（基础数学专业论文）脉冲微分方程周期解和周期边值问题.pdf

摘要 本硕士论文由三章组成，主要讨论具脉冲时滞微分方程周期正解的存 在性，一阶脉冲常微分方程和泛函微分方程周期边值闻题解的存在性，以 及具脉冲时滞的d u m n g 型方程周期解的存在性 第一章讨论了一类具脉冲时滞微分方程周期正解的存在性，通过建立 锥上的全连续算子，利用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，得到了存在周期正解的 若干充分条件 第二章讨论了两类周期边值问题，通过利用s c h a e f f e r 不动点定理，上 下解方法和单调迭代方法，建立了解存在的充分条件这些结果改进和推 广了一些已知的结果 第三章讨论了脉冲时滞的d u f f i n g 型方程周期解的存在性，经过利用重 合度理论，建立了一系列解存在的充分条件，这些结果即使没有脉冲点也 是新的 关键词：脉冲微分方程，周期解，不动点定理，上下解方法，重合度理 t h i st h e s i so fm a s t e ri sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s ，w h i c hm a i n l ys t u d i e dt h e e x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e l a y s ，t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so ff i r s t o r d e r i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n di m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n d t h ee x i s t e n c eo f p e r i o d i cs o l u t i o n sf o rt h ed u f f i n ge q u a t i o nw i t hi m p u l s e sa n dd e l a y s i nc h a p t e ro n e ，b yu s i n gac o m p e t e l yc o n t i n u o u s o p e r a t o ro nc o n ea n dt h e k r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e m ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n s o fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi m p u l s e sa n dd e l a y s ，a n ds o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw i l l b eg i v e n c h a p t e rt w om a i n l yc o n s i d e r st h ep e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s o m ee x i s t e n c er e s u l t s ，o b t a i n e db yt h eh e l po fs c h a e f f e r s f i x e dp o i n tt h e o r e ma n dt h em e t h o do fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sc o u p l e dw i t ht h e m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e o u rm a i nr e s u l t si m p r o v e sa n dg e n e r a l i z e st h es o m e k n o w nr e s u l t s i nt h el a s tc h a p t e r ，b ym e a n so