（统计学专业论文）重尾索赔下的破产问题研究.pdf

摘要 本论文致力于研究重尾索赔下的破产问题，总共包括六章内容在第章中， 我们首先介绍了经典风险模型及其改进模型，接着简要的回顾了近期的一些研究 文献，最后介绍了破产问题当前的研究现状 在第二章，我们引入了一些重要的重尾分布族，并介绍了它们的一些简单性 质 第三章中，我们主要研究了具有相关性的随机变量和的尾概率行为，这些微 妙豹行为经常在包括破产概率在内的应用概率的许多领域起着重要作用。 第四章到第六章是本文的主体在第四章，我们给出了常利息力下更新风险 模型有限时间内的破产概率的渐近表达式首先，我们考虑了单位时间内保费收 取是常数的情形；接着讨论了保费收取过程是一个随机过程的情形；最后我们在 带干扰的二维风险模型中继续讨论上述问题值得一提的是，在讨论前两种情况 时所得的结果弥补了现有文献中索赔分布必须是帕雷托分布的缺陷 第五章中，我们考虑的是重延迟风险模型，设保险公司的启动金为以 0 ， 彳( 群) 是破产时的亏损额，在群趋于无穷时，我们得到了么( 球) 的阶矩的渐近表达 式，其中妒( ) 是满足一定条件的非负，非减的函数 在最后一章，受g a r y 等( 2 0 0 5 ) 【1 4 l 工作的启发，利用p o l l a c z e k - k h i n c h i n 等式， 我们对中等索赔时经典风险模型的破产概率的严重程度进行了分析，并与g a r y 等( 2 0 0 5 ) t 1 4 1 的相关结果进行了比较 关键词：重尾，破产概率，更新风险模型 a b s t r a c t t h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h es t u d yo f r u i nw i t hh e a v y - t a i l e dc l a i m s i nc h a p t e rlw ei n t r o d u c et h ec a s s i c a lr i s km o d e a n di t se x t e n d e dm o d e l s ，a n d m o r e ，w eb r i e f l yr e v i e wt h er e c e n tl i t e r a t u r eo f r u i na n dg i v es o m er e c e n tw o r k i nc h a p t e r2w ei n t r o d u c es o m ei m p o r t a n th e a v y - t a i l e dc l a s s e sa n ds o m eo f t h e i r s i m p l ep r o p e r t i e s t h em a i np a r to ft h et h e s i si sf r o mc h a p t e r3t oc h a p t e r6 ，w h e r ew ep r e s e n t 0 1 1 1 r e s u l t sa n dp r o o f s i nc h a p t e r3 ，w es t u d yl l l et a i lb e h a v i o r sf o rs u m so fd e p e n d e n t r a n d o mv a r i a b l e s a si sg e n e r a l l ya d m i t t e d ，t h e s es u b t l et a i lb e h a v i o r so f t e np l a ya c u r i a lr o l ei nm a n yf i e l d so f a p p l i e d p r o b a b i l i t yb e s i d e sr u i nt h e o r y a st ot h ec h a p t e r4 i ti n v e s t i g a t e ss o m ea s y m p t o t i c sf o rt h ef i n i t e - t i m er u i n p r o b a b i l i t yo f t h er i s km o d e lu n d e rc o n s t a n ti n t e r e s tf o r c e 。