（基础数学专业论文）关于一类不定方程组整数解的讨论与研究.pdf

中文摘要 不定方程( 组) 是数论中最古老的一个分支它不仅自身发展十分活跃，而 且广泛地应用于离散数学的其他各个领域它对于人们学习、研究和解决实际 问题有着重要的指导作用因此，国内外有许多学者对不定方程( 组) 进行了广 泛而深入的研究 对于不定方程组 ( a ，b ，c ，d ，6 1 ，如n ) ， 殊形式，特别是6 1 ，6 2 4 - 1 ，士2 ，士4 ) 的情形但是，由于不定方程( 组) 求解的 55zx22一-64yz22：=一1 1 x 2 - - 6 y 牡2 = 1 4 x 2 - - 6 y 灶2 = 1 4 以 如 = | i 驴 8 6 正 一 一 2 z z ，矿群酽 ，、i 关键词 不定方程组，p e l l 方程，整数解，非平凡解，素因子 a b s t r a c t ( 英文摘要) t h ei n d e t e r m i n a t ee q u a t i o n ( e q u a t i o n s ) i st h eo l d e s tb r a n c ho fn u m b e rt h e - o r y i tn o to n l yd e v e l o p sa c t i v e l yi t s e l f ，b u ta l s oi sa p p l i e dt oe v e r yf i e l do f d i s c r e t em a t h e m a t i c s i tp l a y sa ni m p o r t a n tr o l e i no u rs t u d y , r e s e a r c h ，a n d s o l v i n gt h ea c t u a lp r o b l e m s s o ，m a n yr e s e a r c h e r sh a v es t u d i e dt h ei n d e t e r m i - n a t ee q u a t i o n ( e q u a t i o n s ) e x t e n s i v e l ya n dd e e p l yi nt h ed o m e s t i ca n da b r o a d m a n ya u t h o r sh a v es t u d i e dt h i sk i n do fi n d e t e r m i n a t ee q u a t i o n s ( a ，b ，c ，d ，5 1 ，如n ) p a r t i c u l a r l y , t h e yf o c u s e do ns o m es p e c i a lf o r m so ft h i sk i n do fi n d e t e r m i n a t e e q u a t i o n s ，e s p e c i a l l yo n6 1 ，如 士1 ，4 - 2 ，土4 ) h o w e v e r ，b e c a u s eo ft h ed i f f i c u l t y o fs o l v i n gs u c hi n d e t e r m i n a t ee q u a t i o n s t h e r ei sav a s ts t u d ys p a c eo nt h i s p r o b l e m i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，s o m es p e c i a lf o r m so ft h ea b o v e - m e n t i o n e di n d e t e r m n n a t ee q u a t i o n sw e r es t u d i e db yu s i n ge l e m e n t a r ym e t h o d s t h em a i na c h i e v e - m e n t sc o n t a i n e di nt h i sp a p e ra r ea sf o l l o w s ： 1 a l li n t e g e rs o l u t i o n so ft h ei n d e t e r m i n a t ee q u a t i o n s a r eg i v e n 2 t h ei n t e g e rs o l u t i o n so ft h ei n d e t e r m i n a t ee q u a t i o n s a r ed i s c u s s e dw h e ndi sa ne v e ns q u a r e - f r e ei n t e g e r i i i 西 而 f | l | 2 2 妒舻 一 一 2 z z ，圹舻酽 ，-l_-，、_、 1 1 一 = | i 2 2 y z 4 6 一 一 2 2 z z 5 5 ，iiij(1_， l 4 = = 铲塘 吼。 