（基础数学专业论文）广义复空间形式的某些子流形的研究.pdf

广义复空间形式的某些子流形的研究 摘要 本文主要研究了广义复空间形式中双斜子流形，半斜子流形，半不变子流形及斜 子流形的内蕴不变量和外蕴不变量之间的关系，分别得到了子流形的关于r i c c i 曲率与 平均曲率以及平均曲率与一个黎曼不变量两个不等式。并研究等号成立的充要条件。 全文共分四部分，第一节是预备知识，第二节讨论了a l m o s th e r m i t i a n 流形的双 斜子流形，半斜子流形，半不变子流形及斜子流形的定义，研究了它们的之间的关系 及性质。第三节介绍了广义复空间形式的定义及性质。第四节着重介绍了广义复空间 形式中的子流形，计算了子流形的硒c c i 曲率张量，推广了f 1 1 中的关于复空间形式的斜 子流形的一个结果，分别得到了广义复空间形式的双斜子流形，半斜子流形，半不变 子流形及斜子流形的r i c c i 曲率与平均曲率之间的不等式，并研究了不等式等号成立时 的充要条件。最后建立了一个关于广义复空间形式的双斜子流形，半斜子流形，半不 变子流形及斜予流形的平均曲率和一个黎曼不变量之间的不等式关系。 关键词：r i c c i 曲率；平均曲率；广义复空间形式；子流形 广义复空间形式的某些子流形的研究 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w es t u d yt h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h ei n t r i n s i ci n v a r i a n t sa n dt h e e x t r i n s i ci n v a r i a n t so fb i s l a n ts u b m a n i f o l d s ，s e m i s l a n ts u b m a n i f o l d s ，s e m i - i n v a r i a n ts u b m a n i f o l d sa n ds l a n ts u b m a n i f o i d si ng e n e r a l i z e dc o m p l e xs p a c ef o r m s w o b t a i nt w o i n e q u a l i t i e s ，o n ei sa b o u tr i c e ic u r v a t u r ea n dm e a nc u r v a t u r e ，t h eo t h e ri s a b o u tm e a 3 l c u r v a t u r ea n dar i e m a r m i a ni n v a r i a n t t h ec o n d i t i o n sa r ea l s os t u d i e du n d e rw h i c ht h e 1 e f ta n dr i g h tp a r t so ft h ei n e q u a l i t i e s & r ee q u a l f o u rs e c t i o n sa r ei n c l u d e di nt h e p a p e r s e c t i o no n e d e v o t et os o m e p r e l i m i n a r i e s w e s t u d yt h eb i - s l a n ts u b m a n i f o l d s ，s e m i s l a n ts u b m a n i f o l d s ，s e m i i n v a r i a n ts u b m a n i f o l d sa n d s l a n ts u b m a n i f o l d si ns e c t i o nt w o t h ed e f i n i t i o no fg e n e r a l i z e dc o m p l e xs p a c ef o r r n si s i n c l u d e di ns e c t i o nt h r e e s e c t i o nf o u ri sm a i n l ya b o u tt h es u b m a n j f o l d si ng e n e r a l i z e d c o m p l e xs p a c ef o r m sf i r s tw es t u d yc u r v a t u r eo p e r a t o ra n dr i c c ic u r v a t u r et e n s o ro ft h e s u b m a n i f o l d si ni t t h e na ni n e q u a l i t ya b o u tr i c a ic u r v a t u r ea n dm e a nc u r v a t u r ei sg