。但这种方法在处理非四边简支的其它边界条件 时不太理想，尤其对具有多场耦合效应的板壳，目前人们的工作仅限于四边简 支、接地的理想边晁条件。基于状态空间法又有许多改进解法，如王建国掣9 1 j - 【叼 把h a n k e l 变换技术引入进来，求解了半空间层叠压电体问题。陈伟球等【9 3 l 在状 态空间法中应用了微分求积法( d q 法) ，这种方法可以克服状态空间法只能求 4 绪论 解四边简支的边界条件的局限，使状态空间法的应用范围更加广泛，但是这只 是一种近似的数值解法。a l s h u v a l o va n dk p s o l d a t o s 9 4 在传递矩阵的求解上做 了近似处理，可以改善用状态空间分层求解的收敛速度。还有一种s t r o h 方法 瞵】1 恻在板壳结构精确解的求解中也非常方便，e p a n 矧，s s v c la n dr c b a t r a 1 0 0 h 1 0 6 1 等人利用这种方法解决了大量不同边界条件下板的弯益、振动问题， 以及瞬态和静态热荷载作用下乃至电场、磁场耦合作用情况下的精确解。 1 3 本文的主要工作 主要工作包括以下几个方面的内容： 第二章从平面应变问题的基本方程出发，假设材料的杨氏模量在板厚度方 向上呈一定的梯度分布，泊松比为常数，推导出了几种特殊梯度变化形式情况 下功能梯度板二维柱型弯曲问题的精确解。对于材料常数呈任意梯度变化的功 能梯度板，用叠层板法求解，假设每一层中材料的杨氏模量的倒数是线性分布 的，泊松比为常数，当分层数逐渐增加时，所求叠层板的结果逐渐逼近原功能 梯度板的结果。 第三章直接从弹性力学三维问题的基本方程出发，假设材料的杨氏模量在 板厚度方向上呈一定的梯度分布，泊松比为常数，推导出了几种特殊梯度变化 形式情况下功能梯度材料矩形板弯曲问题的精确解。对于材料常数呈任意梯度 变化的功能梯度板，用叠层板法求解，假设每一层中材料的杨氏模量的倒数是 线性分布的，泊松比为常数，当分层数逐渐增加时，所求叠层板的结果逐渐逼 近原功能梯度板的结果。 第四章直接从正交各向异性热释电材料的基本方程出发，假定材料的机械、 电学和热学性质沿板厚方向按统一的以为底的指数函数形式梯度分布，分别采 用状态空间法和s t r o h 方法对四边简支、接地并四边恒温的正交各向异性功能梯 度热释电材料矩形板进行三维精确求解，分别获得了当上下表面作用双三角函 数形式分布以及均匀分布的机械、电和热荷载情况下的三维精确解。 s 第二章各向同性功能梯度材料板的二维柱型弯曲问题 2 1 概述 本章从平面应变问题的基本方程出发，假设材料的杨氏模量在板厚度方向 上呈一定的梯度分布，泊松比为常数，推导出了几种特殊梯度变化形式情况下 功能梯度板二维柱型弯曲问题的精确解。对于材料常数呈任意梯度变化的功能 梯度板，用叠层板法求解，假设每一层中材料的杨氏模量的倒数是线性分布的， 泊松比为常数，当分层数逐渐增加时，所求叠层板的结果逐渐逼近原功能梯度 板的结果。通过算例，考察了这种新分层模型的收敛速度。 2 2 基本方程 考虑一个功能梯度材料板，假定材料的杨氏模量沿厚度方向呈梯度变化， 泊松比恒为常数，一对对边简支，另一个方向无限长，上表面受一定的荷载， 这时板的变形为柱型弯曲行为，这是一个平面应变问题。如图2 1 所示。 z q 0 ) i ，一、，一，、l r 二；二伞 图2 1 功能梯度材料板的柱型弯曲 平面应变问题的物理方程为： ，。瓦1 ( q 一吼) z 2 丽q 一吼 6 ( 2 1 ) 第二章各向同性功能梯度材料板的二维柱型弯曲问题 ：。磊1 ( 吒- v i a , , ) 乞。丽吒 哿吃 。4 e 化) 。荔 其 pe i ( z ) | 器，吒一南。 几何方程为： o u ，# 一。 