ft h ec o i n c i d e n c ed e g r e e t h e o r y , w ei n v e s t i g a t et h e e x i s t e n c eo f p e r i o d i cs o l u t i o n sf o rt h ed u f f i n ge q u a t i o nw i t hi m p u l s e sa n dd e l a y s ，a n d s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw i l lb ee s t a b l i s h e d ，w h i c ha r en e we v e nf o rc a s ew i t h o u t i m p u l s i v ep o i n t k e yw o r d s ：i m p u s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，p e r i o d i cs o l u t i o n ，f i x e dp o i n tt h e o r e m ，t h em e t h o do fu p p e ra n dl o w e r ，c o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y i i 绪论 51 问题产生的历史背景 随着现代科学技术的发展，在许多科学领域的研究中，例如生态学、 光学控制、物理学、通讯理论等等，脉冲微分方程较之相应的不带脉冲的 微分方程更能准确地描述某些现象因此脉冲微分方程的研究已引起了大 量学者的兴趣【1 - 3 】，而周期解和周期边值问题一直是脉冲微分方程理论的 一个重要分支，是目前比较活跃的研究领域，吸引了众多的学者，取得了 许多较好的结果，例如，d d b a i n o v ，p s s i m e o n o v 3 ，s g h r i s t o v a 2 4 ，v l a k s h m i k a n t h a m 【2 3 1 ，l i ux i n z h i 1 2 ，1 7 】，j j n i e t o 【1 1 ，1 9 ，2 0 i ，d f r a n c o 1 3 等 等但脉冲微分方程周期解的研究有待进一步深入，尤其是脉冲时滞微分 方程和二阶脉冲微分方程周期解和周期边值问题的研究结果还较少因此 对于脉冲微分方程周期解和周期边值问题的研究，在理论上和实际应用中 都是非常有意义的工作 下面就本文研究的问题产生的历史背景作一简要概述 一具多时滞脉冲微分方程的周期正解 在一些生态模型中，由于实际生态意义的需要，往往要求探讨周期正 解的存在性在这方面已发表了许多有代表性的论文【6 , 2 7 ，2 8 ，3 0 ，3 4 】，其中 文【6 1 作者研究了一类多时滞微分方程 0 ) = 一a ( t ) y ( t ) + f ( t ，y ( t n ( t ) ) ，一， 一h ( t ) ) ) ( 1 1 ) 许多生态模型可看作( 1 1 ) 的特例，如1 9 8 0 年，g u r n e y 等人在n a t u r e 上研究了n i c h o l s o n s 苍蝇模型【3 6 】 ( t ) = - r y ( t ) + p y ( t r ) e 一鲫( ”) ， ( 1 2 ) 其中n p ，a ，r 为正常数 文【6 】6 得到了方程( 1 1 ) 存在t 一周期正解的一些存在性结果，但方程 ( i i ) 在有脉冲扰动的情形下，应修正为 可()2：-ar(t，)y“(t、)+f，(a 。，分( 。一而( 。) ) ，( 。一n ( 。) ) ) ，。 ， ( 1 3 ) ly ( t ) = 厶可) ，k z ”7 这时我们自然会有下面的问题 问题1 方程( 1 3 ) 存在口周期正解的条件是什么? 