（基础数学专业论文）banach空间上的（hψ）广义方向导数.pdf

摘要 摘要 随着二战后运筹学与控制论的研究与应用，非光滑分析与优化迅速发展起来并逐 步形成一个研究热点非光滑函数的广义一阶，二阶方向导数是非光滑分析与优化的 重要组成部分，因此研究非光滑函数的各种广义一阶二阶方向导数及其相应的性质 显得非常重要 目前，b e n - t a l 在1 9 7 7 年引入的广义代数运算已经成为研究非光滑与最优化问题 的有力工具。2 0 0 1 年，张庆祥在b e n - t a 广义代数运算的基础上定义了函数，在。处 沿方向u 的( h ，妒) 一广义方向导数与，在z 处的( h ，妒) 一广义梯度2 0 0 6 年，徐义红 等入又引入了( h ，曲一l i p s 出忱函数，并给出了( h ，妒) 一l i p s c h i t z 函数的广义方向导数 与广义梯度但是，b e n - t a l 引入的广义代数运算是定义在欧氏空间尼上的，这使得 我们只能讨论定义在尼。上的函数的( h ，妒) 一广义方向导数和广义梯度，显然具有一定 的局限性本文将b e n - t a l 广义代数运算推广到b a n a c h 空间上，给出了b a n a c h 空间 上实函数的几种( h ，妒) 一广义一阶，二阶方向导数的定义，并讨论了其相关性质最后 在h i l b e r t 空间上讨论了c l a r k e - ( h ，妒) 一广义h e s s i a n 全文共分为三章； 第一章回顾了几种一阶、二阶广义方向导致的概念，介绍了它们的发展状况及其 性质 第二章将b e n - t a l 广义代数运算推广到b a n a c h 空间上，定义了b a n a c h 空间上实 函数的几种( h ，妒) 一广义一阶方向导数并讨论了它们的性质 第三章定义了b a n a c h 空间上实函数的三种( ，妒) 一广义二阶方向导数，证明了 它们的存在性并讨论了它们的性质，并且在h i l b e r t 空问上给出了c l a r k e - ( h ，妒) 一广义 h e s s i a n 的定义，讨论了它的性质 北京工业大学理学硕士学位论文 为了方便读者阅读本论文，特别制作了附录附录中有三个表格，第一个为第一章 中出现的导数及微分的定义，第二个为第二，三章中出现的( h ，妒) 一广义方向导数及其 ( h ，妒) 一广义h e s s i a n 的定义。第三个为广义导数之问的关系 关键词；广义代数运算； ( ，_ p ) 一广义一阶方向导数；( h ，妒) 一广义二阶方向导 数；( h ，妒) 一广义h e s s i a n a b s t r a e t a b s t r a c t a l o n gw i t ht h er e s e a r c h i n ga n da p p l y i n go fo p e r a t i o n sr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s 正 t e rt h es e c o n dw o r l dw a r t h en o r , s m o o t ha n a l y s i sa n do p t i m i z a t i o nd e v e l o p e dr a p i d l y , a n d g r a d u a l l yf o r m e daf o c u so f r e s e a r c h g e n e r a l i z e df i r s t - o r d e ra n ds e c o n d - o r d e rd i r e c - t ；i o n a ld e r i v a t i v e so fn o n , s m o o t hf u n c t i o n sa l et h em 时p a r t so fn o n , s m o o t ha n a l y s i sa n d o p t i m i z a t i o n ，t h u st h er e s e a r c ha b o u tv a , _ v j o t l sf i r s - t - o r d e ra n ds e c o n d o r d e rd i r e c t i o n a l d e r i v a i ；i v e sa n dt h er e l e v e n tp r o p e r t i e so fn o n s m o o t hf u a c t i o n sh a sp r o f o u n d s i g n i f i c a n c e n o w ，t h eg e n e r a l i z e da l g e b r a i co p e r a t i o n s ，w h i c hw e r ei n t r o