（理论物理专业论文）广义速度一次型退化拉格朗日场论系统及其局域性问题.pdf

攻读硕士学位期间取得的学术成果 中文摘要 本文从d i r a c 场的拉格朗日密度出发，引出了一类不能用通常的勒让德变换进行哈 密顿化的系统，这类系统的拉格朗日量是广义速度的一次形式，我们称它们为广义速度 一次型的退化拉格朗日系统。这类系统是相当普遍的，故而我们系统的讨论了这类退化 拉格朗日系统的性质。从其拉格朗日方程出发，导出了这种系统的泊松括号和哈密顿形 式，我们的讨论分为含纯玻色元和同时含有玻色费米元两种情况进行。其中，新的哈密 顿化方法的建立模式，以及所引入的两个互逆矩阵和泊松括号的性质，特别是泊松括号 的雅可比恒等式是我们推导的重点。这种对速度线性依赖的拉氏系统有哈密顿结构的结 果，在文献中曾有人提到并加以应用过，但我们尚未见到系统的论述和严格的推导。论 文的另一项重点是，当我们将以上方案推广到退化的二维场论系统时，发现会引出这种 广义速度一次型退化场论系统的局域性问题。我们研究并给出了使得这类退化拉格朗日 场论系统保持局域性的充分条件，然后，在这种场论局域性条件满足的基础上，完成了 将上述哈密顿化方法推广到退化场论系统中的工作。 关键词 退化场论系统，哈密顿表述，泊松括号，局域性 西北大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l ew es t a r tf r o mt h el a g r a n g i a nd e n s i t yo fd i r a cf i e l d ，t o e l i c i tak i n do fs y s t e mt ow h i c hc a nn o tg i v et h eh a m i l t o n i a ne x p r e s s i o nt h r o u g h t h en o m a ll e g e n d r et r a n s f o r m a t i o n t h el a g r a n g i a nf u n c t i o no f t h i sk i n d o fs y s t e m i sl i n e a r l yd e p e n d i n go nt h ev e l o c i t y w ec a l lt h e m1 i n e a rv e l o c i t yd e g e n e r a t e l a g r a n g i a ns y s t e m i tisf o u n dt h a tt h isk i n do fs y s t e misv e r yc o m m o n t os t u d y t h ep r o p e r t yo ft h i sk i n do fd e g e n e r a t el a g r a n g i a ns y s t e ms y s t e m a t i c a l l yi so u r j o b f r o mi t sl a g r a n g i a ne q u a t i o n ，w ed e r i v et h ep o i s s o nb r a c k e ta n d h a m i l t o n i a n s t r u c t u r e w ep r o v et h es y m m e t r yp r o p e r t i e so ft h ep o i s s o nb r a c k e tb ys t u d y i n g t h ec o r r e s p o n d in g s u p e r m a t r i x w es t u d yt h eb o s o n ics y s t e ma n d t h e b o s o n i c f e r m i o n i cs y s t e ms e p e r a t e l y ，a n dp u te m p h a s i so nt h ec h a r a c t e r so ft h e p o i s s o nb r a c k e ta n de s p e c i a l l yo nt h ej a c o b ii d e n t i t y t h i sk i n do fl a g r a n g i a n s y s t e ma n di t sh a m i l t o n i a ns t r u c t u r ew a su s e di n1 i t e r a t u r e h o w e v e r ，w ed i dn o t y e tf i n das y s t e m a t i cd e t a i l e dd e r i v a t i o n o u rn e x tm a i np o i n ti st h a tw ef i n d t h e r ei sal o c a li z a t i o np r o