d 一 一 z 可 ，j_i_， 3 t h ei n t e g e rs o l u t i o n so ft h ei n d e t e r m i n a t ee q u a t i o n s a r ed i s c u s s e dw h e ndi st h ep r o d u c to fd i f f e r e n to d dp r i m e s k e yw o r d s i n d e t e r m i n a t ee q u a t i o n s ，p e l le q u a t i o n ，i n t e g e rs o l u t i o n ，n o n t r i v i a ls o l u - t i o n ，p r i m ef a c t o r s i v = = 沪舻 吼。 d 一 一 2 2 姥 驴 ，i-_-，、i_一 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 山 f 学位论文作者签名：建盗迩指导教师签名：袁壁 力哆年月，d 日力研年彳月o 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：毒卜专艮秀l 卅年石月，o 日 两北大学硕十学位论文 1 1 丢番图方程概述 第一章绪论 方程一词源于我国古代最著名的数学著作九章算术，书的第八章叫做 “方程章”，其内容相当于我们现在的线性方程组由于古代采用“竹筹”计 数，将长方形的系数由竹筹排列出来成为长方形，然后变动长方形的竹筹阵以 求解答，这种“列筹成方”的课程就称为方程方程自古以来就是一个极富有 吸引力的数学研究课题 不定方程是数论中最古老的一个分支所谓不定方程就是未知数的个数 多于方程的个数的方程一般来说，他们的解受到某种限制，如是整数，正整 数或有理数等被誉为“代数学之父”的古希腊数学家丢番图于三世纪初研 究过这样的方程，尤其是在他的代表作算术一书中，最杰出的贡献就是 创建了不定方程理论因此，后世把具有整系数的不定方程，如果只考虑其整 数解，这类方程又称为“丢番图方程”实际上，我国古代周髀算经就提 出了商高定理“勾三股四弦五 ，这表明不定方程z 2 + y 2 = z 2 有一组整数 解( x ，y ，z ) = ( 3 ，4 ，5 ) 早于丢番图的研究 不定方程的内容极其丰富，它的分类基本上是由方程的形式决定的例 如，可分为一次方程、二次方程、三次方程、高次方程、指数方程和一些 特殊类型的方程，以及和许多学科交叉渗透产生的新的类型在代数数论、 组合论和群论等数学分支中都提出了一些丢番图方程问题因此，丢番图方 程与数学的其它分支有着紧密的联系由于这种联系，近代许多优秀的数学 家f c r m a t 、e u l e r 、g a u s s 、l a g r a n g e 、k u m m e r 、h i b c r t 等都从事过不定方程 的研究这些研究大大丰富了不定方程的内容，促进了数论的发展 1 笫一章绪论 1 2 丢番图方程的主要成果及在数学领域中的应用 丢番图方程的历史悠久，近年来这一领域出现了许多引入瞩目的优秀成 果，极大的丰富了数论的内容，促进了数学的发展最早系统性研究这方面内 容的著作是“不定方程之王 m o r d c l ll j 于1 9 6 9 年出版的专著丢番图 方程【1 】在国内，第一部专门研究不定方程的著作是著名数学家柯召和孙琦 于1 9 8 0 年出版的著作谈谈不定方程【2 i 在国际上，系统总结这个研究领域 的成果与方法的著作是曹珍富于1 9 8 9 年出版的专著丢番图方程引论 3 1 至今，在丢番图方程的研究中，已经产生了一些重大的成果它一方面是针 对丢番图方程本身，另一方面是丢番图方程在组合论、群论、代数数论及有关 科学领域中的应用 4 - 5 1 对丢番图方程本身，特别重大的成果有：对h i l b e r t 第 十章问题的否定回答，即证明了不存在一个只有有限步运算的方法来判别丢番 图方程f ( x l ，x 2 ，z n ) = 0 是否有解，这里z 1 ，x 2 ，z n z 1 9 5 5 年，r o t hk f 证明了一个著名的定理：设臼是一个n 2 次的代数数，则任意e 0 ，适合 卜考l 0 仅有有限组【引利用这一定理可以证明：二元n ( n 3 ) 次不可约多项式方程解的个数是有限的例如，1 9 6 2 年，我国著名数学家柯 召证明了：当p ，g 是不同的奇素数，在q 2 ( p 一1 ) ，p 2 ( q 一1 ) 时，不定方 程z p y q = 1 只有有限组整数解此外，b a k e ra 还给出了这类方程整数 解的绝对值的上界 7 1 1 9 6 8 