（基础数学专业论文）g0b13及h0b14在πv（1）中的收敛性.pdf

摘要 摘要 对t o d a - s l i t h 谱y ( 1 ) ，a d a n l s 谱序列( a s s ) 霹r ，d r ) 的岛一项； 霹。兰e z 岔( 日+ y ( 1 ) ，名) = = 争巩一。y ( 1 ) 4 ：群。一霹+ 。蚪1 是谱序列的微分， 本文由谱的上纤维序列导出的黝群的正合序列和m a y 谱序列，利用【l 】关于 眈t 罗( z p ，名) 的一个估计，其中p 为由m o dps t e e r o d 代数a 的所有循环缩减幂 p g o ) 生成的子代数，得出p 1 l 为奇素数，g = 2 0 一1 ) 时 e z t 尹3 p 2 。+ ”+ 2 9 士r + 1 ( 日+ y ( 1 ) ，磊) 一op 2 ) 眈z 竽妒叶壮州( 日+ y ( 1 ) ，磊) 一o ( r 2 ) 并由此得出当p 1 l 时， o 9 0 醒j k t j 印2 2 + ”+ 幻( 日y ( 1 ) ，磊) o 碓e z 砖4 p 2 口+ 。( 日y ( 1 ) ，名) 在a d a m s 谱序列中收敛到丌y ( 1 ) 的非零元素 关键词：稳定同伦群，球谱，t o d a - s m i t h 谱，a d a m s 谱序列，m a y 谱序列 a b s t r a c t f 研t o d a - s m i t hs p e c t r u y ( 1 ) ，上强一t e 珊so fa d a l ss p e c t r a ls e q u e n c e ( a s s ) t 群，d r ) 霹型e z t 岔( 日y ( 1 ) ，磊) = = 丌t 一。y ( 1 ) i i d r ：e _ e ：+ 7 ，件一1 i st h ed i 艉r e n t i a l i nt h i sp a p e r ，b yu s i n go ft h ee 缸鲈o u pe x a c ts e q u e n c e si n d u c e db yc o 矗b r a t i o n so f s p e c t r u ma dm a ys p e c t r a ls e q u e n c ea n db ym e 粕so fa ne s t i m a t i o no fe z t 岔( 磊，召) i n 1 】 w h e r e p i s t h es u b 姆b r a o f l o dps t e e r o da l g e b r a a w h i c h i sg e n e r a t e db ya 1 1 p0 0 ) ， w e 丘d ( w h e r e p 1 1b eo d d p r i m en u l b e r ，q = 2 ( p 一1 ) ) ： 眈t 驴4 忉+ 2 9 士r 千1 ( 日+ y ( 1 ) ，名) = o ( r 2 ) e z 群7 4 p 2 4 + 。士r 千1 ( 日+ y ( 1 ) ，乙) = o ( r 2 ) i t f 0 u o w s 行o m t h e s e t h a t i f p 2 1 1 ， o 蚰碹e z t 夤3 p 2 9 + 钾+ 幻( 日+ y ( 1 ) ，z p ) o 6 4 e z 最4 p 2 町+ 。( 日+ y ( 1 ) ，邵) n v e r g 稻i nt h ea s s o n t r i v i a l l yt 0a ne k e to fn y ( 1 ) r e s p e c t i v e l y k e yw b r d s ： s t a b l eh o m o t 叩甲g r o u p s ；s p h e r e8 p e c t r u m ；t b d a s 血t hs p e c t r u m ；a d 眦s s p e c t r a ls e q u e c e ；m a ys p e c t r a ls e q u e n c e 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本：学校有权保存学位论文的印刷木和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文：学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子舨；在不阻赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：尊肆k p 。