（应用数学专业论文）几何造型中的若干细分方法研究及其应用.pdf

摘要 几何造型主要研究在计算机系统的环境下，对于几何形体的表示、设计、 显示和分析细分方法作为曲线曲面的离散化造型方法。是多边形网格表示方法 和参数表示方法的有机结合，自从上个世纪八十年代以来，得到了广泛的研究， 已发展成为几何造型、形体表示和绘制、多分辨率分析及数值计算的一种有效 方法细分方法因其独特的优势，近年来倍受关注，在计算机动画、科学计算可 视化、制造业的逆向工程以及医学图像处理中都有应用至今研究多集中在各种 细分规则的构造、细分方法的收敛性与连续性分析、基于细分的实用算法等方 面而在细分参数对细分曲线形状控制的分析、依据初始网格及其几何特征和预 定的设计目标和要求( 如插值，良好局部性、可控性光滑性等) 构造和分析新的 细分方法等方面还有很多工作要做 本文在对细分方法的构造思想、特点、发展历史、分类、主要研究内容及 插值细分法的研究现状进行综述的基础上，从理论化和可视化两个角度分析插 值细分法中细分参数对细分曲线形状的控制作用；研究一些行之有效的t e m a r y 细分曲线曲面造型方法，以进一步提高t c m a r y 细分方法在光滑插值曲线曲面造 型等方面的能力；研究b 样条曲线的p n a r y 细分技术及其几何作图问题论文 的主要成果如下； 多数细分法文献侧重研究细分法的构造、收敛性光滑性分析及其在曲线曲 面造型中的应用，少有文献致力于细分参数对细分曲线形状影响( 特别是对细分 曲线分形形态的影响) 的理论分析本文对两种c 1 插值细分法单参数四点 b i n a r y 插值细分法及双参数三点o e 厢a 哆插值细分法中细分参数对细分曲线形状 的局部和整体影响进行了分析，得到了张力参数国对四点b i n a r y 插值细分曲线 h i l d e r 指数的单调性性质，给出了c 0 和c 1 情形下细分参数口，6 所属的几何区 域和新顶点所属的控制区域，在此基础上分析了张力参数对四点b i n a r y 插值 细分曲线、细分参数口，6 对三点t c m a 巧插值细分曲线形状的控制作用进而通 过考察任意细分层次上的任意两个控制顶点经过任意次细分后，细分参数对位 于这两个顶点之间的小边长度总和的影响，分析了细分参数和整个细分曲线呈 现分形特征之间的关系，分别得到了细分极限曲线上任一段不可求长的充分条 件，从而揭示了这两种插值细分法的分形性质，系统地分析了细分参数对细分 曲线形状的影响本文还研究了分析结果在分形曲线曲面生成方面的应用，给出 了若干个例子理论和数值算例表明，给定初始控制多边肜或初始控制网，应用 四点b i m r y 插值细分法或三点t c l m r y 插值细分法，可通过适当选择细分参数直 接快速地生成分形曲线曲面，生成方法简单有效，且生成的分形曲线曲面的形 状在一定范围内是可调整的本文提出的分析方法可推广到其它细分法中细分 参数角色的分析 针对实际应用中对具有良好可控性、局部性和光滑性的插值细分法的需求， 本文首先提出了一种变参数的非均匀三点t e m a r y 插值细分法，并对其c 0 及c 1 收敛性进行了分析为了提升它的可控性，又提出了一种更便于操作的带细分权 的非均匀三点t e m a 【y 插值细分法，给每一个初始控制顶点赋予一个初始权因子， 通过这些初始权因子来自由调整细分曲线的形状为了明确带权非均匀三点 t e m a r y 插值细分法的可操作性，本文分析了初始权因子的作用，并将得到的结 果应用于插值曲线曲面的造型及地形形状生成中，提出了一种基于非均匀三点 t e m a r y 插值细分法的地形生成方法本文分别给出并证明了两种非均匀三点 t e n 埘y 插值极限曲线为c o 、c 连续性时参数或权因子所满足的充分条件与现 有的插值细分法相比，本章提出的细分法局部性较好，更加灵活，能快速生成 形状局部或整体可控的c o 或c 插值曲线或曲面应用本文提出的基于非均匀三 点t c m a 科插值细分法的地形生成方法可快速有效地生成具有不同形状的地形， 并且所生成的地形形状具有可控性 由于t e m a 巧细分法的特性，应用t e n l a r y 细分法生成曲线曲面的速度比用经典 b i n a 叮细分法更快，因此基于任意四边形网格的t e m a r y 曲面细分法已被提出，但 基于三角网格的t e m a r y 插值曲面细分法的构造和分析还有待进一步研究本文 首先针对规则三角网格，提出了一种基于两次插值3 细分的t e m a r y 插值曲面细 分法，极限曲面可达c 1 连续为改进细分法的局部性，且使得细分法生成的曲面 形状可调，本文接着研究了带参数的t c m a l y 插值曲面细分法的构造问题针对任 意三角网格，给出了各种情形下新面点、新边点的计算公式，分析了细分法的 收敛性和连续性，得到了细分曲面存在和g 一连续的充分条件 在具有俨连续性的四点t e m a 叫插值细分法的构造和分析方面，本文针对 h a s s 锄等提出的单参数四点t c m a f y 插值细分法中细分参数的几何特征不明显， 不利于细分曲线形状修改的问题，首先提出了一类包含两个带有明显几何特征的 形状参数的双参数四点t c m a r y 插值细分法，给出并证明了极限曲线c o 、c 1 、 连续时参数满足的充分条件，得到了相应情形下参数所属的几何区域和新顶点所 