（信号与信息处理专业论文）图像处理中几何驱动的变分和偏微分方程方法研究.pdf

北京交通大学博士学位论文中文摘要 中文摘要 摘要：图像处理是信息科学与工程中的一个快速发展的交叉科学，在信息社会中 具有十分重要的应用价值图像处理面临的一个主要挑战是，在有效地完成给定 任务的同时，保持并增强图像的多尺度特征( 例如边缘，细节和纹理等) ，同时避免 虚假的人工痕迹和过度平滑的产生基于变分和非线性偏微分方程的处理方法为 这个研究领域注入了新的活力本文在图像处理中应用变分方法和偏微分方程进 行了实际应用和理论分析两方面的研究工作在应用上，研究了图像处理中几何 驱动的分数阶整体变分和双向冲击扩散方程的建模、模型分析和高精度数值实现， 并应用于图像去噪和边缘锐化，图像分辨率增强，图像修整( i m a g ei n p a i n t i n g ) 和图 像测量在理论上，对提出的数学模型及其计算格式进行了理论分析；揭示了若干 不同的图像处理方法，例如，数学形态学，g i b b s 随机场b a y e s i a n 统计推断，模糊 数学，分数阶整体变分和双向冲击扩散方程等之间的内在联系；最后，在总结基于 非线性发展方程的图像处理方法的特点和算法机理的基础上，阐述了这种方法的 优势和理论基础 本文在以下几个方面进行了创新性的研究工作： ( 1 ) 几何驱动的双向冲击扩散方程对于图像处理中的非线性发展方程进行了深 入的研究，建立了若干先进的自适应图像处理算法：提出了一类适应于若干不同 成像模式和图像特性的几何驱动的双向冲击扩散方程，并将其统一在一个包括各 向异性扩散和冲击滤波器两大类方程的双向扩散框架中；这个框架通过减小边缘 宽度以锐化并增强图像的重要特征，并将图像平滑和锐化处理融合进一个非线性 发展方程模型；最后，将上述模型应用于图像去噪，边缘锐化，图像分辨率增强和 图像测量，得到了较好的图像处理结果 ( 2 ) 分数阶整体变分模型将整体变分( t o t a lv a r i a t i o n ) 模型( p = 1 ) 推广为分数阶整体 变分模型( 0 p 1 ) ，增加了整体变分模型的适应性根据图像特征自适应选择参数， 将正向和反向扩散融合为一个双向扩散模型基于图像处理的若干策略和数学形 态学方法，将其应用于图像分辨率增强和图像修整( i n p a i n t i n g ) 处理，通过高效的数 值计算，得到了较好的图像处理结果 ( 3 ) 快速高效的高精度数值计算格式研究了反向扩散方程和冲击滤波器方程等 的行为特征，揭示了这些方程图像增强的本质和特点；将计算流体力学中的思想 融入图像处理中，考察带有特征自适应间断系数的冲击项和扩散项不同的作用和 影响，构造了快速高效的高精度数值计算格式其中，将双向扩散分裂为一种耦合 的形式，消除了正反向扩散的抵消作用最后，在理论上系统地分析了差分格式的 适定性( 存在唯一性和稳定性) 最大值原理和t v d ( t o t a lv a r i a t i o nd i m i n i s h i n g ) 性 北京交通大学博士学位论文 中文摘要 质，以及模型方程解的行为特性 ( 4 ) 不同图像处理方法的相互联系图像处理越来越需要现代数学工具的介入和 推动，例如，以小波分析为中心的应用调和分析，综合了各种几何正则性的变分方 法，线性和非线性偏微分方程，以g i b b s m a r k o v 随机场和b a y e s i a n 统计推断为基 础的随机建模和分析，以及计算智能方法( 包括模糊数学，神经网络和进化计算) 虽然这些方法是从不同的角度看待和处理图像处理问题的，但是它们具有一些共 同的思想和方法我们揭示了数学形态学，g i b b s 随机场b a y e s i a n 统计推断，模糊 数学，分数阶整体变分和双向冲击扩散方程等不同的图像处理方法之间的内在联 系这有助于揭示这些方法的算法机理，并通过相互借鉴构造新的图像处理方法 ( 5 ) 图像处理中偏微分方程方法的特点、策略和算法机理剖析了基于非线性发展 方程的图像处理方法的特点：“局部性”，“迭代性”和“特征依赖性”，阐述了非线 性发展方程模型在图像处理中的优势、算法机理和理论基础其次，提出了这种方 法的三个策略：分步骤一图像处理分为两个步骤：图像特征检测，以及对于不同 特征所采取的不同方式的处理方法；分区域一根据不同图像特征( 例如，边缘， 细节，纹理和平坦区域等) ，将图像分为若干个区域，构造对于图像区域自适应的 图像处理算法我们利用结构张量数据场的各向异性扩散进行对于图像噪声和模 糊鲁棒的特征检测；利用广义模糊智能计算控制非线性冲击扩散方程对于图像不 同尺度特征的增强处理；并利用图像的局部微分几何性质( 例如，梯度，曲率和结 构张量的特征值等) 设计模型参数，使得方程在进化过程中保持图像的重要特征； 分“软硬”一利用双向冲击扩散方程作为硬的图像处理框架，同时，利用其它现 代图像处理工具( 例如，小波分析，随机分析和模糊数学等计算智能方法) 设计模型 框架的软( 自适应) 的系数和参数这些方法和策略使得图像处理中偏微分方程方法 