年j 月，。日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适，日 j 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间；年月日 各密级的晟长保密年限及书写格式规定如下 曩：一要? ”。譬嚣蠢霹嚣鼍量7 ，掣 1 1 内帮i 年( 最长5 钜。可少t5 年) 。、。叠0 曩! i j i 、j 掣。”。霉 ： i ! 。秘镪l o 年最接：孙年，两少于1 0 年) 一。 i 。 ：j ：- i u - - 一” 机密2 0 年最长2 d 年；可少乇2 0 年) j 曩。： | j 一_ i 一。一墨一兰_ i i 二l j 蔓二曼董l 一，羔! i 。二l 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 埠零良 2 d 6 年，月，o 日 笪二主墅堡三生! 兰! 竺：! 里：! ! 1 2 ：垒! 垄! ! ! ( ! ! 主塑些塾竺 第一章卵i e z 瑶3 p 2 a + 舢恂( 日+ y ( 1 ) ，名) 在丌+ y ( 1 ) 中的收敛性 本文主要证明两个结果：在a d a n l s 谱序列中，卯坍e z t 夤妒口却叶2 9 ( 日t 矿( 1 ) ，磊) 和 6 4 e z 堤酽口+ 9 ( 日+ y ( 1 ) ，磊) 是永久循环且不是西边缘，从而它们分别收敛到n y ( 1 ) 中的非零元 命题1 1 ：e z t 岔( 日y ( 3 ) ，磊) 竺e z ( 乙，磊) ，当o s ) 2 p 4 1 证明：令m = q ( 2 4 ) = e q o ，q 1 ，仉，q 3 】，是由q o ，q 1 ，q 2 ，q 3 所生成的外代数，其中q 是s t e e i m d 代数a 的m i l n o r 基元考虑短正合序列：o 一一q 三m o ，其中 q = e q o ，q l ，】，”是投射，= k e r 因为m 的最高次数元q o q l q 2 q 3 的次数 2 p 4 1 ，所以当次数 2 p 4 一l 时，里没有元由上面的短正合序列可以导出下面 的长正合序列 一e z t 7 1 。( ，名) 一e z t 2 ( m ，磊) 一e z t 岔( q ，召) 一e z t 岔( ，磊) 一 注意到眈t r l 。( 召) = e z 珂( ，名) = o0 一s 2 矿一1 ) ，于是有 e z t 岔( m ，乙) 竺e z 嚷。( q ，乙) o s 2 矿一1 )( 1 ) 由【1 】5 6 页，有； e 。t 箩( 召，磊) 兰e t t 岔( q 磊) ( 2 ) 其中p 为由模ps t e e n r o d 代数a 的循环缩减幂一0 o ) 生成的子代数由 1 】，当p 7 时，y ( 3 ) 是m = q ( 2 4 ) 的几何实现，即日y ( 3 ) 兰m ，所以有 e z t i ( 日+ y ( 3 ) ，名) 竺e z 岔( m ，磊)( 3 ) 因此当一s 2 n 时而且存在上纤维序列( y ( 一1 ) = s ) ： 2 一1 ) y ( 几一1 ) ! y ( n 1 ) 与y ( n ) 、2 p “一1 y ( n 一1 ) 第一章9 0 碹e z 矗驴口+ p 叶2 。( 日4 y ( 1 ) ，z p ) 在”。y ( 1 ) 中的收敛性 其中分别为鼽口，成7 当n = 0 ，l ，2 ，3 时由于存在短恰当序列 。一乎矿一1 q ( 2 n ) 生q ( 2 n + 1 ) 趔q ( 铲) 一。 从而此上纤维序列可以导出名上同调群的短正合序列t o + 印“一1 日+ y m 一1 ) 互日y ( n ) _ 兰墨日+ y m 一1 ) ，o 最后就导出下面e 疵群的长正合序列z 垃bj k 膏1 ，。( 2 矿一1 ( 日y m 1 ) ，彩) 坦专j h t 奢( 日+ y m 1 ) ，z p ) g 业 e z t 岔( 日+ y ( n ) ，磊) 垃be z t i 一( 2 p “一1 ( 日+ y ( 佗一1 ) ，邵) ! 士 命题1 3 ：e t t ，3 p 2 叶瑚+ 2 口+ r 1 ( 日y ( 1 ) ，z p ) = o ( r 2 ，p 1 1 ) 证明；由推论1 2 眈臂。驴蝴+ 2 口+ r 一1 ( 日y ( 3 ) ，磊) 竺眈节7 ，3 p 2 口忉+ 料“( 磊，磊) ，( r 2 ) 2 由【l 】三e m ”m 2 2 ，后者的秩 p ( 酵) 。