（应用化学专业论文）隐含波动率曲面的半参数拟合.pdf

分类号 u d c 密级金亚 学校代码! q 垒窆2 武多凄理歹大署 学位论 文 题目隆金选边空堂鱼煎主叁麴垫金 一 英文一t h e s e m i p a r a m e t r i cf i t t i n gf o rt h ei m p l i e dv o l a t i l i t y 一 题 目 姓名吴传生职称塾撞 学位谴 指导教师 单位名称盍墨里三盘堂堡堂堕邮编 申请学位级别 4 3 0 0 7 0 论文提交日期塑! 旦：lq 论文答辩日期 冱芝。u 学位授予单位盛婆墨三盘堂学位授予日期 答辩委员会主席阻评阅人鑫型丞肆幽 2 0 1 0 年1 1 月2 0 本人声明，所呈交 及取得的研究成果t o 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得武汉理工大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 v 签名：一镥讥 学位论文使用授权书 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定， 即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权武汉理工大学可以将本学位 论文的全部内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 其他复制手段保存或汇编本学位论文。同时授权经武汉理工大学认 可的国家有关机构或论文数据库使用或收录本学位论文，并向社会 公众提供信息服务。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生c ：嗜吼导师( 签名，i 煳哆日期加| o j 乙 摘要 随着金融市场的发展，金融衍生品包括期货，期权也经历了迅猛的发展， 交易量持续攀升。而怎么对期权进行定价是摆在人们面前的一个重大课题。1 9 7 3 年，金融学家b l a c k 和s c h o l e s ，m e r t o n 等人进行了这方面的基础理论的研究，得 出了现在被称为金融的第二次革命的期权定价公式( b l a c k s c h o l e s 公式) 。而在 期权交易中以及金融风险的管理中，人们更多的是关注波动率的表现，而显然 b s 公式中关于波动率是常数的假设是不合理的。而得到相对准确的波动率就显 得非常必要了。 初期对隐含波动率的研究中，一般是把波动率看成执行价格或者存续期的 一元函数，从而忽略了二者整体上对隐含波动率的影响。所以把隐含波动率看 成执行价格与存续期的一个二元的确定函数，在整体上对隐含波动率进行建模 预测出相对比较精确的数值就是一个非常有意义的研究方向了。 在本文中，我们提出了一种关于隐含波动率曲面新的建模方法半参数 因子模型，它是具有时变系数的半参数模型，新建立的模型能很好的处理隐含 波动率数据的非常分散的数据串结构。在数据的处理上，根据隐含波动率具有 函数型特征，提出了函数型的主成分分析方法，通过在有限维的函数空间近似 隐含波动率曲面，在设计数据点的邻域拟合数据，达到了对隐含波动率曲面的 降维。然而这又可能会导致严重的模型偏差，通过在有限维的函数空间近似隐 含波动率曲面，在设计数据点的邻域拟合数据解决了这一问题，这实际上是整 体运用了函数型的主成分分析方法和附加模型的b a c k f i t i n g 方法。最后引入从 1 9 9 8 年到2 0 0 1 年5 月的d a x 指数隐含波动率数据，经过简单的数据处理，对每 日的隐含波动率数据进行拟合，并通过编程实现。通过与基准模型的比较，我 们发现相对于粘性内在价值模型，我们建立的半参数因子模型有更好的预测表 现。 本文的创新点有两个方面，一是对隐含波动率的建模提出了一个较新的模 型，而这对隐含波动率的预测表现有了实质上的提高起到了关键的作用；二是 在具体的实证分析中，综合运用了前人在隐含波动率建模时采用的方法，在数 据处理的复杂度和精确度方面有了一定的改进。在全文的总结中，也提出了针 对隐含波动率的预测方面进一步的研究方向。 关键词：隐含波动率曲面，半参数因子，函数型主成分分析，附加模型 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to ff i n a n c i a lm a r k e t s ，f i n a n c i a ld e r i v a t i v e s ，i n c l u d i n g f u t u r e s ，o p t i o n s ，a l s oe x p e r i e n c e dar a p i dd e v e l o p m e n t ，t r a d i n gv o l u m ec o n t i n u e st o i n c r e a s e a n dh o wi st h ep r i c