（概率论与数理统计专业论文）带负相协增量的随机和尾分布的渐近性.pdf

带负相协增量的随机和尾分布的渐近性中文摘要 带负相协增量的随机和尾分布的渐近性 中文摘要 随机和在应用概率的许多领域中有广泛的应用，如金融保险模型， 排队论，网络通信等近年来国内外许多学者对此进行了大量的研究 令 x ，x k ：k 1 ) 为随机变量列，共同的分布函数为f ( x ) = 1 一- 2 ( x ) = p ( x z ) ，本文考察随机和岛= 乏：1 托尾概率的渐近性，其中7 为独 立于【，k 1 ) 的非负整值随机变量当x 的尾概率不重于丁的尾概率 时，a 2 e g 尼e 优泷e 能( 2 0 0 8 ) 【2 】等人给出了& 的一系列渐近结果，但对于x 的尾概率与r 的尾概率等价时只给出了的渐近上( 下) 界而并没有得到 更理想的渐近等价的结果本文将对此类随机和的渐近性作进一步探究， 在第二章中给出一个当x 的尾概率与r 的尾概率等价时s 的渐近等价的结 果，并将结论推广到 x k ，k 1 ) 为负相依的情形下，最终给出一个描述爵 的渐近性的统一的形式 关键词：够族，n a 列，随机和，渐近性 作者：张健 指导教师：成风肠( 副教授) a s y m p t o t i cb e h a v i o rf o rr a n d o ms u m so fn e g a t i v e l ya s s o c i a t e dr a n d o mv a r i a b l e sa b s t r a c t a s y m p t o t i c n e g a t i v e l y b e h a v i o rf o rr a n d o ms u m so f a s s o c i a t e dr a n d o m 场r i a b l e s a b s t r a c t i h er a n d o ms u m so fr a n d o mv a r i a b l e sp l a y sa l li m p o r t a n tr o l ei nv a r i o u sa p - p l i e dp r o b a b i l i t yf i e l d ss u c ha si n s u r a n c em a t h e m a t i c s ，q u e u i n gt h e o r y , t e l e t r a f - t i c ，e t c ，a n dn o w a d a y si th a sa l r e a d yb e e ns t u d i e da n dr e f e r r e db ya l le x t e n s i v e l i t e r a t u r e l e t x ，甄：k 1 ) b eas e q u e n c eo fr a n d o mv a r i a b l e s ，w i t ht h e c o m m o nd i s t r i b u t i o nf ( x ) = 1 一f ( z ) = p ( x z ) i nt h i sp a p e rw ef o c u s o nt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fr a n d o ms u m s 母= z 1 拖，w h e r e 丁i sa n i n t e g e r - v a l u e dn o n n e g a t i v er a n d o mv a r i a b l ei n d e p e n d e n to f 拖，k 1 ) i n2 0 0 8 ，剧e 苔惫e u i 泷e 砸【2 je ta lp r e s e n t e das e r i e so fa s y m p t o t i cr e l a t i o nd e s c r i b i n gt h et a i lb e h a v i o ro f i nw h i c ht h et a i lo fxi sn o th e a v i e rt h a no f t h o w e v e ru n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a txa n d 下i sa s y m p t o t i c a l l ye q u i v a l e n t t h e