（基础数学专业论文）liuliuliuliu系统的动力学性质、控制及同步.pdf

t h ed y n a m i c a lq u a l i t yo f l i u l i u l i u l i us y s t e m 、 c o n t r o la n ds y n c h r o n i z e 1 1 1 a b s t r a c t i n1 9 6 0 s 。，卸a m e r i c a ni n e t e o r o l o g i 8 t ，e m l o r e n z ，f o u n dt h ef i r 8 ts t r a n g ea t t r 8 c t o r ， t h es 0 - c 8 l l e dl 0 r e n za t t r a c t o r ，i nan u m e r i c 越唧e r i m e t s i n c et h e n ，m o ；晏要害童饕彗孚荤爵 ；薯薹；毫蓍妻萼毒蠹摹毒拳誊塞三耋享毒毒嚣薹蓬垂耋矗骜耋鎏詈叫| ；要苎i 霉； x 早期混沌研究的一个重要阶段是把 l p o i c a r e 的拓扑动力学思想推广应用于耗散系 统。1 9 1 8 年，g d l l l l i n g 对具有非线性恢复力的受迫振动系统进行深入的研究，揭示出 许多非线性振动的奇怪现象。他的标准动力学方程称为d u 助l g 方程，即 蕾+ 凫宕+ ，( 。) = 9 ( 嚣) 其中，( 茁) 含有三次项，9 ( z ) 为周期函数。2 0 年代，荷兰物理学家& v 抽d e r p o l 研究三级 管振荡器，建立了著名的v a n d e r p o l 方程； 窑一七( 1 一。2 ) 圣+ 石= 6 女a 伽( a t + 妒) 陲篓一秒 著名的论文论湍流的本质瑚，在学术界第一个提出用混沌来解释湍流形成机制的 新观点，并证明了l e v d l 觚d a u 关于湍流发生机制的权威理论的不正确性。他们通过 严密的数学分析，独立地发表了动力系统存在一套特别复杂的新型吸引子，描述它的 几何特征，证明与这种吸引予有关的运动，即为混沌，发现了第一条通向混沌的道 路。 1 9 7 5 年，美籍华人t y l i 和美国数学家j _ a y 0 r k e 在美国a m e r i c 枷a t h e m a t i c s 上发表题为周期3 意味着混沌f 4 】的著名文章。该定理描述了混沌的数学特征，为 以后一系列的研究开辟了方向。他们在动力系统中率先引入“混沌”( c h a 0 8 ) 一词，为这 一门新兴研究领域确定了一个中心概念，同时也为各学科研究混沌现象树立起了一面 统一的旗帜。1 9 7 6 年美国生物学家r m a y 在自然杂志上发表了题为具有复杂性 的动力学的简单数学模型 5 】的著名文章。提出生态学中的一些非常简单的数学模型 具有极为复杂的动力学行为。他以著名的l o g 斌i c 浃射为例，展示了这个一维映射的 复杂动力学行为。 1 9 7 8 年，美国物理学家m j f d g e n b a u m 在统计物理学杂志上发表了关于普适 性的文章一类非线性变换的定量的普适性1 6 】。f e i g e 曲a 眦把相变临界理论中的普 适性、标度性、重正化群方法引入混沌研究，计算出从倍周期分岔通往混沌道路上的 两个普适常数，把混沌研究从定性描述推进到定量描述，为混沌研究打下了坚实的理 论基础。从此，混沌学便确立了自己牢固的地位。 到7 0 年代末和8 0 年代初，混沌研究已发展成为一个具有明确的研究对象和基本 课题，独特的概念体系和方法论框架的新学科，关于这门新学科，1 9 8 3 年物理学 家m ，b e r 黟提出了混沌学( 出a o t o 醪) 这个名称，并逐渐为科学界所接受。8 0 年代以 来，混沌学更是与其他学科相互渗透，相互促进。