属的控制区域，讨论了细分法用于造型光滑插值曲线时的形状控制问题接着本 文对h a s s 肌单参数四点把m a r y 插值细分法满足不同连续性时的条件及h j l d e r 指数作进一步的分析，给出了极限函数一阶及二阶导数的表达式，并研究了四点 i i t c m a r 插值缅分法在函数逼近、无须辅助顶点而直接插值给定型值点的光滑插值 细分曲线的构造等方面的应用，证明了四点t c m a r y 插值细分法的逼近阶可达四 阶，提出了一种改进的四点t e m a r y 插值细分法 在b 样条曲线的p n a r y 细分法及其几何作图方面，本文引入离散卷积和生 成多项式的概念，给出并证明了b 样条基函数p n a r y 细分时细分系数的计算公 式，讨论了细分系数所满足的性质，提出了采用p i n a q 细分法细分生成非有理 及有理b 样条曲线的细分规则及任意次均匀b 样条曲线的递归细分算法在此 基础上，研究了任意次均匀b 样条曲线舢a r y 细分生成的几何作图方法采用 本文的方法可快速生成c a g d 中常用的有理b 样条曲线利用这种几何作图法， 可以直观地在计算机上通过编程来快速准确地绘制b 样条曲线，更重要的是， 可以使基于几何方法的任意次均匀b 样条曲线的手工绘制成为可能本文的结 果将会迸一步丰富舢a 细分法的分析理论 关键词：细分法，t e m a r y 细分，插值细分，细分参数，形状控制 l a b s t r a c t s u b d i v i s i o nm e t h o dh a sb e c o m eap o w e m it o o it od e s c r i b ec u r v e s ，s u 嘲c e sa n d o t h e rg e o m e t r i co b j e c t sr e c e m l y s u b d i v i s i o na i i o w s 幻g e n e 豫t cs m o o t hc u r v ea n d s u r f k eb ya p p l y i n gs i m p j e 陀f i n e m e n t l e st 0t h eg i v e nc o n 仃o ip o l y g o n 肌dc o n t r 0 i m e s h a 髓rt l ef i r s ts u b d i v i s i o ns c h e m e sw e 陀p r o p o s e di n1 9 7 0s ，m a n yp e o p l e f o c u st h e i ra t t c n t i o no nt h i ss u b j e c tb e c a u s eo fi t se f f i c i e n c ya n ds i m p l i c i t y s ot 1 1 a t s u b d i v i s i o ni sn o w 卸i m p o r t 明ts u 场e c ti nj t so 、v r ir i g l l tw 汕m a y 印p l i c a t i o n sl nt h e f i e l d s l i k e c o m p u t c ra j d e dg e o m e 踊cd e s i g n ，c o m p u t e rg r a p h i c s ，c o m p u t e r a n i m a t i o n ，s u 唱i c a ls i m u i a t i o n 狮dm e d i c a ii m a g ep r o c e s s i n gp 虹t be x t c n d a p p l i c a t i o na 化鹊m o r ew i d c l y ，h o w e v m 卸yp r o b i e m sh a v ct ob es o l v c d 1 1 1 e p r o b l e f n si n c l u d ec o n s 咖c t i n gs u b d i v i s i o n h e m e so fh i 曲e rc o n t i n u 咄如s i n g s u b d i v i s i o na r i da n a i ”i c l c t | i o d s ，d e v e l o p i n gm a t h e m “c a lt o o lf o ra i l a l y s i so f 蜘b d h i s i o ns c h e m e sa r i dc o n g t 九i c t i n gn c ws u b d i v i s i o ns c h e m e s s a t s 母i n ga l lk i n d so f 陀q u i r c m e n t sp 把t h et l l e s i sa n a l y z e sa n di n v e s t i g a t e ss o m ee 仃b c t i v es u b d i v i s i o n s c h e m e sf o re n h a n c i n gt h e rm o d e l i n ga b i l j t i e s 1 1 1 em 面o rr e s e a r c hc o n t e n