ym e r e l ya t t a i n e da na s y m p t o t i cu p p e r l o w e rb o u n do fs tw h i c hi sf a rf r o m a c c o m p l i s h e d t h ep r e s e n tp a p e rw i l ls t e pf u r t h e ri nt h i sk i n do fr a n d o ms u m s t a i lb e h a v i o r ，t og i v ea ne q u i v a l e n tv e r s i o no fa s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs ti nt h e c a s exa n d7 i sa s y m p t o t i c a l l ye q u i v a l e n t ，a n de x t e n dt h er e s u l tt ot h en e g a - t i v e l ya s s o c i a t e d _ 【x ，x k ：k 1 ) ，f i n a l l yf u l f i l lt h et a i lb e h a v i o ro fs w i t ha n u n i f i e do u t c o m e a s y m p t o t i cb e h a v i o rf o rr a n d o ms u m so fn e g a t i v e l ya s s o c i a t e dr a n d o mv a r i a b l e s a b s t r a c t k e y w o r d s ：c o n s i s t e n tv a r i a t i o n ，n e g a t i v e l ya s s o c i a t e d ，r a n d o ms u m s ， a s y m p t o t i cb e h a v i o r h i w r i t t e nb yz h a n gj i a n s u p e r v i s e db y a s s o c i a t ep r o f c h e n gf e n g y a n g 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏 州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作 出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人承担本 声明的法律责任。 研究生签名：主遮建日期：兰竺竺2 ：三：! 墨 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论 文合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的 保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的 全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： 丛盛e l 期：呈2 1 艺：茎：! 墨： 第一章导言 1 1导言 设 kx k ：七1 ) 为一随机变量列，有共同的适正分布f ( x ) = 1 一 f ( z ) = p ( x z ) ，r 为另一适正的非负整值随机变量，其分布为b ( z ) = 1 一再( z ) = p ( r z ) ，且7 - 与( x k ，k 1 ) 相互独立对于n 1 ，定义晶 为随机变量列 x k ，k 1 ) 的前n 项和 一 本文重点讨论随机和爵= 乏：1 尥的尾概率p ( 昌 z ) 的渐近 性，在x 的尾概率重于7 的尾概率的情形下，即日( z ) = d ( f ( z ) ) ， c h o v e r 等( 1 9 7 3 ) 7 s ，r u d i n ( 1 9 7 3 ) 2 1 ，v e r a v e r b e k e ( 1 9 7 7 ) 3 1 】，e m b r e c h t s 等 ( 1 9 7 9 ) 1 0 ，c l i n e ( 1 9 8 7 ) 6 ，p a k e s ( 2 0 0 4 ) 2 0 ，w a n g ( 2 0 0 7 ) 3 0 ，以及w a t a n a b e ( 2 0 0 8 ) s 2 已做出了许多相关工作而在f ( z ) = d ( 耳( z ) ) 的情形下，以及当 f ( z ) 一耳( z ) 时相关文献则较少 本文的重点在于后者，而且致力于削弱一些独立的条件为此，我们在 本章首先要介绍有关重尾分布族与负相依的一些概念，然后再回顾该领域的 已有的结果，最后提出本文的动机在第二章中叙述本文的主要结果并给出 证明，并在第三章给出这些结果在金融保险以及网络通信等方面的应用 除非特别声明，文中所有极限关系是指z 一+ o o 本文中，口( z ) = 带负相协增量的随机和尾分布的渐近性第一章导言 。( 6 ( z ) ) 是指l i m 器= o ，而n ( z ) 一6 ( z ) 是指1 i m 瞄= 1 1 2 常用的重要分布族 在应用概率的研究中，人们通常将随机变量的分布分为重尾的和轻尾 的，称个随机变量x 或其分布函数f ( x ) 为重尾的，记作f 形，若对于 任意的，y 0 ，有 e e 俏：。0e y x d f ( z ) = o o ， j 0 称一个随机变量x 或其分布函数f ( x ) 为轻尾的，若存在7 0 ，使 得e e 值 0 有 l i m 掣= 1 ： 称非负分布函数f ( x ) 属于勿( d o m i n a n t t a i l e d ) 族，若对一切0 y 1 有 h ms u p 鬻 悯 称非负分布函数f ( x ) 属于够( c o n s i s t e n t - v a r i a t i o n ) 族，若对一切0 0 有 l i m 掣_ y - a ； z 一。of ( x 、) 此时也称f ( x ) 服从指数为q 的正则变化，并记为f 级口 称非负分布函数f ( x ) 属于夕( s u b e x p o n e n t i a l ) 族，若 l i m 璧兰= 2 x - * o o f ( x ) 其中f 砣( z ) 为f ( x ) 与自身的卷积即 f , 2 ( z ) = f ( z y ) f ( d y ) 若f 夕，则对于佗2 ，有熟知的结论 ，l i r a 些盟：n = = = 二= n x - - - - + 0 0 f ( x ) 其中f 虮0 ) 为f ( x ) 的1 2 重卷积 称支撑在( 一o o ，+ o 。) 上的分布函数f ( z ) 属于2 族( 或9 ，够，勿，夕) ， 若f + ( z ) = f ( z ) ，( z 0 ) 属于p 族( 相应地，勿，够，勿，夕) 以上诸子族间有下面的包含关系成立 统c 髫c 翌f 、9ct 驴 关于重尾分布族的更多相关内容参见【4 ， 1 2 ，【2 0 ，【3 0 ，【3 2 】 对于任意的，y 0 ，称分布f 焉，若对任意的t ( 一o o ，o o ) ，有 一f ( x 一亡) 一e 吖f ( z ) 称分布f 器，若f 昌且有两( z ) 一2 m ，y ( z ) ， 其中m 1 = f e 叩t f ( d t ) 当，y = o 时，筋与j o 即分别为前面所定义的重尾分 布族2 与夕，当，y o 时，昌与品是轻尾分布 3 带负相协增量的随机和尾分布的渐近性 第一章导，言 1 3负相依的概念 n a ( n e g a t i v e l y a s s o c i a t e d ) 列的概念最初是由a l a m - 与s a x e n a ( 1 9 8 1 ) 1 】以 及j o a g - d e v 与p r o s c h a n ( 1 9 8 3 ) 1 6 】引入的 定义1 1 一族有限个随机变量( x ，甄，1 k n ) 称为是n a ( n e g a t i v e l y a s s o c i a t e d ) 的，若对于集合 1 ，2 ，n ) 的任意两个不交的非空子集a l 与 a 2 ，都有 c o y ( f 1 ( x k ，k a 1 ) ，止( 玛，歹a 2 ) ) 0 ， 其中 与如是任何两个使得协方差存在且对每个变量均非降( 或非升) 的 函数称一族无限的随机变量列是n a 的，若它的任一有限子族是n a 的 比n a 列更一般的是所谓n d ( n e g a t i v e l yd e p e n d e n t ) 列的概念 定义1 2 ( e b r a h i m ia n dg h o s h ，1 9 8 1 1 1 】) ：随机变量列 x ，甄，k 1 ) 称 