（理论物理专业论文）一维链的热导和碳纳米管一些性质的模拟.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以。求实、创新”的科学精神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发 表或撰写过的研究成果 i5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢 意 作者签名：翌f 越垒 日 期：塑墨：! 墨 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有 权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质 版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书 馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位 论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 作者签名：盛毯垫 日期： 墨竺6 ：至：! ! 摘要 摘要 本文采用计算机模拟方法对一维链的热导和碳纳米管的一些性质进行模拟。第一部分是对一维 链热导方面的计算。提出气体分子弹性碰撞模型，并考虑气体分子运动的热效应及热力学第二定律 等因素，结合统计平均的方法模拟一些一维链的温度分布，研究质量分布对温度分布的影响，以及 链长对热导的影响和质量比对热导率的影响。第二部分采用紧束缚势和t e r s o f f 势结合分子动力学 方法对碳纳米管与石墨片的碰撞进行模拟计算。结果表明：碰撞使两个石墨烯片与单壁碳纳米管形 成双壁碳纳米管的结构。再通过碰撞。双壁碳纳米管又与两个石墨烯片形成三壁碳纳米管我们认 为这是一种可能的，多壁碳纳米管的形成机制。第三部分采用紧束缚分子动力学方法，对c 2 8 分子 和单壁碳纳米管组成的振荡器进行计算。结果显示了随着时间的增长，振幅减小，振动频率增大 c 2 8 与碳管之问的距离略小于0 3 4 r i m 的时候，振幅衰减最缓慢，振荡最稳定外管的长度可以用 来调节振荡器的振荡频率。c 2 8 - n a n o m b e 振荡器具有比c 6 0 - n a n o t u b e 振荡器和多壁碳纳米管振荡器 更高的振荡频率 关键词：热导，一维链。碳纳米管，碰撞，分子动力学模拟，紧束缚理论，c 2 8 - 纳米管振荡器 a b s t r a c t h l1 1 1 i sp a p c r , w es i m u l a t et h eh e mc o n d u c to faf c w 衄e 础n 圮n s i 彻a lc h a i 似粕d i n e 硼o p e r t y0 f c a r b o nn 卸咖b e sb yt i l ec o m p u t e rs i i n u k i o n 砖t h o d ht l l ef i 塔tp a n w ep u tf o 刑a r dan e wm o d e la b o u t g 鹋m o l u l em t e r a c t i n gt h r o u 曲e l a s 雠c o u i s i o 璐a mw cm v f i g a m 山cj 丑f l u 卸0 fn 麟d i s 砸b u 吐 衄t i l ew m p e m t u r ed i s 砸b u 吐o n i l l e 耐1 啪0 ft h el c i i g 由0 fc h a i n t i l eh e a tc 伽d u c d 伽彻dm c i n f l n 0 ft l l e 眦蠲r a t i o t l l c 山e r m a lc 曲d 吐v i t yb yu s i n g 吐l e s t a d s 雠a v e 豫g cm e 吐l o d ，删d n gh e a t e f f c t 柚ds e c o n dl a wo fi l l 盯m o d y i l a 血明i n t oa c c 伽n lh 吐i cs e c o n dp a r t m c m s i 咖o fc a r b o n 咖咖b 鹤w i t l lg r a p i l i 吐cp a t c h h a v eb e e nn u m e r i c a l i ys i m u l a t e db ym o k u l 盯d y n a m i c sm e 吐1 0 d 谢l h 疽g h t - b i n d i n gp o t e n d a i 粕dt e r s o f fp o w n f i a l hi sf o u n dl l l a tad o u b b w a u e dc a l b 0 1 1 啪0 n n 砖曲“i i i i e d f i 矗卸dl b a 岫髓- w a h c dc a r