（电气工程专业论文）电力系统输电线路单相接地故障选线与测距.pdf

摘要 在小电流接地系统中，经常发生单相接地故障，能否及时找出故障线路，关 系到电力系统的供电可靠性。现有的多种接地选线方法存在着各种缺陷，不能满 足系统的要求。近些年兴起的人工神经网络技术，为我们解决这一问题提供了新 的思路。本论文介绍了一种基于人工神经网络技术的小电流接地系统故障选线的 新方法。 本论文从小电流接地系统发生单相接地故障的特征入手，分析了发生单相接 地故障时系统的零序电压、零序电流与功率的典型特征，体现了故障电气量与故 障线路的非线性映射关系。 随后，本文详细介绍了人工神经网络的特点与功能。特别是对多层前馈网络 与径向基神经网络进行了详尽的论述。针对传统的b p 算法的不足进行了改进。 利用s i m u l i n k 仿真软件对小电流接地系统发生单相接地故障进行了仿 真，得到了神经网络的输入特征量。通过对神经网络进行训练，分别用多层前馈 和径向基函数神经网络进行了故障选线，获得了良好的效果。最后对两种网络选 线的优缺点进行了分析。 结果表明，该方法选线准确可靠，弥补了传统选线方法的不足，有广阔的应 用前景。 本文从分形理论的基本概念入手，从理论上阐述了分形的概念、分形的特征 以及几种常用的分形维数的定义。文中还介绍了r s 分析法的基本原理及其在计 算分形维数方面的应用。 本文有对电力系统单相接地故障进行了详细分析以及接地故障点的确定。文 章简要介绍了m a t l a b 软件及其在电力系统故障仿真中的应用。 文章最后，详细介绍了本人应用m a t l a b 搭建一个简单电力系统模型的过 程，并用此模型模拟仿真单相接地故障。最后应用分形理论及频谱分析的方法， 探讨并总结信号波形的分形维数与频谱分布在输电线路弧光接地保护和弧光接 地位置估计方面的应用。 关键词；小电流接地系统；故障选线；神经网络；多层前馈网络：径向基神经网 络；分形；接地故障；m a t l a b ；r s a b s t r a c t i nas m a l lc u r r e n tg r o u n d i n gp o w e rs y s t e m ，s i n g l ep h a s ee a r t hf a u l ti st h em o s t f r e q u e n to fa l lf a u l t s w e a t h e ry o uc a ni d e n t i f yt h ef a u l tl i n et i m e l yo rn o ti sr e l a t e dt o t h ep o w e rs y s t e m sr e l i a b i l i t y t h em e t h o d so fl i n es e l e c t i o na tp r e s e n th a v es o m e k i n d so fd e f i c i e n c i e s a n dc o u l dn o tm e e tt h es y s t e m sd e m a n d w i t ht h ed e v e l o p m e n t o ft h et e c h n o l o g yo fa r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k ，i tp r o v i d e su san e ww a yt os o l v et h i s p r o b l e m t h j sp a p e ri n t r o d u c e su san e wm e t h o dw h i c hi sb a s e do nt h ea r t i f i c i a l n e u r a ln e t w o r kt e c h n o l o g y i th e l p su ss e l e c tt h ef a u l tl i n eo fs m a l lc u r r e n tg r o u n d i n g p o w e rs y s t e mc o r r e c t l y t 1 1 i sp a p e rs t a r t sf r o mt h ec h a r a c t e r i s t i co fs i n g l e p h a s ef a u l t i ns m a l lc u r r e n tg r o u n d i n gs y s t e m t h e ni ta n a l y z e st h ec h a r a c t e r i s t i co fas i n g l e p h a s et og r o u n df a u l ts y s t e m sz e r o - s e q u e n c ev o l t a g e ，z e r o s e q u e n c ec u r r e n ta n d p o w e r , r e f l e c t i n gt h