（基础数学专业论文）关于几类微分算子特征的研究.pdf

内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 本文围绕微分算子领域中的一个重要问题谱分析中的特征值问 题开展研究首先讨论了一类四阶s l 问题的特征值作为区间端点、 边界条件、方程系数、权函数的函数的连续可微性，利用微分方程及 边界条件得出特征值关于这些参数的微分表达式 文章接着研究了一类2 n 阶s l 问题的特征值作为区间端点、边 界条件、方程系数、权函数的函数的连续可微性，利用微分方程及边 界条件得出特征值关于这些参数的微分表达式 全文共分为三章 第一章是本文所研究问题的背景与主要结果 第二章讨论了一类四阶s t u r m l i o u v 订1 e 问题的特征值的连续 可微性 第三章研究了一类2 n 阶s t u r m _ l i o u v i l l e 问题的特征值的连续 可微性 关键词：特征值，特征函数，连续，可微 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d ya ni m p o r t a n tp r o b l e mi nt h ef i e l do f l- d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s ：s p e c t r a la n a l y s i s f i r s tw ea n a l y z et h ee i g e n v a l u e s o fac l a s so fs t u m l i o u v i l l ep r o b l e m so f4 - o r d e r ，t h e nw ec o n c l u dt h a t t h ee i g e n v a l u e sa r ec o n t i n u o u sa n dd i f f e r e n t i a b l e 如n c t i o n so fa ut h e d a t a ：m e e n d p o i n t s ，m eb o u n d a 巧 c o n d i t i o n s ，t h ec o e 伍c i e n t s a n dt h e w e i g h t 如n c t i o n ，a n dw ef i n de x p r e s s i o n sf o rt h e i rd e 打v a t i v e s t h e nw ec o n s i d e rt h ee i g e n v a l u e so fac l a s so fs t u n n - l i o u v i l l e p r o b l e m s o f2 n o r d e r ，m e nw ec o n c l u dt h a tt h ee i g e n v a l u e s a r e c o n t i n u o u sa n dd i f f e r e n t i a b l e 如n c t i o n so fa l lt h ed a t a ：t h ee n d p o i n t s ，t h e b o u n d a 巧c o n d i t i o n s ，t h ec o e 硒c i e n t sa n dt h ew e i g h t 向n c t i o n ，a n dw ef i n d e x p r e s s i o n sf o rt h e i rd e r i v a t i v e s t h i sp 印e rc o n t a i n st h r e ep a r t s t h ef i r s tp a n ：a ni n t r o d u c t i o no ft h e b a c k 伊o u n do ft h ep r o b l e m sw ei n v e s t i g a t ea n dm a i nr e s u l t sw e o b t a i ni n t h i s p a p e r t h es e c o n d p a r t ： w ec o n s i d e rt h ec o n t i n u i t ya n d d i f f e r e n t i z 如i l i t yo ft h ee i g e n