的有效性和适应性得到进一步的增强 本文提出的关键技术有望在医学图像处理，图像测量，视觉监控，数字电视， 远程会议电视以及图像放大软件等领域得到广泛应用作为涉及信息与数学的交 叉课题，本文的研究工作丰富了偏微分方程方法在图像处理中的应用，具有重要 的理论价值和广阔的应用前景 关键词：图像处理；几何驱动；分数阶整体变分；双向冲击扩散；高精度数值计算； 相互联系；特点和策略 分类号：t p 3 9 1 北京交通大学博士学位论文a b s t r a c t a bs t r a c t a b s t r a c t ：i m a g ep r o c e s s i n gi sad e v e l o p i n gr a p i d l yi n t e r d i s c i p l i n a r yf i e l di ni n f o r - m a t i o ns c i e n c ea n de n g i n e e r i n g ，w h i c hp l a y sav e r yi m p o r t a n tr o l ei ni n f o r m a t i o ns o c i e t y am a i nc h a l l e n g eo fi m a g ep r o c e s s i n gi st op r e s e r v ea n de n h a n c em u l t i l e v e li m a g e f e a t u r e s ( s u c ha se d g e s sd e t a i l sa n dt e x t u r e s ) ，a n dt oa v o i df a l s ea r t i f a c t sa n do v e r s m o o t h i n gt oi m a g e sd u r i n ga c c o m p li s h i n gt h eg i v e nt a s k se f f e c t i v e l y i nr e c e n ty e a r s ， i m a g ep r o c e s s i n gm e t h o d sb a s e do nv a r i a t i o nc a l c u l u sa n dp a r t i a ld i f f e r e n t i a t i o ne q u a t i o n si n f u s en e wl i f ei n t ot h i sf i e l d i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h ea p p l i c a t i o n sa n dt h e o r i e s o fv a r i a t i o nc a l c u l u sa n dp a r t i a ld i f f e r e n t i a t i o ne q u a t i o n si ni m a g e p r o c e s s i n g a sf o rt h e a p p l i c a t i o n s ，w eh a v es t u d i e dt h em o d e l i n g ，m o d e la n a l y s i sa n dn u m e r i c a li m p l e m e n t a t i o nw i t hh i g hp r e c i s i o no ft h eg e o m e t r y d r i v e nf r a c t i o n a lt o t a lv a r i a t i o na n db i d i r e c r t i o n a ls h o c k - d i f f u s i o ne q u a t i o n s ，a n dh a v ea p p l i e dt h e mt oi m a g ed e n o i s i n g ，e d g e s h a r p e n i n g ，i m a g er e s o l u t i o ne n h a n c e m e n t ，i m a g ei n p a i n t i n ga n di m a g em e a s u r e m e n t a sf o rt h et h e o r i e s , w eh a v es t u d i e dt h ep r o p o s e da l g o r i t h m i cm o d e l sa n dt h e i rc o m p u t i n gs c h e m e s , i n t r i n s i cr e l a t i o n sa m o n gd i f f e r e n ti m a g ep r o c e s s i n gm e t h o d s ，s u c ha s m