缸 脚 一 d z o uo w k 。面+ i 要满足的应变协调方程为： 垒+ 垒；监 缸2a z 2觑砣 需要满足的静力边界条件如下： 在两个简支边上，即x 一0 , l 时，吼= 0 ，w = 0 ； 在板的上表面处，即z 。h 时，吼一翰，k ；乃； 在板的下表面处，即z 一0 时，吒一q o ，吃zt o ， 用应力函数法来求这个问题，不计体力，取应力函数f ，z ) ，即 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) q 一警，吒一百o ：f ，吃一一面0 2 f ， ( 2 1 1 )q 2 可吒i 吃一面 叫) 把式子( 2 1 1 ) 带入到方程( 2 1 ) - - - ( 2 3 ) ，然后再带入方程( 2 7 ) ，可以得到一个 关于应，函；l f o ，z ) 的壶系数的四阶偏微分方程： v 2 v 2 器v 2 誓+ f 2 器一铬1 ( o _ f 一一v 石0 2 f ) = o o z 1 - v e ( z ) a z i e ( z ) 。 ( z ) l 一 缸“ 、 7 7 第二章各向同性功能梯度材料板的二维柱型弯曲问题 其中v 2 = 菩+ 吾，v 2 v 2 一专+ 菩，专+ 吾，。 用分离变量法来求解这个方程，把应力函数f o ，z ) 写成分离变量的形式： 将( 2 1 3 ) 带入到方程( 2 1 2 ) ，得 f o ，z ) 。x o ) y q )( 2 1 3 ) ) y + y 4 ) x + 2 x n 2 器( y 公+ 啪 + 2 群一鬻( x y ”二1 - v x 舢 ( 2 1 4 ) 等号曲边i 刮踉以x o ) y ( z ) 后有 坐+ 芝+ 2 竺! 一2 塑芒+ 一x w y t ) + 【2 群一鬻降一v 斗x y 1 - vx 。一 l e ( z ) 2 e ( z ) l 、 7 将上式对z 求一阶偏导数得到 竺x 降y 铬生y 上1 - v ( 2 嚣一铡 i e ( z )e ( z ) 2e ( z ) 川 ，、 + p y2 鬻0 y ( 2 器一鬻用y = o i e ( z )互0 ) 2e ( z ) j l 争一? 2 7 ， 五 降锱等爿z 群瓮】1 其中a 为常数。于是得到关于x o ) 的微分方程： x ”+ a 2 x ；o ( 2 1 8 ) 由于在推导过程中对z 求了一次导数，所以关于y ( z ) 的方程不能从方程 8 第二章各向同性功能梯度材料板的二维柱型弯曲问题 ( 2 1 7 ) 中得到，需要换一种方式来获得关于】，( z ) 的方程。由方程( 2 1 8 ) n - 得 x 。一一a 2 x ( 2 1 9 ) 进一步 x h ) 。一a 2 x 。a 4 x ( 2 2 0 ) 将它带入到方程( 2 1 5 ) 得到 y(4)一2鬻】，”二e：二(；z)2三了(e2客(z)222磬y+)2】允e。(zi|)a。2】，c221， + 卜击( 2 器一鬻炉却 一 这就是任意梯度变化形式下，经分离变量所得到的关于y ( z ) 的变系数四阶 常微分方程。分别求解常微分方程( 2 1 8 ) 和( 2 2 1 ) 可以得到x o ) 署1 1y ( z ) 的通解， 再通过应力函数f ，z ) = 石o ) 】，( z ) 就可以得到功能梯度材料板柱型弯曲问题的 所有位移、应力分量。 2 3 特殊梯度分布形式 关于x o ) 的二阶常微分方程( 2 1 8 ) 是很容易求解的，通解为： x ( x ) 一k c o s ( 触) + k 2 s i n ( 2 x ) ( 2 2 2 ) 这里k ，是任意常数。 当材料的杨氏模量沿厚度方向按照一些特定函数变化时，关于y q ) 的四阶 变系数常微分方程( 2 2 1 ) 是可以求得精确解的。 