（应用数学专业论文）bsk和bkk方程的τ函数.pdfVIP

摘要 本文首先扼要地总结了把k p 系列下函数约化至i b s k ( b k k ) 方 程的如下方法： 嚣“) 型盟塑壅瑾鲢墅勤星型b k p ( c k p ) 系列的7 - 函数嚣( r g 右) 鱼塑垡穗壶“( 矗絮) 。这样得到的矗；壶“( 矗胄) 行列式表示 是复的。因此一个重要的问题是如何从这个行列式出发得 到b s k ( b k k ) 方程的大于零的实r 函“”s k 州( 罐n k + k n ) ， 从而 由u 3 嚣= ( 1 0 9 销壶“) 。，u 2 嵩= ( 1 0 9 a ，b k ( n + k n ) 。给出其孤子解，周 期解等。 对于n = 3 、4 情形，我们把行列式元素进行分类，找到其表达式 规律，从而得到b s k 和b k k 的物理7 _ 函数。同时，为了直观地了解 相互作用的规律，我们画出了各种情形下孤子解、周期解图。特别 要指出的是，对于高阶情形，用该方法同样可以找出表达式规律， 并给出物理r 函数。 l l a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ef i r s tg i v eab r i e fi n t r o d u c t i o no far e d u c t i o nm e t h o d o b t a i n i n gt h etf u n c t i o no fb s k ( b k k ) e q u a t i o nf r o mt h eg e n e r a l7 _ f u n c t i o n o ft h ek ph i e r a r c h y t h em a i ni d e ao ft h i sm e t h o dc a l lb ei l l u s t r a t e da s f o l l o w i n gr o u t e ： 嚣“) 塑亟逝堕旦盥坠t 0 帮( 搬占) 盟卿! 衄t 繇“( k n + k n 7 ) ，w h e r et h e d e t e r m i n m l t so f7 蒜哪a n d 絮a r ec o m p l e xf u n c t i o n s t h e r e f o r e ，a ni m p o r _ t a n tq u e s t i o ni sg i v e nt h a th o wt oo b t a i nt h er e a la n dp o s i t i v e7 _ f u n c t i o n s 销a n d 亍1 鬈# f r o mt h ed e t e r m i n a n t f u r t h e r m o r ew e c a i io b t a i nt h es o l i - t o n ，p e r i o ds o l u t i o n sa n de t cf r o mt h ee x p r e s s i o n so f 乱0 茹= ( 1 0 9 罐富) a n du b m k 栩k = ( 1 0 9 罐寄) f o rt h ec a s e so fn=3a n d4 ，w ec l a s s i r yt h ee l e m e n t so ft h ed e t e r m i n a n t sa n df i n dt h er u l e so ft h ee x p r e s s i o n s ，f r o mw h i c ht h ep h y s i c a l7 - f u n c t i o n so fb s ka n db k ka r eo b t a i n e d i no r d e rt oi n t u i t i v e l yc o m p r e h e n d t h ei n t e r a c t i o n a lc h a r a c t e ro fs o l i t o ns o l u t i o n sa n dp e r i o d i cs o l u t i o n s ，w ep l o t s e v e r a lf i g u r e so ft h et h e s es o l u t i o n sw i t hd i f f e r e n tp a r a m e t e r s p a r t i c u l a r l y , w ew o u l dl i k et os t r e s st h a tt h em e t h o d ，w h i c hi se s t a b l i s h e da n du s e di n t h i st h e s i s ，i sa p p l i c a b l et of i n dt h er u l eo fe x p r e s s i o n so ft h eh i g h e re a s e ， a n df u r t h e rt og e tt h ea s s o c i a t e dp h y s i c a l 下f u n c t i o n 致谢 借此论文完成之际，我衷心感谢季孝达教授和贺劲松副教授 的悉心指导。