t s 锄d a c h i e v e i n e n t so ft h em e s i sa 心t h ea n a l y s i so ft h ec o n t r o lr o l 髓o fm es u b d ；v i s i o n p a r a m e t e r si nt h et w oe x i s t i n gi n t e i p o l a t o r ys u b d i v i s i o ns c h 咖e s ，t h ec o n s n l j “o n a n da i l a i y s i so fs o m ee f r e c t i v et c m a r ys u b d i v i s i o ns c h e m e st oe l e v a t ct h ea b i i i t yo f m o 如l ；n gs m o a t hs u b d i v i s i o nc u “e s 卸ds u 峨c e sa n dt h eq u i c k e rg e n e f a t i o na n d g e o m e 研cc o n s 饥i c t i o nm e t | l o d sf o rb s p i i n e so f 盯b i 昀巧d e g r e eb yu s i n gp n a l y s u b d i v i s i o n a 船rb r i e n y 坞v i e w i n gt h ec l 蕊s 砺c a t i o n 飘dh i s t o r yo fc u r v ea n ds u r f h c e m o d e l i n g ，t h i st l l e s i s d i s c u s s e st l l eb 髂i cc o n s 虹1 l c t i f 培i d e 私，t i l ec h a r a c t e r s ，t 1 1 e h i s t o r y ，t h ec l 船s i f i c a t i o n ，a n dt h er e s e a r c hc o n t 朋t so f s u b d i v i s i o ns c h e m e s as u r v e y o f i n t e r p o l 粕r ys u b d i v i s i o ns c h e m e si sp r c s e n 锹1 m u c hw o r l ( i nm ea r 鼯o fs u b d i v i s i o ns c h e m e sh a sf b c u s e do nt h ec o n s r u c t i o n c o n v e 喀e n c ea n ds t t l o 洲1 n e s s 锄a i y s i so fac e n a i n 舳b d i v i s i o n h e m ea n di 括 a p p l i c a t i o n si nc u f v eo r 伽f a c em o d e l i n g v e r yi n l ea 妊n t b nh a sb e e np a dt ot h e d c e p 粕a l y s i so ft h ee 仃e c to f t 1 1 es u b d i v i s i o np a m m e t c r si n v o i v i n gi nt h es u b d j v i s i o n s c h e m eo 九t h es h a p eo ft h es u b d i v i s i o nc u “c t h et t i e s i sa n a i y z e st h ec o n t r o le f f b c t o ft l e 妒n m e t e r si nt h e 4 p o i n tb i n a r y a n dt h e3 - p o i n tt e m a r y i n t e r p o l a t o 夥 s u b d i v i s i o ns c h e m e so nt 1 1 es l l a p e so f t h es u b d i v i s i o nc u r v e s ，e s p e c i a i j y o nm ef h c t a l b e h a v i o r f i 稻tt h i st h e s i sa n a l y z e st h e rl o c a le 仃e c t0 nt l l es h a p eo f 廿l es u b d i v i s i o n c u “e g m e n tn e a ra na r b i t 阻r yi n i t i a ic o n n d lp o i n t t h e nd 印i c t st h e i re f f b c to nt h w h o i es u b d i v i s i o nc u r v e t h er c l a t i o n s h i p sb e “v c e nm ep a 期m e t e r s 觚dt l l ef t a l b c h a v