日”( u ( 工) ) 】8 机3 p 2 口+ p 口+ 2 q + 7 1 的秩，并且 p ( 酵) 。 日”( u ( l ) ) p 为m 口g 谱序列的毋项，p ( ) 是多项式代数。当一5 矿g + p g + 幻一9 ，从而知表中 p ( 6 ；) o 日”缈( l ) ) r 没有元a 满足= 5 q 一1 ( m o dp 口一2 ) ，故( 3 ) + ( t 2 ) 。( z ) = 0 考虑下面正合序列 唑e 。? 驴什”+ 2 。”一1 一2 p 3 - 1 ( 日+ y ( 2 ) ，昂) ( 竺le t 臂7 ，3 p 2 口+ w + 2 叮+ “( 日+ y ( 2 ) ，名) 1 3 土e 。臀7 ，3 p 2 q + 尹q + 2 q ”一1 ( 日y ( 3 ) ，磊) i 业 ( + ) 存在。l 五k 驴叶”+ 2 4 ”- 1 一( 2 p 3 - 1 + y ( 2 ) ，z p ) ，使得( i 2 ) 。( z ) = ( 钧) + ( z 1 ) 但) ( z 1 ) i = 2 矿q + q 一9 ；3 口一5 ( m o d 册一2 ) ，由表格知无元对应，故( i 3 ) + ( z 1 ) = o e t t ? 。酽9 + 坩+ 却+ r - 1 一( 驴一1 ( 日y ( 3 ) ，乙) 再由( + ) ，存在z 2 e t t ，“妒q 十w + 2 q + r 一1 2 ( 妒一1 矿( 2 ) ，磊) 使z l = ( a 3 ) 。( z 2 ) 但) 。( z 2 ) i = p 2 口一加一9 = g 一9 ( m d d 册一2 ) ，由表格知无元对应，故( 3 ) + ( z 2 ) = o e z t 驴4 + 瑚+ 2 口+ “一2 驴一1 ( 日y ( 3 ) ，磊) 再由( + ) ，存在 z 3 e t t 7 ，3 p 2 4 + w + 2 4 + 7 1 3 ( 2 p 3 1 ( 日+ y ( 2 ) ，磊) = e z 一2 w q + r 一4 ( 日+ y ( 2 ) ，名) = o 使得z 2 = ( o r 3 ) 。汹) = o 从而( t 2 ) + ( z ) = ( ) + ( 钧) 。( a 3 ) 。( 。3 ) = o 即 眈t ，3 p 2 4 + p 叮+ 2 叶r - 1 ( 日y ( 2 ) ，磊) = op 2 ，p 1 1 ) 冉考虑f 面正台序列 丝；e z t ? 妒4 + p 口+ 2 口+ r - 1 一( 2 p 2 1 ( 日+ y ( 1 ) ，磊) 唑e t t 7 ，酽叶w + 却”一1 ( 日+ y ( 1 ) ，磊) 堕；e t 驴口懈+ 2 口+ “( 日y ( 2 ) ，磊) 唑( + + ) 存在盔眈t 7 ，印2 4 + ”+ 2 口+ 一1 一( 驴一1 ( 日y ( 1 ) ，z p ) ，使得z = ( 0 2 ) 。( z 1 ) 归纳假设存在钰e z t ，7 一，3 p 2 叶p g + 2 叶一1 一( 妒一1 ( 日+ y ( 1 ) ，磊) ，使得 。= 坚! ：! 竺! ! ：协) k 则( 诎( 协( ) 眈臂“，驴q + 瑚+ 幻+ “一( 却2 1 ( 日y ( 3 ) ，乙) 令q = i ( 如) + ( 2 k ( ) i 第一章9 0 醒e z t r 口+ w + 2 。( 日+ y ( 1 ) ，z p ) 在v ( 1 ) 中的收敛性 4 = 3 p 2 口+ p 口+ 2 9 + r 一1 一南( ) 2 一1 ) 一( 8 + r 一七) = 3 p 2 q + ( 1 一七) p 口+ ( 2 一七) q 一9 = ( 5 一k ) q 一( 1 + 2 ) ( m d dp q 一2 ) a 1 当= 1 ，2 ，3 ，4 ，5 时，q = ( 5 一) q 一( 1 + 2 ) ( m o d 册一2 ) ，满足 ，0 5 一七4 p 。3 s 1 + 2 七1 1 口 表格中显然无元对应，故( 3 ) 。( i 2 ) 。( 张) = o a 2 当5 七 p 一3 时，口= ( p + 5 一南k 一( 3 + 2 七) ( m o d 加一2 ) ，或者q = + 4 一k ) g + 0 3 2 ) ( m o d 伽一2 ) ，满足 ，8 p 十5 一南 p t 1 3 3 + 2 七 q l q 或者 ，7 p + 4 一七 p 一1 p t 1 q 一3 2 q 一1 3 前者显然没有表格中的元对应；对于后者，根据( i 3 ) + ( t 2 ) ( 张) 的全次数，若含有6 i 因 子，其指数最大为3 。