在科大学习的三年里，两位老师以及李翊神教授都给 予了我热诚的指导、关怀与鼓励，使我获得了全面的可积系统的理 论知识，从而打下了完成本文的坚实基础。在学习和科研中，三位 老师的严谨、负责的态度给我树立了良好的榜样，使我在今后的学 习和工作中受益匪浅。在此，谨向三位老师致以诚挚的谢意和崇高 的敬意。 本文也要感谢在科大生活的三年中所有关心爱护我的老师和 同学，特别是我的班主任黄稚新老师和我们组的师姐、师兄弟，是 他们为我提供了良好的生活和学习的环境。 最后，感谢我的父母、姐姐多年来对我所作的无私奉献和对我 的鼎立支持，我才得以顺利完成学业。 第一章绪论 在物理学和数学发展过程中，建立一些精确可求解模型和发展不同的求 解方法一直是很重要的问题。这些问题的解决也极大的推动了物理和数学 的发展。在这个历史过程中，我们不得不提及上世纪6 0 年代发展起来的经典 反散射方法【1 1 ，因为此法首先求得了历史上著名的k d v 方程初值问题的精 确解，并大大推动了可积系统的研究。当然后来也发展了一些其他的方法， 如h i r o t a 方法 2 1 ，d a r b o u x 变换 3 - 5 ，b a c k l u n d 变换【6 】规范变换【7 】等 等。 近些年来，以拟微分算子为基础的k a d o m t s e v - p e t v i a s h v i l i ( k p ) 系列理 论得到了广泛研究，它包括几种众所周知的偏微分方程，比如k d v 和k p 方 程。通常，我们研究k p 系列可以从拟微分l a x 算子l s - l o l , m 发： l = a + u 2 0 1 + u a 0 2 + ( 1 1 ) 定义相应的l a x 方程为： 差= l b 丑“，2 ，3 ( 1 2 ) 从该l a x ：y 程出发，随着n 的改变可以推导出一系列偏微分方程，我们统称 为k p 系列方程。其中啦( t 1 ，t 2 ，t 3 ，) ，i = 2 ，3 ，为动力学变量。扩的微分 部分记作j e k = e k j 伊三( 衅) ，积分部分记作l ! 兰驴一王k 。该系列第一 个非平凡例子为： 未c a 警- - 1 2 u 2 卺x 一0 吲z u 2 ) 一。警= 。 s ， 这就是著名的k p 方程，也是把这个系列命名为k p 系列的原因。 b k p 系列【8 ，1 2 和c k p 系列【1 3 】的是k p 系列的两个子系列，b k p 系列 对算子的约束条件是l + = 一c o l o ，而c k p 系列的约束条件是l = 一l ， 其中蚪”表示形式共轭算子，即对于任意一个拟微分算子p = 鼽伊，定 义p = ( 一1 ) l 伊a ，且对于两个算子，有( a b ) + = b + a + 。 另一方面，我们还可以通过零曲率方程( z a k h a r o v - s h a b a t ) 【1 1 】： 凳一鲁佩，b m 】= 。n = 2 , 3 , 4 , - - ( 1 a ) 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 第2 页 第一章绪论 来刻画k p 系列。 与z - s 形式( 1 4 ) 相对应，k p 系列的特征函数妒和共轭特征函数妒定义为： 甏= 跳甏一嘭妒 ( 1 5 ) 喜e 中毋= 咖( a ；t ) ，妒= 妒( a ；t ) ，t = t ( t l ，t 2 ，t 3 ，) 。 我们知道当取l ! = 0 时，显然有l = b n = o n + u n - 2 0 一2 + + v l + 咖，于是得至, j k p 系列的n - 约化，并且轨，t = 0 ，1 ，n - 2 ，与( 抽，t 2 n ，t 3 n ，) 是 无关的。 基于上述方法，我们可以得到( 1 + 1 ) 维可积系统的l a x 对。特别地，由此 可以找出b k p 系列和c k p 系列的n 约化。例如，考虑在b n = 一o b n o - 1 的 条件下，( 1 5 ) 中拓流和t 3 流，( 1 + 1 ) 维b k p 系列的5 一约化( 缸= 坳) 可以表示 为： 【磋+ 5 4 + 5 磋+ ( 5 u 2 + 萼u 。+ 百5 盈) 以渺= a ( 1 6 ) a 咖= ( 磋+ 3 t 如) 妒，缸= z z ，t 3 = t ，t l = z ( 1 7 ) 利用相容条件，从该l a x 对导小b i - d i r e c t i o n a ls a w a d a - k o t e r a ( b s k ) 方程( 1 4 ， 1 5 】： ( 。+ 1 5 磊磊。+ 1 5 露一1 5 磊施一5 磊耐) 。一5 z = 0( 1 8 ) 同理，在b = 一日k 条件下，考虑( 1 5 ) 中t 5 流和t 3 流，我们也可以得到( 1 + 1 ) 维c k p 系列的孓约化 = t 2 ) 的l a x 对【1 4 ，1 5 】： 噬+ 5 碱+ i 1 5 十、。