年前后，英国数学家b a k e ra 成功地将g e l f o n d 和s c h n e i d e r 有关h i b e r t 第七章的结果推广到一般的情况，给出了一大类 丢番图方程的整数解的绝对值的上界 8 - 9 1 b a k e ra 的工作给数论中包括 丢番图方程的许多领域带来了突破性的进展1 9 7 3 年，d e l i g n er 证明了关 于有限域上不定方程f ( x l ，x 2 ，x n ) = 0 的解的个数的猜想，即著名的w e i l a 猜想【1 0 j 1 9 8 3 年，f a l t i n g sg 证明了m o r d e l ll j 猜想，即有理数域里 亏格2 的代数曲线上仅有有限个有理点【1 1 i ，由此可以推导出f e r m a t 方 程z n + y n = z n ，( z ，y ) = 1 在n 4 时最多有有限组正整数解1 9 8 5 年，利 2 两北人学硕。 ：学位论文 用f a l t i n g sg 定理，h e a t h b r 0 w nd r 证明了l i m 盟婴：o ( s _ o 。) ，这 里n ( s ) 表示n s 使扩+ y n = z n ( 佗 2 ) 有正整数解的那些n 的个数，即对 “几乎所有 的正整数礼 2 ，方程扩+ y n = z n 均没有正整数解【1 2 】1 9 9 5 年，英国剑桥数学家a n d r e ww i l e s 终于攻克了困扰人类智者3 5 8 年的难题 一f e r m a t 大定理，即方程x n + y n = z n ，n 3 时没有整数解a n d r e ww i l e s 教授的贡献不仅仅在于证明了f e r m a t 大定理，更重要的是其中的思想和方法 大大丰富和发展了数论这门学科，甚至在某种意义上推动了数学的发展，这正 是宝石的价值所在 近年来，在应用丢番图方程领域也取得了突出的成果，尤其是在群论、 组合论与代数数论方面曹珍富利用广义p e l l 方程算法给出了所有阶 为p 宇1 p 譬s p q 的单群的确定算法，这里p l ，p 。为给定的s 个不同的素数，p 为 任意素数，q 1 ，口。和q 均为正整数，特别是确定了阶为2 d t 3 a 2 5 n 3 7 a 4 p 口s 的单 群 1 3 】在组合论和图论方面，有几个长期以来没有解决的问题被解决了【1 4 1 7 i ， 其中一个是，1 9 6 7 年s t o r e r t m 对w h i t e m a n 1 9 差集的推广长期以来，人们 关心的问题是：s t o r e r 差集中有多少个不是w h i t e m a n 差集f 2 0 】? 1 9 9 8 年，曹珍 富在解决了一系列丢番图方程问题后，彻底解决了这一问题，证明了s t o r e r 差 集中均是w h i t e m a n 差集【1 4 | 另一个是关于整图的，原始的整图问题被解决 后，又提出了若干新的问题( 参阅 1 7 】) 这些问题都与丢番图方程有关此外， 代数数论中的重要课题之一是研究二次域的类数【2 l 】特别是现代密码学的需 要，使得人们尤其关心类数被某个大素数整除的二次域这方面也有了许多进 展，见文献2 2 2 4 1 总之，在丢番图方程和应用丢番图方程方面，已经产生了许许多多的成果 但是，虽然如此，这一学科仍有很多未知的领域特别是在研究相关学科的过程 中，提出了许多需要解决的丢番图方程问题利用现代数论的成就，一般而言， 可以给出二元高次不定方程的解的绝对值的上界，但所得的上界往往太大，以 至于难以给出方程的全部解而对于其他类型的丢番图方程，特别是指数丢番 3 第一章绪论 图方程还存在着广阔的未知领域【2 5 1 1 3 求解丢番图方程的困难性 解丢番图方程由于没有一个一般的方法、因而它向人类的智慧提出了挑战 尽管有一些丢番图方程的问题叙述简单，容易理解，但解决起来却相当困难，例 如求不定方程 l + z 2 = 2 y 4( 1 3 1 ) 的正整数解( x ，y ) 的问题，在很长一段时间，数学家们只知道它有两组 解( z ，y ) = ( 1 ，1 ) ，( 2 3 9 ，1 3 ) ，但要证明它是否存在另外的解却不容易，直到1 9 4 2 年，l j u n g g r e nw 研究了四次域的单位数之后，用了大量的现代数论的成果最 终才得以证明：方程( 1 3 1 ) 最多有两组正整数解【2 6 1 但是l j u n g g r e nw 的证 明复杂又不初等，且方法上的技巧有太特殊，不能为多数人所接受，故大数学 家m o r d e l ll j 提出了一个公开的问题：是否能找到个简单的或初等的证 明【2 7 j i ? 