安徽省黄山市2015-2016学年高二上学期期末理科数学试卷及答案.doc

2015-2016学年安徽省黄山市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1过点（1，3）且平行于直线x2y+3=0的直线方程为（）ax2y+7=0b2x+y1=0cx2y5=0d2x+y5=02已知a，b是两条不重合的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）a若ab，a，则bb若a，b，则abc若ab，b，则ad若a，b，a，b，则3已知向量=（1，1，0），=（1，0，2）且k+与2互相垂直，则k的值是（）a1bcd4下列命题中为真命题的是（）a若x0，则x+2b若直线xay=0与直线x+ay=0互相垂直，则a=1c命题“若x2=1，则x=1或x=1”的逆否命题为“若x1且x1，则x21”d一个命题的否命题为真，则它的逆否命题一定为真5过点a（0，2）与抛物线c：y2=4x恰有一个交点的直线有（）条a0b1c2d36双曲线=1的渐近线与圆（x3）2+y2=r2（r0）相切，则r=（）a2bc3d67如图，正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别为棱bc，cc1的中点，则异面直线ac和mn所成角的大小为（）abcd8“a3”是“f（x）=ax+3在区间（1，2）上存在零点x0”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件9正四面体的棱长为a，它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）a3a2b2a2cd10设x1，x2r，现定义运算“”：x1x2=（x1+x2）2（x1x2）2，若x0，则动点p（x，）的轨迹是（）a椭圆的一部分b双曲线的一部分c抛物线的一部分d圆的一部分二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11命题“x0r，x026x0+100”的否定是_12如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直径为1的圆，那么这个几何体的侧面积为 _13已知双曲线c的离心率为，焦点为f1，f2，点a在曲线c上，若|f1a|=3|f2a|，则cosaf2f1=_14两圆x2+y2+2ax+a24=0和x2+y24by1+4b2=0恰有三条公切线，则a+2b的最大值为_15给出下列四个命题：三点确定一个平面；三条两两相交的直线确定一个平面；在空间上，与不共面四点a，b，c，d距离相等的平面恰有7个；两个相交平面把空间分成四个区域其中真命题的序号是_（写出所有真命题的序号）三、解答题（共6小题，满分75分）16给定两个命题，命题p：对于任意实数x，都有ax22ax4恒成立；命题q：方程x2+y22x+a=0表示一个圆若“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数a的取值范围17在三棱柱abca1b1c1中，aa1平面abc，acb=60，ac=cc1=2，bc=1，e，f分别是a1c1，bc的中点（）求证：平面abe平面b1bcc1；（）求三棱锥eabc1的体积18已知斜率为1的直线l与圆心为o1（1，0）的圆相切于点p，且点p在y轴上（）求圆o1的方程；（）若直线l与直线l平行，且圆o1上恰有四个不同的点到直线l的距离等于，求直线l纵截距的取值范围19已知抛物线方程为y2=2px，其准线方程为x=，直线l：y=k（x+1）与抛物线相交于a，b两个不同的点，o为坐标原点（）求证：oaob；（）当oab的面积等于时，求k的值20如图，在多面体abcdef中，cdef为矩形，abcd为直角梯形，平行cdef平面abcd，bad=adc=90，ab=ad=cd=1，ed=，m为线段ea上动点（）若m为ea中点，求证：ac平面mdf；（）线段ea上是否存在点m，使平面mdf与平面abcd所成的锐二面角大小为？若存在，求出am的长度，若不存在，请说明理由21已知点a、b的坐标分别为（2，0）、（2，0），直线at、bt交于点t，且它们的斜率之积为常数（0，1），点t的轨迹以及a、b两点构成曲线c（1）求曲线c的方程，并求其焦点坐标；（2）若01，且曲线c上的点到其焦点的最近距离为1设直线l：y=k（x1）交曲线c于e、f两点，交x轴于q点直线ae、af分别交直线x=3于点n、m记线段mn的中点为p，直线pq的斜率为k求证：kk为定值2015-2016学年安徽省黄山市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1过点（1，3）且平行于直线x2y+3=0的直线方程为（）ax2y+7=0b2x+y1=0cx2y5=0d2x+y5=0【考点】直线的一般式方程；两条直线平行的判定【分析】由题意可先设所求的直线方程为x2y+c=0再由直线过点（1，3），代入可求c的值，进而可求直线的方程【解答】解：由题意可设所求的直线方程为x2y+c=0过点（1，3）代入可得16+c=0 