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摘要 本文主要研究特征零域上的有限维的n 一李代数的结构与单的( n + 1 ) 一维n 一李代数的表示问题。 第一章主要研究( n 十1 ) 一维的n 一李代数的结构一可解性、幂零 性和半单性。证明了单的和半单的( n + 1 ) 一维的n 一李代数的c a r t a n 子 代数的维数是n l ，而且给出了礼一李代数关于c a f t a n 子代数的根空 间分解。 第二章主要研究单的( n + 1 ) 维的礼一李代数的表示问题。证明 了单的( n + 1 ) 一维的n 一李代数的有限维表示是完全可约的，且给出了 不可约表示的分类。 第三章主要研究具有平凡中心的有限维礼一李代数的分解唯一性 问题。证明了结论对具有非平凡中心的礼一李代数不成立，同时得到了 导子代数与内导子代数的相应的分解。本章的最后给出了n 一李代数 的c e n t r o i d 概念，并讨论了其性质及在n 一李代数的分解中的应用。 第四章给出了强半单的n 一李代数的概念。证明了特征为零的代 数闭域上的有限维的n 一李代数a 是强半单的充要条件是a 能分解为 它的单理想直和，强半单的n 一李代数的导子都是内导子，且讨论了强 半单的n 一李代数的表示。 第五章首先研究幂零的n 一李代数的性质。给出了n 一李代数的 “环面”、“秩”、“极小生成元集”的概念。然后提出了两类幂零的 扎一李代数一特征幂零的n 一李代数、极大秩的幂零的n 一李代数。构 造了一个八维的特征幂零的3 一李代数和一个( n + 1 ) 一维的极大秩的幂 零的n 一李代数。且研究了极大秩的幂零的n 一李代数的结构特征，给 出了特征幂零的n 一李代数的一个充要条件。 a b s t r a c t t h e p u r p o s e o ft h i st h e s i si st os t u d yt h es t r u c t u r eo ff i n i t ed i m e n s i o n a ln - l i e a l g e b r a sa n dt h er e p r e s e n t a t i o n so fs i m p l e ( r z + 1 ) 一d i m e n s i o n a ln l i ea l g e b r a i nc h a p t e r1 ，w es t u d yt h es t r u c t u r eo f ( n + 1 ) 一d i m e n s i o n a ln l i ea l g e b r a s t h es o l v a b i l i t y ，n i l p o t e n c ya n ds e m i - s i m p l i c i t yw ea l s op r o v et h a tt h ed i m e n s i o n o fc a r t a ns u b a l g e b r a so fs e m i s i m p l ea n d s i m p l en l i ea l g e b r a si sn 一1 a n d w e s t u d yt h er o o ts u b s p a c e sd e c o m p o s i t i o nw i t hr e g a r dt oc a r t a ns u b a l g e b r a s i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h er e p r e s e n t a t i o i l so fs i m p l e ( n + 1 ) 一d i m e n s i o n a l n - l i ea l g e b r a s w ep r o v et h a ta n yf i n i t ed i m e n s i o n a lr e p r e s e n t a t i o no ft h es i m p i e ( n + 1 ) - d i m e n s i o n a ln - l i ea l g e b r ai sc o m p l e t e l yr e d u c i b l e ，a n dw eg e tt h e c l a s s i f i c a t i o no ff i n i t ed i m e n s i o n a li r r e d u c i b l er e p r e s e n t a t i o n s i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h ed e c o m p o s i t i o no ff i n i t ed i m e n s i o n a ln l i ea l g e b r a s w i t ht r i v i a lc e n t e ra n du n i q u e n e s s ，a n ds h o wt h a tt h er e s u l ti sf a l s ef o rn - l i e a l g e b r a sw i t hn o n t r i v i a lc e n t e r w ea l s oo b t a i nt h ed e c o m p o s i t i o no fi n n e rd e r i v a t i o n a l g e b r a sa n dd e r i v a t i o na l g e b r a sr e s p e c t i v e l ya c c o r d i n gt ot h ed e c o m p o s i t i o n i n t h el a s ts e c t i o n ，w es t u d yt h ec e n t r o i do fn - l i ea l g e b r a sa n di t sa p p l i c a t i o ni n t h ed e c o m p o s i t i o no fn l i ea l g e b r a s i nc h a p t e r4 ，p r o p o s eac o n c e p to fs t r o n gs e m i - s i m p l en - l i e a l g e b r a ，p r o v e t h a tf i n i t ed i m e n s i o n a ln l i e a l g e b r aao v e ra na l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l df o f c h a r a c t e r i s t i c0i s s t r o n gs e m i s i m p l ei fa n do n l yi fac a nb ed e c o m p o s e di n t o t h ed i r e c ts u n lo fi t ss i m p l ei d e a l s ，a n de a c hd e r i v a t i o no fas t r o n gs e m i s i m p l e 几一l i ea l g e b r ai si n n e