这个问题直到现在还未解决 对于不定方程 矿y y = z ：，z 1 ，y 1( 1 3 2 ) 著名数学家e r d s sp 猜想它没有正整数解1 9 4 0 年，我国著名数学家柯召证 明了这一猜想是错误的，他证明了方程( 1 3 2 ) 有无穷多组解： z ：2 2 “十1 ( 2 ”一n 一1 ) + 2 n f 2 似一1 ) 2 ( 2 ”一1 ) m i y = 2 2 州( 2 “一n 一1 ) + ( 2 几一1 ) 2 ( 2 n - 1 ) + 2 z ：2 2 “+ 1 ( 2 “一n 一1 ) + n + 1 ( 2 - 一1 ) 2 ( 2 “一1 ) + l _ 一 其中咒 1 【2 8 1 1 9 5 9 年，m i l l sw h 发现柯召得到的解均满足4 x y = z 2 的条 件，因而证明了： ( 1 ) 如果4 x y z 2 ，则方程( 1 3 2 ) 没有正整数解； 4 西北入学硕i j 学位论文 ( 2 ) 如果4 x y = z 2 ，则柯召找到的解是( 1 3 2 ) 的全部正整数解【2 9 】 在1 9 8 4 年，u c h i y a m as 证明了：如果4 x y 2 )( 1 3 3 ) e r d 6 sp 和o b l 矗t hr 解决了方程当p 2 时的情况，但对p = 2 却无能 为力【2 7 | s i m m o n sg j 提出，方程仉! = ( m 一1 ) m ( m + 1 ) 是否仅有正整数 解( m ，n ) = ( 2 ，3 ) ，( 3 ，4 ) ，( 5 ，5 ) 和( 9 ，6 ) ? 这个问题也没有得到解决 丢番图方程的类型繁多，有关丢番图方程解的猜想也十分丰富而且复杂 在这些方程的研究过程中，有一部分猜想得到了肯定的回答，有一部分被证明 是彳成立的，还有一部分到目前为止，既未得到肯定的回答，又没有- 台定的结论 因此，丢番图方程的研究范围仍然非常广阔，需要数学家不断的努力 1 4 研究丢番图方程的方法 丢番图方程的内容异常丰富，但又没有一个统一的研究方法就其研究目 的而言，人们希望尽可能寻求某类型方程的一般的求解方法，以便在更多的场 合更好的应用比如，有些问题在整数环上已经解决了，为了得到新的求解方 法，人们把它拓展到代数整数环上去研究有些问题用高深的方法解决了，人们 还想将其转化为容易处理的问题，以期找到较为初等的方法去解决。因而，通过 这些研究能不断的产生新的结构或新的技巧，而构成这种新结构或新技巧的往 往可能是数学分支的萌芽，也可能对科学技术的发展产生某些特殊的应用 实际上，解决丢番图问题的方法自古至今从来都是不同问题采用不同的方 法，一般说来，我们只能给出丢番图方程的求解原则，即综合利用各种初等的， 高深的方法，将丢番图方程转化为若干容易处理的或有数值结果的方程具体 来说，其求解方法主要分为以下两种： 第一：初等方法它主要包括简单同余法、分解因子法、无穷递降法、比 5 第一章绪论 较素数幂法、二次剩余法、p e l l 方程法和递归序列法等等，上述初等方法都是 利用制造一些矛盾的等式来证明它在某些范围内不成立，从而证明在某处成立 此外，初等方法还包括不等式法、利用整函数的某些性质来解答不定方程等等 第二：高等方法因为有些不定方程利用初等方程求解是非常困难的( 例 如f e r m a t 人定理) ，人们为了解决这些不定方程，创立了许许多多数学方法，主 要有：代数数论、丢番图逼近和p a d i c 方法等等此外，高等方法还有解析数论 和丢番图几何的成果在解一些不定方程中的应用但是，这两种方法在研究不 定方程时侧重点有所不同，解析数论主要研究的是对不定方程解的个数的估计， 而丢番图几何主要研究的是不定方程解的定性或定量性质总之，这些方法都 大大丰富了数论的内容，同时也为我们求解更广泛的不定方程提供了有力的工 具 对于一个具体的丢番图方程 l 厂( z 1 ，x 2 ，z n ) = 0 ，z 1 皿i ，i = 1 ，2 ，n( 1 4 1 ) 其中，( 。1 ，x 2 ，z n ) 是关于未知数x l ，x 2 ，z n 的整系数多项式，i ( i = 1 ，2 ，礼) 是未知数的取值集合，一般情况下，我们需要解决下列问题： ( i ) 方程( 1 4 1 ) 是否有解( x l ，x 2 ，x n ) ? ( i i ) 方程( 1 4 1 ) 有解时，它的解是否为有限组? ( i i i ) a 如果方程( 1 4 1 ) 的解是有限多组，能否可以具体找出各组解? b 如果方程( 1 4 1 ) 的解是无限多组，能否可以找到一个统一的求解公 式? 6 西北人学硕十学位论文 2 1 相关背景 第二章预备矢1 i - i 识 弟一早 耿亩大以 岛a x 2 也- b y 2 2 ：= 如i s l ( a , b , c , d , 5 1 , 5 2 en ) ， 是一类很重要的丢番图方程组，不少学者对它的解和解数都做过许多研究 关于方程组( 2 1 1 ) 的解数问题，t h u e 和s i e g e l 【3 2 】证明了，当( b ，6 1 ) k ( d ，如) ，k z 时，方程组( 2 1 1 ) 至多只有有限组正整数解( z ，y ，z ) 而求解 方程组( 2 1 1 ) 的最常用的方法有b a k e r 有效方法和代数数的逼近例如文 献【3 3 3 4 中就是利用上述方法得出了方程组 仁3 x 2 - - 2 7 彰= y 2 严z2一-36zy22=：-一25 分别只有两组解( 茁，y ，z ) = ( 1 ，1 ，1 ) ，( 1 1 ，1 9 ，3 1 ) 和( x ，y ，z ) = ( 1 ，l ，1 ) ， ( 2 9 ，4 1 ，7 1 ) 还有a n g l i n 给出了求解一些特殊类型的方程组( 2 1 1 ) 的一 个算法描述f 3 5 】此外，初等方法也是求解此类方程组的非常有效的方法，详 见w a l s h 3 6 - - 3 7 ，b e n n e t t ，w a l s h 【3 8 】和袁平之m 的文献，其中，文【3 9 】中给出 可a2x2一-6zc2y2：=1 6 7 第章预备知识 对于方程组( 2 1 1 ) 的一种特殊形式 na32可x22一-。a2lzy22：=。a32一-。a2l c 2 - 2 ， 它的非平凡解的探讨至今乃是d i o p h a n t i n e 方程研究中引人注目且非常活跃的 课题对于方程组( 2 1 2 ) 研究最多的是当系数a l ，a 2 ，a 3 满足 a i a j + 1 n 2 ，1 i 1 0 1 2 6 时，方程组( 2 1 4 ) 至多有两组正整数解f 44 i b e n n e t t 运用 包括二项式的联立p a d 6 逼近，两个对数的线性型理论以及一些g a p 原理在内 西北人学硕- 学位论文 的技术，证明了当n ，b 取不同的正整数时，方程组( 2 1 4 ) 的解的个数不超过3 4 5 1 关于这一特殊情形，袁平之给出了一般性理论 4 6 1 ，较大地改进了m a s s e r ， r i c e r t 4 7 1 和b e n n e t t 4 5 1 等人的结果关于这类情形的一般性猜测是除有限个 小类方程组外，方程组至多只有一组正整数解【4 6 1 此外，文献【4 8 4 9 ，也讨论了其他一些p e l l 方程组的解 2 2 二元二次不定方程理论 本文主要运用t - - 元_ 次不定方程的相关理论，现将有关理论知识做一些 简单的介绍( 相关内容参考文献 5 0 1 ) 定义2 2 1设d 是正整数，且不是一个完全平方数，形如 x 2 一d y 2 = 1 ( 2 2 1 ) 的不定方程，我们称之为p e l l 方程 一般地，我们把形如x 2 一d y 2 = 4 - 1 ，5 = 4 的不定方程都叫作p e l l 方程 定理2 2 1p e l l 方程( 2 2 1 ) 有无限多组整数解( z ，可) ，设 z 3 一d y 2 0 = 1 ，x o ，y o 0 是所有x 0 ，y 0 的解中使x + 可佃最小的那组解( 称( x o ，y o ) 为( 2 2 1 ) 的 基本解) ，则( 2 2 1 ) 的全部解( x ，y ) 由 z + 秒、面= 士( 。o + y o v 伍) n 表出，其中扎是任意整数 定理2 2 2 设d 是正整数，且不是一个完全平方数，如果方程 z 2 一d y 2 = 一1( 2 2 2 ) 有解，且设 a 2 一d 6 2 = 一1 ，a ，b 0 9 第_ 章预备知识 是所有z 0 ，y 0 的解中使。+ 可何最小的那组解( 称( a ，b ) 为( 2 2 2 ) 的 基本解) ，则( 2 2 2 ) 的全部解( z ，y ) 由 z + y 、西= 士( n + 6 、面) 2 n + 1 ，n z 表出，且 = z o + 珈历= ( a + b y e ) 2 ， 其中( x o ，y o ) 是z 2 一d y 2 = 1 的基本解 下面给出关于不定方程 托2 一l y 2 = 1 其中k l ，c 1 为给定的整数，( 七，z ) = 1 ，七l 为非平方数的解的结论 定理2 2 3 如果不定方程( 2 2 3 ) 有正整数解，并设 克z i 一研= 1 ，x 1 0 ，y 1 0 ( 2 2 3 ) 是( 2 2 3 ) 的所有z 0 ，y 0 的解中使z 弧+ 秒川最小的那组解( 称( z 1 ，y 1 ) 为( 2 2 3 ) 的基本解) ，则( 2 2 3 ) 的全部正整数解( z ，y ) 可由下式给出 z 、瓦+ 忻= 士( 。1 、石+ y lv q ) 2 n + 1 ，n n 2 3 本文的研究目的和主要结果 本文主要研究了不定方程组( 2 2 1 ) 的一种特殊形式 产x 2 _ 膨6 y 2 = ：1 4 协3 西北大学硕i ：学位论文 本文的核心内容在第四苹和第五苹，由于在第p q 章的讨论中遇到了不定方 程组 f5 2 2 4 秒2 ：1 i 5 2 2 6 2 2 = 一1 的求解问题，因而我先在第三章讨论了它的解的情况之后，在第四章和第五 章分别讨论了d 是无平方因子的偶数和d 是不同奇素数的乘积时，不定方程 组( 2 3 1 ) 解的一些情况，得到的具体结论如下： ( 一) 当d 是无平方因子的偶数时，得到的结论如下： 结论1 设d = 2 p ii i 叻，p i 三l l ，1 3 ，2 3 ( m 。