b 蛐n 锄o t u b co b t a i n e d w e 咖s i d 日i tm a yb cak i n d0 f 叫l f i w a l l e d c a r b o nn m h i b c s 邸釉m e c h a n i s m hd l ct h i r dp a r t , t h ec 昝m 咖b e c i l l a 吣rh b e e n 妇叫a t e d b y d g l l t b i n d i n g m o l e c u l a rd y n a m 髓f r b m d ) m e m o d t h eo s c i l l a t o r y a m p l i m d ed e c w , a s e sw h i l c 吐峙 o s c i 蛐gf r e q u 哪m c r e a s e s 谢l h i 】l n o ot h eo s c i 岫蛳d y n a i n i u ys m b ko n l yw h e nm cd i s 咖 b c 脚嘲t h c n a n 咖b ca n d c = 2 8 i 曩a l i 砌c l c 辐t h a n 0 3 4 n 皿t h e t 盯瑚o n i b c l e n g 山啪b e u s e d t o m n c 山eo s c i l l a 妇f r e q 嘲yo ft h ec 2 8 n 卸o n | _ b eo s c i l 蛔t h eo s c i l l 蚯缸q 嘲c y0 f 吐嵋c 2 8 - 啪0 n l b c 0 踮i l l 栅i sb i g h e rt h a n 出a to fd o u b l c - w a l l e do s c i f l a t o r 卸dc 6 【h 勰o t u b c 嫩i l l a t o r k e y w o 坩s ：h e a tc o n d u 撕，e 吐n 啪s i 加a lc h 妇l s ，c a r b o n 咖砷l b e b ，c o l l i s i 佃， m o l u i a rd y 删锚s i m u l a f i 咄嘞0 b i n d i n gl h e o r y , c 船一啪d m b co s c i l l a 缸 2 前言 日u 百 目前在很多学科中的研究中都采用了计算机模拟方法，它是对理论和实验的有力补充，特别是 许多与原子有关的微观细节，在实际实验中无法获得，而在计算机模拟中可以方便的得到。这种优 点使其在材料科学中非常有吸引力 随着现代科学技术的突飞猛进，对材料的研究越来越深入各种纳米材料在国民经济各方面， 尤其在电子学，光电子学方面被广泛研究和应用，对材料热导的研究也成为一个重要的课题当材 料的两端存在温差，则热量会从高温端传向低温端。若材料是均匀的块体，则从高温端到低温端温 度是线性变化的，即存在温度梯度，且三维系统的热导遵循f o u r i e r 定律( ，= - x a 理 d x ) 但是 对于低维系统往往出现与高维系统不同的性质，在一维或二维的低维系统中就不一定遵循温度分布 线性变化规律，也不一定遵循f o u r i 盯定律。近些年来，由n e w t o n 动力学进行演化的低维系统的热 导研究吸引了很多人的兴趣。一些低维的实物系统的热量传递现象也同样被人们所关注。如各向 异性晶体，磁性系统，半导体薄膜，单壁碳纳米管等热导与系统的大小究竟有没有关系? 热导与 决定它的微观动力学的联系又是什么? 为了研究低维系统的热传递，理论上人们提出了很多模型 诸如谐振链模型，单原子t o d a 模型，f - k 模型“，离散中4 模型脚，l o r c n 乜模型嘲，f p u 模型删， 双原子t o d a 模型嘲等等，发现采用的模型不同，会得到不同的结论。这些模型都是同一类原子在相 互作用势下的模型由于在气体中，能量的传递是靠气体分子之间的完全弹性碰撞进行的，d h a r a m 曾通过气体分子弹性碰撞模拟不同质量的一维无序气体原子链的热导问题，发现当两种原子的质量 差剐很小质量比接近l 时。模拟结果显示存在一个非平庸的稳定态，但是对于原子质量差别较大 时，以及准周期质量分布的一维原子链的热导问题研究结果还很少 本文的第一个工作是采用计算机模拟的方法对一维链的热导进行模拟提出气体分子弹性碰撞 模型，并考虑气体分子运动的热效应及热力学第二定律等因素，结合统计平均的方法模拟几种一维 链的温度分布，研究质量分布对温度分布的影响，以及链长对热导的影响和质量比对热导率的影响。 2 0 世纪9 0 年代，l i j i m a t e l 发现了碳纳米管，从而引发了材料科学的一场新的革命在对碳纳 米管的特性研究中，其中碳纳米管的生长机制引起了广泛的兴趣，很多人提出了很多可能的生长机 制，包括闭口生长机理嗍、开口生长机理瑚及电场诱导生长模型1 1 1 等等。此外。对碳纳米管特性的 研究中碳管的碰撞过程也是一个值得探讨的问题。 