i v e n s oi st h ec o n d i t i o n so fe q u a l i t y f i n a l l yw eo b t a i na l li n e q u a l i t ya b o u tm e a d _ c u r v a t u r e a n dar i e m a n n i a ni n v a r i a n ti nt h i ss e c t i o n k e y w o r d s ：r i c c ic u r v a t u r e ；m e a nc u r v a t u r e ；g e n e r a l i z e dc o m p l e xs p a c ef o r y l l s ；s u b - m a n i f o l d s u 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研工作及取 得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学 或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：弛日期：盈屯世 广义复空闻形式的某些子流形的研究 前言 子流形理论是微分几何的重要组成部分，最初，微分几何学是研究三维欧氏空间 的曲线和曲面的形状，并寻求藉以确定它们的形状的完全不变量系统，通过深入研究 欧氏空间中的曲面的形态，f g a u s s 发现，曲面的g a u s s 曲率由它的第基本形式完全 确定。从此，研究曲面的第一基本形式决定的几何学便称为一个中心议题。黎曼几何 学起源于w r i e m a n n 对g a u s s 的思想在高维情况的推广。对黎曼几何学来说，子流形 的理论仍然是重要的，首先，许多重要的黎曼流形都是作为已经熟悉的空间( 如欧氏 空间，球面等) 的予流形出现的；而且欧氏空间的微分几何学仍然是研究黎曼几何的 最主要的参照物。此外，在一个黎曼空间( 即黎曼流形) 中，子流形的形态是千奇百 怪的，其中也有许多“好”的，具有某种特殊性质的子流形；他们的存在性，唯一性 和几何性质，以及它们的构造方法和相互联系一直是几何学家关注的研究课题。可以 说，在这方面的研究工作与关于黎曼流形本身的研究相比较显得更加多姿多彩，子流 形的几何学已经成为内容十分丰富的分支学科，其中包括许多重要的课题。 建立子流形上主要的内蕴不变量与外蕴不变量之间的简单关系是子流形理论的一 个重要而有意义的研究内容。内蕴不变量指由第一基本形式决定的量，主要包括截面 曲率，r i c c i 曲率，数量曲率等，而外蕴不变量指由第二基本形式决定的量，主要包括 平均曲率和形状算子等。 a l m o s th e r m i t i a n 流形的子流形理论是一个非常有意思的课题，在a l m o s th e r m i t i a n 流形中，它的近复结构j 把切空间中的一个向量映成和它垂直的向量，也许是由 于近复结构对切空间中的向量有这种作用，自然促使人们对其子流形进行研究。有两 类我们熟悉的子流形，一种是不变子流形，另一种是反不变子流形( 或称全实子流 形) ，前者的切空间中的向量在近复结构j 的作用下仍处于该子流形自身的切空间中， 后者的切空间中的向量在近复结构j 的作用下被映到该子流形的法空间中。 自从b y c h e n 将不变子流形和反不变子流形进行推广，引进斜浸入以来( f 2 1 ) ，斜 浸入子流形的研究得到迅速的发展，人们开始研究a l m o s th e r m i t i a n 流形，切触度量 流形，k - c o n t a c t 流形和s a s a k i a n 流形的斜子流形，得到许多相关结果。n p a p a g h i u c 在f 3 】中对a l m o s th e r m i t i a n 流形定义了斜分布，引进了半斜子流形的概念，从而促使 人们引入更加一般的双斜予流形的概念。 常形式的概念是a g r a y 首先g 寸n e a r l y k a e h l e r i a n 流形提出来的( f 4 1 ) ，接着l v a n h e c k e 在【5 中对r k 流形引进常形式，并给出具有常曲率c 和常形式n 的r 皿流形府( c ，n ) ，并计 算其黎曼曲率张量r f x ，r ) z 满足： 4 r ( x ，y ) z = ( c + 3 a ) 口( z ) x g ( x ，z ) y 1 + ( c 一吐) 9 ( x ，j z ) j y 一9 ( y 】j z ) j x + 2 9 ( x ，j y ) j z 而f t r i c e r r i 和l v a n h e c k e 推广了上述概念，定义了黎曼曲率张量更具一般性质的广义 复空问形式m ( ，1 ，2 ) ( f 6 ) ，其黎曼曲率张量矗( x ，y ) z 满足： r ( x ，y 1 z = f 口( y z ) x 一口( x ，z l y 广义复空间形式的某些子流彤的研究 + ，2 g ( x ，j z ) s v 一9 ( j z ) j x + 2 9 ( x ，j y ) j z v x ，z t 肪其中，l 和，2 是厨的光滑函数。