（计算数学专业论文）寿险精算学关于保费厘定的研究.pdf

飞， at h e s i si nc o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s r !|f!ff俐幽f删i|f胁ffffi|舢 y 18 4 3 1 。3 芎 a c t u a r i a ls c i e n c eo f l i f ei n s u r a n c e 一一s t u d y a b o u tm a k i n gf e e so fi n s u r a n c e b yy a op e n g s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rz h a n gt i e n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j a n u a r y2 0 0 8 ry 0 一i、 -1j一j i - k l l 独创性l 声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 = 正 恧。 学位论文作者签名：趣匕朋鸟 h 日期：矽7 i , , i - 厶 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： 、1 东北大学硕士学位论文摘要 寿险精算学关于保费厘定的研究 摘要 保险精算学是精算师、应用数理统计学的专业人士所研究和应用的- - i - j 学科，它基 于概率理论，主要研究金融和保险。寿险保费的定价直接关系到保险公司的盈利。本文 以保费的定价为主要研究对象，在介绍现有的利息理论、保费的基本知识和厘定保费的 多种方法的基础上提出了一种新的计算保费的方法并给出了相应的理论分析，其主要内 容如下： 介绍t n 息理论和随机利率的概念和计算方法，根据历史资料分析了利息的未来趋 势。 说明了保费的特点并列举了传统的厘定保费的多种方法。 提出了一套新的厘定保费的理论：建立了“等价年缴保费 的概念，构造了新的数 学模型，根据人的心理讨论并拟合出两个针对客户心理的模拟函数，得出使保险公司利 益最大化的保费计算方法。 关键词：寿险；精算；利率；保费；利润 i l 东北大学硕士学位论查 2 塑塑生 ： 一。一 a c t u a r i a ls c i e n c eo fl i f ei n s u r a n c e 一s t u d ya b o u tm a k i n g f e e s n o li n s u r a n c e a b s t r a c t t h ea c t u a r i a ls c i e n c ei sa p p l i e db ya c t u a r i e sa n dt h es p e c i a l i s t so fa p p l i c a t i o ns t a t i s t i c s b a s e do nt h et h e o r yo fp r o b a b i l i t y ，i tm a i n l yc o n c e n t r a t e so nf i n a n c ea n di n s u r a n c e t h a th o w t od e c i d et h ef c ef o rl i f ei n s u r a n c eh a sd i r e c tr e l a t i o n s h i pw i t ht h ep r o f i to fi n s u r a n c ec o m p a n y t h i sa r t i c l em a i n l yd i s c u s s e st h ef e ef o ri n s u r a n c e ，a f t e ri n t r o d u c i n gt h ep r e s e n t i n t e r e s tt h e o r y t h eb a s i ck n o w l e d g ea n dm a n ym e t h o d so fm a k i n gf e e s ，m e n t i o nan e wt h e o r yf o r t h ef e e s ， t h em a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w ： i n t r o d u e et h ec o n c e p ta n dc