en o n l i n e a rr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ee l e c t r i c a lf a u l te l e m e n t sa n d f a u l tl i n e s s u b s e q u e n t l y , t h ep a p e rd e s c r i b e st h ef e a t u r e sa n df u n c t i o n so fa r t i f i c i a ln e u r a l n e t w o r ki nd e t a i l ， e s p e c i a l l yt h eb a c k p r o p a g a t i o nn e t w o r ka n dr a d i a lb a s i s f u n c t i o nn e t w o r k t h e nt h ep a p e rg i v e ss o m ei m p r o v e m e n t st ot h et r a d i t i o n a lb p a l g o r i t h m b ys i m u l a t i n gt h es i n g l ee a r t hf a u l to fs m a l lc u r r e n tg r o u n d i n gs y s t e mu s i n g s i m u l i n ks o f t w a r e ，w eo b t a i nt h ee s s e n t i a ld a t u mt h a tw en e e d t h r o u g ht h e t r a i n i n go fn e u r a ln e t w o r k , u s i n gb pa n dr b fn e u r a ln e t w o r ki nt h es e l e c t i o no ff a u l t l i n e ，w eo b t a i ne n c o u r a g i n gr e s u l t s a tl a s tw ec o m p a r et h ea d v a n t a g e sa n d d i s a d v a n t a g e sb e t w e e nt h et w ok i n d so fn e t w o r k s t h er e s u l t ss h o wt h a tt h em e t h o di s a c c u r a t ea n dr e l i a b l ei nf a u l tl i n es e l e c t i o n , m a k i n gu pf o rt h et r a d i t i o n a lf a u l tl i n e s e l e c t i o nm e t h o d s oi th a sb r o a da p p l i c a t i o np r o s p e c t t l l i st h e s i ss t a r t sw i t ht h ec o n c e p to ff r a c t a lt h e o r y , t h e o r e t i c a l l ys t a t e st h ec o n c e p t a n dt h ec h a r a c t e r i s t i c so ff r a c t a lt e c h n i q u e sa n dm a k e st h ei n t r o d u c t i o no fs e v e r a l c o m m o nf r a c t a ld i m e n s i o n s i nt h et h e s i sia l s om a k et h ei n t r o d u c t i o no ft h eb a s i c p r i n c i p l eo fi v sa n a l y s i sa n dt h ea p p l i c a t i o no ft h i sm e t h o dt oc a l c u l a t i n gf r a c t a l d i m e n s i o n t l l i st h e s i sm a k e st h ed e t a i ls t a t e m e n to ft h ef a i l u r ef o rs i n g l e p h a s eg r o u n d c o n n e c t i o ni nt h ep o w e rs y s t e ma n dp r o d u c e sj u d g i n gm e t h o d sf o rf a i l u r ef o r s i n g l e p h a s eg r o u n dc o n n e c