a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g y , g i b b sr a n d o mf i e l d b a y e s i a ns t a t i s t i c a li n f e r e n c e ，f u z z y m a t h e m a t i c s ，f r a c t i o n a lt o t a lv a r i a t i o na n db i d i r e c t i o n a ls h o c k - d i f f u s i o ne q u a t i o n f i - n a l l y , a f t e rh a v i n gg i v e nas u m m a r yo fs e v e r a lc h a r a c t e r i s t i c sa n da l g o r i t h m i cm e c h a n i s m so fi m a g ep r o c e s s i n gm e t h o d sb a s e do nn o n l i n e a re v o l v i n ge q u a t i o n s ，w ee l a b 伊 r a t ei t sa d v a n t a g ea n dt h e o r e t i c a lp r i n c i p l e i nt h i sp a p e r ，w eh a v em a d ei n n o v a t i o n si nt h ef o l l o w i n ga s p e c t s ： ( 1 ) g e o m e t r y - d r i v e nb i d i r e c t i o n a ls h o c k - d i f f u s i o ne q u a t i o n s h a v i n gr e s e a r c h e d d e e p l yo nn o n l i n e a re v o l v i n ge q u m i o n si ni m a g ep r o c e s s i n g ，w ep r o p o s es e v e r a la d - v a n c e da d a p t i n ga l g o r i t h m s ：ak i n do fg e o m e t r y d r i v e nb i d i r e c t i o n a ls h o c k d i f f u s i o n e q u a t i o na d a p t e dt od i f f e r e n ti m a g i n gm o d e sa n di m a g ec h a r a c t e r i s t i c s ，a n du n i f i e d t h e mi n t oab i d i r e c t i o n a ld i f f u s i o nf r a m ei n c l u d i n gt w ok i n de q u a t i o n so fa n i s o t r o p i c d i f f u s i o na n ds h o c kf i l t e r t h i sf r a m ee n h a n c e sa n ds h a r p e n si m p o r t a n tf e a t u r e so fi m a g eb yr e d u c i n ge d g ew i d t ho fi m a g e ，a n df u s e si m a g es m o o t h i n ga n ds h a r p e n i n gi n t oa n o n l i n e a re v o l v i n ge q u a t i o n f i n a l l y , w ea p p l yt h em o d e lt o i m a g ed e n o i s i n g ，e d g e s h a r p e n i n g ，i m a g er e s o l u t i o ne n h a n c e m e n t ，i m a g ei n p a i n t i n ga n di m a g em e a s u r e m e n t ， a n do b t a i nb e t t e rc o r r e s p o n d i n gi m a g er e s u l t s ( 2 ) f r a c t i o n a lt o t a lv a r i a t i o n w eg e n e r a l i z et h et o t a lv a r i a t i o n ( p = 1 ) i n t oaf r a c t i o n a l