理科数学全国一卷及答案.pdf

2017 高考数学理科全国 1 卷 1 2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学理科数学 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1已知集合|1 |31 x Ax xBx，则 A |0ABx xBAB RC |1ABx xDAB 2如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑 色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点， 则此点取自黑色部分的概率是 A 1 4 B 8 C 1 2 D 4 3设有下面四个命题 1 p：若复数z满足 1 z R，则zR； 2 p：若复数z满足 2 z R，则zR； 3 p：若复数 12 ,z z满足 1 2 z z R，则 12 zz； 4 p：若复数zR，则z R. 其中的真命题为 A 13 ,p pB 14 ,p pC 23 ,ppD 24 ,pp 4记 n S为等差数列 n a的前n项和若 45 24aa， 6 48S ，则 n a的公差为 A1B2C4D8 5函数( )f x在(,) 单调递减，且为奇函数若(11)f ，则满足21()1xf 的x的取 值范围是 A 2,2B 1,1C0,4D1,3 6 6 2 1 (1)(1)x x 展开式中 2 x的系数为 A15B20C30D35 7某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形 组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干 个是梯形，这些梯形的面积之和为 A10B12C14D16 2017 高考数学理科全国 1 卷 2 8右面程序框图是为了求出满足321000 nn 的最小偶数n，那 么在和两个空白框中，可以分别填入 A1000A 和1nnB1000A 和2nn C1000A和1nnD1000A和2nn 9已知曲线 12 2 :cos ,:sin(2) 3 Cyx Cyx ，则下面结论正 确的是 A把 1 C上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把 得到的曲线向右平移 6 个单位长度，得到曲线 2 C B把 1 C上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把 得到的曲线向左平移 12 个单位长度，得到曲线 2 C C把 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长 度，得到曲线 2 C D把 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长 度，得到曲线 2 C 10已知F为抛物线 2 :4C yx的焦点，过F作两条互相垂直的直线 12 ,l l，直线 1 l与C交于A、B 两点，直线 2 l与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A16B14C12D10 11设xyz为正数，且235 xyz ，则 A235xyzB523zxyC352yzxD325yxz 12几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出 了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1， 1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是 0 2，接下来的两项是 01 2 ,2， 再接下来的三项是 012 2 ,2 ,2，依此类推。求满足如下条件的最小整数:100N N 且该数列的前N 项和为 2 的整数幂。那么该款软件的激活码是 A440B330C220D110 2017 高考数学理科全国 1 卷 3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知向量a a，b b的夹角为 60，|a a|=2，|b b|=1，则|a a+2b b|= 14设, x y满足约束条件 21 21 0 xy xy xy ，则32zxy的最小值为 15已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双 曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若60MAN ，则C的离心率为_。 16如图，圆形纸片的圆心为O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为 圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后， 分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17 （12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为 2 3sin a A （1）求sinsinBC; （2）若6coscos1,3BCa，求ABC的周长. 18.（12 分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且90BAPCDP . （1）证明：平面PAB平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，90APD ，求二面角A-PB-C的余弦值. 2017 高考数学理科全国 1 卷 4 19（12 分） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并 测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服 从正态分布 2 ( ,)N （1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(3 ,3 ) 之外的 零件数，求(1)P X 及X的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3 ,3 ) 之外的零件，就认为这条生产线在 这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 （）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04 10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95 经计算得 16 1 1 9.97 16 i i xx ， 1616 2222 11 11 ()(16)0.212 1616 ii ii sxxxx ， 其中 i x为 抽取的第i个零件的尺寸，1,2,16i 用样本平均数x作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否 需对当天的生产过程进行检查？剔除 (3 ,3 ) 之外的数据，用剩下的数据估计和（精确 到 0.01） 附：若随机变量Z服从正态分布 2 ( ,)N ，则(33 )0.997 4PZ， 16 0.997 40.959 2 ， 0.0080.09 20.（12 分） 已知椭圆C： 22 22 =1 xy ab （ab0） ，四点P1（1,1） ，P2（0,1） ，P3（1， 3 2 ） ，P4（1， 3 2 ）中 恰有三点在椭圆C上. （1）求C的方程； （2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明： l过定点. 21.