t i o np o i n t t h et h e s i sb r i e f l ym a k e sa ni n t r o d u c t i o no f m a t i ，a ba n dt h ea p p l i c a t i o no ft h i ss o f t w a r et ot h es i m u l a t i o no fp o w e rs y s t e m f a i l u r e f i n a l l y , t h et h e s i sm a k e st h ed e t a i l e di n t r o d u c t i o no ft h ep r o c e s so fb u i l d i n ga s i m p l ep o w e rs y s t e mm o d e lb a s e do nm 渔t l a b a n dt h es i m u l a t i o no ff a i l u r ef o r s i n g l e - p h a s eg r o u n dc o n n e c t i o nu s i n gt h i sm o d e l i nt h ee n d ，t h et h e s i s ，u s i n gt h e f r a c t a lt h e o r ya n ds p e c t r u ma n a l y s i sm e t h o d ，d i s c u s s e st h ea p p l i c a t i o no ff r a c t a l d i m e n s i o no faf a u l ts i g n a la n ds p e c t r u mt op r o t e c t i o na n df a u l tl o c a t i o ne s t i m a t i o no f t r a n s m i s s i o nl i n e k e yw o r d s ：s m a l lc u r r e n tg r o u n d i n gp o w e rs y s t e m ；g r o u n df a u l t l i n es e l e c t i o n ； n e u t r a ln e t w o r k ；b a c k - p r o p a g a t i o nn e t w o r k ；r a d i a lb a s i sf u n c t i o n n e t w o r k ；f r a c t a l ；g r o u n df a u l t ；m a t l a b ；r s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：iv 训1 气签字日期：。 2 口口5 年，之月m 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盘鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： fl 利，￥ 导师签名： 苏杰是 签字日期：2 夕矗i 年二月2 。e l签字日期：加夕年，二月二pe l 第一章绪论 1 1引言 第一章绪论 在中性点不接地或经消弧线圈接地的小电流接地系统【l 捌中，单相接地故障 发生频率最高，发生单相接地之后由弧光引起的过电压，极易造成两相或三相短 路事故，能否快速准确的找出故障线路，排除接地故障，避免事故的进一步扩大， 至关重要。鉴于目前已有的选线方法存在各种不足，寻找新的故障选线方法变的 十分必要。 人工神经网络技术为小电流接地选线问题的解决提供了新的途径。利用神经 网络的非线性函数的拟合能力和模式识别能力结合小电流接地系统电气特征与 故障线路( 或母线) 的映射关系，使得将神经网络用于小电流接地系统故障选线成 为可能。 本章分析了小电流接地系统发生单相接地故障时的电气特征，并提出利用人 工神经网络来解决小电流接地系统故障选线问题。 1 2 小电流接地系统单相接地故障时的电气特征 我国中低压电网一般采用中性点不接地或经消弧线圈接地方式，当3 1 0 k v 电网单相接地电流小于3 0 a ，3 5 k v 以上电网单相接地电流小于1 0 a 时，采用不 接地方式，否则采用中性点经消弧线圈接地方式，下面分别介绍各种接地方式下 发生单相接地故障时的特征。 1 2 1中性点不接地系统单相接地故障时的电气特征 研究一个有三条线路的中性点不接地系统3 1 ，各条线路的对地电容分别为 c l ，c 2 ，c 3 。如图1 一l 所示。 当线路厶发生a 相金属性接地时，电压、电流和功率的分析如下。 1 2 1 1 电压 系统a 相对地电压为 第一章绪论 电源中性点n 对地电压为 u = 一e a b 相对地电压为 一 u 口= e 口一e t = e n a = 3 e p 一，1 5 矿 c 相对地电压为 一 u c = e c e a = e c a = 0 3 e j 时 n ib i 。