v 北京交通大学博士学位论文 a b s t r a c t t o t a lv a r i a t i o nm o d e l ( 0 0 ：c 孑( r 2 ) _ o ( r 2 ) ，( c 孑( r 2 ) ) c b ( r 2 ) 分别为( 具有 任意阶导数的) 有界连续函数空间，为尺度参数这些算子作用于图像函数u o ( x ，) ，) ， 得到一族不同尺度的图像u ( x ，y ，r ) = ( 瓦u o ) ( x ，y ) 从图像处理的观点，尺度算子需要满足一些形式上的要求对于线性尺度算子 i t , ，t o ，如果满足递归性、正则性、局部性和比较原理，狄度平移、空间平移和等 距不变性，那么u ( x ，y ，f ) = ( 瓦u o ) ( x ，y ) 是下列热传导方程的解【1 2 】： 瓦o u ( 五y , t ) - m 拱f ) r 2 【o ，+ o o 】 ( 1 2 ) iu ( x ，y ，0 ) = u o ( x ，y ) ， r 2 将定义在矩形区域q 上的u o ( x ，y ) 通过对称和周期延拓扩展到区域r 2 上，我 们求出上述方程的解为初始图像的高斯卷积： ， h ( x ，y ，) 2 上2g 呖( x - - 叩，y o u o ( q ，9 却蟛= ( g 呖木珈) ( x ，) ，) ( 1 3 ) 这里，g 矿( 工，y ) 是二维高斯核函数： g 栅卜赤p 印( 一等) 3 办程( 12 ) 的时问参数和高斯核函数的尺度参数具打对应关系：f = 伍随着 尺度参数f 不断变人，高斯卷积的均方差小断变人方程( 12 j 的解变得越来越平 滑r 图i 2 ) 这样，覆们就建立了高斯卷积与热传导方程的等价性：图像与其有递增方差的 高斯函数做卷积，等价于求解以原始图像为初值的热传导方程高斯卷积是图像的 线性低通滤波| f _ 的一个基本的运算然而，高斯滤波( 热传导方程) 是各向同性扩散， 在去除图像噪声的同时，模糊了图像的边缘等特征改进滤波技术使得在去除噪 声的同时保护重要的边缘等特征信息一直是这一领域不懈努力的目标 圈1 2l e n a 图像的热传导方程击噪( 从在到右k1 5 i 盘f f 图像，击嗓结果( 选代次数分别为5 ， 】0 1 0 0 ) f i g l2m n o i s 吨o f l e n ab yh e a td i f f u s i o n ( f r o m l e f t t o n 咖ko r i g i n a l i m a g e ，r e s r i t s w i t h5 1 0a n d1 0 0 i t e r a t i o n s 图像去噪的另一类方法是变分方法将从“d 撅复“看作为一个反问题( 第 2 1 4 节) 利用t i k h o n o v 正则化方法( r e g u l a r i z a t i o n m e t h o d ) i3 1 ( 第22 1 节) ，提出下 列能量泛函： e ( 曲= ；fi 帅一圳2 正嘶+ fi v “1 2 d x d y ( 1 5 ) j n j n 这里，能量泛函e ( u ) 的第一项是图像逼近项，第二项是平滑正则项 0 是正则参 数通过极小化上述能量泛函，达到有效地清除图像噪声而恢复图像的i = 1 的 戗设( 吣有一个极小值点肌那么它满足下列带有n c u m a n n 边界条件的e u l e r - l a g t a n g e 方程( 第213 节) ： f - 一l a u + 似一u o ) = 0 ，n 筹= o 船 。旬 利用梯度下降方法求解上述方程得到带有耦台项的热传导方程： f 缸川= 扣mn o , r l u ( x , y ，0 ) = “o “， o ，( 韧始条件) ( 17 ) i 嘉o ，弘。= o ，a 瞳x 【0 r 】( n 棚m 珊边界条件) 罔像去模糊利用热传导方程能够平滑图像井去除图像噪声，但是导致了罔 像模栅相反地，dg a b e r 提出利用反向热传导方程锐化图像 ro u 面一“( 18 ) ih ( o ) = 脚 然而，反向热传导方程是非常不稳定的经过几扶迭代后就会发生数值爆炸 在图l 冲，对于模糊的原始图像，经过前3 次迭代，图像得到锐化；而经过5 次迭 代之后，图像便严堆失真因此，需要提高它的稳定性并适当地约束反向扩散在 第42l 节，我们提出了一种鲁棒的反扩散方程，井应用于图像增强 图13l e n a 图像的反向热传导方程去模糊( 从左到右) 蛙始囝像去噪结果( 迭代次数分 别为3 ，5 7 ) f i g i31 ) e b l u r r i n g o f l e n a b y i n v e r s eh e a t d i f f u s l o n ( f r o m l e f t t or i d oo r i g i n a l i m a g e r e s u l t s w i t h3 5a n d7i t e r a t i o n s 13 非线性扩散 作为二维信号，扶度图像具有非平稳的特性图像包含大量的局部性的特征和 结构线性处理方法难毗刻画这些性质并取得较好的处理结果：白适应的非线性 图像处理方法得到广泛应用，并显示出巨人的优越性 图像去噪pp e r o n a 和jm a l i k 1 4 提出了保持图像边缘的各向异性扩散方 程代替各向同性扩散方程( 高斯平滑滤波) 害划删i ) v u ) u ( 0 ) = u o( 19 ) 祟= o 这里，d i v 是敞度算子，g 是一个非增的标置扩散系数g ( 0 ) = 】：g _ 0 ( s _ 十) 如果选取2 ( s ) = l ，那么就得到了热传导方槲一个典犁的选择为 s “口“。