（基础数学专业论文）几类约束矩阵反问题.pdf

摘要 本论文研究几类约束矩阵反问题及其最佳逼近，由六章构成 在第1 章，我们对约束矩阵方程反问题的历史背景与现状进行了 综述 在第2 章，我们运用奇异值分解给出了方程l i 似一z 0 2 + 眵7 a 一矽r6 2 = m i n 存在h e r m i t e 广义h 锄i l t o n 解的充要条件及其解的表达式 另外给出了矩阵方程的解集合中与给定矩阵的最佳逼近解的表达式 在第3 章，我们我们给出了线性流形s = 0 删c i a x 。= 召。， 丑。：x x 。，= b 。：，口。，x 矗x 1 2 = b 。l ，x 膏b 1 1 = b 是x 。： 上矩阵方程 0 欣2 一b ：0 = r n i n 的h e m i t e 广义h 锄i l t o n 解的表达式，另外，导出了 在线性流形上矩阵方程的解集合中与给定矩阵的最佳逼近解的表达 式 在第4 章，我们研究了线性流形s = x a b 职“4 鄹一z 忙1 1 1 i n ) 上 矩阵方程a x a r = b 的双反对称解利用矩阵对的商奇异值分解，给出 了这类线性流形上矩阵方程a xa r = b 存在双反对称解的充要条件及其 通解表达式另外，导出了在线性流形上矩阵方程的解集合中与给 定矩阵的最佳逼近解的表达式 在第5 章，我们给出了矩阵方程0 心一刻2 + 扩r a 一旷r 2 = i n i n 存在 可对称正定解和可对称半正定解的充要条件及其通解表达式，同时解 决了对称半正定化解对已知矩阵的最佳逼近问题 在第6 章，我们研究了线性流形s = 协d 2 a 脓“似一b 0 = 嘶n x ，b 尺“” 上矩阵方程，( a ) = 忙y z l f = i i l i n 的d 反对称解，利用矩阵的 奇异值分解，给出了这类线性流形上矩阵方程存在d 反对称解的充要 条件及其通解表达式，另外，导出了在线性流形上矩阵方程的解集合 中与给定矩阵的最佳逼近解的表达式 关键词：h e r m i t e 广义h 锄i l t o n 矩阵；双反对称矩阵；可对称( 半) 正定矩阵；d 反对称矩阵 a b s t r a c t t h i st h e s i sc o n s i d e r ss e v e r a li n v e r s ep r o b l e m so f c o n s t r a i n e dm a t r i xa n dt h e i rb e s ta p p r o x i m a t i o n i tc o n s i s t so f s i xc h a p t e r s i nc h a p t e rl ，t h eb a c k g r o u n da n dp r e s e n tc o n d i ti o n sa r e i n t r o d u c e da n ds u m m a r iz e df o rt h es t u d yo fi n v e r s ep r o b le m s o fc o n s t r a i n e dm a t r i xa n dt h e i rb e s ta p p r o x i m a t i o n i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s st h es 0 1 v a b li t yo nt h eh e r m i t e g ener a liz edh a m ilto ns o1utio nsofm a trix equ a tio n 0 似一z 卜妒a 一形r i | 2 = 曲b yap p 1yin gt h esingu1a uvalue d e c o m p o s i t i o no fam a t r i x ，o b t a i nt h en e c e s s a r y 1 a n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rt h ee x js t e n c ea n dt h ee x p r e s s i o n sf o rt h eh e r m i t e gener a l izedh a mi 1to nso1u tio nsofm a trixeq ua tion a x z l l 2 + 妒a 一f l l 2 = l i n i na d d i t i o p ，i nt h e s o l u t i o ns