（工程力学专业论文）功能梯度材料圆柱壳与圆筒问题的二维分析.pdf

摘要 摘要 功能梯度材料是一种新型材料，其结构分析已成为当今力学研究的热点。 本文将对功能梯度材料圆柱壳和圆筒结构进行二维精确分析。 本文简述了功能梯度材料的应用和力学研究现状，对功能梯度板壳结构的 求解方法特别是精确解法做了详细的介绍。根据弹性力学平面应变问题的基本 方程，引入应力函数，导出了功能梯度材料圆柱壳的控制微分方程。假设材料 的杨氏模量沿半径方向成幂函数p ”分布，利用分离变量的方法，获得到了简支 条件约束下微分方程的精确解。通过算例分析了不同梯度分布时，功能梯度材 料圆柱壳的应力和位移变化规律。在此基础上，在对功能梯度圆筒进行二维分 析时，将载荷边界条件按傅立叶级数展开，成功地求解了给定应力边界条件下 功能梯度圆筒的静载问题。通过算例分析了不同梯度分布下功能梯度材料圆筒 的应力和位移的分布规律。 关键词：功能梯度材料，圆柱壳，圆筒，精确解，分离变量，傅立叶级数 a b s t r a c t a b s t r a c t i th a sb e c o m i n gan e wr e s e a r c hh o t s p o to f t h es t r u c t u r a la n a l y s i sf o rf u n c t i o n a l l y g r a d e dm a t e r i a lr e c e n t l y t h i st h e s i sg a v et h et w o d i m e n s i o na n a l y s i so ff u n c t i o n a l l y g r a d e dm a t e r i a lc y l i n d r i c a ls h e l la n dh o l l o wc i r c u l a rc y l i n d e r t h i st h e s i sf i r s ts u m m a r i z e dt h ec u r r e n ts t u d ys t a t u so ft h ed e v e l o p m e n t sa n d a p p l i c a t i o n sc o n c e m e dw i t hf u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l s ( f g m ) ；i n t r o d u c e dt h e m e t h o d st os o l v et h ep r o b l e mo ft h em e c h a n i c sb e h a v i o r so ff g mp l a t ea n ds h e l l ， e s p e c i a l l yt oo b t m nt h ee x a c tr e s u l t s t h e ni nt e r m so fs t r e s sf u n c t i o nt h eg o v e m i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni so b t a i n e d f o rt h es i m p l es u p p o r t e df u n c t i o n a l l yg r a d e de y f i n d r i c a ls h e l la c c o r d i n gt ot h eb a s i c e q u a t i o n so fe l a s t i cm e c h a n i c s a s s u m i n gt h ey a n g se l a s t i cm o d u l u so ft h em a t e r i a l i sp r o p o r t i o n a lt ot h ep o w e rf u n c t i o np “i nr a d i u sd i r e c t i o n ，t h eg e n e r a ls o l u t i o no f t h eg o v e r n i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni so b t a i n e db ys e p a r a t i o no f t h ev a r i a b l e s t h r o u g h t h en u m e r i c a le x a m p l e s ，a l lo f t h ed i s p l a c e m e n ta n ds t r e s sc o m p o n e n t sa r ea n a l y z e d ， a s s u m i n gt h ey a n g se l a s t i cm o d u l u so f t h em a t e r i a li sp r o p o r t i o n a lt ot h ep o w e r f u n c t i o n p ”i nr a d i u sd i r e c t i o n ，t h et w o d i m e n s i o n a la n a l y s i si sp r e s e n t e df o rt h e f u n c t i o n a l l yg r a d i e n tm a t e r i a lh o l l o wc i r c u l a rc y l i n d e rb yu s i n gt h e s i m i l a rs t r e s s f u n c t i o nt h a ti sg o ti nc h a p t e r2 t h es t r e s sb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r ee x p a n d e di n a p p r o p r i a t et r i g o n o m e t r i cf o u r i e rs e r i e si nt h ec i r c u m f e r e n t i a lc o o r d i n a t i o n t og e tt h e s o l u t i o no ft h eg o v e r n i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，t h r o u g ht h