b l e mw h e nw ee x t e n dt h em e t h o dt ot h et w o d i m e n s i o n f i e l ds y s t e mo f s u c hd e g e n e r a t el a g r a n g i a nf u n c t i o n w eg i v et h es u f f i c i e n t c o n d i t i o nw h i c hc a na s s u r et h es y s t e mt ob el o c a l a n dt h e r iw ef i n i s ht h ew o r k a b o u te x t e n d i n go u ra p p r o a c ht ot h et w o d i m e n s i o nf i e l ds y s t e mw i t hs u c h d e g e n e r a t el a g r a n g ia nf u n c tio n k e yw o r d d e g e n e r a t ef i e l ds y s t e m ，h a m i l t o n i a ne x p r e s s i o n ，p o i s s o nb r a c k e t ，l o c a l i z a t i o n 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学 校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人 允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构 将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用奎声咀。 学位论文作者签名：歪! 蚕指导教师签名： 严月日 疹罗年易r 出 | 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者虢哆豸 ，7 年彳月i 日 西北人学硕七学位论文 第一章引言 在弦论的研究中，会经常遇到拉格朗日量是广义速度一次式的系统n 1 ，而对于这种 系统，我们无法用经典理论中通常的勒让德变换的步骤来完成其拉格朗日表述向哈密顿 表述的过渡。而且这种情况我们早在量子力学中的d i r a c 场，即自由电子的相对论量子 理论中就遇到过，故而我们觉得有必要再对这种情况的问题进行系统的研究。我们尝试 着绕开从广义动量的表达式反解出广义速度的经典做法，希望能够找到另一种有效的将 系统拉格朗日描述过渡到哈密顿表述的办法，结果却发现，在把这种办法推广到我们所 界定的退化场论系统时，会引出场论系统的局域性问题，发现它不一定是局域的，故而 我们给出了保证其局域性的条件。 为了尽量使本文自给自洽，在引言部分，对必要的基础知识作了扼要的引用及说明。 此部分中的大多数内容，虽是对已有结论的简要复述，但对本文所研究的问题的引出和 深层次讨论的启示作用是重要的，至于其详细内容请参阅相关文献。 1 1dir a c 方程的引入 为了自洽的引入d i r a c 方程，我们有必要先回顾一下薛定谔方程以及k g 方程的引 入。 1 1 1 薛定谔方程的引入思路 我们知道，物质波性与粒性是统一的整体，只是在不同的条件下，其中的某一方面 的性质对我们的观察和研究而言，可以忽略，故而整体上突显为另一方面的性质。 d e b r o g l i e 给出了这两者之间的关系： e = h o )，户= 磁( 1 1 ) 式中，e ，户为物质表现为( 自由) 粒子性的能量和动量，纰霞为物质具有波性的波频与 波矢。从( 1 ) 式看来，一个能量为e 动量为户从而表现出粒性的主体( 即经典粒子理 论中所谓的自由粒子) ，唯一的对应一种能呈现下列波性的主体( 即经典波理论中所谓 的平面波) ： y ( f ，尹) = a e 心扣耐 式中，彳为振幅，y ( f ，尹) 表示在时n t 和空间某点尹= ( z ，y ，z ) 处，该主体呈现出波性， 其振动的位移为y ( f ，尹) 。我们将主体粒性与波性的相关统一性( 1 1 ) 式代入上述表达式， 有 第一章引言 g ( t ，尹) = a e x p - 兰( p 尹一e t ) ，l 将( 1 2 ) 式两边对坐标微分，有 李v 叭f ，尹) ：和( f ，芦) z ( 1 2 ) ( 1 3 ) 从上式可以看出，左边是一微分算符鱼v ，而右边则是经典力学中描述主体粒性的动量 f 户，在经典理论中，我们知道户这样一类物理量在与其他任何数量相乘时是可以交换次 序的，d i r a c 称之为c 数( c o i n r n 。n ) ，亦即普通数；而李v 则称为q 数，意为量子力学的 z 算符，一般是不能在乘积中与其他量作随意交换的叫。