（基础数学专业论文）辫子张量范畴中的对偶定理和交叉积hopf代数.pdf

摘 要 本文第一章讨论了辫子张量范畴中无限维h o p f 代数的对偶定 王早，心用辫子图对此定理给出证明，得到如下结果： 命题2 1 如果( a ，m ，珂) 是个代数，那么 ( a o ，a ，s ) 是一个余代数，其余乘法为= m ，余单位为 占= 行 命题2 2 如果( b ，m ，叩，f ) 是一个双代数，那么 ( b 。，s ，m + ，叩) 也是个双代数。而且，如果b - - h 足 个带钉对极s 的h o p f 代数，那么。 是一个带有对极s 的h o p f 代 数。 命题2 8h 是一个h o p f 代数，u 是h 。 的一个子h o p f 代数使得 h 和u 有双射的对极，假定u 关于h 满足r l 一条件。如上所述， a 足 个u 一余模代数，使得a 足。个h 一模代数。u 通过在af ：的 平凡作用和在h 上的一作用作用在a # h 上，那么 ( a 薛h ) u 三a ( h # u ) 。 第二章讨论了辫子张量范畴中交叉积双代数d = 爿：；h 成y , j h o p f 代数的充要条件，得到如下结论： 引理3 4 如果a 和h 有对极，并且 ( m 1 ) ( m 3 ) ，( c m l ) ( c m 3 ) ， ( b 1 ) ( t 3 4 ) ，( c b 2 ) ，( c b 4 ) 成立，那么d = 爿：；爿有对极s 。 = 推沦3 5 如果( a ，h ，d ，) 是一个h o p f d a t u m ，a 和h 有对极，那么双重双交叉积d = 以；何有对极。 命题3 6 当a 和h 有对极时，交叉积双代数d = a 。 i d = a 。：6 p 2 , 1 日 是一个h o p f 代数。 关键词：辫子张量范畴h o p f 代数 对偶双代数辫子图 a b s t r a c t t h ea u t h o rd i s c u s s e st h ed u a l i t yt h e o r e mo fi n f i n i t ed i m e n s i o n a lh o p f a l g e b r a si nb r a i d e dt e n s o rc a t e g o r i e si nt h ef i r s tc h a p t e qa n ds h o w st h e t h e o r e mb yt h eu s eo f b r a i d i n g d i a g r a m t h em a i nr e s u l t sa r ec a l c u l a t e da s f o l l o w s ： p r o p o s i t i o n2 1 l e t ( a ，m ，7 ) b ea l la l g e b r a ，t h e n ( a 。，) i sac o a l g e b r aw i t hc o m u l t i p l i c a t i o n a = a n dc o u n n 占= 行+ p r o p o s i t i o n2 2 l e t ( b ，m ，叩，) b eab i a l g e b r a ，t h e n ( b 。，0 ，s ，m + ，矿) i sa l s oab i a l g e b r a i na d d i t i o n i fb = h i sah o p fa l g e b r aw i t ha n t i p o d e s ，t h e nh o i sah o p fa l g e b r a w i t ha n t i p o d e s s p r o p o s i t i o n2 8 l e thb eah o p f a l g e b r aa n duas u b h o p f a l g e b r ao f h ” s u c ht h a tb o t hha n duh a v eb i j e c t i v ea n t i p o d e s a n d a s s u m et h a tus a t i s f i e st h er l c o n d i t i o nw i t hr e s p e c tt o h l e t a b eau - c o m o d u l ea l g e b r a ，s ot h a t ai s a nh - m o d u ea l g e b r aa s a b o v e l e tua c to na # hb ya c t i n g t r i v i a l l yo naa n dv i a 、。n h ，t h e n ( a 挣h ) u 兰 ao ( h 存u ) t h ea u t h o rg i v e st h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ec r o s s p r o d u c tb i a l g e b r a0 2a m ( 0 2 , t h t ob eah o p fa l g e b r a t h er e s u l t s a r eg o ta sf o l l o w s l e m m a 3 4i fb o t haa n dhh a v ea n t i p o d e sa n d ( m 1 ) ( m 3 ) ，( c m l ) ( c m 3 ) ， ( b 1 ) ( b 4 ) ，( c b 2 ) ，( c b 4 ) h o l d ，t h e nd 2a ：x ；hh a sa na n t i p o d e s ) i 】 岛= a h c o r 0 1 a r y 3 5i f ( n ，h ，口，卢，y ) isah o p fd a t u ma n d b o t haa n dnh a v ea n t i p o d e s ，t h e nt h ed o u b l eb i c r o s s p r o d u c t d 2 爿：；h h a sa na n t i p o d e p r o p o s i t i o n 3 6t h e c r o s sp r o d u c tb i a l g e b r a d 。