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太原理工大学硕七研究生学位论文 d e l t a 机器人运动学建模及仿真 摘要 并联机器人是_ 类全新的机器人，它具有刚度大、承载能力强、精度 高、自重负荷比小、动力性能好等一系列优点，与目前广泛应用的串联机 器人在应用上构成互补关系，因而扩大了机器人的应用领域。d e l t a 并联机 器人是最典型的空间三自由度移动的并联机构，d e l t a 机构整体结构简单、 紧凑，驱动部分均布于固定平台，这些特点使它具有良好的运动学和动力 学特性，实验条件下末端控制加速度可高达5 0 9 ：( 重力加速度) 。大量的实践 证明，d e l t a 机构是迄今为止设计最成功的并联机构之一。目前，d e l t a 并联 机器人已经广泛应用于化妆品、食品和药品的包装和电子产品的装配。 机器人的运动学是机器人动力学、机器人控制和规划的基础，在机器 人研究中占有重要的地位。运动学研究内容包括正向运动学和反向运动学， 对于并联机器人，其反向运动学相对简单而正向运动学复杂。本文对三自 由度d e l t a 机器人运动学进行了研究。通过对d e l t a 机器人结构的分析，建 立了运动学模型，确定了各个构件的空问位姿。基于动平台与静平台之间 的矢量关系以及机构的约束方程，建立了该机构的运动学方程，推导出位 置反解公式，同时给出了位置正解的数值解法。在位置反解方程的基础上， 分析了d e l t a 机器人的工作空间，推导出该机构的雅可比矩阵，并对速度和 加速度进行了求解。 最后，在运动学反解模型的基础上，利用v c + + 幂1 1o p e n g l 开发了基于 太原理工大学硕士研究生学位论文 w i n d o w s 平台的三自由度d e l t a 机器人运动学可视化仿真软件系统。在 v c + + 环境下，调用o p e n g l 函数库中的图形函数，建立机器人的三维实体 模型。根据空间直线和平面圆弧的轨迹规划，调用o p e n g l 的双缓冲动画、 矩阵变换等功能函数，实现了不同参数下d e l t a 机器人的三维动画仿真，将 复杂的空间机构运动直观的表现出来。运动仿真平台的建立，对检验d e l t a 并联机器人的运动过程和提高设计效率提供了一个有效的工具。 关键i 百- - - i d e l t a 并联机器人，位置反解，运动学，o p e n g l ，仿真 太原理1 ：火学硕士研究生学位论文 k d m m e a t i c sr e s e a r c ha n ds i m u l a t l 0 n o fd e l t ar o b o t a bs t r a c t p a r a l l e lr o b o ti san e wk i n do fr o b o t s ，i th a sas e r i a la d v a n t a g e so v e r s e r i a lr o b o t si nt e r m so fh i g hs t i f f n e s s ，l a r g e rp a y l o a d ，h i g hp r e c i s i o n ，l o a d w i g h t r a t i oa n dg o o dd y n a m i cc a p a b i l i t y , i th a sc o m p l e m e n t a r yr e l a t i o n s h i pw i t hs e r i a l r o b o t sw h i c hi sw i d e l yu s e di na p p l i c a t i o n ，a sar e s u l t ，e n l a r g et h ew h o l e a p p l i c a t i o nf i e l d t h ed e l t ap a r a l l e lr o b o ti st h em o s tt y p i c a lt h r e et r a n s l a t i o n d o fp a r a l l e ls t r u c t u r e ，t h ew h o l es t r u c t u r ei ss i m p l ea n dc o m p a c t ，t h ed r i v i n g p a r ta r ee v e n l yd i s t r i b u t e dt ob a s ep l a t f o r m ，t h i sc h a r a c t e r i s t i c sl e a dt og o o d k i n e m a t i ca n dd y n a m i ci d e n t i t y , u n d e re x p e r i m e n t ，t h ea c c e l e r a t i o nc a nr e a c ht o 如t i m e so fg 。