通常把鱼v 称为动量算符，从( 1 3 ) f 不难看出， h _ v 兰声 z ( 1 4 ) 上式中的恒等式有两种含义：a 动量算符李v 对函数y ( f ，尹) 的作用等效于表征粒性的经 典力学动量户与沙( f ，尹) 的乘积；b 表征主体粒性的经典力学动量本身可看做量子力学动 量算符的代表( 这是因为量子力学是经典理论的推广，以下我们也能看到，这种算符对 经典代表量的替代，正是经典理论向量子力学过渡所要求的) 。 同理，在( 1 2 ) 式两边对时间取微分，则 一孚杀妒( r ，尹) = e y ( r ，n 故而， 一鱼旦三e f 孤 ( 1 5 ) 式中一罢芸称为能量算符，上式的恒等意义类似于( 1 4 ) 式。 zo t 以上做法中，我们的思路是将粒波统一性关系式( 1 1 ) 代入到经典理论中对波性的 描述方程中，从而给出了经典力学过渡到量子力学时应该考虑的一些基础；下面，我们 就借助于已经得出的结论( 1 4 ) 和( 1 5 ) 式，将其代入经典力学中用来描述主体粒性 的关系式( 即经典理论中所谓的自由粒子的能量动量关系) e = 卢2 中，得到 z m 西北大学硕士学位论文 壳a 壳2 订2 一了一b t 一一2 m 2 这是一种算符方程，考虑到在量子力学中同时考虑了主体的粒波两性，所以需要引入一 种新的能够全面描述主体性质的函数，即所谓的“态函数缈( f ，尹) 。 当将上述方程的两边分别作用到态函数烈f ，尹) 上时，即可得到经典条件下呈现出自由粒 子性的那类主体所满足的方程( 即所谓的自由粒子的薛定谔方程) ： 一孚扣一= 一嘉v 2 毗力 按照波尔的观点，方程的解烈，尹) 应当取概率解释。其实，在经典理论向量子理论过渡 的过程中，力学量变为算符是必需的。这是因为，在经典领域中，测量经验告诉我们， 只要测量条件一定，无论对力学量做多少次测量，所得之结果都会取同一个值( 不考虑 误差) ，也正是基于这样的测量经验表象，我们建立了相应的经典力学理论体系，即我 们用这种理论对经典范围内测量结果进行理论预测时，认为只要测量条件一定，所测的 结果将是单值式的，这也就是经典因果律下的决定论；然而，当我们的研究领域拓展到 量子领域时，新的测量事实出现了，即在相同的测量条件下，我们对同一力学量的测量 却会得到多种结果( 当然不会超出该力学量的本证值范围) ，即多值式的，基于这种经。 验表象，我们建立了相应的量子力学理论体系，当我们用这种理论进行预测时，认为测 量条件一定，所测得的结果将是多值选择式的，而且取各种值有固定的概率分布，这就 是量子因果律下的概率论。既然如此，在经典理论中，我们选用一般的数学函数及方程 就足以用来表示力学量及其演化规律；而在量子领域中，我们则需要选取一套合适的数 学工具来体现上述的测量经验表象，即概率式多取值现象。为此，我们需要选用算符( 矩 阵) 来表示量子力学中的力学量，同时选用算符的本证值方程来体现力学量的多取值现 象，用波函数或态矩阵来对应力学量取值之概率分布。 1 1 2 卜- g 方程 仿照上文中引入薛定谔方程的思路，我们希望能够给出相对论性的量子理论。而在 将量子力学向相对论领域推广时，我们先考虑最简单的情形，即自由粒子性主体的( 狭 义) 相对论性量子理论。 考虑到相对论中自由粒子的能量一动量关系为 e 2 = c 2 p 2 + 垅2 c 4 这里为了表述的简洁，我们采用自然单位制h 3 ，简记为 第一章引言 e 22 p 2 + 肌2 移用上文中引入薛定谔方程的方法，将 宅= 谪t 及 p = 一i v 代入( 1 6 ) 式，并作用于态函数沙，即得到所谓的k g 方程： ( v 2 一a ，2 - m 2 ) y = 0 即 ( a 丘2 一m 2 ) y = o 其中，a 2 瓦3 ( 1 = 1 , 2 , 3 , 4 ) ， = ( 五，x 2 ，x 3 ，x 4 ) ，x 4 = i t ( = ( v ，嗣f ) a 4 _ 志一n a “2 = v 2 - 3 ，2 = 凸即d 么砌6 f 算符 ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) 1 1 3d jr s c 方程 由于k g 方程在描述自由粒子时会产生一系列疑难畸1 ，故而d i r a c 试图建立一个 更为合理的方程： ( a 声+ m ) 沙= 0 ( 1 9 ) 即，电子场是用一个满足上述方程的算符y 来描写的，其中聊为常数，y 是- y u 矩阵， 且儿是服从反对易关系 1 去( 形+ 形) = 瓯， ( 1 1 0 ) 的正方矩阵。 可以验证，( 1 9 ) 式的确比( 1 7 ) 式要更为合理。首先，( 1 9 ) 式中a “式线性的， 并不像( 1 7 ) 式那样含有对时间的二次微分导数，故而不会出现负几率困难；再者，( 1 9 ) 式是相对论性方程，满足l o r e n t z 协变；最后我们可以很容易由d i r a c 方程( 1 9 ) 式导 出( 1 7 ) 式： 4 西北大学硕士学位论文 我们用三( 托a ，一垅) 乘( 1 9 ) 式，可得 圭( 托a ，虼丸一m 2 + m 形a ，一班巧九) 沙= o 利用( 1 1 0 ) 式的反对易关系，代入上式，可简化为 圭( 托以# - - m 2 ) y = o 交换指标和y ，又有 圭( 托a a v - - m 2 ) y = o 两式相加并再次利用( 1 1 0 ) 式，即可得到k g 方程。 