无论是在生物学、生理学、心 理学、数学、物理学、信息科学，还是天文学、气象学、经济学，甚至在音乐、艺 术等领域，混沌都得到了广泛的应用。正如混沌科学的倡导者之一、美国海军部官 员m s h l e s l n g e r 所说的那样：“2 0 世纪科学中永远铭记的只有三件事，那就是相对论、 量子力学和混沌”。 2 0 世纪9 0 年代初，以美国科学家e o t t ，c g r e b o 舀，j a y o r k e 和l m p e c o r 8 ， t l c 8 r r o n 为代表，分别在混沌控制与混沌同步中取得突破性进展，在全世界掀起了 混沌控制热潮。之后十几年间，混沌控制和同步的研究得到了蓬勃的发展。期间，人 们提出了各种混沌控制方法，如状态反馈控制法、脉冲控制法、适应控制法等，并在 光学、等离子体、化学反应、流体、人工神经网络、生物系统等大量实验和应用中得 到验证。 4 堑坚堕萱盔堂亟圭途塞! 箜二童箜迨 1 2 混沌的定义和基本特征 1 2 1 混沌的定义 混沌是动力系统复杂性的重要概念。但是，究竟什么是混沌，至今还没有一致的 严格的定义。在数学术语所给出的一些定义之前，两个稍微不同但却被广泛接受的混 沌定义分别由l i - y 0 r k e 和d e v a n e y 给出，这里我们复述l i - y 0 出e 和d e v a n e y 意义下的混 沌。 l i - y b r k e 意义下的混沌 在1 9 7 5 年，t y l i 和j a y 0 r k e 在美国a m e r i c am a t h e m a t i c s 上发表了一篇题为 周期3 意味着混沌1 4 】的论文，第一次引入“混沌”概念，并给出了混沌的一种数学 定义，称为l i y o r k e 定义： 对于闭区间i 上的连续自映射“x ) ，如果满足下列条件，则它有混沌现象： f 1 1f 有任意周期的周期点； ( i i ) 闭区间i 存在不可数非周期不变子集s ，满足 ( i ) ，( s ) cs ； ( i i ) 对任意z s 和f 的任一周期点y ，有 撬i ，“( 。) 一，“( ) i o ； ( i i i ) 对任意。，g s ，当时z ，有 舰i ，“( 。) 一，8 ( ) i o - ( i i i ) 存在s 的不可数集& ，对任意z ，p s 0 ，有 墨 ，4 ( 。) 一尸( 肇) l = o 这个定义中，只说明子集s 的点相当分散又相当集中；并且子集s 不会趋近于任何 周期点，所以这个定义本身没有预言非周期轨道的存在性，并没有描述它们的测度和 稳定性。 d e v a 珊意义下的混沌 1 9 8 9 年，d e v a n e y 给出了一个更直观更便于理解的混沌定义： 设x 是一个度量空间，一个连续映射，：x x 称为x 上的混沌，如果满足下列条 件： ( i ) f 具有对初值的敏感依赖性； ( i i ) 堤拓扑传递的； 2 2 几个经典的混沌系统 7 2 1 al o r e i l z 吸引子o = l o 一；8 3 ，c = 2 8 2 1 七r 泌8 l e r 吸引子n = 6 = o 2 ，c ；5 7 图2 1l o r e n z 系统和砒硒l 盯系统混沌吸引子 2 2 1l o r e n z 系统 美国气象学家洛伦兹( e ，n 。l o r e n z ) 于1 9 6 3 年在对流实验的研究中，得到了第个表 现奇异吸引子的模型l o r e n z 系统【1 2 j ，其方程可以描述为： ( 2 1 ) 其中。，可，z r ，n ，6 ，c 为正的实数。z 正比于对流运动的强度；对比于水平方向温度 变化；z 正比于垂直方向温度变化。当n = 1 0 6 = 8 3 ，c = 2 8 时，系统( 2 1 ) 存在混沌吸 引子，如图2 1 a 所示。 