：( a c c e l e r a t i o no fg r a v i t y ) an u m b e ro fe x p e r i m e n t sp r o v e dt h a t ，t h e d e l t ar o b o ti so n eo ft h em o s ts u c c e s s f u lr o b o t ss i n c et o d a y a tp r e s e n t ，t h e d e l t ar o b o ti sw i d e l yu s e di nt h ep a c k i n go fc o s m e t i c ，f o o da n dm e d i c i n ea sw e l l a sa s s e m b l yo fe l e c t r o n i cp r o d u c t s k i n e m a t i c si st h eb a s eo fd y n a m i c ，c o n t r o la n dl a y o u tf o rr o b o t ；i ti so f g r e a ti m p o r t a n c e i nt h er e s e a r c ho fr o b o t t h ek i n e m a t i cr e s e a r c hi n c l u d e s f o r w a r dk i n e m a t i c sa n di n v e r s ek i n e m a t i c s f o rp a r a l l e lr o b o t ，t h ei n v e r s ei s r e l a t i v e l ys i m p l ea n dt h ef o r w a r di sc o m p l e x i nt h i sp a p e r , b ya n a l y z i n gt h e c o n f i g u r a t i o n o fd e l t ap a r a l l e lr o b o t ，e s t a b l i s h e sam a t h e m a t i c a lm o d e l ，t h e i i i 太原理j ：大学硕十研究生学位论文 k i n e m a t i ce q u a t i o no f3 一d o fd e l t ap a r a l l e lr o b o ti ss e tu pb a s e do nt h er e l a t i o no f t h ev e c t o rb e t w e e nt h em o v i n gp l a t f o r ma n dt h eb a s ep l a t f o r m d e p e n do nt h i s e q u a t i o n ；t h ef o r m u l a t i o no fi n v e r s es o l u t i o na n dt h en u m e r i c a ls o l u t i o no fd i r e c t s o l u t i o na r eo b t a i n e d o nt h eb a s i so fi n v e r s ep o s i t i o n ，am e t h o do f w o r k s p a c ei s p u tf o r w a r d t h ej a c o b i nm a t r i xi so b t a i n e da n di t sv e l o c i t ya n da c c e l e r a t i o n a n a l y s i sa r eg i v e n t o o f i n a l l y , o nt h e b a s i so fi n v e r s ek i n e m a t i c sm o d e l ，d e v e l o p st h e k i n e m a t i c ss i m u l a t i o ns y s t e mb a s e do nw i n d o w su s i n gv c + + a n do p e n g l i n t h es i t u m i o no ft h ev c + + ，i tn e e d st oi n v o k et h ef i g u r ef u n c t i o nf r o mt h e o p e n g lf u n c t i o nl i b r a r yf o re s t a b l i s h i n gt h et h r e e d i m e n s i o n a lm o d e l b a s e d o nt h et r a i lp l a n n i n go fs p a c el i n ea n dp l a n ea r c ，b yc a l l i n gt h ed o u b l eb u f f e r a n i m a t