i o r so f t h el i m i tc u r v e so f t h et 、v os c h e m e sa 陀p r e s e l l t e da tt l ef i r s tt i m e a s 锄 印p l i c a t i o no ft i l eo b t a i n c dr e s u l t s ，t h eg e n e r a t i o no f 触c t a lc u r v e s 粕ds u r f a c e si s d i s c u s s e d m a n ye ) a m p l e ss h o wt h a tt h e 陀s u 恼p r e s e n t e di nt h i st h e s i so f r e rad i r e c t m e a n sf o raf 如tg e n e r a t i o no f 疗a c 协ls o i lt h ec o n s t r u c t i o no fs u b d i v i s i o ns c h e m ew t hg o o dc o n t r o l l a b i l 咄l o c a 咐卸d s m 0 0 t l l n e 船，t t l et h e s i sf i r s tp 腭s 朗t san o n u n i f 0 咖3 一p o i n tt e m a r yi n t e r p o l a t o r y 鲫b d i v i s i o n h e m ew i mv a r i a b l es u b d i v i s i o np 猢e t c r s i t ss u p p o r ti sc o m p u t c d 1 1 1 ec o 锄dc 。c o n v e 唱e n c ea n a l y s c sa f cp r e s e n t e d t 0e l e v a t ei t sc o n t r o i i a b i l j 劬a m o d m e de d i t i o nw c hi n i t i a ls h a p ew e i 曲协i sp r o p o s e d f o re v e r yi n i t i a lc o n 们ip o i n t 吼廿l ei n “i a lc o n 仃o lp o l y g o nas h a p cw e i g h ti si n t r o d u c e d 1 1 1 e s ew e i g h t sc 孤b eu d t 0c o n 们lt l i es h a p co ft 1 1 ec o r r e s p o n d i n gs “b d i v i s i o nc u r v ee 觞i l ya n dp u r p l o s e f u l l y 1 r h er o i eo f 他i n i t i a is h a p ew e i g h ti s 扑a l y z c dt l l e o r e t i c a i l y 1 1 l c nt l l ea p p i 砸i o no f 廿l e p n t e dn o n - 哪i f 0 衄3 - p o i n tt c r n a r yi n t e r p o i a t o f y 鲫b d i v i s i 佣h e m e s i i i d c s i g i l i n gs m o o t hi n 坝p o i a t o r yc u “e sa n ds u r f a c e si sd i s c u s s e d ，i i lc o n 临tt om o s t o ft | l e c o n v e n t i o n a l j n 搬p o l a t o l ys u b d i v i s i o ns c h e m e s ，t h ep 晒明t e ds u b d i v i s i o n s c h e m e sc 锄b eu s e dt 0g e n e r a c ec 0o rc li n t c r p o l a t o i ys u b d i v i s i o nc u r v e so f 鲫r l a c e s 锄dc o n t r o lt l 托i rs h a p e sw h o l l yo rl o c a l l y - f i n a l l y ，勰彻印p 1 c a t i o no ft h eo b t a i n c d 心s u l 括，am e m o do ft c l t a i ng 翱e r 砒i o ni sd i s c u s s e d w h i c hc 粕b eu s e d 毫og 阴e 随t c c o n 仃o l l a b l et c 帆a m o nt c m a r ys u f f a c em o d e l 抽gs c h e m eb 撇do ni n i t i a l 仃i 粕g u i 盯c o n 仃o lm e s ht i l e t l l e s i s 最r s tp r e n t sat e m a r yi n