以上所涉及的”，即是通常所谓的d i r a c 矩阵，如果选取这些矩阵为 兀= 携= o o0一f o 0 一f o of0o f000 o 0一f0 0 00f f 00 0 of00 ， 7 22 ， 九2 0o 0 oo1 o10 1o 0 l0o 0 1o 0 o一1 oo 0 则通过矩阵的直接相乘即可证明反对易关系式哺1 ( 1 1 0 ) 。 1 2 电子场的拉格朗日形式 下面，我们尝试着利用d i r a c 方程给出电子场的拉格朗日形式。为此，我们先回顾 一下经典理论中的拉格朗日表述的建立，然后再仿照着给出电子场的拉格朗日形式。 1 2 1 经典理论中的拉格朗日方程 众所周知，力学系统运动规律的最一般表述由最小作用量原理( 或哈密顿原理) 给 出。根据这个原理，描述每个力学系统都可以用一个相应的函数 上( 吼，q 2 吼，磊，香2 玩，f ) 简记为l ( q ，口，t ) 来描述，我们称之为拉格朗日函数，并且，系统的运动方程还应需要满足下面的条件： 假设在时刻t = t l 和t = t 2 系统的位置由两个坐标g ”和q 2 确定，那么，系统在这两个 位置之间的运动必然使得积分 5 0 o o o 0 o o o 第一章引言 s = ：2l ( q ，口，f ) ( 1 1 1 ) 取最小值，积分( 1 1 1 ) 式称为给定系统的作用量( 故而以上原理才称为作用原理) 。 特别值得注意的是，在我们所给定的拉格朗日函数的形式中只包含g 及口，而不包 含更高阶导数百，虿，这实际上是基于这样的一个物理事实，即力学状态完全由坐标和 速度确定。 下面，我们利用求积分( 1 1 1 ) 的最小值( 更普遍的做法是数学上的求驻值) 来推 导系统的运动微分方程。为简化起见，我们先考虑只有一个自由度的系统，再作多自由 度系统的推广，至于场论体系的推广，也是自然的。 最小作用量原理可以写成 6 s = 万：2 l ( q ，香，f ) a t = o 具体写成 嬲= r ( 薏而+ 薏却渺= 。 考虑到西= 丢却，故而将上式第二项分部积分，得 船= f 考却+ 瓦d 面b l 。- g ) 一面d 面a l ) 寥p = 。 即嬲= 考国i + f 2c 考一石d 酉o l ，啪= 。 由于6 q ( t 。) = 西( 乞) = 0 ，故而上式第一项为零，而剩下的积分在西取任意值时都要 求等于零，这只有被积函数恒等于零的情况下才有可能，于是我们得到方程 丝一旦一b l ：o ( 1 1 2 ) d g d td 口 此即一个自由度系统的普遍运动方程。 对于有s 个自由度的系统，在最小作用量原理中有s 个不同的函数q i ( f ) 应该独立的 变分，显然我们可以得到s 个方程口3 芸一丢盖州矧2 卿 同样，对于场论系统，我们只需要将有无限自由度的连续的场系统划分为小格，从 而将其转化为分立可数的自由度系统，然后再取极限让其恢复为连续系统且p - i 得到场方 6 西北大学硕士学位论文 程 而3 也( 赤) _ o ( 1 以上我们用一般的作用量原理给出了单自由度，多自由度，及场论连续系统的运动 方程，即拉格朗日方程。 1 2 2 电子场拉格朗日形式的引入 现在，我们回到电子场的讨论。 对于d i r a c 方程( 1 9 ) 式，考虑积分 o = d 4 x 缈( a + 聊) 矿 = 万工d 4 缈( 圪a + m ) y 与作用量原理0 = 8 s ：万p 。x l 相比较，可以认为电子场的作用量为 s = 工d 4 a v t ( y , b + 聊) y 故而电子场的拉格朗日函数密度可以方便的的取为 l = 妒( 以a + ，z ) y ( 1 1 5 ) 将以上所得之拉格朗日函数密度代入场方程 面b l 一- b u ( 志) _ o 同时考虑到妒，沙及a y 是独立变量，有 面3 l a 丽b l 历= 聊妒- 3 u ( 吼) 2 历矿一兀a 歹 即得到 以a 驴一m e g = o 及以a y + ，z y = 0 即，由拉格朗日密度( 1 1 5 ) 式给出的拉格朗日场方程即是d i r a c 方程徊1 ，这也充分 证明了电子场的拉格朗日密度取( 1 1 5 ) 式的合理性。 1 3 一般步骤下电子场的哈密顿化及其疑难 现在我们尝试着用上文中得到的电子场的拉格朗日函数密度( 1 1 5 ) 式，来考虑电 子场的哈密顿表述形式。本文所研究的问题，正是在讨论用经典方法和步骤使电子场由 拉格朗日表述向哈密顿表述过渡的过程中引发的，为了能突显出本文后面将要研究的问 7 第一章引言 题，在此有必要先简明的回顾一下经典理论中从拉格朗日表述向哈密顿表述过渡的过程 和思路。 1 3 1 经典理论中勒让德变换下的哈密顿化步骤 我们知道，力学系统的拉格朗日表述和哈密顿表述本质上是统一的，他们都可以由 最小作用量原理( 哈密顿原理) 直接导出，但习惯上我们更倾向于先建立系统的拉格朗 日表述，然后再利用下文将要给出的步骤和思路过渡到哈密顿表述。