2 1 ，a 仅是一个数值仿真的结果，直到最近，人们才从数学上严格证明了l o r e n z 混 沌吸引子的存在性【1 3 ，1 4 t 1 5 】。 2 2 2r 洳s l e r 系统 1 9 7 6 年，胁s l e r 构造了一个简单的三维系统，它只有一个非线形交叉项z z ，方程 怯裂句 z ， 该系统可以认为是围绕l o r e n z 吸引子的一个环建立的一个外流模型。这里o ：6 ： 0 2 ，c 为分支参数，当c = 5 7 时，吸引子结构如图2 1 b 所示。值得注意的是，系 统( 2 - 2 ) 比系统系统( 2 1 ) 简单，并且他们之间不拓扑等价，即不存在任何同胚变换把系 翟一 2 ，2 ，8c h e b 吸弓；子( 口，6 ，c ) 三q 5 ，3 ，2 8 ) 2 名b 泌皲弓i 子n = 3 e p = 3 c = 2 0 图2 2c h e n 系统和l n 系统混沌吸引子 2 2 3c h e n 系统 1 9 9 9 年陈关荣等1 1 6 j 利用反控制的基本方法和技巧研究l o r e i l z 系统时，得到了一个 新的混沌系统，简称为g h e n 系统： 巨篓+ 昭 ( 23 ) c h e n 系统和l o r e n z 系统具有类似但不同的拓扑结构，即它们都是三维连续自治系 统且具有两个二次项，但它霜】之同不能透过拓於变抉将一个系统转授到另一个系 统。c h e n 系统比l o r e n z 系统具有更复杂的拓扑结构和动力行为【口t 删。当参数( g ，b ，c ) = ( 3 5 ，3 ，2 8 ) 时，c h e n 系统有一个如图2 2 a 所示的混沌吸引子。 2 2 4阢系统 如果将系统( 2 1 ) 和( 2 3 ) 的线性和非线性部分分开，根据v 妇e c e k 和c e l i k o v s k y 提 出的标准 1 1 ，其线性部分a = m ，1 3 。3 可以为标准型的分类提供一个临界条件，那 么l o r e r l z 系统移c h e n 系统分裂震于两个裎反鹤类澍：l d t e n z 系统满足d 1 舭2 】 o ， 而c h e n 系统却满足0 1 2 口2 1 o ，c 0 ，而将6 作为参数考虑。 2 3 2 基本的数学性质 ( 1 ) 对称性和不变性 1 0 图2 3l i u - l i u - l i u - l i u 混沌吸引子 d 2 1 0 ，6 = 4 0 ，c ；2 5 ，= 1 ， = 4 ，初值z ( 0 ) ；y ( 0 ) = ：( 0 ) = 1 0 2 4 a x - y 平面上的投影图 2 4 b x z 平面上的投影图2 4 cy - z 平面图上的投影 图2 4l i u - l i u - l i u - l i u 系统混沌吸引子在各个平面上的投影 2 5 bx - t 图 2 5 山卜t 图 2 5 cz - t 图 图2 5l i u - 泞i 耍耋上专l ”照鑫鬃墨甜堕j ，有 对系统( 2 ，7 ) 作线性变换 变换成为 i 亩l = 口( 1 一七1 ) 雪1 = 一、5 邑1 一z l z l 【2 1 = 2 、瓦l c z i + z i ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 系统( 2 1 0 ) 对应的特征方程 a 3 + ( o + c ) 酽+ o c a + 2 0 6 c = 0 ( 2 1 1 ) 根据r d r t h h u r w i t z 条件，方程( 2 1 1 ) 所有特征根实部为负的充要条件是 n + c o 2 乜k o ，( b + c ) 口c 一2 0 b c o 即只要o o 。 事实上，令6 = 6 = ! 