内蒙古中考数学重点题型专项训练 二次函数综合题.doc

二次函数综合题类型一与角度有关的问题1.抛物线yx22x3与x轴交于点A，B(A在B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求直线BC的解析式；(2)抛物线的对称轴上存在点P，使APBABC，利用图求点 P 的坐标；(3)点Q在y轴右侧的抛物线上，利用图比较OCQ与OCA 的大小，并说明理由第 1 题图解：(1)当y0时，得0x22x3，解得x11，x23，B 点的坐标为(3，0)，当 x0，得 y3，即 C 点坐标为(0，3)，设直线 BC 的解析式为 ykx3(k0)，将点 B(3，0)代入得03k3，解得 k1，直线 BC 的解析式为 yx3；(2)由(1)可知OBOC3，BOC 为等腰直角三角形，ABC45，抛物线对称轴为 x1，设抛物线对称轴交直线 BC 于点 D，交 x 轴于点 E，当点 P 在 x 轴上方时，如解图，第 1 题解图APBABC45，且 PAPB，PBA1804567.5，2DPB12APB22.5，PBD67.54522.5，DPBDBP，DPDB，在 RtBDE中，BEDE2，由勾股定理可得，BD22，PE222，P(1，222)；当点 P 在 x 轴下方时，由对称性可知 P 点坐标为(1，222)，综上可知，抛物线的对称轴上存在点 P,使APB=ABC，P点坐标为(1，222)或(1，222)；（3）如解图，作点A关于y轴对称的点F，点 F 的坐标为(1，0)，则OCAOCF，设直线 CF 的解析式为 ykxb，把点 C(0，3)，F(1，0)代入求得 k3，b3，则直线 CF 的解析式为 y3x3，y3x3联立yx22x3，x10解得 y13，x25y212，直线 CF 与抛物线的交点坐标为(0，3)、(5，12)，第1题解图设点 Q 的坐标为(a，a22a3)，当 0a5 时，OCFOCQ，则OCAOCQ；当 a5时，OCFOCQ，则OCAOCQ；当 a5时，OCFOCQ，则OCAOCQ.类型二线段及周长问题1. 如图，抛物线y14x2bxc的图象过点A(4，0)，B(4，4)，且抛物线与 y 轴交于点 C，连接 AB，BC，AC.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的点，求PBC周长的最小值及此时点 P 的坐标；(3)若E是线段AB上的一个动点(不与A、B重合)，过E作y轴的平行线，分别交抛物线及 x 轴于 F、D 两点.请问是否存在这样的点 E，使 DE2DF？若存在，请求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.第 1 题图解：(1)抛物线y14x2bxc的图象经过点A(4，0)，B(4，4)，116 + 4b+c= 014b =，2 1，解得 16 - 4b+c= -4c =24抛物线的解析式为 y14 x212 x2；（2）由抛物线y14x212x2 可得其对称轴为直线x1211，点 C 的坐标为(0，2)，2 (4)如解图，作点 C 关于对称轴 x1的点 C，则 C的坐标为(2，2)，连接BC；即 BC (2 + 4)2+ (2 + 4)262，BC与对称轴的交点即为所求点 P，连第 1 题解图接 CP，此时PBC 的周长最小设直线 BC的解析式为 ykxm，点 B(4，4)，C(2，2)， 2k+m= 2，解得 k =1，-4k+m= -4m =0直线 BC的解析式为 yx，将 x1代入 yx，得 y1，点 P 坐标为(1，1)BC 42+ (2 + 4)2= 213 .PBC 的周长为 CPBCPBBCBC，PBC 周长的最小值为21362；(3)由点A(4，0)，B(4，4)可得直线AB的解析式为y12x2，设点E(x，12x2)，其中4x4，则F(x，14 x212x2)，DE|12x2|212x，DF|14 x212x2|，当 212x12x2x4，即点F位于x轴上方，解得 x11，x24(舍去)，将 x1代入 y1x 2，得到y5，E(1，5)，222当 212x12x2x4，即点F位于x轴下方，解得 x13，x24(舍去)，将 x3代入 y12x2，得到 y72，E(3，72)综上所述：点 E 的坐标为：(1，52)，(3，72)2.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 yx4与 x 轴交于点 A，过点 A 的抛物线 yax2bx与直线 yx4交于另一点 B，且点 B 的横坐标为1.