相比较而言，哈密 顿形式表述的理论结构并没有什么新的实质性的物理含义，而只是用已经建立的物理原 理( 作用量原理) 探索一种更“有效”的研究方法，对于力学问题的直接解，哈密顿方 法比拉格朗日技巧并非更简洁和易于计算，更确切的说，哈密顿观点的优越性只是在于 提供了了一个在许多物理领域范围内作理论推广的框架和思路。在经典力学范围内，哈 密顿表述为哈密顿一雅可比理论和微扰方法这样一些进一步的发展奠定了基础；在经典 力学之外，哈密顿表述则为统计力学，量子理论甚至跨学科的许多分支的建立提供了丰 富的术语。经典理论中，由拉格朗日表述转变为哈密顿表述的具体过程和步骤如下阻1 ： 在拉格朗日表述中，s 个自由度的系统有s 个运动方程，其形式为 _ 8 l 一导罢：o ( _ f = 1 ，2 ，s ) o q i c l to q i 容易看出，这是二阶方程，所以要决定系统在任何时刻的运动都必须先给定2 s 个初 始值。例如，在特定的时刻的s 个吼和s 个玩，或者在，乞两个时刻的s 个吼。我们 用某个s 维位形空间内的一点代表系统的状态( 该空间的坐标是s 个广义坐标) ，并在系 统点沿着它在位形空间内的路径移动及时的跟踪该点的运动，实际上，按照拉格朗日的 观点，一个s 个自由度的系统是一个含有s 个独立变量g f ( f ) 的问题，而香，仅仅被作为g ，的 时间微商的速写而已。 哈密顿表述则以根本不同的视角为基础，我们希望能用一个一阶运动方程( 组) 来 描述系统的运动。由于决定运动的初始条件当然仍应该是2 s 个，所以必须用由2 s 个独 立变量表示的2 s 个独立的一阶方程来描述系统。这2 s 个运动方程描述了以2 s 个独立变 量为坐标的相空间内系统点的特性。在这样加了一倍的两组独立变量中，很自然( 但不 是非此不可) ，所选的一半是s 个广义坐标g ，而另一半独立量组如果选取为广义动量 b ，则正如我们将要看到的那样，新建立的表述形式，即哈密顿表述近乎是完美对称的。 其中，p i 的定义是 西北大学硕士学位论文 一觇( 吼，e l , ，t ) b 2 一 o q i ( 1 1 6 ) ( 另外，可以很简洁的将此定义推广到场论连续系统，这在后文求d i r a c 场的广义 动量时将会用到。) 量( p ，g ) 则称为正则变量。 其实，我们可以突破拉格朗日将幺仅仅看作是吼的速写的观点，即从数学观点看来， 完全可以把g 和香看做是不同的变量，在拉格朗日方程( 1 1 3 ) 式中，l 对于g f 的偏微 商意味着求导时把所有其他的q 和所有的口都看成常数。同样，在对于口的偏微商中， 所有的其他的口和所有的q 都保持不变。严格的作为数学问题看待时，从拉格朗日表述 过渡到哈密顿表述，就相当于我们的力学函数中的变量从( g ，口，t ) 改变为( g ，p ，t ) 。这里 的p 通过( 1 1 6 ) 式与g 和牙相关联。以这种方式来代换变量的步骤由可以用勒让德变 换来实现，这一类变换其实正是特地为这类变量代换而构想的，具体如下： 考虑只有两个变量的函数f ( x ，y ) ，其微分形式为 d f ( x ，y ) = u d x + v d y 式中 “：o f - = ( - x 一, y ) ：“( z ，y ) v ：3 f _ ( - x , y ) ：v ，y ) o y 现在我们希望把描述的基础从x ，y 转变为某一新的不同变量组x ，为此，首先要 设法解出y = y ( x ，) 。 注意到以五，为独立变量时，有 d ( v y ) = y d v + v d y 式中， a y ：攀盟出+ 3 y ( 、x , v ) d v d x 0 1 ， 因此， 卵：掣! 出+ v d y ：塑掣出+ d ( v y ) 一y d v o x 9 第一章引言 或记为 d g ( x , v ) ：d ( f 一哕) ：掣出一y d v a g ，a g ， = _ 出+ _ d v d xo v 即需要寻求的以x ，v 为独立变量的函数为 6 ( x ，v ) = f ( x ，y ( x ，v ) ) 一砂( 石，功 ( 1 1 7 ) 这样定义的勒让德变换有着极其广泛的应用，例如在在热力学中对热力学函数的变换中 我们会经常用到。 现在，将上述变换方法稍加推广，即我们考虑从( g ，口，t ) 到( 9 ，p ，t ) 的变换。虽然这 里的不同之处在于被变换的量不止一个( 因为口= ( 或，口：，口。) ) ，但对于整体思路而言并 无影响。 让我们来考虑一个与( 1 1 7 ) 式相类似的函数 h ( q ，p ，f ) = o i p i - l ( q ，口，t ) ( 对重复指标求和) ( 1 1 8 ) 这里的h ( q ，p ，f ) 称为哈密顿函数。按照( 1 1 7 ) 式，h ( q ，p ，t ) 本应该取作与上式相差一 个负号的形式 h ( q ，p ，f ) = l ( q ，香，f ) 一i l , p , 但两种取法都是正确的，只是前一种取法更能体现日( g ，p ，t ) 的物理意义。 