e to f correspo ndingequ ation ，the e xpressionofthe o ptim a 1 a p p r o x i m a t i o ns 0 1 u t i o nt og i v e nm a t r i xi sd e r i v e d i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h eh e r m i t eg e n e r a li z e dh a m i l t o n s o l u t i o n so ft h em a t r i xe q u a t i o n j i a x 2 一口20 = m i n o nt h e1 i n e a r m a n i f o l d s = 0 删c “”i a x l = 丑l ，j e i l 2 x 矗x l l = j 5 1 1 2 ，b l l x 矗x 1 2 = b l l ， x 嚣b i l = b 是x 1 2 ) ，g i v et h ee x p r e s s i o n sf o rt h eh e r m i t eg e n e r a l i z e d h 锄i l t o ns 0 1 u t i o n so ft h em a t r i xe q u a t i o n l i a x 2 一驯= 曲，i n a d d it i o n ，i nt h es 0 1 u ti o ns e to fc o r r e s p o n d i n ge q u a t i o n ，t h e m e x p r e s s i o no ft h eo p t i m a la p p r o x i m a t i o ns 0 1 u t i o n t og i v e n m a t r i xisd e r i v e d i nc h a p t e r4 ， w es t u d yt h ea n t i b i s y m m e t r i cs 0 1 u t i o n so f m a t r i xe q u a t i o na x a r = bo nt h e1 i n e a rm a n i f 0 1 ds = x a b 职舢 i 邪一z i l = m i n ，u s i n g t h eq u o t i e n ts i n g u l av a l u ed e c 。m p o s i t i o n ( q s v d ) o fm a t r i xp a i r s ， o b t a i nt h en e c e s s a r ya n ds u f f i ci e n t c o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c ea n dt h ee x p r e s s i o n sf o r t h ea n t i b i s y m m e t r i cs o l u t i o n so fm a t r i xe q u a t i o na x a r = b i n a d d i t i o n ， i nt h es 0 1 u t i o ns e to fc o r r e s p o n d i n ge q u a t i o n ，t h e e x p r e ssio no ft h eo p ti m a la p p r o xim a tio no1u tio nt o g i v e n 珈【a t r i xi sd e r i v e d incha pter5 ， wedis ussthe necessa ryand s u f ficie n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c ea n dt h ee x p r e s s i o n s f o rt h ep o s i t i v ed e f i n i t e ( s e m i d e f i n i t e ) s y 血匝e t r i z a b l e ， s o l u t i o n s 。