v a l u e so f ac l a s so fs t u r m l i o u v i l l ep r o b l e m s o f4 一o r d e r t h et h i r dp a r t ：w ec o n s i d e rt h ec o n t i n u i t ya n dd i f f e r e n t i a b i l i t y o ft h ee i g e n v a l u e so fac l a s so fs m m 卜“o u v i l l ep r o b l e m so f2 n - o r d e r k e y w o r d s ：e i g e n v a l u e ，e i g e n 凡n c t i o n ，c o n t i n u i t y ，d i f f e r e n t i a b i l i t y 内蒙古师范大学硕士学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示感谢。 签名：日期：年月 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学位 论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容 和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名：京遭青 导师签名： 1 彦j a 日期：刈年万月夕日 第一章问题提出的背景和本文的主要结果 第一章问题提出的背景和本文的主要结果 微分算子是线性算子中最基本也是应用最广泛的一类无界线性算子，在数学物理 及其它工程技术学科中，有许多问题都可以归结为确定的微分算子问题，其研究领域 包括微分算子的亏指数理论、自共轭扩张、谱分析、数值方法以及反问题等许多重要 分支，内容浩瀚本文仅就特征值即点谱问题进行较为深入的探讨，研究了一类四阶 s t u r m - l i o u v i l l e 问题及类2 n 阶s t u 珈一l i o u v i l l e 问题特征值的连续可微性，并 且给出了特征值的微分表达式 1 1 正则s t u r 旷l io u vii ie 问题的特征值 关于s t u r m - l i o u v i l l e 问题的特征值问题国内外学者已做了大量工作，特别是二 阶s t u r m l i o u v i l l e 问题的特征值问题无论是性质上还是计算上都已近乎完备 d a u g e 和h e l f f e r 在文献 4 ，5 中考虑了在限制条件p ( f ) 尼 o ，p ，g ，w c 。下，s l 微分方程一( ) f + 秽= 力删的特征值，得出诺伊曼特征值关于区间端点的微分表达式 允= “2 ( g m ，同时也得出了狄利克雷特征值关于区间端点的微分表达式五_ 一p “， 更一般地得出任意自伴分离边条件的特征值关于区间端点的微分表达式 五k p “2 + “2 ( g m 在此基础上q k o n g 和a z e t t l 对d a u g e h e l f f e r 定理作了推 广，不再假设p ( f ) 觅 0 ，甚至p ( f ) 可以变号，弱化了假设，假设系数可积，做了文献 1 的工作，文献 1 是对文献 4 结果的简单化、直接化、完备化，而且将上述微分表达式 做了统一化，更重要的是证明了这个微分表达式对任意的耦合自伴边条件也成立然 而，特征值不仅依赖于区间端点，而且也依赖于方程系数及边界条件和权函数，于是， q k o n g 和a z e t t l 又对文献 1 做了更进一步的完善，完成了文献 2 的工作他们在 文献 1 的基础上，证明了j 下则s t u r m l i o u v i l l e 问题的特征值是所有参数( 区间端点， 边界条件，方程系数，权函数) 的可微函数，并且给出特征值关于这些参数的微分表达 式 本章是在文献 1 和文献 2 的基础上，讨论了一类四阶s t u 硼一l i o u v i l l e 问题和 类2 n 阶s t u r m l i o u v il l e 问题的特征值的连续可微性，并且给出了特征值的微分 表达式 内蒙古师范大学硕士学位论文 1 2 本文的主要结果 本文主要围绕微分算子领域中谱分析问题中的特征值展开研究全文分为三个部 分，第一章给出了问题提出的主要背景与本文的主要结果：第二章讨论了一类四阶 