i o nf u n c t i o na n dm a t r i xt r a n s f o r m a t i o nf u n c t i o ne t c ，t h r e e d i m e n s i o n a l s i m u l a t i o ni nd i f f e r e n tp a r a m e t e r sc a nb ea c h i e v e d ，a l s om a k et h ec o m p l e x m o v e m e n to ft h es p a c es t r u c t u r em o r ed i r e c t l y e s t a b l i s ht h es i m u l a t i o ns y s t e m ， w h i c hi sa ne f f e c t i v et o o lf o ri m p r o v i n gd e s i g n i n ge f f i c i e n c ya n dt e s t i n gt h e w h o l em o v e m e n tc o u r s eo ft h ed e l t ap a r a l l e lr o b o t k e yw o r d s ：d e l t ap a r a l l e lr o b o t ，i n v e r s es o l u t i o no fp o s i t i o n ，k i n e m a t i c s ， o p e n g l ，s i m u l a t i o n i v 声明尸明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名：鍪查宣e ti 蕻i ： z o op 6 。2 z o o 孑勿。f 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印 件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为：目的， 复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签：名： 翌盔：宜 日期：签名： 鍪盔g 日期： 幻心否i2 - 导师签名：二盘丝塑l一日期：一 太原理 ：人学硕十研究生学位论文 1 1 并联机器人的提出 第一章绪论 自从1 9 6 1 年美国u n i m a t i o n 公司推出第一台工业机器人以来，机器人得到了十分 。迅速的发展。如今机器人已经广泛应用于工业生产中，如喷漆、焊接、搬运、装配等工 作，在汽车工业、电子工业、核工业、服务行业和医疗卫生等许多方面都有应用。现在 所说的机器人多指工业机器人，大都是由基座、腰( 肩部) 、大臂、小臂、腕部和手部 构成，大臂和小臂以串联的形式连接，称为串联机器人。1 9 6 5 年，英国高级工程师s t e w a r t 首先提出了一种6 自由度的并联机构作为飞行模拟器用以训练飞行员。到1 9 7 8 年， 澳大利亚的h u n t 教授指出这种机构更接近于人体的结构，可以将此平台作为机器人机 构1 2 。8 0 年代中期，国际上研究并联机器人的学者还寥寥无几，出的成果也不多，到 8 0 年代末期特别是9 0 年代以来，并联机器人才被广为注意，并成为新的热点，许多大 型会议都设有专题进行讨论1 3 】。如图1 1 所示，这是一个典型的6 自由度s t e w a r t 平台， 从结构上看，它是由6 根支杆将上下平台连接起来，这6 根支杆可以独立地自由伸缩， 它们分别用球铰与上下平台连接，这样上平台就可以相对于下平台实现6 个自由度，即 在三维空间内可以做任何方向的移动和绕任何方向、位置的轴线转动1 4 】。1 9 8 5 年，c l a v e l 提出了一种称为d e l t a 的三维移动机构，如图1 2 所示。d e l t a 机构是最典型的空间三自 由度移动的并联机构，大多数空问三自由度并联机构都是从d e l t a 机构衍生的。d e l t a 机器人是一种具有3 个平动自由度的高速并联机器人，也是目前商业应用最成功的并联 机器人之一。 图l - 1s t e w a r t 平台 f i g 1 1s t e w a r tp l a t f o r m 图1 - 2d e l t a 机器人 f i g 1 - 2d e l t ar o b o t 太原理工大学硕十研究生学位论文 1 2 并联机器人的特点及应用 1 2 1 并联机器人的特点 由于并联机器人采用闭环机构，和串联机器人的开链式机构相比，具有如下特点【5 】： 1 并联机器人其末端件上平台同时由6 ( 或3 ) 根驱动杆支撑，与串联的悬臂梁相比， 其承载能力高、刚度大，而且结构稳定：由于刚度大，在相同的自重或体积下，并联式 较串联式有较高的承载能力。 2 串联式末端件上的误差是各个关节误差的积累和放大，因此误差大而精度低，并 联式没有那样的积累和放大关系，各杆件误差形成平均值，误差小而精度高。 