fm a t r i xe q u a t i o n0 履一别2 + 眵r a 一矿r i l 2 = m i n ，a n d d e r i v et h eo p t i m a la p p r o x i m a t i o ns e m i d e f i n i t es y m m e t r i z a b l e s 0 1 u ti o n st og i v e nm a t r ic e s i nc h a p t e r6 ，w ec o n s i d e rt h ed a n t i s y 皿m e t r i cs o l u t i o n so f t h em a t r i xe q u a t i o n，( a ) = i i a y z 0 = m i no nt h e1 i n e a rm a n i f 0 1 d s ： a d 一2 a 职”“i l a x b 0 = m i n ，x ，b r “” ， byapp1yingthe s i n g u l a uv a l u ed e c o i p o s i t i o no fam a t r i x ，o b t a i nt h en e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c ea n dt h ee x p r e s s i o n s o ft h eg e n e r a ls 0 1 u ti o nf o rt h ei n v e r s ep r o b l e mo ft h e s e m a trices fo ra n y n by nrea1m a trix ，it s optim a1a p p r o x i m a ti o nw a so b t a i n e d k e yw o rds ：h e r m iteg e n e r a liz e d h a m i1to nm a t rix ： a n t i b i s y m e t r i cm a t r i x ：p o s i t i v ed e f i n i t e( s e m i d e f i n i t e ) s y m m e t r i z a b l em a t r i x ：d a n t i s y m e t r i cm a t r i x v c “”( 胪“) 日c ”“ 锹( u c 嘞) 豫( a 豫“”) r ( a ) ( a ) r 口础( a ) j a r a 日 a + 一堆r 符号表 所有n m 复( 实) 矩阵全体 所有n 阶h e r m i t e 矩阵全体 所有n 阶正交( 酉) 矩阵全体 所有n 阶实对称( 反对称) 矩阵全体 矩阵a 的值域 矩阵a 的零空间 矩阵a 的秩 矩阵a 的f 厂d 6 e n f 娜范数 单位矩阵 矩阵a 的转置 矩阵a 的共轭转置 矩阵a 的讹d r p p e ，l r d s p 逆 矩阵a 与b 的胁如砌以积 v i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。， 学位论文作者签名：獬玲9 吕年工月 日 、| 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名：匆擤小 日期：护孑年，2 月日 导师签名：i 虼怕毒面乞、 日期：2 。孑午p 月f 日 几类约束矩阵反问题 1 绪论 由于约束矩阵反问题在固体力学、结构设计、自动控制、物理、 量子力学、分子光谱学、参数识别、电学、非线性规划与动态分析等 许多领域有着广泛的应用( 见 卜5 ) ，因此这个问题在国内外日益为 人们所重视，具有重要的研究意义 约束矩阵反问题就是在满足一定条件下的矩阵类中求矩阵方程 的解不同的约束条件，不同类型的矩阵方程，都得到不同的约束矩 阵反问题如：已知矩阵x ，b 和a + ，求满足某种约束条件的矩阵a 使得 a x = b 且怕一a 0 = m i n 的问题( 称为矩阵方程a x = b 的最佳逼近解问题) 是一类约束矩阵反问题；己知矩阵x ，b 和a 。