s l 问题的特征值的连续可微性：第三章讨论了一类2 n 阶s l 问题的特征值的连续可 微性 本文的主要结果： ( 一) 研究了一类四阶s l 问题的特征值作为区间端点、边界条件、方程系数、 权函数的函数的连续可微性，且利用微分方程及边界条件得出特征值关于这些参数的 微分表达式 ( 二) 研究了_ 类2 n 阶s l 问题的特征值作为区问端点、边界条件、方程系数、 权函数的函数的连续可微性，且利用微分方程及边界条件得出特征值关于这些参数的 微分表达式 2 第二章一类四阶s t u r m - l i o u v il e 问题的特征值 第二章一类四阶s t u r m l io u vii le 问题的特征值 关于二阶s t u r m - l i o u v 订l e 问题特征值的连续可微性，q k o n g 与a z e t t l 等在 文献 1 与文献 2 中作了全面讨论，特别是利用微分方程与边界条件给出了特征值关 于区间端点、边界条件、方程系数及权函数的微分表达式本章我们利用同样的方法 研究了一类四阶s t u r m _ l i o u v 订l e 问题在微分方程的不同情形下所确定的特征值，作 为区间端点、边界条件、方程系数及权函数的函数的连续可微性，同时也给出特征值 关于区间端点、边界条件、方程系数及权函数的微分表达式 2 1 第一情形下四阶微分方程的特征值 在这一节，我们将讨论下述四阶微分方程的特征值的连续可微性，并且给出相应 的微分表达式： 一y 4 + g ( 力y = 彳“力y ，x ( 口，6 ) ，o o 口 0 口p 令： ，= 口，6 】，口 口 6 6 ， 边条件： 彳】，( 口) + b 】，( 6 ) = d ，】，= j ， 弘 y 叫 这罩彳，b m 4 。4 ( c ) ，满足： r ( 彳l 曰) = 4 ，( 彳lb ) m 4 。8 ( c ) ， 且a e a 卑= b e b 卑e = 00 o0 01 10 01 10 oo 00 为讨论方便将按以下三类边条件来考虑问题： ( 2 1 1 1 ) ( 2 1 1 2 ) 内蒙古师范大学硕士学位论文 1 分离型自伴边条件： c o s 哕( 口) 一s i n 掣 ) = o ， c o s 缈( 口) 一s i n 缈( 口) = 0 ，0 口 万； c o s 励( 6 ) 一s i n 缈( 6 ) = o ， c o s 缈”( 6 ) 一s i n 励( 6 ) = 0 ，0 万 2 实耦合自伴边条件： 】，( 6 ) = k y ( 口) ， 这里k 乩。( 贸) ，即k 满足： k = 尼l l 七2 l 屯l 尼4 l 毛2 后2 2 霓3 2 尼4 2 毛3 尼2 3 膏3 3 露4 3 ( 2 1 1 6 ) ( 2 1 1 7 ) ( 2 1 1 8 ) ( 2 1 1 9 ) ( 2 1 1 1 0 ) 贸，d e t k = 1 ( 2 1 1 1 1 ) 3 复耦合自伴边条件： y ( 6 ) = p 坩k 】，( 口) ， 这里k 满足( 2 1 1 1 1 ) ，且一万 秒 o 或0 o ，当 缈= 国( 口，6 ，彳，艿，g ，w ) q 时，满足 l i 缈一i i = 口一口。l + i6 6 0l + i i 彳一4o + | ib 一风i l + e 。( 1 虿一玩i + i 影一甄i o ，= 【口，6 】c ( 口，6 ) ，了万 0 ，若满足 ic c o 一 。i + i 尼一厂一川+ lg g 。i + j ：( 1g g 。w w oi ) 万， 则有 iy o ，c ， ，尼，厂，g ，g ，w ) 一y o ，c o ，；，g o ，g o ，w o ) j 占， ( 2 1 2 1 ) fy ( f ，c ，j i l ，露，厂，g ，g ，m ，) 一少( f ，c o ，五o ，后o ，厶，g o ，g o ，m ，o ) l s ， ( 2 1 2 2 ) iy ，c ，j j l ，南，厂，g ，g ，w ) 一j ，( f ，c o ，矗o ，j ，g o ，g o ，w o ) l 譬， ( 2 1 2 3 ) ly ( ，c ，矗，尼，厂，g ，g ，忉一y ( ，气，乃o ，厶，g o ，g o ，) l f ( 2 1 2 4 ) 由定理2 1 2 1 和引理2 1 2 1 可以得到： 弓i 理2 1 2 2 令国o = ( 口o ，6 b ，彳o ，b o ，g o ，o ) q ，兄= 旯( 缈) 是s t u r m l i o u v i l l e 问 题( 2 1 1 ) ，( 2 1 1 3 ) 一( 2 1 1 5 ) 的一个特征值，如果五( 缈。) 