（12 分） 已知函数 2 ( )(2) xx f xaeaex （1）讨论( )f x的单调性； （2）若( )f x有两个零点，求a的取值范围. 2017 高考数学理科全国 1 卷 5 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos , sin , x y （为参数），直线l的参数方程为 4 , 1, xat t yt （ 为参数）. （1）若a=1，求C与l的交点坐标； （2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a. 23选修 45：不等式选讲（10 分） 已知函数 2 ( )4, ( ) |1|1|f xxaxg xxx （1）当1a 时，求不等式f（x）g（x）的解集； （2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围. 2017 高考数学理科全国 1 卷 6 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1A , 2B, 3B,4C, 5D, 6C, 7B,8D, 9D, 10A,11D,12A. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 132 314-515 2 3 3 16 3 4 15cm 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17 （12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为 2 3sin a A （1）求 sinBsinC; （2）若 6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长. 解： （1）由题设得 2 1 sin 23sin a acB A ，即 1 sin 23sin a cB A 由正弦定理得 1sin sinsin 23sin A CB A ，故 2 sinsin 3 BC 。 （2）由题设及（1）得 1 coscossinsin 2 BCBC ，即 1 cos() 2 BC 所以 2 3 BC ，故 3 A .由题设得 2 1 sin 23sin a bcA A ，即8bc 由余弦定理得 22 9bcbc，即 2 ()39bcbc，得33bc 故ABC的周长为333 18. （12 分） 解：（1） 由已知90BAPCDP ， 得ABAP， CDPD 由于/ /ABCD，故ABPD， 从而AB 平面PAD 又AB 平面PAB，所以平面PAB 平面PAD （2）在平面PAD内作PFAD，垂足为F.由（1）可知，AB 平面PAD，故ABPF， 可得PF 平面ABCD.以F为坐标原点，FA 的方向为x轴正方向，|AB 为单位长，建立如 2017 高考数学理科全国 1 卷 7 图所示的空间直角坐标系Fxyz. 由（1）及已知可得 2222 (,0,0), (0,0,), (,1,0),(,1,0) 2222 APBC . 所以 2222 (,1,),( 2,0,0),(,0,),(0,1,0) 2222 PCCBPAAB 设( , , )nx y z是平面PCB的法向量，则 0, 0 n PC n CB 即 22 0, 22 0 xyz y 可取(0, 1,2)n 设( , , )mx y z是平面PAB的法向量，则 0, 0 m PA m AB 即 22 0, 22 0 xz y 可取(1,0,1)m 则 3 cos, |3 n m n m n m .所以二面角APBC的余弦值为 3 3 . 19（12 分）解： （1）抽取的一个零件的尺寸在(3 ,3 ) 之内的概率为 0.9974，从而零件的 尺寸在(3 ,3 ) 之外的概率为 0.0026，故(16,0.0026)XB，因此 16 (1)1(0)1 0.99740.0408P XP X X的数学期望为16 0.00260.0416EX （2） （i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3 ,3 ) 之外的概率只有 0.0026，一天内抽 取的 16 个零件中，出现尺寸在(3 ,3 ) 之外的零件的概率只有 0.0408，发生的概 率很小。因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现 了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的。 （ii）由9.97,0.212xs，得的估计值为9.97,的估计值为0.212，由样本数据 可以看出有一个零件的尺寸在 (3 ,3 ) 之外，因此需对当天的生产过程进行检查。 剔除 (3 ,3 ) 之外的数据 9.22，剩下数据的平均数为 1 (16 9.979.22)10.02 15 ,因此的估计值为 10.02. 16 222 1 16 0.21216 9.971591.134 i i x 2017 高考数学理科全国 1 卷 8 剔除 (3 ,3 ) 之外的数据 9.22，剩下数据的样本方差为 22 1 (1591.1349.2215 10.02 )0.008 15 . 因此的估计值为 0.0080.09 . 20.（12 分）解： （1）由于 34 ,P P两点关于y轴对称，故由题设知C经过 34 ,P P两点. 又由 2222 1113 4abab 知，C不经过点 1 P，所以点 2 P在C上 因此 2 22 1 1, 13 1 4 b ab 解得 2 2 4 1 a b 故C的方程为 2 2 1 4 x y. （2）设直线 2 P A与直线 2 P B的斜率分别为 12 ,k k 如果l与x轴垂直，设: l xt，由题设知0t ，且| | 2t ，可得,A B的坐标分别为 22 44 ( ,),( ,) 22 tt tt 则 22 12 4242 1 22 tt kk tt ，得2t ，不符合题设. 从而可设:(1)l ykxm m，将ykxm代入 2 2 1 4 x y得 222 (41)8440kxkmxm. 由题设可知 22 16(41)0km 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，则 2 1212 22 844 , 4141 kmm xxx x kk 而 12 12 12 11yy kk xx 12 12 11kxmkxm xx 1212 12 2(1)()kx xmxx x x . 由题设 12 1kk ，故 1212 (21)(1)()0kx xmxx, 即 2 22 448 (21)(1)0 4141 mkm km kk .解得 1 2 m k 当且仅当1m 时，0 ，于是 1 : 2 m l yxm ，所以l过定点(2, 1) 21.（12 分）解： （1）( )f x的定义域为(,) ， 2 ( )2(2)1(1)(21) xxxx fxaeaeaee （i）若0a ，则( )0fx，所以( )f x在(,) 单调递减 2017 高考数学理科全国 1 卷 9 （ii）若0a ，则由( )0fx的lnxa . 当(, ln )xa 时，( )0fx；当( ln ,)xa 时，( )0fx 所以( )f x在(, ln )a 单调递减，在( ln ,)a单调递增。 （2） （i）若0a ，由（1）知，( )f x至多有一个零点 （ii） 若0a ， 由 （1） 知， 当lnxa 时，( )f x取得最小值， 最小值为 1 ( ln )1lnfaa a 1当1a 时，由于( ln )0fa，故( )f x只有一个零点； 2当(1,)a时，由于 1 1ln0a a ，即( ln )0fa，故( )f x没有零点； 3当(0,1)a时， 1 1ln0a a ，即( ln )0fa又 又 422 ( 2)(2)2220faeaee ，故( )f x在(, ln )a 有一个零点。 设正整数 0 n满足 0 3 ln(1)n a