，求满足某种约束条件的 矩阵a 使得i | a x 一丑= m i n 且忆一a 0 = m i n 的问题( 称为矩阵最小二乘解 0 从一酬= m i n 问题的最佳逼近解问题) 以及已知矩阵x ，b 和4 ，求满 足一定条件的矩阵a 使得叉r a x = 8 且恤一a i i - m i n 也是一类约束矩阵 反问题；除此之外，还有己知矩阵x ，y ，z ，w ，求满足_ 定条件的矩阵a 使得i l a x z i l 2 + l l y 丁a 一_ l l z = r n i n 且肛一a l = m i n 的问题是一类应用更为 广泛的约束矩阵反问题 到目前为止，约束矩阵反问题的研究己取得了一系列可喜的成 果：1 9 9 0 年廖安平f 6 】研究了矩阵方程a x = b 的一类反问题及数值解法； 1 9 9 3 年戴华1 7 1 研究了线性流形上实对称矩阵最佳逼近，得到了可解的 条件及解的表达式；1 9 9 3 年张磊等人研究了一类逆特征值问题， 给出了解的表达式及相应的数值稳定的算法，这些结果被应用到类 新的逆特征值问题；1 9 9 4 年戴华i 沁】研究了线性流形上的矩阵最佳逼 近：2 0 0 0 年张磊m 2 】等人先后研究了线性流形上双对称矩阵逆特征值 问题及一类双对称矩阵反问题的最小二乘解；2 0 0 2 年张磊、胡锡炎 和张忠志| 1 3 】在双结构复矩阵类如：h e r m i t e 一广义反h 硼i l t o n 矩阵、 高校教师在职硕士学位论文 h e n i l i t e 一广义h 锄i l t o n 矩阵、反h e 珈i t e 一广义h 锄i l t o n 矩阵和反 h e m i t e 一广义反h a i l t o n 矩阵类中讨论了逆特征值，最小二乘解等 问题：此外，对于产生于振动理论的矩阵方程舢r = b 也有一系列的 研究如：1 9 9 6 年d a ih 【4 7 】利用矩阵的奇异值分解研究了该方程有对 称解、对称正定解及对称半正定解的条件和解的表达式；2 0 0 2 年廖 安平和白中治! 】利用矩阵的c c d 分解研究了该方程在双对称矩阵类 中的最小二乘问题；2 0 0 3 年邓远北【1 5 1 研究了线性流形上的对称解，对 称半正定解，反对称解及其最佳逼近问题2 0 0 4 年戴华 1 6 讨论了 h e 瑚i t e 广义h a m i l t o n 矩阵的性质和结构，给出了矩阵方程a x = b 存 在h e r i t e 广义h a m i l t o n 解的条件及通解的表达式，并给出了解集 合中与给定矩阵的最近逼近解的表达式：除了上述介绍外，相关成果 还有 1 7 4 8 本文在充分考虑原有研究现状和借鉴已有研究成果的基础上，采 用矩阵计算的方法与基本理论，利用矩阵的广义逆、矩阵范数以及矩 阵对的商奇异值分解，矩阵的奇异值分解等技术手段研究了方程 0 似一z 0 2 + 眵丁a 一7 | 1 2 ：i i l i n 的h e m i t e 广义h 锄i l t o n 解，可对称( 半) 正定矩阵解同时还研究了线性流形上矩阵方程0 舣一驯= n 血的d 反 对称矩阵解和h e r m i t e 广义h 锄i l t o n 解，以及矩阵方程础r 兰b 的 双反对称解以上研究均给出了解存在的条件及解的表达式，并给出 了解集合中与给定矩阵的最佳逼近解的表达式 几类约束矩阵反问题 2 1 引言 由于实际问题的需要，约束矩阵方程的最小二乘问题已日益为人 们所重视近年来，已取得了一系列的研究成果文 2 7 3 4 分别对d 对称矩阵、对称正交对称矩阵、对称正交反对称矩阵、广义次对称矩 阵、中心对称矩阵、w 准对称矩阵进行了研究；戴华 1 6 讨论了 h e m i t e 广义h a m i l t o n 矩阵的性质和结构，给出了矩阵方程a x = b 存 在h e m i t e 广义h 锄i l t o n 解的条件及通解的表达式，并给出了解集 合中与给定矩阵的最近逼近解的表达式；文 4 2 ，4 3 研究了h e m i t e 广义h a m i l t o n 矩阵、h e m i t e 一广义反h 锄i l t o n 矩阵、反h e m i t i a n 广义反h a m i l t o n i a n 矩阵等双结构复矩阵本章研究h e r m i t e 广义 h 锄i l t o n 矩阵另一类约束矩阵方程的最小二乘解 a o r “表示n 阶正交反对称矩阵的全体，即 a o r “k 川j = 一_ ，r ，d 尺 ，显然j a o r n x “时j 2 = 一i i ，从而有n = 2 k ( k 是一个正整数) 定义1 【1 6 3对于给定的j a o r ，矩阵a c 称为广义h 锄i l t o n 矩阵，如果( a j ) h - a j ，所有n 阶广义h 锄i l t o n 矩阵的全体记为g h n x “ 定义2 堋3对于给定的j a o r ，矩阵a c 称为h e m i t e 广义 h 锄i1 t o n 矩阵，如果a “= a 且( a j ) h - a j ，所有n 阶h e r m i t e 广义h 锄i l t o n 矩阵的全体记为h h