通过定义我们知，当，1 = f 2 = c 时，广 义复空间形式m ( ，2 ) 就是复空间形式m ( 4 c ) b y c h e n 在1 7 中得到了复空间形式砑( c ) 的l a g r a n g i a n 子流形的m c c i 曲率和平均 曲率之间的一个不等式，在f 1 1 中作者们沿藿这个思路，研究复空间形式中的斜子流形 的r i c c i 曲率和平均曲率，得到定理： 定理2 1 ( 1 ”设廊( 4 c ) 是具有常全纯截面曲率4 c 的m 维复空间形式，m 是府( 4 c ) 的一 个n 维斜子流形，那么我们有： ( i ) 对任意单位向量x b m ， r , c ( x ) 竿 1 日1 1 2 + ( 佗一1 ) c + 3 c c o s 2 目( 1 ) t ( i i ) 若日= 0 ，使得( 1 ) 式等号成立当且仅当x p 。 ( i i i ) 对于p 点的任意单位切向量x ，( 1 ) 式等号都成立当且仅当点p 是全测地点或当n = 2 时，p 是全脐点。 本文将上述结果推广至广义复空间形式厨( ，如) 中的斜子流形，得到结论： 定理4 3 ，5 设m 是2 m 维广义复空间形式厨( 1 ，2 ) 的如定义( 2 1 1 ) 的一个n 维斜子流 形，那么我们有： ( i ) 对任意单位向量x 露m ， r i c ( x ) 5 ”- f i h i l 2 + ( 佗一1 ) 十3 f 2 c o s 2 口 ( 2 ) t ( i i ) 若h ( p ) = 0 ，使得( 2 ) 式等号成立当且仅当x p 。 ( i i i ) 对于p 点的任意单位切向量x ，( 2 ) 式等号都成立当且仅当点p 是全测地点或当n = 2 时，口是全脐点。 不仅如此，我们还研究了广义复空间形式肠( ，1 ，2 ) 的双斜子流形，半斜子流形， 半不变子流形的相应的结果( 定理4 3 2 ，定理43 3 ，推论4 3 4 ) 。 本文共分四部分，第部分预备知识，其中包括本文要用到的黎曼流形和其子 流形的概念和定理并且介绍了a l m o s th e r m i t i a n 流形及复空间形式的相关概念。由 于广义复空间形式是+ 一类特殊的a l m o s th e r m i t i a n 流形，我们在第二节介绍了a l m o s t h e r m i t i a n 流形的双斜子流形，半斜予流形，半不变子流形，斜子流形的定义及它们 之问的关系，得到了所要研究的子流形的些性质，为研究广义复空间形式的子流形 作准备。第四节是本文的主要部分，首先证明了关于曲率算子对子流形的切空间作用 的不变性的定理( 命题4 1 1 ，定理4 1 2 ) ，然后利目高斯方程得到广义复空间形式予 流形的r i c c i 曲率张量的表达式( 定理4 2 2 ，定理4 2 3 ，推论4 2 4 ) 。接着，推广1 冲 的定理2 1 ，得定理4 3 2 ，定理4 3 3 ，推论4 3 4 ，定理43 5 。最后利用8 1 的一个关于平 均曲率与数量曲率的一个关系证明了广义复空间形式中双斜子流形，半斜子流形， 2 广义复空间形式的某些子流形的研究 半不变子流形及斜子流形的平均曲率与一个黎曼不变量之间的不等式( 定理4 4 3 ，定 理44 4 推论4 4 5 ，定理4 4 6 ) 。 3 广义复空间形式的某些子流形的研究 1 预备知识 1 1 黎曼流形及黎曼子流形 设m 是个m 维光滑流形，如果在m 上存在个( 0 ，2 ) 型的对称，正定的光滑张 量场9 ，使得对于任意点p m ，切空间昂彤可看成具有度量绵的欧氏向量空间，即对任 意x ，y 正m ，g n 满足： ( 1 1 对称性： 夕p ( x ，y ) = 昂( k x ) f 2 ) 正定性： 弗( x ，x ) 0 ( 2 ) 式等号成立当且仅当x = 0 ，称g 是m 上的一个黎曼度量指定一个黎曼度量的光滑流 形m 称为黎曼流形，记为( m ，9 ) 设f ：m 是光滑流形间的光滑映射，p m ，如果切映射 岛：b m 一巧妇) 是单射，则称映射，在p 点是浸入，如果，在每一点都是浸入，则称i ，是浸入映射，简称 浸入。此时，称映射f ：m - + 为的( 浸入) 子流形。 设( m ，9 ) ，( n ，h ) 分别是两个黎曼流形，对于z m ，若存在浸入，：m - 使得 g ( x ，y ) = 危( x ， y ) 对于任意x ，y 互m 成立，其中 是，的在z 点的切映射，那么称浸入，在点。是等距 的。若浸入_ ，在每一点都是等距的，那么，称为等距浸入。 设m 是一个m 维光滑流形，疋( m ) 为m 上的光滑向量场空间，m 上的一个仿射联络 是个映射 v ：c o 。( m ，r m ) g 。( m ，t m ) - g 。( m ，t m ) ( x ，y ) 一v x y 使得对于任何x ，k z c o 。