竞赛辅导讲义(几何)..doc

第二部分 空间与图形20、线段与角思考练习 MCNBA1、已知线段AB16，C为AB上的一点，且ACCB35，M、N分别为AC、AB的中点，求MN的长2、在直线上取A、B两点，使AB10，再在上取一点C，使AC2， M、N分别为AB、AC的中点，求MN的长3、在一条直线形流水线上，依次在、处有5个具有同样性能的机器人在工作，每隔一定时间，它们要去取零件，将零件箱放在何处，才能使机器人取零件花费的总时间最少？100m 200mA区B区C区P AGFEDCBO4、某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一直线上，位置如图所示，公司的班车打算在此间只设一个停靠点，为要使所有员工步行到停靠点的路线总和最少，那么停靠点的位置应在何处?5、如图，已知和都等于，则图中以O为顶点的锐角共有_个6、时钟在12点25分时分针与时针之间的夹角度数为_7、若一个角的补角等于这个角的余角的6倍，则这个角等于_ _EBDCAO8、小明家在车站O的东偏北方向300米处，学校B在车站O的南偏西方向200米，小明经车站所走的_度CNMBAO12349、若与互为补角，OD是的平分线，OE在内，求10、平面上有五个点，其中仅有三点在同一直线上，过每两点作一条直线，一共可以作_条直线11、如图，是的平分线，射线在内部，是的平分线，已知，求的度数12、平面上三条直线相互之间的交点个数是( ) A、3 B、1或3 C、1或2或3 D、不一定是1、2、313、如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少，求这两个角DCEBAF14、如图，已知，则_GFEDCBAO15、如图，已知与相交于点O，、分别是、的平分线，求证：(1) E、O、F三点共线；(2) 说出下列证明每一步推理的理由：证明：(1) ，又， 同理，ba， E、O、F三点共线(2) ，16、如图，平行直线a与b被两条相交直线所截，请数出图中有多少对同旁内角21、三角形的边角关系例题讲练例1 草原上4口油井，位于四边形ABCD的4个顶点，如图现要建立一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到4口油井的距离之和最小，说明理由ACDBHE解：维修站H建在两条对角线的交点处就符合要求 理由如下：不妨任取异于H的一点E，连EA、EB、EC、ED， 则，例2 若三角形的三边长均整数，周长为15，问这样的三角形共有多少个?解：设三角形的三边长分别为、，且则当时，；当时，； 当时，所以满足条件的三角形共有7个例3 若直角三角形的两条直角边长为a、b, 斜边长为c斜边上的高为h, 则有( ) (A) (B) (C) (D) 答：0，0， ，2；可见，（A）、（D）不正确；设斜边为，即有，故（B）也不正确；由, 化简整理后，得 ，因些结论（C）是正确的思考练习1、若的三边长是三个不同的整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形的最大边长为_ 5、如图表示一个六边形的钢架ABCDEF，它的结构是不稳固的，现需要想办法稳固这种结构使之不能活动，可用钢管连接某些对角线，问至少要用_根钢管才能稳固，请在图中画出来BCDEA2、周长为24，各边长互不相等且都是整数的三角形共有_ _个3、在中，平分，图中有_个等腰三角形 4、在中，若，则是( )(A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 锐角三角形或钝角三角形6、一个凸n边形的内角和小于, 那么, n的最大值是( ) (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 147、一个凸边形的内角和超过，则的最小值是( )(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 108、多边形边上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形图(一)给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形 图(一)请你按照上述方法将图(二)中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数试把这一结论推广到边形图(二)9、给定平面上的几个点，已知1、2、4、8、16、32都是其中两点之间的距离，那么点数N的最小可能值是（ ） (A) 4 (B) 5 (C)6 (D) 710、内共有个点，连结这些点(含A、B、C共个点)可将个割成若干个不重叠的小三角形，问有多少这样的三角形？