由于 h = h ( q ，p ，f ) 故而其全微分为 d h = 鼍妃+ 筹咄+ 警班 又考虑到根据其定义式( 1 1 8 ) ，可以得到 d h = q , d p , + p 媳一鼍电一鼍o q 姬一荨o t 斑d g f 根据广义动量的定义( 1 1 6 ) 式，上式中含有嘶，的各项都被消去，又由拉格朗日方程结 合广义动量的定义式可以得到 觇 _ = p t o q i 故而 l o 西北大学硕士学位论文 d h _ 呐i 吨d q i 一挚 将此式与前式 羽=掣oq妃+等妃+掣以i o t 印 相比较，可以得到 及 _ a la h 一= 一一 现扔 式( 1 1 9 ) 称为哈密顿正则方程，它们构建了一个用以替代拉格朗日方程的2 s 个一 阶运动方程组成的方程组。即我们在描述一个力学系统时，既可以选用拉格朗日形式的 描述办法，也可以选择哈密顿形式的描述体系，而且，这两者在本质上是等价的，同时， 我们也能借助于数学办法由拉格朗日表述过渡引申出系统的哈密顿表述。 这种由拉格朗同表述建立哈密顿表述的正式的步骤可以归纳如下： 1 ) 分析体系的自由度，恰当的选择广义坐标组吼，以建立拉格朗日函数三( 仍，玩，t ) ； 2 ) 根据定义式( 1 1 6 ) ，将广义动量定义为q i , 香，和f 的函数； 3 ) 基于以上拉格朗日函数及广义动量的表达式，利用式( 1 1 8 ) 构成系统哈密顿 函数值得注意的是，其实在这一步中，我们并没有真正的得到哈密顿函数的表 达式，因为这里哈密顿函数的表示式中同时含有只，q i ，口，和t ； 4 ) 利用广义动量的定义式( 1 1 6 ) ，反过来求出广义速度口，作为( g ，p ，t ) 的函数。后 文中我们将发现，对于一类含有特殊形式拉格朗日量的系统，这一步反演运算 中会出现困难口1 ，而本文正是从这一点出发，来研究相关问题的。 5 ) 利用上一步得出的广义速度的表达式，代入已有的哈密顿函数的表示式中，以 消去广义速度项，从而得到“纯净的 的哈密顿函数。 6 ) 利用给出的哈密顿函数，结合哈密顿方程和泊松括号( 即任意力学量随时间的 变化规律) ，完整的给出对系统性质的描述。 塑觏塑兆 = i i 吼 b 第一章引言 1 3 2 电子场的哈密顿化 有了以上基础，我们就可以回来讨论d i r a c 场的哈密顿化了。 根据上文叙述的由拉格朗日表述向哈密顿表述过渡的方法和步骤，我们先根据 d i r a c 场的拉格朗日函数密度 l = 妒( 以a + 聊) y 及广义动量的定义式( 1 1 6 ) ，可以得到d i r a c 场的动量密度，即 l = 妒( 以a + 珑) y = 死a f j c ，+ 死a 4 y + ，z 泓 = 死a ，少一f 死沙+ 聊咖 展开时，用到了式( 1 8 ) 故而， 兀= 嚣一f 溉= 叫 ( 1 2 。) 可以看出，d i r a c 场的拉格朗日密度对广义速度即沙的依赖关系是一次的，其动量 密度与广义坐标旷不独立，而且在表达式( 1 2 0 ) 中并没有出现广义速度。也就是说， 我们无法遵照前文中所说的步骤利用( 1 2 0 ) 反解出广义速度作为( y ，n ) 的函数表达， 那么后续的哈密顿化步骤将都会失效。 。 那么，我们需要思考：1 ) 这种情况只是一种特殊个例，还是普遍存在的呢? 2 ) 如果普遍存在，我们是否能针对这种拉格朗日系统构造出一套有效的由拉格朗日表述向 哈密顿表述过渡的方法和步骤呢? 3 ) 我们所构造的这套方案如果确实在经典非场论范 围是有效的，那么将其推广到场论连续系统时又是否有新的问题会出现呢? 这些问题正是本文所要研究的核心。 1 2 西北大学硕士学位论文 第二章退化的拉格朗日系统 为了说明前文中不能用通常的勒让德变换来实现拉格朗日表述向哈密顿表述过渡 的问题的普遍性，我们首先需要研究那些系统的拉格朗日函数的一般特点，并以此对本 文的研究范围做出界定，然后举例说明上述拉格朗日系统的普遍存在性。 2 1 退化拉格朗日系统的界定 拉格朗日系统是由拉格朗日函数确定的，它是广义坐标五和广义速度毫的函数 l = l ( x ，克) 由它可以给出作用量 s = i d t l ( x ，文) 由作用量原理可给出运动方程( 对重复指标求和) 普一丢簧= 。，对嘲成立 这个方程组对一切拉格朗日系统都成立。 我们把方程展开， da a 2 l a 2 正3 1 磊面2 _ 硒+ s c ja x j a s c , 一面 髁抛( 嚣 o 我们可以求出戈，因此，当x ，曼确定的任何地方都可以求出戈，这就是普遍情形，也就 是非退化情形；否则，我们称这个日系统是退化的n0 l 。其实前文中之所以会出现无法用 通常勒让德变换实现哈密顿化，就是因为在那里我们遇到的拉格朗日函数密度是广义速 度的一次式，属于一种退化的情形。 在本文中，我们集中研究一种退化的拉格朗日系统，它的拉格朗日量是广义速度的 一次函数 l ( x ，文) = z ( x ) 毫+ g ( x ) ( 2 1 ) 很容易看出，对于这种形式的拉格朗日系统，由于其。甜( 0 2 l = 。，所以当然是 退化的。 