为 ( 1 ) l o w e rn e g a t i v e l yd e p e n d e n t ( l n d ) ，若对于每个n = 1 ，2 以 及所有的z 1 ，z n 佗 p ( x 1 x l ，z n ) i ip ( x k x k ) k = l ( 2 ) u p p e rn e g a t i v e l yd e p e n d e n t ( u n d ) ，若对于每个n = 1 ，2 以 及所有的z 1 ，z n n p ( x 1 x l ， x n ) i ip ( 讯 x k ) k = l ( 3 ) n e g a t i v e l yd e p e n d e n t ( n d ) ，若对于每个佗= 1 ，2 以及所有的 x l ，z n ，( 1 ) 与( 2 ) 同时成立。 比n d 列更一般的是两两n q d ( n e g a t i v e l yq u a d r a n td e p e n d e n t ) 列的 4 带负相协增量的随机和尾分布的渐近性 第一章导言 概念 定义1 3 ( l e h m a n n ，1 9 6 6 1 1 7 ) ：称随机变量x 和y 是n q d 的，若对任意 的x ，y r 有 p ( x x ，y y ) p ( x x ) p ( y y ) 随机变量列 x ，x k ：k 1 ) 称为两两n q d 的，若对于任意的i 歹，i ，j = 1 ，2 ，五与是n q d 的 1 4本领域相关工作回顾 增量为夕与只族分布构成的随机和在分支过程，更新理论以及时间 序列等方面占有极其重要的地位，在排队论、随机游动等方面的应用参考 e m b r e c h t s 与g o l d i e ( 1 9 8 2 ) 13 1 令p n = p ( 7 = n ) ，n 0 ，则随机和岛服从 分布h ( x ) = p ( 爵x ) = n 0 0 ：o 骱f 帆( z ) 关于随机和辞的渐近性有以下 结论 定理1 a ( 【3 0 定理1 1 ) 令f 昌，f 支撑在( 一。o ，。o ) 或( o ，o 。) ，对 某个，y 0 ，若m 1 o o 且满足 i ) 卿 1 ，或者 i i ) m ，y 1 以及n 0 0 ：op n ( m 7 + e ) 礼 0 则以下三者是等价的 a ) f 器， b ) 万( z ) 一罂1 骱佗峭_ 1 f ( z ) ， c ) h j 勺且1 i m s u p 日( z ) f ( z ) o o 1 9 7 3 年，c h o v e r 等 7 1 1 8 给出了a ) 令b ) 的证明，r u d i n ( 1 9 7 3 ) 2 1 】用实分 析的方法给出了格点情形下的a ) 兮b ) 的证明；当f 支撑在( 0 ，o o ) ，y = 0 且丁服从p o i s s o n 分布时，e m b r e c h t s 等( 1 9 7 9 ) 1 0 i 正n 了a ) ，b ) 与以下的d ) 5 带负相协增量的随机和尾分布的渐近性 第一章导言 相互等价， c ，) h 舅且f ( z ) d ( 万( z ) ) 0 的情形； 对于c ，) 兮口) ，c l i n e ( 1 9 8 7 ) 6 】给出了当f 支撑在( 0 ，o o ) 时的证明，p a k e s ( 2 0 0 4 ) 2 0 j 9 l j j 给出了当f 支撑在全空间时的证明，但他们的证明过程中都 使用了一个错误引理( 【6 】引理2 1 ( i v ) ) ，后者被s h i m u r a 与w a t a n a b e ( 2 0 0 5 ) ( 【2 5 注4 2 ) 指出，w a n g 等( 2 0 0 7 ) 1 3 0 】以c ) 替换c ，) ，从而使问题得 以解决w a t a n a b e ( 2 0 0 8 ) 3 2 利用不同的途径给出了另一种解决方案，同时 改进了s g i b n e v ( 1 9 9 0 ) 2 6 1 的一个结果 以上的讨论均限制在7 是轻尾的情形，2 0 0 2 年，n g 等人【1 9 得到了如下 的定理，它弱化了定理1 a 中对于丁的轻尾条件，但对于x 的分布提出了额 外要求 定理1 b 令 x ，x k ：k 1 ) 是一独立同分布的随机变量列，共同的分布 函数f 2n 勿，且有有限期望e i x l z ) e 丁f ( z ) 2 0 0 6 年，c h e n 等人【9 】将以上结论推广至n d 情形 