i n go fo p t i o n si sam a j o ri s s u e i n1 9 7 3 ，f i n a n c i a l p r o f e s s o rb l a c ka n ds c h o l e s ，m e r t o nw e r et h eb a s i so ft h i st h e o r e t i c a ls t u d y , o b t a i n e d n o wk n o w na st h es e c o n dr e v o l u t i o ni nf i n a n c i a lo p t i o np r i c i n gf o r m u l a ( b l a c k s c h o l e sf o r m u l a ) i no p t i o n st r a d i n g , f i n a n c i a lr i s km a n a g e m e n t ，p e o p l ea r e m o r ec o n c e r n e da b o u tt h ep e r f o r m a n c eo fv o l a t i l i t y , b u to b v i o u s l yb sf o r m u l ai s c o n s t a n to nt h ea s s u m p t i o nt h a tv o l a t i l i t yi su n r e a s o n a b l e a n dv o l a t i l i t ya r er e l a t i v e l y a c c u r a t ei ti sv e r yn e c e s s a r y e a r l ys t u d yo ni m p l i e dv o l a t i l i t y , i ti sg e n e r a l l yr e g a r d e d a sa o n ev a r i a b l ef u n c t i o n o ft h ee x e r c i s ep r i c eo rt h em a t u r i n gd a t e ，b u tn e g l e c to fb o t hf a c t o r s o v e r a l li m p a c t o nt h ei m p l i e dv o l a t i l i t y t h e r e f o r e ，t a k i n gt h ei m p l i e dv o l a t i l i t ya sat w ov a r i a b l e s f u n c t i o no ft h ee x e r c i s ep r i c ea n dt h e m a t u r i n gd a t e ，a n dr e m o d e l i n gi m p l i e d v o l a t i l i t yi sav e r yi n t e r e s t i n gr e s e a r c hd i r e c t i o n i nt h i sp a p e r f o rt h i sp u r p o s eo n ef i t st h ei v se a c hd a ya n da p p l i e sap r i n c i p a l c o m p o n e n ta n a l y s i su s i n gaf u n c t i o n a ln o r m t h i sa p p r o a c h ，h o w e v e r , n e g l e c t st h e d e g e n e r a t e ds t r i n gs t r u c t u r eo ft h ei m p l i e dv o l a t i l i t yd a t aa n dm a yr e s u l ti na s e v e r e m o d e l i n gb i a s w ep r o p o s ead y n a m i cs e m i - p a r a m e t r i cf a c t o rm o d e l ( d s f m ) ，w h i c h a p p r o x i m a t e st h ei v si naf m i t ed i m e n s i o n a lf u n c t i o ns p a c e t h ek e yf e a t u r ei st h a t w eo n l yf ti nt h el o c a ln e i g h b o r h o o do ft h ed e s i g np o i n t s o u ra p p r o a c hi s a c o m b i n a t i o no fm