（机械设计及理论专业论文）渐开线环形齿球齿轮传动强度计算方法研究.pdf

国防科学技术大学研究生院学位论文 摘要 随着机器人等仿生技术的发展，机械墨程的发展遗切需要多自出度盼新型齿轮机构的 出现，球齿轮机构的出现正邋应了这种需隳，因此引起正程界的广泛关注并获得大力支持 研究。渐开线环形齿球齿轮馋为齿轮家族中的裁成员，楣关研究工佟褥到国内商关部门的 大力支持。在国家壹然科学蒸衾静资韵下，文l l 羞重对箕传魂理论及荚麓工工艺方法进行了 深入的研究，本文在文【1 l 的研究结果基础上，着重对渐开线环形齿球齿轮的齿廓曲面几何特 征及其传动强魔进行深入分析研究，建立了进行渐开线环形齿球齿轮传动强度计算的有效 方法，结束了逮辩遴轮自发骥激来筵动强发诗算方法长期姣乏熬爨瑟。本文主要磷究结果： i 证明了中凸齿齿根弯髓承载能力的丈小直接决定了球齿轮副的弯曲承载能力，这就 为其弯曲强度分析计算提供了基础模型依据。 2 提出了变截面悬臂粱弯曲计算中的立方抛物线方法，为环形泼球齿轮弯曲强度计算 审惫险截蘑整瓣确定及其名义应力蘸诗冀撵供了有效瓣诗算方法。 3 确立了渐开线环形齿球齿轮的弯曲承载能力计髯的一般方法，填补了环形齿球齿轮 弯曲承载能力计算方法方面的空白。 4 ，在分撰臻究齿癣| 巍纛参数方程形式及其徽分几秘特蛙戆基懿土，导是了复杂貔巧 形齿球齿轮裔廓曲面上任一点的曲率半径计算公式，鼯出了环形齿球齿轮齿廓馥筒在啮合 点处的共轭齿廓曲面曲率半径计算公式，为其接触强胰计算提供了必要的参数依据。 5 在赫数理论基础上，提出了环形齿球齿轮接触强度计算公式，解决了环形嫩球齿轮 羧融强震诗冀瓣技零难题。 6 研究蒸于a n s y s 的球齿轮参数化模型生成技术及其有限元分析技术。利用a n s y s 软件成功的完成了环形齿球齿轮传动的数值模拟仿真分析，取得了大量有效的数据计算结 鬃。蒡剩雳摆芙诗算结果戆对晓误差计冀，对嚣形意球蠢轮抟动强度理论计算方法进行了 裔效的验证证明，并进一步提出了基予膏限元分析结祭的应力计算与相关参数的交纯规 律，更深入地证明了环形齿球齿轮传动强度理论计算方法的正确性、可行性。 燕键词：球齿轮传动，齿面参数方程，计算模型，应力，强度，有限元法 繁i 页 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fr o b o ta n db i o m e c h a n i c st e c h n o l o g y ，t h em e c h a n i c a le n g i n e e r i n g d e v e l o p i n ge a g e r l ye x p e c t st h ea p p e a r a n c eo fan e wg e a rw i t hm u l t i d e g r e eo ff r e e d o m ，s p h e r i c a l g e a rw e l l - t i m e d l ym e e t st h en e e d , s oi th a sb e e ng r e a t l yp a i da t t e n t i o nt oa n dt h er e s e a r c ho ni t h a sb e e ns u p p o r t e dv e r ym u c ho nt h ew o r l d r i n gi n v o l u t es p h e r i c a lg e a ri so n et y p eo f t h i sg e a r ， c o r r e l a t i v er e s e a r c hh a sb e e ng r e a t l ys u p p o r t e da l s oi no u rc o u n t r y g r a n t e db yn a t i o n a lf u n do f n a t u r a ls c i e n c es u p p o r t ，r e s e a r c ho nt h ed r i v ep r i n c i r l eo fr i n gi n v o l u t es p h e r i c a lg e a r ss y s t e m a n dm a c h i n i n gt e c h n i c sm o t h e dh a sb e e nc a r r i e do u tt h o r o u g h l yi nt h ep a p e r t “b a s e do nt h e c o n c l u s i o no ft h ep a p e r 【“，w ec a r e f u l l ys t u d yt h et o o t hs u r f a c eg e o m e t r i c a lc h a r a c t e r i s t i co ft h e r i n gi n v o l u t es p h e r i c a lg e a ra n di t sd r i v i n gs t r e n g t hi nt h i sp a p e r t h em a i np r o d u c t i o no ft h