w h i c ha r eo b t a i n e dw i t h o u t t h eh y p o t h e s i st h a tt h ec l a i m sh a v et ob er e g u l a r l yv a r y i n g w ef i r s tc o n s i d e rt h ec a s e t h a tt h ei n s u r a n c ep r e m i u mi sac o n s t a n t t h e n ，w es t u d yt h ec a s et h a ti n s u r a n c e p r e m i u mp r o c e s si ss u b s t i t u t e db yas t o c h a s t i cp r o c e s s a tl a s tw ep r o c e e dw i t ht h e s a m ep r o b l e mi nab i d i m e n s i o n a lp e r t u r b e dr i s km o d e la n d g e ta d e s i r e dr e s u l t i nc h a p t e r5 ，w ec o n s i d e rt h ed e l a y e dr e n e w a li n s u r a n c er i s km o d e lw i t hi n i t i a l s u r p l u su 0 l e ta ( u ) d e n o t et h ed e f i c i ta tt h et i m eo f r u i n t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o r o f t h em o m e n t so f i si n v e s t i g a t e da sut e n d st oi n f i n i t y u n d e rs o m em i l da s s u m p t i o n s ， w eo b t a i na na s y m p t o t i cr e l a t i o n s h i pf o rt h e # - m o m e n t se r a ( u ) 。w h e r e # ( ) i sa n o n - n e g a t i v ea n dn o n - d e c r e a s i n gf u n c t i o ns a t i s f y i n gc e r t a i nc o n d i t i o n s i nt h el a s tc h a p t e r , e n l i g h t e n e db yg a r y ，sw o r k , w ep r o v i d es o m es e n s i t i v i t y a n a l y s i so nt h er u i np r o b a b i l i t yo ft h ec l a s s i c a lr i s km o d e lu s i n gp o l l a c z e k - k h i n c h i n f o r m u l aw h e nt h ec l a i ms i z eb e l o n g st ot h ec l a s ss ( 力，w h e r e y 0 k e y w o r d s ：h e a v y t a i l e d ，r u i np r o b a b i l i t y , r e n e w a lr i s km o d e l 西北工业大学 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，印：研究生在校攻读学位期间论文工作 的知识产权单位属于西北工业大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复 印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北工业 大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：盛i 量墨 撕 年鳓1 日 指导教师签名 妇7 年掣月2 日 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本 人在导师的指导f 进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容 和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成 果，不包含本人或其他已申请学位或其他用途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体。均已在文中以明确方式表明。 