t e 驴j a t o r ys u b d i v i s i o ns c h e m ef o ri n i t j a l 聪g u l 盯 仃i 锄g u l a rc o n n d im e s hb a s e d 伽i n l e i p o l a t o r y 3 s u b d i v i s i o n h e m e t h el i m i t s u r f 如ei sc 啪n t i n u o u s b mt j l es t c i l sf o rn e wp o i n t sa r cb i ga n dt l l es h a p co f 吐圮 s u b d i v i s i o ns u 血c ei sd e t e 嘲i n e d l yb yt 1 1 e 硫i a lc o n 廿o lm e s ha n dc 卸玎o tb e 甜j u s t e d t 0o v e r c o m em et w os h o r t c o m i n g s ，m et h e s i st h e ns 叫i e sm ec o n 姗c t i o n 觚d 也e 柚a l y s i so fak i n do ft e m a r yi n t c 啦l a t o r ys u r f k es u b d i v i s i o ns c h e m ew 曲 s u 础v j s i 锄p 煳e t 托b ya n a 】y z j n gt h e d j s c r c t ef o 鲥盯扛a n s 岛瑚so fd i s 饿t e f h n c t i o t l s 锄dn 坞e i g 阴s 劬j c t u 诧o f t h es u b d i v i s i o nm a t r i xt l l et l e s 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t i e i fs u b d i v i s i o np a m m e t e r sa 佗w i t h o u te x p n c i tm e 卸i n 舀s u c h 船t h e4 p o i n t t e m a r ys c h e m ep r o p o s e db yh 舒s 锄“耐t h et w os h a p cp a m m e t e r sa r ei n 打o d u c e d t o c o n t r o l 卸dm o d i 母t h es h a p e so ft h es u b d i v i s i o nc u r v e s t h eo r i g i n a i4 p o i n tt e m a r y s c h e m ec a nb et r e a t e da sas p e c i a ic a s eo ft h i sk i n do fs u b d i v j s i o n ，t h r e et h e o r e m s d e s c r b i n gt h ec o n v e t g e n c ea n dt i l ec 期d c o n t i n u i t yp m p e r t i e so ft h ep r e s e n t e d s c h c m e sa r ed e r i v e d 卸dp r o v e d g i v e nd r i g i n a lc o n t r o id a t a ，u s i n gt h ep 他s e n 制 s c h e m e so n ec 粕n o to n l ym o d e lc jo r s m o o t hi n t e i p o l a t o r yc u r v e se a s i l y 粕d e 衢c i e n t f y b u ta i s oc a nm o d 晦a n dc o n 的lm e rs h a p e sb yc h o o s i n gt h e s et 、】v o p a r a m e t e r s 印p r o p r i a t c l y n r e ee x a i n p i e so fm o 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fa r b i t r a r yd c g 诧et 1 1 et h e s i ss t i | d i e st h ep n a 叮s u b d i v i s i o n p r d c e s sf o rb s p l i n e s d i s c r e t ec o n v o l u t i o n 锄dg e n e 哪i n gp o l ”o m i a la 佗i n n - o d u c e d t 0g c tt h es u b d i v i s i o nc o e f f i c i e n t s t h ep r o m e so ft h es u b d i v i s i o nc o e f f i c i e n t sa d i s c u s s e d t h es