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是线段AB上一个动点(点P不与点A、B重合)，过点P 作 PMOB 交第一象限内的抛物线于点 M ，过点 M 作MCx 轴于点 C，交 AB 于点 N，过点 P 作 PFMC 于点 F，设 PF 的长为 t，求 MN 与 t 之间的函数关系式(不要求写出自变量 t 的取值范围)；当 MN 取最大值时，连接 ON，直接写出sinBON 的值第 2 题图解：(1)yx4与x轴交于点A，A(4，0)，点 B 的横坐标为1，且直线 yx4经过点 B，B(1，3)，抛物线 yax2bx 经过 A(4，0)，B(1，3)，16a+ 4b= 0， 3a + b =a = -1解得 .b =4抛物线的解析式为 yx24x；(2)如解图，作BDx轴于点D，延长MP交x轴于点E，第 2B(1，3)，A(4，0)，OD1，BD3，OA4，AD3，ADBD，BDA90，BADABD45，MCx 轴，ANCBAD45，PNFANC45，PFMC，FPNPNF45，NFPFt，PFMECM90，第 2 题解图PFEC，MPFMEC，MEOB，MECBOD，MPFBOD，tanBODtanMPF，ODBDMFPF3，MF3PF3t，MNMFFN，MN3tt4t；如解图，作 BGON 于 G 点，第 2 题解图当过点 M 的直线与直线 AB 平行且与抛物线只有一个交点时， MN 取最大，设与 AB 平行的直线 yxb，当x24xxb；即 x25xb0，25254b0，解b4 .25直线 yx4，抛物线 yx24x 与 yx254的交点 M(52，154)，N 点的横坐标为52，N 点的纵坐标为52432，即 N(52，32 )，ON 的解析式为 y53 x，BGON，5设 BG 的解析式为 y3 xb，将 B(1，3)代入 y5xb，解得 b14，335 14BG 的解析式为 y3 x3，y =3xx =35517联立514 ，解得21 ，y = -x + y =331735 21即 G(17，17)由勾股定理，得 OB 12+ 32 10 ，BG (1735-1)2+ (1721- 3)261734，634sinBONBG17 685 .OB10853 如图，抛物线yx2bxc过点A(3，0)，B(1，0)，交 y 轴于点 C，点 P 是该抛物线上一动点，点 P 从 C 点沿抛物线向 A 点运动(点 P 不与点 A 重合)，过点 P 作 PDy 轴交直线 AC 于点 D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；(3)在抛物线对称轴上是否存在点M，使|MAMC|最大？若存在，请求出点 M 的坐标，若不存在，请说明理由解：(1)抛物线yx2bxc过点A(3，0)，B(1，0)，9 + 3b+c= 0b =4， ，解得 1+b+c= 0c =3抛物线解析式为 yx24x3；(2)令x0，则y3，点 C(0，3)，则直线 AC 的解析式为 yx3，设点 P(x，x24x3)，PDy 轴，点 D(x，x3)，39PD(x3)(x24x3)x23x(x2)24，a10，当 x32时，线段 PD 的长度有最大值94；(3)由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，MAMB，由三角形的三边关系，|MAMC|BC，当 M、B、C 三点共线时，|MAMC|最大，即为 BC 的长度，设直线 BC 的解析式为 ykxm(k0)，k + m =0k = -3，则 ，解得 m =3m =3直线 BC 的解析式为 y3x3，抛物线 yx24x3的对称轴为直线 x2，当 x2时，y3233，点 M(2，3)，即抛物线对称轴上存在点 M(2，3)，使|MAMC|最大类型三 面积问题1.如图，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于A、B两点，与 y 轴交于点 C(0，3)，且此抛物线的顶点坐标为 M(1，4)(1)求此抛物线的解析式；(2)设点D为已知抛物线对称轴上的任意一点，当ACD与ACB 面积相等时，求点 D 的坐标；(3)点P在线段AM上，当PC与y轴垂直时，过点P作x轴的垂线，垂足为 E，将PCE 沿直线 CE 翻折，使点 P 的对应点 P与 P、E、C 处在同一平面内，请求出点 P坐标，并判断点 P是否在该抛物线上第 1 题图解：(1)抛物线yax2bxc经过点C(0，3)，顶点为 M(1，4)，c =3a = -1bb = -2-= -1， 2a，解得 a - b + c =4c =3所求抛物线的解析式为 yx22x3.(2)令yx22x30，解得x3或x1，故 A(3，0)，B(1，0)AB4，OAOC3，AOC 为等腰直角三角形直线 AC 的解析式为 yx3，如解图，设 AC 交对称轴 x1于点 F(1，yF)易得 yF2，故点 F(1，2)设点 D 坐标为(1，yD)，则 SADC12|DF|AO|12|yD2|3.