e t h o d sf r o mf u n c t i o n a lp r i n c i p a lc o m p o n e n ta n a l y s i sa n db a c k f i t t i n gt e c h n i q u e sf o ra d d i t i v em o d e l s t h em o d e li sf o u n d t oh a v ea na p p r o x i m a t e1 0 b e t t e rp e r f o r m a n c et h a nas t i c k ym o n e y n e s sm o d e l i n n o v a t i o no ft h i sp a p e rh a st w oa s p e c t s ，f i r s t l y , w ep r o p o s e dar e l a t i v e l yn e w m o d e lo nt h ei m p l i e dv o l a t i l i t y , w h i c hp l a y e dak e yr o l ei ns u b s t a n t i a l l yi m p r o v e d f o r e c a s tp e r f o r m a n c e ；s e c o n d l y , o nt h ee m p i r i c a la n a l y s i s ，w eo v e r a l lu s et h ec l a s s i c m o d e l so ft h ei m p l i e dv o l a t i l i t yw h i c hu s e di nd a t ap r o c e s s i n g i nt h et e x to ft h e s u m m a r y , p o i n t so u tt h ed i r e c t i o n so ff u r t h e rr e s e a r c ho ni m p l i e dv o a l t i l i t y k e y w o r d s ：i m p l i e dv o l a t i l i t ys e m i p a r a m e t r i c p c aa d d i t i v em o d e l l i 目录 摘j 1 2 ：】【 a b s t r a c t 1 i 第1 章绪论1 1 1 选题的背景与意义1 1 2 相关研究概述2 1 2 1 国外研究现状2 1 2 2 国内研究现状4 1 3 研究思路与方法4 第2 章期权市场基本理论_ 。6 2 1 期权的基本概念6 2 2 影响期权价格的因素7 2 3b l a c k s c h o l e s 期权定价模型9 2 3 1b l a c k s c h o l e s 期权定价的理论基础。9 2 3 2b l a c k s c h o l e s 期权定价公式的推导1 2 第3 章波动率的研究方法概述1 6 3 1 波动率的定义1 6 3 2 波动率模型1 7 3 2 1 内生波动率模型1 7 3 2 2 隐含波动率模型2 3 第4 章半参数因子模型及实证研究2 7 4 1 半参数因子模型2 7 4 2d a x 指数隐含波动率曲面的动态因子3 2 4 2 1 数据描述与准备3 2 4 2 2 实证分析3 3 4 3 预测比较4 1 第5 章结论与展望4 2 致谢4 ：i 参考文献4 4 武汉理工大学硕士学位论文 第1 章绪论 金融资产的波动率在金融风险管理、投资组合以及期权定价的应用中是一 个重要的参数。而盒融产品价格变化的波动性表示的是市场的不确定性，因此 波动率主要是由交易本身决定的。对在波动率模型的研究方面，以前主要集中 在随机模型上，但过去的一些年来，通过著名的b l a c k s c h o l e s ( b s ) 公式，当期权 价格已知的情况下，对隐含波动率的研究现在也越来越多的受到了重视。 1 1 选题的背景与意义 在2 0 世纪的后几十年来，金融衍生品得到迅猛的发展，逐渐地成为金融市 场中交易量最活跃的品种，对全球经济来说也产生了重要的影响。据国际清算 银行的统计显示，仅仅在2 0 0 6 年最后一季全球衍生品交易的金额已经高达4 31 万亿美元，几乎是全球g d p 总量的1 0 倍。在经济全球化的今天，随着金融衍 生品交易的日益增强，国际贸易的定价中心逐步转移到衍生品上来，它的价格 发现功能极大的促进了世界市场经济的发展，成为引导经济行为的重要因素之 一，而金融衍生品在风险管理中的应用也为市场经济中各个组织和企业提供了 规避风险和转移风险的可能，使其逐渐成为经济运行的稳定器和金融危机的缓 冲器。任何事物都有其两面性，特别是对金融产品来说，监管和创新永远都是 一对难以调和的矛盾。