3 串联机器人的驱动电机及传动系统大都放在运动的大小臂上，增加了系统的运动 惯性，恶化了系统的动力性能：而并联机器人很容易将电机置于基座上，减少了运动负 荷，极大地提高了系统的动力性能。 4 在位置求解上，串联机构正解容易，反解十分困难，而与之相反的是，并联机构 正解困难而反解却容易得到。由于机器人的在线实时计算是要计算反解，这就对串联式 造成了困难，而并联式很容易实现。 5 相对于串联机器人，同样的机构尺寸，并联机器人的工作空间较小，主要是受输 入空间、平台和基座的形状和大小、平台和基座及其杆件在空间的相互干涉、奇异位置 等约束造成。 6 由于并联机构动力学特性具有高度非线性、强耦合的特点，使得其控制较为复杂。 通过以上分析可知，并联机器人和串联机器人形成了鲜明的对比，在优缺点上，串 联的优点恰好是并联的缺点，而并联的优点又恰好是串联的缺点，有些学者将其称为串 连、并联的“对偶”关系。由于串联、并联机器人在机构及性能上的对偶关系，因此它 们之问在应用上不是替代而是互补的关系，各自都有其特殊的应用领域。可以说，并联 机器人的出现扩大了机器人的应用范围。 1 2 2 并联机器人的应用 工业上，并联机器人可以用在汽车总装线上安装轮胎，汽车发动机，还可以用作飞 船对接器，潜艇救援中的对接器，飞行模拟器、空间飞行器对接机构及其地面试验设备， 天文望远镜跟踪定位系统等1 6 j ，其中d e l t a 机器人被广泛应用于食品与药品的包装与机 2 太原理。 大学硕七研究生学位论文 械自动生产线上。对于困难的地下工程，如土方挖掘，也可以利用并联机构。 并联机器人的一个重要应用就是被称为“2 1 世纪的机床 的虚拟轴机床。并联机 床的中心结构简单，传动链极短，刚度大，质量轻，切削效率高，成本低，很容易实现 6 轴联动，因而可以加工非常复杂的三维曲面。1 9 9 4 年美国芝加哥i m t s 博览会上 g i d d 烈g s & l e w i s 公司推出了新开发的并联式v a r _ i a x “虚拟轴机床”，引起广泛关注。 并联机器人的另一个重要的应用方面是作为微动机构或微型机构。这种机构充分发 挥了并联机构工作空间不大、精度和分辨率高的特点，在三维空间内微小移动在2 2 0 9 m 之间。如在眼科手术、微细外科手术中的细胞操作、心脏冠状动脉移植等中都得到了很 好的应用吲。 1 3 并联机器人研究现状 目前，国内外关于并联机器人的研究主要集中于机构学、运动学、动力学和控制策 略等几个领域。其中机构学和运动分析主要研究并联机器人的运动学、奇异形位、工作 空间和灵巧度分析等方面，这些研究是实现并联机器人控制和应用的基础。动力学和控 制策略的研究主要是对并联机器人进行动力学分析和建模，研究各种可能的控制算法， 对并联机器人实时控制，以达到预期的控制效果。下面分别对并联机器人的运动学、动 力学、机构性能等方面的主要研究成果和趋势进行阐述： 1 运动学研究内容包括位置正反解、速度j f i ) j n 速度分析两部分。位置正解是给定并 联机器人各输入关节的位置参数，求解末端执行器的位姿参数；反解就是给定并联机器 人末端执行器的位姿参数，求解各输入关节的位置参数。其中，解决位置正解问题主要 方法有数值法和解析法两种。 数值法的优点是它可以应用于任何结构的并联机构，计算方法简单，但计算速度较 慢，也不能保证获得全部解，并且最终的结果与初值选取有关。典型的有非线性方程组 消元搜索算法【8 1 、神经网络算法等。哈尔滨工业大学的赵杰等运用空间几何学及矢量代 数的方法求解d e l t a 机器人的正解一j 。 解析法是通过消元法消去机构约束方程中的未知数，从而获得输入输出方程中仅含 一个未知数的多项式。这种方法的优点是可以求解机构中所有可能解，并能区分不同连 续工作空问中的解，可是推导过程复杂。国内外学者求解j l ：解的解析解，都是从特殊构 型到一般构型的思路进行。北京邮电大学梁崇高教授等人t 于s t e w a r t 三角平台型6 腿 3 太原理工大学硕七研究生学位论文 s p s 并联机械手作了复杂的正解求解1 1 0 】；黄真教授则利用求解非线性方程组的方法求 解，这些方法最大的缺点是较为费时或对计算机的配置要求较高而难以实现。因此， h a n k 、c h u a n gw 等人提出增设多个传感器的方法以降低求解的难度并加快求解速度， 但这样却增加了结构设计的难度，也带来误差问题。 最早对并联机构的速度和加速度研究的学者是f i c h t e ref 和m e r l e tjp 【i l 】【1 2 】，f i c h t e r 等对位移方程求一二阶导数来求解速度和加速度。h u n t 提出了螺旋理论，它是研究复 杂机构瞬时运动速度的重要理论工具。 。 2 并联机器人的动力学研究包括惯性力计算、受力分析、驱动力矩分析、主负约束 反力分析、动力学模型建立、计算机动态仿真、动态参数辨识等，其中建立动力学模型 是实现并联机器人控制的基础。研究动力学特性的方法通常有以下：拉格朗日 ( l a g r a n g e ) 法、牛顿一欧拉( n e w t o n e u l e r ) 法、凯思( k a n e ) 法、高斯( g a u s s ) 法 等。