博弈论各章节课后习题答案.pdf

1 第三章纳什均衡的扩展与精炼 1. 什么是完全信息和不完全信息？什么是完美信息和不完美信息？在海萨尼转换中，自然 对局中人类型的确定都是有限的吗？举例说明。(见教材) 2. 什么是重复博弈中的策略?什么是一个重复博弈中的子博弈?什么是一个子博弈完美纳什 均衡? (见教材) 3. 以下（虚线框中的）子博弈的划分是否正确? 1 22 3 3 L R L R L R L RLR 1 22 3 3 L R L R L R L RLR 答：两个扩展式中的子博弈划分均不正确，图 1 中的划分对同一信息集产生了分割，图 2 中的子博弈不是开始于单节信息集的决策结点。 4. 在双寡头古诺模型中,设逆需求函数为 p=a-Q,其中 Q=q1+q2为市场总需求,但 a 有 aH和 aL 两种可能的情况,并且企业 1 知道 a 究竟是 aH还是 aL,而企业 2 只知道 a=aH和 a=aL的概率分 别是和 1-,该信息是双方都知道的。双方的总成本函数分别是 cq1和 cq2。如果两企业同时 选择产量,双方的策略空间是什么？试计算出贝叶斯纳什均衡。 N 2 1 1 aH aL 222 假设企业 2 的产量为 q2，企业 1 将选择 q1最大化利润函数 （这里 a 取 aH或 aL）)cqqa(q 12111 = 由此得： )cqa(q HH121 2 1 = )cqa(q LL121 2 1 = 企业 2 将选择 q2最大化它的期望利润 )cqqa(q)()cqqa(q)(E LLHH221222122 1+= 由此得：c)q)(q(a)(aq LHLH2112 11 2 1 += 在均衡时，q1，q2应满足 2 += = c)q)(q(a)(aq )cqa(q LHLH2112 121 11 2 1 2 1 由此得： 企业 1 的策略为： cca)(a)ca(q LHH * H2111 21 6 1 2 1 += cca)(a)ca(q LHL * L2111 21 6 1 2 1 += 企业 2 的策略为： cca)(aq LH * 212 21 3 1 += 因此博弈的贝叶斯纳什均衡是：当 a=aH时，企业 1 生产；当 a=aL时，企业 1 生产， * H q1 * L q1 企业 2 生产。 * q2 5. 在下面的静态贝叶斯博弈中,求出所有的纯策略贝叶斯纳什均衡。 (1) 自然决定收益情况是由博弈 1 给出，还是由博弈 2 给出，选择每一博弈的概率相等； (2) 局中人 1 了解到自然选择了博弈 1，还是选择了博弈 2，但局中人 2 不知道； (3) 局中人 1 选择行动 T 或 B，同时局中人 2 选择行动 L 或 R； (4) 根据自然选择的博弈，两局中人得到相应的收益。 博弈 1博弈 2 11 2 1 TB LR N 2 222 (1,1)(0,2) TB LRLRL R (0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0) 0.5 0.5 自然选择了博弈 1 时，局中人 1 选择 T，自然选择了博弈 2 时，局中人 1 选择 B。 局中人 2 的策略是根据期望收益最大的原则确定。 局中人 2 的选择策略 L 的期望收益为 0.51+0.50=0.5，选择策略 R 的期望收益为 0.50+0.52=1，因此局中人 2 会选择策略 R。 该博弈的纯策略贝叶斯纳什均衡为：自然选择博弈 1时，局中人 1 选择 T，自然选择博 弈 2 时，局中人 1 选择 B；局中人 2 会选择策略 R。 6. 在一个由三寡头操纵的垄断市场中，逆需求函数为 p=a-q1-q2-q3，这里 qi是企业 i 的产量。 每一企业生产的单位成本为常数 c。三企业决定各自产量的顺序如下：(1)企业 1 首先选择 q10；(2)企业 2 和企业 3 观察到 q1，然后同时分别选择 q2和 q3。试解出该博弈的子博弈完 LRLR T1,10,0T0,00,0 B0,00,0B0,02,2 3 美纳什均衡。 答：该博弈分为两个阶段，第一阶段企业 1 选择产量 q1，第二阶段企业 2 和 3 观测到 q1后， 他们之间作一完全信息的静态博弈。我们按照逆向递归法对博弈进行求解。 （1）假设企业 1 已选定产量 q1，先进行第二阶段的计算。设企业 2，3 的利润函数分别为： 223212 cqq)qqqa (= 323213 cqq)qqqa (= 由于两企业均要追求利润最大，故对以上两式分别求一阶条件： （1）0cqq2qa q 321 2 2 = （2）0cq2qqa q 321 3 3 = 求解（1）、（2）组成的方程组有： （3） 3 cqa qq 1 * 3 * 2 = （2）现进行第一阶段的博弈分析： 对与企业 1，其利润函数为； 113211 cqq)qqqa (= 将（3）代入可得： （4） 3 ) cqa (q 11 1 = 式（4）对 q1求导： 0cq2a q 1 1 1 = 解得： （5）) ca ( 2 1 q* 1 = 此时， 2* 1 ) ca ( 12 1 = （3）将式（5）代回（3）和（4）有该博弈的子博弈完美纳什均衡： ,) ca ( 2 1 q* 1 =) ca ( 6 1 qq * 3 * 2 = 7. 