9 第二章各向同性功能梯度材料板的二维柱型弯曲问题 2 3 1 以p 为底的指数函数分布。 以e 为底指数函数的材料常数分布形式假设，由于数学上求解比较简单， 并且在一定程度上反映了功能梯度材料的特点，因此在功能梯度材料的力学研 究中被广泛采用1 4 3 1 i 矧。即假定杨氏模量沿厚度方向按照如下形式分布： e ( z ) 一e o e 毗脚( 2 2 3 ) 其中口代表材料的梯度变化指数，磊为功能梯度板下表面处的杨氏模量值。 把式子( 2 2 3 ) 带入到方程( 2 2 1 ) 得： y ( 4 ) 一2 号y ”+ 【晤) 2 - - 2 a 2 】y ”2 日a2 2 y + a 2 f a 2 + 南唔) 2 。0 ( 2 2 4 ) 这是个4 阶常微分方程，具有下面形式的通解； y q ) l i r aa l e q 2 + 4 e 屹2 + 4 e 畔+ 4 e 邮( 2 2 5 ) 其中皑a i t1 , 2 ，3 ，4 ) 是方程( 2 2 4 ) 的特征根： 乜l t 0 1 2 3 4 。西西 一般情况下它们是互不相等的， 2 3 2 杨氏模量线性分布 假定杨氏模量沿厚度方向按照如下的线性分布： ( 2 2 6 ) e ( z ) a a z + 6( 2 2 7 ) 其中，a 、b 为常数，可由功能梯度板上下表面处的材料常数值得到，即 1 口。言( 缸一睇) ，6 - 睇( 2 2 8 ) 把式子( 2 2 7 ) 带入到方程( 2 2 1 ) ，并引入以下代换： f 。2 a , ( a z + b ) ，y 。1 y ( t ) t( 2 2 9 ) i t l 一一， j i 二 方程( 2 2 1 ) 可化为： 1 0 第二章各向同性功能梯度材料板的二维柱型弯曲问题 塑+詈雾一唔+三，祭+母一参警+嚎+丁id 吲 j a s k ： 蚝 5 7 ( 4 5 1 ) ( 4 5 2 ) ( 4 5 3 ) + c l c z h l x 2 j ( 4 5 4 ) 。v 惫。v 名 = 其中 k b 一 哆 一 皿 第四章正交各向异性功能梯度材料三维矩形板弯曲问题 - - b ， b s ， 【三 + c d - d ：， 篓】 ( 4 5 5 ， 。 e 三。p 昙： ，e 言2 。 玉。 e h00 0o 鱼z 00e h ( 4 5 6 ) 石，x 2 ，k o 一1 ，2 ，8 ) 均为待定常数，它们可由板的上下表面所施加的边界条 件来确定。 4 4 2 算例 考虑一个四边简支、接地、温度恒定的功能梯度热释电材料正方形溥板， - l e ：度、宽度和厚度分别为厶= l m 、易= l m 和日一o 1 m ，其材料常数沿厚度方 向按( 4 5 ) 式所示的同一指数函数规律变化，在z = o 处的材料常数取为文1 冽所列 硒化镉的相应数据，即 c o = c 2 2 0 7 4 1g p a ，c 曼= 8 3 6g p a ，c 曼一4 5 2g p a ，c 曼= c 2 3 0 = 3 9 3g p a ， c 4 4 0 一；1 3 1 7g p a ，0 = 1 4 4 5g p a ， 芭一战一一0 1 6c m 2 ，砖一o 3 4 7c m 2 ，- - 0 1 3 8c m 2 ，e 2 4 0 0 ， 碟一砖a 8 2 5 1 0 以2 c 2 ( n m 2 ) ，砖= 9 0 2 x 1 0 。2c 2 ( n m 2 ) ， 人曼= 人乞；o 6 2 1 x 1 0 6n ( k m 2 ) ，a 3 。- 0 5 5 1 x 1 0 6n ( k m 2 ) ， p ；一2 9 4 x 1 0 “c ( g - n 2 ) ，k o 七兰= k o 七品= 2 3 分别计算三种荷载情况。 