是一单特征值，那么在q 中存在的一个邻域膨，使得对于每个缈m 都有五( 缈) 是单的 证明对于方程( 2 1 1 ) 的解y 和特征函数“( ，缈) ，定义 】，= y y t 少 少 ， 【厂= ” “ 甜 “ 分别为向量解与向量特征函数 对于分离型边条件和复耦合边条件特征值总是单的，引理2 1 2 2 显然成立下 面仅就实耦合边条件给出证明： 设五( ) 是单的，这旱= ( 口o ，k 。，w 0 ) q 3 假定结论不成立，则 勋。) cq ，有喀哼，且v 足，允( 魄) 都是重特征值令向量k ，贸4 是两个 线性独立的向量，u ( ，哝) 与u ：( ，峨) 是方程( 2 1 1 ) 在五= 五( 魄) 处满足初始条件 【，( 口，魄) = k ，u ：( d ，q ) = 的向量解，则u 。( ，魄) 与u ：( ，吨) 是满足边条件 u ，( 6 ，彩t ) = k u ，( 口，鳞) ，尼，= 1 ，2 ， ( 2 1 2 6 ) 6 第二章一类四阶s t u r n r l j o u v ii e 问题的特征值 的向量特征函数在( 2 1 2 6 ) 中令七专，由定理2 1 2 1 和引理2 1 2 1 得 艺( 6 ，) = k o 艺0 ，国o ) ，j = 1 ，2 ， 这里巧2 骢c 厂，= 1 ，2 因此i 与艺是五( ) 的两个线性独立的特征函数，这与见( 缈。) 是单的矛盾，因此假设错误，引理2 1 2 2 得证 一个s t u r m _ l i o u v i l l e 问题的正规化特征函数“是指满足f i “1 2 w = 1 定理2 1 2 2 令定理2 1 2 1 中的记号和假设成立 ( 1 ) 若对于某个q ，五( ) 是一单特征值，如= “( ，) 是旯( ) 的一个正规化 特征函数，那么存在五( 缈) 的正规化特征函数“= “( ，国) ，彩q ，使得当缈专时，有 “( ，缈) 寸“( ，) ，“( ，缈) j 甜( ，缈o ) ，“( ，国) 专“( ，缈o ) ，铭( 缈) “( ，国o ) ，( 2 1 2 7 ) ( 2 ) 若在的某一邻域mcq 中，对于v 缈m ，五( 缈) 都是重特征值， 甜= “( ，缈。) 是名( ) 的任一正规化特征函数，那么存在名( ) 的正规化特征函数 “= “( ，缈) ，国q ，使得当国_ 时，有 甜( ，国) 寸“( ，) ，“( ，国) 专甜( ，彩o ) ，“( ，国) 一“( ，缈o ) ，“( 缈) 专甜( ，缈o ) ，( 2 1 2 8 ) 证明首先证明存在特征函数甜( ，彩) ( 不一定是正规化的) 使得( 2 1 2 7 ) 式在 ( 口，6 ) 的任一紧子区间j 上一致成立，对于方程( 2 1 1 ) 的解y 与特征函数”( ，国) 仍用 ( 2 1 2 5 ) 的记号来表示向量解与向量特征函数 ( 1 ) 假定见( ) 是单的，由引理2 1 2 2 ，存在的一个邻域m ，使得对于 v 缈肘，五( 国) 是单的对于v 缈m 选取五( 国) 的一个特征函数“= “( ，缈) ，满足 l iu ( c ，国) i i = l “( c ，缈) l + i “( c ，) i + l 甜”( c ，国) i + | “”( c ，缈) i = 1 ，c ( 口o ，6 0 ) ，口 口o 6 0 o 下面证明当专时， u ( c ，功) 一u ( c ，o ) ， ( 2 1 2 9 ) 由定理2 1 2 1 和引理2 1 2 1 知上式在 口。，6 0 】上是一致收敛的，假设( 2 1 2 9 ) 式不成立，则存在一个收敛于的点列纨，使得当魄j 缈。时，有 【，( c ，纨) 专】， ( 2 1 2 1 0 ) 由于在c 点的正规化，则y 与u ( c ，国。) 是线性独立的 7 内蒙古师范大学硕士学位论文 令z 是方程( 2 1 1 ) 在点缈= 国。的向量解，a = 允( 缈。) 由初始条件z ( c ) = 】厂所确定 由引理2 1 2 。