d u c e db yb e n - t a li n 1 9 7 7 , h a v eb e e nt h eb e s tn h l n 8o f r e s e a r c h i n gn o l l s m o o t ha n a l y s i sa n do p l t i m i z a t i o ni n 2 0 0 1 ，q i n g x i a n gz h a n gd e f i n e dt h e ( h ，妒) 一g e n e r a l i z e dd i r e c t i o n a ld e r i v a t i v eo f ，a tz i i lt h ed i r e c t i o nua n dt h e ( h ，妒) 一g e n e r a l i z e dg r a d i e n to f ，a tzo nt h eb a s i so fb e n - t a l g e n e r a l i z e da l g e b r a i co p e r a t i o n s i n2 0 0 6 ，y i l a o n gx ua n do r , h e rs c h o l a r si n t r o d u c e d ( h ，妒) 一l i p s c h i t zf u n c t i o n s ，a n dg a v et h eg e n e r a l i z e dd i r e c t i o n a ld e r i v a t i v ea n dg e n e r - a l i z e dg r a d i e n to f ( h ，妒) 一l i p 8 c h i t zf u n e t i o m h o w e v e r ，s i n c et h eg e a e r a l i z e da l g e b r a i c o p e r a t i o n s ，w h i c h w e r ei n t r o d u c e db yb e n - t l ，w ed e f i n e do i le u c l i d e a , t ls p a c e 毋 w em a y o a l yd i s c u s s ( h ，妒) 一g e n e r a l i z e dd i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e sa n d ( h ，妒) 一g e n e r a l i z e d g r a d i e n t so ff u n c t i o n sd e f i n e do n 舻，o b v i o u s l y , i th a sf l o i n el i m i l , a t i o j a s i nt h i st h e s i s w ee x t e i l dt h eb e n - t a lg e n e r a l i z e da l g e b r a i co p e r a t i o n st ob a , a a c hs p a c e ，d e f i n es e v e r a l k i n do f ( h ，妒) 一g e n e r a l i z e df i r s t - o r d e ra n ds e c o n d - o r d e rd i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e so i lb a - n a c hs p a c e ，a n dd j s c u 8 st h e i rr e l e v e n tp r o p e r i ；i e s a tt h ee n do ft h i sp a p e r w ed i s c u s a t h ec l a r k e - ( h ，l p ) 一g e n e r a l i z e dh e s s i a no nt t i l b e r ts p a c e t h e r ea r et h r e ep a r t si nt h e i i i 北京工业大学理学硕士学位论文 d i s s e r t a t i o n ： i nt h ef i r s tp a r t ，w er e v i e ws e v e r a lk i n do ft h ed e f i n i t o n so ff i r s t - o r d e ra n d c o n d - o r d e rd i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e s ，a n di n t r o d u c et h e i rd e v e l o