近几十年的金融衍生品的发展实际上是伴随着金融自由 化的深入不断发展的，及时的监管措施严重滞后，又由于金融衍生产品的独特 的杠杆效应，导致由美国次贷危机引起的全球金融海啸，至今各发达国家经济 仍难以摆脱经济停滞的泥沼。但我们有理由相信，随着配套的监管措施的到位， 金融衍生产品的发展一定会更加的蓬勃，对实体经济的发展与引导将再次发挥 难以估量的作用。 但金融资产以及金融衍生品的风险确实是不可忽视的。金融衍生产品最大 的一个特征就是其杠杆性，也就是我们所说的保证金交易，投资者或套保者只 需要用较少的保证金便能做成好些倍于保证金的交易。而正如我们熟知的，风 险与收益是成正比的，收益越高，那么风险就越大。历史上在因为衍生品交易 发生巨亏而导致公司倒闭的事情比比皆是。因此如何防范衍生品交易的风险成 武汉理工大学硕士学位论文 为继衍生产品定价后一个非常热门的话题。 1 9 7 3 年，美国哈佛大学教授b l a c k 和斯坦福大学教授发表了具有划时代意 义的论文期权定价及公司债务。在文中，在一系列的假设条件下，他们得到 了无分红的欧式期权的定价公式，也就是著名的b l a c k s c h o l e s 公式。这是期权 定价发展史上的一个里程碑，两人并且因此而获得诺贝尔经济学奖。由于他们 的工作，使得原本空洞的期权定价有了理论的依据，并且为其他衍生品的定价 打了坚实的基础，推动了定价理论的飞跃式发展。 从金融工程的角度而言，金融风险实际上在数学上的表达就是随机变量序 列的标准差，也就是俗称的所谓波动率，而期权交易很多时候被人们形象的称 呼为“波动率交易”。而本文要讨论的隐含波动率正是在风险管理中经常应用的重 要参数。 而隐含波动率正是从著名的b l a c k s c h o l e s 期权定价公式中倒推得到的。在 b l a c k s c h o l e s 模型中，一共出现了六个参数：期权价格c ，到期日期权的执行价 格或者交割价格k ，市场的无风险利率，期权的存续期f ，期权的标的资产的 价格s 以及波动率仃。如果已知s ，k ，f ，以及c ，那么我们就可以同 b l a c k s c h o l e s 公式反解出隐含波动率仃。而对隐含波动率的建模也都是基于这 样的理论。 。 随着对隐含波动率的不断地研究发现，b l a c k s c h o l e s 期权定价公式中关于 波动率是常数的假设是不合理的。因为我们发现通过b l a c k s c h o l e s 公式得到的 关于期权的理论价格与实际观察到的期权价格是不一致的，出现了明显的偏差。 如果b l a c k s c h o l e s 模型是正确的，那么对于相同标的资产的欧式期权来说，对 应的隐含波动率是相同的，但事实并非如此。对于不同期限和交割价格的期权， 隐含波动率往往是不一样的，出现了所谓的“波动率微笑”和“波动率期限结构” 的现象。 1 2 相关研究概述 1 2 1 国外研究现状 对于隐含波动率模型，目前已经有的研究一般可以分为两类，确定性隐含 波动率模型与随机隐含波动率模型。 与传统局部波动率模型类似，确定性隐含波动率模型简单假设隐含波动率 2 一_-_-_-_-_-_一 武汉理t 大学硕士学位论文 的变动与时间、标的资产价格或期权的内在价值( m o n e y n e s s ) 之间存在确定性关 系，模型并不引入新的风险源来描述隐含波动率表面的变动。这类模型 d e r m a n 眈1 提出的粘性行权价规贝i j ( s t i c k ys t r i k er u l e ) 、粘性d e l t a 法贝, l j ( s t i c k yd e l t a r u l e ) 及d a g l i s h h u l la n ds u o 3 1 的平稳时间平方根规则( s t a t i o n a r ys q u a r er o o to f t i m er u l e ) 等为代表。粘性行权价规则假定隐含波动率是关于行权价格和期限的确 定性函数，并且随着时间的变动该函数关系不变，粘性d e l t a 价格规则则是假定了 隐含波动率是关于期权在值程度和期限的确定性函数，而平稳时间平方根规则 假定隐含波动率是关于在值程度和期限的平方根比值的确定性函数。本质上说， 不同的确定性隐含波动率模型就是对隐含波动率表面提出了不同的静态拟合方 法，并且假设静态拟合模型随时间是不变的。d a 西i s h ，h u l la n ds u o 用o t c 市场 s & p 5 0 0 期权的月度数据对这三种规则进行了实证检验，结果发现在整个样本期 内，粘性行权价规则效果较差，而后两种规则都有较好的解释力度。 第二类隐含波动率模型为随机隐含波动率模型，s c h o n b u c h e r 1 刀首先提出了 随机隐含波动率模型的基本框架，他假设隐含波动率的变动由几个风险源驱动， 并设这些风险源与标的股票价格风险源相关，类似于利率模型中m 的分析方 法。他通过引入无套利条件得到隐含波动率在风险中性测度下的漂移项的限制， 其漂移完全由波动项决定，在不需要任何关于风险价格形式的假设下，得到了 风险中性测度下隐含波动率的动态过程，从而提供了复杂衍生产品定价的方法。 