（应用数学专业论文）二重粗积分与系统识别.pdf

山东大学硕士学位论文 摘要 1 9 8 2 年，波兰数学家z p a w l a k 教授提出粗糙集理论( r o u g hs e t st h e o r y ) ，粗糙 集就是用上，下近似两个集合来定义一个不可定义的集合x x 是一个静态的集 合2 0 0 2 年史开泉教授将z p a w l a k 粗糙集进行推广，提出奇异粗集( s i n g u l a rr o u g h s e t s ) ，简称s 粗集，它包括两种形式：单向s 粗集，双向s 粗集s 粗集将z p a w l a k 粗糙集的固定边界线变为浮动边界线，因此在s 一粗集中，对象集合x 是动态的 z p a w l a k 粗糙集是s 粗集的特例，s 粗集是z p a w l a k 粗糙集的一般形式在s 粗集 的基础上，史开泉教授将元素等价类b 】推广为函数等价类l 】，提出了具有属性集 a 的函数等价类i “l 定义的函数s 粗集一个函数就是一个规律，函数s 一粗集具有动 态特性、规律特性如果在k 】的属性集口中增加属性，则l 】生成的规律曲线随着口 的属性增加而下移；反之，如果在k 】的属性集口中减少属性，则l 】生成的规律曲 线随着a 的属性减少而上移函数s 粗集的粗规律曲线是动态变化的，对于研究系 统中的规律，提供了理论支持，这为二重粗积分的出现奠定了理论基础，二重粗积 分的出现又为研究能量变化提供了一个有效的工具二重粗积分是粗集理论和应 用研究中的又一个新的研究方向 本文具体的成果如下： 第一章主要介绍粗糙集、s 粗集、函数s 粗集的发展概况，然后介绍本文的 内容和结构，让读者了解本文的写作背景及框架 第二章进入本文的主体部分，主要介绍单向s 粗集、双向s 一粗集、单向s 粗集 对偶、函数单向s 粗集、函数双向s 粗集以及函数单向s 一粗集对偶的概念和其定 理关系，这些内容是第三章和第四章的理论基础 第三章在函数单向s 粗集的基础上，提出其生成的函数，一个函数就是一个规 律，因生成的规律曲线随着属性的迁入而向下移动，所以具有动态特性和规律特性， 从而提出在指定区间的粗区域的概念，进而提出以函数单向s 粗集为基础的二重粗 积分的概念，由于粗区域具有动态特性，所以f 二重粗积分也具有动态特性，通过这 种动态特性给出了f 二重粗积分的萎缩度与萎缩率的概念目前对于函数s 一粗集 山东大学硕士学位论文 的研究均是落在研究双向动态特征和规律形成的既成事实上，而没有深究它在能量 变化过程中引起的量化变化，通过萎缩度和萎缩率的概念我们就可以达到将能量变 化量化的目的，并将其应用到系统识别中，这样我们就可以度量系统因属性增加而 受到的干扰的程度和效果，结果更直观 第四章在函数单向s 粗集对偶的基础上，提出其生成的函数，一个函数就是一 个规律，因生成的规律曲线随着属性的迁出而向上移动，所以具有动态特性和规律 特性，从而提出在指定区间的粗区域的概念，进而提出以函数单向s 粗集对偶为基 础的二重粗积分的概念，由于粗区域具有动态特性，所以f 一二重粗积分也具有动态 特性，通过这种动态特性给出了f 二重粗积分的扩张度与扩张率的概念，通过扩张 度和扩张率的概念我们就可以达到将能量变化量化的目的，并将其应用到系统识别 中，这样我们就可以度量系统因属性丢失而受到的干扰的程度和效果，同样结果比 较直观 第五章是对论文的总结和展望，让读者了解二重粗积分这样一个新的研究方 向具有非常广阔的前景 关键词s 粗集；函数s 一粗集；粗区域；二重粗积分；系统识别 i i 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t r o u g hs e t st h e o r yw a sp u tf o r w a r db yp o l a n dm a t h e m a t i c i a nz p a w l a ki n19 8 2 ，i n w h i c ha nu n d e f i n e ds e txc a nb ed e f i n e db yt h el o w e ra p p r o x i m a t i o na n dt h eu p p e r a p p r o x i m a t i o n i nr o u g hs e t s ，t h eo b j e c ts e txi sas t a t i cs e t i n2 0 0 2 ，p r o f e s s o rk a i q u a n s h ie x t e n d e dz p a w l a kr o u g hs e t si n t os i n g u l a rr o u g hs e t s ，c a l l e d