11、过平面内点任意作7条直线，证明：以点为顶点的角中，必有一个小于12、平面内有7条直线两两相交，证明：在所有的交角中，必有一个小于22、角度计算例题讲练AEDBC例1 已知在中，、分别在边、上，且、，求的度数略解：设的度数为，易见， ， ， ABCDE例2 在ABC中,AB = AC, AD = AE, BAD =, 求EDC的的度数略解：设，由AB = AC知，B, 由AD = AE知，, 思考练习1、如图：求的度数 2、如图，若和是和的平分线，若，求CDBA3、如图，点D在的边BC上，且，求GBFCNEHDAEFDBCA4、如图，求的度数5、如图，中，延长BA至E，作，与的平分线交于F，求的度数6、如图，ABC中，A，B的外角平分线AD、BE分别交对边的延长线于点D、E， DAECBF且AD =AB =BE求BAC的度数BACDEEDCBAABCDE7、在ABC中，AB = AC， AD = AE，求EDC的度数8、在下列三个图形中，已知，(1) 在图1中若，则_(2) 在图2中若，则_2BAC134图2(3) 在图3中若，(是大于等于1的自然数)，试推出的度数与的关系式AB21CABC1245n3图1图323、构造全等三角形方法ADBCE例题讲解例1 在ABC中，AD平分ABC，ABBDAC，求证：B2C.略证：在AC上截取AEAB，连结DE，ABCDE则ABDAED，BDDE，BAEDEDCC， ACABBDAEEC， EDEC BAED2C例2 在ABC中，AD是中线，若AB5，AC3，求AD的取值范围.略解：延长AD至E，使ADDE，则ABDECD，易见，2AD35，AD4 又 32AD5，AD11AD4例3 在ABC中，BAC，ADBC于D，且ABBDDC，求C的度数.ABCDE略解：在BC上截取DEDB，连结AE，则ABDAED，ABAE，BAED， ABBDDC，ECCDDE（ABBD）BDABAECCAE，BAED2CBC，C例4 已知，如图，O是正方形内一点，OBCOCB15，OBCADP求证：AOD是等边三角形.略证：连AC，延长BO交AC于P，连PD，易得BPCDPC120， DPO120，又POCPCO30， POPC， OPDCPD， ODDCAD，同理，OAABAD， AOD是等边三角形.ABCDE思考练习1、已知D为等边ABC内一点，DBDA，BEBA，DBEDBC，求BED的度数. 2、证明：有两边和第三边中线对应相等的两个三角形全等.ABCDE3、在直角ABC中，BAC，ABAC，BD平分ABC，CEBD于E，求证：BD2CE.4、在正方形ABCD中，M是AB的中点，MNMD，BN平分CBE，E是AB上的一点，求证：MDMN.5、若M是正方形ABCD的边AB的中点，MNCM交AD于N，求证：BCMMCN.6、在正方形ABCD中，E是BC上任一点，EAD的平分线交CD于F，求证：BEDFAE7、在正方形ABCD内作EAF45，E、F分别在BC，CD上，AHEF，求证：AH = AB.ABCDEFABCDMNEABCDMNABCDEFH答案提示 1、注意到DBEDBC，BEBC，可构造BDEBDCCDA.2、延长中线构造全等三角形. 3、注意到ABECBE，BECE，可构造与BEC全等的三角形.4、利用中点构造全等三角形. 5、用中点构造全等三角形.6、利用边AB构造三角形与ADF全等, 得出等于BEDF的线段. 7、利用边AB构造三角形与ADF全等,由全等三角形对应高相等得结果.24、证两角相等的基本方法例题讲解BCDHEA例1 已知ABC中，高AD与BE相交于点H，ABC，HDDC，求证：BHAC.分析：只需证ACDBHD，关键是证明DACDBH，考虑DACC，DBHC，这样问题易证.ABCDEFG例2 从等腰RtABC的直角顶点C作中线BD的垂线，交BD于F，交AB于E，连结DE，求证：CDFADE分析：易见，CBDACE，结合BC = AC, BCA 是直角，只要过A作GAAC交CE的延长线于G，则可构造出BCDCAG，得CDFG，再证ADEAGE，得ADEG，从而得CDFADE.