a l c u l a t i o nm e t h o d so fi n t e r e s tt h e o r ya n dr a n d o mi n t e r e s t ， a n a l y z et h ef u t u r et e n d e n c yo f i n t e r e s t i l l 眦i n a t et h ec h a r a c t e r i s t i c so ff e ea n dl i s tt h et r a d i t i o n a lm e t h o d so fm a k i n g t h ef e e c o m eu pw i t han e wt h e o r yo fm a k i n gt h ef e e ：s e tu pac o n c e p t o fe q u i v a l e n ty e a r l yf e e ， c o n s t n l c tar l e wm a t h e m a t i cm o d e l ，d i s c u s sa n dc o n s t r u c tt w os i m u l a t i v ef u n c t i o n s f r o m p e o p l e ，sm e n t a l i t y ，g e tt h em e t h o do fm a k i n gt h e f e ew h i c hb r i n g st h em o s tp r o f i t sf o r i n s u r a n c ec o m p a n y k e yw o r d s ：l i f ei n s u r a n c e ；a c t u a r i a ls c i e n c e ；i n t e r e s t ；f e eo f i n s u r a n c e ；p r o f i t v v i ， 东北大学硕士学位论文 目 录 目录 独创性声明i 摘要i i i a b s t r a c t v 第一章利息理论1 1 1 禾i j 息1 1 1 1 利息的定义1 1 1 2 影响利息的因素一1 1 1 2 1 本金1 1 1 2 2 时期1 1 1 2 3 通货膨胀。1 1 1 2 4 风l 硷1 1 1 3 支付利息的方式2 1 1 3 1 期末支付2 1 1 3 2 期初支付2 1 1 4 计算利息的方法2 1 1 4 1 单利法2 1 1 4 2 复利法2 1 2 贴现率与利息率2 1 3 现金流量的现值和终值计算3 第二章随机利率4 2 1 随机利率的定义。4 2 2 基本模型4 2 3 说明。4 第三章保费的计算7 3 1 保费的概念和计算基础7 3 1 1 保费的概念7 3 1 2 对保费的剖析7 3 1 3 保费的计算特点和原则8 3 2 趸缴纯保费的计算9 3 3 定期缴纳的均衡纯保费。1 0 3 3 1 自然保费和均衡保费1 0 3 3 2 均衡纯保费计算的一般原理1 1 v i i 目录 3 3 3 死亡保险的年均衡纯保费1 1 3 4 费用负荷毛保费的计算1 2 3 4 1 费用分析1 2 3 4 2 均衡费用负荷毛保费的计算1 3 3 5 毛保费的计算。1 3 3 6 毛保费率一1 3 3 6 1 现有附加保费精算模型1 3 3 6 1 1 固定比率模型1 3 3 6 1 2 变动比率模型1 4 3 6 1 3 三元素模型1 4 3 6 2 附加保费精算模型的改进1 4 3 7 风险附加1 6 3 8 总结17 第四章经济学观点的保费计算方法18 4 1 经济学观点及其数学描述一1 8 4 2 经济学观点在寿险精算中的应用1 9 第五章制定储蓄型保险总保费的新方法2 1 5 1 引言2 1 5 1 1 背景介绍2 1 5 1 2 传统计算方法的缺陷2 1 5 2 实例分析。2 1 5 2 1 构建模型2 2 5 2 2 确定函数2 3 5 2 2 1 等价年缴保费2 3 5 2 2 2 构造函数2 4 5 - 3 关于本章计算的说明一2 7 参考文献31 致谢3 3 v i i i 东北大学硕士学位论文第一章利息理论 1 1 利息 第一章利息理论 1 1 1 利息的定义 利息可以定义为使用资本的代价或报酬。资本使用者不一定拥有资本的所有权，他 可借入资本来使用。对资本借入者来说，利息就是因他使用资本借出者的资本而支付给 后者的代价。对资本借出者来说，利息就是他暂时转让资本的使用权而从资本借入者处 得到的报酬。例如，银行需支付存款人一定利息，因其在存款期间可自由使用存款人的 资本。