2 南 c ll 。， 北京交通大学博：l ：学位论文 这里，k 是一个梯度阈值方程( 1 9 ) 根据图像的梯度幅值实施有选择的扩散平滑：对 于边缘区域，图像具有较大的梯度，g ( s ) 取得较小值，方程实施较弱的平滑以保护边 缘特征；对于平坦区域，图像具有较小的梯度，g ( s ) 取得较大值，方程实施较强的平 滑以去除图像噪声 我们再来讨论变分方法在变分模型( 1 5 ) 中，图像梯度选取驴范数，虽然能 够达到去除图像噪声的目的，但是对于大梯度的边缘特征惩罚太大l r u d i n ，s o s h e r 和e f a t e m i 利用l 1 范数，提出了保持图像边缘的整体变分模型【1 5 】： 。瓢) ( 以加主- l u o - - 1 4 j d x d y 上i v 圳叫 ( 1 11 ) 这里，b v ( ( i ) 为有界变分空间( 第2 1 1 节) 利用变分原理和梯度下降方法，我们得到： 害一 场 这里，我们忽略了逼近项 下面我们对方程( 1 9 ) 和( 1 1 2 ) 进行分析在图像的像素点0 ( v u 0 ) ，定义局部 坐标系统： 费= 嵩，于= 篙 ( 1 1 3 ) 其中，v u 上= ( 一h v ，如) 为了清楚地考察上述方程中散度项的扩散行为，利用拉普拉斯算子的旋转不 变性质：a u = u n n + “7 丁，我们将方程( 1 9 ) 和( 1 12 ) 的散度项展开，得到 瓦o q u = k ( 解2 ( k + - i v i 砰v u ) l ：2 ) 、尸+ ( 甭 品) h 玎( 各向异性扩散) ( 1 1 4 ) 瓦2 ( 解+ i v 训2 ) 2 尸+ i 甭丽尸玎 【旮h 并任刀舣)【l 1 4 尝：。；丁 ( 整体变分)。15)put(115 石2f v “i 丁 【径侔父万) 这里，| l ，和u t t 分别为图像等值线的法向和切向上的二阶方向导数因此，对于沿 着方向的较大梯度i v 训 五各向异性扩散方程( 1 9 ) 实施反向扩散，它将定向的 正向和反向扩散混合为一个模型( 权值不同) ；而整体变分方程( 1 - 1 2 ) 只是一个定向 的正向扩散模型 在图1 4 中，我们对于各向异性扩散方程和整体变分方法的去噪性能进行了比 较可以看出，两者都具有比较好的图像去噪并保持边缘的性能，各向异性扩散方 程对于大尺度边缘还具有锐化能力然而，各向异性扩散方程在边缘的切向上平滑 不强，使得图像结果的轮廓不光滑；而整体变分方法只是在边缘的切向上平滑，使 得图像结果的去噪不充分，细节保持也不好在第4 2 4 节，我们提出的几何驱动的 双向冲击扩散方程较好地解决了这些问题 图i4l e n a 图像的非线性扩散去噪( 从左到右) ：原始图像，并向异性扩散和整体变分 f i g l4d e n d i s i n g o f l e n a b yn o n l i n e a rd i f f u s i o n ( f r o m l e f t t or i g h t ) ：嘶g m m i m a g e ，r e s u l t sb y a n i s o t r o p i cd i f f u s i o na n d t o t a lv a r i a t i o n ，r c s p e c t i v d i y 图像去模期为了克服反问热传导方程的数值不稳定困难，so s h e r 和l i r u d i n 【1 6 1 模拟计算流体力学中的激波捕捉技术，通过修改b u r g e r s 方程，提出了一 个非线性双曲型的冲击滤波器( s h o c kf i l t e r ) 进行边缘增强和去模糊处理： 害= 一h 删 h ( o ) = u o ( 11 6 ) 筹= o 这里f 是一个l i p s c h i t z 连续的函数，满足： j ，( o ) 2 0 1 7 ) is i g n ( s ) f ( s ) 0 ，j 0 其中，s i g n 为符号函数 - 个典型的选 吊为，( j ) = s i g n ( s ) 按照m m 的视觉理论【1 7 】，算予“h ) 可以选取为拉普拉斯算子 “h ) = 6 u = + 考虑到图像的几何特征一个更好的选择为 “) 2 “m2 志( k 2 + 2 u x t t y u d , + u ；u r a 在图l5 中，我们利用冲击滤波器方程锐化模糊图像得到了尖锐的边缘然而， 这个方程也有些缺点：不同平坦区域之间存在不连续的过渡，边缘轮廓不光滑和 图像细节保持不好等在第424 节，我们提出的几何驱动的双向冲击扩散方程较好 地解决丁这些问题 1 4 双向扩散 通过前面的分析。