l ，当七寸o o 时，u ( f ，缈。) jz ( f ) 在( 8 ，矽) 的任一紧子区间上是一致成 立的又纨一口t 一口o ，玩_ 6 0 ，于是有 u i ，纨) 一z o ) ，u ( 钆，缈女) 一z ( 6 0 ) ( 觅jo 。) ， 又u ( ，q ) ( 后= l ，2 ) 满足边条件 彳t u ( 以t ，) + b 女u ( 玩，缈i ) = 0 ， 令七一o o 取极限，得 彳o z ( 口o ) + 岛z ( 6 0 ) = 0 ， 因此，z 是元( ) 的一个向量特征函数，又由柯西条件z 与( ，) 是线性独立的，这 与五( ) 是单的矛盾，因此( 2 1 2 9 ) 式成立 ( 2 ) 假设在的某个邻域彪中，对于v 彩毖，z ( 彩) 都是重特征值，令力( 国) 的所 有特征函数( ，缈) 在某点c ( ，) 满足相同的初始条件，证法同上最后将特征函数 矩( ，力) 正规化，证毕 2 1 3 特征值的可微性 定义设r 是一个从b a n a c h 空间x 到b a n a c h 空间】，的映射，如果存在一个线性算 子d z ：x 寸】，对于矗x 满足： i 丁( x + ) 一丁( x ) 一d l ( j i z ) i _ d ( 五) ( 办专o ) ， 则称r 在x x 是f r e c h 6 t 可微的 引理2 1 3 1 设“，v 分别是方程( 2 1 1 ) 对应于五= ，五= v 的解，则： ， y 一) e 掰石w = _ “歹”l 一甜哥”+ 甜”虿一掰”石】： 证明由分部积分法即可证明 引理2 1 3 2 若实值函数满足：厂l 加( 彳，b ) ，则： 娥耵6 厂川f ) 黜 证明由微积分理论即证 定理2 1 3 1 令( 2 1 1 1 ) 成立，对于边值问题( 2 1 1 ) ，( 2 1 1 6 ) 一( 2 1 1 9 ) ， 其中0 口 万，= 万，则有下而的微分方程： 8 第二章一类四阶s t u r l t r l i o u vii | e 问题的特征值 五( 6 ) = 一2 “( 6 ，6 ) “”( 6 ，6 ) 证明由引理2 1 3 1 ，取= 五( 6 ) ，y = 五( 6 + j 1 1 ) ，相应的“= “( ，6 ) ，v = “( ，6 + ) ，又 由边条件得到： 1 万”一“哥+ “”歹。一“哥】( 口) = o ，“( 6 ，6 ) = o ，“”( 6 ，6 ) = 0 ， 于是有 【名( 易+ j 1 1 ) 一力( 易) 】r “( s ，6 ) “( s ，6 + 磊) 以s ) 凼= 甜( 易，枷( 6 ，6 + 磊) + 铭( 易，啪( 6 ，6 + 磊) ，( 书) 又 “t ( 6 ，6 + 五) ：一r 6 - - - ( s ，6 + 厅灿 o = 一r 州s ，6 灿+ n 州s ，6 ) 叫( s ，6 + j l z ) 协， 当 哼o 时，“o ，6 ) 一( j ，6 + 五) 一0 又由引理2 1 3 2 ，得 i 罂堡掣：一( 6 ，6 ) ， _ o玉 同理可得! i 婴掣= 一“( 6 ，6 ) ， o西 又f 甜( s ，易( s ，6 + j 1 1 ) w ( s ) 出专f 甜2 ( s ，6 ) 以s ) 凼= 1 ( j l l 专o ) ， ( 木) 式两边同除以矗，令五专o 取极限，从而有允( 6 ) = 一2 ”( 6 ，6 ) ( 6 ，6 ) 定理2 1 j 3 2 令( 2 1 1 1 ) 成立，对于边值问题( 2 1 1 ) ，( 2 1 1 6 ) 一( 2 1 1 9 ) ， 其中o 口 万，= 三，则有下面的微分方程： 五( 6 ) = 铭2 ( 6 ，6 ) 【窖( 6 ) 一a ( 易) w ( 6 ) 】+ ( 掰) 2 ( 易，6 ) 证明由引理2 1 3 1 ，取= 五( 6 ) ，y = 五( 6 + 办) ，相应的“= “( ，6 ) ，v = “( ，6 + j i l ) ，又 由边条件得到： 【甜哥”一“哥t + ”矿一甜”矿】( a ) = o ，甜( 6 ，6 ) = o ，“( 6 ，6 ) = 0 ， 于是有 彳( 6 + 五) 一五( 6 ) 】f “( s ，6 ) 甜( s ，6 + j i ) w ( s ) 凼= 一“( 6 ，6 ) “( 6 ，6 + j 1 1 ) 一”( 6 ，6 ) “( 6 ，6 + ) ，( ：l ：) 州6 ，6 + 矗) = 一厂。