( m ，丁m ) 和任意，h c 。( m ) ，满足以下条件： ( i ) v ，x + h v z = f v x z + h v y z ( i i ) v x ( f y + h z ) = ( x f ) y + f v x y + ( x h ) z 4 - h v x z 设( m ，9 ) 是一一个m 维光滑流形，m 上的黎曼联络v 是个仿射联络，它除了满足仿 射联络的( i ) ( i i ) 外，还满足： ( i i i ) v x y v y x = 【x ，y 】 ( i v ) x ( k z ) = ( v 肖k z ) + y ，v x z ) 其巾( ，) 表示关于g 的内积。 黎曼联络也称l e v i c i v i t a 联络 、般说来，光滑流形上的联络不是唯 定理1 1 1 ( 黎曼几何基本定理) 在 络v 。 的，但是有下面定理： 个c 2 黎曼流形( m ，g ) 上存在唯一的黎曼联 4 ，。义复空问形式的某些子流形的研究 设( m ，9 ) 是黎曼流形，v 是它的仿射联络，算子r 瞵，y ) = v x v y v y v x v x ，y 称为仿射联络v 的曲率算子。由下式定义： r ( x ，y ) ：伊。( m ，t m ) + c 0 。( m ，丁m )( 1 1 ) n ( x ，y ) z = v x ( v y z ) 一v y ( v x z ) 一v x ，z i z( 1 2 ) 由( 1 2 ) 所定义的( 1 ，3 ) 型光滑张量场r 称为仿射联络空间( m ，v ) 的曲率张量( 场) 。 特别地，对于黎曼流形( m ，9 ) 来说，它具有唯一的黎曼联络v ，它的曲率张量称为黎 曼流形( m ，g ) 或度量g 的曲率张量，命 r ( x ，z ，w ) = g ( n ( z ，) y j x ) 惯，z ，w t p m 4 称为p 点的黎曼曲率张量。由上式定义的( 0 ，4 ) 型张量场r 称为黎曼流形( m ，9 ) 的黎曼曲 率张量场。 命题1 1 2 黎曼流形( m ，9 ) 的黎曼曲率张量具有下列性质： 反对称性： r ( x ，z ，w ) = - n ( y x ，z ，w ) r ( x ，y z ，w ) = 一r ( x ，f 彬z ) 第一b i a n c h i 恒等式： n ( x ，y ，z ，w ) + r ( z ，眠x ) + r ( 1 眦r x ，z ) = 0 对称性： r ( x ，k z ，w ) = r ( z ，w x ，y ) 对任意的x ，z ，w t m 设( m ，g ) 是黎曼流形，p m ，x ，y 是耳m 中二个线性无关的向量，他们张成b m f l p 的二维子空间e ，e b m 称为在p 点由x 和y 张成的平截面。 设e 0 m 是。一个平截面，x ，y 为e 中任意两个线性无关的向量，则 础) = 而蒜等端丽 称为黎曼流形( m ，9 ) 在p 点关于平截面e 的截面曲率。可证明( f ) 仅与e l m 有关， 而与x ，y 在e , o 选取无关。 定理1 1 3 若d i m m = 2 ，则截面曲率即为m 的g a u s s 曲率；若d i m m 3 ，则m 在p 点 的黎曼曲率张量由其在| p 点的所有的平截面的截面曲率唯一确定。 若黎曼流形( m ，g ) 的截面曲率玛( e ) 既与平截面e 无关，也与点p m 无关，恒为 常数c 时，则称( m ，9 ) 是具有常截面曲率c 的黎曼流形，简称为常曲率空间。 定理1 1 4 ( fs c h u r ) 设( m ，g ) 是m ( 3 ) 维连通黎曼流形，如果对于任意点p 肘，m 在点p 沿任意的二维截面的截面曲率是常数k ( p ) ，即截面曲率只是光滑流形朋上 的光滑函数k = k ( p ) ，则k ( p ) 必定是常值函数，因而是常曲率空问。 完备连通的常曲率黎曼流形称为空问形式 5 广义复空间形式的某些子流彤的研究 截面曲率为c 的常曲率黎曼流彤( m ，g ) 的黎曼曲率张量可表示为： 冗( w jz ，x ，y ) = c ( ( w j x ) ( z ，y ) 一( - 配y ) ( z ，x ) ) 设 e 圹一，e r r ，是n 维黎曼流形( m ”，g ) 局部坐标域y 上的标准正交切标架场，m 的r i c e i 率张量场s 是映射： s ：c ”( m ，t m ) xc 。( m ，t m ) _ + c 。( m ，r ) s ( x ，y ) = r ( x ，勺，y e j ) 显然，s ( x ，y ) = s x ) ，且s 是双线性映射，即s 是m 上的二阶对称协变张量场。 设单位切向量场x c * ( m ，t m 】 1 ) r i c ( x ) = s ( x ，x ) 称为关于切方向x 的r i c c i 曲率。 2 ) 在( m “，g ) j z p 点 n i c ( x ) ( p ) = e r ( x ，勺，x ，e ) ( p ) 称为p 点关于切方向咒r i c c i 率 定理1 1 5n 维黎曼流形( m ”，g ) 的n i c c i 曲率张量场与标准正交基e 一，8 。