a “妒2 ，i h is a h o p fa l g e b r aw h e naa n dnh a v ea n ti p o d e s k e yw o r d s ：b r a i d e dt e n s o rc a t e g o r y , h o p fa l g e b r a ，d u a l i t y ，b i a l g e b r a b r a i d i n gd i a g r a m 第一章引言 1 9 4 1 年h h o p f 首先在代数拓扑领域引入h o p f 结构的第一个例 子，二十世纪六十年代后期，h o p f 代数从严格地代数角度开始成 为个研究课题，到二十世纪八十年代末，h o p f 代数的研究与量 子力学联系在一起，发展迅速。h o p f 代数是带有一个满同态的双 代数，这个满同态满足一个可以用代数和余代数结构表达的条 件。h o p f 代数普遍存在于几乎所有的数学领域中，h o p f 代数与数 学和物理学的诸多领域都有着紧密的联系。 h o p f 代数的发展经历_ 五个阶段： i n t e g r a l 和m a s c h k e 定理的发现是第一个阶段：l a g r a n g e 定 理的证明是第二个阶段：h o p f 代数的作用的研究足第三阶段，这 个领域的主要结果见文献 1 ，而且s m o n t g o m e r y 和 r j b l a t t n e r 证明了对偶定理；量子群的研究是第四阶段，晕子 群和拟三角h o p f 代数是一致的；辫子h o p f 代数的研究和有限维 h o p f 代数的分类是h o p f 代数发展的第五阶段，超对称在物理学和 数学中都有着j 泛的应用1 ，吸引，一些物理学家和数学家的关 注，尤其是z ，分次结构的超对称，超代数和超h o p f 代数自然也是 非常重要的。 1 9 8 6 年j o y a l 和s t r e e t 引入辫子张量范畴，其定见 4 ， m a j i d ，j o y a l ，s t r e e t 和l y u b a s h e k o 已经在辫子张量范畴中得到许多 有趣的结论，例如：辫子重构定理，t r a n s m u t a t i o na n d b o s o n i s a t i o n ， i n t e g r a l ，q - f o u r i e rt r a n s f o r m ，q - m i k o w s k is p a c e 等，阡见 j 6 7 8 9 。 文献 1 ， 1 0 ， 1 1 ， 1 2 ， 1 3 ， 1 4 ， 1 5 都对对偶定理在不同 的条件下，从不同的角度，用不同的方法给出了证明。假设a 是 个域k 上有单位的代数，那么一个群g 作为一个自同态群作用在a 上的充要条件为a 是一个k g - 模代数，其中k g 有通常的h o p f 代 数结构，也有a 是一一个g 分次环的充要条件是i 是一个k g - 余模 代数。若g 是有限的，那么k g 的对偶研g +也是一个h o p f 代数， 并上= la 足个k g 卜余模代数专且仪当a 是个k g +一模代数， c o h e n l 和m o n t g o m e r y 证明了对有限的g ，其秩为n ，如果a 足一个 k g 卜模代数，那么( a # k g ) # 叫g + 兰m 。( a ) ，如果a 是个 k 【g +一模代数，那么( a # k g ) # k g 兰m 。( a ) 。如果g 足无 限的，那么k g r不再是一个h o p f 代数，m a r g a r e tb e a t t e 扩展1 r 研g r，用a n h 和m a r k i 建立的带有局部单位的环的m o r i t a 理论m 证明了与c o h e n 和m o n t g o m e r y 的结论相类似的对偶定理。b e a t t e 用 g * a 表示a # k g + 的推广，对一个分次环a 定义一个m o r i t a c o n t e x t ，这个m o r i t ac o n t e x t 严格的充要条件是a 是强g 一分次的。 对环s ，g 作为个自同态群作用在s 卜，把斜群环s * g 址为a ， 则从m o r i t ac o n t e x t 我们可以得到g 半( s * g ) 兰m 。( s ) “”，其中 m ，( s ) 脚是s 上的矩阵环，矩阵的行列以g 中元为指标且每个矩阵 仅有有限多个非零元素，类似地，对一个g 一分次环r ，定义环 ( 时r ) 丰g 与r 之问严格的m o r i t ac o n t e x t ，证得( g * r ) 丰g 兰 m ，( 月) “ 。