设若表中有对应元= 口口+ 6 ( m d d 册一2 ) ，则。最大为8 而 若p + 4 一k = 8 ，则口一3 2 = 3 ，显然由表格知道，满足= 8 口+ 3 ( m o dp 口一2 ) 的a 不存在；若含有蠼因子，其指数最大为2 ，则n 最大为7 ，此时表格中显然无元 对应；若含有f t 因子，其指数最大为l ，且不能同时含有6 i 或醒因子，从而o 3 p 2 口+ p q + 2 q 一9 ，因此可以排除； a 3 3 当r = 2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 时，3 2 r 一1 1 3 。显然表格中无元对应；故都有 ( i 3 ) 。( i 2 ) 。( 钆) = o 也当p + 4 k 印一5 时，q = ( 印+ 4 一) g 一( 5 + 2 一口) ( m o dp 口一2 ) ，或者 q = ( 2 p + 3 一) q + ( 2 q 一5 2 ) ( m o d 卿一2 ) ，满足 或者 ，9 2 p + 4 一七 p 1 5 5 + 2 七一口 口一l g ，8 2 p + 3 一七 p l p 1 2 口一5 一1 5 2 七 口一1 3 笪二主些堕三皇! 生兰：竺：竺! 望：! ! 1 21 圣2 垄! ! ! f 1 2 主堕些塾丝 5 类似于a 2 的说明，表格中无元对应，即有( t 3 ) 。( 2 ) 。) = o 如当= 2 p 一5 + r ，r = o ，1 ，2 ，8 时，q = ( 8 一r ) 口+ ( 1 2 r ) ( m o d 州一2 ) 类似于 a 3 的说明，表格中无元对应，即有( t 3 ) 。( f 2 ) + ( 钝) = o 山当2 p + 3 劬一7 时，q = ( 3 p + 3 一h 一( 7 + 2 m 一2 q ) ( m o d 加一2 ) ，或者 0 = ( 印+ 2 一k h + ( 跖一7 2 ) ( m o d 瑚一2 ) ，满足 或者 ，1 0 3 p + 3 一七 p 。9 7 + 2 南一2 口 口一1 口 ，9 3 p + 2 一七 p 一1 p 1 3 口一7 1 5 2 七 口一9 类似于a 2 的说明，表格中无元对应，即有( i 3 ) ( 2 ) 。) = o a 7 当= 3 p 一7 + n r = o ，1 ，2 ，7 时，q = ( 9 一r ) 口+ ( 1 2 r ) ( m o d 加一2 ) 类似子 a 3 的说明。表格中无元对应，即有( 3 ) 。0 2 ) ，( z k ) = o 由( + ) ，存在孔e z ，一一1 ，驴q 十w + 2 叶1 一( 2 p 2 1 ) 一( 2 p 3 - 1 ( 日y ( 2 ) ，名) ，使得( t 2 ) 。) = ( ) 。( z 4 ) 令m = ) 。( z 4 ) f = 却户口+ p 叮+ 2 口十r 一1 一七( 勾，2 1 ) 一( 4 产一1 ) 一( 7 + r 一七) = 2 p 2 口一p 口+ ( 1 一h 一9 = ( 3 一) q 一( 5 + 2 ) ( m d dp g 一2 ) b 1 当= l ，2 ，3 时。m = ( 3 一) q 一( 5 + 2 ) ( m o dp q 一2 ) ，满足 ，o 3 一惫2 p t 9 茎5 + 2 七1 1 口 表格中显然无元对应，故( i 3 ) 。) = o b 2 当3 p 一5 时，m = ( p + 3 一k 一( 7 + 2 ) ( m o d 伽一2 ) ，或者m = ( p + 2 一) q + ( 口一7 2 ) ( m o d 加一2 ) ，满足 ，8 p + 3 一 p t 1 3 7 + 2 七 q l g ，7 p + 2 一盘 p l p l 1 口一7 2 七 q 1 3 q 类似于a 2 的说明，表格中无元对应，即有( 3 ) 。( z 4 ) = o 岛当= p 一5 + r r = o ，1 ，2 ，7 时，m = ( 7 一r h + ( 1 2 r ) ( m o dp q 一2 ) 类似于 a 3 的说明，表格中无元对应，即有( t 3 ) + ( 。4 ) = 0 笙二主墅堕墨墨! ! 兰! 竺：! 里：塑1 21 圣! 垄! ! ! ! ! 