i c i ：带皋c 1 e 一t 1：工ii l 一羔， ，a 八， 一 i 辙三 _ 1 占2 “歹c 2 l 门 木乙2 lii 7 | | ，d 2 i 一 厶 r 一，口3 一i e 3 一 | 一 abc ，=去l 3 l r 1 j 。i i i d 3 i 图1 1中性点不接地系统 1 2 1 2 电流 ( 1 ) 非故障线路厶的各相电流和三倍零序电流为 ，l = 0 i b i = j u sc o c l i c l = j u c c o c , 三倍的零序电流为 3 1 0 l = ( i a l + i s l + i c l ) = j ( u s + u c ) a j c l = 3 j u o 崛 2 ( 1 2 ) ( 1 - 3 ) ( 1 - 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 - 7 ) ( 1 8 ) 第一章绪论 ( 2 ) 对于故障线路厶各相电流和三倍零序电流为 ，爿3 = 一( ，b l + j c l + ，舵+ ，c 2 + ，口3 + ，c 3 ) ( 1 - 9 ) ，口3 = 歹u 暑c o c 3 ( 1 1 0 ) i c 3 = u cr _ o c 3( 1 1 1 ) 3 1 0 3 = ( ，3 + i s 3 + i c s ) = - 3 ( i o l + 1 0 2 )( 1 - 1 2 ) 1 。2 1 3 功率 非故障线路的复功率为 s = u o i o i = u 矿z 1 8 0 。i o i z ( - 2 7 0 。)( 1 1 3 ) r 肚 c o s ( - 9 0 。) = 0 ( 1 - 1 4 ) i q = u 矿i is i n ( - 9 0 。) 0 根据以上分析可得到以下几点结论： ( 1 ) 中性点不接地系统中发生单相金属性接地故障时，故障相对地电压为 零，非故障相对地电压为系统的线电压。 ( 2 ) 发生单相接地故障后，全系统将出现零序电压，其大小等于系统正常运 行时的相电压。 ( 3 ) 故障线路零序电流相位落后于零序电压9 0 。非故障线路零序出现电 流，相位超前于零序电压9 0 。 ( 4 ) 非故障线路始端的零序功率的有功分量为零，无功分量小于零，电容性 无功功率的实际方向由母线流向线路。 ( 5 ) 故障线路始端的零序功率的有功分量也为零，而无功分量则大于零，电 容性无功功率实际方向由线路流向母线。 ( 6 ) 接地故障处电流的大小等于全部线路对地电容电流的总和，其相位超前 于零序电压9 0 。 l 。2 2 中性点经消弧线圈接地系统单相接地故障电气特征 3 第一章绪论 在中性点不接地的电网中发生单相接地故障时，如图2 2 所示，若接地点流 过的全系统对地电容电流，若此电流过大，会使故障扩大。为防止上述情况发生， 常在中性点接入消弧线酬2 3 一。电网一般采取过补偿方式，经分析，当此系统发 生单相接地故障时，有如下特点： ( 1 ) 故障相的对地电压为零，非故障相的对地电压为系统的线电压。 ( 2 ) 全系统出现零序电压，其大小为系统正常工作时的相电压。 ( 3 ) 欠补偿时，接地故障处的电流超前零序电压9 0 6 。过补偿时，滞后零序 电压9 0 。，小于未补偿时的值。 ( 4 ) 非故障线路零序电流超前于零序电压9 0 。，其大小等于该线路的对地电 容电流。故障线路零序电流的大小等于系统所有非故障线路总对地电容电流与 消弧线圈的补偿电流的和，其相位随补偿度而异，欠补偿时滞后于零序电压9 0 。； 过补偿时超前零序电压9 0 。 ( 5 ) 故障线路始端的零序功率的有功分量和无功分量均小于零；非故障线路 始端的零序功率的有功分量大于零，无功分量小于零。 n 一 ， 一l 气1 g ； m ；l f r： ： e 。m - ， 删乓。 1 w e , - g ； 上 ，r ；il 上 l ；。 一 r f le# r t 。、 l ? 口 上 工 号 r 一 图1 - 2中性点经消弧线圈接地系统 1 3 本论文的研究目的与方法简述 4 第一章绪论 零序电压、零序电流和零序功率比较全面地反映了小电流接地系统发生单相 接地故障时的特征。本论文的目的就是利用上述的典型的故障电气特征量，结合 近些年兴起的人工神经网络技术，研究小电流接地系统故障选线的新方法。利用 m a t l a b 中的s i m u l i n k 建立典型的小电流接地系统，对系统发生单相接地故 障时的典型特征量进行仿真，得到神经网络的输入特征量，建立训练样本与检测 样本。通过m a t l a b 神经网络工具箱建立常用的b p 与r b f 神经网络，用上述 训练样本对网络进行训练，利用检测样本获得神经网络的输出，看能否得到良好 的选线结果。 5 第二章人工神经网络概述 第二章人工神经网络概述 2 1 人工神经网络简介 人工神经网络( a r t i f i c i a ln e u t r a ln e t w o r k a n n ) 是人脑的简化、抽象与模拟。 能反映出人脑的许多基本特性【5 ，6 】。