u 2 十百3 5 “。+ ；旎) 以+ 5 妣+ ；u 。x z + i 地】妒= w 口 a = ( 琵+ 3 u 良+ 昙) ， u = 磊，t 3 = t ，t l = 。 由相容条件，推得b i - d i r e c t i o n a lk a u p - k u p e r s h m i d t ( b k k ) 方程： ( 1 9 ) ( l 1 0 ) ( 磊甜。+ 1 5 z , z 。托+ 1 5 一1 5 磊一5 矗+ 等。) 。一5 魂t = o ( 1 1 1 ) 这两个方程近年来重新受到重视，其原因是他们分别是s k 方程【2 弘 2 6 】和k k 方程【2 5 - 2 9 】双向传播的推广而且b k k 方程有双峰孤立子，丽b s k 没 有这样的现象。 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文第3 页 第一章绪论 我们知道k p 系列有一个十分重要的性质即是7 - 函数的存在性，而且所有 的动力学变量地，i = 2 ，3 ，都可以由7 - 函数【8 ，9 1 表示出来，例如： ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 由此可见，为了求解k p 系列，其核心问题可转化为构造丁函数。在本文，我 们会发现特征函数曲及其共轭特征函数妒在构造丁函数的过程中起了至关重 要的作用。 规范变换【3 ，7 1 为构造k p 系列的7 函数提供了一个有效的方法。在文献 f 1 6 0 0 ，给出了如下两种规范交换： 2 1 d ( ) = 妒0 一1 ，乃( 妒) = 妒一1 0 1 妒( 1 1 4 ) 从这两种基本的规范变换出发，我们可以推导出一般的7 - 函数( 可参考文献 【1 6 1 的方程( 3 。1 7 ) 以及文献【1 7 1 拘1 w k 。) 。此外，在文献【1 7 】中，作者还给出 了规范变换算子在( n + k ) 步迭代后的行列式。特别地，k p 系列的g r a m m i a n 下函数【1 8 】可由基本的规范变换多次迭代生成【1 6 ，1 9 ，2 0 】。倘若我们对规范 变换的生成函数进行限制，便得到诸如c h a u s7 - 函数【1 7 及其行列式表示。 为了研究b k p 、c k p 系列n 一约化的( 1 + 1 ) 维孤子方程的解，需要满足一 些条件。首先：要保证约化有意义，即对b k p 而言，须保证l + = - o l o _ 1 成立； 而对c k p ，须有= 一三成立；同时l a x 算子满足l 0 ) = t l t 一1 。换句话说， 问题的核心事实上是如何从k p 系列的规范变换矗+ 出发，通过一般的r 函数 表达式下扣舶) = j 仉，。7 - ( o ) 来构造砖帮和畦豁( 7 - o ) 是k p 系列的下函数的初 始值) 。其次，由于规范变换的生成函数西、砂的值是复的，并且相关于矿的n 个 复根，所以我们需要找出合适的生成函数妒= ( 九；z ，t ) 、妒= 妒( m ；茁，t ) 使 得碟富和桤富转化为有物理意义的7 - 函数雀妄哪( 罐茹哪) ，即需保证该7 - 函数 在( x ，t ) 平面上是正实数。 事实上，近年来对于这两种方程的求解问题也引起了重视 1 4 ，1 5 ，2 2 1 。文 献f 1 5 1 用h i r o t a 方法给出了b k k 方程的2 孤子解、3 孤子解和4 孤子解的具体 表达式以及对高阶情形下解的表达式规律的总结，但是过程有些复杂，并且 咿 旦| 墓嘶旦：；旦础 = = 地 撕 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 第4 页 第一章绪论 对表达式生成规律的描述不是特别清楚。文献f 2 2 就b k p 系列和c k p 系列5 一 约化方程特别是b s k 和b k k 方程采用文中的思路对n = l 、2 的情形做了详细 的讨论，给出了b s k 的单孤子、双孤子解及b k k 的单孤子、双孤子和周期 解，不过解的表达式有些繁琐，且在寻找有物理意义的7 _ 函数罐：壶劭“d i b 计k k 纠时 有一定的局限性，为此，本文对其方法做了进一步修改与完善，着重研究 在n = 3 、4 情形下，销妄哪和销妄哪的构造问题，总结了下函数表达式的生成规 律，并力求寻找到可推广至任意i i 阶情形的方法。 本文主要分为以下几个部分：第二章，我们从k p 系列的 - 函数出发引 出b k p 和c k p 的丁函数；第三、四章，我们用3 、4 阶丁函数求解( i + i ) 维b s k 方 程和( 1 + 1 ) 维b k k 方程；第五章，我们对全文做了总结，并指出值得继续研 究的一些问题；第六章，在附录里，我们提供了高阶r 函数表达式中不同符号 所代表的含义，此外还给出了( n 4 ) 阶r 函数的生成规律；第七章：在附 图中，我们罗列了b s k 、b k k 方程的3 孤子解、4 孤子解及其周期解在选定参 数下的图形。 