f ( s ，6 + 办灿 由+ h击h = 一j ：g ( 咖( s 占) 凼+ 上g ( s ) 甜( s ，6 ) 一“( s ，6 + 矗) 协+ 9 内蒙古师范大学硕士学位论文 允( 6 + 五) f “( s ，6 ) 似s x 如一a ( 6 + 五) r “ “( s ，6 ) 一“( s ，6 + j i l ) ，以j ) 凼，允( 6 + 五) l “( s ，6 ) 似s x 如一a ( 6 + 五) l “( s ，6 ) 一“( s ，6 + j i l ) ，以j ) 凼， 由田 当| i l 专o 时，材( j ，6 ) 一“( j ，6 + 办) 专0 又由引理2 1 3 2 ，得! i 硬型掣：1 9 ( 6 ) 一五( 6 ) 以6 ) 弦( 反6 ) ， _ o 向 。一 同理可得翱丝圳( 6 6 ) ， 又f “( j ，6 ( s ，6 + ) w ( s ) 出专r “2 ( s ，6 ) 以j ) 出= 1 ( j i lj 0 ) ， 从而有a ( 6 ) = “2 ( 6 ，6 ) g ( 6 ) 一允( 6 ) w ( 6 ) + ( “) 2 ( 6 ，6 ) 定理2 1 3 3 ( 分离型边值问题的特征值一特征函数的微分方程) 令( 2 1 1 1 ) 成立，对于边值问题( 2 1 1 ) ，( 2 1 1 6 ) 一( 2 1 1 9 ) ，其中 0 口 万，0 万，则有下面的微分方程： 五( 以) = 2 甜( 口，口) ”( 口，口) 一“2 ( 口，口) g ( 口) 一五( 口) 口) 卜( “) 2 ( 口，口) ， ( 2 1 3 3 ) a ( 6 ) = 一2 甜( 6 ，6 ) “( 6 ，6 ) + “2 ( 6 ，6 ) 【g ( 6 ) 一五( 6 ) 以6 ) 】+ ( “) 2 ( 6 ，6 ) ( 2 1 3 4 ) 证明显然定理2 1 3 3 是定理2 1 3 1 和定理2 1 3 2 的一般情形，这里就省略 不证了 定理2 1 3 4 ( 耦合边值问题的特征值一特征函数的微分方程) 令( 2 1 1 1 ) 成立，对于边值问题( 2 1 1 ) ，( 2 1 1 1 1 ) ，( 2 1 1 1 2 ) ，这里 一万 口万，则有下面的微分方程： 兄( 口) = 2r e 甜( 订) 矿( 口) 卜l “1 2 ( 口) g ( 口) 一五( 口) m i n ) 卜l “1 2 ( 口) ， ( 2 1 3 5 ) 旯( 6 ) = 2r e 【“( 6 ) 历( 6 ) 】+ i 甜1 2 ( 6 ) 【g ( 6 ) 一五( 6 ) m _ ( 6 ) 】+ l “1 2 ( 6 ) ( 2 1 3 6 ) 证明这罩( 2 1 3 5 ) 式与( 2 1 3 6 ) 式的证法相似，下面仅证( 2 1 3 6 ) 式，首先 推导下式： ( 一吲”，“，一材) ( 6 ) = ( 刚，z f ”，州( 6 ) lo 一1oo io010 io ool i1 o 00 l o 第二章一类四阶s t u r m - l i o u v ii e 问题的特征值 = e 埘( “”，一“”，矩，一“) ( 口 = g 田( “”，一“”，“，一材) ( 口) ( j k ) ， 两边取共轭得 ( 历，一石”，石，一万) ( 口) = p 坩( 订，一历，万，一万) ( 6 ) k ( 木木) 于是 【允( 6 + j 1 ) 一无( 6 ) 】f 咖= _ 面刮+ “歹叫哥】： 又 = 一( 歹，一矿”，哥，可) ( c6，+e哥”i，可”，哥，一可，t6+壳，曼t =cc矿”，一歹”，矿，一哥，c6+矗，一c哥”，一歹，哥，一哥，c6，f兰 l i m 缸啼0型生攀：万( ( 6 ) 一五( 6 ) w ( 吼 五 、7 。 塑坠掣：前l ，( 6 ) ， 以 翌堂譬塑司t ( 6 ) ， 、7 型掣：司( 易) ， 五 、一 ( 6 ) ， ( 丰) ( 木) 式两边同除以五，令矗寸0 取极限，于是得到( 2 1 3 6 ) 式 定理2 1 3 5 令缈= ( 口，6 ，彳，b ，g ，w ) q ，旯= 五( 缈) ，“= “( ，缈) 是边值问题 ( 2 1 1 ) ，( 2 1 1 3 ) 一( 2 1 1 5 ) 对应于五的一个f 规化特征函数若条件 ( 1 ) 五( ) 是一单特征值；( 2 ) 在缈的某个邻域mcq 中每一点尸处，五( 一是重特 征值之一成立那么 分离型边条件( 2 1 1 6 ) 一( 2 1 1 9 ) 的特征值名关于变量口，是连续可微的； o o o o 0 l 0 0 仃o o o 0 o o 1 1 o o 0 0 o o o o 0 l o h ” 。