其基本特点如下： ( 1 ) 结构特点：信息处理的并行性、信息存储的分布性、信息处理单元的互 立连性、结构的可塑性。 ( 2 ) 性能特点：高度的非线性，良好的容错性和计算的非精确性。 ( 3 ) 能力特征：自学习、自组织与自适应性。 此外，神经网络具有联想记忆、分类与识别、非线性映射、功能优化计算等 功能。所以说，神经网络是一种新型的智能信息处理系统。 2 2 人工神经元 神经元是神经网络的基本处理单元7 1 ，一般表现为多输入，单输出的非线性 器件，其结构模型如图2 一l 所示。 x 3 x y f 图2 - 1 神经元结构模型 神经元的作用函数【8 】是一个动态的非线性函数，用以模拟神经细胞的一些非 线性特性。其作用如下： ( 1 ) 控制输入对输出的激活作用； ( 2 ) 转换输入、输出函数； ( 3 ) 将可能无限域的输入变换成指定的有限域的输出。 6 第二章人工神经网络概述 常用的作用函数有阀值型，饱和函数型，s 型函数，线性型函数等，下面主 要介绍s 型函数。 s 型激活函数将任意输入值压缩到一定的范围内，常用的s 型函数有对数函 数与双曲正切函数，对数函数解析式为 厂( x ) 2 嘉 o ( 2 - 1 ) 双曲正切函数，解析式为 似) = 筹删( 2 - 2 ) 其图形如图2 - 2 ( a ) 、( b ) 所示： y 1 q 5，一 一， 一 o ， 1 7 一 一 。 o - 1 ( a ) s 型( 1 0 9 s i g ) i 函数 图2 2s 型函数 以上两种s 型函数的主要特征是可微、阶跃型， 2 3 典型前馈网络b p 网络 ( b ) s 型( t a n s i g ) i 函数 常用于b p 模型。 2 3 1b p 网络中神经元的模型 如图2 3 所示的一个b p 神经元 8 】模型，它具有尺个输入， 个适当的权值与神经元相连，神经元的输出可表示为 a = f ( w 宰p ，6 ) p ( 1 ) 1 图2 3b p 网络神经元模型 7 每个输入通过一 ( 2 3 ) 第二章人工神经网络概述 2 3 2 b p 网络的结构 b p 网络是一种单向传播的多层前向网络，它是一种具有三层或三层以上的 神经网络，包括输入层、隐含层和输出层。其中隐含层可以有一层，也可以有多 层。层与层之间实现全连接，而每层神经元之间没有连接。隐含层神经元的作用 函数通常采用s 型函数。输出层神经元多采用线性传递函数，整个网络的输出被 限制在一个较小的范围内，输出量是0 到l 之间的连续量，可以实现从输入到输 出的任意非线性映射。如果b p 网络的最后一层采用线性激活函数，那么整个网 络的输出可以取任意值。典型的多层前馈网络如图2 - 4 所示。 x l 毛 毛 2 3 3 b p 学习算法 图2 4典型的多层前馈网络 朋 咒 咒 b p 算法是在导师指导下，适合于多层神经元网络的一种学习，它是建立在 梯度下降的基础上的。其流程如图2 5 所示。 图2 5b p 算法流程图 8 第二章人工神经网络概述 2 3 4b p 网络的不足及其改进 三层b p 网络可以完成任意的n 维到m 维的映射。所以只要适当选择神经元 的数目，就可以任意的对研究对象进行分类和识别。但是其自身也存在一些缺陷 和不足，主要有以下几点： ( 1 ) 因为学习的速率是确定的，所以网络的收敛速度比较慢，训练时间长。 ( 2 ) 采用梯度下降法可能会产生一个局部最小值，b p 算法虽可以使权值收 敛，但不能保证收敛值为误差平面全局最小值。 ( 3 ) b p 网络隐含层的层数和单元数的选择一般是根据经验或者反复试验确 定的，网络存在很大的冗余性，增加了网络学习负担。 ( 4 ) 网络记忆与学习不稳定，例如当学习样本增加时，已经训练好的网络必 须重新训练，因为以前的权值和阀值是没有记忆的。 b p 算法有多种改进算法，本论文中我们主要采用了l m 8 , 9 1 算法对原有的算 法进行数值优化改进，梯度下降法在开始几步下降很快，但随着接近最优值时， 由于梯度趋于零，使目标函数下降变慢，拟牛顿法可以在最优值附近产生一个理 想的搜索方向。l m 法的优点是收敛快，收敛误差小，缺点是占用存储空间比较 大，但现今计算机的发展已经使这点可以忽略。 2 4 径向基函数网络一r b f 网络 2 4 1r b f 网络简介 径向基函数r b f 神经网络1 0 1 是具有单隐层的三层前馈网络，与b p 网络相 比径向基神经网络所需的神经元个数可能比b p 网络要多，但是它在逼近能力， 分类能力，学习速度方面要优于b p 网络。 r b f 网络由三层组成，如2 - 6 图所示，输入信号传递输入信号到隐含层。隐 含层节点由像高斯函数那样辐射状的作用函数构成，而输出层结点通常是线性函 数。 图2 - 6r b f 网络 9 第二章人工神经网络概述 r b f 网络通常选取高斯( g a u s s i a n ) 基函数作为其基函数，即 吩( 工) = 纷a x 一巳口乃) = e x p ( 一 3 x 一勺呼2 0 ；) ( 2 4 ) 其中乃是一个可以自由选择的参数，决定该基函数围绕中心的宽度，勺是 第个基函数的中心点，蚧是一个径向对称的函数。