然而s c h o n b u c h e r 的分析只是基于某个特定的隐含波动率，l e d o i tu 等把以上模 型扩展到了整个隐含波动率表面的情形，并用内在价值和期限分别替代行权价 和到期日来建模。并且，他们还证明了一个重要的结论，即期限趋于零的平价 期权的隐含波动率等于标的股票的瞬时波动率，这就建立起了隐含波动率和股 票瞬时波动率之间的关系，从而通过期权市场提取出标的股票的波动率信息。 c o n ta n dr o s e n b e r 9 1 8 l 使用了非参数的方法来分析隐含波动率表面的动态过程，他 们用k a r h u n e n l o e v e 分解技术对d a x 和s & p 5 0 0 指数期权的隐含波动率表面的 动态过程进行了实证分析，结果得到了一个三因子模型。d a 酉i s h ，h u l la n ds u o 用了无套利分析方法研究隐含波动率表面的变动，并假设波动率风险溢酬为零， 把风险中性测度下隐含波动率漂移项的限制应用于现实测度中，对s & p 5 0 0 指数 期权隐含波动率表面变动做了实证分析。h a f n e ra n ds c h m i d 2 u 用一个四因子参 数模型对d a x 指数期权的隐含波动率进行建模，他们使用的是两步估计法，首 先对隐含波动率表面进行静态拟合，然后对静态拟合得到的参数的时间序列再 进行建模和估计，最后再通过隐含波动率漂移项无套利限制条件估计出各因子 3 的风险价格，从而得到风险 n 也是运用了类似的参数法分析s & p 5 0 0 指数隐含波动率表面的动态过程，他 们也足用两步估计法，首先通过静态拟合得到一个五因子模型，并用向量自同 归w a r ) 模型对得到的五个因子的时间序列建模。r o s e n b e r g u 4 1 提出了一个动态 隐含波动率方程模型( d l v v 3 ，他假设隐含波动率是关于平价隐含波动率、内在 价值和期限的确定性函数，通过对平价期权隐含波动率随机过程的建模得到整 个波动率表面的动态过程。 1 2 2 国内研究现状 目前在国内还没有关于隐含波动率的半参数模型的研究，本文是在这方面 得首次尝试。但半参数模型包含两个部分，一个是参数估计，一个是非参数估 计，在这两个方面，其实国内已经进行很多的研究分析，特别是参数估计已经 比较成熟。在非参数估计方面，目前主要涉及的就是对光滑方法和降维方法的 研究上面，在近一两年内，也有这些方面的研究，比如在函数型数据的处理上。 比如2 0 0 6 年，张崇岐2 4 1 等在论文( ( n e wd e v e l o p m e m so nf u n c t i o n a ld a t aa n a l y s i s ) ) 中介绍了将函数数据表示为光滑曲线的方法，并提出了进一步研究和应用的一 些问题。 2 0 0 8 年，毛娟眩3 1 详细介绍了利用多项式基进行的非参数拟合以及函数型主 成分分析。 1 3 研究思路与方法 经验研究表明，根据b l a c k s c h o l e s 期权定价公式求得的一系列隐含波动率值 具函数型特征，即对于某一天的市场报价，当固定存续期t 时，呈现曲线的形态； 不固定t 时，呈现曲面的形态。基于这种特征，本文引进一种从函数视角对数据 进行分析的全新方法一函数型数据分析，并将其运用于隐含波动率的分析中。本 文旨在对隐含波动率曲面的半参数建模并对函数型数据分析的理论方法进行系 统的研究，在理论方面获得一些创新，并结合理论编出m a t l a b 程序为隐含波动率 的分析提供新思路、新方法。具体研究工作分为三个部分： 第一部分为第1 、2 章。第1 章绪论介绍了本文的选题背景及意义，综述了国 内外研究现状，并提出了研究思路。第2 章重点介绍了期权市场理论，这是后续 章节研究分析存在的金融背景。 4 武汉理工大学硕+ 学位论文 第二部分为第3 、4 章，是本文的核心和创新所在。我们提出了一种关于隐含 波动率曲面的新的建模方法，它能很好的处理隐含波动率数据的非常分散的数 据串结构。这是因为我们应用了函数型的主成分分析方法以及附加模型 b a c k f i t i n g 方法。与其他模型不同的是，我们通过在设计点的邻域去拟合基函数 来达到对隐含波动率的降维。并因此避免了偏差效应。对从1 9 9 8 年到2 0 0 1 年5 月 的d a x 指数隐含波动率数据进行变换，用一系列基函数反映出单个隐含波动率 串和曲面的动态性。从以前的文献中我们知道，这些基函数可以解释为期限结 构，内在价值坡度效应以及期限结构的扭曲效应。在文中，我们研究了参数权 重的时间序列性质，以及通过拟合向量自回归模型的建模方法。通过与基准模 型的比较，我们发现相对于粘性内在价值模型，我们建立的半参数因子模型有 更好的预测表现。 第三部分为结论部分，为全文的总结，指出了进一步的研究方向。 5 武汉理工大学硕七学位论文 第2 章期权市场基本理论 2 1 期权的基本概念 期权是一种能在未来特定时间以特定价格买进或卖出一定数量的特定资产 的权利，但没有必须买进或卖出的义务。