笋，则由方程( 2 1 1 ) 得到 协+ ( 口+ c ) 】( 妒+ o c ) = o( 2 1 2 ) 显然，方程( 2 1 2 ) 有一负实根a l = 一( 口+ c ) ，以及一对纯虚根a 2 ，3 = 士i 压 由方程( 2 1 2 ) ，得到 ( 6 ) 一丽禹 因此 口( 0 ) = r e a 7 ( h ) = 再- 彘 0 u ( o ) = j m ( h ) = 盂糕 0 所以，当6 = h ，则系统( 2 7 ) 在平衡点鼻和s _ 处出现日印，分岔。 由命题2 3 3 和上述分析易知，当6 竺芸时，系统( 2 7 ) 的平衡点4 和是不稳定 的，对应特征方程( 2 1 2 ) 有一个受实根帮j 惫具有正实部的共轭虚根， 综合上述分析，我们有以下定理： 定理2 3 1 ( i ) 若o 2 ，我们计算下列特征量 h = ； 鬻+ 鬻卜蒜嵩瓜， = ： 裔一鬻划恶 _ ； 涡俪+ t 熹 可以得到下列方程 牌三泛叫孤 ( 2 2 2 ) 卜= 等鲁俪， 【忱。2 南 糕征+ 叁佤+ t ( 差+ 端啊 ，。3 2 g m 2 斟豢+ 器+ t ( 鑫一鑫) = 等掣征十t ( 4 。孑+ 羔) 1 2 f口+ c 。75 i 鼍1 - 。十二i ：i f g 埘2 封蒜一象+ t ( 蒜+ 怒) ：；等半瓶一；些掣坠鲨1 一互【i 万、o 。一。i j j 孑一j 因此，我们可以进一步计算以下这些值 耽12 g 2 l + ( 2 g 1 1 。“，1 l + g l 。i “如) ， = 案一。蚶一知。) + 等 州o ，c ) _ 帮， 风( 口，c ) = 2 兄e a ( o ) ， 吨( 口，c ) = 一地鱼塑兰丝竺：! 1 2 赢 3 1 引言 1 9 在自然界和现实世界中，混沌的发现令人惊喜，又使人烦恼。惊喜的是它伴随而 来绚丽多彩，千资百态的大千世界；烦恼的是它又那么瞬息万变，充满复杂，难以驾 驭。由于混沌系统对初值的高度敏感依赖性，混沌奇怪吸引子内的轨线或信息高度不 稳定性，瞬息万变，令人难以捕捉，因此长期以来被人们误解为混沌是不可控的，不 可靠的。 2 0 世纪9 0 年代被称为“混沌控制的春天”，混沌控劁取得了突破性进展。1 9 9 0 年， 美国马里兰大学物理学家e o t t ，c g r e b o g r 和j a 1 r k e 首先从理论上提出了实现混 沌控制的参数小微扰方法f 简称为o g y 方法) 。这些先驱性的工作，立即激起了混沌控 制的研究热潮，理论与实验应用研究蓬勃发展。迄今为止已提出了许多混沌控制的方 法，如变量反馈法、相互耦合法、噪声控制法、最小能量法、自适应法等。其中变量 反馈控制法，是利用混沌系统中的某个变量的一小部分反馈到系统本身中去，达到控 制目标。它具体包括：偶然正比变量反馈，连续变量反馈，脉冲变量反馈和延迟反馈 等等。 一般而言，控制混沌的目标是镇定混沌吸引子中嵌入的不稳定周期轨道。虽 然o g y 混沌控制方法有其严密和完备的理论基础，并在许多混沌系统中都得到成功 应用，但是它通常只适应于离散系统或可以构造p 0 i n c a r e 映射的连续系统，并且对 参数变化和环境噪声非常敏感。于是，p y r a g 鹪1 2 4 2 5 】提出了一种广泛适应于一般离 散系统和连续系统的混沌控制：延迟反馈控制方法( d e l a 辨df e e d b a c l 【c o n t r 0 1 l e r ，简 称d f c ) 。该法是利用周期信号的特点，采用延迟误差作为控制信号实现不稳定周期 轨道的镇定。其最主要的特点是不需要知道精确的系统模型，不需要确定目标轨道， 控制器设计和结构简单，适应性好，易于实现。 对于非线性连续系统 愫辫邶 ， 其中。酽为状态，掣剧为输出向量，乱舻为控制器，b 酽x ，为控制矩阵。假 设不受控制时，系统。= ，( z ，t ) 处于混沌状态。