又 SABC1|AB|OC|1436.第 1 题解图22由12|yD2|36 得：|yD2|4，故 yD2或 yD6.点 D 坐标为(1，2)或(1，6)(3)如解图，点P为点P关于直线CE的对称点过点 P作 PHy 轴于点 H，设 PE 交 y 轴于点 N.在EON 和CPN 中CNP = ENOCPN = EON =90，故CPNEON(AAS)CNEN，设 NCm，则 NEm，第 1 题解图易得直线 AM 的解析式为 y2x6，当 y3时，x32，故点 P(32，3)PCPC32，PN3m，在 RtPNC中，由勾股定理，得(32)2(3m)2m2，解得 m158，则3m98.即 CN158，PN98，SPNC12|CN|PH|12|PN|PC|，PH109.由CHPCPN 可得CHCP=CPCN，故 CHCPCN265.OH36595，P的坐标是(109，95)将点 P(109，95)的坐标代入抛物线解析式，等式不成立，所以点 P不在该抛物线上2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数yx22x8的图象与一次函数 yxb 的图象交于 A、B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的纵坐标为7.点 P 是二次函数图象上 A、B 两点之间的一个动点(不与点 A、B 重合)，设点 P 的横坐标为 m，过点 P 作 x 轴的垂线交 AB 于点 C，作 PDAB 于点 D.(1)求b及 sinACP的值；(2)用含m的代数式表示线段PD的长；(3)连接PB，线段PC把PDB分成两个三角形，是否存在适合的 m 值，使这两个三角形的面积之比为12？如果存在，直接写出 m 的值；如果不存在，请说明理由第 2 题图解：(1)当y0时，x22x80，x12，x24.点 A 在 x 轴负半轴上，A(2，0)，OA2，点 A 在一次函数 yxb 的图象上，2b0，b2，一次函数表达式为 yx2，如解图，设直线 AB 交 y 轴于点 E，则 E(0，2)，OEOA2，AOE 为等腰直角三角形，AEO45，PCx 轴交 AB 于点 C，PCy 轴，AEOACP45，sinACPsin45 22；第 2 题解图(2)点P在二次函数yx22x8图象上且横坐标为m，P(m，m22m8)，PCx 轴且点 C 在一次函数 yx2的图象上，C(m，m2)，PCm23m10，PDAB 于点 D，在 RtCDP中，sinACPPDPC22，PD22 m2322 m52 ；(3)存在，m的值为1或2.理由如下：如解图，分别过点 D、B 作 DFPC，BGPC，垂足分别为 F、G.sinACP 22，cosACP 22，又FDPACP，cosFDP 22，在 RtPDF中，DF22PD12m232m5，点 B 纵坐标为7，且点 B 在直线 AB：yx2上，点 B(5，7)，BG5m，P 不与 A、B 两点重合，2m5，当SDPCDDF1时，解得 m11或 m25(舍)SDPBCBG2当 SDPCDDF2 时，解得m12 或m25(舍)，SDPBCBGm 的值为1或2.3.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)、B(1，0)、C(5，0)，其对称轴与x轴相交于点M.(1)求抛物线的解析式和对称轴；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PAB的周长最小？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使NAC 的面积最大？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由第 3 题图解：(1)设抛物线的解析式为ya(x1)(x5)(a0)，把点 A(0，4)代入上式，解得 a54，y54 (x1)(x5)54x2245x454 (x3)2165，抛物线的对称轴是直线 x3.(2)存在，P点坐标为(3，85)理由如下如解图，连接 AC 交对称轴于点 P，连接 BP，BA，点 B 与点 C 关于对称轴对称，PBPC，第 3 题解图CPABABAPPBABAPPCABAC，此时PAB 的周长最小，设直线 AC 的解析式为 ykxb(k0)，把 A(0，4)，C(5，0)代入 ykxb 中，b =44k =5 ，得 ，解得 5k+b= 0b =4直线 AC 的解析式为 y45x4，点 P 的横坐标为3，y453485，P 点坐标为(3，85)(3)在直线AC下方的抛物线上存在点N，使NAC面积最大，理由如下：如解图，设 N 点的横坐标为 t，第 3 题解图此时点 N(t，45t2245t4)(0t0)的图象与x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，且 OBOC3，顶点为 M.