的选取无 关。 n 维黎曼流形( m ，g ) 的数量( 或纯量) 曲率由下式定义： 2 r = r i c ( e ，) = r ( e i , e j 舟，勺) 。 j 仁= l 定理1 1 6n 维黎曼流形( m ”，口) 的数量曲率与标准正交h e l ，e n 的选取无关。 设x 是耳m 的一截面l 的一个单位切向量场，取l 的一一组标准正交基 e e k 使 得8 】= x 定义l 的沿x 方向尉c c f 曲率为 r i c z ( x ) = k 1 2 + k 1 3 + + 凰女( 1 3 ) 其中k j 表示由e 。，e j 张成的平截面的截面曲率，我们称这样的曲率为一r i c c i 率。 定义k 一截面上的纯量曲率r 为 r ( 工) = 1 9 0 ) 复欧几里德空间c “( c = o ) ，复双曲空1 自t g ( c ) ( c 0 ) 1 0 广义复空间形式的某些子流形的研究 2a l m o s th e r m i t i a n 流形的子流形 2 1 子流形的定义 本文主要研究广义复形式空间中各种子流形的性质，由于广义复空间形式是一哥十 特殊的a l m o s th e r m i t i a n 流形，所以我们先介绍a l m o s th e r m i t i a n 流形的各种子流形的 定义及性质。 a l m o s th e r m i t i a n 流形的斜子流形由b y c h e n 在2 1 中给出： 定义2 1 1 设m 是a l m o s th e r m i t i a n 流形m 的一个子流形，如果对任意p m 及非 零切向量x t o m ，j x 和切空间弓m 之间的夹角都是常数( = 目) ，而与p m 和x e m s 选取无关那么我们称m 是a l m o s th e r m i t i a n 流形髓的斜角为0 的斜子流形。 当日= 0 ，我们称m 是m 的不变子流形 当日= ；，我们称m 是m 的反不变子流形，或全实子流形。 作为斜子流形的一种推广，p a p a g h i u c n 在【3 】中引进a l m o s th e r m i t i a n 流形的半斜 子流形。为了定义半斜子流形，他先在f 3 1 中引进了斜分布的定义。 定义21 2 设m 是a l m o s th e r m i t i a n 流形m 的一个等距浸入，d 是m 的一个可微分。 布，若对任意z d 。，j x 和向量空间d 。的夹角是一个常数( = 8 ) ，而与x m 和x d 。 的选取无关，那么d 称为m 上的一个斜分布，这个恒定的夹角目称为斜分布d 的斜角。 有了斜分布的概念，下面定义a l m o s th e r m i t i a n 流形的半斜子流形。 定义2 1 3a l m o s th e r m i t i a n 流形尬的子流形m 称作府的半斜子流形，如果m 上存 在两个正交分布d 1 和d 2 满足： 1 ) t m = d 1 0 d 2 2 ) 分布d 1 是j 一不变的，即，d 1 d 1 3 ) d 2 是斜角为口( 口0 ) 的斜分布。 为以后说明方便，我们记d l = d i m d l ，d 2 = d i m d 2 定义21 4a l m o s th e r m i t i a n 流形窗的子流形m 称作廊的半不变子流形，如果m 上 存在两个正交分布d 1 和d 2 满足： 1 ) 丁m = d x 0 d 2 2 ) 分布d l 是j 一不变的，即l ，d 1 d 1 3 ) j d 2 t 1 m 注：由定义知，半斜子流形m 的斜角口= ；时，即为半不变子流形。 将半斜子流形的概念作进一步推广得到双斜子流形。 定义2 15a l m o s th e r m i t i a n 流形m 的予流形m 称作厨的双斜子流形，如果m 上存 在两个正交分布d 1 和d 2 满足： 广义复空间形式的某些子流彤的研究 1 ) t m = d 1 0 d 2 2 ) 分布d 。是斜角为吼的斜分布，i = 1 ，2 为以后说明方便，我们记d l = d i m d l ，d 2 = d i m d 2 2 2 子流形间的关系 m 是a l m o s th e r m i t i a n 流形m 如定义2 1 5 的双斜子流形，若d 1 d 2 = 0 ，则m 是m 的 斜子流形；若0 1 = 0 ，0 2 0 ，则m 是m 的半斜子流形。 m 是a l m o s th e r m i t i a n 流形m 如定义2 1 3 的半斜子流形，若0 ；：，则m 是府的半不 变子流形；若d 1 = 0 ，则m 是m 的斜子流形；若d l = 0p = ；，则m 是府的反不变子流 形；若d 2 = 0 ，则m 是m 的不变子流形。 m 是m m o s th e r m i t i a n 流形m 如定义2 1 1 的斜子流形，若0 = o ，则m 是髓的不变子 流形；若目= ；，则m 是m 的反不变子流形。 