令牙( ) 是混沌吸引子中嵌入的一个周 u_ - l u _ 工l 小响 l p ， n 影m 的统 对系 虫贝 馈， 反 尺一 迟章延 三第 期为r 的不稳定周期轨道。 定义3 1 1 ( 状态延迟反馈控制)状态延迟反馈控制器( s t a t ed e l a y e df e e d b a c k c o n t r o l l e r ，简称s d f c ) 的设计目标是寻找一个控制作用妒( ) ，使系统( 3 1 1 ) 在状态延 迟反馈控制 牡= 妒( e ) ( 3 2 ) 的作用下，渐进收敛到期望的稳定周期味道妒( ) 上，即 墨刚e ( t ) 0 = o ( 3 3 ) 其中e ( t ) = z ( t ) 一z ( 一r ) 的状态延迟误差信号，恻i = i e t e l l 2 为e u c j i d e 礼范数，妒( - ) 是 一个满足妒( 0 ) = 0 的向量函数。如果妒( e ) = k e 是线性向量函数，称控制器( 3 2 ) 为线 性状态延迟反馈控制器：如果妒( e ) 是非线性向量函数，称控制器( 3 2 ) 为非线性状态延 迟反馈控制器。 在以下三节中，我们将就l i u - l i u - l i u l i u 系统的第二个方程的右边加上k ( y ( t ) 一 o 一7 - ) ) 这一项，把延迟时间r 作为一个变量，分析和讨论延迟时间f 对l i u _ l i u - l i u l i u 系统的影响，并将分析的结果应用于混沌系统的控制。 3 2 准备工作 在我们讨论线性延迟反馈对l i u l i u l i u l i u 系统的影响之前，我们先作一些准备 工作。 一般的，对于二阶超越多项式方程 a 2 + p a + r + ( s + 口) e 一1 7 = 0 ( 3 4 ) 其中p ，口 r ，5 r ，并且s 2 + 口2 o 。显然当r = 0 时，方程( 3 4 ) 可以简化为： a 2 + ( p + s ) a + r + g = 0 ( 3 5 ) 若妇 0 ) 是方程( 3 4 ) 的一个根，将妇代入方程，并分离实部和虚部，有 ：三嚣翌嚣? e ， 两边平方后相加得到 ( u 2 ) 2 一( s 2 + 2 r p 2 ) u 2 + r 2 一9 2 = o ( 3 7 ) 为了下文叙述方便，我们记 ( 玩) ：s 2 + 2 r p 2 o ，或= ( s 2 + 2 r 一矿) 2 4 ( 一一口2 ) o ，r 2 一9 2 o ，且4 = ( s 2 + 2 r p 2 ) 2 4 ( r 2 一口2 ) o ； ( 凰) ：r 2 一矿 o ，4 = ( s 2 + 2 r 一矿) 2 4 ( r 2 一口2 ) = o 方程( 3 7 ) 是一个关于u 2 的一元二次方程，经过简单的分析，有以下命题： 命题3 2 1 ( 1 ) 若条件( 玩) 成立，则方程( 3 7 ) 没有正根； ( 2 ) 若条件( 点如) 成立，则方程( 3 7 ) 有两个正根u 士= 等f s 2 + 2 r p 2 士7 回o ； e， ( 3 ) 若条件( 凰) 成立，则方程( 3 7 ) 只有一个正枇= 半f s 2 + 2 r p 2 + 倜5 。 不失一般性，假设方程( 3 7 ) 有两个正根。士，代入方程( 3 6 ) ，解得： 于= 击丽1 ( 锵) + 等，例，”一， 设a ( r ) = 口( r ) + ( r ) 是方程( 3 4 ) 的一个根，且满足 a ( 于) = o ，u ( 寸) = u 士 将a ( 7 - ) 代入方程( 3 4 ) ，对7 - 求导，得到 f 以 1 ( p + 2 a ) 。 57 - 【而j 。可丽+ 硒再丽一x 因此 兄e 瓤，慧笔 所以只要+ o ，有 觑 等 二寸= 蒜 。