第二章b k p 、c k p 系列的7 - 函数 我们知道7 函数的存在性是k p 系列的一个重要性质，如果己知7 _ 函数， 贝u b k p 、c k p 系列方程的解便可以通过r 函数表示出来。本章的目的在于概 i 苤b k p ( c k p ) 系列的r 函数r 富( r 0 嚣) 的行列式表示的构造，主要通过 规范变换方法得到。为此，首先我们引入如下的w r o n s k i a n 彳亍歹l j 式： 朋k 兰j 巩。( 毋，趔。，毋；群，背) 厂毋爿o ，艘。，f o ，f o ) ，f 0 艘 ，鳄危o ，掣。五o ，毋矗o 五o ) 剧 ( ， o ) n - k - 1 ) ( 矗o ( - k - 1 ) 厂毋- 砖o ，挫。奠o ，卵 蠢o ) 艇 ( 矗o ) 忙) t 厂毋，5 0 l 龆。静 r g o 沓 艘 ( 拶) ( n 一“) ( 2 1 ) 这里记( 妒) ) = 警，并- 令ss = ，歹如的积分常数项为o 。特别地，我们 称，。= 帆( ，f 0 1 ，o ，。拶) 为通常所说的由函数 一叭，矗叭，臂) 生 成彭 w r o n s k i a n 行列式。 引理2 1r 肛z 动由规范变换死+ 生成的即系列的7 函数为 丁。) = m k ( 蠼，理1 j 一，背；斗，毋，嘏) 丁( 0 ( 2 2 ) 其中( 秘们，谚o ) = ( 1 7 i ( 九；t ) ，妒( 心；t ) ) 为方程一，砂的解，丁( o ) 为丁函数在啦为初 始值越o 时的值，而旌m ，鹕o 为该规范变换的生成函数。 下面我们讨论如何从( 2 2 ) 中的丁加+ ) 出发把其约化为b k p 系列的丁函数。 于是问题的关键在于如何在规范变换墨十i 【1 7 1 下保持限制性条件( l ( ”) = 一a l ( n + ) a 一1 。 命题2 2f 见r 咖e o , e q ) 5 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 第6 页 第二章b k p 、c k p , 系- 列的r 函数 ( j ) 在规范变换疋+ k 下，助擤子变换为l ( 卅) = z “l t = k 。特别地， 当珏= 蠹时，其生成函数满足关系式越o = 刑，对任何i = l ，2 ，n 成立； ( 2 ) b k p 系列的丁函数7 9 富为： 嚣li w ，。( 嘏：，艘。剐- ，妒船p f 艘。卵 ，妒鬯；妒p ，毋字，嘏) ，勰- 踏 ，艘。一鳄 _ r 樱；0 ；( 毋) 2 ( g o ) z，罂拶 r 嘏 艘。 ( 艘，) 2 ( 嘏) 2 ，艘。裙 ，妒浆拶 ，妒搀拶 樱， ( 2 3 ) 证明： ( 1 ) 显然从规范变换或乃单链出发无法保持上面的限制性条件。因 此，我们取 t 兰t l + ，= 乃( 卵) t d ( 咖p ) 从而使得l a x 算子( l ( 2 ) ) = t 髓1 - 1 成立。 事实上，由关系式( l ( 2 ) ) + = 一o l ( 2 ) a 一，我们可以导出如下等式： ( 2 4 ) 丁d ( 妒1 1 ) 乃( 妒，) a = 衄( 妒i 1 ) 丁b ( 妒，) ( 2 5 ) 通过简单的计算得到： 地一州高矿1 也一篇 m 一州而g o ) 阳卜篇 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 比较上面两式，不难看出妒i 0 = 妒；! ! ! 三。因此，为了保证l a x 算子的限制性条件 成立。我们需要把t = n + 1 视作迭代规范变换矗+ 的基本生成块a 特别地 而+ 2 = 乃( 矬) ( 毋) 乃( 妒出) 2 b ( c 0 ) 乃+ 。= 乃( 貔) ( ) 乃( 妒暴) ( 管m ( 妒淫) 殇( 毋f ) ( 2 8 ) 卜卜 叫 耻” 驴 ， 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文第7 页 丝三兰呈竺圣：呈竺! 量型竺：鱼丝 等等，且当n = k 时，对任意t = 1 ，2 ，3 ，n ，以o = 旌兰成立。 ( 2 ) 根据死+ 女【1 7 】和f 舛埘1 1 6 ，1 7 i 的行列式表示，当n = k 时，我们只需 把越o = 毹墨，i = 1 ，2 ，3 ，帆入引理2 ，1 中便z i ，b ( n 。+ p n 口 同样我们也可以通过限制条件( l ( ”+ 埘) + = 一l ( 。) 得到c k p 系列的r 函 数表达式t 糟。 命题2 3 ( 见r # s f 2 0 2 l | ) ( 1 ) 当佗= 岛且生成函数满足关系式礁o = 咖! ，t = 1 ，2 ，n 时，得到 适当的规范变换死+ ； ( 2 ) c k p 系列的r 函数携富为： 嚣= 朋( 嘏，艘1 1 ，妒? ；咖，咖字，嘏) 证明： ，拶妒# ，必毋，拶艘；，拶拶 ，艘。庐p ，艘毋，艘。艘。