d 2 4 ) ，劬兰 3 ，7 ，1 9 ( m o d 2 4 ) ，l 3 ，其中诸p i ，是互异奇素数，则不定方程组( 2 3 1 ) 仅有非平凡解d = 2 ，( x ，y ，z ) = ( 4 8 5 ，1 9 8 ，1 4 0 ) k 结论2 设d = 印口r i ，p 三l ( m o d 2 4 ) ，q 三3 ，7 ，1 9 ( m o d 2 4 ) ，r i 三1 1 ，1 3 ， i = l 2 3 ( r o o d 2 4 ) ，其中诸p ，q ，r i 是互异奇素数，则不定方程组( 2 3 1 ) 仅有非平凡 解d = 2 ，( x ，y ，z ) = ( 4 8 5 ，1 9 8 ，1 4 0 ) k 结论3 设d = 2 n p i ，其中p i 为互异奇素数，如果d 没有p 兰 i - - - l 士l ( m o d 2 4 ) 的素因子时，则不定方程组( 2 3 1 ) 仅有非平凡解d = 2 ，( x ，y ，z ) = ( 4 8 5 ，1 9 8 ，1 4 0 ) 当d 有形如p 三= l ：l ( m o d 2 4 ) 的素因子时，方程组可能有非平凡解， 如d = 2x1 1 9 7 时，有解( x ，y ，z ) = ( 4 7 5 2 5 ，1 9 4 0 2 ，4 2 0 ) ( 二) 当d 是不同奇素数的乘积时，得到的结论如下： 结论4 设d = i i p i ，k 3 ，其中诸p i 是互异的奇素数，则不定方程组仅 有两组非平凡解d = 1 1 ，( z ，y ，z ) = ( 4 9 ，2 0 ，6 ) 和d = 1 1x8 9 1 0 9 ，( x ，y ，z ) = ( 4 8 0 1 ，1 9 6 0 ，6 ) 七z 结论5 设d = n p ii i 劬，p i 三1 1 ，1 3 ，1 9 ，2 3 ( m d d 2 4 ) ，劬三5 ( m d d 2 4 ) ，其 i = l j = l 中诸p i ，劬是互异的奇素数，不定方程组( 2 3 1 ) 仅有平凡解z = 0 根据以上结论还得到了以下推论： 推论1 当d = 2 n 时，不定方程组( 2 3 1 ) 仅当d = 2 时有非平凡 1 1 第_ ：章预备知识 解( x ，y ，z ) = ( 4 8 5 ，1 9 8 ，1 4 0 ) 推论2 当d = 6 ，1 4 ，2 2 ，2 6 ，3 8 ，4 2 ，4 6 ，6 6 ，7 4 ，7 8 ，1 1 4 ，1 3 8 ，1 5 4 ，1 8 2 ，2 6 6 ，3 2 2 ， 4 1 8 ，4 9 4 ，8 5 8 ，8 7 4 时，不定方程组( 2 3 1 ) 无非平凡解 推论3 当d = 5 1 1x1 3 1 9 ，5 1 1x1 3x2 3 ， 5 1 1 1 9 2 3 ，5 1 3x1 9 2 3 ， 1 1x1 3 1 9x2 3 ，5x1 1 1 3 1 9x2 9 ， 5 1 1 1 3 2 3 2 9 ，5 1 1 1 9 2 3x2 9 ， 5 1 3x1 9x2 3 2 9 ，1 1x1 3 1 9x2 3 2 9 时， 不定方程组( 2 3 1 ) 无非平凡解 西北人学硕。 ? 学位论文 第三章 不定方程组5 2 2 4 2 = 1 ，5 2 2 6 2 2 = 一1 3 1 引言及结论 55zx22一-64yz22：-一1 l c 3 1 j ， 定理3 1 1 不定方程组( 3 1 1 ) 仪有使z 2 = 1 的整数解 3 2 引理及证明 引理3 2 1 若( z ，y ) 是不定方程5 x 2 4 y 2 = 1 的解，则z 三l ( m o d 4 ) 证明由定理2 2 3 知，方程 的正整数解可表示为 由此可得递推关系： 故有 从而由 5 2 2 4 y 2 = 1 锯z n - t - 2 鲰= ( 锯+ 2 ) 2 卅1 ，n n z ，l + 1 三9 x n + 8 y n ， z n + 1 三x n ( m o d 4 ) x l 三l ( m o d 4 ) 1 3 第三章不定方程组妇2 4 y 2 = 1 ，5 ：r 2 6 2 2 = 一1 可递归出 z n 三l ( m o d 4 ) 证毕 引理3 2 2 若( y ，z ) 是不定方程2 2 3 2 2 = - 1 的解，则y 兰1 ，3 ( m o d 4 ) ， z 三l ( m o d 4 ) 证明由定理2 2 3 知，方程 的正整数解可表示为 2 2 3 2 2 = 一1 钙+ 讵蜘= ( 怕+ 讵) 2 州，佗n 由此不难得到递推关系式： 所以有 从而由z o = 1 可递归出 