c 问题i给定x c 眦“，y c 眦1 ，z c “，w c 帆1 ，求a h h c ，使 f ( a ) = i | a x z | i2 + i ly h a 一铲| l2 = m i n 问题i i 给定a c 嘞，求父s e ，使得i a 一公l i = 燃i ia 一ai l e 本文首先给出问题i 有解的条件和解的表达式，同时导出了 高校教师在职硕士学位论文 a x = z ，y 日a ：h 在删c 中有解的充要条件及表达式，然后证明了问 题i i 的解存在唯一，并给出了解的表达式 2 2 主要结论 2 2 1 问题i 的解 引理2 1 【1 8 1设a h c 哪，j a o r ，且存在矩阵u u c “使得 ，= u ( ：三。 u 日，则a 删c “当且仅当a = u ( ；吾) u 日， ( 1 1 ， t c m ，u = ( u l ，u 2 ) ，u i c “”。 引理2 2 8 1 1 7 1设x c 础，w c ，y c 州，z c “。，并且x 和y 的奇异矗分解( s v 。) 分别为x = 痧( 吾三 矿h ，y = 户( ：暑 委日，其中d = ( 痧。，疗：) u c “，y = ( yt ，y 2 ) 【，c “， 户= ( 霞，最) u c “”， 6 ： 。圣：) u c 州，= 饿口g p ，仃。) o ，r = 威口g ( ，l ，r ) o ，e = r a n k ( x ) ， h = r a n k ( y ) ，西，：c c ，访c t 一，i c “ ，玉。c m ，则 g ( b ) = | ib x zi | 2 + 0y “b 一矿l i2 = m i n 的任一解b c ”可以表示为 西p 搿嘶) r - l 丕p 其中b ：。c “山h r 旬是任意矩阵， ( 1 2 ) = l 朋2 壶( 1 i ( 2 2 ) 引理3 3 8 3 1 刀设x c 删，w c 哪d ，y c d ，z c 础，并且x 和y 的奇异值分解( s v d ) 分别为x = d ( 吾吕 矿符，y - 户( ：趵豆抒， 其中疗= ( 痧。，痧：) u c 哪，y = ( yi ，y2 ) u c h 。，声= ( 蜃，昱) u c 。n ， 6 = a ：) u c 州，= d i a g ( 6 。，“，6 。) o ，r = d i a g ( r ，”，) o ，e = r a n k ( x ) ，h = r a n k ( y ) ，d 。c ”f ，1 ；c ，丘c “，龟c ， 则g ( b ) = l fb x zl | 2 + i ly h b 一矿| l2 = m i n 的任一解b c 啪可以表示 胁；糍m ) 其中b ：c c 胁叫是任意矩阵， = 瓴心胪嘉虬吲叫 定理3 1 给定x ：，最c ， ( 2 3 ) 令瓦= j 5 i ：一a x ：，u ；x ：= x ：， u 歹砭= 丑：，( j = 1 ，2 ) ，x ：。，b ：。c 。屿，假设r a n k ( x ：j ) = o ，j = 1 ，2 ， 且x 恐，x ：。的奇异值分解分别为x 笼= 音习矿日，其中 扩= 氟玩) u c m ，矿= 候呒) 【，c 协k ，= 饿凹( 盯。，吒) ) o ， x 2 l = 可吉弦，其中声= 伍夏) 础埘，虿= 匦磊) 川协k ， ：= 反口g ( q ，吃，) ) o ，玩c 觚，厩c 劬恐，亏c h l ，磊c 协n ， 2 魄k 气，丸2 虿每，( 1 ( 2 1 ) 其中x o = 。( 警是) d r ， 1 4 几类约束矩阵反问题 耻u p 强秽w 【，l - 1 铲2 p 啦r 亿r 瓮菇掣小紫b p u 2 尺 一m n 一一 ，p 2 r x ( 一酬，u 2 、 巴均为单位列正交矩阵，且 联u 2 ) = ( x r ) ，麒只) = ( 巧) ，r l = r a n k ( y i ) ，r 2 = r a n k ( y 2 ) g l a 州“一1 ) x ( 枞一 ，g 2 a 职( 一r 2 卜( 。，2 j 记a d = ( a 。如) ，丑= j e i a x o a 7 ，4 一一七土 a l u 2 ，a 2 = 如p 2 ( 2 2 ) 矩阵对 五互 的商奇异值分解( q s v d ) 如下： 五 五= m 五r ，互= m 五f r 00 、 s l o l o o 。i o o j 一七一 一i - 一 s l p 一 七l f l s l 厶五一 ，l 一七1 其中m 是m m 阶非奇异矩阵， 七一吒+ 一七1一一毛 f l s l 毛一 一5 l ，l 一足i ( 2 3 ) 0 贝( 一一，lk ( 一一，i j ，f 0 假( 一，2 卜( 一r 2 ， 七。