采用高斯函数有很多的优点， 它是径向对称的，光滑性好，任意阶导数都存在，高斯函数表示简单且解析性好， 即使对于多变量输入也不增加太多的复杂性。 2 4 2r b f 训练过程 径向基神经网络由三层构成，输入层、隐含层、和输出层j 隐含层实现 x 专口，( 工) 的映射，输出层实现口，( x ) 到y 的线性映射，即 y ，= 铭口，( 菇) ，i = 1 ，2 ，r ( 2 - 5 ) 其连接权的学习算法为 州删韧j ! ，( ，+ 等篙字 仁6 ， 其中0 f l 1 ，通过修改锡，来使神经网络具有收敛快速优点。 r b f 网络的训练过程分为两步，第一步是根据输入样本确定隐含层各节点 高斯函数的中心值和标准化常数。第二步，根据样本依据最小二乘原则，求输出 层的权值。有时还要根据样本信号，同时校正隐含层和输出层的参数。 1 0 第三章分形理论简介 3 1 概述 第三章分形理论简介 任何一门新学科的创立，不仅是理论进步的结果，也是为了更深入了解自然 界，发展生产和社会实践深化的需要。 欧氏几何研究的图形只是用圆规及规尺画的简单图形，这样的图形氏光滑 的；牛顿以后，由于微积分和几何学的结合，产生了黎曼几何，研究的对象才能 是更复杂的形状，不过这些对象的重要特征是具有特征尺度，是平滑的，是可积 分的集合和系统。对那些呈现出不平滑或不规则的形状的几何( 或无序系统) ， 以欧氏几何和黎曼几何为代表的传统几何学就无能为力了。 开始于2 0 世纪7 0 年代的一种新的数学语言分形几何弥补了传统几何学 的不足。分形的意思是“破碎的、碎裂的”，同时它还具有“不规则”的含义。 它描述的对象是很不规则的，是不适合用经典几何来描述的。运用这种新的方法， 人们认识到数学上的许多不光滑集或不规则集是可以研究的，而且用不规则集表 达许多自然现象要比规则集好得多。 3 1 1 分形的定义 分形的概念一经提出，该理论便迅速为科学家们热烈讨论和运用。短短几年， 它已经被广泛应用于物理学、化学、生物学、地学以至于人文科学等领域。但是， 迄今为止分形仍然没有一个严格的定义。当前普遍的看法是，不寻求分形的确切 定义，而将分形集看作是具有下列性质的集合。法科纳从数学角度给出了分形集 f 的性质的描述： ( 1 ) f 具有精确的结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。 ( 2 ) 无论从整体和局部看，f 是如此的不规则以至于不能用传统的几何语 言来描述。 ( 3 ) 通常f 具有某些自相似性，或许是近似的，或许是统计意义下的。 ( 4 ) 通常f 的“分形维数”比它的拓扑维数要大。 ( 5 ) 在许多情况下，f 的定义是非常简单的，或许是递归的。 3 1 。2 分形理论的基本内容 第三章分形理论简介 自相似性 我们对分形最简单的描述是：一个形体的某种结构或过程从不同的空间或时 间尺度来看都是自相似的。虽然这种定义是不完备的，但是它抓住了分形的本质 特征，也就是自相似性。在自然界中包含许多分形体，如山脉轮廓、地表、云彩 的边界和蕨类植物。所有这些图形都具有自相似性。 需要指出的是，我们通常所说的自相似可以分为两类：一类是完全相似，它 们一般由数学模型生成，如图3 1 所示的两种分形体。它们有严格的自相似性： 如果我们放大图形局部的任意一部分到该图的原始尺寸，我们可以发现它是原始 图形的拷贝。我们也称之为确定性分形或规则分形。另一类就是自然界中的分形， 如蜿蜒曲折的海岸线、云彩的形状等，其相似性并不是严格的，只有在一定的标 度内才具有相似性，它们具有统计意义下的自相似性，通常称之为随机分形或不 规则分形。一般情况下，因这种随机分形有比较复杂的表现形式，所以将其局部 放大一定的倍数不一定简单地和整体完全重合。 无标度性 在具有分形性质的物体上任选一局部区域，由于其自身具有自相似性，对它 进行放大后，得到的放大图形会显示出原图的形态特征，即它的形态、内在的复 杂程度、不规则性等各种特性，与原图相比均不会发生变化，这种特性称为无标 度性，又称为伸缩对称性。 从应用的角度，分形的无标度性可以做如下扩充： ( 1 ) 分形既可以是几何图形，也可以是由“功能”或“信息”架起的数 理模型。 ( 2 )分形可以同时具有形态、功能和信息三方面的自相似性，也可以只 有其中某一方面的自相似性。 ( 3 ) 自相似性可以是数学意义上的严格自相似，也可以是统计意义上的 自相似性。自然界中的大多数分形是统计自相似性。 ( 4 ) 相似性由层次结构上的差异。数学中的分形，具有无限嵌套的层次 结构，而自然界中的分形只有有限层次的嵌套，且要进入到一定的 层次结构以后才有分形的规律。 ( 5 )相似性由级别上的差异。级别最高的是整体，最低的是零级生成元。 级别越接近，则越相似。级别相差越大，相似性越差。 ( 6 ) 自然界的分形往往具有一个最小标度和最大标度，再这个区间内才 存在着标度不变性。这个区间称为无标度区间。 比较通俗地讲，如果用放大镜来观察一个分形，不管放大倍数如何变化，看 到的情形都是一样的，从观察到的图像无法判断所用放大镜的倍数。具有分形特 1 2 第三章分形理论简介 性的物体，它没有特征尺度。