期权交易事实上就是这种权利的交易， 买方有执行的权利也有不执行的权利，可以灵活选择。 期权分为看涨期权和看跌期权两种。看涨期权( c a l lo p t i o n ) ，是指期权持 有者具有在某一确定时间或之前以某一个确定的价格买入标的资产的权利；看 跌期权( p u to p t i o n ) ，正好相反，是指期权持有按照具有在某一确定时间或之前以 某一个确定的价格出售标的资产的权利。期权赋予期权的持有人买入或卖出的 权利，但没有这样的义务，也就是说，到期后，期权持有人可以选择执行期权 或者选择不执行期权，具体视执行期权对持有人是否有利而定。 在三种情况下期权持有人会选择执行期权：1 、期权的双方通过对冲的方式 了结手中的期权头寸；2 、买方也可以将期权转换为期货合约的方式执行( 在期权 合约规定的执行价格水平获得一个相应的期货头寸) ；3 、任何期权到期不用，自 动失效。如果期权是虚值，期权买方就不会行使期权，直到到期任期权失效。 这样，期权买方最多损失所交的权利金。 期权也是一种合同，其中的条款是已经规范化了的，具有普遍性和统一性。 期权合同主要有五项要素：期权种类、标的资产、权利金、执行价格和合约到 期日。其中，期权种类须指出该期权是看涨期权还是看跌期权；标的资( u n d e r l y i n g a s s e t ) 且p 期权合同的多头执行权利时所买入或卖出的资产，不仅包括股票、债券、 货币、利率等金融资产，也可以是黄金及其他一些商品；权利金( p r e m i u m ) y 称 期权费，是期权的价格。它是期权合同中唯一的变量是由买卖双方在国际期权 市场公开竞价形成的；执行价格( s t r i k ep r i c e ) 是指期权的买方行使权利时事先规 定的买卖价格。执行价格确定后，在期权合同规定的期限内，无论价格怎样波 动，只要期权的买方要求执行该期权，卖方就必须以此价格履行义务；合同到 期日( m a t u r i t y ) ；是指期权合同必须履行的最后日期。 从期权的是在到期日行权还是在有效期内行权来看，可以分成美式期权和 欧式期权。欧式期权是只能在到期日当日才能对期权进行行权，而美式期权则 6 武汉理工大学硕士学位论文 是在期权的有效期内均可以行权。这是二者最大的区别，而不是从地域上进行 区分的。但欧式期权通常比美式期权更容易进行分析，著名的b s 公式就是通过 对无分红的欧式股票期权进行分析得出的，而美式期权的性质一般也是通过对 应的欧式期权推导得出的。 一个期权合约有交易的双方。一方是期权多头的持有者，另一方式期权空 头的持有者。一般来说，一共有四种基本的期权头寸：看涨期权的多头，看跌 期权的多头，看涨期权的空头，看跌期权的空头。由于期权合约时一个零和游 戏，期权的承约方与期权的购买方的损益状况正好是相反的。下面我们看看期 权的损益状况。 下面以k 代表执行价格，以& 代表标的资产在到期日当天的价格，我们考 虑个欧式的看涨期权，这时其多头的损益可以表示为m a x ( s t k ，0 ) 。此时， 当s t k ，就会执行期权；而s tsk 时就不会执行期权。同理，欧式看跌期权 多头的损益为m a x ( k s t ，0 ) ，由于期权合约时一个零和游戏，期权的承约方与 期权的购买方的损益状况正好是相反的，所以对应的欧式看涨期权空头的损益 和欧式看跌期权空头的损益与上面列出的正好相反。 2 2 影响期权价格的因素 期权价格是由内涵价值和时间价值两部分决定的，即期权价格= 内涵价值+ 时间价值。内涵价值是指立即执行期权合约时可获取的利润。对于看涨期权来 说，内涵价值为执行价格低于标的物价格的差额；对于看跌期权来说，内涵价 值为执行价格高于标的物价格的差额。时间价值是指期权有效期内标的资产价 格波动为期权持有者带来收益的可能性所蕴含的价值。一般来说，在其它条件 一定的情况下，到期时间越长，标的资产价格波动越大，期权的时间价值越大。 我们知道，到期日当天的期权价格由内涵价值( 执行价格和标的物价格的差) 来决 定，但在到期日以前影响期权价格的因素却有很多，想要确定期权价格就必须 了解这些因素。当不考虑预期红利支付时，共有五个重要因素： 标的物价格、期权执行价格、标的物的价格波动率、距到期日的剩余时间、 无风险利率。我们现在简要分析一下这几个因素是怎样影响期权价格的： 7 一、标的物价格 我们知道，看涨期权是 执行价格是一定的，如果标 涨期权的内涵价值就会增加，在不考虑时间价值的情况下，看涨期权的价值也 就随着增加；同理，因为看跌期权是以某一特定价格卖出一定数量标的物的权 利，执行价不会变，所以标的物价格越低，执行价格和标的物价格的差，即看 跌期权的内涵价值就会越高，看跌期权的价值也会增加。 二、执行价格 对于看涨期权，执行价越高，买方盈利的可能性越小，所以此时看涨期权 会相对便宜，相反执行价越低看涨期权会越贵。同理分析看跌期权，执行价越 高，买方盈利的可能性越大，所以此时看跌期权会相对较贵，执行价低则会比 较便宜。 