r o b e r tj b l a t t n e r 和s u s a nm o n t g o m e r y 在 1 4 巾，证明 r 域f 卜无限维h o p f 代数h 的对偶定理，其证明借助_ rh 的有限对 偶f ，o及其子h o p f 代数u ，h 和u 都被假定有双射的对极，h 在a 上的作用是局部有限的，而且有一个重要的条件：h # u 在h 卜的作 用满足一个右一左对称条件。利用这些条件证明了( a # h ) # u 兰a ( h # u ) 。在辫子张量范畴中， 1 1 ， 1 2 证明了对称辫子张 量范畴中有限维h o p f 代数h 的对偶定理，本文第二章综合以条什 证明了对称辫子张量范畴中无限维h o p f 代数h 的对偶定理( a # h ) # u 三f ( h # u ) 。 d r i n f e l dd o u b l e 是一种非常重要的拟三角代数，在带有通常 的扭曲辫子的通常向量空间范畴中，s m a j i d 构造了双交叉积并给出 它成为双代数的充要条件7 】。d e r a d f o r d 介绍了双积并给出它成为 双代数的充要条件8 】。在辫子张量范畴中，s m a j i d 介绍1 rs m a s h 积i ”1 ，证明了如果( m ，口) 是一个h 模双代数和h 关于( h ，口) 是 余交换的，那么s m a s h 积以# h 是一个双代数 1 2 构造了辫子张量 范畴中的双交叉积和双积，并给出它们成为双代数的充要条件。 2 0 在辫子张量范畴中构造了双重双交叉积并给出它成为双代数的 充要条件。y b e s p a l o v e 和b d r a b a n t 去掉双豆双交义积的一止j 条件 后，在辫子张量范畴中定义了交叉积双代数2 ”。 本文第三章首先利用辫子图证明了当a 和h 有对极时，它们构 成的双重双交叉积双代数爿：日是一个h o p f 代数，通过对交义秘舣 代数d _ a 。妒：。h构造相应的口、庐、妒，使其满足双霞双交 叉积舣代数成为h o p f 代数的条件，从而证得交叉积双代数 d = a ，。妒，h是一个h o p f 代数 第二章无限维h o p f 代数的对偶定理 第一节基本知识 整篇文章在辫子张量范畴中讨沦。关于h o p f 代数的相关概念及 记号见 2 3 2 4 。以f 是些有用的记号： 如果f 是u 剑v 的映射，我们记为： 审 如果g 是v 到w 的映射，我们记合成映射g f 为 撒u 如果f 是u v 到p 的映射，g 是uov 到单位目标的映 射，f 是u v 到v u 的映射，我们分别记f ，g 和f 为 uvu vu3 ， v ，v ，k 。 特别地，我们记辫子c 和c “分别为 ， 由于每一个辫子张量范畴总是等价于一个严格的辫子张量范 畴，所以我们可以将每一个辫子张量范畴都看作一个严格的辫子张 量范畴自由地应用辫子图。 k 是个域，h 是r 个域k 卜的h o p f 代数，其乘法、单位、余 乘法、余单位、对极分别为m 、r l 、e 、s 它们满足下面的条 件： 第三章交叉积帅f 代数 我们假定h 和a 是辫子张量范畴中的代数和余代数， 口： oa ，寸a ，：hoa h ， ，妒：i aj hoa ，： h 叶 h a ： 对任意的g 、h 、 。、h 。、g l 、g ! 、口。、玩h ， a 、b 、j 、口二、a j 、6 。、6 2 、鼠、a ( m 1 ) ：d ( h 。1 ) = 占( h ) l ，7 ( 1 圆a ) = s ( a ) l ： m 2 ) ：“( h 。a b ) = a ( h a j ) a o a ( h 。a z ) 。6 ) ； ( m 3 ) ：声( g hqa ) 2 声( g 。口( lp 口) ) ( ：。d ，) ( c m l ) ：“。s ( n ) = ( a ) 1 ，( ，) 自。= s ( h ) 1 ( c m 2 ) ： ( c m 3 ) ： a h aa h a ( a b ) 2 a lc 2 ( a 。6 。) 日16 2 _ ( b 2 ) ： ( a ( h a ) ) = 口( ， d ，) 。 。a ( a ：。口! ) ； ( g h ) 。g 。 l ( 9 2 。 。) 2 ； g ( b 4 ) ：( 卢( h e 、= 卢( 。，) 口z 卢( “：。“，) ； h ( b 5 ) ： ha h ( c b 2 ) ：砂( a b )p ( a 。 “) 6 。o d ，b z ； ( c b 4 ) ： 妒( g h ) = a ( g 。啊) g 。a ( g z 圆k ) ； g ， ( b5 1 ) ： a 我们定义a 。h 的乘法州。，单位，余乘法。，余单位 如下： 一 删d s e 。s h 记( a 圆h ，m 。 ， ，r d2 叩月0 叩” r d ，d ，占o) 为4 ：；，称为a 和h 的双 煮警荟叠竺皋代数，h 是一个余代数，那么h o m ( h ，a ) 在卷积作用下 如果a 是一个代数，h 是一个余代数，那么 ，a j 仕奁秘t f 用 静一 一嚣 成为一个代数，( f * g ) ( h ) = f ( h ) g ( ：) vh h ，其单位元 h ，7 = ，7 。占。 ：如果s 是耐。右t 2 h o m ( h ，h ) 中的逆，那么s 被称为h 的 对极 2 0 有下面的定理： 定理3 1假定a 和h 是双代数， ( a ，口) 是一个左h 一模余代 数，( h ，口) 是一个右a 一模余代数，( a ，) 是一个左h 一余模代 数，( h ，) 是个右a 一余模代数，那么d = a ：；h 是个舣代数的 充要条件是( m 1 ) 一( m 3 ) ，( c m l ) 一( c m 3 ) ，( b 1 ) 一( b 5 ) 成立，而且如果a 和f 是h o p f 代数则d 也是h o p f 代数。 