l a g r a n g e 方法建立动力学方程是以系统动能和势能建立的，它推导复杂、计算量大， 但用矩阵形式表示的动力学模型既能用于动力学控制，又能用于系统动力学模拟，而且 能清楚的表示出各构件间的耦合特性，有利于对系统的耦合特性做深入研究，因此 l a g r a n g e 方程得到广泛的应用。 3 机构性能研究通过奇异形位和工作空间的研究来分别阐述： 当机构处于某些特殊位形时，其雅可比矩阵为奇异阵，行列式为零，机构的这种形 位就称为奇异形位，这时机构速度反解不存在，因此在设计并联机器人时，应避开奇异 形位，即使在奇异形位的临近区域，机构的运动传递性能也很差，故奇异形位临近区域 也尽可能避开。国内外很多学者对奇异形位进行了研究，h u n tkh 、黄真、f i c h t e r 、 g o s s e l i n 等采用速度或力的输入方程研究奇异形位的存在条件。东华大学的戴巍，提出 了种基于旋量理论来研究并联机器人奇异形位的方法i l3 1 。g o s s e l i n 等将并联机器人奇 异形位分为边界奇异、位形奇异和构型奇异三种4 1 。四川轻化工学院的华为实利用 p l u c k e r 坐标矩阵法对d e l t a 机器人的奇异形位进行了分析，并提出了对并联机构进行受 力分析来确定奇异形位的简便方法1 1 5 】。 并联机器人的工作空间求解是一个彳i ! 复杂的问题，在很大程度上依赖于机构位置解 的研究结果，主要方法有解析法和数值 2 ：。在解析法中最具代表性的是几何法，是基于 线性规划中超松弛变量的概念，对1 2 张球面求交。m e r l e t 在此基础上，研究了固定动 平台参考点，求解相应极限姿态空间的斛析法。数值法主要包括网格法、蒙特卡罗法和 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 优化法，这些方法一般适用性差、计算效率低、求解精度低。天津大学的黄田等还提出 以微分几何和集合论为工具，研究并联机器人工作空间的解析建模方法。沈阳工业学院 的王铁军等研究了并联机构工作空间边界数值搜索算法，讨论了并联机器人位置和姿态 的工作空间以及包括关节约束在内的工作空间问题【1 6 1 。当并联机器人接近奇异形位时， 雅克比矩阵的逆矩阵精度降低，从而使机构的输入输出之间的传递关系失真，衡量这种 失真程度的指标就是灵活度。天津大学的刘旭东研究了一种3 - - t p t 并联机构的工作空 间边界和灵活度解析模型，在灵活度解析部分，首先建立雅克比矩阵，然后提出灵活度 指标，进而进行局部灵活度与各向同性解析，最后指出该并联机构所处的构型为局部最 优灵活度构型。哈尔滨工业大学的朱延河，赵杰等提出了一种基于蒙特一卡罗方法计算 灵巧度的方法，使算法具有通用性i l7 1 。 1 4 基于v c + + 6 0 的o p e n g l 1 4 1v i s u a lc + + 6 0 概述 v i s u a lc + + 6 0 是微软的v i s u a lc c + + 编译器的最实用的一个版本，它包括综合的 微软基本类库( m f cl i b r a r y ) 1 1 8 ，m f c 是一个建立在w i n d o w sa p i 之上的c + + 类库 ( c + + c l a s sl i b r a r y ) ，这使得开发w i n d o w s 应用程序变得简单而高效；它提供有复杂的 资源编辑器，可以编辑对话框、菜单、工具栏、图像和其它许多w i n d o w s 应用程序的 组成元素；它还有一个非常好的集成开发环境一d e v e l o p e rs t u d i o ，用它可以在编写c + + 程序时对程序的结构进行可视化的管理。m i c r o s o f tw i n d o w s 的c + + 程序具有更大的灵 活性，因为它在任何时候都可以调用任何w i n 3 2 函数。此外，一个完全集成的d e b u g 工具可以让你从各个角度来检查程序运行中的微小细节，这些只是v i s u a lc + + 6 0 的一 部分优点。因此，利用v c 抖6 0 可以很容易开发出有特点的应用软件。m i c r o s o f t 公司 自w i n d o w s n t 和w i n d o w s 9 5 丌始提供对o p e n g l 的支持，v i s u a lc + + 的基础类库m f c 提供了窗口程序的界面和基本输入输出，是开发w i n d o w s 应用软件的有力手段。o p e n g l 与m f c 相结合，可以建立w i n d o w s 下的o p e n g l 绘制环境，应用m f c 进行软件界面 ( 菜单、对话框) 的设计和编程以及人机交互。 1 4 2o p e n g l 概述 o p e n g l 是s g i 公司丌发的一套高性能的图形处理系统，是图形硬件的软件界面， 5 太原理工大学硕七研究生学位论文 g l 即代表图形库( g r a p h i c sl i b r a r y ) 。