s - r o u g hs e t sf o r s h o r t ，w h i c hh a st w of o r m s ：o n ed i r e c t i o ns - r o u g hs e t s ，t w od i r e c t i o ns - r o u g hs e t s t h e b o u n d a r yo fxi ns - r o u g hs e t si sd y n a m i c z p a w l a kr o u g hs e t si st h es p e c i a lc a s eo f s r o u g hs e t sa n ds - r o u g hs e t si st h eg e n e r a lf o r mo fz p a w l a kr o u g hs e t s o nt h eb a s i so f s r o u g hs e t s ，p r o f e s s o rk a i q u a ns h id e v e l o p e dt h ee l e m e n te q u i v a l e n c ec l a s s i n t o f u n c t i o ne q u i v a l e n c ec l a s si ni ，a n da d v a n c e df u n c t i o ns r o u g hs e t sw h i c hi sd e f i n e db y j， f u n c t i o ne q u i v a l e n c ec l a s s - 】w i t ht h ea t t r i b u t es e t s 口af u n c t i o ni sar u l e ，f u n c t i o n s r o u g hs e t sh a v ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i ca n dr e g u l a rf e a t u r e s i ft h ea t t r i b u t i o ni n c r e a s e s i nt h ea t t r i b u t es e t s a ，t h er e g u l a rc u r v er e s u l t e db y k 】w i l lm o v ed o w nw i t h i n c r e a s i n ga t t r i b u t i o n ；o nt h ec o n t r a r y , i ft h ea t t r i b u t i o nd e c r e a s e si nt h ea t t r i b u t es e t s a ，t h er e g u l a rc u r v er e s u l t e db yl 】w i l lm o v eu pw i t hd e c r e a s i n ga t t r i b u t i o n t h e r o u g hr e g u l a rc u r v eo ft h ef u n c t i o ns - r o u g hs e t si sd y n a m i c ，i tp r o v i d e st h et h e o r e t i c a l s u p p o r tf o rt h er e s e a r c ho fs y s t e mr u l e s ，a n dl a y st h et h e o r e t i c a lf o u n d a t i o nf o rt h e a p p e a r a n c eo fd o u b l er o u g hi n t e g r a l s ，t h ea p p e a r a n c eo fd o u b l er o u g hi n t e g r a l sp r o v i d e s ae f f e c t i v et o o lf o rt h er e s e a r c ho fe n e r g yc h a n g e t h ed o u b l er o u g hi n t e g r a l si san e w r e s e a r c hi nt h er o u g hs e t st h e o r ya n da p p l i c a t i o n s t h ec o n c r e t er e s u l t so ft h i sp a p e r ： i nc h a p t e r1 , i tm a i n l yi n t r o d u c e dt h eg e n e r a lc o n d i t i o n sa n dd e v e l o p m e n to fr o u g h s e t s ，s r o u g hs e t sa n df u n c t i o ns - r o u g hs e t s ，i tc a nm a k er e a d e r sk n o wt h eb a c k g r o u n d a n df r a m e w o r ko ft h i sp a t e r i nc h a p t e r2 , i tc a m ei n t ot h em a i np a r to ft h e p a t e r , a n dm a i n l yi n t r o d u c e dt h e c o n c e p t sa n dr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e mo fo n ed i r e c t i o ns - r o u g hs e t s ，t w od i r e c t i o n i i i 山东大学硕士学位论文 s - r o u g hs e t s ，d u a lo fo n ed i r e c t i o ns - r o u g hs e t s ，f u n c t i o no n ed i r e c t i o ns - r o u g hs e t s ， f u n c t i o nt w od i r e c t i o ns - r o u g hs e t sa n dd u a lo ff u n c t i o no n ed i r e c t i o ns - r o u g hs e t s ，a l l t h e s ea r et h et h e o r e t i c a lb a s i sf o rt h en e x tt w oc h a p t e r s i nc h a p t e r3 , b a s e do nf u n c t i o no n ed i r e c t i o ns - r o u g hs e t s ，f u n c t i o n sg e n e r a t e df r o mi t w e r ep u tf o r w a r d o n ef u n c t i o ni sar u l e ，s ot h e yh a v ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i ca n dr e g u l a r f e a t u r e sb e c a u s et h er e g u l a rc u r v e sr e s u l t e dm o v ed o w n 、析t hi n c r e a s i n ga t t r i b u t i o n ，a n d t h e nt h ec o n c e p to fr o u g ha r e af r o ms p e c i f i e di n t e r v a lw a sp u tf o r w a r d ，w h e r e u p o nt h e c o n c e p to fd o u b l er o u g hi n t e g r a l sb a s e do nf u n c t i o no n ed i r e c t i o ns - r o u g hs e t sw a sp u t f o r w a r d ，a n di th a sd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i cb e c a u s et h er o u g ha r e ah a sd y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c ，t h ec o n c e p to fs h r i n k i n gm e a s u r e m e n ta n ds h r i n k i n gr a t eo ff - d o u b l e r o u g hi n t e g r a l sw e r eg i v e nt h r o u g ht h ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c n o wt h er e s