i s p a p e ri sf o l l o w i n g ： 1 i ti sp r o v e dt h a tt h es t h e n g t ho ft h em i d d l e - c o n v e xt o o t hd i r e c t l yd e c i d e st h ed r i v i n g a b i l i t yo ft h es p h e r i c a lg e a r ，a n dt h i s 百v e su sab a s i cg c o m “c a lm o d e lf o rt h eb e n d i n g t h e n 舀ha n a l y s i sa n di t sc a l c u l a t i o n 2 t h ec u b e p a r a b o l am e t h o do ft h ec a l c u l a t i n gb e n d i n gs t r e n g t ho fv a r i n g s e c t i o nb e a m i sp u tf o r w a r d ，i ti sv a l u a b l ea n dh e l p f u lf o ru st of i n dt h ed a n g e rs e c t i o np o s i t i o no f t h e t o o t ho f ar i n gi n v o l u t es p h e r i c a lg e a ra n dt oc a l c u l a t et h et h e o r e t i cc o r r e c ts t r e s s 3 b e n d i n g l o a dc a p a c i t yc a l c u l a t i o nm e t h o do fr i n gi n v o l u t es p h e r i c a lg e a ri ss e tu p ，i t f i l l su pt h eb l a n ko f t h i sk i n do f m e t h o da b o u tr i n gi n v o l u t es p h e r i c a lg e a r 4 t h ep a r a m e t e re q u a t i o no ft h et o o t hs u r f a c ea n di t sd i f f e r e n t i a lg e o m e 试c a l c h a r a c t e r i s t i ci ss t u d i e d b a s eo nt h es t u d y i n gr e s u l t ，t h ec a l c u l a t i o nf o r m u l ao ft h e c u r v a t u r er a d i u sa tar a n d o mp o s i t i o np o i n ta n da ti t sc o n j u g a t ep o i n to nt h er i n gt o o t h f l a n ki sb u i l tu p ，w h i c h p u tf o r w o r dv a l u a b l ep a r a m e t e r sf o rt h ec o n t a c tp r o b l e m s a n a l y s i sa n dc a l c u l a t i n g 5 b a s i n go nh e r t zt h e o r y ，c o n t a c tt h e n g t hc a l c u l a t i o nf o r m u l ai sp u tu p ，w h i c hf i l l su pt h e b l a n ko f t h i sk i n do f m e t h o da b o u tr i n gi n v o l u t es p h e r i c a lg e a r 6 t h em e t h o do ft h e s p h e r i c a lg e a rp a r a m e t e rm o d e lb u i l d i n ga n di t s f i n i t ee l e m e n t a n a l y s i su n d e rt h ea n s y sc i r c u m s t a n c e i ss t u d i e d t h o r o u g h l y t h er i n gi n v o l u t e s p h e r i c a lg e a r sn u m e r i c a ls i m u l a t i n ga n a l y s i sw i t ht h ea n s y ss o f t w a r ei sc a r r i e d o u t ，a n dag r e a tn u m b e ro fr e s u l t si so b t a i n e d a c c o d i n gt ot