则c=7x2y+7=0故选a2已知a，b是两条不重合的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）a若ab，a，则bb若a，b，则abc若ab，b，则ad若a，b，a，b，则【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】利用线面平行、垂直的性质，面面平行的判定定理，即可得出结论【解答】解：对于a，若ab，a，则b或b，不正确；对于b，b，经过b的平面与的交线为c，则bc，a，ac，bc，ab，正确；对于c，若ab时，a与的关系可能是a，也可能是a，即a不一定成立，不正确；对于d，根据面面平行的判定定理可知，对应平面内的直线如果两条直线是相交的，则两个平面是平行的，不正确故选：b3已知向量=（1，1，0），=（1，0，2）且k+与2互相垂直，则k的值是（）a1bcd【考点】平面向量数量积的运算【分析】由向量=（1，1，0），=（1，0，2），求得k+与2的坐标，代入数量积的坐标表示求得k值【解答】解： =（1，1，0），=（1，0，2），k+=k（1，1，0）+（1，0，2）=（k1，k，2），2=2（1，1，0）（1，0，2）=（3，2，2），又k+与2互相垂直，3（k1）+2k4=0，解得：k=故选：d4下列命题中为真命题的是（）a若x0，则x+2b若直线xay=0与直线x+ay=0互相垂直，则a=1c命题“若x2=1，则x=1或x=1”的逆否命题为“若x1且x1，则x21”d一个命题的否命题为真，则它的逆否命题一定为真【考点】命题的真假判断与应用【分析】逐一分析四个答案中所给结论的真假，选出其中的真命题即可【解答】解：若x0，则x+2，若x0，则x+2，故a错误；若直线xay=0与直线x+ay=0互相垂直，则a=1，故b错误；命题“若x2=1，则x=1或x=1”的逆否命题为“若x1且x1，则x21”，故c正确；一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真，但它的逆否命题不一定为真，故d错误；故选：c5过点a（0，2）与抛物线c：y2=4x恰有一个交点的直线有（）条a0b1c2d3【考点】抛物线的简单性质【分析】过点a（0，2）与抛物线c：y2=4x恰有一个交点，则方程组只有一解，分两种情况讨论即可：（1）当该直线存在斜率时；（2）该直线不存在斜率时【解答】解：（1）当过点a（0，2）的直线存在斜率时，设其方程为：y=kx+2，由，消y得k2x2+（4k4）x+4=0，若k=0，方程为x+1=0，解得x=1，此时直线与抛物线只有一个交点（1，2）；若k0，令=（4k4）216k2=0，解得k=，此时直线与抛物线相切，只有一个交点；（2）当过点a（0，2）的直线不存在斜率时，该直线方程为x=0，与抛物线相切只有一个交点；综上，过点a（0，2）与抛物线y2=4x恰有一个交点的直线有3条故选d6双曲线=1的渐近线与圆（x3）2+y2=r2（r0）相切，则r=（）a2bc3d6【考点】双曲线的简单性质【分析】求得圆的圆心和半径r，双曲线的渐近线方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，计算即可得到所求值【解答】解：圆（x3）2+y2=r2的圆心为（3，0），半径为r，双曲线=1的渐近线方程为y=x，由直线和圆相切的条件：d=r，可得r=2故选：a7如图，正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别为棱bc，cc1的中点，则异面直线ac和mn所成角的大小为（）abcd【考点】异面直线及其所成的角【分析】以d为原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴，建立空间直角坐标系，利用同量法能求出异面直线ac和mn所成角【解答】解：以d为原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体abcda1b1c1d1中棱长为2，则a（2，0，0），c（0，2，0），m（1，2，0），n（0，2，1），=（2，2，0），=（1，0，1），设异面直线ac和mn所成角为，cos=，=异面直线ac和mn所成角为故选：b8“a3”是“f（x）=ax+3在区间（1，2）上存在零点x0”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合函数零点的性质进行判断即可【解答】解：f（x）=ax+3在区间（1，2）上存在零点x0，f（1）f（2）0，即（a+3）（2a+3）0，则（a3）（2a+3）0，得a3或a，则“a3”是“f（x）=ax+3在区间（1，2）上存在零点x0”的充分不必要条件，故选：a9正四面体的棱长为a，它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