存款人得到利息，是因其在存款期间内转让了资本的使用权。 1 1 2 影响利息的因素 1 1 2 1 本金 用来生息的资本( 即初始投资的资本) 以货币计量时，就称作本金。过了一定时期 后收到的总金额成为积累值或终值( 假定资本数额的任何变化都是由利息的效应所造成 的，即假设在投资期间不再加入或抽出本金) 。终值和本金之间的差额就是投资其间内 的利息金额。在其它因素不变的情况下，本金越多，可得到的利息就越多。 1 1 2 2 时期 在理论上，投资的时间可用许多不同的单位来度量，如日、月、年等。最常用的是 一年。在其它因素不变的情况下，使用资本的时期越长，可得到的利息也就越多。 1 1 2 3 通货膨胀 通货膨胀越严重，货币的贬值就越厉害，此时对资本的使用就应得到较高的利息。 如果不考虑风险因素的话，一般所说的利息率实际上是单纯由时间因素引起的资本增值 和由通货膨胀引起的资本增值共同作用的结果。可见，对未来通货膨胀率的预期会影响 到利息率的大小。 1 1 2 4 风险 在经济生活中，存在着各种各样的风险因素，如国家经济政策的变化、资本市场的 波动等，它们将影响使用资本得到的收益。一般来说，“高风险，高收益：低风险，低 收益，使用资本的风险越大，就应期望获得越多的收益，即利息越多，作为对高风险 因素的补偿；使用资本的风险越小，期望获得的收益就越少，即利息越少。正因为风险 的存在，对资本进行投资并不一定获得增值，有时资本可能会贬值，也就是说利息有可 能为负。 从投资的角度来看，我们可将投资回报率( 即利息率) 分为三部分：投资回报率= 1 厂= 二 第一章利息理论 式中，风险利息率指单纯由风险因素引 胀引起的资本增值。 1 1 3 支付利息的方式 1 1 3 1 期末支付 这是常见的支付利息的方式，又称滞后利息。设在期初投入l 单位货币资本，则在 期末可收回资本l + f ，f 即为这一时期的利息率，简称利率。 1 1 3 2 期初支付 这种支付利息的方法不太常见，又称预付利息，它是在投入资本之时即获得利息。 设在期初投入1 单位资本，以d 表示该方式下获得的预付利息率( 又称“贴现率”) ， 则投资者期初实际投入的资本为l d ，到期末时，该投资者可收回资本。 1 1 4 计算利息的方法 1 1 4 1 单利法 该法仅对本金生息，而对产生的利息不再生息。 设第一年年初的本金为a ( o ) ，第f 年的利率为砸) ，则第r 1 年的年末的资本额为 a ( n ) = 么( 0 ) 【1 + 羽) + f ( 2 ) + + f ( f ) 】，第k 年的利息额为i ( k ) = a ( o ) i ( k ) ，刀年内利息总额 为a ( n ) - 4 ( o ) = 彳( o ) 【f ( 1 ) + f ( 2 ) + + f ( f ) 】。 若各年的利率相同，均为f ，则刀年后的资本总额、第k 年的利息额及刀年内的利息 总额分别为a ( n ) = 彳( o ) ( 1 + n i ) ，( 后) = 爿( o ) f ，a ( n ) - a ( o ) = a ( o ) n i 。 1 1 4 2 复利法 该法不仅对本金生息，还对产生的利息生息( 即利息自动再投资) 。设第一年年初 的本金为a ( o ) ，第f 年利率为f ( f ) ，则第一年年末的资本额为彳( o ) 【l + 羽) 】，这是第二年 年初时可以投资的资本，于是第二年末的资本额为彳( o ) 【1 + 砸) 】 1 + f ( 2 ) 】，则第拧年年末 时的资本总额为彳( 刀) = 彳( o ) 1 + 以) 】 若各年的利率相同，均为f ，则九年后的资本总额、第k 年的利息额及r 1 年内的利息 总额分别为 彳( 以) = a ( 0 ) 0 + f ) ”，( 七) = 彳( 0 ) ( 1 + f ) 一】f ，彳( 刀) 一彳( 0 ) = 么( 0 ) 【( 1 + f ) ”一1 】 1 2 贴现率与利息率 令d 为实际的年贴现率，若某人投资了金额c ，将立刻被记入d c 的利息，而投资 额c 将在年末回收，该投资者将利息d c 按同样的条件投资，又将获得附加的利息 d ( d c ) = d 2 c ，并在此年末回收追加的投资额。