h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h e r e s u l t so ff i n i t ee l e m e n tc a l c u l a t i o nm e t h o d sa n do ft h es e r i e st h e o r e t i e a lm e t h o d s t h e s e r i e st h e o r e t i c a lm e t h o d sm e n t i o n e da b o v ei sp r o v e dr i g h ta n da c c e p t a b l e i na d d i t i o n ， t h ef e a t u r ec h a n g i n gr e g u l a t i o nb e t w e e nt h ef i n i t ee l e m e n ts t r e s sc a l c u l a t i n gr e s u l ta n d i t sc o r r e l a t i v ep a r a m e t e ri se s t a b l i s h e d ，t h o s em o r ep r o v e st h a tt h es e r i e st h e o r e t i c a l m e t h o d so f f i n gi n v o l u t es p h e r i c a lg e a ri sr i g h t k e y w o r d ：s p h e r i c a lg e a r ，t o o t hf l a n kp a r a m e t e re q u a t i o n ，c a l c u l a t i n gm o d e l ，s t r e s s ，s t r e n g t h f i n i t ee l e m e n t 第1 i 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文楚我本人在导师指导下进行的研究工作及淑得 的研究成皋尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其谴人已经发表和撰写遗的研究成果，也不包含为获得国防辩带技术大学或冀它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡藏蘧墓在论文孛俸了胡确懿谎臻箨表示落意。 学位论文题目一逝孟垡丕壁堂趣逝缝佳邈堡缝i 土篡虚洼觋巍 学俊论文嫠孝签名：立：鏖遂 誉絮：御夸年f ? z z s 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学精关保留、使用学位论文的规定。本人授权 国防辩学技术大学可l ；乏傈瞽并囱国容有关部门或税构送交论文的复印伟和曦予 文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 痒连纛稔裳，可获采蠲彩晕、臻帮或羟弦等囊翻手段保存、汇鳊学位论文。 ( 保密学位论文农解密后适用本授权书。) 学经论文题嚣： 邋差塞蔓蒸蓬撼蓬整莹叠爨蕴釜莲麦鎏瑟塞 学位论文作者签名：生：塞选日期：z 硝斗年f 月z z 日 作者指导教师擞：涟查垒秘期：卅每盯月妒疆 国防科学技术大学研究生院学位论文 第一章绪论 1 1 论文研究背景、意义及课题来源 2 0 世纪8 0 年代初期，挪威工程师o l e m o n l a n g 发明了世界上第一个基于球齿轮传动的t r a l i f a 喷 漆机器人柔性手腕机构。这种齿轮结构形式如图卜1 所示，它与传统的齿轮相比，具有多自由度特征，传动 灵活，能够模拟自然界中大多数生物关节所具有的多 自由度运动特征。这种齿轮一出现就立即引起了世界 各国的密切关注和大力支持。普遍认为t r a l l f a 球齿 轮的发明为传统机械传动领域中开辟一块新天地。 图1 一lt r a l l f a 球齿轮 然而，这种新发明_ t r a l l f a 球齿轮除了被用在喷漆机器人柔性手腕机构中外，并没 有得到快速推广，可见其自身有着难以克服的局限性。究其原因主要有两条：一、从外观 上看，t r a l l f a 球齿轮是在一个球冠上分布若干个离散凹坑齿，在另一球冠上分布有相同数 量的圆锥形指状齿，其运动及力的传递是通过凹齿和指状齿的点啮合实现，由于其啮合点 不在运动平面内，而其齿廓曲线是直线，使得其运动不满足齿廓啮合基本定理，导致不能实 现精确给定传动比的球面运动；二、其外观结构形状复杂，制造难度太大，使其加工成本过 高。在9 0 年代初期，我国从国外引进一个t r a l l f a 喷漆机器人柔性手腕机构，其售价高达 2 万美金；另一方面，球齿轮传动是一个新的研究领域，尚缺乏系统深入的理论研究。在此 背景之下，国防科学技术大学潘存云教授 博士导师 发明了渐开线环形齿球齿轮，并在两 项国家自然科学基金( 项目编号：5 9 2 7 5 1 5 9 、5 9 6 7 5 0 6 3 ) 资助下，进行了球齿轮传动原理及 应用研究和渐开线球齿轮切削加工理论与试验研究两项专题研究。 