定理1 c 令 x ，x k ：k 1 ) 是n d 的随机变量列，共同的分布函 数f 够，且有有限期望p ，7 - 为独立于 凰，k 1 ) 的非负整值随机变 量，e 丁 1 有e i x l r ：( 戤一p ) z ) 一e ；f ( x ) k = l 2 0 0 6 年，在描述x 变化的尾概率分布轻于丁的情形，即f ( z ) = d ( 耳( z ) ) ，以及二者等价的条件下，即t ( x ) 一耳 ) ，f 口雪等人【1 4 给出了 6 带负相协增量的随机和尾分布的渐近性第一章导言 在x 与7 - 分别为贸族时研的渐近性 定理1 d 令_ x ，z k ：尼1 ) 为独立同分布的非负随机变量列，共 同的分布函数为f ，7 为与( x k ，尼1 ) 独立的非负整值随机变量，分布 b 见卢，e x 与e r 均为有限，且满足f ( z ) 三d ( 耳( z ) ) ，则 p ( 研 z ) 一耳( 去) “( e x ) 晦( z ) ， 定理1 e 令 x ，溉：k 1 ) 为独立同分布的非负随机变量列，共同的 分布函数为f ，7 i 为与 凰，七1 ) 独立的非负整值随机变量，e x 与e 丁 均为有限，若x 与7 i 的尾分布对于某个c 0 满足耳 ) 一c - f ( z ) ，且 b 见a ，则有 p ( 鼻 z ) 一( e 丁+ c ( e x ) 口) f ( z ) 2 0 0 8 年，a i e $ k e v i 芑i e n d 等人将定理1 d 与1 e 推广到够族情形，得到 了以下的结果 定理1 f ( 【2 定理1 2 ) 令 x ，拖：k 1 ) 为独立同分布的非负随机变 量列，共同的分布函数为f ，7 - 为与 凰，k 1 ) 独立的非负整值随机变量， 分布b 够，期望e 丁为有限，且满足矽( z ) = d ( 耳 ) ) ，则 p ( 跏z ) 一再( 去) ， 定理1 g ( 【2 】定理1 3 ) 令 x ，甄：k 1 ) 为独立同分布的非负随机变 量列，共同的分布函数f 够，期望e x 为有限，下为与 甄，k 1 ) 独立的 整值随机变量，其尾分布满足耳( z ) 一c f ( z ) ，其中c 0 为某个常数，则 h 1 2 1s u p 帮 1 有e x r o o ，且有以下条件之一成立 条件1 ：e r 以及y ( x ) = d ( 耳 ) ) 条件2 - e r = o o 且存在某个q 【1 ，r ) ，使得 ，；嬲p 鬻i s z ) 一e ( x e x ) 8 第二章主要结论及证明 2 1主要结论 受a l e $ k e v i s i e n d 等( 2 0 0 s ) 2 】注2 2 的启发，我们发现可以用等价关系的 形式改进定理1 g ，从而将定理1 b 、1 f 与1 g 整合为统一的形式，进一步 我们发现相应的结论可以推广到 托，忍1 ) 为n a 列的情形，而且可以取 消对于随机变量x 的非负的要求 以下给出本文的主要结论 定理2 1 令 x ，x k ，k 1 ) 为n a 的随机变量列，支撑在( 一，+ ) ，共 同的分布函数为f ( z ) ，且满足0 e x 一o ( 3 ， ( 2 2 ) 则有 p ( 爵 z ) e 擅( z ) + 耳( 去) ( 2 3 ) 当 甄，k 1 ) 相互独立时，条件( 2 2 ) 可以忽略 9 带负相协增量的随机和尾分布的渐近性第二章主要结论及证明 注2 1 当c = 0 时，( 2 1 ) 蕴含f ( z ) = d ( 耳( z ) ) ，则由( 2 3 ) 可得尸( 爵 x ) 一一f ：( z z x ) ，定理1 1 包含了非负独立同分布情形下的定理1 f 当 c = + o o 时，( 2 1 ) 蕴含耳( z ) = d ( f ( z ) ) ，这时由( 2 3 ) 可得p ( 岛 z ) 一 e 丁_ ( z ) ，当0 c + o o 时，( 2 。