2 , 3 子流形的性质 设m 是一个a l m o s th e r m i t i a n 流形厨的子流形，和g 分别是其上的近复结构与h e r r n i t i a n 度 量，对任意x t m ，令j x = p x + f x ，其中p x t m ，f x t 1 m ，v a g ( j x ，y ) = 一目( x ，l ，y ) v x ，y 丁m 我们得到 o ( p x ，y ) = 一g ( x ，p y ) 9 ( f x ，y ) = 一g ( x ，f y )( 2 1 ) 设m 是a l m o s th e r m i t i a n 流形厨的n 维半斜或双斜子流形，d l 和d 2 是m 两个正交 分布从而有r m = d 1 0 d 2 不妨设d l = s p a n e x ，e d ，) ，d 2 = s p a n e d l 十1 ，e d l + d 2 ) 其中d i m d l = d l ，d i m d 2 = d 2 ，d 1 + d 2 = n 命题2 3 ，1 设m 是a l m o s th e r m i t i a n 流形庸的双斜子流形， ( i ) e i d 1 则9 2 ( j e i ，e j ) = c o s 20 1 j 。1 n ( i i ) e i d r y , q 9 2 ( j e ，勺) = c o s 2 0 2 ，= d 1 + 1 ( i i i ) g ( j x ，y ) = 0 ，v x d 1 ，y d 2 ，贝u 9 2 ( j e i ，e j ) = d l c o s 20 1 + d 2 c o s 2 岛 仁1 j = i 证明：( i ) ( i i ) 由双斜子流形的定义可直接得到。 1 2 勺 虺 扩 。趟。计 + 勺 儿 矿 。州 血河 呵 儿 铲 。博 。 勺 弛 矿 。 + 昆 矿 出纠 血 = 墨墨窒璺墅垄塑茎些煎翌塑篓壅 + 9 2 ( j e ，e j ) + 9 2 ( d e j ) = d lc o s 20 1 + d 2c o s 2 日2 ( i i i ) 得证。 命题2 3 2 设m 是a l m o s th e r m i t i a n 流形府的n 维半斜子流形， ( i ) q d l 则9 2 ( ，e 。e j ) = 9 2 ( j e ；，e ，) = l _ ( i i ) e l d 2 l j 9 2 ( ，e ，勺) = t ，e j ) = ( i i i ) - - j ，勺) = 1 十2 2 9 2 ( j e c o s 2 0 9 2 ( j e l ddc o s0 证明：( i ) 由半斜子流形的定义知分布d l 是j 不变的，当e d 1 时， 9 2 ( j e l , 勺) = 9 2 ( j 8 鹕) = 1 j = l ，盅1 ( i i ) 由于d 2 是斜角为p 的斜分布，当e i d 2 时， 9 2 ( l ，e 甜j ) = c o s 2 0 j = d i + 】 又 d ld 1 9 2 ( l ，岛一) = 9 2 ( e j ) = 0 i = 1 ，= 1 两式相加得 9 2 ( l ，e 。，e j ) = c o s 2 目 j = 1 ( i i i ) n8 d l “* ” 9 2 ( 儿，e ，) = 9 2 ( 旭，e j ) + 妻g 。( 地一) 一1j 一1 o = l ，= 1i = d l + 1f = l = d 1 + d 2 c o s 20 命题2 3 3 设m 是a l m o s th e r m i t i a n 流形厨的阿维半不变子流形， ( i ) e t d 1 则9 2 ( 儿，勺) = 9 2 ( g e “，) = 1 ( i i ) e i d 2 则9 2 ( j e i ，e j ) = 9 2 ( j e ；，e j ) = 0 ，= d 1 + 1 j = l ( i i i ) 9 2 ( j e ；，e 5 ) = d 1 证明：由半不变子流形的定义知，半不变子流形是半斜子流形的斜角目：；时的特 殊情况，将口= ；代入命题( 2 3 2 ) 可得命题( 2 3 3 ) 命题2 3 4 设m 是a l m o s th e r m i t i a n 流形庸的斜子流形， 1 3 广义复空闻形式的某些子流彤的研究 ( i ) 对任意龟t m 有9 2 ( j e ；，勺) = ( 2 0 8 2 0 j = 1 nn ( i i ) 9 2 ( j e 。，e j ) = n c o s 2 日 证明：由斜子流形的定义可得( i ) ( i i ) 。 