潘教授的研究成果，建立了渐开线球齿轮传动理论体系。但将这项发明推广应用于工 程实际，还遇到“工程设计对于通常设计的机械零件产品( 球齿轮) 必须有强度设计、强度 校核计算保证书”这一必然性的要求。而渐开线环形齿球齿轮与其它各类机械零件完全不 同，无法找到类似可以借鉴的强度设计计算规范，这一事实成了将这项发明推广应用到工 程实际中的首要障碍。因此，对渐开线环形齿球齿轮的几何物理特性进行深入透彻的研究， 找出相应的强度计算方法，建立起相应强度设计准则，成为了将这项发明推广应用研究途 中必不可少的环节。 i 2 有关齿轮强度计算方法及其分析研究综述 多自由度球齿轮的出现，导致人们早已习以为常的各种圆柱齿轮和圆锥齿轮都归结于 传统单自由度传动齿轮范围之内。与此相关的强度计算理论及方法总称传统单自由度齿轮 第l 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 强度计算理论及方法。 渐开线环形齿球齿轮的传动强度计算方法研究是本文的直接主题。对传统单自由度齿 轮和t r a l l f a 球齿轮的强度计算理论方法及其有关研究过程进行分析，可为本文课题研究 提供有效的研究方法指导和借鉴途径。 1 2 1 单自由度齿轮强度计算方法及其研究发展简介 1 8 9 2 年路易斯( w l e w i s ) 首先提出轮齿的弯曲强度计算公式，1 9 0 8 年威迪基( e v i d 6 k y ) 运用赫兹( h r h e r t z ) 提出的弹性接触应力理论进行齿面应力计算公式，路易斯的齿轮弯 曲强度计算公式威迪基的齿面应力计算公式，奠定了今天的齿轮强度计算公式的基础。在 当今世界各国，齿轮强度计算主要以国际i s o 标准我国国标直接借鉴此标准修订而成 ( 参见文) 、西德的d i n 标准、美国的a g m a 标准、英国的b s 标准、日本的j g m a 和j s m e 为主，这些标准都是直接以路易斯的弯曲强度计算公式和威迪基的齿面应力计算公式为基 础发展而形成的【舶l 。 自路易斯提出轮齿的弯曲强度计算公式至今已有一百多年。在此期间，关于齿轮强度 的研究一直延续着。由于齿轮轮齿的弯曲强度和接触强度计算理论基础、分析对象、及其 适应范围各不相同，其研究历程途径、研究方法及其有关系数计算也各不相同，以下分开 来进行适当说明。 齿根弯曲强度及其齿形系数【4 6 】 由于渐开线齿轮齿根应力计算不能象简单悬臂梁弯曲应力计算那样给定梁的参数，故 路易斯提出把轮齿当作与其内切的抛物线梁( 悬臂梁) 来考虑，以抛物线梁的弯曲应力作为 齿根应力的计算方法，这种齿根应力计算方法至今还是齿轮齿根应力计算的主流。其中关 于危险截面的确定方法是如图1 2 ( a ) 所示，以垂直于齿面的载荷作用线和齿形中心线的 交点作为抛物线的顶点，连接齿形的内切抛物线和齿根过渡曲线的切点的断面b c 即为危险 截面。 d ) 内切抛物线法6 ) 3 0 。切线法 c ) 白汉金法d ) 尼曼格劳别兹法 图l 一2 危险端面决定法 同时，由于齿根弯曲强度的研究，必须在其与基准齿条刀具的形状关系基础上来进行， 为此路易斯导入了齿形系数的概念，其系数值按放大的齿形图用图解法求出。 从路易斯时代齿轮制造和使用来看，其计算方法对齿顶受载情况下的弯曲强度已经考 虑得比较充分了。但由于如图1 2 ( a ) 所示内切抛物线求危险截面方法比较复杂，随后人们 第2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 研究了替代计算方法。目前的计算方法有如图i - - 2 ( b ) 所示霍法( h h o f e r ) 提出的3 0 。切线 法、图1 2 ( c ) 所示白金汉法和图1 2 ( d ) 所示尼曼格劳别兹法。其中，3 0 。切线法是以 连接于齿形中心线成3 0 。的直线在齿根圆角处的切点的平面作为危险断面，取载荷作用线 和齿形中心线的交点与危险断面的距离作为梁的高度，利用内切抛物线法的齿形系数计算 式计算系数值。这种方法以i s 0 标准为首，被广泛采用。在观察轮齿的弯曲疲劳折断情况 时，开始破裂的位置被看作是危险断面的位置，这个位置是不固定的。并且用由光弹性实 验所验证，3 0 。切线法所得危险断面位置，和内切抛物线法相比，从位置上来说，在实用上 没有大的差别。又从强度计算公式中其他一些系数的精度来看，它不是影响强度计算结果 的主要因素，因而大多采用计算过程简单的3 0 0 切线法的齿形系数。白金汉法是从载荷线 和齿形中心线的交点作齿根圆角的切线，连接两切点作为危险断面的方法。尼曼格劳别 兹法是从载荷作用点到载荷线与齿形中心线交点连线的中点作齿形过渡曲线处的切线，连 接两切点作为危险断面的方法，这种方法通过光弹性试验的验证，被认为是最能反映最大 齿根应力位置的方法。 齿根应力集中修正系数 在齿轮弯曲强度计算时，有必要考虑齿根圆角部分应力集中和切口效应等因素的影 响。目前关于构件应力集中的研究，在国际上影响较大的有 日 西田正孝专著应力集中 1 5 2 1 、【美】r e 彼德森专著应力集中系数 5 3 1 及 前苏联 r h 萨文和b 1 4 杜尔契合著 应力集中手册1 5 4 。在这些著作中都提到了有关齿根应力集中修正系数的分析计算，但 这些分析计算研究无一例外都是建立光弹性试验基础上的。