p m e n ts i t u a t i o na n dt h e i rp r o p - e r t i e s i nt h es e c o n dp a r t ，w ee x t e n dt h eb e n - t a lg e n e r a l i z e da l g e b r a i co p e r a t i o n st o b a n a c hs p a c e ，d e f i n e dk i n d so f ( h ，妒) 一g e n e r a l i z e df i r s t - o r d e rd i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e so n b a n a c hs p a c e ，a n dd i s c u s st h er e l e v e n tp r o p e r t i e s i nt h et h i r dp a r t ，w ed e f i n e dt h r e ek i n do f ( h ，妒) 一g e n e r a l i z e ds e c o n d - o r d e rd i - r e c t i o n a ld e r i v a t i v e so nb a n a c hs p a c e ，p r o v et h e i re x i s t e n e i t y , a n dd i s c u s st h er e l e v e n t p r o p e r t i e s ，a n dw ed e f i n e dc l a r k e 一( h ，妒) 一g e n e r a l i z e dh e s s i a no i lh i l b e r ts p a c e ，d i s c l l s s t h er e l e v e n tp r o p e r t i e s i no r d e rt oc o n v e n i e n t l yr e a dt h et h e s i s ，w ee s p e c i a l l ym a k ea na p p e n d i x i nt h e a p p e n d i x t h e r ea r et h r e et a b l e s t h e 缸吼t a b l ei st h ed e f i n i t i o n so fd e r i v a t i v e sa n d d i f f e r e n t i a l si nt h ef i r s tp a r t ，t h es e c o n do n ei sa b o u tt h ed e f i n i t i o n so f ( h ，妒) 一g e n e r a l - i z e dd i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e sa n dt h e ( h ，妒) 一g e n e r a l i z e dh e s s i a ni nt h es e c o n da n dt h i r d p a r t s t h et h i r do n ei sa b o u tt h er e l a t i o n so fg e n e r a l i z e dd e r i v a t i v e s k e y w o r d s ：g e n e r a l i z e da l g e b r a i co p e r a t i o n s ；( h ，妒) - g e n e r a l i z e df l r s t - o r d e rd i r e c - t i o n a ld e r i v a t i v e ；( h ，l p ) - g e n e r a l i z e ds e c o n d - o r d e rd i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e ；( h ，妒) 一g e n e r a l i z e d h e s s i a a i v 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大 学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名：醢塞约 日期：趔! z 丞圣 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的 全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 躲纵导师貅筮丝嘲趁星边 第1 章绪论 第1 章绪论 非光滑分析对研究泛函分析和最优化有重要的意义讨论非光滑函数的广义微分 是非光滑分析的主要内容近几十年来对这一领域的研究非常活跃本章的主要目的 是回顾广义微分的发展历史，介绍几种广义方向导数的概念及其有关性质 1 1 广义一阶方向导数 从经典分析发展到非光滑分析，经过了凸分析时期六十年代中期，凸分析逐渐发 展起来1 9 7 0 年，r t r o c k a f e l l a f 讨论了定义在欧氏空间j p 上的凸函数的一阶性 质( 参见文献( 1 ， 2 】) 后来，j p a u b i n 在文献【3 中把凸函数，从欧氏空间印 推广到了b a n a c h 空间x 上，并且对v 。