我们看到，图像去噪，边缘锐化和| 墼l 像分辨率增强等图像处 翻图 嘲1 5l e n a 图像的：t i 线性扩散去模糊( 从左到右) ：原始凰像，冲击滤波器 f i 9 1 5d e b l u r r i n g o f l e n a b y n o n l l n e d i f f u s i o n f f r o m l e n i o r i g h t ) ：o d g i m d i m a g e , i h er e s u l t b ys h o c kf i l t e r 理任务面临的主要挑战是：在有敏地完成这些处理任务的同时保持并增强图像的 多尺度特征( 例如边缘，细节和纹理等) 1 司时避免虚假的人i ：痕迹刊过度平滑的产 生目前，这个问题仍然没有褂到有效的解决 般情况下。图像退化有两方而的原因：图像噪声( n ) 和图像模糊( 帕( 退化模 型】1 1 州此独们需要嗣时进行图像去噪和士模糊图像甲滑( i m a g es m o o t h i n g ) 和 锐：e t ( i m a g es h a r p e n i n g ) 舳像恢复中的两个基本的操作：图像甲滑消除多余的和虚 假的不连续特征：图像锐化在适当的地方产生不连续特征 在第3 和第4 章我们基于低层视觉处理的特性和策略，构造了能够同时进行图 像去噪和去模糊的变分和偏微分方程方法：分数阶整体变分和几何驱动的冲击扩 散方拦，并得到了较好的图像处理结果为了保持并j i i 强图像的几何特征。我们在 边缘的不同方向上实施双向异性扩散：沿着边缘的法线方向反向扩散而锐化边缘 沿着边缘的切线方向j 下向扩敞抑制人工锯齿、振荡和噪声以平滑轮廓同时，剥于 罔像的不同特征区域，利用不阊的镶略进行处理 1 5 论文的组织结构 我们在图像处理中应用变分方法和偏微分方程进行了实际应用和理论分析两 方面的研究工作具体地说在应用上研究了图像处理中几何驱动的分数阶整体 变分和飙向冲击扩散方程的建模、模型分析和高精度数值实现并应用于图像去 噪和边缘锐化图像分辨率增强。图像修整( i m a g e l n p a i n d n g ) 和图像测量在理论上 对据出的数学模型及其计算格式进行了理论分析：揭示了不同的图像处理方法例 如，数学形态学，g i b b s 随机艋f b a y e s i a n 统计推断模糊数学分数阶整体变分和双 向冲击扩散方程等之间的内在联系；蜃后在总结罔像处理中偏微分方程方法若干 普避性的原删、特性和算法机理的基础上阐述了纂于非线性发展方程的图像处理 第1 章绪论 方法的特点、优势和理论基础 论文的组织安排如下： 第一章，介绍图像处理的主要研究内容，应用领域以及研究现状；阐述图像恢 复中变分和偏微分方程方法的发展，一些经典的图像处理理论和数学模型，以及本 文研究工作的来源和意义；最后，说明本文的研究内容以及论文的组织结构框架 第二章，在简述一些数学准备知识之后，分别讨论变分和偏微分方程方法在图 像增强，图像恢复和图像分割中的研究现状 第三章，提出分数阶整体变分模型，并将其应甩于图像分辨率增强和图像修整， 给出实验结果和比较分析 第四章，提出一类几何驱动的双向冲击扩散方程，并将其应用于图像去噪和边 缘锐化，图像分辨率增强和图像测量，给出实验结果和比较分析最后，将它们统一 在一个双向扩散框架中 第五章，对于本文提出的变分和偏微分方程模型构造快速高效的高精度数值 计算格式，并进行理论分析；讨论不同图像处理方法以及本文中提到的变分和偏微 分方程模型的相互联系；最后，论证图像处理中偏微分方程方法若干普遍性的原 赙、特性和算法机理，阐述基于非线性发展方程的图像处理方法的特点、优势和理 论基础 第六章，工作总结和展望 总之，本文以图像去噪和边缘锐化中的变分和偏微分方程方法为研究主线， 提出了分数阶整体变分和双向冲击扩散方程模型，并统一在一个双向扩散框架中；、 然后，探讨了模型的数值计算，方法的相互联系和它的特性和策略；最后，进行了总 结和展望在图1 6 6 p ，我们给出了本文的结构框图和主要的数学模型 9 北京交通人学博士学位论文 l 图像去噪和边缘锐化：线性扩散一非线性扩散一双向扩散 2 研究现状：图像增强，恢复，分割 3 分数阶整体变分 删而l 1 v “( ) - ) p d x d y j n 3 2 图像放大 ，l = a o ( ! + l ( u g ) | 2 ) 3 3 图像修整 五= t o ( 1 一l ( 1 + f l ( f g ) 1 2 ) ) 4 双向冲击扩散方程 ! ! ：! 望堡塑塑i 蜥= - i v u l a u m 靖。