堕坚丝丝 6 段当p + 2 2 p 一7 时，m = ( 2 p + 2 一k 一( 9 + 2 k 一口) ( m 甜加一2 ) ，或者 m = ( 2 p + l 一七) 口+ ( 2 口一9 2 ) ( m o dp g 一2 ) ，满足 ，9 2 p + 2 一七 p 1 5 9 + 2 七一口 q l 鼋 或者 ，8 2 p + 1 一七 p 一1 p l 2 口一9 2 后 口一1 5 口 类似于也的说明，表格中无元对应，即有( t 3 ) 。( z a ) = o b 5 当= 2 p 一7 + r ，r = o ，l ，2 ，7 时，m = ( 8 一r + ( 1 2 r ) ( m o d 州一2 ) 类似于 a 3 的说明，表格中无元对应，即有( i 3 ) 。( z t ) = o 由( ) ，存在z 5 眈臂h 一2 ，3 p 2 4 憎+ 2 卅一h ( 2 p 2 1 ) 一2 ( 2 p 3 1 ( 日+ y ( 2 ) ，z p ) ，使得z 4 ： ( o ) 。( 茁5 ) 令= ) 。( 。5 ) l = 却产口十p q 十2 q + r l 一七( 劫2 1 ) 一2 ( 勾户一1 ) 一( 6 + r 一南) = 矿q 一( 1 + ) p 口一口一9 = ( 1 一) q 一( 9 + 2 女) ( m o d 加一2 ) a 当= l 时，= 一1 1 ( m o d 册一2 ) ，表格中显然无元对应，故( i 3 ) 。( z 5 ) = o q 当3 p 一5 时，= ( p + l 一女h 一( 1 1 + 2 ) ( m o dp 口一2 ) ，或者= ( p 一七) g + q l l 一2 七) ( 仃l o dp g 一2 ) ，满足 ，8 p + l 一七 p 1 3 1 1 + 2 七 q 一1 g 类似于a 2 的说明，表格中无元对应，即有( t 3 ) ( z 5 ) ：o 岛当自= p 一7 + r ，r = 0 ，l ，2 ，7 时，= ( 7 一r + ( 1 2 r ) ( m o dp 口一2 ) 类似于 a 3 的说明，表格中无元对应，即有( 3 ) 。( z s ) = o 由( ) ，存在z 6 e t t r 一一3 ，3 p 2 。+ w + 2 q + r 一1 一( 舻一1 ) 一3 ( 驴一1 ( 日y ( 2 ) ，z p ) = o ，使得z 5 = ( o ) 。( z 6 ) = o 从而( t 2 ) 。( 2 女) = ( d 3 ) 。( 0 3 ) 。( 0 3 ) 。( 。6 ) = o 由( ) ，存在z k + 1 e z ，r _ “1 3 p 2 4 + ”+ 2 叮”一1 一( + 1 ) ( 驴一1 饵+ y ( 1 ) ，乙) ，使得= ( 砚) 。( 张+ 1 ) 从而 z = ( q 2 ) 。( 眈) + ( 2 e + 1 ) 、。_ _ _ _ _ - v _ _ _ _ - _ _ ， k + 】 完成归纳当= 3 p 时，就有z ：o g p 3 l l 一 一 口 p 驰“卜 p 1 o ，只有= 1 ，2 ，3 ，4 ，5 令l = l ( i 3 k a 2 ) + 0 k ) l = 驴口+ 册+ 2 口一r + 1 一( 驴一1 ) 一( 8 一r 一) = 3 矿口+ ( 1 一后) p 口+ ( 2 一七) 口一7 = ( 5 一砷口+ ( 1 2 ) ( m o d 州一2 ) 当= 1 时，l = 幻一l ( m o d 埘一2 ) ，表格中只有l ( 6 ) 3 i = 幻一1 ( m o d 卿一2 ) ，而 f 击m ( ( 6 ) 3 b ) 二7 ，f a n ( 0 3 ) 。( 赴) 。0 1 ) ) = 8 一r ls 5 故( 3 ) 。( i 2 ) 。( z 1 ) = 0 = 2 ，3 ，4 ，5 时，一9 l 一2 一3 ，表格中无元对应，从而都有( 1 3 ) + ( 赴) 。) = o 由( ) ，存在弧e t 肯r _ 一1 ，驴口+ 9 叶2 。一”1 一驴一1 一2 p 3 1 ( 日y ( 2 ) ，乙) ，使得( t 2 ) 。( 。k ) = 笙二主墅堕! 兰! 鱼兰：= = = ：! 坚：! ! 1 21 圣2 垄尘! l 生主堕鉴塾丝 8 ( ) + ) ， 因为s 出r n ( ( t 3 ) 。