r w ea l s os t u d y r e p r e s e n t a t i o n so fs t r o n gs e m i s i m p l en l i e a l g e b r a s i nc h a p t e r5 ，f i r s ts t u d yt h ep r o p e r t i e so fn i l p o t e n tn l i ea l g e b r a s ，p r o p o s e t h ec o n c e p t sa b o u t “r a n k ”“t o r u s ”a n d “t h em i n i m a ls e t o fg e n e r a t o r so f n l i ea l g e b r a s a n dt h e nw ep r o p o s et w os p e c i a lc l a s s e so fn i l p o t e n tn - l i ea l g e b r a sw h i c h a r ec h a r a c t e r i s t i c a l l yn i l p o t e n tn - l i e a l g e b r a sa n dn i l p o t e n t 礼一l i e a l g e b r a so fi n a x i m a lr a n k w ec o n s t r u c ta8 - d i m e n s i o n a l3 - l i ea l g e b r aw h i c h i sa c h a r a c t e r i s t i c a l l yn i l p o t e n ta n daf 礼+ 1 ) - d i m e n s i o n a ln l i ea l g e b r aw h i c h i san i l p o t e n tn l i ea l g e b r ao fm a x i m a lr a n kw ea l s os t u d yt h ec h a r a c t e r i s t i c s t r u c t u r eo fn i l p o t e n t 礼一l i ea l g e b r a so fm a x i m a lr a n ka n d p r e s e n tt h en e c e s s i t y a n ds u f f i c i e n c yc o n d i t i o nf o rc h a r a c t e r i s t i c a l l yn i l p o t e n tn l i ea l g e b r a s i i i 0i n t r o d u c t i o n 0 1 b a c k g r o u n da n dp r o g r e s s i nl a s tf e wy e a r si n t e r e s tt on a r yg e n e r a l i z a t i o n so ft h ec o n c e p to fl i ea l g e b r a h a sb e e ng r o w i n g t h i si sd u et ov a r i o u ss p e c u l a t i o n sc o n c e r n i n gd y n a m i c sa n d t om a t h e m a t i c a lc u r i o s i t ya sw e l l u pt on o wt w od i f f e r e n tg e n e r a l i z a t i o n so f t h en o t i o no fl i ea l g e b r aw e r ep r o p o s e d ，t h e yc o r r e s p o n dt od i f f e r e n tr e a d i n g so f t h es t a n d a r dj a c o b ii d e n t i t ya n dh a v eq u i t ed i f i e r e n tp r o p e r t i e s ，b u tb o t hh a v e t h e i ro w na r e ao fa p p l i c a t i o n s i np a p e r 1 1 ，p r o p o s e du n i f y i n gp o i n tv i e w ，a t h r e e p a r a m e t e rf a m i l yo fm u l t i p l el i ea l g e b r a si sd e f i n e di ns u c haw a yt h a tt h e m e n t i o n e ds t r u c t u r ea p p e a ra si t sp a r t i c u l a rs u b c a s e s h i s t o r i c a l l y , t h ef i r s tw o r kd e d i c a t e dt ot h i st o p i c sw a sv t f i l i p p o v sp a - p e r i l i n1 9 8 5 ，v t f i l i p p o v 【1 i n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fn - l i ea l g e b r a i n i t v t ，f i l i p p o vc o n s i d e r sn - a r ym u l t i l i n e a ra n ds k e ws y m m e t r i co p e r a t i o n 陋1 ，- 一，x 。】s a t i s f y i n gg e n e r a l i z e dj a c o b ii d e n t i t y ： 1 ) 一，z 。 ，2 。】_ 【z - x i ，y 2 ，】，$ 。 -( j 1 ) i nt h i sp a p e r ，v t f i l i p p o vg a v et h ef i r s tb a s i ce x a m p l e ，d e v e l o p e ds t r u c t u r a l n o t i o n ss u c ha ss i m p l i c i t y , n i l p o t e n c ya n dc l a s s i f i e dn l i ea l g e b r a so fd i m e n s i o n n + 1 s h m k a s y m o vi n 【2 ，3 ，4 ，5 】i n t r o d u c e da n ds t u d i e dk - s o l v a b i l i t y ， k - n i l p o t e n c y ( 0 k 他) ，c a r t a ns u b a l g e b r a s ，k i l l i n g f o r ma n dr e p r e s e n t a t i o n sf o rf i l i p p o vn - l i e a l g e b r a s ，h ea l s op r o v e da nn a r ya n a l o go f t h ee n g e l s t h e o r e m a n o t h e rn a t u r a ln - a r y g e n e r a l i z a t i o no f t h es t a n d a r dj a c o b ii d e n t i t yh a st h e f o r m ( 一1 ) 枷抽 i x 。 ，y j _ 一，y j 】_ 0 ，( j 2 ) i 1 n ；j l r ，a k20 ，a n dt h e r ee x i s tjs rs u c ht h a ta j20 b e c 8 “8 。 x 0 ，t h e nt h e r ee x i s tt r ，s u c ht h a ta t 0 a n d w e g e t 。，e 一，a 一，白，e n + l 】= ( 一1 ) 。e j 一 ( 1 2 - 6 ) f o ra n yi r ，i j e i j 【e j ，e l ，自，- 一，白，e n + 1 = ( 一1 ) e i ， ( 1 - 2 7 ) 8 t h e r e f o r ei ， 3 ) i f f o ra n y 七 r ，= 0 ，s r ，a j 0 t h e i lf o ra n y0 i 2 ，t h e nt h e r ee x i s tt 曼rs u c ht h a tt i ，a n dt j ，b y ( 1 2 9 ) a i e i + a t e t j ，a j e j + a t e 。， ( 1 2 9 ) w eg e t2 a i e i j s oe i 工i = 1 ，一，nt h e r e f o r ej 互，f r o m a b o v ed i s c u s s i o t l w eg e t ，= a 1i st h es m a l l e s tn o n z e r oi d e a lo fa s e c o n d l y ，w ep r o v et h a t i s u n s o l v a b l e ) = 【，a ，a 】i sa ni d e a lo f a ，a n d e 2 ，e 3 ，e n + 1 j = e l 一0 t h e ni = ，( s i m i l a rd i s c u s s i o n 弘+ 1 = 眇，弘) ，a ，a 1 _ ， t h e ni ，i su n s o l v a b l e t h e r e f o r eai s s e m i s i m p l e 5 1 3c a r t a ns u b a l g e b r a sa n dt h er o o ts u b s p a c e s d e c o m p o s i t i o n 口 t h e o r e m1 - 3 1l e tab ea s e m i s i m p l e ( n + 1 ) 一d i m e n s i o n a ln l i ea l g e b r a h ac a f t a ns u b a l g e b r ao fa ，t h e n p r o o fi f d i m h = n 一1 d i m h n 一1 t h e n 日i sa na b e l i a ns u b a l g e b r ao faa n d 日，a = 0 ，a n ( h ) = 日a 9 ( 13 1 ) t h i sc o n t r a d i c t st od i r a h d i m a t h e nw eg e td i m h n 一1 b yt h e o r e m 111a n dt h e o r e m12 3 ，w et a k et h em u l t i p l i c a t i o nt a b l eo fab a s i s 。l ，一，e 。+ l a sf o l l o w s ： e 1 ，一，d t ，一e e n + l l = c i ，1 i r ，r 3 ； s e t i 。- 一，e 。 = 0 ，r + 1 曼isn 4 - 1 日= f e ： + f e 4 4 - - - + f e ，h 1 ， t h e n h ，h ，h 卜0a n dh i san i l p o t e n ts u b a l g e b r ao f a f o ra n y e = a l e l + + a n + l e 卅1 ( h ) ，n f 】i = 1 ，一，礼+ 1 e ，e 3 ，e n + 1 】- 0 , 2 c 1 + a l c 2 h ， ( 1 3 2 ) ( 13 3 ) t h e n a l = a 2 = 0 ，e = a 3 e 3 十t 十a n + l e n + i h t h e r e f o r e ，n ( h ) = h a n dhi sac a f t a ns u b a l g e b r ao fa b yt h e o r e m1 1 2 ， f o ra n yc a r t a ns u b a l g e b r ah w eg e td i m h = 7 l 一1 口 t h e o r e m1 3 2l e tab eas i m p l e ( 礼+ 1 ) 一d i m e n s i o n a l 礼一l i ea l g e b r a ，h ac a r t a ns u b a l g e b r ao | a 。t h e n d i m h = n 1 p r o o ft h ep r o o fi ss i m i l a rw i t ht h e o r e m1 3 1 ( 1 3 4 ) t h e o r e m1 3 3l e ta ，a 1b e7 t l i ea l g e b r a so v e rt h ef i e l df ，ft h ee n d o m o r p h i s m # o r ea t oa 1 ，a n dh 1i sac a r t a ns u b a l g e b r a 吖a 1 t h e nt h ec a r t a n s u b a l g e b r a so fb = ( h 1 ) f a r ec a r t a ns u b a l g e b r a so f a p r o o f l e t 凰b eac a r t a ns u b a l g e b r ao fb = ( 1 ) f t h e nh 2 b ea n i l p o t e n tm l i es u b a l g e b r ao f 口a n d ( h 2 ) ，i s ac a r t a ns u b a l g e b r ao f ( b ) f = h i b e c a u s eh 1i sn i l p o t e n t 、t h e n ( h 2 ) f = h 1 ( 1 3 5 ) v x m ( 凰) ，( z ) f n a 。( ( 奶) ，) = n a 。( h - 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