本文的第二个工作是，利用紧束缚势埘结合分子动力学t l 姗( t i g h t - b i n d i n gm o l e c u l a r d y n n c s i m u h t i o n ) 计算两个石墨烯片与( 1 0 ，o ) 碳管之间的碰撞，发现一定长度和宽度的两个石墨烯片与 ( 1 0 ，o ) 单壁碳纳米管在一定温度下的碰撞可形成双壁碳纳米管再利用t e s o f f 势结合分子动力 3 前言 学模拟计算两个石墨烯片与前一步得到的双壁碳纳米管之问的碰撞，发现一定长度和宽度的两个石 墨烯片与双壁碳纳米管在一定温度下的碰撞可继续形成三壁碳纳米管。并分析整个碰撞的微观过 程。进而提出一种形成多壁碳纳米管的碰撞机制。 建立在多壁碳纳米管( m w c m 3 基础上的千兆赫兹的振荡器的概念已在近年被提出并研究。 z h e n g 和j i a n g 提出了b 确忙n t 可以制成频率高达几个千兆赫兹的振荡器。l e g o a s e t l l l 1 4 1 和w g u o e ta i i t s l 用分子动力学模拟了多壁碳纳米管振荡器，发现内管与外管的距离为0 3 4 r i m 时，管的振荡 最稳定；随着时间的增长，振幅减小，振动频率增大。内管越短，振动频率越大。有人推断若把内 管换成c 6 0 分子，则振荡器将具有最大的振荡频率。随后e l i ue ta 1 i s ! 用t e r s o f f 势结合范德瓦耳斯 ( v d w ) 势对c 6 0 - n a n o t u b e ( 纳米管) 振荡器进行了分子动力学的模拟研究，结果显示，随着c 6 0 振 荡衰减，振荡频率也在减小，这与双壁碳纳米管振荡器的结果相反其衰减行为与纳米管的直径、 手性密切相关，衰减的原因是在振荡过程中，v d w 能转化为热能。外管的长度可用来调节振荡器的 振荡频率c 2 8 是碳笼家族中的一员，也有足够的稳定性因此，我们设想c 2 8 和碳管应该可以构 建更高频率的振荡器 本文的第三个工作是，利用不仅可以处理共价键，还可以处理毗邻的矿杂化的层与层之间的相 互作用的紧束缚c i b ) “7 1 模型，结合m 厂r 分子动力学方法，模拟c 2 8 - n 卸o n 舭组成的振荡器，结果显 示，随着时间的增长，振幅减小，振动频率增大。c 2 8 与碳管之间的距离略小于0 3 4 n m 的时候，振 幅衰减最缓慢，振荡最稳定外管的长度同样可以用来调节振荡器的振荡频率，且c 2 8 n a n o t u b e 振 荡器具有比c 6 0 - n a n o t u b e 振荡器和多壁碳纳米管振荡器更高的振荡频率 4 前言 参考文献 【1 】b a m b ih u ，b a o w e nl i ，h o n gz h a o p h y sr e vl e t t , 1 9 9 8 ，5 7 ：2 9 9 2 【2 】d i n gc h e n ，s a u b r y ，g p t s t r o n i s p h y sr e vl e t t , 1 9 9 6 ，7 7 ：4 7 7 6 【3 】d a l o n s o ，r a r t u s o ，g c a s a t i ，i g u a r n e r i p h y s r e v l e t t , 1 9 9 9 ，8 2 ：1 8 5 9 【4 1s m f a n o ，r o b e r t o l i v i ，a n t o n i op o f i f i p h y sr e v l e t t , 1 9 9 7 。7 8 ：1 8 9 6 【5 】c g i a r d i n i , r 工j v i ，a p o f i f i ，m v a s s a l l i p h y sr e vl e t t , 2 0 0 0 , 8 4 ：2 1 4 4 【6 】t a k a h i r oh a t a n o p h y sr e ve 1 9 9 9 5 9 ：r 1 r 7 】a b h i s h e kd h a r p h y sr e vl e t l 2 0 0 1 ，8 6 ：3 5 5 4 【8 】豇j i m as n a t u r e , 3 5 4 。5 6 ( 1 9 9 z ) 【9 】e n d om ，k r o t ohw j p h y c h e m ，9 6 ，6 9 4 1 - 6 9 4 9 ( 1 9 9 2 ) 【1 0 j i m as m a t e rs c i e n g b ，1 9 ，1 7 2 - 1 8 0 ( 1 9 9 3 ) 【1 1 s m a l l e yre m a t e r s c i e n g b ，1 9 ，1 - 7 ( 1 9 9 3 ) 【1 2 c i - l x u , c z w a n g ，c t c h a n , k h 脚j p h y sc o n d e n s e d m a t t e r , 4 , 6 0 4 7 - 6 0 5 4 ( 1 9 9 2 ) 【1 3 】q u a n s