本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 学位论文作者签名：盘岛i 鱼墨 1 “a ) 年蝴b 目 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 经典风险模型介绍 破产理论作为精算数学的一个重要组成部分，处理的主要是保险业中的 随机模型在这种模型中，保险公司拥有初始资产大于0 ，理赌发生过程由 一个随机过程来刻画，保险公司收到的保费作为其收入，保险公司每次支付 给客户的理赔额被看作是一列随机变量，保费收入与理赔额的均值的差额是 “安全负荷” 在破产理论中，一个重要的问题就是研究破产概率，即保险公司的最终 资产为负的概率在保险实务中，破产概率能够为保险公司决策者提供一个 早期风险的警示手段，它已经成了评估保险公司偿付能力的一项重要指标， 是保险公司控制风险的定量标准；具体一点说，它是保险公司设计险种，计 算保费，制定再保险和代理保险策略的基础破产理论的研究溯源于瑞典精 算师l u n d b e r g 予1 9 0 3 年发表的博士论文，至今已有百余年的历史l u n d b e r g 的工作奠定了保险风险理论的基础，他意识到了p o i s s o n 过程是非寿险模型 的关键所在后来，h a x l a dc r d m e r 和他的研究机构构筑了非寿险数学模型的 概率基础，从而将l u n d b e r g 的工作奠定在坚实的数学基础之上直到今天， 破产理论研究因其极强的理论价值和实用价值仍然是现代数学研究的热点 c r c t m e r - l u n d b e r g 风险模型是保险和金融中的一个基本风险模型，下面 我们明确其结构： 定义1 1 ( c r d m e r - l u n d b e r g 风险模型) c r d m e r - l u n d b e r g 风险模型具有如 下结构： 1 ) 索赔额以，刀l ，构成一列独立同分布的正值随机变量序列，具有共同 的分布f 和有限均值； 2 ) 索赔时间间隔，糟2l ，是一列独立同分布的正值随机变量序列，均服从 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 参数为五的指数分布，并与五，n l ，独立； 3 ) 在时间【o ，t 】中的索赔次数记为 ( ，) = s u p n 1 ：c f ， ，0 ， ( 1 - 1 ) 其中吒= 砭称为索赔时刻( 鼢 ，t o a 蕃- - p o i s s o n 施； 4 ) 风险储备的现金流u ( t ) 满足如下方程 u ( f ) = x + e t - s ( t ) ，t 0 ( 1 - 2 ) 其中工 0 为保险公司的初始储备金，c 为单位时间所收的保费， “ s ( ，) = 以 n i l 在这里，我们做如下合理的假设： p = c ( 五) 一l o ，( 1 - 3 ) 这就是所谓的安全负荷条件该假设是非常自然的，在保险的许多领域中均 将用到无限时间内的破产概率，可以通过u ( f ) ，t 0 来定义，即 ( 力= 尸( u ( ，) ) 五对某个，o ) ，x - o ( 1 - 4 ) 在实际工作中，大多数保险人关心的并不是无限时间内的破产概率，而 是在一个有限时间，譬如2 0 年内的情况如何确切地说，关心的是 妒( x ，r ) = p ( u ( f ) ) x ，对某个t 2 ，o ) x 0 ( 1 5 ) c r d m e r - l u n d b e r g 模型在百多年来一直是概率统计学家和精算学家的研 究热点，且人们已经得到了大量的结果，其中一个重要的研究成果就是无限 时间内破产概率的负指数近似，即熟知的c r d m e r - l u n d b e r g 渐近表达式，它 为后来的学者研究推广的风险模型起了很大的参考作用： ( c r d m e r l u d b e r g 渐近表达式) 若存在， 0 使得c r d m e r 条件成立，即 r i ( x ) 出= c a ( 等价于r e a d f , ( x ) = l + p ，其中e 为f 的平衡分布) ， 则存在常数c 0 使得 ( 工) c e 4 ，x 佃 ( 1 - 6 ) 2 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 其中一的意义在2 1 给出，r 通常被称之为调节系数 一旦c r o m e r 条件不成立，在推导c r c t m e r - l u n d b e r g 渐近表达式时所用 到的关键技巧( 即建立更新方程并运用关键更新定理) 就不再适用，从而就 导不出相应的负指数近似表达式那么，是不是还存在其他形式的渐近表达 式呢? 