(1)求二次函数的解析式；(2)点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为 Q，若 OQm，四边形 ACPQ 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数解析式，并写出 m 的取值范围；(3)探索：线段BM上是否存在点N，使NMC为等腰三角形？如果存在，求出点 N 的坐标；如果不存在，请说明理由第 3 题图解：(1)OBOC3，B(3，0)，C(0，3)，0 = -9 + 3b+cb =2， ，解得 3 =cc =3二次函数的解析式为：yx22x3；(2)如解图所示，连接AC，yx22x3(x1)24，则 M(1，4)，设直线 MB 的解析式为 ykxn，4 =k+n，则有 0 = 3k+nk = -2，解得 n =6直线 MB 的解析式为 y2x6，PQx 轴，OQm，第 3 题解图点 P 的坐标为(m，2m6)，S 四 边 形ACPQ SRtAOC S 梯 形PQOC 1AOCO 1(PQ22CO)OQ 121312(2m 63)m m292 m 32(1m3)；71621010(3)线段 BM 上存在点 N(，)，(2，2)，(1，4)5555使NMC 为等腰三角形理由如下：如解图，连接 MC，由于 N 是直线 BM 上一点，由(2)知：直线 BM 的解析式为：y2x6，因此设 N(x，2x6)且1x3，由勾股定理可得：CM (1 - 0)2+ (4 - 3)2= 2 ，CN x2+(-2x +3)2，MN(x-1)2+ (-2x+ 2)2，当 NCCM 时， x2+(-2x +3)2 2 ，解得 x175，x21(舍去)，此时 N(75，165)；当 MNCM 时， (x-1)2+ (-2x+ 2)2 2 ，解得 x11 510，x21 510(舍去)，此时 N(1 10 ，4210 )；55当 CNMN 时，x2+(-2x +3)2 (x-1)2+ (-2x+ 2)2，解得 x2，此时 N(2，2)类型五特殊四边形的存在问题1.如图，抛物线yx2bxc经过A(1，0)，B(3，0)两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E，连接 BD.(1)求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；(2)点P是线段BD上一点，当PEPC时，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，过点P作PFx轴于点F，G为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F、M、N、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标第 1 题图备用图解：(1)抛物线yx2bxc经过A(1，0)，B(3，0)两点，-1 -b+c= 0b =2， 0，解得 -9 + 3b+c=c =3经过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式为 yx22x3；(2)如解图，连接PC、PE.抛物线对称轴为直线 x2ba21，2（1）当 x1时，y1234，点 D 坐标为(1，4)，第1题解图设直线 BD 的解析式为：ymxn，m = -2将 B、D 分别代入表达式，解得n=6，则 y2x6，设点 P 的坐标为(x，2x6)，C(0，3)，E(1，0)，由勾股定理可得 PC2x23(2x6)2，PE2(x1)2(2x6)2，PCPE，x2(32x6)2(x1)2(2x6)2，解得 x2，y2262，点 P 坐标为(2，2)；(3)依题意可设点M的坐标为(a，0)，则G坐标为(a，a22a3),如解图，以 F、M、N、G 为顶点的四边形是正方形时，必有 FMMG，|2a|a22a3|，2a(a22a3)，解得 a1 21 ，22aa22a3，解得a第 1 题解图3 13，2M 点的坐标为(121，0)，(1 +21，0)，(313，0)，222( 3+ 13 ，0)22.