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课时训练31 正方形限时:30分钟夯实基础1不能判定四边形是正方形的是()A对角线互相垂直且相等的四边形B对角线互相垂直的矩形C对角线相等的菱形D对角线互相垂直平分且相等的四边形2如图K311,边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起,连接BD并延长交FG于点P,则DP等于()图K311A22 B42 C2 D13xx仙桃如图K312,正方形ABCD中,AB6,G是BC的中点将ABG沿AG对折至AFG,延长GF交DC于点E,则DE的长是()图K312A1 B15 C2 D254xx德阳如图K313,将边长为3的正方形绕点B逆时针旋转30,那么图中阴影部分的面积为()图K313A3 B3 C33 D3325xx福清模拟在矩形ABCD中,再增加条件(只需填一个)可使矩形ABCD成为正方形6xx深圳如图K314,四边形ACDF是正方形,CEA和ABF都是直角且E,A,B三点共线,AB4,则阴影部分的面积是图K3147xx武汉以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE,则BEC的度数是8如图K315,BD为正方形ABCD的对角线,BE平分DBC,交DC于点E,将BCE绕点C顺时针旋转90得到DCF若CE1 cm,则BFcm图K3159xx青岛如图K316,已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AEDF2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为图K31610xx陕西如图K317,已知:在正方形ABCD中,M是BC边上一定点,连接AM请用尺规作图法,在AM上求作一点P,使DPAABM(不写作法,保留作图痕迹)图K317能力提升11xx天津如图K318,正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1,点F,G分别在边BC,CD上,P为AE的中点,连接PG,则PG的长为图K31812xx北京如图K319,在正方形ABCD中,E是边AB上的一个动点(不与点A,B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EHDE交DG的延长线于点H,连接BH(1)求证:GFGC;(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明图K319拓展练习13xx台州如图K3110,在正方形ABCD中,AB3,点E,F分别在CD,AD上,CEDF,BE,CF相交于点G若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为23,则BCG的周长为图K311014xx龙岩质检如图K3111,边长为6的正方形ABCD中,E,F分别是AD,AB上的点,APBE,P为垂足(1)如图,AFBF,AE23,点T是射线PF上的一个动点,则当ABT为直角三角形时,求AT的长(2)如图,若AEAF,连接CP,求证:CPFP图K3111参考答案1A 2B3C解析 连接AEABG沿AG对折至AFG,ABAF,GBGF3四边形ABCD是正方形,ABADAFAE是公共边,RtAFERtADE(HL)DEEF设DEx,则EFDEx,GEx3,CE6x在RtCGE中,由勾股定理得CG2CE2GE232(6x)2(x3)2解得x2故选C4C解析 由旋转可知1430,2360BAMBCM90,ABBC,BMBM,RtABMRtCBM,2330在RtABM中,AB3,230,则AMtan30AB1SABMSBMC32,S阴影S正方形(SABMSBMC)3-35ABBC(答案不唯一)68解析 四边形ACDF是正方形,ACAF,CAF90,CAEBAF90,CEA是直角,CAEACE90,ACEBAF,则在ACE和FAB中,AECABF90,ACEBAF,ACAF,ACEFAB(AAS),ABCE4,阴影部分的面积SABC12ABCE12448730或150解析 如图,ADE是等边三角形,DEDA,DEA160四边形ABCD是正方形,DCDA,290CDE150,DEDC,312(180150)15同理可求得415BEC30如图,ADE是等边三角形,DEDA,1260四边形ABCD是正方形,DCDA,CDA90DEDC,330,412(18030)75同理可求得575BEC360245150故答案为30或1508(22)9342解析 四边形ABCD是正方形,ABADBCCD5,BADDC90又AEDF,ABEDAF,DAFABE,ABEBAG90,BGFBGA90在RtBCF中,CF3,BC5,BF523234在RtBGF中,点H为BF的中点,GH12BF34210解:如图所示,AM与DG的交点即为满足条件的点P作法如下(题目不要求写作法,以下步骤可省略):以点D为圆心,以任意长为半径画弧交AM于E,F两点,分别以E,F为圆心,以大于12EF长为半径画弧,两弧交于点G,作直线DG交AM于点P,则点P即为所求点115解析 如图所示,延长GE交AB于点N,过点P作PMGN于M由正方形的性质可知ANABBNABEF2,NEGNGEBCFC2根据点P是AE的中点及PMAN,可得PM为ANE的中位线,所以ME12NE1,PM12AN1,因此MG2根据勾股定理可得PGPM2MG2512解:(1)证明:连接DF,如图:点A关于直线DE的对称点为F,DADF,DFEA90DFG90四边形ABCD是正方形,DCDADF,CDFG90又DGDG,RtDGFRtDGC(HL)GFGC(2)如图,在AD上取点P,使APAE,连接PE,则BEDP由(1)可知12,34,从而由ADC90,得222390,EDH45又EHDE,DEH是等腰直角三角形DEEH1AED5AED90,15DPEEBH(SAS)PEBHPAE是等腰直角三角形,从而PE2AEBH2AE13315解析 正方形ABCD中,AB3,S正方形ABCD329,阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为23,空白部分的面积与正方形ABCD的面积之比为13,S空白3,四边形ABCD是正方形,BCCD,BCECDF90CEDF,BCECDF(SAS),CBEDCF,DCFBCG90,CBEBCG90,即BGC90,BCG是直角三角形,易知SBCGS四边形FGED32,SBCG12BGCG32,BGCG3,根据勾股定理得:BG2CG2BC2,即BG2CG29(BGCG)2BG22BGCGCG292315,BGCG15,BCG的周长BGCGBC31514解:在正方形ABCD中,DAB90在RtBAE中,tanABEAEAB23633,ABE30(1)分三种情况:当点T在AB的上方,ATB90时,显然此时点T和点P重合,即ATAP12AB3当点T在AB的下方,ATB90时,如图所示在RtAPB中,由AFBF,可得:AFBFPF3,BPFFBP30,BFT60在RtATB中,TFBFAF3,FTB是等边三角形,TB3,ATAB2BT233当点T在AB下方,ABT90时,如图所示在RtFBT中,BFT60,BF3,BTBFtan6033在RtABT中,ATAB2BT237综上所述:当ABT为直角三角形时,AT的长为3或3
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