由此可见，对于齿轮齿根应力 修正计算系数的计算，其相关计算公式都是由试验统计数据的总结和归纳得出的：同时， 由于各个研究者的研究方法和试验结果数据各异，必然导致各标准中计算公式各不相同。 在国内，没有发现相关研究专著论文，工程构件( 含齿轮) 应力集中系数的数值计算主 要是参照萨文和杜尔契编著的应力集中手册来计算完成的。 齿面接触强度【4 6 l 齿轮的齿面接触强度计算的基本考虑方法是按齿面不发生接触疲劳损伤来计算齿面 接触强度的，即按作用于齿面的重复接触应力不超过许用接触应力进行设计校核计算。一 般是用赫兹弹性接触理论得出的齿面接触应力作为判断齿面是否发生损伤的指导，主要考 虑因素有齿廓几何形状、材料、齿面接触状态及其对载荷分配的影响、轮齿几何尺寸效应、 载荷等。 在当今世界各国所用的齿轮强度计算标准( 参见文【4 q ) 中，可以说，基本公式的形式是 相同的自威迪基提出相应计算公式以来并没有太多变化。但在系数的给法上，各计算 公式之间没有共同点，即使系数的名称术语相同，就系数的内容来说，实际上每个标准中的 计算公式都是按自己的见解决定的。 1 2 2 有限元强度分析及其在齿轮强度分析中的应用简况 有限元分析技术最早出现在2 0 世纪5 0 年代。它首先出现在航空结构的弹性力学应力 第3 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 响应分析中，并以数值分析和矩阵计算方法为特征。随着计算机技术和数值分析技术不断 发展。有限元分析技术迅速扩展到多种工程应用分析领域，并发展成为了一门新兴学科。 因其应用发展与工程结合紧密，而成为了当今计算机辅助工程技术的重要组成部分。在传 统力学理论方法难以解决的复杂结构承载响应分析中，有限元技术可以充分利用计算机强 大计算功能和高效图形处理能力，模拟结构的实际几何形状、物理特性、约束受载状况求 解出结构的各种响应特性及其分布情况，从而表现出了它无可比拟的数值矩阵计算方法的 优越性。在当今各种机械结构静动力学响应分析中，基于有限元分析技术的各种商业软件 已广泛使用。 利用有限元法对传统单自由度齿轮传动强度分析研究，在国外，早在2 0 世纪7 0 年代 初就有公开报道( 参见文m 1 ) 。国内较早的与齿轮有限元分析有关的文章是丁玉成于1 9 8 7 年初公开发表在重庆大学学报上的“直齿轮接触有限元分析及轮齿热变形 5 6 ”，随后，国 内几乎每年都有数篇有关圆柱( 或圆锥) 齿轮有限元建模及分析的文章发表在各类公开刊 物上。 1 2 3 多自由度球齿轮传动强度研究概况 自由度齿轮，以t r a l l f a 球齿轮的出现为标志，因其出现较晚，无论是在国内还是在国 际上，相关研究成果的报道或论文都比较少见。以t r a l l f a 球齿轮为例，在1 9 9 0 年以前， 国内外对其传动的原理和设计进行了很多探讨，但对其强度的研究却很少，相关承载能力 计算结果多是在设计中采用粗略的近似方法估算的【玎】。1 9 9 0 年，仅见有常山的硕士论文“机 器人柔性手腕球面齿轮传动强度的有限元分析”对此进行专门研究和基于此研究结果的论 文【”】。除此之外，针对包括t r a l l f a 球齿轮和渐开线环形齿球齿轮在内的各种球齿轮强度 研究的报道至今也未多见。 1 3 本文的研究工作 本文研究主要集中于球齿轮传动强度理论和计算机仿真模拟实验两个部分，所需要解 决问题也主要集中于理论研究和计算机仿真实验两个部分。 1 3 1 论文研究主要解决的理论与实际问题 理论研究部分 1 ) 对于环形齿球齿轮齿廓曲面数学弹性力学模型的分析及其建立： 2 ) 环形齿球齿轮齿廓曲面接触变形问题及其应力分析； 3 ) 环形齿球齿轮齿根弯曲危险点的确定及其应力计算的问题。 计算机仿真实验研究部分 1 ) 有限元分析软件的选用与环形齿球齿轮的实体建模和限元分析建模的问题； 2 ) 有限元模型加载与约束边界条件的正确建立，求解数值计算方法的选用及其求解： 3 ) 有限元分析计算结果正确性的保证问题： 4 ) 有限元计算结果的提取及其对理论研究部分所得出的计算公式的检验。 第4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 1 3 2 论文研究的主要成果 1 ) 根据理论推导和有限元数值模拟弯曲分析，确定( 证明) 了球齿轮传动中最薄弱环 节，为其弯曲强度计算中的模型简化的提供了依据。 2 ) 提出变截面悬臂梁弯曲计算中的立方抛物线方法，为球齿轮轮齿上弯曲危险截面位 置的确定和最大弯曲正应力的计算提供一种有效的计算方法。 3 ) 在1 ) 、2 ) 项研究成果的基础上，确立一种球齿轮传动弯曲强度设计校核计算方法。 解决了球齿轮传动弯曲强度计算方法缺乏的问题。 4 ) 通过分析研究齿廓曲面参数方程形式及其微分几何特性，不仅导出球齿轮齿廓曲面 上任一点的曲率半径计算公式，同时导出两接触齿廓曲面在啮合点处的共轭齿廓曲面曲率 半径计算公式，为球齿轮的接触强度及其它分析计算提供了计算依据。 5 ) 以h e r z 接触理论为基础，提出球齿轮接触强度计算的一般方法，解决了球齿轮的 接触强度计算方法缺乏的问题；同时，针对接触分析中有关参数计算，给出了一种精确的 数值计算方法，解除了一些常用资料( 参见文口】 “ ) 对这些参数数据不足的问题。 