高考数学试题汇编：第章圆锥曲线方程第节椭圆.doc

第八章 圆锥曲线方程一 椭圆【考点阐述】椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质了解椭圆的参数方程【考试要求】（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程【考题分类】（一）选择题（共4题）1.（福建卷文11）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为 A.2 B.3 C.6 D.8【答案】C【解析】由题意，F（-1，0），设点P，则有,解得，因为，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最大值，选C。【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。2.（广东卷文7）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 A BCD3.（全国卷理12文12）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若，则（A）1 （B）（C）（D）2【答案】B【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，由，得，即k=，故选B.4.（四川卷理9文10）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（A）（B）（C）（D）解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，即F点到P点与A点的距离相等而|FA| |PF|ac,ac于是ac,ac 即acc2b2acc2又e(0,1)故e答案：D（二）填空题（共3题）1.（湖北卷文15）已知椭圆的两焦点为,点满足,则|+|的取值范围为_，直线与椭圆C的公共点个数_。【答案】【解析】依题意知，点P在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当P在原点处时，当P在椭圆顶点处时，取到为，故范围为.因为在椭圆的内部，则直线上的点（x, y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.2.（全国卷理16文16）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为 .【答案】【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【解析】如图，,作轴于点D1,则由，得,所以,即,由椭圆的第二定义得又由,得,整理得.两边都除以,得,解得.3.（上海春卷5）若椭圆上一点P到焦点的距离为6，则点P到另一个焦点的距离是_。答案：4解析：由椭圆的定义知,故。（三）解答题（共20题）1.（安徽卷理19文17，）已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率。 ()求椭圆的方程；()求的角平分线所在直线的方程；()在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。2. （安徽卷文17）椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率。 ()求椭圆的方程；()求的角平分线所在直线的方程。【命题意图】本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力.【解题指导】（1）设椭圆方程为，把点代入椭圆方程，把离心率用表示，再根据，求出，得椭圆方程；（2）可以设直线l上任一点坐标为，根据角平分线上的点到角两边距离相等得.解：（）设椭圆E的方程为【规律总结】对于椭圆解答题，一般都是设椭圆方程为，根据题目满足的条件求出，得椭圆方程，这一问通常比较简单；（2）对于角平分线问题，利用角平分线的几何意义，即角平分线上的点到角两边距离相等得方程3.（北京卷文19）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，离心率是，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P,圆心为P。（）求椭圆C的方程；（）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值。解：（）因为，且，所以所以椭圆C的方程为【命题意图】本题考查了椭圆方程、直线与圆的位置关系以及应用参数法求最值等问题.问题的设置由浅入深，符合学生的思维能力的生成过程，问题的设置也兼顾考查了应用代数的思想解决几何问题的能力.【点评】圆锥曲线问题是每年的必考题型，其试题的难度会有所增加，但是其试题一般都是有梯度的，且此类问题的设置时基于对基础知识、基本能力的考查基础上能力的拔高.求解此类问题往往要应用到代数的方法和思想来求解，故此在平时的学习中要注意对圆锥曲线的标准方程、参数关系、基本方法、基本题型的掌握和熟练.4.（福建卷理17）已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点。（）求椭圆的方程；（）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。【解析】（1）依题意，可设椭圆C的方程为，且可知左焦点为F（-2，0），从而有，解得，又，所以，故椭圆C的方程为。（2）假设存在符合题意的直线，其方程为，由得，因为直线与椭圆有公共点，所以有，解得，另一方面，由直线OA与的距离4可得：，从而，由于，所以符合题意的直线不存在。5.（江苏卷18）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为A,B，右焦点为F，设过点T（）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M，其中m0,设动点P满足,求点P的轨迹设，求点T的坐标设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）解析 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得化简得。故所求点P的轨迹为直线。（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。联立方程组，解得：，所以点T的坐标为。（3）点T的坐标为直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、。（方法一）当时，直线MN方程为：令，解得：。此时必过点D（1，0）；当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。（方法二）若，则由及，得，此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。若，则，直线MD的斜率，直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。6.（江西卷理21）设椭圆：，抛物线：. (1) 若经过的两个焦点，求的离心率；(2) 设，又为与不在轴上的两个交点，若的垂心为，且的重心在上，求椭圆和抛物线的方程【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：，由。(2)由题设可知M、N关于y轴对称，设,由的垂心为B，有。 由点在抛物线上，解得：故，得重心坐标. 由重心在抛物线上得：，又因为M、N在椭圆上得：，椭圆方程为，抛物线方程为。7.（江西卷文21）已知抛物线：经过椭圆：的两个焦点.(1) 求椭圆的离心率；(2) 设，又为与不在轴上的两个交点，若的重心在抛物线上，求和的方程.解：（1）因为抛物线经过椭圆的两个焦点，所以，即，由得椭圆的离心率.