如图，抛物线yax23xc经过A(1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在第一象限的抛物线上，且点P的横坐标为t，过点 P 向 x 轴作垂线交直线 BC 于点 Q，设线段 PQ 的长为 m，求 m 与 t 之间的函数关系式，并求出 m 的最大值；(3)在(2)在条件下，m的最大值为抛物线上点D的纵坐标(D不与 C 重合)，在 x 轴上找一点 E，使点 B、C、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出 E 点坐标第 2 题图解：(1)抛物线yax23xc经过A(1，0)，B(4，0)两点，a -3+ c =016a+12 +c= 0 ，解得：a1，c4.抛物线的解析式为 yx23x4.(2)将x0代入抛物线的解析式得：y4，C(0，4)设直线 BC 的解析式为 ykxb.4k+b= 0，解得：k1，b将 B(4，0)，C(0，4)代入得：= 4b4，直线 BC 的解析式为：yx4.过点 P 作 x 的垂线与直线 BC 交于点 Q，如解图：第 2 题解图点 P 的横坐标为 t，P(t，t23t4)，Q(t，t4)PQt23t4(t4)t24t.mt24t(t2)24(0t4)当 t2时，m 的最大值为4；(3)点E为(1，0)或(7，0)【解法提示】将 y4代入抛物线的解析式得：x23x44.解得：x10，x23.点 D 与点 C 不重合，点 D 的坐标为(3，4)又C(0，4)，CDx 轴，CD3.当 BECD3时，B、C、D、E 为顶点的四边形是平行四边形点 E(1，0)或(7，0)13.如图，抛物线y4x2bxc经过原点O和点A(4，0)(1)求该抛物线的函数解析式；(2)若该抛物线的对称轴交x轴于点B，抛物线顶点为C，点P 为抛物线上任意一点，设点 P 的横坐标为 x，当 SABP1时，请求出满足条件的所有的点 P 的坐标；(3)点M为抛物线对称轴上一个动点，点N为平面内任一点，能否满足以 M、N、A、C 为顶点的四边形为菱形，若满足，请直接写出 M 点的坐标；若不满足，请说明理由第 3 题图解：(1)抛物线y14x2bxc经过原点O和点A(4，0)，y14x(x4)，即 y14x2x.(2)如解图，由题意，抛物线对称轴为直线x2，B(2，0),又A(4，0)，AB2，SABP1，1AB|yP|1，212|yP|1，2|yP|1，第 3 题解图yP1，当 yP1时，代入 y14x2x 中解得：x222 ；当 yP1时，代入 y14x2x 中解得：x2，P1(22 2，1)，P2( 22 2，1)，P3(2，1)；(3)M1(2， 5 1)；M2(2， 5 1)；M3(2，1)；M4(2，32)【解法提示】如解图，连接 AC，A(4，0)，B(2，0)，点C 是抛物线 y14x2x 的顶点，C(2，1)，AC 5 ，以 M、N、A、C 为顶点的四边形为菱形时，分两种情况讨论：、当 AC 为菱形的边时：第 3 题解图四边形 ACM1N1为菱形，AM1、CN1为对角线，ACCM1 5 ，BM1 5 1，M1的坐标为(2， 5 1)；四边形 ACM2N2为菱形，AM2、CN2为对角线，AC 5 ，ACCM2 5 ，BM2 5 1，M2的坐标为(2， 5 1)；四边形 ACN3M3为菱形，CM3、AN3为对角线，且根据抛物线和菱形的对称性得：N3与 O 点重合，CBBM31，M3的坐标为(2，1)；、当 AC 为菱形的对角线时，D 为 AC 中点，四边形 AN4CM4为菱形，AC 5 ，5CD2，SACM412ABCM412ACDM4，设 CM4长为 x，122x25 x2-(25)2，解得 x52.BM4CM4132，M4的坐标为(2，32)综上所述，存在点 M，点 M1(2，5 1)；M2(2， 5 1)；M3(2，1)；M4(2，32)类型六 三角形相似问题1. 如图，直线yx3与x轴，y轴分别相交于点B、C，经过 B、C 两点的抛物线 yax2bxc 与 x 轴的另一个交点为 A，顶点为 P，且对称轴为直线 x2.(1)求该抛物线的解析式；(2)连接PB、PC，求PBC的面积；(3)连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由第 1 题图解：(1)yx3与x轴、y轴相交于B、C两点，C(0，3)，B(3，0)，抛物线的对称轴为：x2，可设二次函数的解析式为：ya(x2)2k(a0)，3 = 4a+k把 B(3，0)、C(0，3)两点代入，得，0 =a+ka =1解得， k= -1 ，抛物线的解析式为：y(x2)21，即 yx24x3.(2)yx24x3(x2)21，P(2，1)，又B(3，0)、C(0，3)，PC 2 2+ 4 2 20 25 ，PB (3 - 2)2+12 2 ，BC 3 2+ 3 2 18 32 ，又PB2BC221820，PC220，PB2BC2PC2，PBC 是直角三角形SP