6 ) 研究了基于a n s y s 的球齿轮参数化模型生成技术及其有限元分析技术。并利用 a n s y s 软件成功地进行了球齿轮传动强度的数值模拟仿真分析，取得了大量可靠的数据计 算结果，有效地验证了3 ) 、4 ) 项研究成果( 即球齿轮轮齿弯曲和接触强度计算方法) 的正确 性。 i 4论文总体结构 本论文按研究内容分为六章，具体如下： 第一章主要介绍论文课题基本情况以及国内外发展动态和文献综述。重点介绍课题研 究背景、开展本课题研究意义、国内外研究动态、本论文主要研究工作和论文总体结构。 第二章主要介绍渐开线球齿轮形成及其几何特性方面内容，包括：球齿轮形成原理、 基本几何结构形式及其特征、球齿轮半齿模型生成法、平面齿廓曲线f 球齿轮齿廓曲面母线) 参数方程、一般空间曲面微分几何及其张量特征、球齿轮工作齿廓曲面微分特征、球齿 轮工作齿廓曲面主曲率半径计算及其平面图形表示等。 第三章主要介绍有关弹性力学的基本原理和球齿轮轮齿的弹性力学特性分析方法。其 中有关基本原理、理论包括：“弹性叠加原理”、弹性力学问题“解的唯一性原理”、“圣 维南原理”、“半空间体受集中载荷作用问题”和“赫兹接触理论”等。这些基本原理理 论为全文的论证与判断提供理论基石。对于轮齿的弯曲弹性力学特性分析，重点阐述弯曲 强度分析中的模型简化、轮齿弯曲危险截面确定方法及其抗弯截面模梁计算等问题，介绍 变截面悬臂梁弯曲危险截面确定的立方抛物线方法。对与轮齿的弹性接触力学分析，重点 介绍基于赫兹关于“具有一般表面形状的物体”的接触理论的球齿轮接触应力计算方法， 同时为适应相关参数计算的需要，介绍接触椭圆的椭圆率求解的牛顿一雷付生求解方法。 第四章直接介绍本论文研究结果球齿轮轮齿传动强度计算方法，具体包括：1 ) 分 第5 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 析讨论球齿轮轮齿齿顶受力的工作情形及其轮齿弯曲应力计算方法和齿形系数与齿根应 力修正系数的确定方法；2 ) 针对轮齿接触受力的一般情形，重点讨论轮齿接触应力的计 算方法和接触区域系数的确定方法。 第五章针对球齿轮有限元分析的特殊情形，首先对有限元法的基本原理、有限法分析 求解的一般过程、有限元法及其分析软件的发展与应用概况、论文研究过程中分析软件 选用、有限元法对静力弯曲和接触等不同性质力学问题处理及其在a n s y s 软件环境中的的 具体实现等进行简要介绍。然后再对球齿轮实体参数化几何建模、有限元分析建模及其分 析求解计算及其相应依据进行详细地说明。并针对本文中有限元分析研究是为了取得数值 模拟计算结果来检验“球齿轮轮齿强度计算方法”正确性这一直接目的，给出多组对比计 算数据结果，验证第四章中所阐述的计算方法正确。最后，为了确保整个有限元分析过程 严格正确无误，进一步对有限元分析的正确性进行补充分析说明。 第六章为全文总结与未来工作展望。 第6 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第二章渐开线环形齿球齿轮形成原理及其几何形状特征 渐开线环形齿球齿轮不同于传统的渐开线圆柱齿轮和球面渐开线圆锥齿轮，也不同 于如图卜1 所示的t r a l l f a 球齿轮，它是一种完全新型的平面渐开线回转球齿轮”1 。为了研 究其力学物理特性，必需首先弄清其形成原理、基本结构形式、几何形状构造特征、曲面 参数方程及其微分几何特性曲面的法线方程及其主曲率半径等，以便为其力学特性分 析中的相关参数求解提供有效的计算方法。本章对此进行一一介绍。 2 1 球齿轮形成原理、安装传动特点、基本结构形式及特征 2 1 1 球齿轮形成原理及安装与传动特点 根据文”，如图2 - 1 ( a ) 剖面所示为一对平面齿轮( 轮1 、轮2 ) 的轮廓图形，0 0 2 为两轮 连心线。在图示位置时，该中心线正好通过了轮2 上一个齿顶中点和轮1 上一个齿槽中点。 将这一对平面齿轮绕中心线d 1 0 ：旋转，便得到了一对球齿轮轮1 和轮2 ，其中0 0 ：即 为两球齿轮的旋转极轴。 a 球齿轮形成原理 b 球齿轮安装传动原理 图2 一l 球齿轮基本原理图 球齿轮典型的结构形式是在球冠上分布着绕极轴回转的环形凹齿和指状的中凸齿，其 中全部由环形齿构成的球齿轮称为中凹球齿轮，由环形齿加一个中凸齿构成的球齿轮称为 中凸球齿轮。图2 一l b 表示了由中凸球齿轮和中凹球齿轮所组成的球齿轮传动副及其安装 形式。由于轮l 或轮2 既可以是主动轮，也可以是被动轮，故在齿轮传动自由度之分析中 主、被动轮无须严格区分。 从图2 一l b 不难看出，无论是中凸球齿轮还是中凹球齿轮，或者是主动球齿轮还是被动 第7 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 球齿轮，都具有两个传动自由度，由此而组成的一对球齿轮副也具有两个自由度的传动特 点。又由球齿轮的表面结构形状及其安装形式特点( 如图2 1 所示) ，使得其中一个球齿轮 上的一个轮齿凸面与另一个球齿轮上的一个轮齿凹面一一对应，始终无轮齿交换接触的情 况，导致了球齿轮具有传动过程中没有轮齿交换情况出现的传动特点。根据球齿轮的形成， 定义其传动比为两轮的当量齿数之比。 又由文，球齿轮上的环形齿和中凸齿都是通过展成( 或者仿形) 车铣加工而成的。