u b d i v i s i o nf o r n l u l a ef o rm t i o n a la n dn o n m t i o n a lb s p i i n ec u r v e s 躺 g j v e n 锄dp m w d b a do nt h ep n a l y 他c u 体i v es u b d i v i s i o na l g o r i 廿l m so fu n i f o 咖 b s p l i n e so fa n y 如g r e ep r e s e n t c di nd l i st h e s i s ，ag e o m e 仃i cc o 略帆k t i o nm e t h o do f l h eg e n e r a t i 蛳o f 硼i f o 册b s p l i n e so f 砷i t 哪d e g r e eb yu s i n gp n a 哆s u b d i v i s i o n h e m ei so b t a i n e d o u rm e t h o d sa r ee 鼬yt 0i m p l e m e n t ，r e g a r d i e s so fd e 铲e c d t o 出eh i 曲p c 响册明c ep r o p e r 哆o fp n a i ys u b d i v i s i o na l g o r j t h m ，吣i n gt h cm i 油。如 p r e s e n t e di nm i st h e s i so n ec 锄p l o tu n i f o 册b - s p l i n e so fa r b i t 豫r yd e g r e ce 肫c t i v e i y a r l dm p i d i y k 唧r d s ： s u b d i v i s i o ns c h c m e ，t c m a r ys u b d i v i s i o n ，i m e r p o l a t o 哆s u b d i v i s i o n ， s u b d i v i s i o np a r a m e t c r ，s h a p ec o n t r o i 西北工业大学业 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学能期间论文工作 的知识产权单位属于西北：f ：业大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复 印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采_ e | j 影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 同时本人保证，毕业后结台学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北工业 大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：丢蝉 如o5 年r 月；d 目 指导教师签名：! 兰趟 纱g 年二月，d 日 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本 人在导师的指导下进行研究：r 作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容 和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成 果，不包含本人或其他已申请学位或其他用途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。 本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 学位论文作者签名 卑鱼蟀 j 年j 月；o 日 西北工业大学博b 学位论文第一章绪论 第一章绪论 随着计算机技术的发展普及和高新技术领域对于计算机辅助设计与计算机 辅助制造( c a d ，c a m ) 技术、计算机图形学( c g ) 的日益广泛深入的需要， c a d c a m 高新技术得到了迅猛的发展，他们推进了许多领域的设计革命 c a d ，c a m 高新技术的发展和应用水平已经成为衡量一个国家科技现代化水平 的重要标志之一c a d c a m 技术把人和机器的各自优点结合起来，具有应用范 围广、直观、优质、高效的特点，经过十几年的发展和更新换代，从最初的c a d 系统只能用于绘图，已经发展到c a d c a m 系统的可视化、集成化、智能化、 网络化的阶段，其中计算机辅助几何设计( c o m p u t c ra i d e dg e o m e 啊cd e s i 四，缩 写为c a g d l 是它的理论基础和关键技术，c a g d 的产生和发展极大地影响着 c a d ，c a m 技术的水平新的几何造型技术出现，往往很快就会反映到实用的 c a d ，c a m 系统中去近二十年发展起来的，且现在还在迅速发展的细分造型方 法，正是在c 雠a m 系统中日益受到青睐和应用的新的有效的几何造型技术 