通过o p e n g l 程序员可以创建交互式应用程序， 实现具有逼真效果的三维图形图像，从而在要求高度模拟真实世界的诸多领域中都可以 大显身手。现在o p e n g l 已被认为是高性能图形和交互式视景处理的标准，作为三维图 形a p i 的标准，o p e n g l 已经被广泛地应用于图形与动画绘制、虚拟现实技术和计算机 可视化等领域1 1 w 。o p e n g l 是计算机图形技术领域的集大成者，它独立于窗口、操作系 统和硬件设备，具有强大可移植性1 2 0 l 。由于o p e n g l 良好的可移植性，特别是与v i s u a l c + + 面向对象编程软件结合，利用m f c 类库作为o p e n g l 与w i n d o w s 的接口，编译出 动态连接库，加强了其它应用程序调用的能力，开发出不但具有立体感强的三维效果而 且能够提供良好的交互式功能的图形软件，使图形的效果得到直接控制。随着微机性能 的提高，o p e n g l 在微机平台上广泛应用，这更加快了开发高效、低成本的图形软件的 进程。o p e n g l 实质是一个图形硬件的软件接1 5 1 ，利用它提供的基本图形操作函数可以 实现几何建模、图形变换、渲染、光照和材质、反走样、混合、雾化、位图和图像、纹 理映射、交互操作以及动画制作等功能1 2 ，在机器人的动态仿真中，o p e n g l 有着广泛 的应用前景。因此本课题选用o p e n g l 作为d e l t a 机器人三维建模的工具。 1 5 本课题的主要研究内容 本课题主要研究内容是对三自由度d e l t a 并联机器人运动学研究与仿真。具体包括 以下几个方面： 1 建立三自由度d e l t a 并联机器人运动学模型。 2 分析d e l t a 机器人位置反解，在反解基础上对工作空间进行了研究。 3 推导雅可比矩阵，计算速度和加速度。 4 设计d e l t a 机器人运动学仿真平台。 1 6 本章小结 并联机器人在仿生机械、宇航、海洋工程、军事及交通等方面均具有广泛的应用。 本章主要介绍了并联机器人的提出以及国内外研究现状，同时简单的介绍了v c + + 6 0 和o p e n g l ，为下面进一步研究做好铺挚。 6 太原理- 1 ：大学硕士研究生学位论文 2 1 引言 第二章三自由度d e l t a 并联机器人位置分析 机构位置分析是求解机构的输入与输出构件之问的位置关系，是机构运动分析最基 本的任务，也是机构速度、加速度、受力分析、误差分析、工作空间分析和动力分析等 的基础。 由于并联机器人机构复杂，因此，其位置分析也比串连机器人位置分析复杂的多。 当已知机器人的主动件位置时，求解其末端构件的位姿称作位置正解。根据机器人的末 端构件的位姿求解其主动件位置称为位置反解。在并联机器人位置分析中，由于其结构 特点，位置反解比正解容易的多，研究一种简单、快速的位置反解方法对于并联机器人 的控制具有实际意义。并联机器人位置正解分析的方法主要分为解析法和数值法。解析 法的方法一般是从机构的运动学方程出发，经过一系列消元运算，使得机构的输入输出 方程称为只含有一个未知数的高次方程，这时就可以说得到封闭解。若得到的一元方程 的次数不大于4 ，解方程则不需要额外的迭代数值方法，此时正解计算速度和精度可以 大大提高。这种方法的优点是能求出所有可能的解，可消元过程一般都非常繁琐，而且 求解一元高次方程对计算精度要求非常高。数值法是可以应用于任何结构，计算较为简 单。 2 2 位置和姿态的表示2 2 】 进行机构位置分析，首先要描述并联机构各个连杆之间，固定坐标系与动坐标系之 间的运动关系( 把它们当作刚体) ，通常需要要描述各个构件的位姿。 2 2 1 位置描述 一旦建立了一个坐标系，我们就能够用某个3 1 位置矢量确定该空间内任一点的位 置。对于直角坐标系阳，空间任一点p 的位置可以用3 x l 的列矢量爿p 表示： 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 lp 。 i p = ip y l p ： ( 2 1 ) 其中，p 。，p 。，p ：是点尸在坐标系例中的三个坐标分量，彳p 的上标a 代表参考 坐标系例，我们称一p 为位置矢量，见图2 1 。除了直角坐标系，也可以采用圆柱坐标 系或球坐标系来描述点的位置。 2 2 2 姿态的描述 图2 - 1 空间点的位置 f i g 2 - 1t h ep o s i t i o no fp o i n ti ns p a c e 主矢量x 口，y 8 ，：月相对于坐标系例的方向余弦组成3 x 3 矩阵。；r - - 【_ x 占爿y 占月z 占】 扣隧r 3r 3 亿2 ， 善肛i r 2 l r ，l q 2 ) i l r 2 3 3 i 来表示刚体b 相对于坐标系翻，方位，善尺通常称为旋转矩阵，上标a 代表参考坐标系 翻，小标b 代表：以瑚1 1 - 地 - u 。工a ，q i 系倒。；r 有9 个元素，其中只有3 个是独立的。因为。4 r 的列矢量一，一y 片和j z 付都是单位主矢量，且两两相互垂直，所以9 个元素满足6 个 8 太原理t i 大学硕七研究生学位论文 一x b 4 x 厅= 月y 口一y 占= 爿z 曰_ z 口= 1 。