三、标的物的价格波动率 无论看涨期权还是看跌期权，当标的物的价格波动率增大时期权的价值会 随之增加。我们知道，期权的损益是不对称的，波动率越大意味着买方可能获 利的概率越大，当然买方面临损失的概率也相应增大，但是因为买方面临的最 大损失就是期权的权利金，风险已经被锁定，而如果标的物价格向买方有利的 方向波动，获利却是不断增加的，所以波动率对期权的价值产生正的影响。 四、期权的有效期 在其它条件相同的情况下剩余时间多的期权会比剩余时间少的期权价格高。 这是因为距到期日的剩余时间越多，标的物就越有充分的时间向买家有利的方 向变动，随着到期日的临近，发生变动的机率也会减小，时间价值也就会逐渐 减少。但时间价值的减少速度与剩余时问的减少并不成比例，在距离到期同还 有很多天时，时间价值的减少是相当缓慢的，而当距到期f 1 没有几天的时候时 间价值的减少速度会变得非常快。 五、无风险利率 无风险利率是指期权交易中的机会成本。我们来看一下买入看涨期权和买 入标的资产的区别。如果买入了看涨期权，只要先付权利金后付款就可以，而 买入现货要马上付款。也就是说相对于买入现货来说，买入看涨期权具有延迟 付款的效果，那么利率越高对看涨期权的买方来说也就越有利，即随着利率的 增加，看涨期权的价格随之增加。而买入看跌期权要比买入现货晚收到货款， 所以看跌期权的价格随利率增加而减少。 8 武汉理工大学硕+ 学位论文 从以上的分析可知，标的物价格和执行价格是决定期权价格的重要因素， 它们决定一个期权是实值期权、虚值期权还是平值期权；价格波动率是十分关 键的因子，也是最难预测的，事实上其他因子都可以很方便的观测到，做期权 的实质就是做波动率；距到期目的剩余时间也对期权价格有着影响，表现为时 间越长，权利金越高。因为到期时间越长，期权内涵价值和时间价值越高；无 风险利率对期权价格的影响较为复杂。利率的变化，影响期权合约标的资产的 预期价格和期权的持有成本。以利率上升为例，会增加市场对资产的价格预期， 从而造成看涨期权的价格上升，看跌期权的价格下跌。同时，却会增加期权的 持有成本，从而造成期权的价格下跌。一般认为，前者的影响占据主导地位。 2 3b l a c k s h o l e s 期权定价模型 1 9 7 3 年，在这一年哈佛商学院教授布莱克( b l a c k ) 和斯坦福大学教授斯克尔斯 ( s c h o l e s ) 发表了他们关于期权定价的经典论文期权定价与公司债务，在文中 他们提出的模型被称为b l a c k - - s c h o l e s ( 简称b s ) 模型，在一些简单的假设条件下， 研究了不支付红利的欧式看涨期权以及欧式看跌期权的定价方法，掀起了对期 权进行理论定价的场革命。凭借这一开创性的工作，二人在1 9 9 7 年第二十九 届诺贝尔经济学奖，以表彰他们为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍 生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。 2 3 1b l a c k s c h o l e s 期权定价的理论基础 1 、风险中性理论 风险中性理论( 又称风险中性定价方法r i s kn e u t r a lp r i c i n gt h e o r y ) 表达了资本市场中的这样的一个结论：即在市场不存在任何套利可能性的条件 9 武汉理工人学硕士学位论文 下，如果衍生证券的价格依然依赖于可交易的基础证券，那么这个衍生证券的 价格是与投资者的风险态度无关的。也就是说风险没有溢价收益，投资组合只 获得无风险收益。这个结论在数学上表现为衍生证券定价的微分方程中并不包 含有受投资者风险态度的变量，尤其是期望收益率。 风险中性价原理是约翰考克斯( j o h nc a r r i n g t o nc o x ) 和斯蒂芬罗斯 ( s t e p h e na r o s s ) 于1 9 7 6 年推导期权定价公式时建立的。由于这种定价原 理与投资者的风险制度无关，从而推广到对任何衍生证券都适用，所以在以后 的衍生证券的定价推导中，都接受了这样的前提条件，就是所有投资者都是风 险中性的，或者是在一个风险中性的经济环境中决定价格，并且这个价格的决 定，又是适用于任何一种风险态度的投资者。 2 、无套利原理 金融市场上实施套利行为非常的方便和快速，这种套利的便捷性也使得金 融市场的套利机会的存在总是暂时的，因为一旦有套利机会，投资者就会很快 实施套利而使得市场又回到无套利机会的均衡中，因此，无套利均衡被用于对 金融产品进行定价。金融产品在市场的合理价格是这个价格使得市场不存在无 风险套利机会，这就是无风险套利定价原理或者简称为无套利定价原理。 在有效金融市场上，如果有套利机会的存在，那么套利者就可以通过购买 被低估的金融资产，沽空被高估的金融资产，从而使得被低估的金融资产由于 需求增加，导致价格上升，而被高估的金融资产的供给增加，导致价格下降， 最终使得被高估的和被低估的金融资产的套利空间消失，从而达到价格均衡。 