二脉冲方程周期边值问题 事实上，研究周期解伺题可转化为研究周期边值问题因此脉冲周期解 的文献中有相当一些是有关周期边值问题的，如l i 的【8 】，n i e t o 的【1 1 ，1 3 ，1 9 】 以及l i u 的【1 2 ，1 4 ，17 】等等，建立了许多存在性准则 现考虑一阶脉冲微分方程 u 0 ) + , x u ( t ) = i ( t ，u ( t ) ) ，t j t t k ，k = l ，p ， t ( t 毒) = u ( 坛) + 如( 让( 如) ) ，k = 1 ，p ， ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 其中a r ，a 0 ，j = 【0 ，列，t 0 ，0 = t o t 1 亡p t p + l = z c ( n ，r ) ，k = 1 ，p ，且，：j r - r 在t t 女处左连续，f ( t t ，让) 存在 文【1 1 】中，作者得到了下面结果 定理a 如果函数， 都是有界的，那么方程( 2 1 ) - ( 2 3 ) 至少有一个 解 定理b 如果存在a p c ( j ) ，b r ，a 1 0 ，1 ) 使得 【i ( t ，u ) i a ( t ) + 6 l “l o ，正u r ， 以及存在常数a t ，b 女r ，鲰【0 ，1 ) ，k = 1 ，p 使得 l 厶( “) l a k + b l u l “，u 且 那么方程( 2 1 ) 一( 2 3 ) 有解 从上两个定理，自然产生下面的问题 问题2 若l i r n l 。i + 。且= 0 ，l i m i 。i 。学= 0 ，v k ，那么方程( 2 1 ) 一( 2 3 ) 是否存在解? 在l i u 的文【1 7 】中，研究了方程 f 一= ，( t ，z ，乳) ，z t 女，z z = ，( t ，z ，乳) ，t = t k ， ( 2 4 ) 【z ( o ) = z ( 2 7 r ) ， 害中j = 【o ，2 7 r 】，o t l t 2 - - ( 岛 2 7 r ，j ：j r r _ r 在i 靠 处连续，在t = “处左右极限存在，且，( 坛，茹，y ) = ，( “，x ，) ，球i ，g ，y ) = 邢k ，z ，) ，t ：卫_ 舻k ( t ，s ) z ( s ) d s 是h a m m e r s t e i n 算子 然而在现实生活中的一些数学模夔j 算子t 往往不是线性的，如文 【3 7 ，作者考虑了下面的“s u g , 耐蛩方程 一( t ) = ( t ，x ( o ，s u p 。一 ，日卫( s ) ) ，t i o ，卸，t “， 竺煮酬) ， ( 2 5 ) z ( o ) = 。口) ， 、 x ( t ) = z ( o ) ，t 【- h ，0 1 ， 其中z r ，：【0 ，t 】r xr r ，0 t l t 2 0 满足 ( i ) 口( z ) 一m ，当z 一a 时， ( i i ) z g ( x ) 0 ，当蚓a 时， 则方程( 3 1 ) 至少存在一个2 ”周期解 定理d 假设存在常数m ，a 0 满足 ( i ) 9 ( z ) sm ，当$ 2a 时， ( i i ) i iz g ( x ) 0 ，当m a 时， 则方程( 3 1 ) 至少存在一个2 丌周期解 1 9 9 8 年，李永昆在文 2 8 1 中，讨论了比方程( 3 1 ) 更一般地l i 6 n a r d 型 方程，得到了类似的结果 3 考察下面方程 z 一4 1 + 玉x 生2 生( t - ，r ) = 一s i n t + i 干s 丽i n t ( 3 2 ) 方程( 3 2 ) 有一个明显的2 丌周期解z = s i n t ，但z g ( $ ) 墨0 ，z r 它不能由定 理c 或定理d 判别，因此我们自然会有下面两个问题 问题4 在方程( 3 1 ) 中，当茁9 ( 茹) 兰0 时，方程存在周期解的条件是什 么? 问题5 方程( 3 1 ) 在有脉冲效应的情形下，存在周期解的条件又是什 么? 2 本文的主要工作 本硕士论文基于上述思想，其主要目的是研究和回答上述这些问题。 在第一章，我们讨论了方程( 1 3 ) 周期正解的存在性，通过定义锥上的 全连续算子，利用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，建立了存在周期正解的存在性 定理 第二章的第一节里，通过利用s c h a e f f e r 定理，讨论了方程( 2 1 ) ( 2 3 ) 的 解的存在性，改进和推广了文【1 1 】的主要结果在第二节里，利用微分不等 式，证明了一个新的比较结果，进而结合单调迭代方法，给出了方程( 2 4 ) 当r 为非线性算子时解的存在性定理 在第三章，我们讨论了具脉冲时滞的d u f f i n g 型方程周期解的存在性， 经过利用重合度理论，建立了存在周期解的一些定理，即使没有脉冲扰动， 也是文【2 7 1 的推广和改进 4 第一章一阶脉冲时滞微分方程的周期正解 1 1 引言及引理 本章讨论一类脉冲时滞非。