，艘，错 厂锣( 0 厂p - ， 厂字妒字 厂( 0 卯 ( 1 ) 与b k p 情形类似，我们取 r 拶耀1fq 6 2 0 拶 r 妒( 0 一艘，妒；0 裙 t 三丑+ 1 = 乃( 妒 1 ) ) t d ( 鳄) 事实上，( l ( 2 ) + = 一( 2 ) 等价于等式： j 岛( 妒 1 ) 乃( 妒p ) = 乃( 妒：1 ) t b ( 毋p ) 从而保证( l ( 2 ) = t 上，t 一1 成立。 通过简单的计算得到： 娩一扎斋，1 f l p ” 岫一a 一番铲 t f 妒【u “ 景， ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文第8 页 第二章b k p 、c k p 系列的r 函数 比较上面两式，不难看出妒( o = 卵。f 是我们同样需要把t = 正+ 1 视作迭 代规范变换死+ 的基本生成块。特别地 乃托= 乃( 毋字) ( 管m ( 钾) ( 卵) b + 。= 乃( 椁) ( 嚣m ( 省) ( 毋) 乃( 舒) ( p )( 2 1 4 ) 等等，且当n = k 时，对任意i ：1 ，2 ，3 ，礼，趔o ) ：旌o 成立。 ( 2 ) 根据露+ f 1 7 】和r ( 叶【1 6 ，17 j 的行列式表示，当n = k 时，为得到落弩， 只需把越o ) = 越，i = 1 ，2 ，3 ，硪入引理2 1 中即可。 口 如果我们把b k p ( c k p ) 系列的动力学变量t “的值取为0 ( 本文均是在 此限制条件下构造特征函数的) ，则方程( 1 5 ) 中的特征函数( 毹们，妒：o ) = ( k ；t ) ，币( 脚；t ) ) 有更简单的表达式： 巡o 塑t n = ( 露蛾吼t = 眠啪，) 掣斗妒+ l ( 洲删， 例m ，t 3 ，坛) 并且磔p = 1 ( 景p = 1 ) 。 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 第三章b s k 方程的丁函数 基于上一章介绍的b k p 系列的r 函数巷帮，本章着重研究b k p 系列5 约 化方程b s k 的物理下函数销妄。针对n = 3 、4 情形，通过对瑙+ 3 ) 、t i “；s + 4 1 k u u - i j ， 列式进行展开，找p - - + z 降，从而得到 茹、 岔。这里所采用的 方法不但对下一章的b k k 研究适用，而且可以推广到更高阶( 扎5 ) 情形。 3 13 阶下函数求解b s k 方程的孤子解 b k p 系列的5 一约化方程即为b s k 方程( 1 8 ) ，当初值= o 时， l ；l a x 对对 应的特征函数秽= ( 九；z ，t ) 满足如下方程： ， 磋多( 起z 力= 凡( k 毛巍翌鱼芋盟= 礞( k 墨站 ( 3 1 ) 因此在命题2 2 中只要令碟p = 1 ，便可以得到b s k 的f 函数。 命题3 1 当初值p = l 时，由露卸生成的b s k 方程的7 - 函数为： 落妒= j ，。( 妲，螋，埋；p ，毋，嘏)( 3 2 ) 且在取种子解“缸= 矿时，b s k 方程的孤子解的表达式为： u = 键( 1 0 9 橡“)( 3 3 ) 这里毹o = 妒；，t ) 是方程p 的解 一般而言，b s k 的7 函数；? 是复值，并且它与单位圆沙的5 个根相关。 我们的期望是能找出方程( 3 3 ) 的光滑的正实数解，这也是我们这节内容的核 心。我们先来分析一下满足方程( 3 1 ) 的特征函数的解，不难求出该特征函数 具有如下的表达结构： 5 妒；z ，t ) = 岛一十叼，骘= a ( 3 4 ) = l 其中= 七e ( 芈甜，南5 = 七r ，0 e 2 n 珊= 0 ，1 ，2 ，3 ，4 。 9 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文第l o 页 第三章b s k 方程的r 函数3 13 阶r 函数求解b s k 方程的孤子解 注3 2 我们从b s k 方程解的表达式秕= 霹1 0 9 t b s k 可以发现这样一个好性质， 即由r b s k 与e 泌+ 瑚7 b g k 所构成的解珏本质上是一样的，这里o ，p 是任意的复 常数由此可见，倘若7 - 函数丁b s k 可以表示为t b 8 k = e ( “+ p ) 气s k 笺k ， 并且充艇是正实函数，则称最) 8 k 为b s k 方程的物理f 函数。同样，对于后丈 中磊k k 也如此定义。 不失一般性，为了构造蠢韶，我们取特征函数奶= 咖( ；，z ，) 具有如下 特殊形式： 妒( 知；，茹，t ) = 也。+ 司+ b j e 毋计咖，功= k j e 。e i ，劬= 一如e 一吻，礴= l l ，如r ( 3 5 ) 或者 砂( 砖；，z ，) = 4 砂。喇。+ 岛田计妒，乃= 磅毋，g = 易e 一畸，霹= l 奄l ，磅r ( 3 6 ) 其中a ，鼠是任意的复常数，勺任取。很明显，( 3 5 ) 中办= 西关于y 轴对 称，( 3 6 ) 中砌= 矾关于x 轴对称。