e a r c ha b o u t f u n c t i o ns - r o u g hs e t sa l m o s ta r et h et r u t ho fb i d i r e c t i o n a ld y n a m i cc h a r a c t e r i s t i ca n d r u l ef o r m i n g ，a n dd o n td e e p l yr e s e a r c ht h eq u a n t i t a t i v ec h a n g ei nt h ep r o c e s so fe n e r g y c h a n g e b u tw ec a nm a k ed y n a m i cp r o c e s so fe n e r g yc h a n g em e a s u r a b l et h r o u g ht h e s h r i n k i n gm e a s u r e m e n ta n ds h r i n k i n gr a t e ，t h e nw ec a n m a k ei tu s e f u li nr e c o g n i t i o no f t h es y s t e m ，s ot h a tw ec a nm e a s u r et h ee x t e n to fi n t e r f e r e n c ef o ri n c r e a s i n ga t t r i b u t i o ni n s y s t e m ，a n dt h er e s u l ti sm o r e v i s u a l i nc h a p t e r 4 , b a s e do nd u a lo ff u n c t i o no n ed i r e c t i o ns - r o u g hs e t s ，f u n c t i o n sg e n e r a t e d f r o mi tw e r ep u tf o r w a r d o n ef u n c t i o ni sar u l e ，s ot h e yh a v ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i ca n d r e g u l a r f e a t u r e sb e c a u s et h er e g u l a rc u r v e sr e s u l t e dm o v eu p 、i t hd e c r e a s i n g a t t r i b u t i o n ，a n dt h e nt h ec o n c e p to fr o u g ha r e a f r o ms p e c i f i e di n t e r v a lw a sp u t f o r w a r d ，w h e r e u p o nt h ec o n c e p to fd o u b l er o u g hi n t e g r a l sb a s e do nd u a lo f f u n c t i o n o n ed i r e c t i o ns - r o u g hs e t sw a sp u tf o r w a r d ，a n di th a sd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i cb e c a u s e t h er o u g ha r e ah a sd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c ，t h ec o n c e p to fd i s t e n d i n gm e a s u r e m e n ta n d d i s t e n d i n g r a t eo ff - d o u b l er o u g hi n t e g r a l sw e r eg i v e nt h r o u g ht h ed y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c ，a n dt h e nw ec a l lm a k ed y n a m i cp r o c e s so fe n e r g yc h a n g em e a s u r a b l e t h r o u g ht h ed i s t e n d i n gm e a s u r e m e n ta n dd