达州市2013年高中阶段教育学校招生统一考试

达州市 2013 年高中阶段教育学校招生统一考试 数 学 本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。第 I 卷 1 至 2 页，第 II卷 3 至 10 页。考试时间 120 分钟，满分 120 分。 第 I 卷（选择题，共 30 分） 温馨提示： 1、答第 I 卷前，请考生务必将姓名、准考证号、考试科目等按要求填涂在机读卡上。 2、每小题选出正确答案后，请用 2B 铅笔把机读卡上对应题号的答案标号涂黑。 3、考试结束后，请将本试卷和机读卡一并交回。 一选择题： （本题 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） 1 2013 的绝对值是（ ） A 2013 B -2013 C 2013 D12013 答案 ： A 解析 ：负数的绝对值是它的相反数，故选 A。 2某中学在芦山地震捐款活动中，共捐款二十一万三千元。这一数据用科学记数法表示为（ ） A321310元 B42.1310元 C52.1310元 D60.21310元 答案 ： C 解析 ： 科学记数法写成： 10na 形式，其中 1 10a ， 二十一万三千元 21300052.1310元 3下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） 答案 ： D 解析 ： A、 C 只是轴对称图形，不是中心对称图形； B 是中心对称图形，不是轴对称轴图形，只有 D 符合。 4甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价 20%，后又降价 10%；乙超市连续两次降价 15%；丙超市一次降价 30%。那么顾客到哪家超市购买这种 商品 更合算 （ ） A甲 B乙 C丙 D一样 答案 ： C 解析 ：设原价 a 元，则降价后，甲为： a（ 1 20%）（ 1 10%） 0.72a 元， 乙为：（ 1 15%） 2a 0.7225a 元，丙为：（ 1 30%） a 0.7a 元，所以，丙最便宜。 5 下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是（ ） A（ 3）（ 1）（ 4）（ 2） B（ 3）（ 2）（ 1）（ 4） C（ 3）（ 4）（ 1）（ 2） D（ 2）（ 4）（ 1）（ 3） 答案 ： C 解析 ：因为太阳从东边出来，右边是东，所以，早上的投影在左边，（ 3）最先，下午的投影在右边，（ 2）最后，选 C。 6若方程23 6 0x x m 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） 答案 ： B 解析 ：因为方程有两个不相等的实数根，所以， 36 12m 0，得 m 3，故选 B。 7下列说法正确的是（ ） A一个游戏中奖的概率是1100，则做 100 次这样的游戏一定会中奖 B为了了解全国中学生的心理健康状况，应采用普查的方式 C一组数据 0， 1， 2， 1， 1 的众数和中位数都是 1 D若甲组 数据的方差2 0.2S 甲，乙组数据的方差2 0.5S 乙，则乙组数据比甲组数据稳定 答案 ： C 解析 ：由概率的意义，知 A 错；全国中学生较多，应采用抽样调查，故 B 也错；经验证 C正确；方差小的稳定，在 D 中，应该是甲较稳定，故 D 错。 8如图，一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧 CD，点 O 是弧 CD 的圆心），其中 CD=600 米， E 为弧 CD 上一点，且 OE CD，垂足为 F， OF=3003米，则这段 弯路的长度为（ ） A 200 米 B 100 米 C 400 米 D 300 米 答案 ： A 解析 ： CF 300， OF3， 所以， COF 30， COD 60， OC 600，因此，弧 CD 的长为： 60 600160 200 米 9如图，在 Rt ABC 中， B=90， AB=3， BC=4，点 D 在 BC 上，以 AC 为对角 线的所有 ADCE 中， DE 最小的值是 （ ） A 2 B 3 C 4 D 5 答案 ： B 解析 ：由勾股定理，得 AC 5，因为平行边形的对角线互相平分，所以，DE 一定经过 AC 中点 O，当 DE BC 时， DE最小，此时 OD 32，所以最小值 DE 3 10二次函数2y ax bx c 的图象如图所示，反比例函数by x与一次函数y cx a在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） 答案 ： B 解析 ：由二次函数图象，知 a 0， c 0，2ba 0，所以， b 0， 所以，反比例函数图象在一、三象限，排除 C、 D，直线 y cx a 中，因为 a 0，所以，选 B。 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二填空题：（本 题 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分。把最后答案直接填在题中的横线上） 11分解因式：3 9xx=_ _. 答案 ： x（ x 3）（ x 3） 解析 ：原式 x（ x2 9） x（ x 3）（ x 3） 12某校在今年“五四”开展了“好书伴我成长”的读书活动。为了解八年级 450 名学生的读书情况，随机调查了八年级 50名学生本学期读书册数，并将统计数据制成了扇形统计图，则该校八年级学生读书册数等于 3 册的约有 名。 