我们发现对办做这种特殊性要求的确能够 得到( 1 + 1 ) 维b s k 的物理7 - 函数。后文将得到，把( 3 5 ) 中幽代入命题3 1 则给出孤子解，但( 3 6 ) 却只能给出发散周期解( 故不讨论) 。此外本文规 定f _ ，表示复共轭。 在下面具体的求解过程中，我们还可以发现孚作为整体出现时对寻找彳i ) s k 起 着十分重要的作用。 由于文献f 2 2 1 对n = l 、2 的情形进行了详细讨论，本节在此基础上对其方 法做了进一步改进，着重研究n = 3 的情形。 引理3 3 特征函数 烈w = 西( 九；z ，t ) e l 如方程p 印定义，根据命题3 1 ，我 们得出由p j ，q ，j = 1 ，2 ，3 生成的瑙# ： 樱2 。掣2 2 s 一：殍舡叫”怒票舅导器 - - e 12 3 “州。糕验3b a i 2 8 。 n l t ( j 3 ( 吼+ 鼋j ) 2 拦、 一兰。( 咿+ 赫。+ 刚鱼! 二咝坠垫二蝼f 习b 3 z 8 。 ( p 1 + p 2 ) 2 n i # 3 ( a + q 3 ) 2 、a 3 2 0 0 7 年 中国科学技术大学硕士学位论文第1 i 页 第三章b s k 方程的r 函数 3 13 阶r 函数求解b s k 方程的孤子解 一再1 e 2 t 一。( m z + 辞。+ 2 嘛z + 埔”：_ ；：；- ：；：i ； ：；j ；塞；娶r 笔，2 - 一e 12 一球) + 2 她删杀崭姥等c 争 三82 舢蝴+ 2 砷，筹爹黜篙娶c 是，2 8 1 2 e 柚呐讹嘶筹嬲蛊搿c 鲁，2 8 1 2 e 舳州卅2 研，旨摹烹筹赡2 一l e 2 e w a 0 , , z + 酲f ) + ( p 3 $ + 砖t + 驰+ 砖。) 生! 二丝! 卫! 塑! 垫二p 3 ) 慨一q 3 ) ) ( p 1 + 耽) 2n 3 ( ( a + p 3 ) ( a + 9 3 ) ) 4 e 2 班螂西州誓( q 口l + l - - q 9 2 ) 2 2 ) 2 n l 郴, # 3 ( ( ( ( q 吼i + p 3 ) - - p a ) ( ( 吼q i 蚓- - q 3 ) ) ) r 毖 、, a b i , ) 2 ( 象) e 2 & 珈叫卅嘲t + q + d 0 4 旨嬲戋导篙锱c 象，( p 1 + 尹3 ) 2 t 壬2 ( 慨+ p 2 ) 慨+ 他) ) 、a 2 7 一咖埘卅咖啪怕螂采端戡鬻慧裂 一一1 c 2 i 1 4 却m 懈t + 口。计订t ) 垫二丝! ! ! ! 塑! 堕二竺! ! 堕= 竺卫 ( 砌+ p 3 ) 2n t 1 ( 慨+ p 1 ) 慨+ 9 1 ) ) 婴c 新象， ( 象) 一兰。华。( 啦。+ 醇t ) + ( m 舛一件。+ 程t ) ! 生二塑! ：! ! ! 圭! ! ! 璺二竺! ! ! 竺二坐! ! 丌f 鱼、。r b 1 、 4 。 ( 啦+ q 3 ) 2 n 洋1 ( ( 吼+ p 1 ) ( 俄+ q 1 ) ) 些。a7 、a 1 7 一兰e 2 ( p ，z 却2 件啦舛 + 慨z 嘲钟靠。喇| ) 鱼! 二丝! ：垫! 二堡! 垫二望2 堕二丝丛丝二塑f b 2 、2 r 鱼、 4 扫1 + q 2 ) 2 p 1 + p 3 ) l + q 3 ) ( 啦+ 舶) ( 啦+ 口3 ) 、a 27 、a 3 一l e 2 ( 乱。埘件p 2 z 嘲t ) + 嘶蚪砖t + q a z + q a t ) ! ! ! = 丝! ! 堕二型堕二坐2 垫二丝2 垫二堂r s l 、2 r 墨、 4 ( q l + p 2 ) 2 ( q i + p 3 ) ( q 1 + q 3 ) 慨+ 尹b ) 溉+ q 3 ) 、a 17 、a 3 7 一兰e 2 慨z 却i 蚌口3 z + 霹t ) + ( 搬蚪埔件q 2 舛畦t ) 塑! 二丝! ：鱼! 二丝! 鱼! 二叟2 ( 塑二丝2 f 塑二塑h b 3 、2 r b 2 、 4 晒1 + 9 3 ) 2p l + p 2 ) ( p 1 + q 2 ) ( q 3 + p 2 ) ( 9 3 + q 2 ) 、a s7 、a 2 7 一l e = c q , 蚪爵她。z + 旌t ) 砌z 嘲件啦科遽t ) ! ! ! 二堡2 1 鱼二丝丛生二丝2 垫二丝! 坠二型f s 1 1 2 f b 2 、 4 ( q i + p 3 ) 2 ( q l + 见) ( q l + 口2 ) 慨+ 见) 0 3 + q 2 ) 、a 17 、a 2 7 一兰e 2 幻z 却2 件船z 喇t ) + ( p 。z 懈件们蚪枣) 挚- - ( 3 1 ：( p 2 ：p l ! ( b 2 - - q q ! q 3 - - p l ! ! q 3 - - q l ! f b 31 2 r s l 、 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 2 页 第三章b s k 方程的f 函数 3 13 阶r 函数求解b s k 方程的孤子解 一三2 ( 。