3 ) 为定理1 g 的推广 以下的定理为定理1 h 的推广 定理2 2 令 x ，甄，k 1 ) 为n a 的随机变量列，支撑在( 一o o ，+ ) ，共 同的分布函数为f ( z ) ，且满足0 e x ，1 - 为一个独立于 x k ，k 1 ) 的非负整值随机变量，分布b ( z ) 汐如果e 7 = 且 e i x i r 1 ，它不能处理r = 1 的情形而在r ( 1 ，2 】时，显然( 2 4 ) 比定理1 h 中的条件2 要稍弱一些 另外，因ej x i r z ) = 0 ，由 p ( x z ) x r p ( x z ) e 【丁，( 7 - z ) 】 p ( 丁 z )e 卜j ( 丁z ) 】x r p ( 7 - x ) 可知由( 2 4 ) 可得 f ( z ) = d ( 乃( z ) ) 2 2若干引理 本节叙述几个文中要用到的引理 1 0 堂壅塑垫垄墨堕堕塑塑星坌塑的渐近性第二章主要结论及证明 引理2 1 ( 【1 5 定理3 1 ) 令 甄，1 k n ) 是一族支撑在- - o o ，+ ) 的 n a 的随机变量列，分布函数 ，k 彤n 切，k 1 ， 且存在某个c 一使得p ( 拖 c ) = 1 ，1 尼死，则有 p ( m a xs k z ) 、m a z ) p ( 鼠 z ) 。妻瓦( n p 夕l z ) p ( 跏z ) “瓦( z ) 引理2 2 ( 【2 9 定理1 1 ，【9 】9 引理2 5 ) 令 x k ，k 1 ) 为n d 的随机变量 列，期望为p ，共同的分布函数f 够，且满足 x f ( 一z + p ) = o ( f ( z ) ) ， 则 ，i n m _ s u p z s u 似pl ! 垒斧一1 i = 。 n _ z 似ln ，【z ) 当_ 【拖，1 尼) 相互独立时，条件x f ( - x + 卢) = o ( - y ( z ) ) 可以忽略 引理2 3 ( 1 8 定理1 ) 令 托，k 1 ) 为两两n q d 的随机变量列， 共同的分布函数为f ) ，存在某个a 使得s n _ 口，口“当且仅当 e i m l 0 0 若ej 托j 0 时，e x i o o 蕴含e 丁 o o ，故在定理1 1 的条件下，总 有e 7 0 ，6 ( 0 ，1 ) ，以及正整数m ，记 p ( 母 z ) = p ( & x ) p ( r = 礼) n - - 1 ( 羔+ k 1 - a ) x e 捌+ x ) p 0 - 刊( + + ) p ( 岛 = 仡 n = l n = m + l n ( 1 6 ) x e x 全以+ 如+ 乃， ( 2 7 ) ( 2 8 ) 任意给定e 0 ，当0 ( 1 万) 最) ( 1 + e ) 耳( 最) ， ( 2 1 0 ) 对所有z x l 成立 对以上选定的6 ，f 够c 勿意味着存在常数g 满足 2 f ( 6 x ) c 6 e t f ( x ) ， 对所有z 0 成立；另一方面，由e 丁 , t n 塑掣 0 使得 p ( & 一n e x 5 x ) 2 n f ( 6 x ) ， 对所有礼 m 2 以及z 臀成立令m = m a x ( m 1 ，m 2 ) 与x 2 = m ：a ，则 对任意的z x 2 ，有 【( 1 - 6 ) x e x 】 如 二p ( 一n e x 6 z ) 尸( 丁= 礼) 礼= m + 1 0 0 2 f ( s x ) n p ( 丁= n ) z ) 厅( z ) ， 于是存在x 3 0 使得 以( 1 + 乏) 厅( z ) p ( 7 - = 扎) x 3 成立由( 2 8 ) ，( 2 1 0 ) 一( 2 1 2 ) 可得 聃 坯( 1 + e ) 嘶) + 耳( 去) ) ， 对所有z m s , x ( x l ，x 2 ，x 3 ) 成立，于是当0 m a x ( x 1 ，x 2 ，2 3 ) 成立于是 h x 一- - - 。( x ) 掰g e 丁f ( z ) 一 ( 2 6 ) 在此条件下得证 对于c = 0 时，不失一般性，假设f ( x ) 是连续的，否则f ( x ) 可由 f ，i cg ( x ) 替换，其中g ( x ) 服从指数分布c ( x ) = ( 1 一e - x ) ，z 0 ，于是 f 木g ( z ) 是连续的，且丽( 茁) = d ( _ ( z ) ) 因f ) = o ( 耳( z ) ) ，由f a i ) 等( 2 0 0 6 ) 1 4 】引理4 4 ，存在非降的慢变函数 i ( x ) 满足 砸) 州以及器砸m ， 于是对某个x 0 0 ， 孔) 铬 z ) p ( 7 = n ) + 尸( 畿 x ) p ( t = 扎) 【( 1 6 ) z 五阅 + p ( 品 z ) p ( 丁= 礼) 全以+ 以+ 刀， 因f ( z ) = d ( 耳( z ) ) 以及b 够c 勿，存在z ： 0 使得 2 e 币( z ) z ：成立重复( 2 1 1 ) 与( 2 1 2 ) 的证明过程，可知存在m ，z ：与 x 3 使得 z + 以 0 使得对任意z 0 耳( 紫) 