“一c x s i g n ( ( u g ) s s ) l v u f + 印竹r 蜥= c z d i “d v 埘一弦 ( ( 叼h ) l v u i m t ；c n w n n4 - c t u t t w l c s i g n ( ( u 6 ) r c t c ) i v u 4 3 图像放大 。c n l i n n + l ，u t t 一o n s i g n ( ( u g ) n i q ) i v u 4 4 图像测量 f i t = 一o l w 啦刀( 【1 8 1 9 1 就是这样的一类理想的确定性的图像模型，它容 许图像中的不连续特征，侈l j 如跳跃和边缘的存在，同时还便于数学处理在许多计 算机视觉的问题中，图像中的不连续性是非常重要的有意义的特征，例如跨过物体 边缘的不连续性经典的s o b o l e v 空间不允许考虑这种现象，而有界变分函数空间 b y ( q ) 利用r a d o n 测度定义不连续图像的梯度 北京交通人学博士学位论文 定义2 2 ：( 有界变分空间) ：假设有界开集qcr 2 ，u l 1 ( c 0 ，有界变分函数空间 为 召y c q ，= h l 1c q ，；j 三i 。蹦l 其中， 上i 。“i = s 印 这里。出为l e b e s g u e 测度 实际上，分布梯度d u 是一个矢量值的r a d o n 测度同时，存在下列空间之间的 关系： w 1 , 1 ( f 1 ) b v ( t a ) l 1 ( q ) 有界变分空间廖y ( q ) 的主要性质包括低半连续性，迹，弱+ 拓扑性，紧致性和可 分解性【2 0 】 对于可分解性，d u 可分解为一个正则测度和一个奇异测度( 包括跳跃部分和 c a n t o r 部分) 之和： d u = v u d x + ( 矿一u - ) n “州。+ c h ( 2 1 ) 这里，s h 为跳跃集合，纠1 为h a u s d o r f f 测度由此，我们得到函数“的整体变分 fl o u i = j ! ：n u l ( x ) d x + 厶i u + 一u - - i d 1 4 1 + o c 一 ( 2 豸 在考察偏微分方程模型的适定性等理论研究和应用中，需要在一些特殊的函 数空间中讨论这里，简单介绍一些特殊的抽象空间的概念【2 l 】【2 2 】： 度量窄间定义了距离的窄间 拓扑空间 给定任意一个集合，在它的每一点赋予一种确定的邻近结构，便成为 一个拓扑空间拓扑空间是欧氏空间的推广 流形一类拓扑空间，它在每一点附近都与欧氏空间同胚，即以适当方式“粘接” 局部欧氏空问而得 微分流形 具有适当微分结构的拓扑流形 黎曼流形局部欧氏化的微分流形 黎曼几何黎曼流形上的几何学 半群定义了二元乘法运算的集合 群存在单位元和逆元的半群 1 2 第2 章变分和偏微分方程 李群具有拓扑结构和微分结构的群 张量空问向量空间与其对偶空间的张量积的直和，其中元素为张量 2 1 2 微分几何 曲线( 曲面) 的曲率图像处理与计算机视觉中利用了数学中的大量的微分几 何工具f 7 】其中，曲线( 曲面) 的曲率包含了丰富的视觉信息根据考察对象的不同， 我们讨论三种曲率的计算 2 3 1 2 4 1 参数化的曲线假设瓤力= ( 工l ( p 娩( p ”cr 2 ，0 p l 是一条i f _ 贝o 的平面 定向曲线这时，曲线颤p ) 的切向和法向向量分别为 丁( p ) = ，( p ) = ( z ( p ) ，砭( p ) ) n ( p ) = ( 一砭( p ) ，z ( p ) ) 曲线的曲率为 咖，= 等鬻参笋 2 作为图像函数等值线的曲线考虑图像函数玑妁：qjr 2 ， 集( l e v e ls e t s ) 和累积水平集分别定义为 ，j = x q ；h ( 工) = a = i x q ；h ( 工) sa 图像函数可以利用水平集表示为 比( 力= n 以a ；x 加j ( 2 3 ) 经典的水平 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 图像的等值线为图像函数水平集的边缘，通过计算可以得到它的曲率( i v u i o ) 为 扣c 品，= 亟号糍劳亟 亿6 ， 3 作为图像的3 d 曲面图像可以看作3 di e 贝, u 的参数曲面s ( 仍移：q _ r 3 曲而的第一基本形式的系数为 e ( r ，9 = i s 叩1 2 ，f ( r ，f ) = s ，7 s f ，g ( r ，9 = i s f l 2 曲面的第二基本形式的系数为 l ( r l , 9 = s , r q 。 m ( r l ，移= s 孵p c r t ，f ) = s 劈n 1 3 北京交通人学博士学位论文 冈此，曲面的平均曲率为 。 