+ 畦t + 擀喇t ) + 帆蚪醒件。蚪酊t ) 堕二丝! ：垫二塑丛丝二生2 鱼二丝! 垒二型f 垦】。r 垦) 4 。 ( 鼋2 - j r - p a ) 2 ( 匏+ p 1 ) ( 纯+ q 1 ) ( 船+ p 1 ) ( 珊+ 9 1 ) 、a 27 、a 1 7 一l e 2 ( m 。押抑+ 硼机。+ 瑶t + q i x + q i t ) ! ! 垡! 望! 二丝! 塑! 二坐1 4 l - i , 1 p 1 + a ) ( p 1 + 吼) 【渊+ 渊】秽b 2 石b 3 q a ) ( q 2 ) 。( p 2 + p 3 ) ( 9 2 + 9 3 ) 。( p 2 + p 3 ) ”a 2 “a 3 7 一三，2(q。+畦t)+。，(m；+西件卿。十砰)1-lj一#,(q,-pi)(ql-qi) 4 。 n 薛l ( q l + 弘) ( 啦+ 醯) 【笼 渊+ 罡 剡】( 鲁) 2 ( 象) ( 象)臼2 + 尹b ) ( 9 2 + q 3 ) ( p 2 + 9 3 ) ( 9 2 + p 3 ) “a 17 、a 2 “a 3 7 一三，z 妇。嘲t ) + 鲫缸卿汁吼舛醇t ) ! ! ! 丝垫二丝! 垫= 塑 4 。 n “2 ( p 2 + a ) ( p 2 + g ) 【杀畿高+ 鲁业q a ) ( q 1 名】( 鲁) ( 是)1 + p 3 ) ( 甄+ 裆) 扫1 + 船) “以l “也 一三一( 啦。+ 西。) + 。2 机。嘲件。+ 爵t ) ! ! ! 墼! 丝二丝! ! 丝二竺1 4 。 n i 壬2 ( 9 2 + p i ) ( q 2 + 啦) 【 渊+ 鲁 渊】( 笔) 2 ( 鲁) ( 象)。( p 1 + p 3 ) ( 口1 + 9 3 ) 。0 1 + q 3 ) ( 口l + 脚) “a 27 、a 1 “a 3 7 一兰一缸。+ 砖竹+ 。慨；喇蚪爵t ) ! ! ! 塑堕二竺! ! 坠二型 4 。l - i i 3 慨+ a ) 慨+ 啦) 【旨然矧+ 乐畿舞】c 鲁，c 象，。( p l + p 2 ) ( 口l + 啦) 溉+ 啦) ( 口1 + p 2 ) “a 1 “a 2 一兰，。( 船外磅t ) + 白。帆。+ 谚t + q l x + q i t ) ! ! 垡! ! 塑二竺! ! 生二竺1 4 。 n 。3 ( 9 3 + a ) ( 仍+ 哦) t 黔p l 畿岽+ 告糍焉哮c 象，c 笔， + 抛) ( g l + 9 2 ) 妇1 + 也) ( 甄+ p 1 ) “a 37 、a 1 ”如7 一e 整，慨科研。+ 叮l 。+ 砰”( ( p 一啦) 2( 鼽吼+ 功劬) + ；【( 鼽+ 功) 慨- q a ( q , 一p j ) ( 吼+ q a + 慨一p j ) 慨+ g j ) ( g + 办) ( 岱一q a i ) 1 乏 j 3 【( 鼽+ 辫) ( 戤+ 彩) ( 哦+ 辫) ( 岱+ 奶) l ( 岩) ) ( 3 7 ) 引理3 4 如果我们把慨及吼的具体表述式代入ji 理j 3 甲，开且起x 昏2z 峨c o 耻十 t 群c o s 3 矗， = 1 ，2 ，3 则f 嚣变为： 。r h b ( a r + w a ) = 4 2 1 心2 3 2 e 2 l 鍪l ( k 。s 。( ) + 霹苟”( 3 芒) ) t 毛鬻2 2 2 删舳，一再i 雩m l m 器3 m 5 e 诽m 刊c 鼽鼢笔，2 一；! 毫蔫挚e z 悸什铲( 瓦b 3 ) 2 竽- - ：2 誊豢2 2 e 址l + 如_ 曲( 象) 2 ( 笔) 2 ；雩嚣删。制( 鱼a 2 卜；蔫嚣- - 2 - - 2 e 叫扣针咄期笔) 2 一竽要豸挚e 2 c 吨+ 缸怕，( 石b i ) 2 一芋- - i 2 i - - 筹2 2 e _ 2 ( 吨柏+ 妇( 垒a 2 ) 2 ( 鱼a a ) 2 擎薹喜i 主篙导矿代什黝( 笔) 一三4 至置z 互2 坠z 3 1 z 业4 z s z 6 e 以心1 + 锄( 暑) 2 ( 石b 2 ) 2 ( 石b 3 ) 一i 案e 。c h + 矗，( 笔) 一i 至鬻e _ 2 c h + 妇) ( 、b a t 。) 2 ( 瓦b 3 ) 2 ( 宝) 一竽萼喜! 兰筹拶州3 ) ( 象) 一竽登霎! i 耄蒙 e 以她拖( 笔? 2 ( 忑b 3 ) 2 ( 石b 1 ) 一竽笔墨! 鬟竽e 2 “r 纠c 笔) 2 ( 瓦b 3 ，一五1 譬蓁笔：曩e 以往1 - 缸c 象) 2 ( 石b 3 ， 一竽笔墨i i 雾宇乱吨，c 垦a a ) 2 ( 笔，一互1 譬蓦! i 善曩e 一稚曲c 象) 2 ( 象) 一三4 堡塑z 。翌z 1 1 z 丝2 z 旦3 2 4 里e 2 “2 一如( 瓦b 3 ) 2 ( 瓮) 一竽磋蓁! i i 蒙竽e 川恤：毒r ( 石b 1 ) 一；专鬻e 2 如( 忑b 2 ) ( 忑b 3 ) 一互1 鼍嚣e 嘣1 否b t 只孝h 誊 一；专案e 她c 鲁，c 象，一豆1 罨鬻e 越2 e 垂戌象笔， 一；鼍篡e ( 凳) ( 笔) 一互1 鼍慧e 咄3 【笔九石b t ，。