思考练习1、如图，在ABC中，BDDE，ABBEEC，求证：BADC.2、如图，D是等边ABC外一点，BDABCA，求证：ADBDCD.ABCEDPGABCDE3、在等边ABC中，点D、E在边BC和AC上，且AEDC，AD与BE相交于点P，BGAD于G，已知PE1，PG3，求AD的长度.2GCBAD13E4、如图，在等腰ABC中，ABAC，CEBD，求证：DFEF.5、在等边ABC中，P、Q、R为各边中点，M为RC上任一点，PMS是等边三角形，连结SQ，求证：RMQS6、等腰RtABC中，AC = BC，AD是中线，DEAB于E，SPMQRABCABCFED求证：AB = AC + CD.ABCDEACBDE7、在ABC中，AC = BC，ACB = ，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又BD = 2AE，求证：BD平分ABC.8、在ABC中，ADBC，BEAC，若AC = BH，求ABC的度数。DBCA9、ABC中，AB = AC， A =，BD平分ABC，求证：BC = BD + ADABCDEFPMN10、在ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE = DF；过E、F分别作CA、CB的垂线，相交于P，设线段PA，PB的中点分别为M，N，求证：（1）DEMDFN；（2）PAEPBF答案提示1、先证23，有ABG121802321803AEC，可得ABGAEC，BADC. 2、在AD上取点E，使DEDB，证ABECBD，5、连PQ，PR，则RPM60MPQQPS，可证PRMPQS.6、提示：由BE是角平分，AEBE，可考虑构造等腰三角形.9、分析：由BD是角平分线，可在BC上取点E，使BE = AB，连DE，则有ABDEBD，BED =A =，得DEF =在BC上取点F，使BF = BD，可得DFE = DEF =，再证DF = FC. 10、证明：（1）如图，连结，易见，平行且等于，平行且等于， ，分别是和的斜边中点，又，（2）由（1）知，而，均为等腰三角形，25、四边形的性质例题讲解EABCDFMN例1 六边形ABCDEF的各角都相等，且ABBC11，AFCD3，求BCDE的值。解：延长AB、DC交于点M，延长AF、DE交于点N，则由条件易得六边形的每个内角都为，NM，四边形ANDM是平行四边形，MBC和NEF都是等边三角形，故有BCCDAFEF，BCEFAFCD3，又EFEN，BCBM，DEENAMABBC11，得BCDE（BCEF）（DEEN）14.ADOBCFE例2 如图，四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是菱形，点B、E、F在同一直线上，求BAF的度数。解：过B作BOAC于O，过F作FGAC于G，则BOAC，BAC，易见，FGBO FGACAF，FAC，BAFBACFACABCDEMNF例3 E是正方形ABCD的边AB上的一点，F为对角线BD上的一点，且AEDF，求证：CEF是等腰直角三角形.解：过F作MNBC交正方形两边于M、N，则DFDNFNAM, CNFM，由AEDFAM2AM， EMAEAM2AMAMFN，FMMNFNCDDNCN，由勾股定理知，CFEF， 又， 所以CEF是等腰直角三角形.思考练习1、在10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 5ABCDEF2、如图，六边形ABCDEF中，ABDE，BCEF，CDFA，且BCEEDABFACD0，求该六边形的六个角度数ABCDE3、在梯形ABCD在中，ABCD，ACBC，且ACBC，ABBD，AC、BD交于点E，求证：ADE为等腰三角形BCEFMNDA4、在梯形ABCD在中，ADBC，B，C，点E、M、F、N分别是AB、BC、CD、DA的中点，已知BC7，MN = 3，求EF.5、在等腰梯形ABCD中，CDAB，对角线AC与BD交于点O，ACD，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点，(1) 求证：PQS是等边三角形；(2) 若AB5，CD3，求PQS的周长.6、在梯形ABCD中, ADBC（BCAD）, D, 若AE =10，求CE的长答案提示1、多边形的所有外角之和为，故外角中的钝角的个数不能超过3个，从而知，内角中的锐角最多不能超过3个，选C2、过点A、C、E分别作BC、ED、FA的平行线，交于点O、P、Q，证OPQ为等边三角形，得六边形的六个角都等于3、过C、D作AB的垂线，易得ABD，可得ADBAED，4、延长CD和BA，交于G，则BGC，连GM，则点G、M、N三点成一直线，GN3.5，故GM0.5，从而AD1，EF4。5、由条件易见，OCD和OAB是等边三角形，(1)连结CS，则CSBD，在RtBCS中,SQBC，同理，PQBC，又SPADBC，SQPQSP，PQS是等边三角形.