继续投资所得的利息又将产生的附加利 息d d ( d c ) 】d 3 c ，如此以往，重复上述过程至无穷，则作为投资初始本金c 的回报， - 2 - - - l 东北大学硕士学位论文 第一章利息理论 该投资者在年末将获得总金额为c + d c + d 2 c + 2 芒 等价的实际年利率由下式给出：f 1 j 2 1 + f ， i pd 2 南在年末应付的利息是年初可付利息的累计值 或江南若投资1 货币单位的资金，则d 便是年末待付利息f 的折现值 定姗归舞为积累因子州，) _ 等n n n n 子 1 3 现金流量的现值和终值计算 要想在，时刻得到资本a ( o ) a ( t ) ，需在时刻0 时投入彳( o ) 的资金，我们把4 ( ，) 称作 彳( o ) 在时刻，时的终值，把彳( o ) 称作彳( ，) 在0 时刻的现值。可见，现值与终值是相对而 言的。若已知彳( ，) ，则它在0 时刻的现值为a ( o ) = a ( t ) v ( t ) 以上考虑的是单一的支付( 或称投入) 的情况，对于多个投入的情况。我们称在不 同时间上发生的一系列的资本投入为现金流量。 设在时刻0 ( = 1 ，2 ，咒) 时投入的资本为q ，则这一间断的现金流量在时刻0 时的 现值为e z ( o ) = q v ( 0 ) ，其中p v ( t ) 表示现金流量在时刻f 时的值。即现金流量在某时 刻的现值等于各资本投, , v f f n - - 时刻的现值之和；若资本是连续投入的，设p ( t ) 为时刻 f 时的资本投入率，则在( o ，丁) ( 丁 0 ) 时间内的连续现金流量在时刻0 时的现值为 e v ( o ) 2 上v ( t ) p ( t ) d t 。 若现金流量是由连续投入部分和不连续投入部分组成，则该现金流量在0 时刻的现 f f l np v ( o ) = j c r v ( f ) p ( ，) d t + 圭q v ( 1 ) 我们还可以在现值基础上求现金流量的终值。根据贴现因子的定义，可知间断的现 金流量在时刻，时的终值为q v ( t y ) i v ( t ) ，连续的现金流量在时刻，时的终值为 rv ( f ) p ( ，) 衍( ，) 。 r v ( f ) 肌) 魂+ 芝q v 于是一般的现金流量在时刻，时的终值为_ 币f l 。 - 3 第二章随机利率 第二章随机利率 2 1 随机利率的定义 在许多公式中，我们都假设利率是常数，这样是为了计算方便，但是许多经济行为 都是长期的，这期间，政府政策、经济周期因素都会造成不确定性，即带来一定的风险。 因此，采用固定利率可能会带来与其与实际的较大偏差。为了减少不确定性，常采用比 较保守的固定利率基础。当然也可以采用随机利率模型，在该模型中，利率不再被看作 固定的常量，而是被视为随机变量，此时这种利率称为随机利率i l l 。 2 2 基本模型 考虑时间段 0 ，聆】，我们将它分为连续的刀个阶段： o ，1 1 1 1 ，2 】， n - 1 ，力】。仍以 附) o = l ，2 ，刀) 表示第r 年的利率，令最表示所投入资本在时刻甩时的累积值。设 砸) ( ，= 1 ，2 ，玎) 独立同分布，令研稚) 】_ 六v a r i ( t ) 】- s 2 ，则e l i ( t ) 2 】- j 2 + s 2 。 若仅在时刻o 时投入1 单位资本，则最= 1 + 羽) 1 + f ( 2 ) 】【1 + f ( 珂) 】，且显然 最= ( 1 + 最一，) 【l + f ( 刀) 】。它的各阶原点矩为 e ( 磷) = e 【1 + f ( 1 ) r 【l + f ( 2 ) 】2 【1 + f ( 疗) r ) = e ( 1 + f ( f ) 】七) ) ” 特别地， e ( 最) = e 1 + 砸) 】 ”= ( 1 + ，) ” e ( $ ) = e 【l + f ( f ) 】2 ) ) ”= e 【1 + 2 f o ) + f ( f ) 2 】) ”= ( 1 + 2 j + j 2 + s 2 ) ” v a r ( s n ) = e ( 等) 一e ( 咒) 2 = ( 1 + 2 j + j 2 + s 2 ) ”一( 1 + ，) 2 2 3 说明 我们使用随机利率模型只是从理论上进行分析，将利率看成是与时间相关的变量， 但历史表明使用随机利率模型也有欠准确： 我国一年期定期整存整取存款利率( 以下均同，简称存款利率) 自1 9 4 9 年8 月l o 日至1 9 9 9 年6 月1 0 日，共有3 3 次变动，其间有升有降。 1 9 4 9 年8 月1 0 日至1 9 5 0 年4 月9 日期间，储蓄存款利率曾高达2 5 2 ( 一年期定 期存款利率，下同) 。1 9 5 0 年4 月1 0 日至1 9 5 0 年1 0 月2 0 日，利率有过三次调整， 自1 5 2 调至8 6 4 ，并再调到3 4 8 。1 9 5 1 年3 月2 6 日、7 月2 1 日，利率又回调至 4 5 6 、3 6 。