1 3 第二章退化的拉格朗日系统 2 2 广义速度一次型退化拉格朗日系统的普遍存在性 至此，我们对我们将要研究的拉格朗日系统的范围作了界定，下面我们对这种拉格 朗日函数是广义速度的一次式的退化系统的普遍存在性作简要说明： ( a ) 普通的朗格朗日系统可以转化为上述退化拉格朗同系统 当腑( 器) 0 式满蹴定义b 鲁从而解峰柏 令h = b 毫- l ( x ，量) = h ( x ，p ) 这时l = b 毫一日( x ，p ) 如果把五，p i 看成是一个新的动力学系统的广义坐标，则这个系统就是( 2 1 ) 式的 拉氏系统。 特别提请注意的是，我们之所以将这种情况列入首位，是为了说明，其实我们可以 把普通的拉格朗日系统看成本文所叙及的那种广义速度一次式退化系统的一种特例，故 而，我们在后文中所构造的哈密顿化的步骤和思路当然也可以适用于一般情形( 即，我 们即便在通常情形，也可以绕开反解广义动量的的问题，而直接去寻求恰当的泊松括号 或者量子对易括号，从而直接给出力学量或算符随时间变化的运动方程。只不过，这样 做，需要先讨论一些先决条件，也需要物理类比和猜测，才能给出恰当的括号结构；而 在通常的情形其实我们选用传统的哈密顿化方法和步骤已经足够，而且将是更为简便 的) 。 ( b ) 狄拉克方程中的拉格朗日量 l = 妒( 兀a 芦+ ，z ) 矿 = 死a ，沙+ 溉a 4 y + 聊咖 = 死a ，y f 觋沙+ ，z 彤 = ( 一面) 沙+ ( 妒z a ，y + m g a r ) 可以看出，它也是广义速度的一次式，即( 2 1 ) 式所定义的退化拉格朗日系统。 ( c ) 在弦理论中，哈密顿化时经常遇到。例如文献 1 中的模型经过适当的参数化，也 能化为上述退化拉格朗日系统n 。 由以上例子可以看出，形如( 2 1 ) 式的退化拉格朗日系统是普遍存在的，那么我们 的研究也将是有意义的。 1 4 西北大学硕士学位论文 第三章退化拉格朗日系统的哈密顿化 既然形如( 2 1 ) 式的拉格朗同函数是广义速度的一次式的退化系统普遍存在，而且 它们又不能用通常的勒让德变换实现拉格朗同表述向哈密顿表述的过渡，那么我们只能 另寻思路，以便构造出一种有效的方法，来实现这种退化系统的哈密顿化。 在这里，我们分为两种情况予以研究，即纯b o s e n 2 1 情形及b o s e - - - - f e r m i 情形两种。 3 1 纯b o s e 情形退化拉格朗日系统的哈密顿化 3 1 1 退化拉格朗日系统的广义速度表达式 在纯玻色情形中，对于形如( 2 1 ) 式的拉格朗日系统，将运动方程具体展开，有 d 觇d ，a f 瓦面= 瓦，。_ 嵩 丝= 笪j ：+ 重 魂魄弛 将两者代入拉格朗日方程，则 t 善一善= 考 ，对一切臧立。 令 嘞= 考啬 则 t = 妻 如果矩阵 有逆： q 矗= 磊 则 q 。孵j 咀i 萼砥文j 屯 1 5 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 第三章退化拉格朗目系统的哈密顿化 毫= q z f _ o g o x , ( 3 3 ) 由此式可以解出毫作为x 的函数，这就给出x 空间的一个速度场，可以用已知的方 法讨论解的存在和唯一性问题。 3 1 2 经典泊松括号的启示 前文中我们已经说明，对于形如l ( x ，文) = z ( x ) 毫+ g ( x ) 的退化拉格朗日系统，通常 的用勒让德变换来实现哈密顿化的方法和步骤是失效的，因为我们无法用广义动量的定 义式反解出广义速度作为广义坐标和广义动量的函数。然而，我们可以仔细考察一下通 常做法中哈密顿化方法的某些合理内核，以便启示我们针对所研究的退化拉格朗日系统 构造出一套新的有效的哈密顿化的方法。 在经典理论中我们注意到，当我们考虑任意一个力学量随时间变化的运动方程时t 据a g a g a g 拈i2 面吼+ 面b + 百 式中对重复指标求和。 再考虑到哈密顿正则方程( 1 1 9 ) 式，上式可以写为 kd g0 g0 h0 go h0 g 昨百5 面面一面面+ 百 我们引入一种新的记号，则能将上式简洁的表达成 。= 警_ g 栅驴+ 警 ( 3 4 ) 式中 g ，日) 驴称为泊松括号，即 黔日，秽= 誓等一善等 5 ， 式中重复指标取和，括号右下角标表示偏微分宗量取( g ，p ) 。这样，我们就可以将 哈密顿正则方程写作对称的形式： p 2 h ) 妒 ( 3 6 ) 【办= 易，日) 够 我们最关心的正是系统的力学量的变化情况，而上述表述中力学量随时间变化规律 的方程( 3 4 ) 式，就是能给出我们所感兴趣的所有力学量的变化信息的方程。而这个方 程是借助于泊松括号来表述的，故而启示我们，在研究系统性质时需要重点讨论其泊松 1 6 两北大学硕士学位论文 括号的情况( 其实后来量子力学的发展，充分显示了泊松括号的重要地位) ，也就是说 只要我们能合理的构造出一个泊松结构，那么我们就能用它给出系统任意力学量随时间 变化的规律，同时也能给出哈密顿正则方程的泊松括号表述。 