(2)AC8，作CEAB于E，则CE，7，故SQ3.5，PQS的周长为10.5ABCDEGM6、延长DA至M，使BMBE，过B作BGAM于G，易知四边形BCDG为正方形，所以BCBG，又CBEGBM，RtBECRtBMG，BMBE，ABEABM，ABEABM，AMAE10，设CE，则AG10，AD12（10）2，在RtADE中，即 ，解得，26、面积问题ABCDH例题讲解例1 在ABC中, D是边BC上的一点, 已知, ，求ABC的面积。 解：过D作CHAD于H, 因为ACD是等腰三角形, 所以,在RtCHD中, CD5, DH3, 则CH4, 有，ABCDEF例2 已知，E、F分别是矩形ABCD的边BC和CD上一点，若CEF，ABE，ADF的面积分别为3，4，5，求AEF的面积。解：连结AC，设AEC，CAF的面积分别为，则即，因为ABCED AD = BC所以，解得 ，所以例3 在ABC中 已知BD和CE分别是AC、 AB上的中线 并且BDCE ，BD = 4 ,CE =6, 求ABC的面积。解: 连DE, 则, DE是中位线，有, ABCDEFGPH例4 设点EFGH分别在面积而1的四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上, 且, 求四边形EFGH的面积. 解：连结AC，过点G作GPAC交DH于点P，有 ， 由已知 ，则 ， 于是有从而, 又由于DPGDAC，有，故 ，因此，同理 ，两式相加，得连结BD，同理可证，思考练习1、ABC的周长是24, M是AB的中点, MCMA5, 求ABC的面积2、在梯形ABCD中, ABCD, AB = 8, BC =, , , 求梯形ABCD的面积3、已知一个梯形的四条边的长分别是1、2、3、4, 求此梯形的面积4、在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，DF ：FC = 1 ：1，CE ：EB = 2 ：1，若ADF的面积为m， 四边形AECF的面积为n，（nm）求四边形ABCD的面积5、已知正方形ABCD的面积为35， E、F分别为边AB、BC上的点，AF、CE相交于G，并且ABF的面积为5，BCE的面积为14，求四边形BEGF的面积6、点E、F分别是矩形ABCD的边AB与BC的中点，连AF、CE，交于点G，求四边形AGCD与矩形ABCD的面积比7、在ABC中, DEABFG, 且FG到DE、AB的距离之比为1: 2. 若ABC的面积为32, CDE的面积为2, 则CFG的面积等于( ) (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12答案提示1、由MCMAMB5知，又由ABC的周长是24, 且斜边AB10, 故BCCA14, 且, ，故 2、A、B分别作AECD于E, BFCD于F , 在RtBFC中, BC =, , 则BF = FC = 6. 在RtAED中,AE = 6, , 则, 所以CD = , 故.3、以1、2、3、4为边作梯形, 按底边分类有六种可能: (1)以1、2为底; (2) 以1、3为底; (3) 以1、4为底; (4) 以2、3为底; (5) 以2、4为底; (6) 以3、4为底;易知,只有(3)才能构成梯形, 在梯形ABCD中, AB3, BC4, CD2DA1, 过点A作AHBC于H,作AECD交BC于E, 则 BAE为等腰三角形, 由得 , 所以 4、连AC，则 , , ADBCEFG5、连结BG，记AGE面积为a，EGB面积为b，BGF面积为c，FGC面积为d 同理 则 因为，所以 代入得 解得，故 6、连结AC，则G是ABC的重心，所以 ABCDEFG从而 所以 .7、选（B），又由题设知，所以 ， ，故，于是 ， 27、 比例线段例题讲解ABCDEFM例1：在ABC中，BDDC，E为AB上任意一点，CE交AB于F，求证：.证明：过D作DMAB，交CE于M，则，BDDC，CMME，又DMBE， 例2 直角三角形ABC的面积为120，且，AD是斜边上的中线，过点D作于E，连CE交AD于F，求AFE的面积解：作FGAB于G，则FGDEAC ABCDEFG于是 ， 两式相加，得 , 所以 故ABCDEFG思考练习1、 梯形ABCD中，ABDC，E是DC的中点，直线BE交AC于F，交AD的延长线于G， 求证：2、在正方形ABCD中，A、E、F、G在同一直线上，并且AE = 5cm，EF = 3cm，求FG的长。 3、工地上竖立着两根电线杆AB、CD, 它们相距15cm, 分别自两杆高出地面4m, 6m,的A、C处, 向两侧地面上的E和D, B和F点处, 用钢丝绳拉紧, 以固定电线杆, 那么钢丝绳AD和BC的交点P离地面的高度是多少。