1 9 5 1 年1 2 月1 日，利率下调到3 1 2 。半年后，1 9 5 2 年5 月2 1 日，利 率又调整至1 4 4 的相对低位，并在此后三年多的时间里得以保持。 4 东北大学硕士学位论文第二章随机利率 表2 1 利率变化表【2 卅 t a b l e2 1c h a n g e so fi n t e r e s t 调息时间 一年定期利率 l9 8 2 0 4 0 1 1 9 8 5 0 4 0 1 19 8 5 0 8 0 1 1 9 8 8 0 9 0 1 19 8 9 0 2 0 1 1 9 9 0 0 4 1 5 1 9 9 0 0 8 2 l 1 9 9 1 0 4 2 l 1 9 9 3 0 4 1 5 1 9 9 3 0 7 1 1 1 9 9 6 0 5 o l l9 9 6 0 8 2 3 1 9 9 7 1 0 2 3 19 9 8 0 3 2 5 1 9 9 8 0 7 0 l 1 9 9 8 1 2 0 7 1 9 9 9 0 6 1 0 自1 9 5 5 年1 0 月1 日起至1 9 7 9 年3 月3 1 日止，这期间利率共有5 次变动，但总体 维持在3 2 4 7 9 2 的水平之间。利率处在较高水平有两个阶段：( 1 ) 1 9 5 5 年1 0 月1 日至1 9 5 8 年1 2 月3 1 日，利率为7 9 2 ；( 2 ) 1 9 5 9 年7 月1 日至1 9 6 5 年9 月30 日， 利率为6 1 2 。而1 9 7 1 年1 0 月1 日至1 9 7 9 年3 月3 1 日，3 2 4 的低利率水平维持了 7 年半时间。 1 9 7 9 年4 月1 日，利率由3 2 4 上调到3 9 6 ，自1 9 7 9 年4 月1 日到1 9 9 9 年6 月 1 0 日止，央行共进行过1 9 次利率调整，经过七次利率调整后，利率水平逐波走高，到 1 9 8 9 年2 月1 日，达1 1 3 4 ，形成改革开放以来利率最高点，并在这个点位上持续了 1 4 5 个月。随后在一年时间里利率3 次下调，1 9 9 1 年4 月2 1 日，利率为7 5 6 。两年 后，利率随着经济过热又被两度拉起，到1 9 9 3 年7 月1 1 日，央行将利率又升高到l o 9 8 的高位，形成当时第二个高点，利率在这个点位保持了3 4 个月的纪录后，接着的便 是被舆论称之为的“三年来央行七次降息。而如今，一年期的定期存款利率为2 2 5 ， 而后由于金融市场过热，导致利率升至3 以上。 利率从几十年前刚刚建国的时期，一直走到了今天，利率虽然是时升时降，却是基 - 5 斛 2 甜 “ 鹏 甜 弱 博 傩 体 钉 卯 挖 他 巧 孓 & 7 & m & z 吼 m 殳 z 孓 孓 龟 置 z 第二章随机利率 本呈下降的趋势，而最近的十年，中国的经济发展越来越稳定，国家的政策也越来越成 熟，利率也变得很稳定，所以可以预见，在未来的日子里，也许利率还会有升降的变化， 不过应该不会出现极大的波动，而且其波动的范围也应越来越小，利率日趋稳定。 在此虽然有了随机利率的模型，但为了计算方便，我们在以后的计算中一律假设利 率为常数，因为在寿险中，我们重点考虑保额给付时间的随机性，而忽略了利率的随机 性。若同时考虑利率和给付时间的随机性，会大大增加数学处理上的复杂性。 6 东北大学硕士学位论文笫三章保费的计算 第三章保费的计算 3 1 保费的概念和计算基础 3 1 1 保费的概念 保费是保险人( 或保险公司) 为履行一定的保险责任向投保人收取的实际金额。也 就是我们平时常说的“毛保费”。 保险是一种分散风险的手段，它把大量的风险单位( 个人或单位) 集合起来，以收 取保费的方式建立起风险准备金，当个别风险单位发生保险合同约定的保险事故时，用 此基金进行经济补偿。可见，保险人收取的保费是风险准备金的基础。确定恰当的保费 是保险公司正常运营的重要前提。 3 1 2 对保费的剖析 一张保单反映了保险公司和投保人各自的权责：对投保人来说，其责任是缴纳保费， 权益是在保险事故发生时获取保额：对保险公司来说，其权益是获取保费收入及保费投 资收入，责任是在保险事故发生时向投保人支付保额。不管是哪一利益主体，都必须遵 循权责相等的原则。也就是说，保险公司向投保人收取的保费应至少能满足其对保额的 支付。一般，我们把恰能满足保额支付的保费称作“纯保费 或“净保费”。 但对保险公司来说，其支出责任并不仅限于支付保额。保险公司作为一个经济实体， 其经营各项业务必然会发生各种各样的费用，如原始费用、代理手续费、行政管理费、 死亡调查费及法律纠纷费等。并且，这些费用正是由于保险公司对投保人进行承保而产 生的。