一触( 五五) ，t ，= 七。一阳础0 ：ls ，= 厂口威0 。) + r n 砒0 ：) 一七。，l 、o ， 都是单位矩阵 行如下分块 ， 0 l 、0 2 m - 1 亩m ： 令 都是零矩阵，s ，= 也昭( - 如，以。) ) o ，。对m 1 两叶进 q ， 岛3 马3 只3 蜀。1 瓦l s l 瓦l 尼l f l s l 瓦jm 一七。 hj l i h 一 m b fg l i l g l l 2g l l 31t l r g i = lg 1 2 l g 1 2 2 g 1 2 3 l s l i g l 3 lg 1 3 2g 1 3 3 ，l 一七一，l f l s l 1 5 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 0 l o o 吼o 0 0 ，。_ 厶o o o = 2 2 2 2。民。吃。马曩置岛一b一日 ( 2 6 ) 定理4 1给定a 尺m 一、b 尺，a d 和百、五、互如( 2 2 ) 式 ， 矩阵对 五互 的商奇异值分解( q s v d ) 如( 2 3 ) 式，m 。1 秀m 寸按 ( 2 4 ) 式分块，则问题v 有解的充要条件是 豆r = 一豆，巨，= 豆。= o ，鸟。= o ，瓦= 瓦= o ，反。= 豆：= 或，= 瓦= o 且当( 2 7 ) 式成立时，其通解为：x = x o 其中g l 式 r ，豆。 i_ = p i l 岛。 l g i i ：， g 2 = f i 一： f ，g 2 。 l 一岛， 巨：s f l g 2 ，、 逸，i 尸r 岛，j + 。( u 2 鼍u ；罡点置 。r i o 只g ，爿j g l t ，、1 寸 中g l l 3 、g 坩g 1 3 3 、g 2 l l 、g 2 1 2 、g 2 1 3 、g 之 证明 是任意矩阵 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 由引理4 1 知，矩阵方程a xa r = b 若在s 上有解，则解可 表示为式( 2 1 ) ，且 一a 卜( 【，：g l 【，； a x 也 ) ( 0 u ：g l u ； 0 o r 训 罡g 2 劈j j 最差鼍熘罡g 2 鼍八j a x 。+ 五g l 矸+ 五g 2 鸳= b 则 五g l 智+ 互g 2 鸳= 豆 ( 2 1 1 ) 将( 2 3 ) 代入( 2 1 1 ) 得五rg l j + 五f7 g 2 ，2 = m 一1 豆m 可( 2 1 2 ) 1 6 毛 一 r = 一 毛一 吃 一七 、一、 ” 屯q 包q 州 坦 丝 弛 晚瓯晚 l 2 3 乜吼勃勃肿 ，一 = f q f 筇 、li， 控 呸 一 g如一 耳 。 几类约束矩阵反问题 将式( 2 4 ) 、( 2 5 ) 、( 2 6 ) 代入式( 2 1 2 ) ，并通过具体计算可知( 2 7 ) 且当( 2 7 ) 式成立时，g 1 、g 2 的表达式如( 2 9 ) 、( 2 1 0 ) 从而方程a x a r = b 的通解由( 2 8 ) 式给出 反过来，若式( 2 7 ) ，0 l g 2 = 引o fd 眦脚恃。s ? 蚓r d ) 秀：，lf 1 ，由弓i 理1 知： 岛，j x = x 。+ 。( u 2 u ；己差巧 。r s 又因为： 删r 啦n a 。( 吼 一州悟乏 f 蜀。置： loo u ；罡( 芝鼍 。丁a r o只g 碍j 蔓 m 丁= _ 。a r 二雪= b 所以x 是矩阵方程a xa r = b 在线性流行s 上的解 口 4 2 2 问题的解 引理4 2 【2 0 】【2 l 】给定r ，f r ，则存在唯一的矩阵6 尺“使 得g ( g ) = l l g - e | 1 2 + l i g r 一，i | 2 = 曲，且哇( e + f r ) 定理4 2 符号与定理1 相同，令d r 伍一x 。) d ： 1 7 2 o o _ b 3 3 弩0岛_马o 七一 七 n 、， 屹 恐 x _ x t七一 乱 - x x ，、 r u ；x l l 【，2 f t 琏文毪p 2 f = = 高校教师在职硕士学位论文 蚤擘 誊粤 x 9 f l s i 凡一七一1 一f l s l f ls ln 一七一 一f i s l i 一，z + 一毛一 一 七一吃兰一s ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 对问题v 的解集合& ，相应问题的最佳逼近解存在且可表示为 其 x = x 。