y b e s p a l o v 和b d r a b a n t 在 2 2 中介绍了h o p fd a t u m 的概念和交叉 积双代数。 定义3 2辫子张量范畴中的h o p fd a t u m 是由目标a 和h 组成，它 们既足代数也是余代数，( a ，a ) 是一个左h 一模，( h ，卢) 是一个右a 一 模，( a ，庐) 是一个左h 一余模，( h ，) 是一个右a 一余模且满足 ( m 1 ) 一( m 3 ) ，( c m i ) 一( c m 3 ) ，( b 1 ) 一( b 4 ) ，( c b 2 ) ，( c b 4 ) ，( b5 1 ) ， s( a ) = s s ，( 卢) = so s ，妒呷。= 妒叩h= r h 玎。 定义3 3如果d = aoh 通过 d= ( 卅月 h ) ( i d o 妒2 i i d hj ， ，7 d= | 1 7 “ 刁h ， d= ( i d 妒l ! oi d h ) ( 0 ，f) ，占d= 占h h 是一个取代数，这里和蚴分别是从aoh 到hoa 和从 hoa 到aoh 的态射，( a ，m ，叩) 和( h ，m ，叩) 是辫子张量范畴 中的代数，( a ，厶，s ) 和( h ，s ) 是余代数，那么d 被称为 交叉积双代数，记作d 2 a 。：h 。 引理3 4如果a 和h 有对极，并且 ( m 1 ) ( m 3 ) ，( c m l ) ( c m 3 ) ( b 1 ) ( b 4 ) ，( c b 2 ) ，( c b 4 ) 成立，那么d = 爿：；h 有对极s 。： 证明 s + i d = a h ah 岛= a h a h a h a a ah ah a h ah a 类似地有i d + s 。= 叩。 。口 推论3 5 如果( a ，h ，a ，p ) 是一个h o p fd a t u m ，a s hh 有对极，那么双重双交叉积d = 群；有对极。 证明由 2 5 ，d 是个代数也是。个余代数，应用引理2 4 ，町 知d 有对极。 定理3 6 当a 和h 有对极时，交叉积双代数d = a 。：妒：h 是 个h o p f 代数。 证明设 a = ( i d s ) 仍l ，3 ( soi d ) 仍。， 庐 = 妒。( i do 叩) ，妒= 妒( 叩p i d ) h 10印h a 10叩a h句h a 10叩a 由 2 5 ，( a ，h 是一个双代数。 这样由推论3 5 口，) 是个h o p fd a t u m ，d = 爿：； 知d 是一个h o p f 代数。 参考文献 1 s m o n t g o m e r y 、h o p fa l g e b r a sa n dt h e i ra c t i o n so nr i n g s 、c b m sn u m b e r 8 2 ，p u b lis h e db ya m s ，1 9 9 3 2 v g k a c 、l i es u p e r a l g e b r a s 、a d v i nm a t h 1 9 7 7 、2 6 ：8 - 9 6 3 jm s c h e u n e r t 、g e n e r a l i z e dl i ea l g e b r a 、j m a t h p h y s 1 9 7 9 、2 0 ：7 1 2 7 2 0 4 a j o y a la n dr s t r e e t 、b r a i d e dm o n o i d a lc a t e g o r i e s 、m a t h r e p o r t s 8 6 0 0 8 m a c q u a r i e su n i v e r s it y ，1 9 8 6 5 js m a j i d 、b e y o n ds u p e r s y m m e t r ya n dq u a n t u ms y m m e t r y ( a ri n t r o d u e t i o n t ob r a i d e d g r o u p s a n db r a i d e d m a t r i c e s ) ( p r o c e e d i n g o ft h e 5l h n a k a i w o r k s h o p ，t i a n j i n ，c h i n a ) ，q t m n t u ng r o u p s ，i n t e g r a b l es t a t i s t i c a l m o d e l sa n dk n o tt h e o r y ，1 9 9 2 ，e d i t e db ym l g ea n dn j d ev e g a ，w o r l d s c i e n tjf i c ，s i n g a p o r e ，1 9 9 3 、1 ：2 3 1 2 8 2 1 6 s m a jjd 、a l g e b r a sa n dh o p fa l g e b r a si nb r a i d e dc a t e g o r i e s 、l e c t u r e n o t e si n p u r e a n d a p p l i e d m a t h e m a t i c sa d v a n c e si n h o p f a l g e b