，r e 等 二i = 一箍o，且z+pz+口饥+ro，则方程( 3ii)只有一个正根。假设方程 (311)有三个正根ui，忱，蛐，由方程(310)得到：扣ji 坠坐笔眷瓣群监熊；妻等，七= 1 ， 2，3，j=0，1，。对于方程(38)和(39)，我们有下列引理：引理32 2 【2 q (i)若ro，=护一3qo，则对任意ro，方程(38)和(39)所有具有正 实部的根之和相等：(ii) 若ro，z；o，(z；)=3z+劫z1+go，则当r 0，)，方程(38)和(39)有所有具有正实部的根之和相等。如果a( r ) = 口( r ) + ( r ) 是方程( 3 8 ) 的一个根，且满足q ( )= o ， u ( ) = 峨我们不难计算得 阻( 皇! 垒f!卫一1：垡5塾盔呈型i虫ltj， 卅2 萄肖丽蔺所以，只 x 3 3 具体分析 线性延迟反馈系统 f 圣= 口白一茁) 口= 6 z 一。z + k 0 0 ) 一0 7 - ) ) ( 3 1 2 ) 【2 = 一昭+ 扩 易知，系统( 3 1 2 ) 与系统( 2 7 ) 具有相同的平衡点，即s 0 = ( o ，o ，o ) ，肆= ( 7 琵，v 佞，6 ) ， 5 r _ = ( 一、6 c ，一、6 c ，6 ) 。 为子在以下讨论者便，我们假设参数满足条件( a ) ：口 o ，c o ，6 兰芸。 3 3 1 在岛处 系统( 3 1 2 ) 在平衡点岛= ( o ，o ，o ) 处的特征方程 ( + c ) 盼2 + ( n k ) 一o p + 南) + ( a + 口) k e 一1 7 】= o ( 3 1 3 ) 显然，对于任意r 0 ，该方程恒有一个负实根a = 一c 。所以，我们只要考虑二阶超 越多项式方程 舻+ ( 0 一k ) a n ( 6 + 七) + ( a + 口) k e 。7 = 0 ( 3 1 4 ) 当7 - = o 时，方程( 3 1 4 ) 可以写成 2 + o a 0 6 = 0 ( 3 1 5 ) 在假设( q ) 条件下，根据命题2 3 2 ，方程( 3 1 5 ) 有一正实根 ：! 型1 ：；兰_ 竺和一 个负实根 = 二生= 粤。 令 p = 一kr = 一o ( 6 + ) ，s = k ，q = j r o 不难计算得 5 2 + 2 r 一矿= 一a ( 口+ 2 6 ) 0 ， r 2 一口2 = d 2 6 ( 6 + 2 七) ， = 口2 ( 口2 + 4 n 6 8 6 k ) ， u = 雩【_ 。( 。+ 2 6 ) + n 佰可碉。， 乃= 言 c o s 一1 ( + 高) + 巧丌) 应用引理3 2 1 ，有下以定理 3 1 - al i u l i u l i u l i u 系统吸引子 3 1 mx _ y 平面图 3 1 cx - z 平面图3 1 dy - z 平面图 图31 l i u l i m l i u l i u 系统渑沌吸引子a = 1 0 ，6 = 4 0 ，c = 2 5 ，初值z ( 0 ) = ( 0 ) = 。( o ) = 3 。0 ， 3 4 实际应用 窿菱悯巾h 麓融 善) 蔓蘩萋蓥j 一 ；警。；擘； 篓薹三i i ? i i l 尉疆鞭休念弱蓊一i | ；| ；i i jj鎏-：|?l!；铂：o， c 1 ：三，c 2 ：o ， c 3 ：o o c 一 所以 1 h 1 ( 芦) 。