（2）由（1）可知，椭圆的方程为：联立抛物线的方程得：，解得：或（舍去），所以，即，所以的重心坐标为.因为重心在上，所以，得.所以.所以抛物线的方程为：，椭圆的方程为：.8.（辽宁卷理20）设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.(I)求椭圆C的离心率；(II)如果|AB|=，求椭圆C的方程.解析：9.（辽宁卷文20）设，分别为椭圆的左右焦点，过的直线与椭圆相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为。（）求椭圆的焦距；（）如果,求椭圆的方程。解：（）设焦距为，由已知可得到直线l的距离所以椭圆的焦距为4.（）设直线的方程为联立解得因为即得故椭圆的方程为10.（全国新卷理20）设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列。（1）求的离心率；（2）设点满足，求的方程解：（I）由椭圆定义知，又，得的方程为，其中。设，则A、B两点坐标满足方程组 化简的则因为直线AB斜率为1，所以得故所以E的离心率（II）设AB的中点为，由（I）知，。由，得， 即得，从而 故椭圆E的方程为。11.（全国新卷文20）设,分别是椭圆E：+=1（0b1）的左、右焦点，过的直线与E相交于A、B两点，且，成等差数列。（）求（）若直线的斜率为1，求b的值。解：（1）由椭圆定义知又（2）L的方程式为y=x+c,其中设,则A，B 两点坐标满足方程组化简得 则因为直线AB的斜率为1，所以即 .则 解得. 12（山东卷理21）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的焦点分别为A、B和C、D。（）求椭圆和双曲线的标准方程（）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1k2=1 （）是否存在常数，使得|AB|+|CD|=|AB|CD|恒成立？若存在，求的值，若不存在，请说明理由。【解析】（）由题意知，椭圆离心率为，得，又，所以可解得，所以，所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为。（）设点P（，），则=，=，所以=，又点P（，）在双曲线上，所以有，即，所以=1。（）假设存在常数，使得恒成立，则由（）知，所以设直线AB的方程为，则直线CD的方程为，由方程组消y得：，设，则由韦达定理得：所以|AB|=，同理可得|CD|=，又因为，所以有=+=，所以存在常数，使得恒成立。【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，（标准答案）本小题主要考查椭圆、双曲线的基本概念和基本性质。考查直线和椭圆的位置关系，考查坐标化、定值和存在性问题，考查数行结合思想和探求问题的能力。解（）设椭圆的半焦距为c，由题意知：，2a+2c=4(+1)所以a=2，c=2，又=，因此b=2。故 椭圆的标准方程为由题意设等轴双曲线的标准方程为，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点。所以m=2，因此 双曲线的标准方程为（）设A（，），B（），P（），则=，。因为点P在双曲线上，所以。因此，即同理可得.则 ，又 ，所以 .故 因此 存在，使恒成立.13.（山东卷文22）如图，已知椭圆过点.，离心率为，左、右焦点分别为、.点为直线上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、，为坐标原点.（I）求椭圆的标准方程；（II）设直线、的斜线分别为、.（i）证明：；（ii）问直线上是否存在点，使得直线、的斜率、满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由.【命题意图】本小题主要考查椭圆的基本概念和性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查数形结合思想、分类讨论思想以及探求解决新问题的能力。【解析】（）解：因为椭圆过点（1，），e=，所以，.又a2=b2+c2，所以，故所求椭圆方程为.（）（i）设点P（，），则=，=，因为点不在轴上，所以，又=2，所以=，因此结论成立。14.（陕西卷理20）如图，椭圆C：的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2, | A1B1|=,()求椭圆C的方程；()设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。15.（陕西卷文20）如图，椭圆C：的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2, | A1B1|=,（）求椭圆C的方程； ()设n 为过原点的直线，l是与n垂直相交与点P，与椭圆相交于A,B两点的直线，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；并说出；若不存在，请说明理由。16.（上海卷理23）已知椭圆的方程为，点P的坐标为（-a，b）.（1）若直角坐标平面上的点M、A(0,-b)，B(a，0)满足,求点的坐标；（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；（3）对于椭圆上的点Q（a cos，b sin）（0），如果椭圆上存在不同的两个交点、满足,写出求作点、的步骤，并求出使、存在的的取值范围.解析：(1) ；(2) 由方程组，消y得方程，因为直线交椭圆于、两点，所以D0，即，设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，则，由方程组，消y得方程(k2-k1)x=p，又因为，所以，故E为CD的中点；(3) 求作点P1、P2的步骤：1求出PQ的中点，2求出直线OE的斜率，3由知E为CD的中点，根据(2)可得CD的斜率，4从而得直线CD的方程：，5将直线CD与椭圆的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内，所以，化简得，又0q 0，即，设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，则，由方程组，消y得方程(k2-k1)x=p，又因为，所以，故E为CD的中点；(3) 因为点P在椭圆内且不在x轴上，所以点F在椭圆内，可以求得直线OF的斜率k2，由知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率，从而得直线l的方程，直线OF的斜率，直线l的斜率，解方程组，消y：x2-2x-48=0，解得P1(-6,-4)、P2(8,3)18.（天津卷理20）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。求椭圆的方程；设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值【命题意图】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力。【解析】（1）解：由，得，再由，得由题意可知， 解方程组 得 a=2,b=1 所以椭圆的方程为(2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),于是A,B两点的坐标满足方程组由方程组消去Y并整理，得由得设线段AB是中点为M，则M的坐标为以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是（2）当K时，线段AB的垂直平分线方程为令x=0，解得由整理得综上。19（天津卷文21）已知椭圆（ab0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（）求椭圆的方程；（）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）. （i）若，求直线l的倾斜角；