从沿 球齿轮极轴所在的截平面( 如图2 1 a 剖面) 来看，其轮齿齿形是渐开线的即在这个截 平面内球齿轮副的啮合情况与渐开线直齿圆柱轮的啮合情况相同，故可以借助于渐开线直 齿圆柱轮受载分析办法来考虑球齿轮在其极轴所在截平面内的受载响应情况，分析出其啮 合受载特性。从图2 一l 也可阻看出，不同球齿轮上的轮齿表面形状各不相同，同一球齿轮上 的不同轮齿表面形状也各不相同，鉴此，在进行球齿轮轮齿受载响应特性分析之前，首先 必须对球齿轮的基本结构形状特征进行分析研究。 2 1 2 球齿轮基本结构形式及几何形状特征 渐开线环形齿球齿轮齿部基本结 构形式【1 】如图2 2 所示分为四种：a 中 凸球齿轮、b 中凹球齿轮、c 中凸球 齿盘、d 中凹球齿盘。 从图2 2 可以看出，不仅同一个齿 轮上不同位鼍轮齿形状各不相同，齿轮 8 中凸球齿轮b 中凹球齿轮 参数各异的球齿轮形状是各异的。由此 可知，直接依据文和2 1 1 描述的球 齿轮形成原理对其轮齿进行分析，需要 以工程实际情况对每一个球齿轮上的每 一个轮齿逐个进行几何实体模型的研究 。中凸球齿盘d 中凹球齿盘 工作，使得研究过程不仅比较繁琐，而 图2 - 2 球齿轮基本结构形式 且容易出错。又由于每个轮齿形状各异，直接对其进行逐一受力分析计算太困难也不便 于对其力学特性规律进行归纳。同时，对球齿轮上各分块曲面几何形状及其力学特性规律等 进行详细分析，需研究分析各分块曲面在一个统一中心坐标系的方程表达形式，文虽然 按如图2 一l 所示的形成原理，研究给出了渐开线环形齿球齿轮轮齿工作齿廓曲面参数方程 形式，但按此方法进行几何建模与分析时，对每个球齿轮上的每个轮齿都需要按凸、凹两 个齿面来分开讨论研究( 参见文【1 1 ) ，导致球齿轮齿廓曲面的几何建模与分析研究工作比较烦 琐，同时文没有对更复杂的齿根环形过渡曲面进行研究。由此可见，直接按图2 一l 所示 球齿轮形成原理导出球齿轮齿廓曲面方程，然后再详细分析讨论的研究过程比较复杂，不 宜于后续研究工作的快速展开，故考虑利用一种更简便的表达形式来进行分析研究。 虽然各个球齿轮的每一轮齿相互之间都有差别，但由图2 2 所示轮齿几何形状来看，所 有轮齿都可以归纳于中凸齿和齿环( 如图2 3 所示) 之一：中凸球齿轮和中凸球齿盘上的 第8 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 轮齿由一个中凸齿和多个不同齿环组成，中凹球 齿轮和中凹球齿盘上的轮齿则全部由齿环组成。 故首先考虑按其几何形状将球齿轮上的所有轮齿 分类为中凸齿和齿环两种这种分类方便了对 不同轮齿上同种几何物理特性的分析研究工作。 进一步考查同一个轮齿的凸、凹两个齿廓曲 面的形成即可发现：由于球齿轮具有独特的轴对 图2 - 3 球齿轮单齿形状图 称回转几何形状特征，同一轮齿凸、凹两个齿廓曲面的形成并不是一定需要由平面齿轮上 同一轮齿的两侧齿廓曲线( 齿面母线) 绕球齿轮极轴旋转3 6 0 0 才能生成的，按如图2 4 a 所 示的两个半齿截面绕其极轴旋转一周后，同样可得一个完整的球齿轮轮齿( 如图2 4 b 所示) 齿环，从而也同样得到了凸、凹两个不同的齿廓曲面。 由于图2 4 a 所示两个齿( 半齿) 的廓曲线形状及其弯曲方向相同，只是曲线起始点不 同，只需按如图2 4 a 所示设定轮齿起始位置参数口( 或者一们，即可用一组参数方程将它 们全部确定。由此可见，对于球齿轮齿环上的凸、凹两个不同形状的齿廓曲面两面，也只 需要有一个参数口来控制其母线的起始位置，即可考虑用一组参数方程将两者全部完整表 达出来。同时，从图2 4 a 不难看出，当目= 0 时， 一目口 半齿截面绕其极轴旋转3 6 0 。后形成的即是如图卜r 一 ：嚣翟勰薯昙篙曩需：萎幺建黻 齿轮上的所有轮齿( 包括同一轮齿的两侧齿廓2 么群么华么华冷 曲面) 均可以由按如图2 - 4 所示的形成原理由一i 组曲面参数方程生成。由于图2 - 4 所表示的由l 平面齿轮上的两个半齿廓截面生成一个完整的妒 球齿轮轮齿实体模型的过程原理，由于与文【l 】 a 双半齿廓i 轴截面 b 一个完整轮齿实体 所述的形成过程在形式上有所不同，故不妨称 图2 4 由双半齿廓形成完整轮齿原理图 为环形齿球齿轮的半齿齿廓生成模型法。 2 2球齿轮齿廓曲面方程及微分几何特征 由球齿轮形成原理得知，球齿轮轮齿表面上各分块曲面即齿顶面、工作齿廓曲面、齿 根环形过渡面、齿底面分别由对应平面齿廓曲线( 母线) 绕球齿轮极轴旋转而成。由此可见， 对于球齿轮轮齿表面的几何分析，需从平面齿廓曲线构成及其几何方程入手，故先考虑对 平面齿廓曲线进行简要介绍，然后再详细讨论球齿轮空间齿面几何参数方程及其几何特 性。 空间曲面基本形式、曲面上各点主法线方向及其主曲率半径、曲面张量特征等在弹性 力学各种空间问题分析求解中起着非常重要的作用，也是赫兹接触理论分析推导的基础， 第9 页 国防瓣学技术大学研究生院学位论文 为便于对赫兹接触理论及相关分析推导过程进行说明，在此对这烂概念也作出简要讨论。 2 ，2 。1 平覆鼗薅照线萄余 一个完整平面轮齿的蓊廓逶常由圈个部分组成攀l ( 如图2 - 5 所承) ：蠢矮馥线凝，它是 在制作齿坯时车削出来的一段圆弧：工作齿廓c d ，它是在用范成法( 或成形法) 切制齿轮时 的刃具工作齿廓的包络线渐开线：荫廓过渡曲线如，即齿根过渡曲线或齿根圆角，它 楚凌震范减法麓王拜季壹乃舆齿溪圜焦懿镪络线或者是蠢刀翼尖 角形成的轨迹线；齿底曲线，它是刀鬃齿顶线的龟络线。 