i 舭+ t ， 尬( y 1 ，弘) = 口 + 将( 2 1 8 ) 代入( 2 1 4 ) ，得到 若选取k = 一4 0 ，我们计算得：p = 5 0 ，r = o ，s = 一4 0 ，g = 一4 0 0 ，8 2 + 2 r p 2 = 一9 0 0 0 ，r 2 一9 2 = 一1 6 0 0 0 ，u = 1 2 3 3 2 0 5 1 7 4 ，= o 0 7 4 8 5 8 9 3 ， 推论3 4 1 ( i ) 若k 一2 0 ，则对任意延迟7 _ 0 ，系统( 3 1 8 ) 只有一个正实部的根； ( i i ) 若k 一2 0 ，7 - h ，弓+ l 】时，系统( 3 1 8 ) 有( 1 + 2 j ) 个具有正实部的根； ( i i i ) 若k o ，= + p 露+ q 。1 + r o 。特别地，我们取k = 一5 ， 则有 ， l 士0 ) = l o ( 掣( ) 一z ( t ) ) 寸( t ) = 4 q z ( t ) 一z ( ) ：( t ) 一5 ( 暑( ) 一掣( 亡一下) ) ( 3 2 1 ) 【童( f ) = z 2 ( t ) 一2 5 ：( t ) 此时，我们可以计算得 z 1 = 1 5 4 3 3 6 1 5 7 l ， u l = 1 2 4 2 3 2 1 0 4 2 ， ( 丑) = 3 4 8 8 0 3 8 1 6 ， 砘= 8 4 4 9 3 8 3 9 6 3 ，u 2 = 9 1 9 2 0 5 3 0 6 9 ， 池) = 一3 0 0 0 2 4 3 2 2 8 ， 霄= o 1 4 8 1 6 8 9 砖= o 1 6 1 4 5 9 5 o 加 半。 定理4 3 1 若选取控制器u = e l e 3 + e l 勋+ e 3 。1 6 e 1 一o ( e 1 + e 2 ) ， 巨掣+ u ( 4 4 ) 则受控系统 ( 4 5 ) 与驱动系统( 4 4 ) 同步。 证让( 4 5 ) 减去( 4 4 ) ，得到如下的误差系统： ( 4 6 ) 其中e l = 3 ，l 一。1 ，e 2 = 抛一z 2 ，e 3 = 蜘一。3 。取l y a p u n o v 函数y ( t ) = j ( e ( ) + 霹( t ) ) ， 则v ( t ) 沿着方程( 4 6 ) 的轨线对时间的导数为： 矿0 ) = 一 ( t ) + 口e l e 2 0 ) + 8 2 ) ( 6 e 1 ( 一e l ( t ) e 3 ( ) 一e l ( ) z 3 ( t ) 一e 3 ( t ) 茁1 ( t ) + 矿) 由于 所以 u = e l e 3 + e l 。3 + e 3 2 1 一k 1 一口( e 1 + e 2 ) 矿p ) = 一o e i + 口e l e 2 + e 2 ( 一口e 1 一o e 2 ) = 一口( e + 8 ；)( 4 7 ) = 一2 口y ( t ) 从而y ( t ) sv ( o ) e 一2 “。即当t 一+ o o 时，y ( t ) 一o ，因而t ! 8 t = o ，l = l ，2 。由系 统( 4 6 ) 的第三个方程知： e s ( t ) = e d e 。( o ) + z e “( e + 2 e z t ) 出 因为。里皲( e + 2 e l z t ) = o ，所以。骂e 3 = o 故可以实现受控系统( 4 5 ) 与驱动系 统( 4 4 ) 的同步。 4 3 2数值仿真 本节的例子用来验证前一小节的结论。所有例子均采用四阶r u n 静k u t t a 方法求 解，步长均取为o 0 0 1 。 对于l i u - l i u _ l i u - l i u 系统( 4 4 ) ，取参数n = 1 0 ，6 = 4 0 ，c = 2 5 ，初值取盘l ( 0 ) = z 2 ( o ) = $ 3 ( o ) = o 5 ，受控系统( 4 5 ) 的初值掣l ( o ) = 讹( o ) = 蜘( o ) = 5 。具体地数值模拟 的结果如图4 1 4 4 所示。 图4 ，1 、图4 2 分别是驱动系统( 4 4 ) 和受控系统( 4 5 ) 的三个状态变量随时间的演化情 况。