由y o = 1 得： 由y x = 1 1 得： + 1 = 5 z n + 4 y n ， 鲰+ l = 5 y n + 6 z n ， y n + 2 = 1 0 鲰十l 一 z n + 1 三z n 三l ( m o d 4 ) ， y n + 2 三y n 一2 ( r o o d 4 ) z n 三l ( m o d 4 ) y 4 k 三l ( m o d 4 ) ； y 4 k + t 三3 ( m o d 4 ) ； 1 4 西北人学硕 ：学位论文 由y 2 = 1 0 9 得： 由y 3 = 1 0 7 9 得 从而 综上，引理3 2 2 获证 3 3 定理的证明 y 4 k - 2 三l ( m o d 4 ) ； y 4 k - 3 三3 ( m o d 4 ) y n 三1 3 ( r o o d 4 ) 定理3 1 1 的证明易知方程组( 3 1 1 ) 等价于 25yx22一-34zy22：=一1 1 c 3 暑j ， 由引理3 2 1 和3 2 2 不难知道，若方程组( 3 1 1 ) 有解，则它的解的可能仅有如 ( i ) z 三l ( m o d 4 ) ，y 三l ( m o d 4 ) ，z 三l ( m o d 4 ) ， ( i i ) z 三l ( m o d 4 ) ，y 兰3 ( r o o d 4 ) ，z 兰l ( m o d 4 ) ( i ) 令 代入方程组( 3 3 1 ) 第二式可得： 则2lz 1 ，令z l = 2 z l l 有 2 y l ( 2 y l + 1 ) = 3 z l ( 2 z l + 1 ) ， y l ( 2 y l + 1 ) = 3 z l l ( 4 z l l + 1 ) ( 3 3 2 ) 第三章不定方程组l5 2 2 4 y 2 = 1 ，5 x 2 6 2 2 = 一1 从而3i 可l 或3l2 y ：+ 1 若3 箩1 ，令爹1 = 3 y l l ，则由( 3 3 2 ) 得 由于 y l l ( 6 y l l + 1 ) = z l l ( 4 z l l + 1 ) ( y l l ，6 y l l + 1 ) = ( z l l ，4 z l l + 1 ) = l ：意4 铀+ l 3 慨y l l = 4 z l l + 铀1 3 q 对于方程组( 3 3 3 ) y 有解( 箩1 l ，z 1 1 ) = ( 0 ，0 ) ，从而可得到方程组( 3 1 1 ) 的 解：z 2 = y = z = 1 而方程组( 3 3 4 ) 无解 若3i2 y l + 1 ，令2 y l + 1 = 3 y 1 1 ，则y 1 1 一定是奇数，令y l l = 2 y 1 2 + 1 ， 由( 3 3 2 ) 得： ( 3 y 1 2 + 1 ) ( 2 y 1 2 + 1 ) = z 1 1 ( 4 2 1 1 + 1 ) ( 3 y ：2 + 1 ，2 y 1 2 + 1 ) = ( z l l ，4 z ：1 + 1 ) = l ， 慨3 y 1 2 - t - 1 = 4 z l 铀l + 1 3 剐 23yy。122-1卜-11：=：4名。z。11。j 1 c 3 3 6 ， 而对于方程组( 3 3 ，5 ) ( 3 3 6 ) 均无解 西北大学硕i 学位论文 x = 4 x l + l ，y = 4 y l + 3 ，z = 4 z t + 1 代入方程组( 3 3 1 ) 第二式可得： 2 ( y l + 1 ) ( 2 爹l - 4 - 1 ) = 3 2 1 ( 2 2 1 + 1 ) ， 则2lz l ，令z l = 2 z l l 有 ( 秒l - 4 - 1 ) ( 2 y l + 1 ) = 3 z l l ( 4 z l l + 1 ) 从而3i 1 + l 或3l2 y l + 1 若3ly l + 1 ，令统= 3 y l l l ，则由( 3 3 7 ) 得： 由于 y l l ( 6 y l l 1 ) = z l l ( 4 2 1 1 + 1 ) ( y l l ，6 y l l 一1 ) = ( z l l ，4 z l l + 1 ) = 1 ， ( 3 3 7 ) ：1 地时1 慨3 固 慨y l l = 一4 z l l - 铀 - 1 慨3 对于方程组( 3 3 8 ) ，它的解为：( y l l ，z t l ) = ( 1 ，1 ) ，所以y l = 3 y l i 一1 = 2 ，z l = 2 z l l = 2 ，从而y = 4 y 1 + 3 = 1 1 ，z = 4 y l + 1 = 9 ，又5 x 2 4 y 2 = 1 ， 故z 2 = 9 9 ，而该方程显然无整数解因此，方程组( 3 2 8 ) 无解而易知方程 组( 3 3 9 ) 也无解 若32 可1 + 1 ，则y l 三l ( m o d 3 ) ，令y l = 3 y l i + 1 ，则由( 3 3 7 ) 得： ( 2 y l l + 1 ) ( 3 y l l + 2 ) = z l l ( 4 z l l - 4 - 1 ) 1 7 第三章不定方程组5 x 2 4 y 2 = 1 ，5 x 2 6 2 2 = 一1 故有 或 由于 ( 2 y l l + 1 ，3 y n + 2 ) = ( z l l ，4 z t x + 1 ) = 1 ， 而对于方程组( 3 3 1 0 ) ( 3 3 1 1 ) 均无解 综上在情形( i i ) ，方程组( 3 1 1 ) 无整数解 区l 此不定方程组( 3 1 1 ) 仅有。