自治微分方程 iy l ( t ) = 一n ( t ) 掣( t ) + ，( t ，o 一0 ) ) ，f 0 一n 0 ) ) ，u ( t t h o ) ) ) ，t t ，1 、 1 衄( “) = r k v ( t k ) ，z ， 。1 叫 其中a y ( t ) = ( t ) 一( ) ，v c t j ) ，掣( 坛) 分别表示( t ) 在t = “处的左右 极限，且”( t j ) = ( “) ，a ( t ) p c ( r ，( 0 ，+ o o ) ) ，f ( t ，u o ，u l ，u 。) p c ( r 【0 ，+ o o ) 1 ，【0 ，+ o o ) ) ， r i p c ( r ， 0 ，+ o 。) ) ，i = 0 ，1 ，n ，i k ( ) c ( r ，【0 ，+ o o ) ) ， 这里p c ( i ，w ) = z ( t ) ：，_ w i 石( t ) 在t t k 处连续，。( t j ) ，z ( 坛) 存在， 且$ ( t 者) = 。( “) ，w 珊，p c ( r 【0 ，+ o 。) n + 1 ，i ，+ o o ) ) = 茹：r 【0 ，+ o 。) 1 _ 0 ，+ o 。) j $ ( t ，) 在t t k 处连续，z ( 砖，) ，$ ( ，) 存在，且。( 站，) = z ( t k ，) ) ， a ( t + t ) = o ( t ) ，0 + t ，钍o ，) = f ( t ，u o ，u 。) ，几( t + t ) = n ( t ) ，t 0 是一个 常数，t t + 1 l i m 士。t = 4 - 0 0 ，存在g n 使得厶+ g ( 掣) = 矗( 口) ，t k + 口= “+ t 在本章，我们利用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，建立了方程( 1 1 1 ) 存在卫 周期正解的一些存在性结果 给定仃p 。“t 。) ，m z ，l p p c ( - - ，0 1 ，r ) ，其中_ r = m a x 坨【0 卅 罚( t ) ， ( ) ) ，那么方程( 1 1 1 ) 的初值问题是 ( t ) = 一a ( t ) y ( t ) + f ( t ，掣0 一( t ) ) a y ( t k ) = i k ( y c t k ) ) ，k m ， 如= 妒 v ( t 一( t ) ) ) ，t o - ，t t k ， ( 1 1 2 ) 定义1 1 1 方程( 1 1 2 ) 的解y ( t ) = y ( t ，叽妒) 为 ( i ) 当盯一下s t s 盯时，可( t ) = 妒0 ) ( i i ) 当o - t t 。时，y ( ) 满足下述方程 矿o ) = - a ( t ) y ( t ) + f ( t ，0 一罚( ) ) ，y ( t h ( t ) ) ) ，t o - ， 拈2 p ( i i i ) 当t 。t t 。+ l 时，可( t ) 满足下述方程 ”u ) = 一( t ) f ( t ) + f ( t ，可0 一丁b ( t ) ) ，- ，0 7 h ( t ) ) ) ，t t 。 玑m = 妒m ， 5 其中 f ( t ) ，t 。一下t t 。， 2 1 ( 蠕) + k ( ( t 挑扛t 。 ( i v ) 假定解( t ) 已经在p r t 。+ k ) 上确定，那么当t m + k t + 时，( t ) 满足下述方程 矿( t ) = 一0 0 ) y 0 ) + f ( t ，y ( t 一，b ( t ) ) ，- 一，y ( t 一7 h 0 ) ) ) ，t t m + ， y t m + 2 妒m + k ， 其中 f 可( t ) ，t 。+ 一r s t t 。