l 、， 易 m 加 m 加 m 加 h “ h * h n 内蒙古师范大学硕士学位论文 耦合边条件( 2 1 1 1 1 ) ，( 2 1 1 1 2 ) 的特征值名关于变量口，k 是连续可微的； 一般边条件( 2 1 1 3 ) 一( 2 1 1 5 ) 的特征值旯关于变量g ，w 是连续可微的 微分表达式如下： 1 固定国的其它变量，令五= 力 ) ，“= “( ，口) ，则五是可导的，且 五。( 口) = 一2r e ( “订斗“历) ( a ) ， ( 2 1 3 7 ) 2 固定的其它变量，令五= 兄( ) ，留= 掰( ，) ，则五是可导的，且 a ( ) = 2r e ( 材矿+ 材历) ( 6 ) ， ( 2 1 3 8 ) 3 固定缈的其它变量，令兄= a ( 口) ，“= “( ，秒) ，则兄关于9 可导，即对任意的秒，满 足一万 目 o 或o 口 刀有： 旯( 口) = 一2i m ( “订”+ “瓦) ( 6 ) ， ( 2 1 3 9 ) 4 固定缈的其它变量，令允= 五( k ) ，“= ( ，k ) ，假定k 满足( 2 1 1 1 1 ) 式，则见是 f r e c h 6 t 可微的，且它的f r e c h 6 t 微分如下： c 己k ( j 7 ) = ( 订”，一历”，万，一历) ( 6 ) 欣一 斗， “l 其中h 膨4 。4 ( 吼) ，且k + 日配4 ( 婀) 5 固定缈的其它变量，旯作为g ( 口，6 ) 的函数，则五是f r e c h 6 t 可微的，且它的 f r e c h 6 t 微分如下： 眠( 五) = f 掰阮乃三1 ( 口，6 ) ， ( 2 1 3 11 ) 6 固定国的其它变量，五作为w r ( 口，6 ) 的函数，则名是f r e c h 6 t 可微的，且它的 f r e c h 6 t 微分如下： 幽。( 五) ：一名r i 甜1 2 矗，j l ；( 盘，6 ) ( 2 1 3 1 2 ) ： 幽。( 五) = 一名li 甜1 2 矗，j l ；三1 ( 盘，6 ) ( 2 1 3 1 2 ) ： 证明由于( 2 1 3 7 ) 式与( 2 1 3 8 ) 式的证法相似，下面仅证( 2 1 3 8 ) 式， 由边条件得 拼歹”一材歹”+ ”矿一材”哥】( 口) = o ，于是 【名( + 办) 一名( ) 】r 甜歹w = 一t a n 打( 6 ) 歹”( 易) + t a n ( + 磊) “( 6 ) 矿”( 6 ) 一t a n 缸”( 6 ) 歹( 6 ) + t a n ( + 五) “”( 6 ) 可( 6 ) 1 2 第二章一类四阶s t u r r i r l i o u v j il e 问题的特征值 = t a n ( + 五) 一t a n 】“( 6 ) 歹”( 6 ) + 【t a n ( + ) 一t a n ”( 6 ) 矿( 6 ) ， a ( ) = t a n 2 h ( 6 ) 历( 6 ) + ”( 6 ) 历( 6 ) + t a n 2 h ( 6 ) 历( 6 ) + “( 6 ) 订( 6 ) = “( 6 ) 万”( 6 ) + “( 6 ) 订”( 6 ) + “( 6 ) 万( 6 ) + “”( 6 ) 订( 6 ) = 2 r e “( 6 ) 订”( 6 ) + “( 功万”( 6 ) 】 下证( 2 1 3 9 ) 式， 帕 咒( 目+ j j l ) 一a ( 秒) i “歹w 啦 = 一( 哥，一矿，歹，一哥) ( 6 ) “i p + ( ，一哥，哥，一矿，c口，f量c口， =一p徊c矿”，一哥，歹，一矿，c6，k引c口，+p“口+肿c歹”-，可，矿，一歹，c6，k = p 徊( 矿”，一可”，矿，一哥) ( 6 ) k口) ( p m 一1 ) ， 旯，c侈，=把埘t访”l，一百”，石，一历，c6，k曼1c口， =“历”，一历”，历，一历，c6，耋。1c6， = 2l m ( “历”+ “”历) ( 6 ) 下证( 2 1 3 1 0 ) 式， 【五( k + 日) 一五( ) 】f 沂w 1 3 妻卜， ，l 1i-=-1 h 驴驴” = 一8 坩( 可，一矿”，可，一矿) ( 6 ) = ( 矿”，一可”，可，一可) ( 6 ) j j 口【- 1 = ( 订，一万，访，一万) ( 6 ) 月k 1 内蒙古师范大学硕士学位论文 牛 +p徊c矿”-，一歹”，可，一可，c6xk+何，妻c口， + ( 矿”一万川，石矿，可一万，万一可) ( 6 ) 肷_ 因此，五( k + h ) 一兄( h ) = ( 订，一订”，万，一面) ( 6 ) 删一 ” 材i 1 ( 6 ) + d ( h ) ”l l ，j 由f r e c h 6 t 微分的定义得( 2 1 3 1 0 ) 式 ( 2 1 3 1 1 ) 式与( 2 1 3 1 2 ) 式的证法相似，下面证( 2 1 3 1 2 ) 式， 【五( g + j i i ) 一五( g ) f 咖= 【“哥l 托歹- + “歹l 甜矿 ：+ f 厕= f z 万五，哪哪州 这里一【“可”_ “。