命题23 5 设m 是a 1 m o s th e r m i t i a n 流形庇如定义( 3 1 4 ) 的半不变子流形，全实 分布d 2 是可积的当且仅当 d q ，z ) = 0 ，v y , z d 2x t m 证明对任意x ，y ，z t m ，由于 d n ( x ，k z ) = v x ( q ( k z ) ) 一n ( v x z ) 一n ( v x z ) = v y ( q ( x ，z ) ) 一n ( v y x ，z ) 一f 2 ( x ，v y z ) = v g ( q ( x ，y ) ) 一f l ( v z x ，y ) 一n ( x ，v z y ) ( 2 2 ) 我们有 3 d q ( x ，z ) = x n ( z ) + y n ( x ，z ) + z f l ( x ，y ) 一n ( 【x ，y ，z ) 一q ( z 】，x ) 一n ( z ，x ，y ) = g ( 孔j x ) = - g ( j y , z ，x )( 23 ) 得证。 设m 是a l m o s t h e r m i t i a n 流形府的如定义( 2 1 4 ) 的半斜子流形，正：正分别是d 1 ，d 2 上 的投影算子，记p 1 = 墨只是= 噩，p 命题2 ，3 ，6 设m 是a l m o s th e r m i t i a n 流形府的半斜子流形，则 ( i ) 9 ( j x l ，托) = g ( x 1 ，j 而) = 0v x l d 1 ，x 2 d 2 ( i i ) f x i = 0 ，v x a d 1 ( i i i ) j x l = p x l = 尸1 x 1v x l d 1 ( i v ) p x 2 = p 2 砭w 屯d 2 证明：( 1 ) 由半斜子流形的定义知对任意x 1 d 1 ，尥d 2 , 9 ( j x l ，局) ：0 ，又因 为9 ( j x l ，尥) = - g ( x 1 ，j x e ) ，可得( i ) ( 2 ) 由于j d l d 1 t m 知对任意x l d 1 f x l = 0 ，得m ) ( 3 ) 对任意x 1 d 1 ，j x l = p x l + f x l 由( i i ) 得j x l = p x 】 任取x l d 1 ，x 2 d 2 由g ( p x l ，尥) = g ( j x l ，玛) 及( i ) 得g ( p x l ，肠) ：0 & p x l d l ，从而有尸1 。磁= p 噩，得( i i i ) ( 4 ) 对任意x l d a ，恐d 2 ，9 ( x 1 ，p x 2 ) = 一g ( p x l ，恐) = o 知 p d 2 ，从而有尸2 托= p x 2 ，得( i v ) 命题2 3 7 设m 是一+ a l m o s th e r m i t i a n 流形廊的子流形，对任意x ，y t m ，有 g ( p 2 x ，y ) = 9 ( x ，p 2 y ) 1 4 墨墨窒塑受壅堕薹些至鎏翌堕堡壅 证明 g ( j ( p x ) ，y ) = 一9 ( p x ，j y ) = 一目( p x ，p y ) ( 2 4 ) g ( x ，j ( p y ) ) = 一g ( j x ，p y ) = 一g ( p x ，p y ) ( 2 5 ) 由上面两式得g ( j ( p x ) ，y ) = 9 ( x ，l ，( p y ) ) ，又因为 g ( j ( p x ) ，y ) = a ( p 2 x ，y ) g ( x ，j ( p y ) ) = g ( x ，p 2 y ) 知，g ( p 2 x ，y ) = g ( x ，p 2 y ) v x ，y t m 命题2 3 8 设m 是a l m o s th e r m i t i a n 流形厨的斜子流形当且仅当存在常数a 【0 ，1 ， 使得p 2 x = 一a xv x t m 成立。 证明先证明必要性，由命题( 2 3 7 ) 知 9 ( p 2 x ，y ) = g ( x ，p 2 y ) v x ，y r m 故p 2 是对称线性算子，从而可对角化，我们有 t m = d ：- 【。o o d ：* 1 2 ( 2 6 ) 其中d ：舭j = k e r ( p 2 + a i i ) 。ie ( 1 ，耐，一方面， g ( p 2 x ，x ) = 9 ( 一九扛) x ，x ) = 一九( = ) l i x l l 2 v xed ：2 ( 。 ( 2 7 ) 另一方面，对任意x 瓦m ，由斜子流形的定义知 g ( p 2 x ，x ) = 一g ( p x ，p x ) = 一h p x i l 2 = 一i i j x l l 2c o s 2 目= 一i i xl 1 2c o s 2o ( 2 8 ) 由( 2 7 ) ( 2 8 ) 得 九( 。) = c o s 2 9( 2 9 ) 由( 2 9 ) 及斜子流形的定义知h ) 是【o ，1 1 上的常数，记九扛) = a ，由于 咒m = k e r ( p 2 + a n 。 知p 2 x = 一a xv x t m 成立。 下面证明充分性：若存在常数a 0 ，1 】，使得 p 2 x = 一a xv x t m 成立。