+ k ， 妒”柏21 掣( 蠕+ 女) + k + 女( ( 二+ k ) ) ，t = k 枷 这样，在【矾o o ) 上，当t “时，f ( t ) 是一个连续函数，在t = t k 时，它有 第一类的不连续点，并且是右连续的 在这一章，我们假定f ( t ，多) 在p c 中对妒雨言满足l i p s c h i z i a n 条件， 那么方程( 1 1 2 ) 的懈全局存在且唯一( 参见文献【5 | ) 定义1 1 2 如果函数可( t ) 满足方程( 1 1 1 ) 的各等式我们就说( t ) 是方 程( 1 1 1 ) 的解 定义1 1 3 函数( t ) ：r - r 说是方程( 1 1 1 ) 一个t - 周期解，如果 ( i ) y ( t ) 满足定义i i 2 ， ( i i ) u ( t + t ) = ( t ) ，v t r 设e = 。：y p c ( r ，咒) ，秒o + 研= 翟( t ) ) ，定义范数i = s u p 蚝o , r l 陪( t ) l ，那么e 是b a n a c h 空间令r ，= r m ) ，且 g m s ) = 羔e j o 鼍， ( 1 粥) 一一l y ( t ) = ( u ( t 一罚( t ) ) ，y ( t 一丁1 0 ) ) ，- 一，可0 一( t ) ) ) 引理1 1 1y p c ( r ，r ) nc 1 ( r ，r ) 是方程( 1 1 1 ) 的b 周期解，当且 仅当y 是积分方程 ，t 十 y ( t ) = f g ( t ，s ) ，( s ，y ( s ) ) d s + a ( t ，“) ( ( “) )( 1 1 4 ) 的t 一周期解 6 证明i ) 如果! ，( t ) 是方程( 1 1 1 ) 的一个t 周期解，鄂么当t t k 时，我 们有 ( y e 片“f ) 衅) 7 = e j ：n ( f 心，( t ，y ( t ) ) ， 两边从k t + t 】积分得 v 0 + t ) e f ：+ ta ( o d t 一鹾t ) e r 0 。( f ) 武 ：f 抖t e 石a ( e 徙，( s ，y ( s ) ) d s +厶b ( “) ) e j ： a ( e m 因为y ( t + t ) = y ( t ) ，我们有 v c t ，= ：主：芸芸兰三i j ( t 4 - tm 州) ，c s ，y 如，d s + 。乏+ 丁厶 c t * ，e 露d c e ，嘶 ：f 抖t g ( t ，s ) ，( s ，y ( s ) ) d s + c ( t ，t k ) i k ( y ( k ) ) = g ( t ，s ) ，( s ，y ( s ) + ， o c t 五十丁 这说明v c t ) 也是方程( 1 1 4 ) 的b 周期解 i i ) 如果( t ) 是方程( 1 1 4 ) 的一个t - 周期解，那么把方程( 1 1 4 ) 的两 边同乘以e j i 。( f 心，得 掣( t ) e 片4 ( f ) = = ) 了：亳磊= t + t 片n f 畦，( 岛y 。) ) d s + t t k ( t a r t 厶。( “) ) e n ( 。 1 1 - 5 当t t 时，把方程( 1 1 5 ) 两边求导得 因此 【矿( t ) + n ( ) 可( t ) 】e j ： n ( f ) 嫩 = 志 e + 7 “日f ( t + t , y ( t ) ) 一e 上0 “。武，( t ，y 。) ) 2 志e 片“曲啦，( 毛y ( ) ( e j 州。啦一1 ) ， 7 当t = “时，根据( 1 , 1 5 ) 式有 v ( t j ) e 詹n ( f ) 2 丽嚆1 r t e 脚y ( s ) ) d s + 承吞沁蝴彬淞 v ( 坛) e 铲t f ) 武 2 志五e f ( s y ) d s + c _ 丢+ r 瑚i ) ) e 腓) 畦 由上述两个方程，以及“+ t = t 押i k + 。( 掣) = 厶( ) ，我们得到 a y ( t k ) e 4 ) 武= 厶+ 口( y c t + g ) ) e c + 7 n ( 心一厶0 ( t ) ) e n ( e ) 武 = h ( y c t 女) ) e 口。( f 域 即 f ( “) = 厶( 可( “) ) 因此方程( 1 1 4 ) 豹t - 周期解咎( t ) 满足方程( 1 1 1 ) 证毕 方程( 1 1 4 ) 能写成算子方程 y = a y ， 其中算子a ：e 叶e 定义为 r t + r ( a ) ( ) 2 上 a ( t ，s ) ，( s ，y ( s ) ) d s + g ( t ，“) 0 ( “) ) ( 1 1 6 ) 这样方程( 1 工臻有t - 周期解等价于算子a 有不动点 设d = e - j i “( ) 武，定义锥kce 为 k = b ：y e ，昝( t ) o 且p ( t ) 6 l f , v l l ， 且令 一万忑1 吒2 丽不巧 。 