）a3a2b2a2cd【考点】球的体积和表面积【分析】由已知中正四面体的棱长为a，我们计算出其外接球的半径，代入球的表面积公式，即可得到答案【解答】解：正四面体扩充为正方体，若正四面体的棱长为a，则正方体的棱长为a，所以正方体的对角线长为a，则正四面体的外接球半径为a所以其外接球的表面积s=4r2=故选：c10设x1，x2r，现定义运算“”：x1x2=（x1+x2）2（x1x2）2，若x0，则动点p（x，）的轨迹是（）a椭圆的一部分b双曲线的一部分c抛物线的一部分d圆的一部分【考点】轨迹方程【分析】利用定义可得方程，即可求出动点p（x，）的轨迹【解答】解：由题意，y=（x0），y2=8x（x0），动点p（x，）的轨迹是抛物线的一部分故选：c二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11命题“x0r，x026x0+100”的否定是“xr，x26x+100”【考点】命题的否定【分析】根据特称命题否定的方法，结合已知中的原命题，可得答案【解答】解：命题“x0r，x026x0+100”的否定是“xr，x26x+100”，故答案为：“xr，x26x+100”12如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直径为1的圆，那么这个几何体的侧面积为 【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可得，几何体是一个圆柱，由正视图和侧视图都是边长为1的正方形，可知它是底面直径与高均为1的圆柱，代入圆柱侧面积公式，即可得到答案【解答】解：由三视图的知识，它是底面直径与高均为1的圆柱，所以侧面积s=故答案：13已知双曲线c的离心率为，焦点为f1，f2，点a在曲线c上，若|f1a|=3|f2a|，则cosaf2f1=【考点】双曲线的简单性质【分析】设双曲线的方程为=1（a，b0），设a为右支上一点，且|f2a|=m，由题意可得|f1a|=3m，由双曲线的定义和离心率公式、以及余弦定理，计算即可得到所求值【解答】解：设双曲线的方程为=1（a，b0），设a为右支上一点，且|f2a|=m，由题意可得|f1a|=3m，由双曲线的定义可得|f1a|f2a|=2a，解得m=a，又e=，可得c=a，在af1f2中，|f1a|=3a，|f2a|=a，|f1f2|=2a，可得cosaf2f1=故答案为：14两圆x2+y2+2ax+a24=0和x2+y24by1+4b2=0恰有三条公切线，则a+2b的最大值为3【考点】圆与圆的位置关系及其判定【分析】由题意可得两圆相外切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，可得a2+4b2=9，再利用三角换元，求a+2b的最大值【解答】解：由题意可得两圆相外切，两圆的标准方程分别为 （x+a）2+y2=4，x2+（y2b）2=1，圆心分别为（a，0），（0，2b），半径分别为2和1，故有=3，a2+4b2=9，设a=3cos，b=sin，a+2b=3cos+3sin=3sin（+），sin（+）=1时，a+2b的最大值为3故答案为：315给出下列四个命题：三点确定一个平面；三条两两相交的直线确定一个平面；在空间上，与不共面四点a，b，c，d距离相等的平面恰有7个；两个相交平面把空间分成四个区域其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）【考点】平面的基本性质及推论【分析】根据平面的公理“三点定面”即可判断命题错误；根据三条两两相交的直线可能不共面，即可判断命题错误；根据空间四点不共面时，四点构成一个三棱锥，讨论平面一侧有一点，另一侧有三点时，和平面一侧有两点，另一侧有两点时，满足条件的平面数是多少即可；根据实际情况即可得出结论正确【解答】解：对于，不在同一直线上的三点确定一个平面，错误；对于，不共点的三条两两相交的直线确定一个平面，错误；对于，空间四点a、b、c、d不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图：当平面一侧有一点，另一侧有三点时，令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有4个，当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即过相对棱的异面直线公垂线段的中点，且和两条相对棱平行的平面，满足条件因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是3个，所以满足条件的平面恰有7个，正确；对于，两个相交平面把空间分成四个区域是真命题，正确综上，正确的命题序号是故答案为：三、解答题（共6小题，满分75分）16给定两个命题，命题p：对于任意实数x，都有ax22ax4恒成立；命题q：方程x2+y22x+a=0表示一个圆若“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