从图4 4 我们不难看出驱动系统( 4 4 ) 和受控系统( 4 5 ) 的同步误差在较短的时间内 趋向于零，所以驱动系统( 4 4 ) 和受控系统( 4 5 ) 可以实现同步。 u+ 铅 如母 q 知 一 十 啪俺留 一 e + 蚣”响 = i i l i 吼晚的 图4 1 驱动系统( 44 ) 的波形图初值z l ( 0 ) 一z 2 ( 0 ) = 。3 ( o ) = 05 图4 2 受控系统( 4 5 ) 的波形图。：扔值o l ( o ) = 强( o ) = 讹( o ) = 5 。 图4 3 驱动系统( 4 4 ) ( 蓝色) 与受控系统( 4 5 ) ( 红色) 的波形图比较 ( a ) e 1 = 掣l 一$ 1 ( b ) e 2 竺一托( c ) e 3 ；如一z 3 图4 4 驱动系统( 4 4 ) 与受控系统( 4 5 ) 的误差同步圈 3 2 逝琶垣堇盔堂塑迨塞：蔓四垩回生坌堑 4 4 2与l o r e n z 系统之间的同步 在本节，经典的l o r e n z 系统是我们主要要考虑的。为此 统( 4 4 ) 作为驱动系统，而同时将l o r e n z 系统作为响应系统： f 矗= p ( 忽一z 1 ) + u 1 ( t ) 南= 7 名l 一名2 一乱幻+ t 2 ( t ) 【南：z l 砘一卢幻+ u 3 ( t ) 我们将l i u l i u - l i u - l i u 系 令e 1 = 2 l 一。l ，8 2 = 砘一z 2 ，e 3 = 施一z 3 ，得到如下的误差系统： f 西= p ( e 2 一e 1 ) + ( p n ) ( 。2 一。1 ) + u 1 ( t ) 如= 叮e l + ( 1 一b ) z l e l z 2 一e l z 3 一e 3 z l e l e 3 + u 2 ( t ) i 如= 一肛e 3 + ( c 一肛) 。3 + e l e 2 + e l z 2 + e 2 2 1 + 以。2 一z + 3 0 ) 取激励控制函数u = 【啦，2 ，“3 】7 为： i 仙l ( ) = 1 0 ) 一( p o ) ( z 2 一坷1 ) u 2 ( t ) = 2 0 ) 一h 一6 ) 。l + 。2 + e l z 3 + e 3 2 1 + e l e 3 【u 3 ( t ) = 3 ( t ) 一( c 一肛) 。3 一e l e 2 一e l z 2 一e 2 。l 一虮z 2 + z i 选取控制输入函数 i 1 = ( p 一1 ) e 1 一p e 2 。= 一7 e t 【。3 = 似一1 ) e 3 则( 4 1 5 ) 重新写成 ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) 巨；， 显然，。婪臻8 = o t t = 1 ，2 ，3 。因此系统( 4 1 3 ) 与系统( 4 4 ) 同步。 4 4 3数值仿真 在本节，我们用数值仿真来验证前一小节的结论。采用四阶r l m g e _ k u t t a 方法求 解，步长取为o 0 0 l 。 驱动系统( 4 4 ) 的参数取o = 1 0 ，6 = 4 0 ，c = 2 5 ，初值取z 1 ( o ) = 勋( o ) = z 3 ( o ) = 0 5 ，数值仿真如图4 5 ( a ) 所示。响应系统( 4 8 ) 的参数取d l = 5 ，b 1 = 1 0 ，c 1 = 一3 8 ， 初值取g i ( o ) = 驰( 0 ) = 驰( o ) = 5 ，数值仿真如图4 5 ( b ) 所示。响应系统( 4 1 3 ) 数值 模拟如图4 7 ( b ) 所示。其中参数p = l o o ，y = 2 8 0 ，肛= 8 3 ，初值z l ( o ) = 施( o ) = 幻( 0 ) = 5