x 曰，4 y 曰= 。4j ，月- 月z b = 。z 口。x 母= 0 因此，旋转矩阵；尺是正交的，并且满足条件 ( 2 3 ) ( 2 4 ) i ；r i _ i( 2 ；) 其中，上标t 表示转置；| | 是行列式符号。绕x 轴，y 轴和z 轴旋转0 的矩阵分别 脚朋= 瞄0 甜oj 亿6 ， l - c o s 0 0s i n o - r ( y 0 ) - - l 0 10 i ； ( 2 7 ) i s i n 0 0c o s 0l 脚= 雕- s i n 。0 ； ； 亿8 ， 聪z ，2 愕c 苫。? i ； 心 位置矢量p 和旋转矩阵；尺分别描述坐标系倒的原点位置和坐标轴的方位。因此， 例= ；r 。p ) ( 2 9 ) 当表示位置时，a ( 2 9 ) 中的旋转矩阵：尺= 1 ( 单位矩阵) ；当表示方位时，式( 2 9 ) 的 位置矢量一p 5 0 。 9 太原理：t = 大学硕士研究生学位论文 1 坐标平移 设坐标系倒与印夕具有相同的方位，但是倒的坐标系原点与俐的不重合，用位置 矢量爿p 只，描述它相对于例的位置，如图2 - 2 所示，把彳p 称为倒相对于翻，的平移矢 量。如果点p 在坐标系俐中的位置为且p ，则它相对于坐标系例的位置矢量一p 可由矢 量相加得出： 图2 - 2 坐标系平移 f i g 2 2c o o r d i n a t es y s t e mt r a n s l a t i o n p 2 君p + 。p ( 2 1 0 ) 上式称为坐标平移方程。 2 坐标旋转 设坐标系倒与印，有共同的坐标原点，但是两者的方位不同，如图2 3 所示，用旋 转矩阵：月描述倒相对于翻，的方位，同一点p 在坐标系印夕和倒中的描述卅p 和日p 具 有以下变换关系： 上式称为坐标旋转方程。 y b 图2 - 3 坐标系旋转 f i g 2 - 3c o o r d i n a t es y s t e mr o t a t e 。p ma b r 8p 1 0 ( 2 】1 ) 太原理： 大学硕十研究生学位论文 2 3 齐次坐标变换 变换式月p = ：p + 月p b ，如图2 - 4 。 等价的齐次变换形式： ? = 笞一州卅 对于口p 而言是非齐次的，但是可以将其表示成 ( 2 1 2 ) f i g 2 - 4c o m p l e xt r a n s f o r mo fs p a c ep o i n t 其中，4 x l 的列矢量表示三维空问的点，成为点的齐次坐标，仍然记为月p 或斥p 。可以 把式( 2 1 2 ) 写成矩阵形式： 爿p = 口p ( 2 1 3 ) 式( 2 1 3 ) 中，齐次坐标爿p 和月p 是4 1 的列矢量，加入了第四个元素1 。齐次变换矩 阵7 是4 4 的方阵，具有如下的形式： = 笞一纠 综合的表示了平移变换和旋转变换。已知一直角坐标系中的某点坐标，那么该点在 另直角坐标系中的坐标可通过齐次坐标变换求得。 2 4d e l t a 并联机器人结构分析 太原理一 大学硕士研究生学位论文 并联机构( p a r a l l e lm a c h a n i s m ) 是一组由两个或两个以上的分支机构并联而成【2 1 。 它的特点是所有分支机构可以同时接受驱动器输入，而最终共同给出输出，并联机构在 机构学上是多路闭环机构。并联机构通常由转动副( r ) 、移动副( p ) 、螺旋副( h ) 、 圆柱副( c ) 、平面副( e ) 、球面副( s ) 及虎克铰( t ) 等运动副构成。d e l t a 机器人最 早是c l a v e l 博士在1 9 8 5 年提出的，由于其基座平台和运动平台都是呈三角形状而得【2 3 1 。 三自由度的d e l t a 机构是三组摆动杆机构连接固定平台和动平台的空间机构，如图1 2 所示，。由两个正三角形平台组成，上方的平台是固定平台( 基座平台) ，下方的平台是 运动平台，基座平台的三条边通过三条完全相同的运动链分别连接到运动平台的三个边 上。每条运动链中有一个由四个球铰与杆件组成的平行四边形闭环，此闭环与驱动杆件 相连，驱动杆件与固定平台之间通过转动副连接。三组平行四边形机构的应用保证了运 动平台与固定平台始终保持平行，消除了运动平台的转动自由度，从而保留了空间的三 个平动自由度。同时，利用空间机构自由度计算公式也可以计算出该机构的自由度。 一般情况下，有空间机构自由度f 的计算公式【2 】： f = 6 ( i l g 1 ) + f ( 2 1 4 ) j = l 其中：i 卜构件数 g _ 机构运动副数 窖 y 厂一所有运动副自由度数和 j 。 ，= 1 分析该机构，容易知道该机构具有局部冗余自由度，即球铰之间的连杆可以绕自身 轴转动，计算自由度时应将四个球铰中的两个按虎克铰考虑，以便消除局部自由度的影 响【2 4 】，根据式( 2 1 4 ) 就可以求出该机构的自由度数，此机构的构件数目( 包括固定平 台) n = l l ，运动副数g = 1 5 ，所以f = 6 ( 1 1 - 1 5 1 ) + 3 6 + 2 “l 3 = 3 ，因此，d e l t a 并联机器 人具有三个平移自由度，即运动平台在机器人工作空间内沿x 、y 、z 三个方向平移运 动。 