( 玑) ) = 3 矿口+ 瑚+ 2 口一r + l 一七( 2 矿一1 ) 一( 2 矿一1 ) = 2 p 2 q 一锄+ ( 1 一七) 口一r 一七= q r k o ( m o d 口) ，所以( t 3 ) + ( 讥) = o 由( ) ，存在蜘五b t r _ 喝3 p 2 口+ ”+ 2 q 一7 + 1 一( 驴一1 ) 一2 ( 2 p 3 1 ( 日y ( 2 ) ，名) ，使得玑= ( 哪) + ) ， 因为s d 打n ( a 3 h ( 舶) ) = 3 矿叮+ p q + 2 口一r + 1 一七( 2 矿一1 ) 一2 ( 2 p 3 1 ) = p 2 q 一( 1 + 咖一 q r k 一1 = q r 一一1 o ( m o d 口) ，所以( t 3 ) 。( 拈) = o 由( ) ，存在驰i 知t 一一3 ，3 p 2 9 + w + 2 4 一”1 一( 2 ( p 2 1 ) 一3 ( 2 扩一1 ( 日y ( 2 ) ，名) = 眈青一，一( 2 + ) ”一( 1 + ) ”“一2 ( 日+ y ( 2 ) ，磊) = o 使得蜘= ( 蜘) 。( 舶) = 0 综合以上，有( 2 ) + ( z k ) = ( ) 。( a 3 ) 。( a 3 ) + ( 9 6 ) = o 由( ) ，存在z k + l e z t 一一1 ，印2 9 + ”+ 2 口一”1 一+ 1 驴一1 ( 日+ y ( 1 ) ，名) ，使得z 女= ( 啦) 。扛女+ 1 ) 从而 z = ( n 2 ) 。( a 2 ) 。( z k + 1 ) 、。_ _ - _ 。、，。_ _ 。， k + 1 完成归纳当= 5 时，就有z = o ，即 眈 妒。忉+ 2 9 1 + 1 ( 日y ( 1 ) ，名) = o ( r 2 ) 证毕一 定理1 5 ：令p l l ，则卯碹e t 夤驴q + p 叮+ 幻( 日+ y ( 1 ) ，z p ) 在a 如m s 谱序列中收敛到 几y ( 1 ) 中的非零元 证明t 考虑a 如m s 谱序列，其局一项 磁。= e z t 岔( 日y ( 1 ) ，z p ) 辛 一。y ( 1 ) 微分为d r ：群，。，辟+ 州” 由命题1 3 ： 霹+ ，印2 口+ 瑚+ 却+ r 一1 = e 茁亡8 + ，却2 q + p q + 2 口+ 7 1 ( 日+ y ( 1 ) ，磊) = o( r 2 ) 从而有 e ? + 3 矿q + p 叶2 q + 7 1 = o( r 2 ) 令9 0 晴为9 0 晴e 叠毋酽口十p 叮+ 2 a ( 磊，磊) 在映射 ( t 1 ) + ( 如) + ：e z t 盖3 p 2 q + p 叶2 4 ( 名，磊) + e z t 驴。+ w + 2 4 ( y ( 1 ) ，磊) 下的像，则 d r ( 册碹) 霹+ ，3 矿q + p 叮+ 2 q + 7 1 = o( r 2 ) 第一章9 0 碹e z t 夤妒叶w + 2 9 ( 日y ( 1 ) ，磊) 在+ y ( 1 ) 中的收敛性 所以 蜘晴磅3 p 2 q 忉+ 幻= 眈瑷酽口+ 埘+ 2 9 ( 日矿( 1 ) ，磊) 在a 如m s 谱序列中是永久循环 由命题1 4 ： 霹1 3 p 2 q 十p g + 却一”1 = 眈t 3 p 2 q + w + 2 口一州( 日+ y ( 1 ) ，磊) ：o ( r 2 ) 可得 霹一 酽口悃+ 2 9 r + l = o ( r 2 ) 知卯碹在谱序列中不是d r 边缘 因此 9 0 晴e z t 印2 口+ p g + 2 叮( 日y ( 1 ) ，磊) 在a 如m s 谱序列里收敛到。y ( 1 ) 中的非零元 证毕 9 第二章6 e z t 置4 p 2 叶9 ( 日y ( 1 ) ，磊) 在以y ( 1 ) 中的收敛性 第二章6 e z t 4 ，2 a + a ( y ( 1 ) ，磊) 在丌+ y ( 1 ) 中的收敛性 命题2 1 ：e z 豺4 p 2 什9 “一1 ( 日+ y ( 1 ) ，邵) = o ( r 2 ，p 1 1 ) 证明：类似于推论1 2 ，由命题1 1 可得 e t 穿，4 p 2 q + q + r 一1 + y ( 3 ) ，名) 型e k 节7 ，妒叮+ 叶r - 1 ( 名，磊) ，( r 2 ) 1 0 根据【l l 工e m m 2 2 ，后者的秩s 【p ( 埒) 日”( u ( l ) ) ”9 ，妒什口+ 1 的秩，并且【p ( 磅) 。 日”( u ( l ) ) 为m o 谱序列的研项，p ( ) 是多项式代数当全次数0 一s ) + 劬2 + 2 p + l h 一4 时，日8 ( u ( l ) ) 由以下上同调类( 乘法) 所生成 k = 皤) ，吼= 磁兄i ，船= 厦r p l ) a o ) l = 础碹肼) ，f 。= 哦明r ) ，f 。