，t x 定义了c l a s s i c a l - 右方向导数； ，。( z ；u ) = l 邶i m f ( x + t u ) 一，( z ) 本论文中x + 均代表x 的对偶空间 定义1 1 1 n 称函数f ：x r 是严格凸的，若对v z y ，有，( ! 笋) 0 ，存在j 0 ，使得对vu ，口x ，当s ，t _ 0 + 时有 去【， + s u + 细) 一，扛4 - s u ) 一， - f 切) + ，( z ) 】_ ，“( z ) ( 札，口) 关于，”( ，口) 和a ”，( 。) ( u ) 有下述存在性定理： 定理1 2 3 i 1 5 】设x o 为实b a n a c h 空间x 的开子集，f ：j ，0 一置在。处在g 意义 下 2 j 一可微，则 ，o o ( z ；“，口) = ，”( 。) ( u ， ) ， 疗，( z ) = ，”( z ) ) 第1 章绪论 广”0 ；u ， ) 具有如下性质： 命题1 2 4 设x o 为实b a n a c h 空间x 的开子集，：j 一r ，则对比x o ， 有下列性质成立： 1 ) 映射( “，口) 一广”( z ；，u ) 是对称并且是双次线性的； 2 ) 对v 札， x ，有r ( 。；u ，一 ) = ( 一，) ( z ；“，口) = ，o o ( 巧一u ，”) ； 3 ) 对v ，口x ，有，”( z ；u ， ) s 产”( z ；“，v ) 并且a ”，( z ) ( t ) c 伊，( 。) ( “) 命题1 2 5 1 1 5 设x o 为实b a n a c h 空间x 的开子集，f , g ：) c o _ r ，则对v z x o 。 v ，口x 有 ( ，+ 9 ) ”p ；u ，口) ，* ( z ；扎，u ) + 9 ”( z ；u ，口) ， 若，和g 在z 处是二次l 一可微的，则 矿( ，+ 9 ) ( z ) c 扩，( z ) + 矿9 ( z ) 上r u a n - 广义二阶方向导数和二阶次微分 在文献 1 6 】中，阮国桢对b a n a c h 空间x 上的局部l i p s c k i t z 函数引入了一种广 义二阶方向导数，这使我们能够像建立一阶次微分理论那样类似地建立非光滑函数的 二阶次微分理论 定义1 2 6 【1 q 设x 为实b a n a c h 空间，：x _ r 在点z x 是局部l i p s c h i t z 的，则，在。沿方向( “， ) x x 的上r u a - 广义二阶方向导数定义为 以刚川= l i r a s u p 业垫掣五幽， 其中，0 ( u ) = “罂蝉 ，悖+ t “) 一，( y ) 北京工业大学理学硕士学位论文 显然，”( 叫，- ) 是xx x 到r 上的泛函不难验证，r u a n - 广义二阶方向导数 的运算具有如下性质： 1 ) ( q ，) ( z ；，口) = a ，0 ；，口) ，q 0 ； 2 ) ( ，+ g 严( z ；札，u ) ，”( “，口) + g ”( u ，v ) ，其中，和9 在正处是局部l i p s c h i t z 的 ，”( z ；，) 具有如下基本性质； 命题1 2 6 1 1 q 设，在。是局部l i p s c h i t z 的，并且对v ( “， ) x x ，”( z ；u ， ) 是有限的，那么 1 ) 对va 0 ，d 口扛；地，口) = ，o d ( 。；t 二，a v ) = a ，( z ；u ，口) ； 2 ) 对v 1 ，1 1 2 x ， l ，忱x ，有 ，( ；让i + t 也，口) f ( u l ， ) + f 扛；u 2 ， ) ， f ” ；“， 1 + 也) ，” ；u ，m ) + f o o ；u ，也) ； 3 ) f ”( z ；- - u ，口) = ，”( z ；，- - v ) 定理1 2 4 【1 q 给定( “， ) x x ，设，”( ；，u ) 在点z 的邻域内是有限的，那么 ，”( ；u ，”) 在此邻域内是上半连续的 定义1 2 7 【1 ”设，一( 薯，) ：x x r ，如果存在a l l ( x ，x ) ，使得 一，( z ；一u ，口) a ( t ， ) ，扛；让， ) ，v “x ，v x 成立，称，在点z 二阶次可微，a 叫做，在点z 的二阶次梯度集合 a ”，( z ) ：= a l l ( x ，x ) ：- s ”( 。