3 1 3 退化拉格朗日系统泊松括号的引入及哈密顿化 根据以上对经典方法的分析，我们回来研究退化拉格朗日系统的情形： 如前所述，我们可以得到 毫= q 矗警 o x ： 用它与经典正则方程中 a 日 q 1 2 弋一 印f 对以上两式作类比分析，可知 瓯要对应于要 d x id p t 因为按照广义动量的定义( 1 1 6 ) 式，具有形如l ( x ，j ) = z ( 石) 毫+ g ( x ) 拉格朗日量的 系统的正则动量正是 p i = 掣：彳( x ) 0 x ： 即只可以用x 的函数z ( x ) 来表示，而且系统的哈密顿函数为 h ( x ，p ，t ) = 毫忍一l ( i ，j ，t ) = 毫彳( 功一彳( x ) 毫- g ( x ) = 一g ( x ) 即 日对应于g ( x 1 以上对比分析，启示我们在退化的拉格朗日系统情形，如果 在一切x 都有逆， 就可以借由 锡 的逆矩阵 q “】定义一种相应的泊松结构： ，g 】= a ，q a g ( 3 7 ) 式中， 1 7 第三章退化拉格朗日系统的哈密顿化 a ，= 扣2 啬 那么，( 3 3 ) 式可以表达成 毫姐盯考2 鼍考 即 毫= ，g ) ( 3 8 ) 此刘系统的哈密顿方程。 故而对一切力学量彳，有 缸鼍毫= 舡考斗，g ) 即 - = 么，g ) ( 3 9 ) 也就是说，对于具有形如l ( x ，戈) = z ( x ) 毫+ g ( 工) 拉格朗日函数的系统( 纯玻色情形) ， 若其 在一切x 都有逆，即 略= 普一誓 = 磊 则我们可以定义一个泊松括号 f ，g ) = a ，q 玎a g 从而完成这种系统向哈密顿表述的过渡，其哈密顿方程为 毫= 薯，g ) 任意力学量随时间的变化规律为 - = 彳，g ) 3 1 4 和 g 的性质与泊松括号性质的检验 至此，我们给出了一种有效的将退化拉格朗同系统过渡到哈密顿表述的方法，其 核心就是泊松结构( 3 7 ) 式，为了说明其合理性，我们还需要小心验证一下以上泊松括 号的一般性质。 西北大学硕士学位论文 在经典理论中，泊松括号应当满足如下性质( 纯b o s e 情形) ： 1 ) c 为常数时， c ，a 】= o ； 2 ) a ，b ) = 一 b ，a 】； 3 ) a + b ，c ) = 彳，c ) + b ，c ) ； 4 ) a s ，c 】= 么，c 】b + 彳 b ，c ) ； 5 ，扣耻警十p 黔 6 ) 彳， b ，c 】) + 9 ，c ( 彳，b ，c ) = o 下面我们就对所构建的新的泊松结构( 3 7 ) 式进行以上性质的检验。 1 ) c 为常数时， c ，a ) = 0 式显然的。 2 ) 4 ，b 】= 一 b ，a ) 证明： 为了证明这一性质，我们需要先研究一下矩阵 q 玎- i 性质，即 由定义式， = 一咏是自然的， ( 3 1 0 ) 故而 q ，= 一q ( 3 1 1 ) 有了矩阵 q 盯 的对称性质，我们就可以给出泊松括号性质的证明了。 a ，b 】= a f 彳q ，a b 指标交换“_ 只一i ) ，则( 注意这种交换指标求和的技巧在本文中用的很多，下面对 雅克比恒等式的证明技巧的核心正是指标交换求和相消) 彳，b ) = a j 彳q 户，b = 一a ，b q a = 一 b ，a 】 注：式中用到了矩阵 q ， 的性质：q 驴= 一q 证毕。 3 ) a + b ，c ) = 彳，c ) + 曰，c ) 1 9 第三章退化拉格朗日系统的哈密顿化 证明： a + b ，c ) = a f ( 4 + b ) q 玎a c = a f 么q 盯a ，c + o f b q 驴a ，c = 彳，c ) + b ，c ) 4 ) a s ，c 】= 4 ，c 】b + a b ，c 】 证毕。 让明： a b ，c ) = a ，( 彳b ) q 玎a ，c = 舶f 么q 驴a ，c + a b f b f f l c = 彳，c b + a 8 ，c ) 证毕。 5 ，乳牛怪b h ，警) 证明。 杀 伽) = a ，( b i a q ，a i s ) = a f a f 彳q 驴a b + a f a b t f f z 扩a ，b + a f 么q ，a f a j b = a f ( a ，彳) q 玎a b + 0 + a f 彳q 盯a ( a ，b ) = 臀十p 警) 证毕。 6 ) 彳， b ，c ) ) + o 杞( 彳，b ，c ) = o 证明： 么， b ，c ) ) = a ，彳q ，a ，( a 。b q 七，a ，c ) = a f 彳q 盯a 户 b q 丘，a ，c + 3 f 彳q 玎a b b q 盯a ，c + 3 f a f t 盯a b q 盯a 户，c b ， c ，彳】= a ，曰q ，a ，( a t c q 盯a ，彳) = a f b q 盯a 户 c q 盯a ，彳+ a f b q 盯a t c b q 材a ，a + b f b f f 】【，a t c q 七a ，a ，彳 2 0 两北大学硕士学位论文 c ， 彳，b ) ) = a ，c q ，a