矿+ “”矿- _ “”歹】：= o ， 于是有【五( g + j i z ) 一五( g ) ( 1 + d ( 1 ) ) = e i “1 2 矗+ d ( 办) ， a ( g + ) 一兄( g ) = 【f l 甜1 2 l z + d ( 五) 】( 1 + d ( 1 ) ) 一= f i 甜1 2 办+ d ( 矗) ，a ( g + ) 一兄( g ) = 【ll 甜1 2 l z + d ( 五) 】( 1 + d ( 1 ) ) 一= li 甜1 2 办+ d ( 矗) ， n- 口 以( ) = f l 甜陬 _ ( 口，6 ) 2 2 第二情形下四阶微分方程的特征值 这一节，我们将讨论下述四阶微分方程的特征值的连续可微性，并且给出相应的 微分表达式： 一( p ( x ) y t ) - + 曰( x ) y = 力w ( x ) y ，x ( 口，) ，0 0 订 o 口巴 ( 2 2 1 1 ) 令： ，= 口，6 】，口 口 6 6 ， 边条件：彳y c 以，+ b y c 6 ，= 。，y = 。未，l 。= 这里么，曰m 4 4 ( c ) ，满足： ，( 彳ib ) = 4 ，( 彳l 曰) m 叙g ( c ) ， 且a 翻宰= 胞口木，e = o0 o o o一1 10 0一l 1o o0 00 为讨论方便将按以下三类边条件来考虑问题： 1 分离型自伴边条件： c o s 掣( 口) 一s i n 缈( 口) = o ， c o s 口( ”) ( 口) 一s i n 口( ) ( 口) = o ，o 盯 万； c o s 4 少( 6 ) 一s i n 乒少( 6 ) = o ， c o s ( ”) ( 6 ) 一s i n ( ”) ( 6 ) = o ，0 万 2 实耦合自伴边条件： 】厂( 6 ) = k 】，( 口) ， 这里k 乩。( 孵) ，即k 满足： k = 毛， 尼2 l 后3 l 尼4 l 毛： 尼2 2 也2 尼4 2 毛3 尼2 3 后3 3 七4 3 毛。 后2 4 屯。 尼4 4 ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 7 ) ( 2 2 1 8 ) ( 2 2 1 9 ) ( 2 2 1 1 0 ) ，仍，d e tk = 1 ( 2 2 1 1 1 ) 3 复耦合自伴边条件： y ( 6 ) = p 旧k y ( 口) ， ( 2 2 1 1 2 ) 这罩k 满足( 2 2 1 11 ) ，且一万 秒 o 或0 0 ，当 国= 缈( 口，6 ，彳，曰，l p ，g ，w ) q 时，满足 l i 缈一缈。l | = i 口一口。l + l6 6 0l + i | 彳一彳。l l + l ib b 。| | + ( 11 芦一l 歹。l + i 虿一玩l + l 谚一甄i o ，j = 【以，6 】c ( 口，6 ) ，j 万 o ，若满足 lc c 。i + lj i l 一i + l 七一尼。i + i 厂一厶i + ig g 。i + f ( i1 p 一1 p 。i + lg g 。l + 1w 一i ) 6 ， 则有 lj ，( f ，c ，办，尼，g ，1 p ，g ，w ) 一y ( f ，c o ， o ，尼o ，厶，g o ，1 p o ，g o ，) i 占， ( 2 2 2 1 ) iy o ，c ，五，尼，厂，g ，l p ，g ，w ) 一y ( f ，c o ，矗o ，七o ，厶，g o ，1 p o ，g o ，w o ) i g ， ( 2 2 2 2 ) l ”o ，g 矗，尼，g ，1 p ，g ，w ) 一”o ，c o ，五o ，足o ，厶，g o ，1 p o ，g o ，w o ) i ， ( 2 2 2 3 ) i ( 刀”) ( f ，c ，办，七，厂，g ，1 p ，g ，们一( ”) ( f ，c o ，| j z o ，后o ，j ，g o ，1 p o ，g o ，w 0 ) i o ， 下面证明当缈哼时，