e j io ( e ) 醒 显然，有 引理1 1 2 a ( t ，s ) 如( 1 1 3 ) 所定义，那么 ( i ) o = g ( t ，t ) a ( t ，s ) g ( t ，t + t ) = 卢，v s i t , t + 卅； ( i i ) 6 器1 ，v s 忙，t + t 1 引理1 1 3 算子a 是全连续的 证明i ) 设协- + 掘j _ + o 。，因为，( t ，口0 1 - o c t ) ) ，可0 一( t ) ) 和厶( ) 关于y 是连续的，因此v t r ，当j _ o 。时，我们有 4 t ( a 协) ( t ) = f 。g ( t ，s ) f ( s ，y j ( s ) ) d s + g ( t ，t k ) i k ( y j ( t k ) ) “ t “ 0 ，对一切y d ，我 们有l l y l lsd 因此 ，t ( a y ) ( t ) 卢m ，y ( s ) ) d s + 卢 ( ! ，( “) ) 。” o t k t 卢t s u p f ( s ，y c s ) ) ，t 【0 ，t 】，y d ) - i - b b q m a x l k ( y ( t k ) ) ，“【0 ，t i ，! ，d ) ， 这导出i i a y i l 是有界的因此a ( d ) 是一致有界集 设y d ，i ，i t j _ l t j ) ，且t i ，根据( 1 1 6 ) 式，我们有 i ( a y ) ( t - ) 一( a f ) ( 幻i = i g ( ，( s ，y ( s ) ) d s + a f t ，“) 矗( ( “) ) i “( _ + t f 。g ( 查】s ) ，( s ，y ( s ) ) d s 一 g ( 圭，“) 厶 ( “) ) i 。 i “ 点+ t r t _ + t ，i + t 曼上tl g ( i ，s ) 一g ( i ，s ) i ，( s ，y ( s ) ) d s + j ( + ：i g ( i ，s ) i ，( s ，y ( s ) ) d sjj t + t + fi g ( 刍s ) l f ( s ，y ( s ) ) d s + i g ( z ，t k ) 一g ( ，* k ) l i k ( y ( t k ) ) ， 由上式，( 1 1 3 ) 式以及引理1 1 2 可推出a ( d ) 是拟等度连续的因此a ( d ) 是e 中的相对紧集 由i ) ，i i ) 可知算子a 是全连续的证毕 9 引理1 1 4 a ( 田c k 。 证明v y k ，由引理1 1 2 可得 ，( s ，y ( s ) ) d s + 厶( y ( 如) o t k t ，( s ，y ( s ) ) d s + ( ( “) o k 一 0 卜卜 y l a 证明首先，由m a x f o = o 知，存在s 0 ，p 。 0 满足 口t g 妄，f ( t ，让) ss l 钍l ，v i u i 冬p 1 定义开子集f 2 1 = 圳y k 且l p 1 ，那么当y k na q l ，即y k 且 l = p t 时，我们有 ( a y ) ( t ) 卢广f ( s ，y ( s ) ) d s + 卢 ( f ( ) ) () 卢 ， + 卢 0 ( ) ) f l t e p l + 卢i k ( y ( t k ) ) o p l ( 6 ) _ 1 满足 t a m 5 1 ，f ( t ，钍) i l u l ，v l 钍i 函勉，勘6 j 钍l ，0 js n 定义q 2 = 训k ，i 0 即方程( 1 1 1 ) 至少有一个t 周期正解证毕。 定理1 2 2 假设下列条件成立 ( 珐) m i n = o 。，m a x 厶= o ， ( 甄) i k ( y ) 兰丽1 那么方程( 1 1 1 ) 至少有一个t 一周期正解 证明由r a i n f o = 。