】分别求出p，q为真时的a的范围，根据若“pq”为真命题，“pq”为假命题，得到p，q一真一假，从而求出a的范围即可【解答】解：若命题p为真，即对于任意实数x，都有ax2+2ax+40恒成立，a=0时，40成立，a0，只需，解得：0a4，综上，若p真：a0，4）；若命题q：方程x2+y22x+a=0表示一个圆，只需44a0，解得：a1，故，q为真时，a（，1）；若“pq”为真命题，“pq”为假命题，则p，q一真一假，故a（，0）1，4）17在三棱柱abca1b1c1中，aa1平面abc，acb=60，ac=cc1=2，bc=1，e，f分别是a1c1，bc的中点（）求证：平面abe平面b1bcc1；（）求三棱锥eabc1的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定【分析】（i）由余弦定理计算ab，利用勾股定理的逆定理得出abbc，由bb1平面abc得bb1ab，故ab平面b1bcc1，从而平面abe平面b1bcc1；（ii）过b作bdac于d，则bd平面acc1a1，于是v=v=【解答】（i）证明：ac=2，bc=1，acb=60，ab=ab2+bc2=ac2，abbcaa1平面abc，aa1bb1，bb1平面abc，ab平面abc，bb1ab，又bc平面b1bcc1，bb1平面b1bcc1，bcbb1=b，ab平面b1bcc1又ab平面abe，平面abe平面b1bcc1（ii）解：过b作bdac于d，aa1平面abc，bd平面abc，aa1bd，又aa1平面acc1a1，ac平面acc1a1，aa1ac=a，bd平面acc1a1sabc=，bd=s=，v=v=18已知斜率为1的直线l与圆心为o1（1，0）的圆相切于点p，且点p在y轴上（）求圆o1的方程；（）若直线l与直线l平行，且圆o1上恰有四个不同的点到直线l的距离等于，求直线l纵截距的取值范围【考点】直线和圆的方程的应用【分析】（）设p的坐标为（0，t），由题目条件即可得出结论；（）设出l：y=x+b，由o1上恰有四个不同的点到直线l的距离等于，即可得出答案【解答】解：（）由题意可得，设p的坐标为（0，t），o1pl，=1，t=1，即点p的坐标为（0，1），从而圆o1的半径r=|o1p|=，故所求圆o1的方程为（x1）2+y2=2；（）ll，设l：y=x+b，由圆o1上恰有四个点到直线l距离为，得圆心到直线y=x+b的距离d=，解得2b0，即直线l纵截距的取值范围为（2，0）19已知抛物线方程为y2=2px，其准线方程为x=，直线l：y=k（x+1）与抛物线相交于a，b两个不同的点，o为坐标原点（）求证：oaob；（）当oab的面积等于时，求k的值【考点】抛物线的简单性质【分析】（）求出抛物线的方程，联立直线与抛物线方程，证明x1x2+y1y2=0，即可证明oaob；（）连接ab，设直线ab与x轴交于n，由题意，oab的面积s=|on|y1y2|=，即可求k的值【解答】（）证明：抛物线方程为y2=2px，其准线方程为x=，=，解得p=，抛物线方程为y2=x联立直线l：y=k（x+1），消去x得，ky2+yk=0，设a（x1，y1），b（x2，y2），得y1+y2=，y1y2=1x1x2=（y1y2）2=1x1x2+y1y2=0，oaob；（）连接ab，设直线ab与x轴交于n，由题意，k0令y=0则x=1，即n（1，0），oab的面积s=|on|y1y2|=，k=20如图，在多面体abcdef中，cdef为矩形，abcd为直角梯形，平行cdef平面abcd，bad=adc=90，ab=ad=cd=1，ed=，m为线段ea上动点（）若m为ea中点，求证：ac平面mdf；（）线段ea上是否存在点m，使平面mdf与平面abcd所成的锐二面角大小为？若存在，求出am的长度，若不存在，请说明理由【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（）连结ce交df于o，则omac，由此能证明ac平面mdf（）以d为原点，da为x轴，dc为y轴，de为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当am=（23）ae时，平面mdf与平面abcd所成锐二面角的大小为【解答】证明：（）连结ce交df于o，cdef为矩形，o为ce中点，又m为ea中点，omac，又ac平面mdf，om平面mdf，ac平面mdf解：（）假设线段ea上存在点m，使平面mdf与平面abcd所成的锐二面角大小为理由如下：平面cdef平面abcd，在矩形cdef中，eddc，平面cdef平面abcd=cd，ed平面abcd，ad平面abcd，edad，又cdad，以d为原点，da为x轴，dc为y轴，de为z轴，建立空间直角坐标系，则d（0，0，0），a（1，0，0），e（0，0，），f（0，2，），由题意知m，e重合时不符合，设，（01），则m（1，0，），=（1，0，），=（0，2，），设=（x，y，z）是平面dmf的法向量，则，取z=1，得=（，1），又ed平面abcd，平面abcd的法向量=（0，0