正是分形几何具有的无标度性及自相似性，才给出 了大自然中复杂几何形态的精确描述。 3 2 分形维数 一个分形集一般具有三个要素：形、机遇、维数。我们可以很容易地区分一 座山和一朵云，因为它们具有不同的形；我们也能容易地区分出一个岛屿的海岸 线与一条雪花曲线，因为它们受自然界的随机因素的影响，海岸线具有更加紊乱 的形状；同样我们能感觉到一道闪电比一条折线更复杂。为了揭示这种复杂性背 后所存在的机制并从量上刻画这种复杂度，我们引入分数维( 简称分维) 的概念。 现在我们已经知道，分形几何研究的图形比欧氏几何更为复杂，这种复杂性 是用分维数来刻画的正如用整数维数来刻画欧氏几何中的对象一样点是零维、 直线是一维、平面是二维、空间是三维当测量几何图形的长度、面积、体积时， 分别用单位长度的线段、单位面积的正方形和单位体积的立方体去度量，即一维 图形用一维尺度测量，二维图形用二维尺度测量若用线段来测量二维、三维图 形，其结果为无穷，说明尺度太“细”，若以立方体为尺度测量二维、一维图形， 则结果为零，说明尺度太“粗”因此在测量集合时，其测量结果与所用的尺度有 关欧氏几何中图形的测量只有整数维的尺度，而对于v o nk o c h 曲线一维尺度太 细，二维尺度太粗，因此应把它看成是一维与二维之间的几何图形，只有用非整 数维的尺度去测量才能准确地、定量地表现v o nk o c h 曲线的复杂程度由此可见， 分为数的求取有一个上下限的问题。上限和下限具有抑制各种量发散的效果，只 有在上下限之间这个区域观察物体，才会显现自相似的结构。这个区域称为无标 度区。 事实上，分形维数d 刻度了系统填充空间的能力。例如科赫曲线的分维数是 4 3 ，它显然要比一条维数是1 的光滑曲线的填充能力要强。或者说，只有在4 3 维空间里，科赫曲线的长度才能度量。分数维从测度论和对称理论的角度刻画了 系统的无序性，是描述复杂对象的最基本特征。 从数学上理解分数维并不十分简单。为了更好地描述分数维数学上的内涵， 数学家们已经发展了十几种不同的维数。如拓扑维、豪斯道夫维、自相似维、盒 子维、容量维、信息维、关联维、李雅普诺夫维等。 接下来我们重点介绍几种最常用的分维数。 3 2 1 盒维数 最简单、也最明了的分形维数定义就是盒维数，它是由测度关系求取的维数。 对于单位超体积的吸引子，其盒维数d b 定义为： 1 3 第三章分形理论简介 d b ：l i m l o g n t s ( 一6 ) ( 3 一1 ) 5 一o l o g ( - - ) 占 式中n b ( e ) 一用来覆盖吸引子的边长为e 的超立方体数目，这些超立方体的维数 等于相空间的维数。 分维的典型例子是康托尔集合。将l 条线段去掉中间的1 3 ，而后再去掉余 下2 段中间的1 3 ，再去掉余下4 段每段中间的1 3 。依次进行下去，最后余下线 段的长度之极限的集合，就称为康托尔集( 如图) 。 一 i 一 一llii-i 一 图3 一l 康托尔集合 康托尔集由无穷多个点组成，这些点之间又有大量的空隙。有限多个点是零 维的，而无限多个点则不是。假设原线段长为1 ，则去掉的长度l = 1 3 + 2 ( 1 3 ) 2 + 4 ：i c ( 1 3 ) 3 + + 2 “宰( 1 3 ) 叭+ = 1 ，去掉的和原来一样长，可见剩余部分的维数也不 是l ，取e = 1 3 覆盖集合时n = 2 ；取= 1 9 时n = 4 ，取= ( 1 3 ) “覆盖集合 时n - 2 “，i 声l i m 寻- - 0 6 3 0 9 ，约是2 3 维。 一0 i n j 3 2 2 信息维数 在计算吸引子的盒维数时，用边长为e 的盒子来覆盖吸引子，在这些盒子 中，有的是空的，有的不是空的。设非空盒子的数目为n ，然后不断改变，计算 相应的盒子数目，在双对数图上画出l n n - l n ( 1 ) 曲线，然后根据曲线的斜率 计算吸引子的盒维数。 现将盒子编号，设吸引子落在第i 个盒子中的几率为p 。，信息维d 。的定义 就与容量维的定义很相似了，亦可用( 3 1 ) 式给出，除了将以平均信息量 函数代替： ( l i 。= 一尸( 占，k ) l o g ( p ( 6 ，七) ) ( 3 2 ) 可见，信息维是通过改变粗视化程度来求取维数。 1 4 第三章分形理论简介 3 2 - 3 关联维数 容量维是几何性的，他并不考虑相点在流形上出现的次数，而相关维直接用 相点来计算相关函数。其定义如下： 叫知警 c 3 吲 式中相关函数c ( r ) 定义如下： c ( r ) - 1 i m 击日( ，一r i r i ) ( 3 - - 4 ) n 一v= l f = j + l 式中h 为h e a v i s i d e 函数，范数为欧氏范数。 3 2 4 分形维数的一般定义 随着对分形理论的深入了解，以及对自然界中众多的现象分析， 计算分维数的形式。下面对于分维数的一般定义，d q 依赖于参数q ： d q = l 删i m l ”i m 。者寺i n ，甲 占+ u口口鼍， ， 式中，p i 为覆盖几率。 得到了多种 ( 3 5 ) 当用边长为的小盒子去覆盖分形结构，p i 是分形结构中某点落入小盒子 的几率。