i s t e n d i n gr a t e ，t h e nw ec a nm a k ei tu s e f u li n r e c o g n i t i o no ft h es y s t e m ，s ot h a t w ec a nm e a s u r et h ee x t e n to fi n t e r f e r e n c ef o r i v 山东大学硕士学位论文 d e c r e a s i n ga t t r i b u t i o ni ns y s t e m ，a n dt h er e s u l ti sv i s u a l i nc h a p t e r5 , i ti ss u m m a r yo ft h i sp a t e r , a n dc a nm a k er e a d e r sk n o wt h a tt h e r ei sa v e r yb r o a dp r o s p e c tf o rt h er e s e a r c ho fd o u b l er o u g hi n t e g r a l s k e y w o r d s ：s r o u g hs e t s ；f u n c t i o ns - r o u g hs e t s ；r o u g ha r e a ；d o u b l er o u g hi n t e g r a l s ； r e c o g n i t i o no ft h es y s t e m v 山东大学硕士学位论文 u r i n d x 】 足( x ) ，r 一( x ) x ，j ， ，f ，f c a r d d q m 矿 倥 符号说明 有限非空论域 等价关系 不可分辨关系 对象x 所在的i n o ( r ) 等价类 x 的r 下近似，上近似 x 的补集 元素迁移或干扰方向 元素迁移簇或干扰方向 基数 有限函数论域 函数集 函数等价类 有限属性论域 属性集 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：量塑e t 期：2 塑：! ! ：必 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：星赳导师签名：避日期：2 啦、芍 山东大学硕士学位论文 1 1 1 粗糙集理论的发展概况 第一章前言 经典逻辑中只有真、假二值，但实际上有大量含糊现象存在于真和假二值之间， 因此，长期以来许多逻辑学家和哲学家就致力于研究含糊概念早在1 9 0 4 年，谓词 逻辑的创始人g f r e g e 就提出了含糊( 德文v a g u e ) - - 词，并把它归结到边界线区域， 也就是说在论域上存在一些个体既不能在某个子集上被分类，也不能在该子集的 补集上被分类1 9 6 5 年，l a z a d e h 创立了模糊( 用英文词f u z z y 翻译德文v a g u e ) 集 合论【l 】，不少理论计算机科学家和逻辑学家都试图通过这一理论解决g f r e g e 的含 糊概念，但模糊集是不可计算的，没有给出数学公式来描述这一模糊概念，故无法 计算出它在边界线上的具体的含糊元素数目2 0 世纪7 0 年代，波兰学者z p a w l a k 和一些波兰科学院、波兰华沙大学的逻辑学家们一起从事关于信息系统逻辑特性 的研究，正是在这些研究的基础上，z p a w l a k 于1 9 8 2 年针对g f r e g e 的边界线思想 提出了粗糙( r o u g h ) 集( r o u g h 是波兰人对v a g u e 的翻译) ，发表了经典论文r o u g h s e t s 2 1 ，宣告了粗糙集理论的诞生他把那些无法确认的个体都归属于边界线区域， 而这种边界线被定义为上近似集与下近似集之间的差集，由于上近似集和下近似 集都可以通过等价关系给出确定的数学公式描述，所以含糊元素数目可以被计算 出来，即在真假二值之间的含糊程度可以计算，从而实现了g f r e g e 的边界线思想 粗糙集理论主要兴趣在于它恰好反映了人们用粗糙集方法处理不分明问题的常规 性，即以不完全信息或知识去处理一些不分明现象的能力粗糙集自提出以来就 一直得到l a z a d e h 的重视，并给予很高评价，将粗糙集与模糊逻辑、概率推理、 信度网络、神经网络、混沌理论、遗传算法及其他进化优化算法等一起列为他所 提倡的软计算的各种基础理论 粗糙集理论作为一种处理不精确、不确定与不完全知识或数据的表达、学习、 归纳的理论方法，n 2 0 世纪8 0 年代末才逐渐引起各国学者的关注特别是近来的 十几年中，由于它在机器学习与知识发现、数据挖掘、决策支持与分析等方面的广 