为解决这一问题，e m b r e c h t s 等引入了次指数族( e p s 族，其定义参见 2 1 ) 的概念，并得到如下结论：在c r 6 m * l 岫d b e r g 模型中，若e s ，且p 0 ， 则 ( 力一p - 1 e ) x 岭- - c o ( 1 - 7 ) 具体细节请参阅e m b r e c h t s 等( 1 9 9 7 ) p 4 1 2 改进模型及其相关结果 为了更贴切地描述现实生活中的风险过程，研究人员从如下几个方面对 c r d m e r - l u n d b e r g 模型作了不同程度的推广和改善，使其更贴近实际的风险 运作情况： 1 ) 将 ( r ) ，t o 由p o i s s o n 过程推广到复合p o i s s o n 过程和更新过程 s p a r r ea n d e r s e n ( 1 9 5 7 ) 1 2 6 1 用更新过程来描述理赔的到来，建立了更新 风险模型该模型可以顾及到理赔到达过程强度的可变性 e m b r e c h t s ( 1 9 8 2 ) 1 2 】将( 1 - 8 ) 式的结果推广到更新风险模型 2 ) 考虑利率因素的影响 在假定利息力万 0 ，其他条件与c r d m e r - l u n d b e r g 模型相同，s t m d t 等 ( 1 9 9 5 ) 1 3 0 】给出了如下风险模型： 。 d u a ( t ) = ( t ) s d t + c a r t d s ( t ) t o 即 v a t ) ：朋打+ c f e 一窆以p j ) ，f 0 ( 1 - 8 ) 在这种模型下，k l o p p e l b e r g 和s t a d 恤l n l l 盯( 1 9 9 8 ) 阎得到如下结论： 若f 冗。，则有 3 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 y ( x ) - 否8 f ( x ) ，x + m 0 - 9 ) 3 ) 考虑扩散过程的干扰 带干扰的风险模型是由g e r b e rf 1 9 7 0 年提出的，他把c r d m e r - l d b e r ：g 模型推广到带独立的b r o w n i a n 运动的情形而对破产概率进行研究， d u f r e s n e 和g e r b e r ( 1 9 9 1 ) t 1 0 】证明了破产概率满足亏损更新方程，其风险 过程为 u ( t ) = x + c t s ( f ) + 降( f )，0 ，( 1 1 0 ) 其中 ( ，) ， o 是w i n n e r 过程，均值为0 ，方差为 2 d v e r a v e r b e k e ( 1 9 9 3 ) 【3 8 】证明了在该风险模型下( 1 1 - 7 ) 渊, - r 4 ) 保费收取过程用点过程来描述 5 ) 将原来一维的风险模型推广到二维甚至多维 6 ) 综合考虑上述的两种或几种情形 t a n g ( 2 0 0 4 ) 3 4 1 研究了常利息力下保费收取过程用随机过程来描述的更 新风险模型的破产概率，在一定的条件下得到 若f 冗。，则有 一景确善哼帆( 1 - 1 1 ) j i a n g 等( 2 0 0 6 ) 【1 9 】常利息力下带干扰的更新风险模型在有限时间内的破 产概率，得到： 若f 冗。，则有 ￥a x , t ) - f ( x ) p 一础d i n ( t ) , 工专慨 ( 1 - 1 2 ) 近年来，绝大多数关于重尾分布下各种推广模型破产问题的研究都集中 在破产概率( 有限时间或无限时间内) 渐近表达式的研究，也取得了丰硕的 成果；但是，这些渐近结果的最大缺点就是索赔分布必须服从帕雷托分布 关于从其他角度研究的成果很少，有兴趣的读者可参考c h e n g 等( 2 0 0 2 ) 6 1 以及g a r y ( 2 0 0 5 ) p s 等 4 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 鉴于以上原因，本文从有限时间内破产概率的渐近表达式、破产时亏损 额矩、破产概率的严重程度三个方面来研究破产问题，丰富了破产理论的研 究成果值得一提的是，本文在研究常利息力下更新风险模型有限时间内的 破产概率的渐近表达式时，弥补了现有文献中索赔分布必须是帕雷托分布的 缺陷 西北工业大学硕士学位论文 第二章重尾分布 第二章重尾分布 2 1 常用记号及重尾分布 在本文中，若没有特别说明，所有的极限关系都是针对x 啼斗m 的对于两个 正函数口( x ) 和6 ( x ) ，当5 m s u p a ( x ) b ( x ) l 时，记做口( 力 - 1 ；当0 l 的前以项部分和与前n 项的最大值是尾等价的， 从而说明了次指数分布族可以用来模拟大额损失变量的分布的原因 我们现在把一些常见的次指数分布列在下面以供参考，它们表明次指数分布 族是一个内容非常丰富的分布族下列各条中，f 表示一个非负随机变量的分布 函数，表示，的密度函数 6 西北工业大学硕士学位论文 第二章重尾分布 对数正态( l o g n o r m a l ) ：对r ，盯 o ， = 了去e x p _ 陋x 刊2 枷2 ) ； p a r e t o ：对g 0 ，茁 o b u r r ：对口 0 ，j r o , r 0 w e i b u l l ：对c o 0 o ， 八功= 高a n 矿善。