我们把恰能满足保额支付和费用支付的保费称作“费用负荷毛保费 。 保险公司以风险作为其经营的对象，其自身的经营不可避免带有一定的风险性，如 利率的波动、投保人退保等，故其会适度地在保费中进行风险加成，以防止对其不利的 风险。此外，保险公司作为经济主体，多以盈利为目的( 政府直接进行的保险除外) ， 且政府要对其所收保费进行课税，所以，恰当的利润及税收考虑也是必要的。风险加成、 税收和利润因素都构成毛保费的一部分。 综上所述，保险公司向被保人收取得实际金额，即毛保费，不仅要满足其对保额支 付的需要，还要满足对费用支付的需要，以及对风险加成、税收和利润因素考虑的需要。 这样，保险公司向被保人收取的毛保费就可看成由纯保费、费用、风险加成、税收和利 润几部分构成。毛保费中，除纯保费外，其余部分统称为“附加保费 。 _ 7 第三章保费的计算 保费的计算特点是由保险业经营的特征决定的。保险业不同于一般企业，它是保费 收取在先，保额支付在后，也就是说，保费都是预付的。既然保费是在保险合同生效之 前确定的，那么保险公司对保费的计算就不是以已保标的已经发生的损失的资料为基础 的，而是依照过去的损失统计与费用记录等因素来推算的。这就是保费计算的特点：在 过去资料的基础上，形成对未来的预期。故计算保费时采用的比率都是预期的比率，而 不是真实的或实际的比率，预期比率与实际比率之间可能出现的偏差正是保险公司的经 营存在风险的主要原因，这也正是毛保费中还包括风险加成的原因。 对保险公司来说，其在计算保费时应考虑以下三个原则： 1 充足性 对保险公司来说，它在制定保费时应考虑到自身和投保人双方的权益，在不损害投 保人权益的同时，维持自身的正常经营。保险公司作为经营性的企业，其目的以盈利为 主，所以其收入( 保费收入及投资收入) 和成本( 或支出) ( 保额和费用) 至少应持平。 即：保险公司所收取的保费应至少能满足保险责任的给付和各项费用支出。 2 公平性 寿险公司在制定保费时，应根据被保人的情况相应收取保费，对具有不同生死概率 的被保人区别对待。 3 适量性 保险公司对保费的收取应满足其履行责任的最低限度，但这并不意味着保险公司可 收取超过其责任限度的保费，从而对投保人造成损失。即：保险公司在制定保费时，不 仅要考虑其自身的利益，还要考虑投保人的利益。 以上原则在精算体现为“期望收支平衡原则 。该原则要求：在保险合同的有效期 内，在任一时点上，保险公司所有的收入与其所有的支出价值相等。 对保险公司来说，其在合同期限内的收( 保费收入，投资收入) 和支( 保额的给付 及各项费用支出) 实际上是两个随机变量。所以，这里说的收支持平指的是期望的收支 持平。即保险公司在整个保险合同有效期内的所有收和支的期望相等，而不是合同期内 某一段时间内的收和支的期望值相等。 之所以以期望收支平衡作为保险公司计算保费的原则是因为：若保险公司的期望收 入小于其期望支出，这将导致亏损，保险公司无法正常经营下去；若保险公司的期望收 入大于其期望支出，则对投保人不利，因为投保人的期望收入( 保额) 恰是保险公司的 期望支出，投保人的期望支出( 保费) 恰是保险公司的期望收入。因此，在保险公司和 投保人双方利益的权衡下，保险公司采用了期望收支平衡原则作为其计算保费的基础。 一般在计算保费时，通常考虑在保单生效时所有收和支的精算现值或在合同终止时 所有收和支的精算终值。 - 8 - 东北大学硕士学位论文第三章保费的计算 期望收支平衡原则还可用另一种方式表达出来，那就是“期望损失为零 原则。因 为对保险公司来说，其支出减去收入就是其损失，所以，期望收支平衡就意味着期望损 失为零。将这一原则明确化： 纯保费的精算现值= 保额的精算现值 费用负荷毛保费的精算现值= 保额的精算现值+ 费用的精算现值 毛保费的精算现值= 纯保费的精算现值+ 附加保费的精算现值 以上三个等式被称为“等值方程 。它们涉及到的预期比率主要有：利息率、死亡 率及费用率。一般称“预期利息率、预期死亡率和预期费用率 为计算寿险保费的三大 基础。对其的假设不同，将导致不同的计算结果。 3 2 趸缴纯保费的计算 趸缴纯保费就是一次缴清的保费。其计算原则是： 趸缴纯保费的精算现值= 保额的计算现值 对趸缴纯保费来说，其精算现值与其值恰好相等。换言之，趸缴纯保费实际上就是 保额的精算现值1 ，5 1 。 1 定期死亡保险 设年龄为x 岁的人投保保险期限为刀年，保额为1 且在死亡发生的当年年末支付的 死亡保险。 则保费的精算现值= l 4 ：万：保额的精算现值= 以 ，+ + 。，2 + + 以一。，” 其中，乞表示生命表中基期人口中活至x 岁的人数，4 厢表示该险种保额的精算现 值，表示贴现因子，d 。表示x 岁的人在一年中死亡的人数。 