2 3 位置反解 2 3 1 坐标系建立 1 2 太原理：r 人学硕十研究生学位论文 为了方便求解三自由度平台的空间位黄关系，研究平台的运动规律，首先将机构稍 加改造，将三组平行四边形闭环上下两边中点之间加入三根虚拟连杆，如图2 5 所示。 考虑到运动平台只有平动没有转动，相对于固定平台姿态固定，机构中所有分支中的平 行四边形框架始终为平面四边形，而不会扭曲为空间四边形。在此条件下，平行四边形 左右两边的运动与上下两边中点连线的运动完全相同。因此，在进行运动分析时，将机 构简化为图2 - 6 所示。 。接着建立动、静两个坐标系，静坐标系o x y z 原点o 位于上平台( 固定平台) 的 几何中心。动平台上建立动坐标系d - x y ，z ，o7 为动平台的几何中心，其中z 轴和z 图2 - 5 引入虚拟杆的运动学模型 f i g 2 - 5k i n e m a t i cm o d e lw i t hv i r t u a ll i n k s 图2 - 6d e l t a 并联机器人机构简图 f i g ，2 - 6s k e t c ho fd e l t ap a r a l l e lr o b o t 轴分别垂直于静平台和动平台，o x 轴和0 7 x 轴分别垂直于b 。b ，和e p 3 。三根主动杆为 图中的b e j ，长度均为l b ，从动杆为图中e i e ，长度均为l a 。0 1 , 0 ：，0 ：为电机驱动臂对 基座平台的张角。 2 3 2 位置反解分析 d e l t a 机器人通过三个分支链将上下平台连接起来，驱动臂在电机的驱动下作一定 角度的反复摆动，再通过平行四边形闭环和转动副使动平台作平移运动。对于该机构， 求解位置反解即给定运动平台的中心点在静坐标系中的坐标，求解基座平台的三个控制 电机的旋转角度，也就是三个驱动臂对固定平台的张角。运动学逆问题的求解是机器人 控制的关键，因为只有使各关节变量按反解中求得的值运动，才能使末端操作器达到所 要求的位姿。位置反解的具体分析如下： 如图2 - 7 所示，动平台融h l o b i = r ，i o p , l = r 则点b i 在静坐标系o x y z 中的位 13 太原理 ：大学硕士研究生学位论文 置矢量为： 以 b 2 y 。1 多 一 b l 图2 - 7 。固定平台结构参数 f i g 2 - 7t h ef r a m ep a r a m e t e ro fs t a t i cp l a t f o r m h 卜p ；i 其中t 1 i = 同样也可以得到点p i 在坐标系o x y z 中的位置矢量为： 【尸，】。，= 4f 一3 6 其中t 1 i2 下4 i - 37 【 兀 ( f - l ，2 ，3 ) ( f = 1 ，2 ，3 ) 根掘几何学关系，可以得出e ：点在坐标系o x y z 中的位置矢量可以表达为： r ( r + e ，】d = i ( r 十 l l 。 l bs i n 护，) c os r l l bs i n0 ，) s i n t i i c o s 口 其中t 1 j =4 f 一3 6 假设矢量倒在o x y z 坐标系中为【c0 = 【x y zr ，则矢量在o x y z 坐标 系中可以表示为： 【尸】。= 其中r l i = 笪i 6 i 因l l l ，根据| p i e 。l = l 。，经过化简后可以推导出下列等式： 兀 ( r + l b s i n2 一r ) c o s t l ；一x 2 + ( r + l 。s i np r ) s i n l l i y 2 + ( 一l bc o sp z ) 2 = l 2 由上式可得 ( 2 1 5 ) 孚u 舢。叫一x 2 + i ( r + l b s i no , - r 叫2 + c l 。c o so , + z ) 2 p 1 4 t n s 0 “ 心 璐0 。l x y + 卜 刁玑 雌m c s r r z 一 一 太原理：i ：人学硕士研究生学位论文 ( 2 1 6 ) 一- 孚- ( r + l bs i n0 2 - r ) 一x 2 + i ( r + lbs i n0 z - r ) 一y 2 + ( lb c o s0 2 + z ) 2 = l 。2 x 2 + ( r + l 。s i n 乡，一r ) + y 2 + ( l 。c 。s 秒，+ z ) 2 = l 。2 整理并化简上面等式，可以得到一个关于9 的一元二次方程： k i t f 2 + u i ，f + v i ：0 ( i = l ，2 ，3 ) 卿，一n ( ) 经过一系列计算后，得到： k j = l2_l02_x2_y2_z2_(r_r)2+(r-r)(,f3x+y)+2z l b u 。= 一2 1 2 ( r r ) 一扭一y 】 、(：l 2 _ 12_xa_y2_z2_(r_r)2+(r_r)(vrx+y)一2z 1 k k ：生二蔓二圣：二芝二兰二堡二生二堡二丛型三兰二塑+ 2