“； 截断口一稳定分布：对某口一稳定的随机变量x ，其中1 o ，( 2 - 1 ) 则称分布f ( 或随机变量x ) 是重尾的；相反，如果存在t o o 使得 r e 4 d f ( x ) + c o 对任意o l ；( 2 4 ) e r v ( c t ，卢) 族：分布f 满足 瞬l i m 。s 。u pf ，( 【l 功x ) = 1 ； ( 2 5 ) y+4剑iminff(,xo),)lim，一supf_(x工y)x-h4cd ff j ，1 ，对任意j ， 1 ；( 2 6 ) ( x ) ，一 ( 工 7 、7 c 族：分布函数f 满足 l i m ! ：；笔掣：1 ， 对任意_ y 0 ( 或等价地说，对于j ，：1 ) ；( 2 7 ) h f ( 工) 。 口族：分布f 满足 l i ms u p 罢嘤 佃对任意o - 一舰訾， 【 l o g y i ，喇l o gj ， 。 石叫一一l o g f ( y ) 护t - _ 牌訾 彤和分别被称作分布非负非减函数八功= ( _ ( 力) 一1 的f 篚j _ e t m a t u s z c w s k a 指标( 见文献t a n g 等( 2 0 0 3 ) 1 3 3 1 ) 特别地，若f e 口，则以 ) ；若足兀则称刀唳是和封 闭的；若盯兀则称，族是积封闭的下表总结了重尾分布族的最大值一和等 价性、和封闭性和积封闭性关于e r v ( a ，刃族的和封闭与积封闭的证明，将在 后面的定理2 1 给出，其余各类的证明可参阅c a i 等( 2 0 0 4 ) t 3 表2 一l 重尾分布族的最大值一和等价性、和封闭性和积封闭性 汶 冗。族 e r v ( c t ，) c 族s 族c 族c n 口族口族 最大值 一和是是是 否 否是否 等价 和封闭 是 是是 否 是是是 积封闭是是是否否是是 9 西：l l ：- r 业大学硕士学位论文第二章重尾分布 定理2 1 设相互独立的非负随机变量z 和】，的分布函数分别为f 和g ，它们的 和x + y 与积x y 的分布函数分别为k 和日若f e r v ( - a ，) ， g e r v ( - c t ，一) ，则 k e r v ( - c t ，- p ) ，日e r v ( - a ，一所 证明：由假设条件知：- g ( x ) 一万( 功+ - ( x ) ， 另一方面，对任意的口 0 ，b o ，c 0 ，d 0 ，有 因此， 对称地， 鬲a + b m a xl 6 ，a - d争c +6d l i m s u p k ( 1 x ) ：l i m s u p 型堕丝盟l i m s u p i n a ) 【 型，型， ，一k ( h + 曲f ( x ) + g h 棚。 f ( x ) g ( 功。 ( 2 1 4 ) ( 2 - 1 5 ) ( 2 - 1 6 ) = 删i m ，一s u pf 州( i 功x ) ”i r 。a s 。u p 静刊一 ( 2 _ l 乃 l i 。m 。i n fkk(tx)=li，m。inf鬻，-4 ( 2 - 1 8 ) 一k ( ，一，( 石) + g ( 力 。 从而有k e r v ( - c t ，一) 由c l i n e 等( 1 9 9 4 ) 【7 1 定理3 3 0 ) ，知 m i n j ；，龙 厶以sm 瓤 彤，露 ， 显然，日e r v ( - o t ，- p ) 定理2 2 对任意的p 1 ，有 曲x x c ， 们x d j x 9 d ， 由x s j x p s 证明： a ) 当p 1 时，由l i r a x ”9 - ( x - a ) 1 7 9 = 0 知 ，h l o 西北工业大学硕士学位论文第二章重尾分布 b ) 对任意的占 0 ，当x 充分大时，x i i p x - a ) p ( x = 警s 篙铲札 9 f ) “，( 功”p l i m 。s 。u p p 郴( x v x y ) = 警笺穿 2 ，+ 畸p t x 曲 。 糯x 9e s ， 定理2 3 若x 存在有限期望，且其分布函数的平衡分布e & 则对以2 1 有 l i r n 璺生：o x - q t 。