；- - ? z ，口) a ( “，口) ，”睁；u ，口) ，vu ，口x 一8 - 第1 章绪论 叫做，在点z 的二阶次微分，其中l l ( x ，x ) 为x x r 的一切有界双线性泛函 集 定义1 2 8 【1 q 实值函数，：x 一咒称为c i , 1 的，若它是连续g 可微的并且具有局 部l i p s c h i t z 梯度 下面是，”( 赋“， ) 的存在性定理 定理1 2 5 1 1 q 设x o 是x 的开子集，若f c 1 , 1 ( ) ，那么对v 。凰，一( z ；u ，u ) 是有界的，在z 二阶次可微，a ”，( z ) 是非空有界闭凸集，集值映射口”，在j ( 0 上 是闭的 除了以上三种广义二阶方向导数，还有许多其它形式的广义二阶方向导数( 见文 献 17 】一 19 】等) 广义方向导数对研究最优化【2 0 】一，函数的单调性i 嚣】和变分不等式 吲一都有重要的意义 北京工业大学理学硕士学位论文 第2 章( ，妒) 一广义一阶方向导数 2 1 引言 1 9 7 7 年，b e n - t a l 引入的广义代数运算如下： 1 ) 设h ：日c 舻一j 为连续映射，并且具有反函数h ，对于z 日，y 日， 定义h 一向量加法为o y = h - 1 ( ( 。) + ( ) ) 对于z e a r ，定义h 一数乘为 a o z = h 一1 ( a ( 。) ) 特别地，我们记r 上的广义加法和广义数乘运算如下； 2 ) 设妒是定义在雪s 兄上的连续实值函数，且具有反函数妒，对于口垂，p 垂，定义妒一加法为q 叫卢= 旷1 ( a ) + 妒) ) 对于a 中，a 兄定义l p 一数乘为 a h 口= 妒一1 ( a 妒( a ) ) 3 ) 对于向量z ，y h ，定义( ，妒) 一内积为( z ，y ) h ，= 妒- 1 ( z ) ， ( ) ) 近几年来，借助b e n - t a l 广义代数运算研究最优化问题1 3 2 1 一 越来越受到人们的 关注文献 3 3 ，【3 6 和 3 8 借助b e n - t a l 广义代数运算定义并且研究了( h ，妒) 一凸 函数，文献 3 4 j 借助b e n - t a 广义代数运算定义了( h ，妒) - l i p s c h i t z 函数，进而解决了 ( h ，一广义方向导数和( h ，l p ) 一广义梯度的存在性问题 在本小节中假设h ：j p j p 是1 1 的到上的连续函数；妒：r 一冗是1 1 的到 上的单调递增连续函数；，：j 矿一r ；，( t ) = 妒( ，( 一1 ( t ) ) ) ，为方便起见，简记为 ，( t ) = _ ，o f h - 1 ( t ) 凸性在数学的很多方面都有非常重要的作用，凸函数有很好的性质然而，为了解 决实际问题往往需要减弱对凸性的要求最近几年，很多学者开始研究广义凸性和它 们的性质m a v r i e l 在文献 3 1 o 弓1 k t 一类广义凸函数： ( h ，妒) 一凸函数 1 0 第2 章( h ，妒) 一广义一阶方向导数 定义2 1 1 【3 1 1 函数f ：j p r 称为( h ，妒) 一凸的，若对vz l ，2 舻，有 ，( a o z l o ( 1 一a ) o ；r 2 ) sa ，( 现) + ( 1 一a ) f 】，( z 2 ) ，v a 0 ，1 】 对于( h ，妒) 一凸函数，我们引进广义方向导数的定义及其性质如下： 定义2 1 2 删设，：f p r 为( h ，妒) 一凸函数，在形沿方向“j 护的广义 方向导数为( 当极限存在时) ，“( z ；) = l 。i m 。1 ，( z 。t 。u ) 一 ，( ) ) 定理2 1 1 设，：彤一r 为( h ，妒) 一凸函数，z ，u 口且u 0 ，t 0 ，则下 面的极限存在： l 。i m1 。 m 。t 。u ) i - i f ( z ) ) 命题2 1 1 a 6 l 设f ：酽一r 为( h ，妒) 一凸函数，z ，u 舻且“0 ，则 ，“( z ；) = 妒一1 ( ，。( ( z ) ； ( “) ) ) l i p s c h i t z 函数是一类重要的非光滑函数，它包括了一般的可微函数和凸函数类因 此，将般的可微函数或凸函数的性质推广到l i p s c h i t z 函数类上，具有重要的意义设 ，是定义在尼上的l i p s c h i t z 实值函数对，彤，在z 沿方向的( h ，妒) 一 广义方向导数和，在。处的( h ，妒) 一广义梯度酬分别定义为： ，。( 训) = n 鼍驴扣 舳。t 。u ) 【- 】m ) ， a 。f ( x ) = f + 品”：，。