本章先略述c a g d 中常用的几何造型方法的发展背景再着重阐述细分方法的 起源、构造思想、特点、发展历史、分类、主要研究内容及插值细分法的研究现 状最后介绍本文的研究内容，主要结果和创新点 1 1背景 c a g d 是随着汽车、飞机、船舶制造等现代制造工业和计算机技术的发展而 迅速发展起来的一门新兴制造技术早在1 9 7 1 年英国的f o 晴s c 认为c a g d 是研 究几何外形信息的计算机表示，分析与综合，以及形状信息的计算机控制问题 苏步青教授进一步指出，c a g d 是代数几何、微分几何、函数逼近论、计算数学 和数控技术的边缘学科伴随着计算机图形技术的发展，几何造型技术不仅可应 用于原有的外形设计，还可广泛应用于机械制造、医学可视化、虚拟场景生成等 众多领域几何造型技术的发展促进了它的应用领域的扩大，反过来应用领域的 扩大又丰富了几何的表现形式，促进了造型手段及造型技术的发展本文所说的 几何造型主要指曲线曲面造型技术 曲线曲面造型主要研究在计算机系统的环境下，对于曲线曲面的表示、设计、 显示和分析曲线曲面的表示方法主要有以下四种： ( 1 1 隐式表示方法 两北丁业大学博i ：学位论文 第一章绪论 在c a g dq 1 ，以隐函数定义几何物体的方法比较常见在三维空间情形， 我们可用不等式( x ，y ，z ) o 所定义的半空间来描述实体；j 1 j 等式厂( z ，y ，= ) = o 所 定义的空间边界来表示隐式曲面，当函数厂是多项式时，上式定义了张代数曲 面隐函数表示的优点是易于区分一个点是在曲面的内侧，外侧还是在曲面上， 几何求交方便，而且善于表示封闭光滑形体，因此更适于面向绘制的应用二次 代数曲面是最早实用化的曲面模型之，工程中的许多常用曲面，如平面、球面 柱面及球面等都可以方便地用隐函数来定义 ( 2 ) 多边形网格表示方法 多边形网格表示方法，是最直接的表示方法，在计算机图形学诞生之时就已 开始使用而今，配合纹理映射与光照材质，仍广泛地运用于各类动画系统多 边形网格的最大优点是数学模型简单，它直接使用点，直线段和平面面片来逼近 真实的形体，因此容易理解，适于绘制在具体系统中，它往往是其他表示方法 与绘制模块的中间媒介 ( 3 ) 参数表示方法 长期以来，参数曲线曲面一直是描述几何形状的主要工具曲线曲面的参数 式表示方法的基本思想是以一组基函数为权因子，利用一组初始控制向量的线性 ( 或有理线性) 组合来得到形体的连续表示如今，该类方法已经形成以拟合 ( f i t t i n 曲、插值( i n t e r p o l a t i o n ) 和逼近( a p p r o x i m a t j o n ) 这三种手段为主的实用几何理 论体系 参数曲线曲面表示起源于飞机、船舶的外形放样设计，由c 0 0 n s 、b 6 2 i e r 等 大师于6 0 年代奠定其理论基础【b o e h m1 9 8 4 】1 9 7 2 年，法国r c n a u t 汽车公司的 b 6 z i e r 【b e z i e r1 9 7 2 】发表了由控制多边形定义曲线的方法，并将其用于自由曲线 曲面系统u n i s u l 强的设计稍早于他，法国c i t r o 汽车公司的d ec 嚣t e l 锄曾 得出类似方法，但未公开结果后来f o r r e s t 【f o 丌e s t1 9 8 7 】对最初的b 6 z 衙曲线的 形式作了重新处理，得到了当前常用的基于有序控制顶点和b e r i n 啦i n 基表示的 b 6 z i e r 曲线曲面的形式在这个基础上，人们又陆续提出了矩形域上的张量积曲 面和b e m s t e i n b i e r 曲面( 即b b 曲面) 但b 包i e r 曲线曲面仍旧存在着缺乏局 部性，难以处理曲面片之间的光滑拼接的缺点 7 0 年代初d eb o o r 【d e b o o “9 7 2 】和c o x c o x1 9 7 2 】分别独立提出了b 样条的d c b o o r - c o x 递推公式，美国通用汽车公司的g o r d o n 和r i e s e n f c l d 等人又进一步发 展了b 样条曲线曲面的理论和算法，并首次将b 样条理论应用于外形设计由于 b 样条曲线保留了b 6 z i e r 曲线的大部分优点，另一方面，由于是分段多项式，且 允许局部控制，因而b 样条曲线曲面开始得以广泛应用但是上述各种方法不能 两北丁业大学博f 。学位论文第章绪论 精确表示除抛物线和抛物面以外的二次曲线蓝面，如幽锥截线和球面椭球面等初 等解析曲面，只能给出近似表示为此美国s y 豫c u 大学的v e r s 州l l e 【v e r s p r i l l e 1 9 7 5 】于1 9 7 5 年首次提出有理b 样条方法克服上述缺陷最后在p 追e l 【p i g e l l 9 8 7 ， 1 9 8 9 a ，1 9 8 9 b ，1 9 9 5 ，1 9 9 7 】和t i i l e r 【啊i l e r1 9 8 3 】等众多学者的努力下，终于在8 0 年代后期发展起非均匀有理b 样条( n o n u n f o 咖r a t i o n a ib s p i i m ，缩写n u r b s ) 的一整套方法，把有理和非有理b 6 z i c r 曲线和b 样条曲线曲面及圆锥曲线和初 等解析曲面统一在一种