疋( 力 证明；( 运用数学归纳法) 由s u 等( 2 0 0 3 ) 【2 9 1 知 e e s j e c f 6 朋， 所以根据m 族定义，当若石存在有限期望时，若ee , s ，则有 f ( 力= d ( e ( ) 从而当玎= 1 时原结论成立 假设当n = k 时结论成立，即 i 瓢) = 口( 巧( 功) 所以，对任意的 o ，存在x o ，当x x o 时， 矛b 占巧( 功 1 l ( 2 1 9 ) ( 2 - 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) 西北工业大学硕士学位论文第二章重尾分布 当c s c c 时，对上述，有 墨垒= 塑哼1 e 所以有 万丽( x ) _ ( z ) + r 万。一o a f ( t ) 1 = = - 一= = = = = 一 e )1 7 , i + - # o 万( 苫一，) 谚( ，) + r 万0 一t ) d f ( t ) _ - j r a 一氙r 一 ! 二銎二竺生銎二型 e ( ：s f * f , ( x - x 。o ：) ：+ ( l - 8 ) f ( x - x o ) 占两( x x o ) + o p ) f ( 石一x o ) 瓦( x x o ) 只0 一)e ( x ) 一0 f 2 - 2 2 ) 最后一步我们只需把，和e 分别看作第五章引理5 2 2 中的g 和f 即可 因此当r = k + l 时结论成立 从而原命题成立 1 2 西北工业大学硕士学位论文 第三章相关变量和的渐近估计 第三章相关变量和的渐近估计 在应用概率的许多领域中，常常需要处理相关随机变量和的问题，尤其是在 保险精算领域关于它的研究即使在传统的概率论中也是值得研究的，因为它对 我们研究随机变量和的尾概率以及随机加权和都是非常有益的其实，关于风险 模型破产概率的研究，本质上都可以归结到随机变量随机和的问题，因为盈余过 程的表达式实质上就是随机变量随机和的形式有关随机变量随机和的具体应 用，有兴趣的读者可参考r o g e r 等( 2 0 0 5 ) 跚 3 1 引理和主要结果 本章中，我们假设 巧，n = 1 ，2 ，i 为一个i i d 。随机变量序列，具有共同分布 函数f ，( r ，f = 1 ，2 ， 为一列非负的i i d 随机变量序列，具有共同分布函数g ， 且与 z ，i = i ，2 ，”独立；另外我们分别用z 和y 表示序列 五，f = l ，2 ，) 和 z ，t = 1 ，2 ，的母随机变量，并设j z 的分布函数为日 定理3 1 设z = x 五巧，0 q 佃，i = 1 ，2 ，如果f c n d 且存在某个常 数o n ( 3 1 ) 埘 hn p ( ( q 蜀场 x ) 一p “q 蜀) 互 x ) ，( 3 - 2 ) ，i4 注( i ) f h - t - 当g 冗。时，世掣器rl i 。m 。i n f s g l x y ) 羽2 佃，从而 石= d ( - ( x ) ) ，因此r o g e r 等( 2 0 0 5 ) f 蠲定理3 2 所得结果是上述定理的自然结果 西北工业大学硕士学位论文第三章相关变量和的渐近估计 ( i i ) 如果f ee n ) , y 有界，显然有石o ) = d ( 耳( “) ) ，从而( 3 1 ) 和( 3 2 ) 式仍 然成立 定理3 2 设z = k e r ，0 a j 口，使得e - b o o ，则对任意n = l ，2 ，式( 3 - 2 ) 仍然成立 引理3 1 i f ! 设x 和y 是两个相互独立随机变量，分别具有分布函数f 和g ，记日 为灯的分布函数，若f c ，g ( = d ( 耳( 鳓) 对任何o d 佃，则日c 引理3 2 1 州设彳和】，是两个独立随机变量，分别具有分布函数f 和g ，记日为 x y 的分布函数，如果f e c n d ，g ( o ) = 0 ，且g c x ) = d ( h o ) ) ，贝i j h e e n d , 并且存在一个正函数口( - ) 满足口( 力专+ m ，口( 功= 口( 力，以及- ( 口( 工) ) = d ( _ ” 注文献【4 】在证明该引理的过程中，已经证明了如下命题： 如果f d ，g ( 0 ) = o ，_ 1 t g ( x ) - - o ( h ( x ) ) ，则日巧并且存在一个正函数 口( ) 满足口专佃，a ( x ) = d ，以及g ( 口) = 口( 日o ) ) 。 