b l a c k s c h o l e s 期权定价模型也是建立在无套利的原理之上的，在一定的条 件下，期权收益可以通过“复制 策略来得到，这个策略通过复制到期时的期 权收益，因此其初始成本等于期权价格，不然就会有套利机会。下面我们看看 无套利原理的特征： 其一，无套利定价原理首先要求套利活动在无风险的状态下进行。当然， 在实际的交易活动中，纯粹零风险的套利活动比较罕见。因此实际的交易者在 套利时往往不要求零风险，所以实际的套利活动有相当大一部分是风险套利。 其二，无套利定价的关键技术是所谓“复制 技术，即用一组证券来复制 另外一组证券。 复制技术的要点是使复制组合的现金流特征与被复制组合的现金流特征完 全_ 致，复制组合的多头( 空头) 与被复制组合的空头( 多头) 互相之间应该 完全实现头寸对冲。由此得出的推论是，如果有两个金融工具的现金流相同， l o 武汉理工大学硕士学位论文 但其贴现率不一样，它们的市场价格必定不同。这时通过对价格高者做空头、 对价格低者做多头，就能够实现套利的目标。套利活动推动市场走向均衡， 并使两者的收益率相等。因此，在金融市场上，获取相同资产的资金成本 一定相等。产生完全相同现金流的两项资产被认为完全相同，因而它们之 间可以互相复制。而可以互相复制的资产在市场上交易时必定有相同的价 格，否则就会发生套利活动。 其三，无风险的套利活动从即时现金流看是零投资组合，即开始时套利者 不需要任何资金的投入，在投资期间也没有任何的维持成本。 3 、有效市场假说有效市场理论( e f f i c i e n tm a r k e t sh y p o t h e s i s ，简称e m h ) ， 始于1 9 6 5 年美国芝加哥大学著名教授尤金法玛在商业学刊( j o u r n a lo f b u s i n e s s ) 上发表的一篇题为证券市场价格行为的论文。并于由尤金法玛 ( e u g e n ef a m a ) 于1 9 7 0 年深化并提出的。该理论认为投资者都积极通过获得 信息来获得更高的报酬；证券价格对市场信息的反应是敏感迅速的，也就是说 证券价格的形成是市场信息的博弈的结果；市场的竞争使得证券价格从一个均 衡水平过渡到另一个均衡水平。 有效市场理论有三种形态，包括弱式有效市场理论、半强式有效市场 理论、强式有效市场理论。 弱有效证券市场是指证券价格能够充分反映价格历史序列中包含的所 有信息，如有关证券的价格、交易量等。如果这些历史信息对证券价格变 动都不会产生任何影响，则意味着证券市场达到了弱有效。该理论认为在 弱式有效的情况下，市场价格己充分反应出所有过去历史的证券价格信息， 包括股票的成交价、成交量、卖空金额，融资金融等。 半强有效证券市场是是指证券价格不仅能够体现历史的价格信息，而 且反映了所有与公司证券有关的公开有效信息，如公司收益，股息红利， 对公司的预期，股票分拆，公司间的购并活动等。该理论认为价格已充分 所应出所有已公开的有关公司营运前景的信息。这些信息有成交价、成交 量、盈利资料、盈利预测值，公司管理状况及其它公开披露的财务信息等。 假如投资者能迅速获得这些信息，股价应迅速作出反应。 强有效证券市场是指有关证券的所有相关信息，包括公开发布的信息 和内部信息对证券价格变动都没有任何影响，即如果证券价格已经充分、 及时地反映了所有有关的公开和内部信息，则证券市场就达到了强有效市 场。强式有效市场理论认为价格己充分地反应了所有关于公司营运的信息， 1 1 武汉理工大学硕士学位论文 这些信息包括已公开的或内部未公开的信息。 以上的理论与假说是b l a c k 和s c h o l e s 在进行期权定价的一个基本的理 论基础，为了利于分析的方便，我们还做了如下的一些假设： ( 1 ) 股票价格是连续的，且服从对数正态分布； ( 2 ) 无风险利率是常数且对所有到期日都相同； ( 3 ) 期权的标的股票在有效期内没有现金流的支付，即无红利； ( 4 ) 只适用于欧式期权，即期权只能在合约的到期日才能被执行。美式期 权由于可以在到期日之前的任何时间执行，因此使期权成为实值期权的可 能性大了很多，很难估计其价格： ( 5 ) 买卖股票或期权无交易成本和税收的限制，并且股票交易是连续的； ( 6 ) 期权和标的股票卖空没有限制； ( 7 ) 不存在无风险套利机会。 基于以上的假设，我们就可以通过构造一个由一个期权的多头和一个 对应的股票的空头组成的投资组合。在这样的组合里，我们不能通过对冲 来得到超额利润的话，那么期权在市场上就是一个合理的价格。如果把期 权市场与股票市场联系起来，那么投资者就可以通过调整组合中各个头寸， 形成一个完全相互抵补的资产组合，也就是风险的对冲。这样构成的资产 组合中，在无风险套利的情况下，资产组合的收益率就是市场的无风险收 率，期权价格达到均衡。通过上述的思想，就能得至1 b l a c k s c h o l e s 偏微分方 程，在求解这个微分方程后，我们便可以得到关于