由收支平衡原则：乞以万= 或，+ 吱+ 1 1 ，2 + + 或+ 川1 ，”。于是 彳t 一：生：生! ! ：立脚竺 “i l l 定义d = 1 ，。，c = 以v 肘1 ，坂= c + c + 。+ ，则 彳一：亟! 尘! ! ! ：生业! ! ：! ：g g ! ：g 业! ：丝二丝塑 一x n l t矿dtd 。 2 终身死亡保险 设年龄为x 的人投保终身死亡保险，保额为l 且在死亡发生的当年年末支付。 则保费的精算现值= t 4 ：芹；保额的精算现值= 或1 ，+ 以+ 。1 ，2 + 由收支平衡原则，t 彳：厅= t 1 ，+ 攻+ 。v 2 + 。于是 如= 竿等= 半= 每 3 定期纯粹生存保险 设年龄为x 岁的人投保保险期限为r 年，保额为l 且在被保人活过r 年后支付的生 9 第三章保费的计算 存保险。 则保费的精算现值= 4 亓；保额的精算现值= l x + n v ” 由收支平衡原则，t 如= l + 。v ”。于是 = 半= 每 4 刀年期两全保险 设年龄为x 岁的人投保保险期限为n 年，保额为l 的两全保险。则 如= 如+ 如= 坠监 3 3 定期缴纳的均衡纯保费 3 3 1 自然保费和均衡保费 对一般保单来说，保费都是分期缴纳的。每期缴纳的保费可采用自然保费，也可采 用均衡保费。自然保费是指每期按被保人当期的出险频率计算的保费。均衡保费是指每 期缴纳相同的保费。随着被保人年龄的增长，死亡的概率通常也增大，这样自然保费也 随年龄的增长而逐渐增大( 见表3 1 ) 。 表3 1 死亡率( 1 0 。3 ) t a b l e3 1r a t eo f d e a t h ( 幸1 0 。3 ) 从表3 1 可以看出：同一年龄的女性具有较低的死亡率：随着年龄的增长，被保人 的死亡率以不断增大的速度增加这样就会造成“逆选择”现象：一方面，身体状况较好 的被保人会因高昂的保费而选择退保；另一方面，身体状况较差的被保人会继续投保， 因其最需要保险。当然，对这样的被保人而言，在自然保费体制下，当他们达到高龄时， 保费负担就会变得过于沉重，有可能因交不起保费而失去保险保障。 1 0 东北大学硕士学位论文第三章保费的计算 鉴于这一状况，为克服自然保费的这种不足，保险人将长期性寿险改用均衡保费， 即把每年计算一次的自然保费在长期内均衡化、平均化，在保费缴纳期内，每隔一定时 期，缴纳相等数额的保费。这种方式下的纯保费就称为均衡纯保费。 自然保费随年龄的增长呈上涨趋势。在合同早期，保险公司所收均衡保费大于自然 保费( 即用于死亡给付的保险成本) ，这多收的保费对保险公司来说就形成了储备金， 它是保险公司的一项负债；而对投保人来说，这多缴的保费是其资产，经过积累就形成 了现金价值。在合同后期，保险公司所收均衡保费小于自然保费，保险公司单靠所收保 费无法应付死亡保额的给付，此时，保险公司需用前期的储备金来履行其保险责任。 3 3 2 均衡纯保费计算的一般原理 根据等值方程，可知对保额、保险期限确定的同一险种来说，趸缴纯保费的精算现 值与均衡纯保费的精算现值相等，都等于保额的精算现值。以2 妒表示死亡保险和生存 年金的趸缴纯保费的精算现值，以p 表示定期缴纳的均衡纯保费，】，表示投保人缴纳的 单位纯保费的现值。 则n s p = e ( p d ，所以p = n s p e ( i o 。其中e ( y ) 表示单位均衡纯保费形成的生存 年金的精算现值。 以下考虑保额为l ，签定保单的年龄为x 岁，保单期限为聆年，保费缴纳期限为h 年 ( 1 h 力1 0 5 ) 的险种的均衡纯保费的计算。以 p 表示保费缴纳期限为h 年的均衡纯保 费。当h = 1 时，均衡纯保费就成为趸缴纯保费；当珂= 1 0 5 时，保险就成为终身保险。 当缴纳保费的期限与保单的期限相同时，就直接以p 表示均衡纯保费。 3 3 3 死亡保险的年均衡纯保费 1 万年期定期死亡保险o , s 】 以。砖表示保额在死亡发生之年年末支付的一年死亡保险的年均衡纯保费。则 以= 尝= 而x - - 瓦m x + b口f 石 一工j + 一 2 终身死亡保险 以。e 万表示保额在死亡发生之年年末支付的终身死亡保险的年均衡纯保费。则 一p ! i - 砉= 惫口j ：石 工。j + 3 门年期两全保险 以。e 厅表示聆年两全保险的年均衡纯保费。则 以= 冬a = 气粤x：t ； jx + h 4 万年纯粹生存保险 第三章保费的计算 ：垒：堡塑 面n 。一n l “ 3 4 费用负荷毛保费的计算 前面讨论了在预定死亡率和预定利息率的基础上对纯保费的计算，即在收支平衡原 则下，使保险人所承担的保险责任( 保额) 的精算现值，等于投保人为此而支出的代价 ( 纯保费) 的精算现值，计算中并没有考虑保险人在经营过程中发生的各项费用，所以 以下将讨论费用负荷毛保费的计算。