则 c o s o ( x ) = 湍揣一蹁褊= 勰( 2 1 0 ) 又 c o s 峭) = 嬲= 钎 ( 2 1 1 ) 得 c o s 2e ( x 1 = a 由于os o ( z ) ，知目( x ) = a r c c o s 、a ，由斜子流形定义知m 是斜子流形。 】5 广义复空间形式的某些子流形的研究 命题2 3 9 设d 是m 上的一个分布，若d 是斜分布当且仅当存在一+ 个常数a f 0 ，1 1 使 得 f t p ) 2 x = 一 xv x d 成立。其中t 是d 上的投影算子。 更进一步说，若d 是斜角是0 的斜分布，那么a = c o s 20 设m 是a l m o s th e r m i t i a n 流形m 的如定义( 2 1 5 ) 的双斜子流形，乃，马分别是d l ，d 2 上 的投影算子记p 1 = 丑- p 】尸2 = 正p 设m 是a l m o s th e r m i t i a n 流形m 盘口定- 2 ( 2 1 5 ) 的双斜子流形，由命题( 2 3 9 ) 可得： 砰x = 一c o s 20 i x ii = l ，2x t d i 命题2 3 1 0 设m 是a l m o s th e r m i t i a n 流形m 的半斜子流形当且仅当存在常数a ( 0 ，1 1 ，使得 1 ) d = x dip 2 x = 一入x ) 是一个分布， 2 1v x t m ，x d 1 有f x = 0 证明首先证必要性，若m 是半斜子流形，由定义知存在正交分布d ，和d 2 使 得t m = d lod 2 成立，其中d 1 是l ，不变分布，d 2 是斜角为0 的斜分布。令a = c o s 2 目，由 命题f 23 9 ) 知必要性成立。 充分性：w d f i 3 p 2 ( p y ) = p i p 2 y ) = 一a ( p y ) 知p y d ，从而荆x d 1 及y d 知 g ( j x ，y ) = 一g ( x ，j y ) = 一9 ( x ，p y ) = 0 所以，( d 1 ) d 1 ，这说n d l 是一个j 一不变分布。再由命题( 3 3 ，9 ) 知，d 是个斜分 布，且斜角0 满足a = c o s 20 故m 是半斜子流形。 设m 是a l m o s th e r m i t i a n 流形庇的半斜子流形， g ( p x ，尸疋y ) = c o s 28 9 ( x ，乃y ) 由命题( 2 3 9 ) 及命题( 2 3 6 ) 的( i i ) i f ( i i i ) 知 v x ，y 耳m( 2 1 2 ) g ( f x ，p 疋y ) = s i n 2 8 9 ( x ，t 2 y ) v x ，y 瓦m 命题2 3 1 1 设m 是a l m o s th e r m i t i a n 流形髓的双斜子流形，其斜角满足8 1 如果g ( j x ，y ) = 0v x d 1 ，y d 2 ，那么m 是一个斜子流形。 证明由9 ( j x ，y ) = 0v x d l ，y d 2 知，d 1 ，d 2 均是p 一不变的 即 jp x l = 尸l x 】d 1 锻d 】 lp x 2 = p 2 x 2 d 2v x d 2 由双斜子流形的定义知 c o s 2 ”雠= 饼v x i ed i ( 2 1 3 ) 0 2 = 0 ， ( 21 4 ) 广义复空问形式的某些子流形的研究 因为8 l = 如= 日得 c o s 2 如= 搿= 群v 恐咄 p x l l l 2 = l i j x a i l 2c o s 2 目v x l d 1 p x 2 1 1 2 = | i j x 2 j 2c o s 2 日v x 2 d 2 对v x t m ，由于x = 乃x + 咒x = x 1 + 磁知 0 尸x 旷9 ( p x ，p x ) j x j l 2 9 ( y x ，j x ) g ( p x l + p x 2 ，p x x + p x 2 ) g ( j x l + j x 2 ，j x l + j x 2 、 l l p 五1 1 2 + l t p x 2 1 1 2 i l j 而+ i i j x 2 1 1 2 将f 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 代入知 竖巡：c o s 2 0 | l j x 旷 由因为0s 日；，由定义知m 是斜角是目斜子流形。 1 7 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 广义复空间形式的某些子流形的研究 3 广义复空间形式的定义 个a l m o s th e r m i t i a n 流形府的黎曼曲率张量矗如果是，一不变的，即有 - 商( j x ，j y ，z ，j ) = k ( x ，v z ，w ) ，x ，z ，w t s t 成立，那么庸称为r k 一流形。i s 所有的n e a r l yk a e h l e r i a n 流形都是r k 一流形。 个流形的常形式是由a g r a y 在