5 8 第四章正交各向异性功能梯度材料三维矩形极弯曲问题 算例一机械荷载作用： 上表面作用均匀分布的压力z 。，下表面自由，上下表面无自由电荷且温度 不变，即 z + 0 ，y ) 一一z 。( 运算中取z o = 1p a ) x + o ，y ) ny + o ，y ) = d + ，y ) = 0 + g ，) ，) = 0 x 一 ，y ) m y o ，y ) 一d o ，y ) 一0 一o ，y ) 一z o ，y ) n 0 算例二电荷载作用： 上下表面分别给定正弦函数分布的电位移玩，上下表面无机械荷载作用且 没有温差，即 兰+ ，y 、) d o ( 运算中取哦，1c m 2 ) d 一 ，) ，) ；d o 。 z + o ，y ) 一x + ( x ，y ) 一y + ，y ) = 口+ 0 ，y ) = 0 z + 0 ，y ) 一x 一 ，) ，) ny 0 ，y ) ；0 一o ，y ) ；0 算例三热荷载作用： 上表面给定正弦函数分布的温度变化吼，下表面温度不变，上下表面无自 由电荷和机械荷载作用，即 p + ( 石，y ) ；0 0 ( 运算 9 取o o = l k ) z + o ，y ) 一x + o ，y ) = y + ，) ，) = d + o ，y ) = 0 z o ，y ) 一x 一 ，) ，) - y o ，y ) ；d 一 ，y ) = 0 首先考察双三角级数形式解的收敛性，选取功能梯度板内的一点， x 厶- - - 1 4 ，y l l ：= 1 4 ，z h 一1 4 ，当作用上面的三种形式荷载情况下，表 4 1 、表4 2 、表4 3 分别列出了各物理量在该点处随不同m 和取值时的收敛 第四章正交各向异性功能梯度材料三维矩形板弯曲问题 情况。m 和代表双三角级数在坍一m 和n n 处截断，即m 、靠的最大值取 到m 、。随着m 、的不断增大，各物理量的值几乎不再变化，可以发现位 移m 和w ，电释驴，应力吒和，电位移见不管在任何荷载情况下，收敛速度都 是相当快的，只要取前面几项就可以得到较精确的结果。 表4 1 机械荷载作用下各物理最的收敛情况 g d v “，vw 妒 t a t 巧 0 z见 ox ，0 x d x ，d p l2 7 9 e 1 12 8 9 e 1 01 8 5 e 0 21 2 1 e + 0 01 0 0 e 旬1 7 6 5 e 1 39 4 9 e + 0 03 2 6 e + 0 06 4 5 e 1 2 32 7 l l - 112 9 9 1 - 1 02 1 4 e 0 21 1 0 1 e + 0 0 1 7 8 e 0 11 4 2 e 1 2lj 吣e 剖0 13 0 4 e + 0 06 5 9 e 1 2 52 6 9 e 112 9 8 e 1 0 2 0 6 e 0 2 8 9 9 e - 0 1 1 2 9 e - 0 19 5 5 e 1 31 0 5 e + 0 13 0 3 e + 0 06 5 5 e 1 2 7 1 2 6 9 e 1 1 2 9 7 _ e 1 02 0 2 e 0 29 5 2 e 一0 1- 9 9 4 e 舰6 3 9 e 1 31 0 4 e + 0 l- 3 0 3 e + 0 06 4 5 e 1 2 9 2 7 0 e 1 1 2 9 7 e 1 02 0 4 e 0 29 8 0 e m l1 2 l e 0 18 9 4 e 1 31 0 4 e + 0 13 0 3 e + 0 06 3 5 e 1 2 1 92 6 9 e 1 12 9 7 e 1 02 0 4 e 0 2- 9 6 0 e - 0 11 2 8 e 0 19 9 l e 1 