h u i z h e n g , a n d c l i n g j i a n g ，p h y s r e v l e u 8 8 ，0 4 5 5 0 3 ( 2 0 0 2 ) 【1 4 s b l e g o a s ，v r c o l u c i ，s e b r a g a , p z c o u r a , s o d a n t a s ，a n dd s g a l v 矗o , p h y s r e v l e t t 9 0 , 0 5 5 5 0 4 ( 2 0 0 3 ) 【1 5 】w g u o ，y g u o ，h g a o ，q 2 h e n g ，a n dw z h o n g ，p h y s r e v l e n9 1 ，1 2 5 5 0 1 ( 2 0 0 3 ) 【1 6 1p j a u ，y w z h a n g 。c “j a p p l p h y s 。9 7 , 0 9 4 3 1 3 ( 2 0 0 5 ) 1 7 1y a s u a k io m a t a , y u i c h i r oy a m a g a m i ，k o t a r ot a d a n a , t a k a s h im i y a k e ，s u m m us a i t o , p h y s i c ae2 9 ，4 5 4 4 6 8 ( 2 0 0 5 ) 第一章一维热导模型的发展 第一章一维热导模型的发展 对三维系统来说，当材料的两端存在温度梯度，则热量会从高温端传向低温端。若材料是均匀 的块体，则从高温端到低温端温度是线性变化的，即存在温度梯度，且三维系统的热导遵循f o u r i e r 定律( j = - x d t d x ) 。以上规律对于三维晶体是普遍正确的但不一定适用于低维材料( 如纳米 线或d n a 分子) 对于单壁碳纳米管的实验表明，它的热导率非常高专家预言，有关研究的进一 步深入将有助于对其他系统的理解，如各向异性晶体、磁链、聚合物以及半导体薄膜等，如果未来 的实验能够证实，碳纳米管的热导率果真随长度的增加而增加，这种材料在微电子器件中的应用前 景将更加光明。本章是对已出现的几个热导模型的总结描述 已经出现的模型大部分是经典的耦合振子对一维情况，这类模型的一个说明见图1 一个有 n 个耦合粒子的链，第一个和最后一个粒子与热浴相互作用，m f 和而分别是第z 个粒子的质量和位 置简单假定，只有最近邻粒子之间有相互作用其哈密顿置可表示成( p i = m l 南) 日= 矩, - , l 2 m l 慨。一叫 m 边界条件可加在了而和h + 首尾两个粒子上有周期、固定、不加任何限制几种选择。由于只存 在与粒子相对位置有关的内力，系统总的动量守恒。 图1 一个与基底和两个温度不同热源相互作用的相互耦合的n - - - 4 的链 粒子间相互作用势除了熟知的l e n n a r d - j o n e s 势外，在计算中常用的另一个例子是 f e r 血- p 硒协4 n a m ( f p u ) 势 v ( z ) = 譬( z 一+ 詈( z 一+ 等( z 一 ( 2 ) 二j斗 6 第一章一维热导模型的发展 它可以看成是v 在平衡位置z = 口附近的展开。若乳= 0 ，为即u 一口模型；若暑3 = 0 ，为 f p u 一模型。在前一个模型中。耦合系数9 3 要足够小，使得运动比较稳定。 前述的模型只是关于实际晶体的一个理想化模型，实际上低维的格子结构是嵌在与外界接触的 三维矩阵中因此， - t a 为的给一维的格子加一个基质用来稳定格子( 在三维的情况下则不需要这 样) 。为了简化模型，去掉横向的运动，这样，一个普通的一维格子的哈密顿量可以写成 日= 军q 确= 岳州班) ( 3 ) 其中矿( 五- l ， ) 是最近邻粒子的相互作用势，( 五) 是外界对系统的作用势u 的加入改变7 上一 个模型而的不变性，而变为而+ c d 凇f ，总的动量也不再是常数au ( 而) 随着实际的物理系统的不 同而变化。例如，在f 系统中，( 五) 是被吸引的原予与晶体表面的相互作用在不同的不可积 系统中，u ( 而) 是相互区别的。如果没有u ( 而) 这一项，则一维格子有发散的热导。 当y 为谐振形式，u ( 曲= 朋1 2 + 凰4 ，4 时，为发散矿4 模型的表示形式若没有u 这项， i v = ( 五一葺- 1 ) 2 1 2 ，则是谐振链的表示形式 在研究热导中另一个需要注意的方面是系统与热浴的接触，它对结果有很大的影响。对热浴的 处理有两种方法，一种是随机模拟方法，如令粒子的速度符合m a x w e l l 分布，另一种是确定性模拟 方法，即统计物理中的所谓分子动力学方法，n o s d - h o o v e r 热浴“”则采用的是这一种。 把n o s d - h o o v e r 热浴加在了第一个和最后一个粒子上，让它们分别保持温度t 和这两个 粒子的运动遵循下列方程 薯= 一玉毫+ 正一，2 ，六= 青，l 一1 ， 鼍。= 一一女n 专f n f n “。 ，= 最| t 一1 。的 其中五= 叫，+ u ，) 是作用在第i 个粒子上的力其它的粒子遵循的运动学方程是 - i t = t f 毒 7 第一章一维热导模型的发展 数值计算中采用了八阶r u n g e , - k u t t a 算法，则这样得到的结果见图2 【“。 图2 ( 8 ) 舢模型，1 模型，谐振模型，和单原子t o d a 模型的温度粒子数图像( b ) f p u 模型 ( 实心方块) 和o 模型( 实心圆圈) 的j n - n 图( n 是系统的尺寸大小) 插图中显示的是谐振模 型和单原子t o d a 模型的结果在( b ) 中，t + = o 3 。t 屹 d h a ra 口1 认为气体中能量的传递借助于气体分子之间的完全弹性碰撞进行，通过气体分子弹 性碰撞模拟不同质量的一维无序气体原子链的热导模型采用一个一维分布的格子，从x = o 到x - - l ， 每个格子中有一个粒子，粒子的标度为i ，i = l ，n 第i 个粒子的质量，位置，速度分别为m 。， 而和蚝粒子问的相互作用只有弹性碰撞。根据能量守恒和动量守恒，当第f 个和第“- 1 个粒子之 间相互碰撞后，它们的速度为 球：- 警”粤，“：+ 。= 粤”导球。 ( 6 ) m i + m j + lm j 十开+ lm i 十m mm i 十m f + l 在每次碰撞之间，每个粒子运动的速度是恒定不变的在整个碰撞过程中。每个粒子维持它们初始 的排列次序这个模型很适合数值计算。因为它不需要对非线性微分方程进行积分只需要注意连 续碰撞的次数和根据式( 6 ) 更新它们的运动速度。让边界即首尾的粒子分别与两个恒温热源接触，这 两个粒子的速度符合m a x w e l l 分布当一个质量为m 的粒子与温度为r 的墙碰撞后，它的反射速度 服从分布m a x w e l l 分布p 似) = ( mihii t ) e x p - m u 2 “2 r ) 】 d h a ra 的模型的主要结果有： 8 第一章一维热导模型的发展 当粒子质量相同时，系统为可积的，温度分布图像为一条平的直线，r ( 曲= i i 二，热流与 系统的大小无关，不存在局域的平衡。当原子的质量交替变化，m 2 f = 1 ，m a + i = ( 1 + 国时，且艿 很小，模拟结果显示存在一个非平庸的稳定态，如图3 。 图36 = 0 2 2 情况下的t - x 图，系统尺寸分别为n = 2 1 ( 用。表示) 。 4 l 8 1 ，1 6 1 ，3 2 1 ，6 4 1 ，和1 2 8 1 ( 用+ 表示) 实线是根据动理论的预测 在下一章中，我们提出气体分子弹性碰撞模型，并考虑气体分子运动的热效应及热力学第二定 律等因素，结合统计平均的方法模拟单原子链，双原子链、准周期性的f i b o n a c c i 链，广y f i b o n a c c i 链，p e r i o d - d o u b l i n g 钳l l t h u e - m o r s e 链及无序链的温度分布，研究质量分布对温度分布的影响，以 及链长对热导的影响和质量比对热导率的影响 9 第一章一维热导模型的发展 参考文献 【l 】b a m b ih u b a o w e n “，h o n gz h a o p i l y sr e vl e t t ，1 9 9 8 5 7 ：2 9 9 2 【2 】d r a gc h e r t ，s a u b r y , g p t s i r o n i s p h y sr e vl e t t 1 9 9 6 ，7 7 ：4 7 7 6 【3 】d a l o n s o ，i l a r t u s o ，gc a s a t i ，ig u a m e r i p i i y sr e vl e t t , 1 9 9 9 ，8 2 ：1 8 5 9 【4 】s t e f a n o i 印噍r o b e r t o l i v i , a n t o n i o p o l i t i p i l y s r e v l e t t , 1 9 9 7 ，7 8 ：1 8 9 6 【5 】c g i a r d i n & r l i v i ，a p o l i t i 。m v a s s a l l i p h y sr e vl e t t , 2 0 0 0 ，8 4 ：2 1 4 4 【6 1t a k a h i r oi - i a t a n o p h ”r e ve ，1 9 9 9 ，5 9 ：r 1 口】a b h i s h e kd h a r p h y sr e vl e t t , 2 0 0 l 。8 6 ：3 5 5 4 【8 】8d t m o r e l l i ，j h e r e m a n s ，ms a k a m o t o 。