= 础赌r o f a = 础避研 ，1 5 = 硪啦科) ，f e = 磺碴磺) m 1 m 3 础鹂瑚r ) ，m 。= 瑚磁明础 磁威瑚r i ) ，m t = 硬磁r 础) 并且我们加法的有 日”( 矿( l ) ) 兰 1 ，f 4 ， 3 o 1 ， l ，卯，硒，卜 k ， 2 ，9 l ，f 1 f 2 ，f 1 l ，l ，f 3 ，l 1 ，z l 圯，m 1 ，m l ，啦，沈，f 5 ，“2 ，”3 ，f 6 ，m 4 ) 而且磁，砖的双次数分别为( 1 ，2 卅一) ) ，( 2 ，2 廿卜1 一+ 1 ) ) 在m 删谱序列中钾收敛到6 0 e 。t 矽( 名，z p ) ，钾的全次数i 胡i = p 口一2 。 下面将i p ( 醇) o 日”( u ( l ) ) p 中全次数( 亡一s ) 墨4 矿q + g 一1 0 的生成元 及其全次 数( m d dp 口一2 ) 后的余数d e 9 a 列表如下( 1 t 4 ，l f 3 ) ： ( 6 i ) 。，( 醒) 。) o “) o ， 1 ，9 0 ，o ) + 垃， 0 ， d e g a ： 幻，f 口十2 。) 十【 4 q + 7 ) + 口一l ，l ，2 吼口十2 ，2 q 十1 ) + q + 1 ，2 9 i ： 9 1 l ，屯，f l l ，l ，f 3 ，虹 1 ，f 1 ，m 1 ，m 1 o d c 9 a ：口+ 4 ，4 q + 3 ，2 q + 5 ，4 口+ 4 ，2 口+ 4 ，4 q + 3 ，2 q + 5 ，5 口+ 4 ，4 口+ 8 ，5 q + 7 ) 】 令$ e z 嚣7 ，妒4 + 9 + r _ 1 ( 日+ v ( 1 ) ，乙) 为任一生成元，则 ( i 3 ) 。( t 2 ) ( 。) e t t 茅，铲什口+ 1 旧+ y ( 3 ) ，召) i ( 3 ) + ( f 2 ) 。( 。) j = 4 p 2 q + q + r 一1 一( 9 + r ) = j 矿q + 口一1 0 ；5 q 一2 ( m o dp 口一2 ) 由表格知道 【p ( 埒) 。日”( 矿( 工) ) r 中满足条件的元 是不存在的，故此时e 缸芗，4 p 2 9 + 口+ r - 1 ( 日y ( 3 ) ，磊) = 箜三主坠堡三兰! ! 窆：! 坚：! ! ! ! ! 圣! 垄! ! ! ! ! ) 主塑鉴篁竺 0 ，从而( i 3 ) + ( t 2 ) + ( z ) 一o 考虑下面正合序列 堕业眈t 7 t 4 p 2 q + q ”一1 一( 矿一1 ( 日+ y ( 2 ) ，z p ) 咝；e z 封，4 p 2 口+ 口”一1 ( 日y ( 2 ) ，磊) 型；e z t 茅舻叶叶1 ( 日+ y ( 3 ) ，名) 型； ( 十) 存在z l j k 臂7 ，4 p 2 叶口+ r - 卜3 - 1 ( 日+ y ( 2 ) ，磊) ，使得( i 2 ) + ( z ) = ( ) 。( z 1 ) 但i g 3 ) 。( z 1 ) i = 3 p 2 q p q l o ；趵一6 ( m o d 加一2 ) ，由表格知无元对应，故0 3 ) 。扛1 ) ； o e z t 4 p 2 q + q + r _ 1 一( 驴_ 1 ( 日y ( 3 ) ，名) 再由( ) ，存在z 2 正t t ? 妒叮+ 9 “- 1 - 2 ( 妒- 1 ( 日y ( 2 ) ，邵) ，使z l = ( a 3 ) 。( 2 ) 但i ( i 3 ) 。( z 2 ) i = 2 p 2 q 一2 p q q l o5q 一1 0 ( m o d 加一2 ) ，由表格知无元对应，故( t 3 ) 。( z 2 ) ； o e k t ，4 p 2 q + q + r 一1 2 ( 驴一1 ( 日+ y ( 3 ) ，磊) 再由( ) ，存在z 3 e z t ，妒9 + 9 ”- 1 - 3 ( 2 p 3 - 1 ( 日y ( 2 ) ，邵) ，使z 2 = ( 3 ) 。( z 3 ) 但) 。( z 2 ) i = p 2 q 一3 p q 一2 口一1 0 ；一q 一1 4 ( m o dp 口一2 ) ，由表格知无元对应，故 a 3 ) ( z 2 ) = o e z t n 4 p 2 叶叶一1 3 ( 印3 1 ( 日+ y ( 3 ) ，磊) 再由( ) ，存在 z 4 e 7 ，4 p 2 叶q + 1 4 ( 妒一1 ( 日+ y ( 2 ) ，名) ：e z t 茅。一锄一却”一5 ( 日+ y ( 2 ) ，磊) = o 使得粕= ( 0 3 ) 。