泛、成功的应用而成为当前计算机人工智能、信息科学等领域的研究热点之一 山东大学硕士学位论文 在国际上，1 9 9 1 年z p a w l a k 出版了第一本粗糙集学术专著( ( t h e o r e t i c a la s p e c t s o fr e a s o n i n ga b o u td a t a ) ) 1 3 ，系统全面地阐述了粗糙集理论，给出了严密的数学定 义和表达；1 9 9 2 年出版了粗糙集理论的应用专辑，总结了当时的粗糙集理论和应用 1 9 9 2 年，第一届关于粗糙集理论的国际学术研讨会在波兰召开：自1 9 9 2 年开始至 今每年都召开以粗糙集为主题的国际会议，国际上成立了粗糙集学术研究会；1 9 9 5 年，a c mc o m m u n i c a t i o n 将粗糙集列为新浮现的计算机科学的研究课题；1 9 9 8 年， 国际信息科学杂志( i n t e m a t i o n a lj o u r n a lo fi n f o r m a t i o ns c i e n c e s ) 为粗糙集理论的研 究出了一期专辑；2 0 0 4 年，国际粗糙集协会主办的第一本粗糙集国际期刊 ( ( a d v a n c e si nr o u g hs e t s ) ) 出版发行；波兰华沙大学、工业大学、信息技术与管理 大学和加拿大r e g i n a 大学和s t m a r y 大学、英国e d i n b u r g h 大学、u l s t e r 大学和c a r d i f f 大学、意大禾l j c a t a n i a 大学、印度统计研究院、美国s a nj o s e p h 立大学等对粗糙集理 论有着深入研究在国内，第一届粗糙集与软计算学术研讨会于2 0 0 1 年在重庆邮 电学院召开：从2 0 0 1 年开始由中国计算机学会和人工智能与模式识别专业委员会 主办，每年召开一届粗糙集与软计算学术研讨会中国人工智能学会于2 0 0 3 年正 式成立粗糙集与软计算专业委员会；目前，国内研究粗糙集的学者也越来越多，如 曾黄麟、王国胤、刘清、张文修、史开泉等曾黄麟、王国胤、刘清、张文修、史 开泉等先后出了关于粗糙集理论的多本专著【3 。7 1 ；该理论的主要研究人员大多来自 计算机科学领域，也有来自信息科学、数学、系统科学、管理科学、控制科学等领 域的学者从研究地域来看，欧洲国家比较注重理论研究，北美学者比较注重应用， 日本在粗糙集和概率论相结合方面以及在医学的应用比较突出，我国在知识约简、 与信息论的结合、粗糙逻辑、粒计算、知识的不确定性研究方面取得了较大成功 在粗糙集的研究上，有两个主要的方向，一个方向是将粗糙集作为数学的研 究范畴和领域，把粗糙集当作一种纯粹的数学方法，侧重于构造粗糙集的数学理 论体系主要有以下几个方面： ( 1 ) 粗糙集的数学性质研究方面，包括粗糙集的代数结构和拓扑结构等，与数 学理论的结合使得一些新的概念己经出现，如“粗糙理想”和“粗糙半群”等 ( 2 ) 粗糙集理论拓展的研究，包括： a 关系的推广，如基于相似关系的粗糙集模型，基于一般二元关系的粗糙集 2 山东大学硕士学位论文 模型，另外将对象所在的等价类看作该对象的一个邻域，从而推广导出基于邻域 算子的粗糙集模型；结合模糊集理论将粗糙集理论进行拓展，如将普通关系推广 成模糊关系或模糊划分而获得模糊粗糙集模型 b 变精度粗糙集和概率粗糙集模型等 另外一个方向则是将粗糙集理论作为人工智能和知识发现的一种实用技术， 与其它软计算方法相联系与融合( 包括与模糊集、证据理论，人工神经网络和遗传 算法等) ，运用到生产生活中的各个方面涉及的主要研究内容包括：粗糙集理论 的系统化粗糙集的非参数统计建模和定量分析( 包括专家系统与智能系统) 、基于 粗糙集的非精确推理、粗糙控制理论及系统开发、寻找粗糙集的约简算法等 本文给出的关于粗糙集理论的描述主要来自于文献 4 1 2 1 1 2s 一粗集理论的发展概况 从z p a w l a k 粗糙集( r 一( x ) ，r 一( x ) ) 的结构中，我们能够得到下面的事实：如果 给定元素集合xc u ，等价关系r ，则粗糙集( r 一( x ) ，r 一( x ) ) 就确定，不允许x 之 内的元素z 迁移到x 之外，也不允许x 之外的元素x 迁入到x 之内我们能够说： z p a w l a k 粗糙集是具有静态特性的集合x 的粗集，或者说p a w l a k 粗糙集是一个静 态粗糙集在工程、经济、金融诸多系统中，人们遇到的集合x ( 信息集合) 多是动 态的，经典的z p a w l a k 粗糙集对于处理动态问题无能为力 考虑到现实中的问题多为动态的，史开泉教授分析了当讨论的对象集合存在 