c u h e r , p i l y s r e v l e t t5 7 ( 1 9 8 6 ) 8 6 9 【9 】九s m o n t a r a , l c l a s j a u n a s ，r m a y n a r d , p h y s r e v l e f t 7 7 ( 1 9 9 6 ) 5 3 9 7 【1 0 】a v 8 0 l o g u b e n k o , e ta 1 ，p h y s r e v b6 4 ( 2 0 0 1 ) 0 5 4 4 1 2 【1 1 】m ml e i v o , j p p e k o l a , a p p l p h y s l 比7 2 ( 1 9 9 8 ) 1 3 0 5 【1 2 1w h o l m e s ，e ta l 。a p p l p h y s l e t t 7 2 ( 1 9 9 8 ) 2 2 5 0 【1 3 】j h o n e ，e ta 1 。p h y s r e v b5 9 ( 1 9 9 9 ) r 2 5 1 4 【1 4 p k i m ，ls h i ，am a j u m d a r , p lm c e u e n 。p h y s r e v l e t t 8 7 ( 2 0 0 1 ) 2 1 55 0 2 【1 5 】ks a i t o 。s t a k e s u e ，s m i y a s h i t a , p l l y s r e v e6 1 ( 2 0 0 0 ) 2 3 9 7 ，i b i d 5 4 ( 1 9 9 6 ) 2 4 0 4 ，j p h y s s o c j a p a n6 5 ( 1 9 9 6 ) 1 2 4 3 【1 6 】s n 0 峨j c h e m p i l ”8 1 ( 1 9 8 4 ) 5 1 1 【1 7 】w g h o o v e r , p h y s r e v a3 1 ( 1 9 8 5 ) 1 6 9 5 【1 8 】b a m b ih u ，b a o w e nl i ，a n dh o n g z h a o p h y s r e v e6 1 ( 2 0 0 0 ) 3 8 2 8 第二章维原子链的热导模拟 第二章一维原子链的热导模拟 2 1 模型描述 我们从气体分子通过弹性碰撞传递能量得到启发，采用分子弹性碰撞模型来研究一维链中能量 的传递情况，进而得到原子链上各点温度分布，即t - n 图 首先。在一维的宽度均匀分布的n 个格子中，每个格子有一个粒子，因此粒子是均匀分布的， 设第i 个格子中粒子的质量为m l ( 质量单位= k b ，k b 为玻尔兹曼常数) ；井假设粒子间无其他相互 作用，每个粒子的速度均取为其热平衡时的平均速度。速度的方向随机选取，若对第i 个粒子产生 的随机数 r t i t ) ，两个端点的速度与温度之间满足如下的热力学关系： 辱”辱 除端点两个粒子外，当一维原子链处于热动平衡时。链中任意的第i 个粒子的速度与温度之间满足 如下的热力学关系 三码 、2 扫三灯 ( 2 ) 其中 v 冬为第i 个粒子热平衡时的速度平方的统计平均 假设一维原子链中熟量是通过粒子间的完全弹性碰撞传递的，即考虑两个前后相邻的粒子，第 i - 1 个与第i 个粒子，速度的方向由随机数每- 和确定。采用如下的方法让粒子实现碰撞，令 旦= y( 3 ) 碰撞前速度大小分别为v i - l , o 和v h o ，则碰撞后速度大小i 和v i 由以下4 种情况分别进行计算： 缸i 印，p ，第i 1 个粒子向左，第i 个粒子向右，两粒子不相碰，速度保持不变 v i i2v i 1 0 ，v i2v l o ( 田缸i p ，毛 p ，第i 1 个粒子向右，第i 个粒子向右， a 若v 1 1 v i ，两粒子相碰，且是同方向追尾碰撞 v t t = 业专虹舻盟筹堑 b 若k i v i ，两粒子不相碰，速度保持不变 v 1 12v i 1 0 v i2 v ，) 0 l p ，p ，第i - 1 个粒子向右，第i 个粒子向左，两粒子相碰，且是对碰 ， = 垫篙粤，v t = 盟等坠 在这里，考虑三种不同类型的碰撞过程 类型一。 在碰撞过程中，粒子是以从高温端向低温端的顺序进行碰撞的每个粒子都要与左 右两个粒子进行碰撞。第i 个粒子与左右两个粒子碰撞的先后顺序由左右两个粒子的温度决定第 i 个粒子先与温度高的粒子碰撞，碰撞后，不经过热平衡处理，即仍保持速度方向不变，继续与另 一相邻粒子碰撞。考虑热力学第二定律：热量不能自动r h 低温传向高温，所以在模拟中我们加入碰 撞限制条件，能量只能从高温粒子传向低温粒子，取消不符合此条件的碰撞。 类型= ：在碰撞过程中，粒子按高温端向低温端的顺序进行碰撞和按低温端向高温端的顺序 进行碰撞是随机的。每个粒子都要与左右两个粒子进行碰撞。但第i 个粒子与左右两个粒子碰撞的 先后顺序由第i 个粒子与左右两个粒子的温度差决定第i 个粒子先与和它温度差大的粒子碰撞， 碰撞后，不经过热平衡处理，即仍保持速度方向不变，继续与另一相邻粒子碰撞当从一端到另一 端碰撞完成后，再做一次反方向碰撞，方法同上同样，取消不符合热力学第二定律的碰撞。 