答案 ： 162 解析 ：读书册数等于 3 的约占比例： 1 6% 24% 30% 6% 36%， 36% 450 162 13点 11,xy、 22,在反比例函数ky x的图象上，当 120xx时，yy,则 k 的取值可以是 _ _（只 填一个符合条件的 k 的值 ） . 答案 ： 1 解析 ：由题知， y 随 x 的增大而增大，故 k 是负数，此题答案不唯一。 14 如果实数 x 满足2 2 3 0xx ，那么代数式2 1211x的值为 _ _. 答案 ： 5 解析 ：由知，得 2 2xx 3，原式 2 222 ( 1 ) 2 21xx x x xx 5。 15如图，折叠矩形纸片 ABCD，使 B 点落在 AD 上一点 E 处，折痕的两端点分别在 AB、BC 上（含端点），且 AB=6， BC=10。设 AE=x，则 x 的取值范围是 . 答案 ： 2 x 6 解析 ：如图，设 AG y，则 BG 6 y，在 Rt GAE 中， x2 y2（ 6 y） 2，即 3 6 1 2xy（ 8(0 )3y，当 y 0时， x 取最大值为 6；当 y 83时 ,x 取最小值 2，故有 2 x 6 16如图，在 ABC 中， A=m， ABC 和 ACD 的平分线交于点 A1，得 A1； A1BC 和 A1CD 的平分线交于点 A2，得 A2； A2012BC 和 A2012CD 的平分线交于点 A2013，则A2013= 度 。 答案 ：20132m 解析 ： A1B、 A1C 分别平分 ABC 和 ACD， ACD=k A1CD， ABC=2 A1 BC， 而 A1CD= A1+ A1BC， ACD= ABC+ A， A=2 A1， A1=2m， 同理可得 A1=2 A2，即 A=22 A2， A2=22m ， 所以，猜想： A2013=20132m 三解答题（ 72 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） （一）（本题 2 个小题，共 13 分） 17（ 6 分）计算： 20 12 12 t a n 60 3 解 析 ：原式 1 2 3 3 9 10 3 18（ 7 分）钓鱼岛自古以来就是中国领土。中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测。如图， E、 F 为钓鱼岛东西两端。某日，中国一艘海监船从 A 点向正北方向巡航，其航线距离钓鱼岛最近距离 CF=203公里，在 A 点测得钓鱼岛最西端 F在最东端 E 的东北方向（ C、 F、 E 在 同一直线上）。求钓鱼岛东西两端的距离。（2 1.41，3 1.73，结果精确到 0.1） 解析 ： 由题知，在 Rt ACF 中， ACF=90 , A=30， CF=203公里 . cot30 =3AC. 解得， AC=60（公里） . (2 分 ) 又 E 在 B 的东北方向，且 ACF=90 E= CBE=45， CE=CB. (4 分 ) 又 CB=AC-AB=60-22=38(公里 )， CE=38 公里 . (5 分 ) EF=CE-CF=38-203 3.4（公里） (6 分 ) 答：钓鱼岛东西两端的距离约为 3.4 公里 . (7 分 ) （二）（本题 2 个小题，共 14 分） 19（ 7 分）已知 1 1fx xx ，则 111 1 1 1 1 2f 2 2 2 1 2 3f 已知 141 2 3 15f f f f n ，求 n 的值。 解析 ： 由题知 f(1)+f(2)+f(3)+ +f(n) =211+321+43+ +)1( 1nn =1-21+ -3+1-4+ +n1-11 =1-1n (4 分） =n. (4 分） 又 f(1)+f(2)+f(3)+ +f(n)=1514, 1nn=1514. 解得 n=14. (6 分） 经检验， n=14 是上述方程的解 . 故 n 的值为 14. (7 分） 20（ 7 分）某中学举行“中国 梦我的梦 ”演讲比赛。志远班的班长和学习委员都想去，于是老师制作了四张标有算式的卡片， 背面朝上洗匀后，先由班长抽一张，再由学习委员在余下三张中抽一张。如果两张卡片上的算式都正确，班长去；如果两张卡片上的算式都错误，学习委员去；如果两张卡片上的算式一个正确一处错误，则都放回去，背面朝上洗匀后再抽。 这个游戏公平吗？请用树状图或列 表的方法，结合概率予以说明。 解析：公平 . (1 分 ) 用列表法或树状图列出该事件的等可能情况如下： 由此可知该事件共有 12 种等可能结果 . (4 分 ) 四张卡片中， A、 B 中的算式错误， C、 D 中的算式正确， 都正确的有 CD、 DC 两种，都错误的有 AB、 BA 两种 . (5 分 ) 班长去的概率 P（班长去） =122=61， 学习委员去的概率 P（学习委员去） = = ， P（班长去） =P（学习委员去 ) 这个游戏公平 . (7 分 ) （三）（本题 2 个小题，共 16 分） 21（ 8 分）已知反比例函数13ky x的图象与一次函数 2y k x m的图象交于 A 1,a、 B1,33两点，连结 AO。 （ 1）求反比例函数和一次函数的表达式； （ 2）设点 C 在 y 轴上，且与点 A、 O 构成等腰三角形，请直接写出点 C的坐标。 解析 ： (1) y=xk31的图像过点（31， -3）， k1=3xy=3 (-3)=-3. 反比例函数为 y x. (1 分） a= 1=1， A（ -1,1） . (2 分） .331,122mkmk 解得.2,32mk 一次函数为 y=-3x-2. (4 分） 16、 C(0,2)、 (5 分） 或（ 0， - ）、 (6 分） 或（ 0,1）、 (7 分） 或（ 0， 2） . (8 分） 22（ 8 分）选取二次三项式 2 0ax bx c a 中的两项，配成完全平方式的过程叫配方。