2 = 1 的整数解 1 8 ( 3 3 1 0 ) ( 3 3 1 1 ) 1+ l n 盈 z 4 | | = l 2 + + 1 i l 1 i l 可 y 2 3 ，ij一， 1+ l现 n 4 z = = 1 2 + + 1 l 1 1 l 可 y 2 3 ，i-ij(1l【 西北大学硕。 ：学位论文 第四章 不定方程组x 2 6 y 2 = 1 ，y 2 一d z 2 = 4 ( i ) 4 1 引言及结论 近年来，对于不定方程组( 2 1 1 ) 的另一种特殊形式 ( 4 1 1 ) 的求解问题一直受到人们的关注当d 是无平方囚子的偶数时，对方程 组( 4 1 1 ) 解的研究结果主要有：1 9 9 8 年，陈志云证明了：当d = 2 n ( 佗n ) 或d = 6 时，方程组( 4 1 1 ) 仅有平凡解z = 0 【5 1 】；2 0 0 2 年，胡永忠，韩清证 明了：当d = 2 p i q j ，其中诸p i ，q 3 是互异奇素数，p i 三5 ，7 ( m 。d 8 ) ，q 3 兰 i = 1 j = l 3 ( m o d 8 ) ，2 3 时，方程组( 4 1 1 ) 仅有平凡解z = 0 s 2 1 ，2 0 0 3 年董彪，杨仕 椿证明了：当d = 印口n ，其中诸p ，q ，r i 是互异奇素数，p 兰l ( m d 勰) ，口三 3 ( r o o d 8 ) ，n 三5 ，7 ( r o o d 8 ) 时，方程组( 4 1 1 ) 除了在d = 3 4 时仅有非平凡 解z = 士2 ，其它情形仅有平凡解z = 0 5 3 】；2 0 0 4 年，乐茂华证明了：如果d 没 有适合p 三l ( m o d 8 ) 的素冈数p ，则方程组( 4 1 1 ) 仅有平凡解z = 0 5 4 】 对于本文将讨论的方程组( 2 3 1 ) ，在d 是偶数时的结论有：2 0 0 2 年， 王冠闽，李炳荣证明了当d = 2 n 时，方程组( 2 3 1 ) 仅有非平凡解d = 2 ， ( x ，y ，z ) = ( 4 8 5 ，1 9 8 ，3 5 ) 1 5 引本章将继续研究方程组( 2 3 1 ) 在d 是无平方因子 的偶数时的解的一些情况，得到的主要结论如下： kz 定理4 1 1 设d = 2 n p in q j ，p i 兰1 1 ，1 3 ，2 3 ( m o d 2 4 ) ，劬三3 ，7 ，1 9 ( r o o d 2 4 ) ，z 3 ，其中诸p i ，是互异奇素数，则不定方程组( 2 3 1 ) 仅有非平凡 解d = 2 ，( z ，y ，z ) = ( 4 8 5 ，1 9 8 ，1 4 0 ) 定理4 1 2 设d = 印g n p 三x ( m o d 2 4 ) ，q 兰3 ，7 ，1 9 ( m o d 2 4 ) ，n 三 1 1 ，1 3 ，2 3 ( m o d 2 4 ) 时，其中诸p ，q ，r i 是互异奇素数，则不定方程组( 2 3 1 ) 仅有 非平凡解d = 2 ，( z ，y ，z ) = ( 4 8 5 ，1 9 8 ，1 4 0 ) 1 9 l 4 | l i i 护谤 乳。 d 一 一 茁 ，-，、_， 筇网章不定方程组一6 y 2 = 1 ，y 2 一d z 2 = 4 ( i ) k 定理4 1 3 设d = 2h p i ，其中p t 为互异奇素数，如果d 没有p 三 士l ( m 。d 2 4 ) 的素因子，则不定i = 1 方程组( 2 3 1 ) 仅有非平凡解d = 2 ，( z ，可，z ) = ( 4 8 5 ，1 9 8 ，1 4 0 ) 当d 有形如p 兰+ l ( m o d 2 4 ) 素因子时，方程组可能有非平凡解，如d 。 2x1 1 9 7 时，有解( z ，y ，z ) = ( 4 7 5 2 5 ，1 9 4 0 2 ，4 2 0 ) 推论4 1 1 当d ：妒时，不定方程组( 2 3 1 ) 仅当9 = 2 时有非平凡 解( 万，y ，z ) = ( 4 8 5 ，1 9 8 ，1 4 0 ) 。 推论4 1 2 当d = 6 ，1 4 ，2 2 ，2 6 ，3 8 ，4 2 ，4 6 ，6 6 ，7 4 ，7 8 ，1 1 4 ，1 3 8 ，1 5 4 ，1 8 2 ，2 6 6 ，3 2 2 ， 4 1 8 ，4