类型三：在碰撞过程中，在所有的粒子中随机的选取一粒子与左右粒子碰撞，第i 个粒子与左 右两个粒子碰撞的先后顺序由第i 个粒子与左右两个粒子的温度差决定第i 个粒子先与和它温度 差大的粒子碰撞，碰撞后，不经过热平衡处理，即仍保持速度方向不变，继续与另一相邻粒子碰撞。 经过足够多次的随机选取，链上的粒子温度最终达到热平衡 2 2 结果与讨论 用上述模型可以分别研究以下几种质量分布的一维原子链：单原子链、双原子链、准周期性的 h b o n a c c i 链，广义h b o n a c c i 链、p e r i o d - d o u b l i n g 链和t h u e - m o r s e 链 第二章一维原子链的热导模拟 ( i ) 双原子链的序列为：a b a b a b ( i i ) f i b o n a c c i 链的序列是由如下规则从单个元素( 如a ) 产生的 a - - , a b 。b + a 这样产生的序列为：a b a a b a b a 。 ( i i i ) 第一类广义f i b o n a c c i 链的序列是由下列规则从单个元素( 如a ) 产生的 a _ a 1 电，b - + a 当m = l 时就是f i b o n a c c i 序列。m = 2 的第一类广义f i b o n a c c i 序列为：a a b a a b a ( i v ) p e r i o d - d o u b l i n g 链的序列是由下列规则从单个元素( 如a ) 产生的 a b ，b 姒 这样产生的序列为：a b a a a b a b ( v ) t h u e - m o r s e 链的序列是由下列规则从单个元素( 如a ) 产生的 a a b ，b - - b a 这样产生的序列为：a b b a b a a b 。 这里把a 看作大质量粒子，b 看作小质量粒子，粒子按这些序列排列即形成质量分布不同的一 维链。令小质量粒子质量为一个质量单位，大质量粒子与小质量粒子的质量比为6 类型一 粒子总数取为n = 2 0 0 ，t l - - 4 0 0 k ，t f 3 0 0 k ，p 取为o 5 ，即粒子向右运动和向左运动的概率相 同初始时，一维链未与热源接触，链上各原子温度为零，当接触热源后，经过足够多次的碰撞后， n 图1 单原子链的t o n 图黑实心方块组成的线是过程一的结果， 红空心圆组成的线是固定碰撞顺序模拟出的结果 第二章一维原子链的热导模拟 即4 5 0 万次碰撞，一维链处于热动平衡状态后，开始统计每个粒子速度平方的平均值，统计碰撞次 数达到5 0 万次，进而得出每个粒子的温度，画出温度- 粒子数图像。 对于一维单原子链，模拟结果显示于图1 中的黑实方块线。可看出，单原子链的温度分布无梯 度变化，这一性质与谐振链模型和单原子t o d a 模型的结果相似“2 1 ，与d h a ra 的结果也类似“1 。除 端口几个原子外，整体处于单一温度值1 t ，t c 与两端热源温度的关系通过数值拟合得到下述关系 式： t c = 0 3 6 5 3 2 6 t t + 0 6 3 4 6 7 4 t r ( 5 ) o 2 1 o 一 i t i l 4 t - 3 _ 嫩杰4 0 0 旧 1 52 o2 53 oo 5 0 1 0 01 5 02 5n 图2 质量比较小时，几种原子链的温度分布及梯度随质量比的变化 ( a ) 温度梯度- 质量比关系l ( b ) 温度一粒子敷关系 无论热源温度以及温度差值为多少，原子链的温度总遵循此关系。此关系不同于谐振链模型、单原 子t o d a 模型、d h a x a 的模型 i l l 的结果若在我们模拟碰撞的过程中，若固定碰撞顺序，即粒子先 与左端粒子碰撞，然后再与右端粒子碰撞，则模拟结果显示单原子链的温度分布呈梯度分布( 见 图1 中红的空心圆组成的线) 这一结果说明，产生温度分布无梯度变化的原因，是由于两端热源 同时向中间各低温粒子传递能量，可能导致粒子问对碰，反而导致粒子温度降低，最终导致温度不 能按梯度分布即这两种能量传递共同竞争导致温度分布不成梯度。中间各粒子的温度处于一个单 一温度值 从单原子链的结果看来，新模型具有一定的合理性，在这基础上讨论质量比不为1 时的情况 对于一维的原子链，发现当质量比6 介于1 到3 之间时，双原子链，f i b o n a c e i 链，第一类广义f j b o n a c c i 链( m - 2 ) ，p e r i o d d o u b l i n g 链和t h u e - m o r s e 链上的温度分布是存在部分梯度的，图2 ( a ) 显示了 质量比5 值在l 到3 之间时。双原子链的温度梯度与质量比6 的关系，由图可知在6 为1 1 左右时。 1 4 芒一蓦暑e詈毒 第二章一雏原子链的热导模拟 温度梯度的绝对值最大，随着6 的增大，温度分布的斜率越来越小，6 大概在3 时，斜率接近于零， 链上温度分布不再具有线性，除端口几个原子外，整体处于单一温度值t 附近。 3 时，链的温度分布不再呈现梯度特征。