( z 4 ) = 0 从而( i 2 ) 。( z ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( 锄) + ( z 4 ) 即 e z t ，蛔2 什q ”一1 ( 日4 y ( 2 ) ，乙) = o ( r 2 ，p u ) 再考虑下面正合序列 堡尘e z t r ，妒口+ 口+ 一1 一( 妒一1 ( 日+ y ( 1 ) ，z p ) 唑丘矗t 。妒q + 口+ “( 日+ y ( 1 ) ，z p ) ! 尘e 。t 茅4 p 2 口+ 口+ r - 1 ( 日+ y ( 2 ) ，名) q 尘( + ) 存在z l e z 群7 ，妒a + 叶r 1 一( 2 p 2 1 ( 日y ( 1 ) ，z p ) ，使得z ：( n 2 ) 。( z 1 ) 归纳假设存在强e 缸茅一 妒叶叶一1 一驴一1 ( 日+ y ( 1 ) ，z p ) ，使得 z = ( 0 2 ) 。( 0 2 ) + ( 讯) y 一 则( 3 ) 。( 2 ) + 慨) e z 臂r _ ，舻9 + 叶r - 1 一( 2 p 2 1 ( 日y ( 3 ) ，磊) 令q = i ( 如) 。( 幻) 。) i = 4 p 2 q + q 十r 一1 一七( 户一1 ) 一( 9 + r 一七) = 如2 q 一p q + ( 1 一 ) q 一1 0 = ( 5 一) 口一( 2 + 2 ) ( m d dp q 一2 ) 第二章6 4 e z 砖4 矿口+ 。( 日y ( 1 ) ，磊) 在”。矿( 1 ) 中的收敛性 a 1 当= 1 ，2 ，3 ，4 ，5 时，q = ( 5 一) 口一( 2 + 2 ) o d 瑚一2 ) ，满足 t 譬麓i ；鼍 表格中显然无元对应，故( f 3 ) 。( i 2 ) 。( z k ) = o 2 当5 七 p 一3 时，q = ( p + 5 一后k 一( 4 + 2 七) ( m o d 瑚一2 ) ，或者q = ( p + 4 一h + 0 4 2 ) ( m o dp q 一2 ) ，满足 ，8 p + 5 一七 p t 1 4 4 + 2 七 口 或者 ，7 p + 4 一七 p l 。0 口一4 2 七 口一1 4 前者显然没有表格中的元对应；对于后者，根据( 3 ) + ( 2 ) + ) 的全次数，若含有6 或醒 因子，则它们的指数和最大为3 ，由表格知道，表中的对应元= n 口+ 6 ( m o d 加一2 ) ， 其中n 最大为8 而若p + 4 一= 8 ，则口一4 2 = 2 ，显然由表格知道，满足 = 8 口+ 2 ( m o d 瑚一2 ) 的a 不存在；若含有f 4 因子，根据( 3 ) 。( t 2 ) + ) 的全次数，就不能 同时含有6 i 或鸪因子，从而口7 ，所以表格中也无元对应总之都有( t 3 ) + ( t 2 ) + ( ) = o a 3 当后= p 一3 + r ，r = o ，1 ，2 ，7 时，q = ( 7 一r ) 口一2 r ( r n o dp g 一2 ) a 3 1 当r = o 时，q = 铀( m o d 加一2 ) ，根据( 3 ) 。( t 2 ) 。( 钆) 的全次数，满足 = 为( m o dp q 一2 ) 的a 中若含有6 i 因子，则其指数最大为3 ，由表格知道，相应的 = o q ( m 啦g 一2 ) 中的n 5 ，此即表格中无元对应，故( i 3 ) 。( i 2 ) 。) = o a 3 2 当r = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 时，2 2 r 1 4 ，显然表格中无元对应；故都有 ( 3 ) 。( t 2 ) 。( ) = 0 山当p + 4 k 2 p 一5 时，q = ( 2 p + 4 一) 口一( 6 + 2 一q ) ( m o dp 口一2 ) ，或者 q = ( 2 p + 3 一) q + ( 2 q 一6 2 ) ( m d dp q 一2 ) ，满足 ，9 2 p + 4 一七 p t 1 6 6 + 2 七一q q 或者 ，8 2 p + 3 一七 p 一1 p 、0 2 q 一6 2 后 口一1 6 类似于a 2 的说明，表格中无元对应，即有( 3 ) 。( i 2 ) 。) 一o 如当= 2 p 一5 + r ，r = o ，1 ，2 ，8 时，q = ( 8 一r ) 口一2 r ( m o d 删一2 ) 类似于也的 说明，表格中无元对应，即有