喏耳( 轰) 其中6 由( 2 9 ) 决定由引理1 3 ，存在z 3 0 ，使得 p ( 鲁一e x 篙) z ：与他 唑e x 成立，于是有 彰k 卜妒p ( 扣刊 【卜f p ( 鲁- e x 篙6 ) 竹刊一厶一n 1 一 、 7 移( 喾) 西( 矗) ， ( 2 1 6 ) 对任意z x 3 成立由( 2 8 ) ，( 2 1 0 ) 以及( 2 1 4 ) 一( 2 1 6 ) ，可得 p ( 爵 水( 1 + 3 e ) 耳( 最) ， 带负相协增量的随机和尾分布的渐近性 第二章主要结论及证明 对任意z m a x x l ，z 2 ，z 3 ，z 2 ，z 3 ) 成立于是 1 i m s x - - + o 叩0 钳乳 bi 南l 再由f 够c 勿与y ( x ) = d ( 耳( z ) ) 即得式( 2 6 ) 成立 以下证明( 2 7 ) 对于任意正整数m 以及5 ( 0 ，1 ) ，当z m e x ( 1 + 5 ) 时，有 p ( 昌 z ) = 尸( z ) p ( 丁= n ) ( ，兰+ 、) p ( 妒( 丁刊( + ) p ( 。) p ( 丁= n ) n = l 礼 蹲娑 在0 z ) 一厅( z ) ， 于是存在z 1 0 使对任意z x l m 五 ( 1 一吾) 扎歹( z ) p ( 丁= 礼) 一n = l ( 1 - 丢) 2 e r - f f ( z ) ( 1 一e ) e 丁f ) ( 2 1 8 ) 1 7 e 一2 1 - 佗 = rp佗 m f l 带负相协增量的随机和尾分布的渐近性第二章主要结论及证明 凼f 影，存在6 ( 0 ，1 ) 以及x 2 0 便得 耳( 訾) ( 1 一主) 耳( 去) ， 对任意z x 2 成立 由引理1 3 ，存在z 3 z 2 ，使得对任意z z 3 以及n 哮， p ( 鲁一e x 一而6 e x ) 1 一争 于是 五，p ( 篇卜刊 n 笋 7 = 三，尸( 鲁一e x 一篇卜刊 竹 笋 。7 ( 1 一丢) 2 耳( 去) ( i - e ) 耳( 去) ( 2 1 9 ) 令x o = m a x _ ( 等铲，x l ，z 3 ) ，由式( 2 1 7 ) 一( 2 1 9 ) 可得 p ( d 抄( 1 - c ) ( e t t ( 卅耳( 去) ) 对任意z x o ，于是当0 z ) = p ( & z ) p ( 7 i = n ) n = l = ( + + ) p ( & z ) p ( 丁= n ) , t 6 x e x6 x e x ( 1 6 ) z ) p ( 7 = n ) n s x e x 1 2 3 - r i e l x 矿- e 厂x i r 礼p ( t - )丌习万二礼) = 等等掣eh 妨e x x r) = 一凸1 1 ii7 ，、f ，：j ：i1 ( 1 6 ) r 一l 。| 、一。7 j 。 于是 k 1 耳( z e x ) 联合式( 2 4 ) 即有 箬等等小研e r 丽i ( r z ) p ( 丁= 礼) 5 x e x n _ ( 1 一a ) e x p ( 禹卜刊5 x e x n 尚卜刊& e x n 研s e x ) _ 。当礼轰 ( 2 2 4 ) 带负相协增量的随机和尾分布的渐近性 第二章主要结论及证明 于是 h ms u p 蒜。 2 5 ， 对所有6 ( 0 ，1 ) 成立应用( 2 2 3 ) 一( 2 2 5 ) ，即完成( 2 2 1 ) 的证明 2 1 第三章应用弟二早脞用 3 1金融保险中的应用 本节给出定理2 1 在复合更新风险模型中的一个应用此模型的引入参 见t a n g 等( 2 0 0 1 ) 2 7 1 以下形式的定义来自a e 苔忌伽t 浅e 能等( 2 0 0 8 ) 2 1 ，只在 索赔额的结构上与之稍有不同 假设3 1 索赔额z ，历，易构成n a 的非负随机变量列，有共同的分布 b 以及有限期望p = e z 0 为常值保费率时间亡内的破产概率为 妒( z ，亡) = 尸( 、o i n 5 f tr ( s ) 0 ，分布b 汐， 且存在某个p 咭+ 1 使得e o p o ) 一致成立这里的a ( x ，亡) 一b ( x ，艺) 对亡a 一致成 立应理解为 2 l i r a s u p k b ( k x , 。