图4 显示的是双原子链，随机链， f i b o n a c c i 链，第一类广义f i b o n a c c i 链( m ：2 ) , p e r i o d - d o u b l i n g 链和t h u e - m o r s e 链的平均温度与5 值的关系。当6 大约为7 时，这几种链的平均温度达到最低值，随着6 的增大，链的平均温度又继 续增加。由图4 可以看出，除随机链平均温度振荡较大外，平均温度随6 的变化趋势基本分为三种： 双原子链，f i b o n a c c i 链，p e r i o d - d o u b t i n g 链的平均温度随5 的增加逐渐趋近一个较低的值2 8 0 k ；随 机链和l 匝b o n a c c i 链( m - 2 ) 处于较高的平均温度值3 5 0 k ：t h u e - m o r s e 链则处于高温热源和低温热 源之间为3 1 0 k 。另外这几种链的曲线之间的差别与不同质量粒子所占的比率无关，主要是由链上 粒子质量分布不同造成的。这从图4 上可以推断出，因为双原子链，随机链，t h u e - m o r s e 链的大质 量粒子所占比例都是5 0 ，但是却趋于不同的温度 类型= 粒子总数取为n = 2 0 0 ，t l - 一i o o k ，t r = 3 0 0 k ，p 取为0 5 。初始时，一维链未与热源接触，链上 各原子温度为零，当接触热源后，经过足够多次的碰撞后，即4 5 0 万次碰撞，一维链处于热动平衡 状态后，开始统计每个粒子速度平方的平均值，统计碰撞次数达到5 0 万次，进而得出每个粒子的 温度，画出t - n 图像或t - x 图像。其中， 工= n n 图5 过程二模拟的单原子链的t - n 圈 对于一维单原子链，模拟结果显示于图5 可看出，单原子链的温度分布存在梯度，这一结果与f p u 模型和离散矿的结果相似。无论熟源温度以及温度差值为多少，原子链的温度总遵循下式： 巧= ( 9 9 7 2 2 2 4 _ 1 3 3 0 5 8 n + o 0 5 8 2 1 2 _ o 0 0 2 0 9 3 ) 马孑+ 瓦 ( 6 ) 1 6 第二章一维原子链的热导模拟 6 图6 首尾两个粒子的质量对温度分布的影响 ( 实心方块图为首原子质量为6 的链，实心三角图为尾原子质量为6 的链) ( a ) 质量比6 - 2 时链的t - x 图 ( b ) 链的左端温度6 图与链的右端温度6 图 图6 是首尾两个粒子的质量对温度分布的影响图6 ( a ) 是首尾粒子与链上其它粒子质量比6 为2 时链的温度分布从图6 ( a ) 中看到，温度分布仍然存在梯度，且梯度的大小与首尾两端的温 度有直接关系。图6 ( b ) 是这两端的温度随质量比6 的变化。交化趋势基本相同，都在6 = l 处达到 温度最大值。随后又都在5 = 3 。8 2 ，1 3 附近处达到局域极大值，在8 = 2 8 ，6 4 ，1 1 4 ，1 6 6 附近处 达到局域极小值 y 、 i - - 矗 图7 各种链的第一个原子温度与质量比的t - 6 图 第二章一维原子链的热导模拟 图7 给出了双原子链，随机链，f i b o n a c c i 链，第一类广义f i b o n a c c i 链( m = 2 ) ，p e r i o d - d o u b l i n g 链和t h u e - m o r s e 链的左端的温度随质量比而变化的t - 6 图从图8 中。我们看到各链的温度分布 大体上都呈现梯度特征，但有少许波动。但从图7 中可得到，链的整体温度与碰撞过程一变化趋势 类似，并不是随6 单调减小的，而是在5 _ 7 附近处链的整体温度达到最小值。 图8 是5 = 7 时这几种链在n = 2 0 0 ，4 0 0 ，8 0 0 三种情况下的t - x 图。在n 不同的情况下，三条曲 线变化趋势基本相同，但并不是完全重台的出现这种现象可能是因为准周期链的集团效应。 在图8 中，发现当n - - 8 0 1 时，f i b o n a c c i 链的t - x 图明显分为三段还发现各链的斜率，即温度 梯度并不相同，斜率值见表一 吣 蝎 蝇 i 日州 蜷 = 黜 酬 图8 质量比6 = 7 ，n = 2 0 1 ，4 0 1 ，8 0 1 时各种链的t - n 图 表1 各链的温度梯度 第二章一维原子链的热导模拟 y 、 卜 圈9 前后两段粒子质量不同的链的t - n 图 图9 是前后两段粒子质量不同的链的温度分布图从图9 中可以看出，整个链基本上还是存在 温度梯度的，只有第1 0 1 个粒子的温度有大幅下降。同时由于质量相差太大，造成了温度的振荡。 类型三 初始条件同类型一和类型二 图l o 单原子链的 r - n 图 对于一维单原子链，模拟结果是图1 0 的点划线与过程二相比，后半段的温度比过程二得到 的温度要高，究其原因，过程二规定了粒子从高温端向低温端的碰撞顺序，而过程兰粒子的碰撞顺 序是随机的 1 9 第二章一维原子链的热导模拟 n 图n 两段式链的温度分布 再看一下前1 0 0 个粒子和后1 0 1 个粒子质量完全不同的链上的温度分布情况，见图1 1 实线表 示的前半段粒子与后半段粒子质量比_ 7 。虚线表示的是前半段粒子与后半段