ABCDEFP4、在RtABC中，两条直角边AB、AC的长分别为1cm、2cm，那么，直角的角平分线的长度等于多少。ABCDE5、设ABC的面积为1，D是边AB上一点，且，若在边AC上取一点E，使四边形DECB的面积为，求的值答案提示1、ABDC， 2、由条件得， ， 3、作PQEF于Q, 设BQ = x , QD = y, PQ = h,由ABPQCD, 得，两式加, 得, 则h = 2.4m, 即点P离地面高度为2.4m.4、过B作BEDA交CA延长线于E，则EBABAD，得BE=由， 故 5、连结，设，则，28、相似三角形例题讲解例1 已知D是ABC的BC边上一点，且ACDB，求证：ABCD证明：ACDB，AA，ACDABC， ，.例2 在ABC中，ABC，点P是ABC内的一点，使得APBBPCCPA，且PA8，PC6，求PB的长.ABC解: APBBPCCPA，PABPBAPBC，PABPBC从而 即思考练习ABCDEF1、在ABC中，D是边AC上一点, 下列四种情况中, 不能使ABD ACB成立的情况是（ ）(A) (B) (C) (D)APBCD2、已知直角ABC（ACBC）的斜边AB的中点为D过D作AB的垂线交AC于E，交BC的延长线于F，连结DC， 求证：3、如图, 若PA = PB, APB =2ACB, AC与PB交于点D,且PB = 4, PD =3, 求.ABCDMNTO4、ABC的三边长为, 且, 求证：B2A .5、在正方形ABCD中, , N是DC的中点, M是AD上异于D的点, 且NMBMBC, 求tanABM MNADC6、将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转至的位置，求这两个正方形重叠部分的面积答案提示1、因为由(B)(C)都能得出ABDACB, 因此可将(B)(C)排除掉.对于(A), 分别作BEAC于E, DFAB于F, 则DF = ADsinA, BE = ABsinA, 由得，RtBDF RtCBE, ABDACB, ABD ACB ，故排除(A), 选(D). 3、延长BP到Q, 使PQ = PB = 4, 连AQ, PQ= PB = PA, APB =2AQD, APB =2ACB，AQD =ACB，又ADQ = BDC，ADQBDC, 从而得 ，故 .4、由得延长CB到D, 使BD = AB = c, 则CD = 在ABC和DAC中, ， 又C公用, ABCDAC, 从而BAC = D = BAD, ABC = D + BAD = 2D = 2BAC. 5、延长MN交BC的延长线于T, 设MB的中点为O, 连结TO, 则BAMTOB. 所以, 即 , 在直角三角形BAM中, 又, 所以，解得 , 从而 , 所以 .6、过作MNAD，分别交CD、AB于M、N，设交CD于K，则，所以 ，又RtRt，所以，则，.29、圆例题讲练例1 在等腰梯形ABCD中，ABCD，AB998，DC1001，AD1999，点P在线段AD上, 求满足条件BPC的点P的个数.BCDAOH解: 因为AB +CD = 1999 = AD, 所以梯形的中位线等于腰BC的一半, 故以BC为直径的圆与AD的一个交点恰为AD的中点, 即AD的中点对BC张成的角为直角. 又在AD上取点Q, 使AQ = AB, DQ = DC, 由ABQ和DCQ都是等腰三角形, 知Q对BC成角. 注意到以BC为直径的圆与AD至多有两个交点, 可知所求的点数为2 . 例2 已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O, 对角线AC是直径, AC与BD相交于点P, AB = BD, 且PC = 0.6, 求四边形ABCD的周长. 解: 连结BO并延长交AD于H, 因为AB = BD, O是圆心, 所以BHAD, 又因为ADC, 所以BHCD, 从而 OPBCPD， 故 CD = 1于是 ， 又 所以 ，四边形ABCD的周长为.ABCDEFG例3 设ABC是直角三角形, 点D在斜边BC上, BD = 4DC, 已知圆过点C且与AC相交于F, 与AB相切于AB的中点G，求证: ADBF. 证明: 过D作DEAC于E, 则， 即 ，故BAFAED ABFDAE, 而EAD +DAB = ，ABF +DAB = , 故 ADBF.APBCSTH例4 如图, 已知P是O外一点, PS、PT是O的两条切线, 过点P作O的割线PAB,交O于A、B两点, 与ST交于点C, 求证：证明：过P作PHST，则H是ST的中点，又, O1ACDBO2例5 圆与圆外切于点A,两圆的一条外公切线与圆相切于点B, 若AB与两圆的另一条