t ) 2 - 1l = 0 以下基于本文的定理1 1 给出破产概率矽( z ，t ) 的个渐近关系，其结论 推广并改进了【2 定理2 2 定理3 4 在假设3 1 3 3 均满足的条件下，令p 全c e o - u e z 0 ，f n ( x ) 垒 p ( n z ) ，且满足 苯，、 l i m 黑：c 【o ，o o 】， ( 3 2 ) 并且，当c ：0 ，有f n 汐；当c 0 ，b 汐，以及e o p 玷+ 1 成立，于是我们有 始砧陋) + 瓦妣 ( 3 3 ) 对于t a = t ：入( 亡) o ) 一致成立 定理3 4 的证明定义 一g ( z ) = m i n ( 庙( z ) + - k 丙n ( x l n ) ，1 ) ， 容易证明g 够以及j 去氛事实上，若c = 0 ，则有吉= 氛；若 c = 0 0 ，则有j 古= j + ；若c ( o ，co ) ，则有j 古+ 其余部分的证明 与a l e 釜k e v i 泷e 耐等( 2 0 0 8 ) 2 1 定理2 2 完全相同 3 2网络通信模型中的应用 关于网络通信的最新研究表明2 2 】，现代以太网通信中，视频会议一类 带负相协增量的随机和尾分布的渐近性第三章虑用 大数据量传输过程具有的自相似性( s e l f - s i m i l a r i t y ) 以及长程相关性( l o n g r a n g ed e p e n d e n c e ) 的物理成因是信息源持续时间的重尾特性，通常用于 解释这些观测结果的通信模型是无穷源泊松模型( i n f i n i t es o u r c ep o i s s o n m o d e l ) 以及开闭模型( o n o f fm o d e l ) 2 0 0 6 年f o 爹等人【1 4 】引入了一 个更具现实性的推广的新模型，在其模型中在时间f f 到达的信息流的首个 数据包服从强度为入j 0 的泊松过程，流j 由k f 个数据包组成，第k 个数 据包的到达时间为 巧七= d + 岛七其中岛膏= 玛i ，0 k 巧 i = l 为了解释所观测到的重尾特性究竟是来源于信息源的间隔时间x 扼还是数据 包数巧，f o 爹等人给出了本文定理1 d 所述的渐近关系( 【1 4 命题4 3 ) p ( s x z ) p ( k 蠢) ( 3 4 ) 并且解决了由d a r y ld a l e y 所提出的问题，即：当玛t 有有限期望，服从指 数q 1 的正则变化且妫与x 社的尾分布满足渐近关系瓦一c 瓦时，有 p ( s k z ) 一( e k + 矿( e x ) a ) 取 ( 3 5 ) f a 9 在文中猜测( 3 4 ) 与( 3 5 ) 在更一般的重尾分布族下应会有相应的结论成 立，本文的定理2 1 对这一猜测给出了肯定的回答，并且证明了当信息源的 间隔时间x 毹为非独立的n a 列时结论依然成立 参考文献 1 a l a m ，k ；s a x e n a ，k m l 1 9 8 1 p o s i t i v ed e p e n d e n c ei nm u l t i v a r i a t e d i s t r i b u t i o n s c o m m s t a t i s t t h e o r ym e t h o d s 1 0 ，1 1 8 3 1 1 9 6 2 以2 e 善忌e i 泷e 砸，a ；l e i p u 8 ，r ；s i a u l y s ，z ，2 0 0 8 t a i lb e h a v i o ro fr a n d o m s u m su n d e rc o n s i s t e n tv a r i a t i o nw i t ha p p l i c a t i o n st ot h ec o m p o u n dr e n e w a l r i s km o d e l ，e x t r e m e s 1 1 ，2 6 1 2 7 9 【3 】a d l e r ，r ；f e l d m a n ，r ；t a q q u ，m 1 9 9 8 ap r a c t i c a lg u i d et oh e a v yt a i l s ： s t a t i s t i c a lt e c h n i q u e sa n da p p l i c a t i o n s b o s t o n ：c h a p m a n h a l l 【4 】a s m u s s e n ，s 2 0 0 0 r u i np r o b a b i l i t i e s ( a d v s e r s t a i t i s t s c i a