o 知，对m ( t 1 6 t ) ，存在p 1 0 ，使得 ，( 亡，u ) m i n i ，v i u l p l ，u j j l u l ，0 j n 令q 1 = 删y k ，l 霄，u j 0 ，0 js n ( 1 2 4 ) 选取p 2 满足 现 + 1 + 3 p t m a x f ( t ，牡) ，0s ts 正l 灶j s 霄，址【0 ，0 0 ) ”+ 1 令q 2 = t g l 口k ，1 1 9 l i ) ，e 2 = t ( o ，卵，f y ( t ) f ) 很明显孬lc q 2 由( 1 1 6 ) 和( 1 2 4 ) 导出 ( a y ) ( t ) s 口 帅，y ( s ) ) d s + p h ( y ( t k ) ) 。 o “ 0 那么方程( 1 1 1 ) 至少有一个 t 周期正解证毕 定理1 2 3如果( 凰) 以及下列条件成立 ( 风) m i n ，0 = o 。， ( 哦) 存在一个正常数p 1 ，使得 m ，u ) 墨鑫，v l 让l n 那么方程( 1 1 1 ) 至少有一个t 一周期解 证明首先，由m i n o = o 。知，对m 1 ( a 6 t ) ，存在正常数p o p 1 使得 ，0 ， ) 矗i t 正i ，v f 叫p b ，蚴引u i ，0s j t 正 设q o = ( k ，l 肌) ，v y 御o n k ，我们有 ( a 掣) ( t ) ；f g ( t ，s ) ，( s ，y ( 8 ) ) d 。+ a ( t ，“) o o ) ) ( a 洲5 j ( g ( 。，8 ) m ，y ( 8 ) ) d s + 乏+ r ，“) 砌“) ) a f ( s ，y ( 8 ) ) d s j 0 n t m l 6 伽j 口0 = i l ， 因此 f i a v l l f l 掣 勖k n a n o ( 1 2 6 ) 其次，设q i = v k ，l p 1 ) ，k n 触l ，由条件( 鸱) ，( - 1 6 ) 得 ( a v ) ( t ) = fa ( t ，a ) f ( s ，y ( s ) ) d s + a ( t ，t * ) i k ( u ( t k ) ) 。ttk 0 是一常数) 以及( 胁) 成立，那么方程( l 1 1 ) 至少有一个已周期正解 定理1 2 6 如果 ( h l o ) m a x k = 0 ， 以及( 凰) ，( 4 ) 成立，那么方程( 1 1 1 ) 至少有一个t 周期正解 定理1 2 7 假设存在两个不同的常数p - ，p 2 使得 ( h n ) f ( t ，钍) 舄，v 1 让i p l ， ( h 1 2 ) f ( t ，) 舄，v i u l 阶2 ，p 2 】 如果( ) ，( h - - ) 以及( 皿2 ) 成立，那么方程( i i 1 ) 至少有一个d 周期正解 证明不妨设m p 2 令q l = 剧可k ，f p l ，勖k n o p l ，我们有 ( a y ) ( t ) 卢n m ，y ( s ) ) d s + 卢i k ( y ( t k ) ) 。” 0 ( “ 丁 卢茄t 州。丕t ( 酬) s 譬+ 百0 1 ：p l = 1 因此 i l a y l l 1 i 引l ，掣k n a q l ( 1 2 8 ) 令q 2 = l 掣k ，l i 鲈lj j 峻) ，v y 0 f 1 2 ，可( t ) 6 | l lj = d p 2 ，秀b 么 可0 一乃( t ) ) 引i 掣| i = 6 p 2 ， f 乱“) l 3 0 m 。a x 。 y ( t 勺( ) ) 5 f 1 2 ， i u ( t ) i l = p 2 因此，由( 日。) 得 ( a y ) ( t ) 。f，( s ，v ( s ) ) d s + 白( “) ) 。t 0 是常数，口( 。) = l + s i n t ，t = 2 1 r ，t 女+ 2 = t k + 2 丌，f ( t ，u ) = 2 _ ，r u 2 - 那么 _ 0 口( 。) 出= 2 ”，p 2 雳丽i 5 万j j p j o “t j i 一】 。 1 l i r a m a 矧x 掣_ o l i mminu-+o t e ot 6 o , 2 ，r 】掣锄 ，孙】 让 “_ + o j ” 厶( ) 墨等4 e 卅抽 因此条件( 日1 ) ，( 日2 ) 成立根据定理1 2 1 ，方程( 1 3 1 ) 至少有一个打周期 正解 例子1 3 2 考虑方程 可，( t ) ：一o o g 以) 1s m t m t ) + 丽5c - 4 冒2 一7 i ) e 。