理论上，费用负荷毛保费应恰好提供保额支付和保 单所需一切费用的资金支持，对费用负荷毛保费与纯保费的计算方法相同，都必须遵循 等值方程，只是前者需要进行一定的费用分析。 3 4 1 费用分析 寿险费用是指寿险经营中所发生的，除保险责任( 保额) 外的一切支出。因首先要 求保险公司在保单生效前计算出保费，所以保险公司除了对利息率和死亡率进行估计 外，也需对未来可能发生的各项费用进行估计。即计算保费时所用费用率定为预定费用 率，这是预定费用率是计算保费的三大基础之一的重要原因。 费用有以下几种分类方法： 若根据应用目的加以确定，则可以把保险费用分为新契约费用、维持费用、营业费 用、理赔费用。新契约费用主要包括代理人佣金、广告费、体检、风险分类费用、准备 新保单、建立会计记录、邮寄保费通知单等；维持费用包括保费收取费用、会计费用、 收益人变更、选择权变化费用、与保单持有人联络费用等；营业费用包括研究开发新险 种费用、精算及一般法律服务、普通会计、税金、许可证等；理赔费用指理赔调查、辩 护费、各种给付的费用等 按费用是否与保费或保额有关分类：每保单固定费用：与保额和保费都无关的费 用：如办公设备的费用；与保费相关的费用：如税金、佣金等；与保额相关的费用： 风险分类费、保单维持费；其他费用。 在精算中，一般将与保费相关的费用设成保费的一定百分比，将与保额相关的费用 设成保额的一定百分比。每保单固定费用在一年内一般为常数，但可能会因通货膨胀而 逐年增加。在计算时，通常认为费用随保费发生于初期。 实际中，保险公司在各年内所发生的费用是不均匀的。一般初年要发生很高的费用， 如支付给代理人的佣金在第一年往往为年保费的5 0 或者更高。第一年后，后续各年的 费用相对要小，要平稳的多。 类似均衡纯保费，一般假设费用负荷毛保费在各年内一样，即假设均衡的费用负荷 毛保费。 _ 12 - 东北大学硕士学位论文第三章保费的计算 3 4 2 均衡费用负荷毛保费的计算 对费用负荷毛保费的计算方法有两种：一是直接根据等值方程来计算费用负荷毛保 费。同均衡纯保费一样，费用负荷毛保费要遵循“收支平衡原则”，二是通过对利率和 死亡率采用较稳健的假设而在“纯保费 中设置不明显的费用负荷，从而得出费用负荷 毛保费。 3 5 毛保费的计算 前面求出的费用负荷毛保费是保险公司向投保人收取的毛保费的主要部分。除此之 外，保险公司还要附加一定的风险加成、利润加成等因素。保险公司在经营过程中可能 会遇到各种各样的不确定性：资本市场的波动会造成实际利息率与预定利息率之间的差 异，被保人群体的变化会引起预定死亡率和实际死亡率之间的不同，经营状况的更改会 带来预定费用率与实际费用率的区别。预定比率与实际比率的偏差是保险公司所面临风 险的主要原因。一般，保险公司都要在费用负荷毛保费的基础上进行风险加成。另外， 为了获得一定的盈利，保险公司同样要在费用负荷毛保费的基础上进行利润加成。风险 加成和利润加成是保险公司除费用负荷毛保费外向投保人收取得主要部分。 在实际中，风险和利润加成表现为每年确定的数额或保费的一定百分比。这与对费 用的假设一样，因此对毛保费的计算实际上与对费用负荷毛保费的计算一样，也需要遵 循收支平衡原则，有时为了简化起见，可通过对利率、死亡率及费用率采用较稳健的假 设而在“费用负荷毛保费 中设置不明显的风险和利润加成，从而得出费用毛保费。 3 6 毛保费率 在实际操作中，毛保费常表现为毛保费率：毛保费在保额中所占的比例【6 】。 3 6 1 现有附加保费精算模型 目前使用的附加保费精算模型主要有以下三种： 3 6 1 1 固定比率模型 这是确定附加保费的一种简化方法，它的基本思路是：根据过去的经验，估算各项 附加费用之和( ) 占营业保费( g ) 的比重，得到经验的附加费用率( e ) 。然后利用经验附 u 加费用率e 和本次计算的纯保费( 只) 计算出本次的附加保费( e ) 。也就是：e = 妥， l ， d p q = p q = p ( 曰+ h j ) ，则q = 二二上 l g 这一精算模型计算简便，其不足之处：一是以过去的附加费用率作为本次的附加费 用率，且没有考虑各年附加费用率的不同；二是没有考虑各项费用性质的差异。所以， - l3 - 东北大学硕士学位论文第三章保费的计算 它一般只适用于保险期限较短的寿险业务。 公司采用这一精算模型。 3 6 1 2 变动比率模型 目前，由于精算制度不够完善，大多数寿险 与固定比率模型相比，这种方法在计算上更为科学。它考虑了各年费用的差