+ 。( u 2 售u ；最差哆 。r 中童= l 奸1 豆。 f ， 豆。 l 一( q ，) r 豆：s i l s f l ( 瓦一) 耳1 _ ( 吃) r q 。：呸。，1 云i f r 豆：瓦j 这里q 。，= 丢 贾9 一( 文5 ：) ) r ， 瓯，1 j r 文到 = 磐9 一( 圳 ， = 抑纠文明，= 缸瓦_ 文蚧贾剀 证明：因为l i 贾一x 0 2 = 0 文一x 。一。( u 2 鼍u ； = 0 。r ( 文一x 。) 。一( u 2 髻u ；己点 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) = 抻叫剐r = 慨一u ：g l u 玎+ 陬| 1 2 + l 陬h | 贾荭一最g 2 町 所以忙一x i l 2 = m i n 等价于l i 文。一u ：g i u 邓+ 忭丑一只g 2 鼍0 2 = i n 1 8 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 一、， m b m m ” x - x _ x 、 nm虬 x - x - x 他n 他 化站 _ x - x _ x !丝记 - x - x - x n孔儿 - x - x _ x 、，、， ，奸 一 一 ，f。一 f = 呸 几类约束矩阵反问题 又因为 慨一【，：g l u 邓+ 慨：一只g 2 哪 = 0 u j 支。u 。1 2 + l p j 支。，u ：0 2 + 0 u ；文。【，。1 1 2 + 0 u j 支。u ：一g 。0 + 支：只1 1 2 + l 雌恐只| 1 2 + l l 巧曼：置| 1 2 + l i 巧支控最一g ：0 2 由( 2 2 2 ) 式可知忙一x l l 2 = m i n 等价于： 忱曼。u ：一g 。i i + | i 鼍支盟最一g ：i | 2 = m i n 又因为 怫支。u ：一g 。| | + i l 巧支也e g ：1 1 2 = 0 r u ；贾。【，：j v 一rg 1 0 2 + 8 f 丁鼍贾恐最f f7 g 2 f i l 2 = 懈，一叫+ 阚一豆：s 川1 2 + i l 文譬一g l l 3 1 1 2 + 阉一s i 剐2 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) + 忙2 一s f l ( 瓦一) 刚2 + 悻磐一g l ：，1 1 2 + i 闻+ ，l + | 旧+ 吒1 1 2 + 障一g i ，1 1 2 + i 阿一叫2 + 障，一g 2 1 2 1 1 2 + 障一叫2 + 愀+ 叫2 + 忙罢一：1 1 2 + 惮2 ) - 瓦i | 2 + 旧2 ) + 嚷，0 2 + 忙婴一磊：卜悼卜曩，1 1 2 由( 2 2 4 ) 式知( 2 2 3 ) 式等价于： 懈，一g i l 3 1 1 2 + 懈，+ 叫2 = m i n ，麟一g 1 1 1 2 + i 闻+ 瓯0 2 = l i n ， 怿2 一s i l ( 瓦一) s 川1 2 + 忙罢一1 1 2 ：i n ，0 文粤一g i ，0 2 = m i n ， 贾：；，一g 2 。1 1 2 ：m i n ，悼一g 2 1 2 1 1 2 + 惮2 ) + 嚷：0 2 = m i n ， 8 贾p g 2 。，1 1 2 + i 闻+ 圳2 = m i n ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 由引理4 2 及( 2 2 5 ) 得到问题的解由( 2 1 6 ) 表示，其中龟、包 由( 2 17 ) ，( 2 1 8 ) 式给出口 1 9 几类约束矩阵反问题 5可对称( 半) 正定矩阵反问题的最小二乘解 5 1 引言 文献 4 4 定义了可对称化矩阵、可对称正定化矩阵、可对称半正 定化矩阵文献 2 2 在此基础上研究了可对称( 半) 正定化矩阵反问 题的解及其最佳逼近，给出了存在解的充要条件，得到了通解的表达 式，同时解决了方程a x = b 的对称半正定化解对己知矩阵的最佳逼近 问题本章将在这些基础之上研究两类线性流形上可对称( 半) 正定 化矩阵反问题的最小二乘解，为这一问题的理论和应用增加新的内 容 令尺表示实n m 矩阵类，职，畔4 ，和蹦“分别表示n 阶 实对称矩阵类，对称正定矩阵类和对称