r a s ，v 0 1 1 5 8 ，e d i t e db yj b e r g e na n ds m o n t g o m e r y 、1 9 9 5 7 ：s m a j i d 、q u a n t u mg r o u p 、c a m b r a d g eu n i v e r s i t yp r e s s 、1 9 9 5 8 s m a j i da n dm j r o d r i g u e zp i a z a 、r a n d o mw a l ka n dt h eh e a te q u a t i o n o ns u p e r s p a c ea n da n y s p a c e 、j m a t h p h y s 1 9 9 4 、3 5 ：3 7 5 3 3 7 6 0 9 v l y u b a s h e n k o 、t a n g l e sa n dh o p fa l g e b r a si nb r a i d e dt e n s o rc a t e g o r i e s 、 j p u r ea n da p p li e da l g e b r a 、1 9 9 5 、9 8 ：2 4 5 2 7 8 1 0s o r i nd a s c a l e s c u 、c o n s t a n t i nn a s t a s e s e u 、s e r b a nr a i a n u 、h o p f a l g e b r a s ：a ni n t r o d u c t i o n 、u n i v e r s i t vo fb u c h a r e s t 、n e wy o r k 、2 0 0 1 1 1 z h a n gs h o u c h u a n 、t h ed u a li t yt h e o r e ma n dd r i n f e l dd o u b l ei nt h e b r a i d e dt e n s o rc a t e g o r i e s 、a l g c o l i g 2 0 0 3 、t oa p p e a r 1 2 z h a n gs h o u c h u a n 、b r a i d e dh o p f a l g e b r a s 、h u n a nn o r m a lu n i v e r s i t yp r e s s 、 1 9 9 9 【1 3 】m c o h e na n ds m o n t g o m e r y 、g r o u p g r a d e dr i n g s ，s m a s hp r o d u c t s ，a n dg r o u p a c t i o i i s 、t r a n s a m e r m a t h s o c 1 9 8 4 、2 8 2 ：2 3 7 2 5 8 1 4 r o b e r tj b l a t t n e ra n ds u s a nm o n t g o m e r y 、ad u a l i t yt h e o r e mf o rh o p f m o d u l ea l g e b r a s 、j a l g e b r a1 9 8 5 ，9 5 ：1 5 3 1 7 2 1 5 m a r g a r e tb e a t t l e 、d u a l i t yt h e o r e m sf o rr i n 幽w i t ha c t i o n so r c o a c t i o n s 、j a l g e b r a 、1 9 8 8 、1 1 5 ：3 0 3 3 1 2 1 6 p n a n ha n dl m a r k i 、 m o r i t ae q u i v a l e n c ef o rr i n g sw i t h o u ti d e n t i t y 、 t s u k u b aj o fm a t h t oa p p e a r 1 7 s m a j i d 、b i c r o s s p r o d u c ts t r u c t u r eo ft h eq u a n t u mw e y lg r o u p 、 j a l g e b r a 、1 9 9 4 、1 6 3 ：6 8 8 7 【1 8 j d e r a d f o r d 、t h es t r u c t u r eo fh o p fa l g e b r a sw i t hap r o j e c t i o n 、 j a l g e b r a 、1 9 8 5 、9 2 ：3 2 2 3 4 7 1 1 9 s m a j i d 、c r o s sp r o d u c t sb yb r a i d e dg r o u p sa n db o s o n i z a t i o n 、 j a l g e b r l a 、1 9 9 4 、1 6 5 ：1 6 5 1 9 0 1 2 0 z h a n gs h o u c h u a n ，c h e nh u i x i a n g 、t h ed o u b l eb i c r o s s p r o d u c t si nb r a i d e d t e n s o r lc a t e g o r i e s 、c o r m n u n i c a t i o n si na l g e b r a 、2 0 0 l 、2 9 (