如果将如下的囚徒困境博弈重复进行无穷次，惩罚机制为触发策略，贴现因子为。试问 应满足什么条件，才存在子博弈完美纳什均衡？ 由划线法求得该博弈的纯策略纳什均衡点为(不坦白,不坦白)，均衡结果为(1,1)，采用触发策 略，局中人 i 的策略组合 s 的最好反应支付=5,Pi(s*)=4，Pi(sc)=1。若存)s ,s (Pmax) s ( iii Ss i ii = 在子博弈完美纳什均衡，必须满足：，即只有当贴现因子1/4 4 1 15 45 )s (P)s ( )s (P)s ( c i * i * i * i = = 时，才存在子博弈完美纳什均衡。 乙 甲 坦白不坦白 坦白4,40,5 不坦白5,01,1 4 8. 假设有一博弈 G=N,S,P,其中 N=1,2,S1=0,50,S2=0,50,， 21 2 111 ss10s10s100) s (P+= ,i=1,2。(1)求纳什均衡点;(2)在纳什均衡下的最优反应函数;(3)若该 21 2 222 ss10s15s200) s (P+= 博弈重复无限次,是否存在触发策略构成的子博弈完美纳什均衡,其条件是什么？ 解：局中人 1,2 的最优反应函数分别为: s1=5+1/2s2s2=20/3+1/3s1 由此得唯一的纯策略纳什均衡点:sc=(10,10).相应的有 P(sc)=(1000,1500). 容易求得 s*=(35,30),相应的有 P(s*)=(1750,3000),.)5042,4000()s ( * = 当时，存在触发策略构成的子博弈完美576. 0 15005042 30005042 ,75. 0 10004000 17504000 21 = = 纳什均衡(s*,sc) 9. 求如图所示完全信息动态博弈的子博弈完美纳什均衡 （图中数字(a,b,c)分别表示局中人 1、 2、3的收益） 。 1 2 3 3 A1A2 B1 B2C1 C2 3 C1 C2C1 C2 (4,2,3)(1,7,8) (5,4,3) (7,6,6) (2,1,9)(0,4,2) 答： 局中人 1 采取 A2行动，局中人 2 采取行动 B1时， 局中人 3 必然采取 C2行动 （因为 32） ，因而该博弈的顶点只能是(2,1,9)。进而原博弈简化为： 1 2 3 A1A2 B1 B2C1 C2 (4,2,3)(1,7,8) (7,6,6)(2,1,9) 这时,假设局中人 1 采取行动 A1，对于左边一个子博弈，局中人 3 必定采取行动 C2(31),因而在该子博弈顶点的结果只会是(7,6,6).进而,该博弈又简化为： 1 A1A2 (1,7,8) (7,6,6) 5 这时，局中人 1 必然选择行动 A2(1max0,s-c1，即 Pmax(c1+c2)/r, (s+c2)/r时 原告的诉讼威胁是可信的。 11. 在伯川德模型中,假定有n个生产企业,需求函数为(b0),其中pi是企业i = += n ij 1j jii pbpaq 的定价,qi是企业i的需求量。假设企业生产没有固定成本,并且边际成本为常数c,ca.假定博弃 重复无穷多次,每次的价格都立即被观察到,企业使用触发策略。求使垄断价格可以作为完美 均衡结果出现的最低贴现因子,并解释与n的关系。 分以下几个步骤进行。 1)计算纳什均衡 当企业 i 选择价格 pi,其它企业选择价格 pj(j=1,2,n,ji)时,企业 i 的利润为: ,i=1,2,n)ppppp(bpa)(cp(q) cp( n1i1i21iiiii += + 价格组合()若是纳什均衡,则对每个企业 i,应是如下最优问题的解: c n c 2 c 1 p,p,p c i p )ppppp(bpa)(cp(max * n * 1i * 1i * 2 * 1ii p0 i + + 6 求解该问题,得; i=1,2,.,n)pbca ( 2 1 p n ij 1j c j c i = += 解该方程组,得:,i=1,2,n b) 1n(2 ca pc i + = 企业 i 的利润为： 2c i ) b) 1n(2 ) 1n(bcca ( + = 2) 计算垄断情况下的价格 若 n 家企业合并为一家,即形成垄断价格,则 n 家企业的价格相同,即 p1=p2=pn. 可求得总利润最大时的价格为: ) 1b) 1n(2 ac ) 1b) 1n( p* i = 那么每个企业的利润为(这里(n-1)b 3) 计算使垄断价格可以作为完美均衡结果出现的最低贴现因子,并解释与 n的关系。 2* i ) ) 1b) 1n(4 )ac ) 1b) 1n(b) 1n( 2 ca ()p( = 当时,触发策 22 2 2 c i * i * i * i ) b) 1n(2 ) 1n(bcca () ) 1b) 1n(4 )ac ) 1b) 1n(b) 1n( 2 ca ( 1b) 1n( ) c ) 1b) 1n(a ( 4 1 ) ) 1b) 1n(4 )ac ) 1b) 1n(b) 1n( 2 ca ( )p( )p( + + + = 略(p*,pc) 是子博弈完美纳什均衡. 12. 有一在位企业生产某种产品，其成本可能低，也可