31 q 5 e + 0 l3 0 3 e + 0 06 4 4 e 1 2 5 92 6 9 e 一1 1- 2 9 7 e 1 02 0 4 e 一0 2- 9 6 0 e 0 11 2 4 e 0 1- 9 1 9 e 1 31 0 5 e + 0 13 0 3 e + 0 06 4 4 e 1 2 9 92 6 9 e 112 9 7 e 1 02 0 4 e 一0 29 6 0 e 0 11 2 4 e 0 19 1 9 e 1 31 0 5 e + 0 1 3 0 3 e + 0 06 4 4 e 1 2 表4 2 电荷载作用下各物理量的收敛情况 m n “，yw 妒 a t 碍 o z皿o x ，o x气qd x ，d y 16 1 8 e 0 31 4 2 e - 0 2 1 ，6 7 e + 0 81 0 8 e + 0 r 71 。1 5 e + 0 67 9 9 e 0 17 。0 4 e + 0 87 。2 l e + 0 85 6 5 e 0 2 35 1 8 e 0 31 5 6 e 0 22 8 7 e + 0 82 0 4 e + c r 71 3 2 e + 0 71 3 8 e - c 0 01 1 9 e + 0 95 1 9 e + 0 85 5 9 e 0 3 54 6 8 e 0 31 5 5 e 0 22 2 0 e + 吣7 2 8 e 埘 1 5 2 e + 0 71 0 5 e + o o- 9 3 9 e + 0 85 1 6 e 枷4 6 8 e 0 2 95 0 2 e 0 31 5 5 e 0 22 0 7 e + 吣7 0 9 e + 0 74 5 0 e + 0 69 8 3 e 0 18 7 4 e + 0 85 0 9 e + 0 82 9 7 e 0 2 5 9- 4 9 4 e 0 31 5 5 e 0 22 1 0 e + 0 83 2 9 e + 0 6 9 0 6 e + 0 6 1 0 0 e + 0 0 8 9 1e + 0 85 0 5 e + d 83 1 7 e 加1 4 9 9- 4 9 4 e 彤1 5 5 e 0 22 1 0 e + 0 83 2 1e + 0 68 2 3 e + 0 51 0 0 e + o o8 9 0 e + 0 8- 5 0 5 e + 0 83 0 0 e 0 4 1 9 9- 4 9 4 e 加b1 5 5 e - 0 22 1 0 e + 吣3 1 8 e + 0 62 2 6 e + 0 61 舶e + 0 0 8 9 0 e + 0 85 0 5 e + 0 83 0 0 e 0 4 2 9 9 - 4 9 4 e 0 31 5 5 e - 0 2 - 2 1 0 e + 0 83 1 8 e + 0 62 2 5 e + 0 61 o o e + o o8 9 0 e + 0 85 0 5 e + 0 83 0 0 e 0 4 表4 3 热荷载作用下各物理量的收敛情况 m n口，yw 驴 t ，气碜哆见 o x ，oxd x ，d y 12 7 7 e 0 72 4 3 e 0 64 7 9 e + 0 2 1 0 7 e + 0 31 1 7 e + 0 22 5 1e 0 83 3 9 e + 0 43 2 3 e + 0 41 5 l e 0 7 32 3 4 e 0 口 2 7 5 e - 0 68 0 5 e + 0 21 1 0 e + 0 25 7 1 e + 0 21 1 8 e 0 75 8 1e + 0 42 3 4 e + 0 4 2 2 1e m 8 5- 2 1 3 e 0 72 6 8 e 0 66 3 8 e + 0 28 5 8 e + 0 26 7 9 e + 5 0 2 e 0 9- 4 4