石b ：z ) 一嚣篡麓( 暑) ( 笔) ( 笔) 3 焉 其中荔，盹，i ：1 ，2 ，6 ，j = 1 , 2 ，3 和埘l 的具体形式参见附录a | b s k 方 程( 礼= 3 ) 显然，该7 滋3 是复数，不符合要求，所以我们需要找出合适的凳，i5 】2 3 使得表达夏( 3 8 ) 中大括号 ) 内的数在整个( x ，t ) 平面是正的。于是有 下面的命题： t - - 一b 3 + 3 ) = 萎兰，擎l 蔓8 z 。z 3 2 6 = 釉 + ；磊e - 2 ( f 吲+ ；森拶心怕+ ! 曼e 以“r 缸均 + ；去e 2 l + ) + ；京袅2 e 。2 卜6 怕确五1 磊1 赢乒“硝2 + ：三；! i 薏氅e 一2 ( 缸+ 铀+ i 1i ；j 杰i 鬲e 2 妇+ 如) + 互1 刁j g 五5 乏g ：l 乏g 赢3 e 一2 妇+ 如 + 五1 蕊1 赢e 2 恤制+ i 毒凳戮e 吨传升+ 五1 磊g s 磊8 2 悖 + 五1 毒磊9 2 忽e - 2 ( 卜蚴+ ；蒜赢扩妇+ ：蒜衰8 叫6 吨 + 互1 乏匿：g j 2 ；i e 2 ( 如一妇+ ：i i 差i e 一2 任2 6 + ：乏j ：；：磊赢8 筵1 + 兰 望! 尘塑 e 一鸳，+ 兰墅一e 2 如+ ；j 垒里l e 一2 专。 。2 忽忽张纽z 5 硒 2z t z 2 2 3 2 4 z s z 6 z2 , z 2 z s z 4 。5 邵 士三丝e 2 妇+ 兰垄塑l e 一2 矗+ 些二一) ( 3 9 ) 2z l z 2 2 3 2 4 z s z 6 2z l z 2 2 3 2 4 z s z 62 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 国瓜子解u 可表示为= 0 2 l o g 罐+ 3 特别地，当f 1 = e 2 = e 3 = 矗时，得 到阶从负向相互追赶的孤子；当e l = e 2 = e 3 = 哿时，得到阶从正向相互 追赶的孤子；当e 1 ：e 2 = 孟，3 = 裔或者f t = 2 = 酱， 6 3 = 蠢时，得到两个 同向追赶的孤子与第三个孤子碰撞的结果 证明：经过多次尝试后，我们的方法是把t 嚣中公共复因子提出来，使得 引理( 3 4 ) 大括号 ) 内每一项系数都为正，故( 内求和为大于零的实数，这 正是我们耍找的 嚣。 具体来说，对 忡每一项提出整体复因子g f b 8 k = 一m 2 m i m ：，然后选 取争( t ：1 ，2 ，3 ) 使得每项系数都大于零。首先对于只含鲁，是，象的三项，在 = 那 啦” 嚣| j 擀吼邓 ，卵 然踟 i i l l 鱼血驰 裟静 = l l 凯 鲁够一 嚣础 一一以盯鸭戮若1 l 噩 ：舻糊罐帮姥 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 5 页 第三章b s k 方程的r 函数 3 24 阶r 函数求解b s k 方程的孤子解 提出t g f b s k 后，我们令： ( 鲁) 罴= z ( 笔) 黧= t ( 象，篡= ， ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 则使得这三项系数都大于零，而且也得到了象0 = 1 ，2 ，3 ) 。再把所得的是g = 1 ，2 ，3 ) 代入其他剩余项即可定义仇。 口 注3 6 需要说明的是，对- 于b s k 和b k k 任意几阶情形，其寻找有物理意义 的r 函数均可以用类似上述的方法，下文不再赘述。 为了更直观的展示3 孤子解相互作用的现象，我们在图一中( 参见附图) 给出了三种情形下孤子问作用的模型图，而且的确可看到这些解是双向传播 的。 3 24 阶r 函数求解b s k 方程的孤子解 本节更进一步考虑馆= 4 的情形，其思路与上节的3 阶情形类似。同样地， 我们令妒l o = 妒( 凡；z ，t ) ，i = 1 ，2 ，3 ，4 满足3 1 中方程( 3 5 ) ，由命题3 1 得到 引理如下： 引理3 7 令6 = z c o s ( e i ) + t 霹c o s ( 3 e t ) 且依= s i n ( 旬) + t 碍s i n ( 3 e i ) ，i = 1 ，2 ，3 ，4 。则得到4 阶7 _ 函数， 嚣： 瑙+ 4 ) = a 2 l 也2 3 2 4 2 e 麓m 怖怖+ m ) f 三p 2 c f l + 缸+ 妇+ “) ! ! 至1 2 m 1 2 2 11 z z ：! 。1 6 。 z 1 2 勺2 色2 钾2 勺2 1 1 2 + 去e 一2 t 乱+ 缸+ f 3 + “) 翌! i i i ； ! ； i 翼i 擎垂c 鼍，2 + 寸絮薹搴摹乎e 差，2 + 扣针洮刊嘎篆褰挚婴c 笔，2 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 6 页 第三章