元素迁移时所产生的问题，于2 0 0 2 年首次在国际上提出奇异粗集( s i n g u l a rr o u g h s e t s ，简称s 一粗集) 【1 3 】理论；继而分析了当元素论域的属性集存在属性迁移所产生 的问题，提出变异奇异粗集( v a r i a t i o no fs - r o u g hs e t s ，简称变异s 一粗集) 理论【1 4 - 1 5 】 s 一粗集有三种形式，分别是单向s 粗集、双向s 一粗集、单向s 粗集对偶，见文献 【8 , 9 ，1 3 ，1 6 ，1 7 文献 1 8 2 7 给出了关于s 粗集的动态特性及其分解- 还原、知识发现 和识别的应用 s 粗集对于动态数据挖掘、动态知识发现和系统动态粗特性的研究提供了理论 支持，它们可以与其他学科，例如与系统分析、生命科学、系统管理、经济系统等 交叉、渗透，对于变幻莫测的金融系统，风险投资系统，系统故障预警分析等有重 3 山东大学硕士学位论文 要的应用价值 1 3 函数s 一粗集理论的发展概况 z p a w l a k 粗糙集和s 粗集都是以元素等价类i x 】定义的，它们在研究以离散 的，单个对象为元素的集合( 等价类) 时充分发挥了它们的特性进一步思考，如果我 们将等价类中的元素扩展到具有时间连续的函数中，即元素等价类k 1 变成了函数 等价类i 甜( x ) l ，那么我们的研究对象是否由个体延伸为系统? 答案是肯定的按照这 个思路，史开泉教授于2 0 0 5 年又提出了函数s 一粗集2 8 ( f u n c t i o ns - r o u g hs e t s ) 和它的 两类形式：函数单a s 粗集( f u n c t i o no n ed i r e c t i o ns - r o u g hs e t s ) ，函数双向s 粗集 ( f u n c t i o nt w od i r e c t i o ns - r o u g hs e t s ) 一个函数就是一个规律，l ( x ) 】( 简写是- 】) 是 具有属性集a 的规律，如果在m 的属性集a 中增加属性，则k 】生成的规律曲线随 着a 的属性增加而下移；反之，如果在l 】的属性集a 中减少属性，则k 】生成的规 律曲线随着a 的属性减少而上移，这就决定了函数s 一粗集具有动态特性和规律特性 因此，函数s 粗集的提出及对其特性的研究为我们寻找系统的运行规律，挖掘潜藏 规律提供了理论支持利用粗集对系统规律的研究是粗集理论和应用的一个重大突 破，对于变化多端的金融系统，风险投资系统，状态识别系统，故障诊断系统等 诸多系统中的规律识别，系统状态规律生成及规律挖掘，规律发现的研究具有重 要的开创性的意义，同时因为它特有的动态特性和规律特性，为二重粗粗积分的提 出提供了坚实的理论基础，从而达到将动态变化量化的目的，也为研究能量变化提 供了一个有效工具，将系统的规律识别推向了一个新的高度文献 2 9 - 4 2 1 给出了函 数s 一粗集的动态特性及规律特性以及在这两种特性下的应用 1 4 本文的研究内容和结构安排 函数s 粗集最主要特性就是其动态特性和规律特性，表现为函数等价类中的 函数根据属性的迁出或迁入使得其形成的规律曲线上下移动，属性迁移对函数s 粗集理论的建立起着至关重要的作用目前对函数s 一粗集的研究均是落在双向动 4 山东大学硕士学位论文 态特征和规律形成的既成事实上，而没有深究它在能量变化过程中引起的量化变 化，而在实际应用中，这是不可避免的问题，因此需要对其进行深入探讨 本文结构安排如下： 第一章前言，主要介绍粗糙集理论、s 一粗集、函数s 粗集理论的发展概况 第二章主要介绍s 粗集理论中的元素迁移、单向s 粗集、双向s 一粗集、单 向s 一粗集对偶以及函数单向s 一粗集、函数双向s 粗集、函数单向s 一粗集对偶等概 念，这些内容为后续章节做好了铺垫 第三章以函数单向s 一粗集的上、下近似生成的函数为基础，提出了粗区域的 概念，进而提出基于函数单向s 一粗集的二重粗积分的概念，而且由于它具有双向动 态特性，通过动态特征给出了萎缩度和萎缩率的概念，并且利用f 一二重粗积分的 萎缩度和萎缩率来度量系统受干扰的程度及效果 第四章以函数单向s 一粗集对偶的上、下近似生成的函数为基础，提出了粗区 域的概念，进而提出基于函数单向s 一粗集对偶的二重粗积分的概念，而且由于它具 有双向动态特性，通过动态特征给出了扩张度和扩张率的概念，并且利用f 一二重 粗积分的扩张度和扩张率来度量系统受干扰的程度及效果 第五章论文的总结和展望 5 2 1s 粗集1 8 - 9 , 1 3 , 1 6 - 1 7 第二章s 一粗集与函数s 一粗集 z p a w l a l 【粗糙集是静态的，不具有动态特征史开泉教授于2 0 