当q 取不同值时，表示不同分维数。如q = 0 ，1 ，2 时，d q 分别等于豪 斯道夫维数，信息维和关联维数等。 3 3 彤s 分析法 r s 分析法是英国学者h e h u r s t 于1 9 6 5 年提出的一种处理时间序列的方 法，它在分形理论中有着重要的应用。 3 3 1r s 分析法原理( 随机模型的建立) r s 分析的基本思想是，改变所研究对象的时间尺度的大小，研究其统计特 性变化规律，从而可以将小尺度的规律用于大的时间尺度范围，或者将大的时间 尺度得到的规律用于小尺度其基本原理如下： 设在时刻t 。，t z ，t 。，t 。处取得的相应时间序列为乏。，乏：，乏。毛。，该时 间序列的时间跨度为： h - - t 1 t n 1 5 第三章分形理论简介 对于任意一整数h 1 定义均值序列： ( 孝) 。= 去善乳) 1 1 ：1 2 ， ( 3 _ 6 ) x ( t ) 表示累积偏差：x ( t ，h ) = ( 孝 ) 一手( 五) ) ，1 t h ( 3 - - 7 ) r ( h ) 表示极差：r ( h ) = m a x x ( t ，五) 一m i n x ( t ，j i i ) ，h = l ，2 ( 3 8 ) l t h1 5 l s ( h ) 表示标准差：s ( h ) = i i 善n ( 善( f ) 一( 孝) 。) 2 ) m ， h = 1 ，2 ( 3 9 ) 则由原始数据计算r ( h ) s ( h ) ，h = l ，2 ，然后在l n r s l n h 坐标系中用最小二 乘法进行直线的拟合，该直线的斜率即为h u r s t 指数h 。 h u r s t 利用上述方法对河流流量、泥浆沉积量、树木年轮、降雨量等许多自 然现象进行研究后，发现大多数自然现象的记录结果满足经验公式： r s = ( a h ) ”( 3 一i 0 ) 其中a 为常数，h 为时间间隔。 3 3 2 时间序列r s 分析的分维数 为了便于理解，有必要对分形的有关概念作一说明，把在不同方向上具有不 同标度因子的变换称为仿射变换i 经过仿射变换后的图形与原图形相似则称之为 自仿射分形即满足关系式： f(br)=bf(r)(3-11) 式中：f 一标度变换因子，其值介于0 1 之间；b 一比例因子，是大于零的实数； r 一时间尺度，通过b 的变换能够任意改变它的大小。 对时间序列的刚s 分析结果，比值刚s 是与所选的时间范围有关的量，定义： t ( t ) = r s t h ( 3 12 ) 用因子b 改变时间的尺度联系式( 3 1 2 ) ，得 t ( b t ) ( b t ) h b h t h b n t ( t )( 3 1 3 ) 比较式( 3 一1 1 ) 知，式( 3 1 3 ) 就是时间序列r s 分析的标度特征。这里 的h u r s t 指数h 就相当于时间变换的标度因子f ，因此时间序列t ( t ) 具有自仿射 性，经严格的数学推导，可知时间序列t ( t ) 的豪斯道夫维数即盒维数 d = 2 h ( 3 一1 4 ) 式( 5 ) 表示时间序列记录结果：t ( t ) 的标度变换因子h 与分形维数d 的关系。 1 6 第四章神经网络在小电流接地选线中的应用 第四章神经网络在小电流接地选线中的应用 4 1引言 由于以往的小电流接地系统的单相接地故障选线存在着正确率低，反应慢等 缺点，基于前面两章对小电流接地系统发生单相接地时的电气特征以及人工神经 网络特别是b p 、r b f 网络的分析和研究，我们对神经网络在故障选线中的应用 进行可行性验证。 本章应用b p 和r b f 网络实现小电流接地系统的接地选线，分析了网络的 结构，故障特征量的选取，利用m a t l a b 中的s i m u l i n k 软件进行仿真，来获 得训练和测试样本，通过对b p 和r b f 网络进行训练后使之获得选线的能力。 4 2s i m u l i n k 与神经网络工具箱简介 s i m u l i n k 是一款著名的动态仿真系统，为我们进行仿真与建模提供了平台， 它突出的优点是根据使用的要求对动态系统的参数进行修改与优化。 神经网络工具箱1 2 1 以神经网络为基础，利用m a t l a b 语言构造出典型的神 经网络激活函数，利用m a t l a b 编写各种网络设计和训练函数。设计者可根据 自己的需要调用工具箱中的有关设计训练程序，简化了编程，提高了效率。 4 3 单相接地时故障量的选取 利用神经网络解决问题，形成的训练样本应能描述网络所要逼近的映射关 系，因此如何正确选择输入的特征量十分关键。为了能正确做出选线，输入量必 须包括对接地故障选线起决定作用的特征量，根据第一章对小电流接地系统单相 接地故障特征的分析即：当小电流接地系统发生单相接地故障时，系统产生零序 电压，与此同时，各条线路出现了零序电流，由零序电压、电流我们可以求出零 序功率。我们可以利用的一个重要特点是各条线路的零序电流的幅值、相位以及 零序功率的方向都是不同的，它们反映了该系统接地故障时的重要特征，将它们 作