一”，t t k = ，r + 一1 ) 7 r ， g ( “) = 厶0 ( “) ) 2 阿( “) i ，。1 2 ，。_ 一 f 1 3 2 1 其中r o 是一固定的常数记o ( t ) = ( 1 0 9 铜 s i n t i ，t = 丌，f ( t ，钍) = 嘉e 4 u 2 e “ t m = t k + 7 r ，即q = 1 经计算得 ! t 8 啪：l 0 9 2 ，6 ：e r m ) 出= ；， 卢= ：考笔者昙兰j = 。，q 一( e c a ( o m _ i ) 一1 = l 我们容易验证当u 0 时f ( t ，“) 是单调递增的选取p 2 = 8 ，那么陋以，p 2 】= 4 8 1 且善；：；，。) ，( t ，6 m ) ：i _ 丌0 0 , v u 68 f ( t l o 【4 ，8 ， 鲁= ；， ，u ) 坤，锄) 2 丌 【4 8 ， 1 5 这样条件( 皿。) 成立选取p t = 2 ，那么d 舞= 蕲1 ，当0 “2 时 ，( 屯钍) ，( 却t ) = 丽5c - 4 4 e 2 = 丢e 一2 0 ，0 = t o t 1 2 。一 知 + 1 = t ，厶cc a ，劢，k = 1 ，p ，且f ：j x r _ r 在t “处连续，f ( g ，u ) ，k ，“) 存在，且f c t i ，“) = f ( t k ，u ) ，如= j t t l ， ， 在本节。我们利用s c h a e 行e r 定理，建立了方程( 2 1 。1 ) ( 2 。1 3 ) 解存在的 一些充分性条件本节以及下面各节，我们将引入下面一些函数空间 p c ( j ) = f u ：j - r ，在t “处连续，u ( o + ) ，u ( 晴) ，u ( 坛) 和u ( t 一) 存 在，且u ( 坛) = u ) ， = 1 ，p ) p c i ( j ) = e c ( s ) ，u i ( “ + 1 ) c 1 ( “，“+ 1 ) ，k = 0 ，p ，t ，( o + ) ，0 口一) ， o ( t ) ，0 心) 存在 ， 分别定义范数i ，。= s u p 心( 吼t 以和【f u l l p c , = f i “l i p c + f i , e i i p c 那 么p c ( j ) ，p c i ( j ) 都是b a n a c h 空间 引理2 1 1 ( s c h a e f f e r 定理) ( 2 1 假设s 是赋范线性空间e 的凸子集， 0 s ，算子f ：s - s 是全连续的定义 h ( f ) = 扣s ：= 卢f ，p ( o ，1 ) ) ， 那么要么集合h ( f ) 是无界的，要么f 在s 中有一个不动点 2 线性问题 在这节，考虑“线性问题” n 7 ( ) 十a “( = 口( 幻，l 而 ( # ) 。”( i ) + 厶( ( t ) ) ，女= 1 ，p ， ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 札( o ) 2u ( t ) ( 2 1 6 ) 为了简便，我们称方程( 2 1 4 ) 一( 2 1 6 ) 为( l p ) 其实( l p ) 并非一个真正的线 性方程，因为脉冲函数厶不一定是线性的 引理2 1 2 1 1 1 钍p c i ( j ) 是( l p ) 的解当且仅当让是积分方程 u ( 。) 2j c g ( t ，s ) 仃( s ) d s + 圣口( t ) ( u ( 姚t j ( 2 1 7 ) 的解，其中 郎一= 南葛蓦篡 m ， 定义算子a ：p c ( j ) - p c ( j ) 为 a u2 j c9 ( t ，s ) 仃( s ) d s + 蚤夕( t ) ( u ( 姚 那么方程( 2 1 ，7 ) 可表示为以下算子方程 u = a u ( 2 1 9 ) 由引理2 1 2 很容易得到 引理2 1 3 札是( l p ) 的解，当且仅当让是方程( 2 1 9 ) 的不动点 定理2 1 1 假定存在常数i k ，k = 1 ，p ，使得 i 厶( z ) 一厶( g ) i k i $ 一y l ，茁，r ( 2 1 1 0 ) 如果 e 咐i k 1 1 一e - a t i ，( 2 1