0 2 年改进了 z p a w l a l ( 粗糙集，提出s 一粗集( s i n g u mr o u g hs e t s ) ，s 粗集具有三类形式：单向s - 粗集( o n ed i r e c t i o ns - r o u g hs e t s ) ，单向s 一粗集对偶( d u a l o f o n ed i r e c t i o ns - r o u g hs e t s ) ， 双向s - 粗集( t w od i r e c t i o ns - r o u g hs e t s ) s 粗集是下文给出的函数s 一粗集所依赖的 理论基础 2 1 1 元素迁移与元素迁移歹概念 定义2 1 设x = x l ，x 2 ，x 册 cu 是元素集合，a = 缸l ，a 2 ，a i cr 是x 的属性集，y ： y 。，y ：，y m 是x 的特征值集合，称【口，6 】是】，生成的特征值区间， 而且 口：垂 ，=” ，j ，y m i n ( y , ) b m a x ( y ，) yy j r + ( 2 1 ) 口= ，=，j ， + ( 2 1 ) f 2 l 一 对于元素u ，x p 舌x ；显然0 的特征值蚱毛【口，6 】；如果存在变换厂，使得 ( y ，) 口，卅，则有ex ；变换厂称作元素迁移，它用下面的式子表示： 【，- g x j f ( x p ) x ( 2 2 ) 显然x = 五，x 2 ，靠 c j c l ，屯，厂( 咋) ) = x u ( ) ) 定义2 2m 个元素迁移z 构成的集合f ，f 称作元素迁移族，而且 f = “，以，厶) 把定义2 1 3 ，2 1 4 的概念应用到属性集a = 口。，a ：，呶 中，则有属性迁移厂， 它用下面的式子表示： j 屈y ，屈舌aj ( 屈) = a ；a ( 2 3 ) 6 山东大学硕士学位论文 显然有：缸l ，仅2 ，a t ) c 缸l ，a 2 ，口i ，f ( f l ，) ac a u f ( f l m 定义2 3 设x = x l ，x 2 ，x 。) c u 是元素集合，口= 缸l ，a 2 ， c r 是x 的属性集合，】，= y 。，y ：，oo * 9 y 。) 是x 的特征值集合，称【口，6 】是】，生成的特征值区 间，而且 口= i 】睁( m ) ，62 丐擎( 乃) ，y ，y j 足+ ( 2 4 ) 对于元素h x ，如果存在变换7 f 一，使得7 ( 儿) 毛【口，6 】，则有h 毛x ；变换 歹户称作元素迁移，它用下面的式子表示： 如xjf ( x x ) = u 毛x 这里：y 是的特征值，y r + 显然有 x 一 7 ( ) ) = x 7 ( 而) c x 定义2 4 刀个元素迁移z 构成的集合f ，f 称作元素迁移族，而且 f = z ，五，z ) ( 2 5 ) 把定义2 3 ，2 4 的概念应用到属性集a = a 。，a ：，a i ) 中，则有属性迁移7 ， 它用下面的式子表示： j a ，ajf ( a f ) = 屈毛a 显然有： a l ，a 2 ，a t 一 厂( a ，) ) = a f ( a ，) ) ca ( 2 6 ) 约定：u 是有限元素论域，【x 】是u 上的r 一元素等价类；f = 石，厶，厶 ， f = 彳，五，z ) 是元素迁移族，f = fu 户 2 1 2 单向s 粗集 定义2 5 称x 。cu 是u 上的一个单向奇异集合( o n ed i r e c t i o ns i n g u l a rs e t ) ，简 称单向s 集合，如果 7 山东大学硕士学位论文 x 。= x u u i 甜u ，材苔x ，f ( u ) = x x ) ( 2 7 ) 称x ，是xc 7 u 的厂扩张，如果 彳，= 甜f 甜eu ，材ix ，厂( 甜) = xex ( 2 8 ) 这里：x 是p a w l a k 粗糙集( 尺一( x ) ，r 一( 彳) ) 中的集合，xc u 显然：c a r d ( x ) c a r d ( x 。) 定义2 6 设z 。是u 上的单向s 集合，x 。cu ，分别称( r ，f ) 。( x 。) 、 ( r ，f ) 。( x 。) 是单向s - 集合x 。的下近似、上近似，如果 ( r ，f ) 。( x 。) = u x 】= 石i x u ，【x 】x 。) ， ( r ，f ) 。( x 。) = u x 】= x i x u ， x f l x 。) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 这里：f 咖 定义2 7 设x 。是u 上的单向s 集合，x 。c u ；( r ，f ) 。( x 。) ，(