e p + g l 一2 f m ，1 、 爿= 孤五百 厶7 ) 曲线( 曲面) 的进化理论曲线( 曲面) 的形变模型综合利用了几何学、物理学 和逼近论的思想，并应用在很多理论和实际问题中这里，我们考察它在图像分割 中的应用它分为两大类：几何形变模型和参数形变模型它们的基本思想都是，利 用某种动力约束或机制驱动初始的曲线( 曲面) 变形，逐步逼近图像的边界轮廓几 何形变模型的理论基础是曲线进化理论，它利用曲率或法向量等几何参数( 由图像 数据得到) 控制曲线和曲面的形状变化，直到进化在图像边缘处停止；参数形变模型 用参数形式显式地表示曲线和曲面，驱动曲线( 曲面) 运动的是某种能量函数的极小 化或满足某种运动定律的动力方程，而它们受到图像性质和结构的控制两者的重 要区别是，几何形变模型只利用了曲线的内廪几何属性，而参数形变模型不但利用 了曲线的内廪几何属性，而且还利用了外部驱动力【7 】 2 1 3 变分方法 泛函：设s 为一个函数集合，如果对于其中的每一个函数m ( 曲，都有一个确定 的实数e ( u ) 按照一定的规则与之对应，则称e ( u ) 是定义在s 上的泛函通俗地说， 泛函就是函数的函数 变分法是研究泛函的极值的方法 e u l e r - l a g r a n g e 方程 下面，研究最简泛函的极值问题：对于“( x ) ：【x o ，x l 】一r ， p 删= r 1 舷蜕以曲协 ( 2 8 ) lu ( x o ) = u o ， u ( x o = u l 计算泛函e ( u ) 的变分 6 e = x o t 肌晰棚x = , d f x o l 卧鲁m t l d x j “ 利用泛函极值的必要条件和变分学的基本引理【2 l 】，得到下列e u l e r - l a g r a n g e 方程 凡一晏凡= 0 ( 2 9 ) 1 4 第2 章变分和偏微分方程 类似地，对于下面的2 d 变分问题：u ( x ，y ) ：qcr 2 _ r ， e u ( x ，y ) 1 = ff ( j ，y ，h ，u x ，u x ，u y ，h 秒，u 拶) d x d y ( 2 1 1 ) 可以得到下歹i je u l e r - l a g r a n g e 方程 r 一岳氏一考_ + 昙+ 盖+ 昙= 。 c 2 m ， 条件极值 在许多情况下，我们需要求解带有约束条件的泛函极值问题这时，可以应用 l a g r a n g e 乘子法例如，对于变分问题( 2 11 ) ，假设约束条件为 f ( z ，y ，“，岭，u x y ，u y y ) d x d y = c ( 2 1 3 ) 其中c 为常数 作辅助泛函 硝加上( ，+ l c k ) d x d y ( 2 1 4 ) 其中a 为待定系数这样就转化为上而的无条件极值问题，并可以利用相应的结论 进行求解 直接方法 各种变分问题的求解最后都可归结为解相应的e u l e r - l a g r a n g e 方程的边值问 题然而，在实际问题中，通常求解微分方程是比较困难的因此，有时希望不通过 求解e u l e r - l a g r a n g e 方程，而直接从泛函出发，求出使泛函取得极值的函数的近似 表达式，这就是变分问题的直接方法直接方法有极小( 极人) 化序列，e u l e r 有限差 分法，r i t z 法和k a n t o r o v i c 法等等 2 5 2 1 1 2 1 4 偏微分方程 反问题( i n v e r s ep r o b l e m ) 近二十年来，数学物理反问题已成为应用数学中发展最快的领域之一这很大 程度上是受其它学科以及众多工程技术领域的应用中产生的迫切需要所驱动；同 时，由于它在理论上又具有鲜明的新颖性和挑战性，所以引起了国陡j # l - 许多理论和 实际工作者从事研究和应用迄今，它已发展成为具有交叉性的应用数学、计算数 学和系统科学中的一个热门研究方向 1 5 北京交通大学博士学位论文 数学物理反问题是和数学物理正问题相对应的我们知道，世问的事物或现 象之间存在着一定的自然顺序，变化的原因导致结果的形成按照这种自然顺序来 研究事物的演化过程，由因推果，我们称为”正问题”；而根据事物的演化结果，由可 观测的现象来探求事物的内部规律或所受的外部影响，由表及里，倒果求因，这便 是”反问题”例如，求解微分方程，要求给出已知条件( 方程中的未知系数，初始条件 以及边界条件等) ，这样才可以求解；反过来，已知其解，反求方程中的未知量( 方程 中的未知系数，初始条件以及边界条件等) ，这就是反问题 数学物理反问题的研究可分为理论研究和实际应用两个方面：地质工程、医 学、军事、环境、遥测、信息、控制、通讯、气象和经济等领域着重实际的应用；而 数学着重研究问题的理论和方法方面从实际应用角度来看，有两种不同的动机驱 动着反问题的研究【1 3 】： 通过观察到的结果和现象，探求_ 个系统过去的状态或辩识其参数； 通过干预当前的状态或调整某些参数去影响( 或控制) 一个系统，使其在未来 达到所预期的状态 数学模型设u ( 解空间) 和u o ( 数据空间) 为度量空间，算子h ：u - u o 为积 分、微分或矩阵算子，反问题可以表示为下列算子方程的形式 h u = u o ，u uu o u o ( 2 1 5 ) 这样， 正问题：已知日和u ，求咖 反问题：已知日和, o ，求甜；或者，部分已知( 甚至未知) 日和“o ，求h 和h 对 于后一种情况，