齿顶6 c 和齿底盯在通常情况下都是一段圆弧曲线，形状较 为麓单，故不魏深入鬻述。王传齿癣麴线嬲静齿报惑热夔线如 程齿轮制造、运动传递以及齿蟊几何形状与物理特靛分析中都 起着至关重骚的作用。为通应球齿轮的齿面几何形状分析的需 嚣，对后两者的平面几何参数方程表达形式加以适当说明。 齿顶 强2 5 平霾鼗灏鳇线 1 ) 渐秀线齿辩蓝线 常见齿轮工作齿廓曲线为渐开线，它通常是由加工刀具的工作德廓切削( 包络) 而形成 的，故常称为包络线。同时，它又是一种精确数学公式曲线，在齿轮的工作齿廓曲面几何分 援与造鍪孛，遴露采磊耱凑数学公式表拳。鬻雳豹圣 舞公式赢平嚣纛受坐标公式秘援坐标公 式两种。按如图2 6 所示，渐开线在平丽直角坐标系o x z 中的坐标计算公式为 x = r “c o s ( “+ ) + “s i n ( u + p ) 】l z = r b s i n ( u + y ) 一u c o s ( u + y ) 】 j 式孛砭潦圜半径； u 渐开线展开角，逆时针为正； 矿渐开线起始点参数，逆时针为芷 澎开线在辍黧檬系o x p 孛翁黛标诗算公式 口= t a n “一“+ 妒 1 p = r 6 ( 1 + “2 ) “2j 式中参数r 、“、矿曩式( 2 。2 ) 2 ) 齿根过渡曲线 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 一_ l 裂量 r 髑2 8 平西濒开线 齿根过渡曲线是由刀鼹齿顶圆角( 或尖角) 在切削加工过程中形成的，既与刀具工作齿 廓澎状帮刀项灏焦形状有芙，也与加工工艺方法有关。由于展成浚是齿轮加工中最常用、 畿营遮静工蕊方法，裙关落澍刀其静藩影常愿静毒藩条型窃齿轮黧掰释，蔽考虑在震葳热 工条件下，分别按齿条型刀具和齿轮型刀具给出对成工件齿根圆角的参数方程形式。 齿条型刀具 在震或热工条静下，凌蠢条刃翼戆慧颈强角热王生藏鹣工终纛缀过渡鏊线为筵 枣滚开 线的等距曲线f ”，其坐标方程计算公式按如下过程确怒。 如图2 7 所示，设刀凝齿顶圆角的阙心为a ：圆角半径为p ；刀具工作齿廓与齿顶圆 繁1 0 页 国防辩学技术大学研究生陵学位论文 角的分界点为a ：，在该点处，刀具齿廓法线为a 2 a ，压力角为口。：刀具齿顶圆角和顶刃 鹣交赛点为a ，；q - 串分疫亵主| 耋经为。 按图2 7 所示建立坐标系，齿顶圆弧4 a ：上的侄一点a 在坐标系岔誓k 中的嫩标为 y 1 _ 愿 p ol 爰。 守泌 逊 k 。 ， l + ax 。 一2p c o 跚 l y l = 一瓦+ p ( s i n a 。一s i n a ) j 矗t 式中，菇为刀吴工作蠢顶嵩 同时，刀熙与齿轮之间的啮合关系满足方程式 心镪= z = ( h 。- p s i n a 。) c o t a 强2 - 7 蠹条刀其袋成过渡曲线 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 逶过分辑雍导露以麓定，刀爨巍矮瑟受上熬任意一熹 a 在坐标系0 2 x ：艺中所留下的轨迹曲线包络方程即刀具圆 角在工件上生成的过渡妯线方程为 羹茎篙：之翟j ：象二譬：乏；i 篓象 泣窝 y 2 茹( 肖l + 置d 妒2 ) s i n 纯+ ( y l + 露d ) c o s ，2l 当r 2 = 0 时，式( 2 5 ) 即表示由尖齿顶齿条刀具展成出的工件齿根过渡圆角参数方程( 具体 搬导过程参见文【4 】) 。 联立式( 2 。3 ) 和式( 2 5 ) 整瑾，并将避渡藩线上点的坐标参数方程表示成矩黧形式褥 盼隧嚣儿血? 端冀峨 汜e ， 齿轮鍪刀爨 据文f “，由齿轮型刀具的齿顶圆角通过范成工艺方法所生成的过渡曲线为长幅摆线堕一 的等距曲线，熟挫标方程计算公式按如下过程确定。建立坐标系如图2 - 8 所示。设刀具齿 瑛疆受豹圆心为a ，半径为p ，齿顶圆弧土载任一点a 在坐标系o x ，嚣中的坐抟为 x t2 p s m y ( 2 7 ) y l = 一r 。+ p 0 一c o s y ) j 式中：五。为刀具齿顶圆半镪，尹为参变爨。 鹜2 8 髓成齿根圆凫 同时，刀具与齿轮之间的啮合关系满足方程式 第1 1 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 s i n ( 7 + 仍) = 一( x lc o s ，+ y is i n y ) ( 2 8 ) 通过分析推导可以确定，刀具齿顶圆角上任意一点a 在坐标系0 ，x ，只中所留下的轨迹曲 线包络方程即刀具圆角在工件上生成的过渡曲线方程为 2 = p s i n r c o s ( q ，t + 妒2 ) + r 。一p ( 1 一c o s y ) s i n ( 妒l + 6 p 2 ) 一a s i n 0 2 i，o n 、 y 2 = p s i n y s i n ( q ) l + 妒2 ) - j r 。一p ( 1 - c o s r ) c o s ( 竹+ 妒2 ) + a c o sr # 2j “。 当一= 0 时，式( 2 9 ) 即表示了由尖齿顶齿条刀具展成出的过渡圆角参数方程( 附