例如 选取二次项和一次项配方： 22 4 2 2 2x x x ； 选取二次项和常数项配方： 22 4 2 2 2 2 4x x x x ， 或 22 4 2 2 4 2 2x x x x 选取一次项和常数项配方： 24 2 2 2x x x x 根据上述材料，解决下面问题： （ 1）写出2 84xx的两种不同形式的配方； （ 2）已知22 3 3 0x y xy y ，求yx的值。 解析 ： ：（ 1）2 x2-8x+16-16+4=(x-4)2-12 或2（ x-2） 2-4x (2) 02)2(432)2(03322yyxyyyxx X=-1,y=2.因此 xy=(-1)2=1 （四）（本题 2 个小题，共 17 分） 23（ 8 分）今年， 6 月 12 日为端午节。在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2 元的粽子的销售情况。请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题。 （ 1）小华的问题解答： 解析 ：（ 1）解：设实现每天 800 元利润的定价为 x 元 /个，根据题意，得 （ x-2)（ 500-1.03x 10） =800 . (2 分） 整理得： x2-10x+24=0. 解之得： x1=4,x2=6. (3 分） 物价局规定，售价不能超过进价的 240%，即 2 240%=4.8（元） . x2=6 不合题意 ,舍去 ,得 x=4. 答：应定价 4 元 /个，才可获得 800 元的利润 . (4 分） （ 2）解：设每天利润为 W 元，定价为 x 元 /个，得 W=（ x-2)(500-1.03x 10) =-100x2+1000x-1600 =-100(x-5)2+900. (6 分 ） x 5 时 W 随 x 的增大而增大 ,且 x 4.8， 当 x=4.8 时， W 最大， W 最大 =-100（ 4.8-5)2+900=896 800 . (7 分） 故 800 元不是最大利润 .当定价为 4.8 元 /个时，每天利润最大 . (8 分） 24（ 9 分）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例，请补充完整。 FF 原题：如图 1，点 E、 F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、 CD 上， EAF=45，连接EF，则 EF=BE+DF，试说明理由。 （ 1）思路梳理 AB=CD， 把 ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至 ADG，可使 AB 与 AD重合。 ADC= B=90， FDG=180，点 F、 D、 G共线。 根据 _SAS_，易证 AFG _ AFE_，得 EF=BE+DF。 （ 2）类比引申 如图 2，四边形 ABCD 中， AB=AD， BAD=90点 E、 F分别在边 BC、 CD 上， EAF=45。若 B、 D都不是直角，则当 B与 D 满足等量关系 _互补_时，仍有 EF=BE+DF。 （ 3）联想拓展 如图 3，在 ABC 中， BAC=90， AB=AC，点 D、 E 均在边 BC 上，且 DAE=45。猜想 BD、 DE、 EC 应满足的等量关系，并写出推理过程。 解： BD2+EC2=DE2 解析： (1)SAS (1 分） AFE (2 分） (2) B+ D=180 (4 分） (3)解 ： BD2+EC2=DE2. (5 分 ） AB=AC， 把 ABD 绕 A 点逆时针旋转 90至 ACG，可使 AB 与AC 重合 . ABC 中， BAC=90 . ACB+ ACG= ACB+ B=90 ,即 ECG=90 . EC2+CG2=EG2. (7 分） 在 AEG 与 AED 中 , EAG= EAC+ CAG= EAC+ BAD=90 - EAD=45 = EAD, 又 AD=AG， AE=AE， AEG AED. DE=EG.又 CG=BD, BD2+EC2=DE2. (9 分 ） （五）（本 题 12 分 ） 25如图，在直角体系中，直线 AB 交 x 轴于点 A（ 5， 0），交 y 轴于 点 B，AO 是 M 的直径，其半圆交 AB 于点 C，且 AC=3。取 BO 的中点 D，连接 CD、 MD 和 OC。 （ 1）求证： CD 是 M 的切线； （ 2）二次函数的图象经过点 D、 M、 A，其对称轴上有一动点 P，连接PD、 PM，求 PDM 的周长最小时点 P 的坐标； （ 3）在（ 2）的条件下，当 PDM 的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使16QAM PDMSS？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 解析 ： （ 1）证明：连结 CM. OA 为 M 直径 , OCA=90 . OCB=90 . D 为 OB 中点 , DC=DO. DCO= DOC. (1 分 ） MO=MC, MCO= MOC. (2 分 ） DCM= DCO+ MCO= DOC+ MOC= DOM=90 . (3 分 ） 又点 C 在 M 上， DC 是 M 的切线 . (4 分） （ 2）解：在 Rt ACO 中 ,有 OC=22 ACOA . 又 A 点坐标（ 5， 0）