( z ；) 之( + 7 “) ，p ，v u r “ 定义2 1 3 删( h ，妒) 一模定义为 i i x l l h ，= 妒l l h ( z ) 1 1 i i 北京工业大学理学硕士学位论文 定义2 1 4 l a a 称，：j p r 为秩为k 的( h ，妒) 一局部l i p s c 血i t z 函数，如果对 vz 尼，存在5 妒一1 ( o ) ，当怕e z p 0 ，我们有 ，”( z ；ao “) = 妒一1 ( 产( ( z ) ； ( aou ) ) ) = 妒一1 ( 户( ( z ) ；a ( u ) ) ) 由命题1 1 1 有 户( ( z ) ；a ( “) ) = a 产( ( z ) ； ( 让) ) ， 则 ，”( z ；ao ) = q o - 1 ( a 产( ( z ) ； ( u ) ) ) ， 再由命题2 2 1 得 ，。( z ；入ou ) = l p 一1 ( 入妒，4 ( z ；u ) ) ， 于是 ，4 ( z ；入。钍) = a 【 ，4 ( z ；) 此即说明，“( z ；) 是( ，妒) 一正齐次的下证，4 ( - ) 是( ，妒) 一次可加的事实上 ，“( z ；让o ) = 妒一1 ( 产( ( z ) ；h ( uo ”) ) ) = 妒一1 ( 产( 危( z ) ；危( u ) + ( 口) ) ) 由命题1 1 1 得 产( ( 。) ； ( u ) + ( ) ) s 产( ( z ) ； ( ) ) + 产( h ( z ) ； ( 口) ) ， 则 ，8 ( z ；o ) 妒一1 ( 产( 九( z ) ； ( “) ) + 户( ( z ) ； ( 口) ) ) = 妒一1 ( 妒( ，i ( f ；札) ) + 妒( 厂。( z ；到) ) = ，4 ( 。；u ) + 】，4 ( 。；w ) 一1 艮 第2 章 ( h ，妒) 一广义一阶方向导数 证毕 命题2 2 3 设x 为实b a n a c h 空间，g ：x r ，对v ( z ，) x x 有 证明：令， + 9 = m ，则尬= ( 妒，+ 唧) 由命题1 1 2 和命题2 2 1 得 m 4 ( z ；“) = 妒一1 ( 和( ( z ) ； ( u ) ) ) = 妒一1 ( ( 妒，+ ，叼) 一1 ) 。( ( z ) ； ( “) ) 妒一1 ( ( 妒， 一1 ) 。( ( 。) ； ( ) ) + ( 蛐 一1 ) 。( h ( z ) ； ( u ) ) ) = 妒一1 ( 妒，“( 。；u ) + 妒9 “( z ；) ) = ，5 ( z ；u ) + g “( z ；钍) 证毕 命题2 2 4 设x 为实b a n a c h 空间，则对v ( z ，u ) x x ，有 ，4 p ；( - 1 ) o ) = ( 一，】) 4 ( 蜀u ) 证明；由命题2 2 1 有 ，。( z ；( 一1 ) ou ) = 旷1 ( 产( ( z ) ； ( ( 一1 ) o ) ) ) = 妒一1 ( 产( ( ) ；一 ( ) ) ) ， 由命题1 1 3 有 另一方面 所以 ，。( z ；( 一1 ) o 札) = 妒一1 ( ( 一，) 。( ( z ) ；危( ) ) ) ( 一， ) 4 ( z ；u ) = 妒一1 ( ( 一，) 。( ( z ) ； ( “) ) ) ，扛；( 一1 ) ou ) = ( 一门) 4 ( 蜀) 北京工业大学理学硕士学位论文 证毕 关于和m p - 广义梯度相对应的m p 一( ，妒) 一广义梯度在这里就不定义和讨论了 因为它和第三章讨论的c l a r k e - ( h ，妒) 一广义h e s s i a n 性质类似 2 3 本章小结 在这一章中，我们主要研究b a n a c h 空间上的( h ，妒) 一广义一阶方向导数在第一 小节中，我们回顾了欧氏空间中几种( h ，妒) 一广义一阶方向导数；在第二小节中，我们 首先把欧氏空间中的b e n - t a l 广义代数运算推广到b a n a c h 空间上，当定义内积时，x 需为内积空间最后，在b a n a c h 空间上定义了几种( h ，妒) 一广义一阶方向导数，并着 重讨论了上m - p 一( h ，妒) 一广义一阶方向导数的性质 1 8 第3 章( h ，妒) 一广义二阶方向导数 第3 章( 九，妒) 一广义二阶方向导数 3 1 ( h ，妒) 一广义= 阶方向导数的性质 在这一章我们将给出实b a a a c h 空间上三种( h ，妒) 一广义二阶方向导数的概念并逐 一讨论其性质 定义3 1 1 设x 为实b a n a c h 空间，f ：x 一冗，则，在z 沿方向( ，口) xx x 的上c l a r k e - ( h ，妒) 一广义二阶方向导数定义为 ，4 ( 钟，口) = “号严扣 m 。s 。u 。t 。口) - m 。s 。) h m 。t 。