由t a n g 等( 2 0 0 3 ) 【3 3 l 引理3 7 和3 8 易证： 引理3 3 设x 和】，是两个相互独立随机变量，分别具有分布函数f 和g ，f 易 并且对某个大于m a t u s z e w s k a 上指标的正数p ，满足五y + ，则有 否( x ) = 口( ( 砌( 3 3 ) 和 f o g 兰f ( 工) ( 3 4 ) 成立 引理3 4 若f 蜀g 0 ) = d ( f o ) ) ，则f + g ( 功f o ) 3 2 定理证明 定理3 1 证明 由口族定义，结合已知条件，对任何0 力+ 球口一+ 以) k 工】( 3 - 7 ) 由引理3 2 的注知存在一个正函数口( ) 满足口( 力寸佃，口( 功= d ( ，使得 i i i i l g f ! 幽 ：o 熙丽寡赫。0 因此， p 【( q ，- l + j 0 i ) i + ( + 咒) 写】：，1 胡 = ( r + e ) + 以t ) + 瓴+ 兄 x j ， d g ( 力 ；r ( p + 以d 多州魄+ 五黔；归+ 叩( 口 一r ( 尸瓴+ 五q 多+ 眠+ 五) 手) 施+ 。( 虿( 圳 一r ( ，瓴。+ 疋q 多+ p + 瓦形 手 粥+ 。， p 【( 吒- l + 。k 4 ) 】：i 苫】+ p 【( + 咒) e e l 膏】 ( 3 - 8 ) 易证+ 以。分布属于c n 口，又由于 。+ 五一i ) + ( + 置) 写的分布也属于 n 口，从而( - 2 + j 0 2 ) + d ( q - i + 五- 1 ) 艺_ i + ( + 瓦) e j ：1 】的分布也属于c n n 西北工业大学硕士学位论文 第三章相关变量和的渐近估计 同时， ( - 2 + 瓦- 2 ) 一2 + ( 吒- l + 以_ 1 ) o 。艺一2 + ( + z ) o 。一2 = ( 吒一2 + 咒一2 ) + 【( - l + 以一1 ) 一i + ( + z ) 艺坛l 】 艺- 2 按照上面的方法可以证明 p 瓴一2 + 以2 ) y 。- 2 + ( 一i + 瓦一1 ) 一l 2 + 魄+ 咒) k k 一2 对 p ( 一2 + 五j 一2 ) 】知 x 】+ p ( q ，- l + k i ) 一l + ( + 以) k e i 】2 砖 尸【( q - 2 十k ，2 ) k 一2 明+ p 【( 一i + 瓦1 ) k i - 2 明+ p 【( + 五) k - l 艺- 2 明 如此递推下去，可以得到( 3 一1 ) 式 g a z ? p c a , x , 功= ( 三) = d ( _ ( 砌，同理可证( 3 - 2 ) 式成立 q 定理3 2 证明 由于g e 冗且磁“；佃。则 l i l i l i n f 掣l _ l i 恶i 箩罢黪( y ) = e p = 佃( g 。g 表示k e 的分布) x - i - o g ( x ) 由 g ( 并) 1 e p - 6 ( x ) = d ( 石丽( 砌，则由引理3 2 的注可知； 存在一个正函数口( ) 满足4 ( x ) 一如o ，4 ( 砖= 口( 力，使得舀( 口0 ) ) = o ( 丽 ) ) 根据引理3 3 、冗。族的积封闭性和口族定义知 同时， 尸( z l ：l 力兰p ( a o k x ) 兰尸( ，二 功= g ( ， ( 3 - 1 0 ) 尸( k 匕k - 兰石i i 洒( 力 ( 3 - 1 1 ) 结合引理3 3 和3 4 ， 热篙笼糟= l i r a 笔等等矿嗍，一一p ( ，l 以_ l + 以 功 。+ ”p ( 爿。j ：l 工) 从而a n 。以一+ q 以的分布属于冗一口，由冗。族的积封闭性进而可以得到 1 6 西北工业大学硕士学位论文第三章相关变量和的渐近估计 ( 。五。+ 瓦夏) 的分布属于冗。，因此 p ( i 以i + 五) 力 = ( r + ) p ( 以一鼍 争粥 = ( r 眠以和x y ) d g ( y ) + 0 ( - ( 口 一p ( z k ， 功+ d ( 石p ( x ) ) ) 一瓦k 匕。 功 按照上面的方法可以证明 以吼五2 k 2 + - l 五一l j 二- 2 + 以kj ：“j ： 曲 一p ( 味i 置一i o 。十咒写写一。写- 2 功 一p ( 咒艺艺一。匕2 ( 3 - 1 3 ) ( 3 - 1 4 ) 如此递推下去，可以得到 月 p ( ( q 蜀场 功一尸( 以乙 力0 一1 5 ) t - i 应用( 3 - 9 ) ( 3 1 1 ) 式不难得到，对每一个i - - 1 ，2 ，n - 1 ， 因此有 舰糍= o ， 月h p ( ( q 五磁 曲尸( ( 口j 五) 互 力 抽l，_l 1 7 ( 3 - 1 6 ) 西北工业大学硕士学位论文第四章有限时间内破产概率的渐近结果 第四章有限时间内破产概率的渐近结果 4 1 单位时间收取的保费为常数的情形 更新风险模型是保险和金融中的一个基本风险模型，它具有如下结构： 1 ) 索赔额以，栉1 ，构成一列独立同分布的正值随机变量序列，具有 共同的分布f ； 2 ) 索赔时间间隔艺，以2 l ，是一列独立同分布的正值随机变量序列，并 与以，n 1 ，独立； 3 ) 在时间【o ，】中的索赔次数记为 = s u p n 1 ：吒s ， ，t 0 ， 其中= 丘称为索赔时刻； i - l 4 ) 设保费率c 0 ，利息力占 0 ； 5 ) 风险储备的现金流以( ，) 满足如下方程 ( 4 1 ) 以( ，) = 船打+ c f ”协一警蜀e 以) ， ，o ( 4 2 ) 其中x 0 为保险公司的初始储备金 i r m ( t ) 为随机过程( r ) ，f 2 0 的更新函数，我们知道 掰( f ) = p ( c r s f ) ，t o ( 4 - 3 ) n - i 定义上述风险过程在有限时间r 内的破产概率为 y a x ，d = p ( 珏以o ) 0 均有 西j 匕工业大学硕士学位论文第四章有限时问内破产概率的渐近结果 p ( y 力 0 ，则 阮乃一i ( x e 田) 咖( ，) ( 4 - 5 ) 引理4 1 1 设 五，1 后疗) 是刀个独立同分布的随机变量，其共同分布 f ec n 2 馄，1 s j s 田是另外栉个独立于 五，l 力p ( b 五 力 ( 4 6 ) 证明：对任惹的集合1c l ，2 ，啦，记事件 q ( d = 以o 对所有的j e d t q ( ，) = = 0 对所有的i 萑d ( 4 - 7 ) 而 p ( b 五 = p ( 善n 嚷五 而垒 o ) ) + p ( 耋嚷也 毛立( 嚷= o ) ) =五+毛(4-8) 既然馄。i sj i 疗) 有界，则对所有的1 s | j 疗，总存在某一个常数 o 0 9 ( 4 - 9 ) i - l一 另一方面， 五= p 五q ( 见= o ) ，q ( d n q ( d ) i ：c 1 1 , 2 一l i l l 蚍 = 尸( b 五 x , 2 c o , = o ) q ( d n q ( d ) f o c 媳3 一l h d 1 9 堕! ! 三些盔堂堕主堂垡论文第四章有限时问内破产概率的渐近结果 。，l。p(晚酗墨q(嚷=o)，nq(功oll 2 k e l。，川 州 = p 五 而q = o ) ，q ( ，) n q ( 助 k = ll ：i c l 2 一i 奄h 汀 = 砉p ( 幺五 毛立以= o ) ) ( 4 - 1 0 ) 将( 4 9 ) 和( 4 1o ) 带入到( 4 - 8 ) 可得( 4 6 ) 式 证毕 引理4 1 2 捌f = e + e ，设墨和e 是两个具有支撑集 o ，佃) 的分布若 e s ，最( x ) f 五( x ) 0 o ) ，则f ( 功= 石+ e ( d l ，有器制肌( 4 - 1 1 ) 对所有。y d 2 ，有筹s c 2 ； 并且，x - p * = d ( - ( 砌 定理4 1 1 证明由关系式( 4 4 ) 知 ( 4 - 1 2 ) 似r ) = p ( e 一押( ，) x ) ， ( 4 一i s ) 西北工业大学硕士学位论文 第四章有限时间内破产概率的渐近结果 o ) 2 尸( 羔n 1 以矿q x + 詈对某个f e ( o ，刀) o ) 2 尸( 以矿q x + 要对某个f e ( o ，刀) v = 尸c 警以e 吨 善+ 争 ( 4 - 1 6 ) 假若我们已经证明了 尸( 罢曲叫芝觏矿力 m ) d i n ( t ) ，( 4 - 1 7 ) x ex e f - & x e ) d i n ( t ) 尸( 包 曲= p ( 觏玎) 力 4 ， n l n = l 则由c 族定义易知 尸( 罢n - iv 瓴 x + 争r 瓢+ e j ，) e s t ) d i n ( t ) r 打) d i n ( t ) 8 ) 这样，综合( 4 一1 3 ) 和( 4 1 4 ) 可以得到目标关系式( 4 5 ) 下面我们按照上述思路证明该定理 记 。= z p 一峨如奶，加m = o 1 ，= 瓦p 一，f o r m = o 1 文献 5 】定理1 证明了 l i m s u p l i r a 。薹。墨笺产= 舰l i m 。s 。u p 丛瓮茅= o ( 4 - 1 9 )，_ w 。：= i，”+ ”h f ( 功 从而 i i ml i m s u p 丛垒三生：l i ml i m s u p 萝墨墨! 兰立尘型：o m - - i - 1 4 。，一f o ) 一+ 一，一。彖if ( 功 为了文章的完整性，我们我们将文献【5 】中的证明复述如下： 取足够大的正整数m ，使得i - 2 刁= p ( 以p 一觏钔 力 2 1 兰唑曼型壁苎塑型：丝笙塞 笙婴童查堡堕塑堕壁主壑皇盟塑望熊墨 叫n 芝。m + l 以e 鲰b n 艺f m + l 争 ，i p ( n 。u m +