口) + | m ) ) 定义3 1 2 设x 为实b a n a c h 空间，f ：x r ，则，在z 沿方向( u ， ) x x 的上m p 一( ，| p ) 一广y - - 阶方向导数定义为 ，”( z ；u ，口) = s u p l i r as u p 去【 f ( y e s o u e t o 口) 一 f ( y e s o u ) 【一 f ( e t e 口) 【+ 】，( ) ) ， z ，埘xs # 5 其中f = 0s o w 0 t oz 定义3 1 3 设x 为实b a _ a c h 空间，：x r ，则，在z 沿方向，v ) x x 的上r u a n - ( h ，妒) 一广3 ( - - 阶方向导数定义为 ，”( 正；，口) = l i r as u p ；【 ，+ ( g o t o 口；“) 一 ( g ；u ) ， l 其中，( y ；札) = l i 叫圳 ，0 0 t o 乱) 一i f ( z ) ) 命题3 1 1 设x 为实b a n a c h 空间，：x _ r ，则对v ( z ，u ， ) xx x x ， 厂+ ( z ；，u ) = 妒一1 ( ，”( h ( z ) ； ( u ) ， ( 口) ) ) ， ，如( z ；让，t ) ) = 妒一1 ( 于( h ( 霉) ；h ( u ) ，h ( t ，) ) ) ， 北京工业大学理学硕士学位论文 ，咄( z ；“， ) = p 一1 ( ，( ( z ) ；危( u ) ，h ( 口) ) ) 证明t 由a 【】a = 妒一1 ( a 妒( d ) ) 知，对v ( z ，u ) x x x ， ，“( u ，口) = l i m s u p 妒- 1 。妒( 他。s 。乜。t 。卅一。s 。u ) 【一 f ( y e 。卅卜】m ) ) 由a 一 卢= 妒一1 ( 妒( a ) 一妒( p ) ) ，a + 】p = 妒一1 ( 妒( a ) + 妒( 卢) ) 知，对v q ，卢，：，埘r ， 有 口【一 p 一】： + 叫= 妒一1 ( 妒( q ) 一妒( 卢) 一妒( 名) + p ( 叫) ) ， 所以 ，“( g i t ， ) = k 四p 妒一1 击妒( 妒一1 ( 妒m 。s 。u 。t 。 ) 一l p m 。s 。) 一：( r e t 。口) + 妒他) ) ) = l i r a s u p 一1 去( 妒，0 。s 。“。t 。 ) 一妒，白。s o u ) 一妒f ( v c t o ) + 妒，( 掣) ) 将y os o o t o 口= h - 1 ( ( ) + s h ( u ) + t h ( v ) ) ，及y = - 1 ( ) 代入上式得 厂( 训， ) = 1 屯璺pc p - i t 磊1 ( 妒， 一1 ( ( f ) + s h ( u ) + t ) 一l p ， 一1 ( b ) + s h ( u ) ) 一妒，h 一1 ( h ( ) + t h ( v ) ) + 妒， 一1 ( ( ) ) ) 令z = ( ) ，= 妒，九一1 得 ，”( e u ，u ) = l i r as u p 妒一 - - j ，t h g z ) 由引理2 2 1 得 。，0 + s ( u ) + t 0 ) ) 一，( z + s h ( u ) ) 一，( z + 地0 ) ) + ，( 二) 厂+ ( z ；u ，口) = 广1 ( j a ”( ( z ) ； ( ) ， ( w ) ) ) 一2 0 - 第3 章 ( h ，妒) 一广义二阶方向导数 余下两个等式可类似地证明证毕 广( 。；u ，口) 的存在性定理及其性质如下 定理3 1 i 设x 为实b a n a c h 空问，f ：x r 为连续函数，并且对￥口z 定义 方向导数f o ( 弘) = 1 船埘 ，国。t 。 ) 一】，( ) ) ，则 ，柑( 嗣u ， ) =s u p 纠 ，“ o to ；口) i f “( 舛”) ) ， ，- 2 l 其中y ，t 满足，“( ； ) 在y ，+ t u 存在 证明， 由命题3 , 1 1 命题2 2 1 和定理1 2 1 有 ，杆( 。；“，口) = 妒一1 ( ，0 0 ( ( z ) ； ( “) ， ( 口) ) ) = 妒一1 l i r as u p ，。( 可) + t 九( u ) ； 0 ) ) 一，。( 耖) ； 扣) ) ( 口) _ ( # ) = 1 i ，r a ，s ，u ，p ，妒一1 ；妒妒一1 ，。( ( f ) + t ( 让) ； ( 口) ) 一，。( h b ) ； 扣) ) ) h ( ，) 一h ( z ) = l i r a s u p 。妒妒。( 妒，“白st 。u ；v ) 一对。( 弘。) ) = “毋掣p 扣( ，。( 。t 。u ；v ) i - i f 。( g = l i m s 2 p 。】 ，“( yet 。“； ) h ，“( y ； ) 命题3 1 2 设x 为实b a a a c h 空间，f ：x