en u m e r i c a le x a m p l e s ，a l l o f t h ed i s p l a c e m e n ta n ds t r e s sc o m p o n e n t sa r ea n a l y z e d k e y w o r d s ：f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l s ，c y l i n d r i c a ls h e l l ，h o l l o wc i r c u l a rc y l i n d e r e x a c ts o l u t i o n ，s e p a r a t i o no f t h ev a r i a b l e s ，f o u r i e rs e r i e s i l 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 年月日 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 年月 日 第1 章绪论 1 1 研究背景 第1 章绪论 功能梯度材料( f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a 矧a l s ，简称f g m ) ，是依据使用要 求，选择两种不同性能的材料，采用先进的材料复合技术，使中间部分的组成 和结构连续地呈梯度变化的一种新型复合材料。这是一种特殊的非均匀材料， 内部不存在明显的界面，可以实现一些特殊功能。功能梯度材料与传统意义上 的非均匀材料( i n h o m o g e n e o u sm e d i a ) 有很大的不同，主要在于功能梯度材料 与传统的非均匀介质在宏观组分、微结构及性能上的区别，前者宏微观都是非 均匀的，而后者在微观上是非均匀的，而在宏观上一般是均匀的。 纵观材料的发展史，经历了单一型材料( 如金属、无机非金属和高分子材 料) ，到复合型材料( 如金属基、陶瓷基和高分子复合材料及生物杂化材料) ， 进而发展到异种材料间不分界的整体化融合型材料的历程，功能梯度材料就是 一种典型的融合型材料。 为了弥补单一材料在某些方面的不足，人们产生了“复合”的思想，复合 材料是指由两种或两种以上的单一材料，用物理或化学的方法经人工复合而成 的一种新性能的材料。复合材料各组分紧密结合，合理分布，性能互补，这样 使得制成的材料比简单混合强得多。现在复合材料已广泛应用于工程与日常生 活。复合材料大多是以层合结构形式出现，而叠层复合材料的层问剪切强度、 层间剪切模量和层间拉伸强度很低，当层间应力超过粘结层的强度极限时，就 会发生层间的粘结破坏和层间的剥离。众多的实验和理论研究表明，层合板存 在自由边缘效应，即层间应力在边缘处有应力集中甚至可能存在应力奇异性【l 】。 随着现代航天航空工业的发展，均匀材料面临着耐超高温问题的挑战，当航天 飞机往返于大气层时，由于机体与大气层之间的摩擦，机头尖端和机翼前沿温 度很高，传统的金属材料难以满足这种苛刻的使用环境。金属表面陶瓷涂层材 料或金属与陶瓷的复合材料在高温环境下使用时，由于二者热膨胀系数相差较 大，往往在金属和陶瓷的接触界面处产生较大的热应力，导致剥落或龟裂现象 的出现而使材料失效。为了开发能在高温环境下使用的具有缓和热应力功能的 第l 章绪论 超耐热型材料，日本科学家首先提出功能梯度材料的概念。1 9 8 7 年日本科学技 术厅提出一项“关于开发缓和热应力的梯度功能材料的基础技术研究”计划， 将金属和超耐热陶瓷梯度化结合，用以解决高温环境下，材料内部界面处热应 力集中问题【2 1 。后来，随着研究的不断深入，人们发现在电子、化学、核能、光 学、声学、生物医学等技术领域，功能梯度材料都有十分广阔的应用前景【3 1 。例 如，在机械工程中利用功能梯度涂层法来提高机械构件的耐磨性，或利用功能 梯度材料来增强结构的强度和韧性等等，利用功能梯度材料的概念还可以制备 出具有优良力学性能和电学性能的功能梯度压电器件【4 】- 【”，找到更加高效实用的 热电转换材料等【引，它们在能源学科领域具有很明朗的应用前景，如固体燃料电 池、太阳能电池、热电转换装置等。材料科学的不断发展，对力学工作者提出 了更高、更深的要求，提出的一系列力学研究的新课题，为力学工作者开展创 新性研究提供了广阔天地，也是力学研究的良好发展机遇。 目前，功能梯度材料的研究才起步不久，主要还停留在理论研究和实验室 制备阶段，成型的产品几乎没有。从理论上对这种新型材料进行系统的分析， 可以为将来功能梯度材料的广泛应用提供理论指导，从理论研究中发现新的现 象和特殊规律，可以指导功能梯度材料的设计和实际应用方向。 1 2 功能梯度材料板壳问题的研究进展 功能梯度材料概念提出以来，功能梯度材料在高温环境下的应用始终是国 内外研究的热点，研究的重点主要集中在热弹性耦合问题以及断裂损伤问题上， 研究的方法多是将经典的或考虑剪切变形的一维梁理论或二维板、壳理论直接 套用到功能梯度材料结构的分析上【9 】。【1 2 1 ，对此王保林等【1 3 1 、李永等【1 4 】和e r d o g a n 等【”1 人作了回顾和评述，沈惠申【1 6 垮门对功能梯度复合材料板壳结构的弯曲、 屈曲和振动做了综述。近年来，随着功能梯度压电材料的出现，人们又开始研 究具有热、机、电、磁等多场耦合的功能梯度材料的结构响应问题1 1 廿 2 3 j 。 在功能梯度材料的材料常数处理方面，由于对板壳类功能梯度材料的研究 通常只考虑材料参数只在厚度方向变化【” - 2 0 1 ，所以使用复合材料层合板模型 【1 4 h 3 1 1 特别有效。假设它由大量垂直于厚度方向的单层组成，每一单层内材料均 匀，但相邻两单层材料参数稍有不同，这样每一层都可以用经典板壳理论来求 解，然后考虑界面间的连续条件，可进一步获得解答。应用这一模型，t a n i g a w a 2 第1 章绪论 和o o t a o 等人关于非均匀梁、板、壳的热应力与热弯曲问题作了大量工作1 3 2 h ”】。 采用分层模型的好处是可以直接利用原有层合板壳结构的分析方法进行求解， 但当分层数很大时，求解的计算量也会变得庞大，并容易导致数值误差。 假设材料常数按某一特定函数的规律变化，目前研究得比较多的主要有两 种情形：( 1 ) 材料弹性常数按指数规律变化，k = k o e 。，k 代表相应的材料常 数的值，口则代表了材料的梯度变化程度。指数函数形式的材料常数梯度分布 假设，由于数学求解上比较简单，且能在一定程度上反映功能梯度材料的特点， 因此在功能梯度材料的力学研究中被广泛采用。如：仲政、尚尔涛p 8 】- 【4 l 】分别研 究了功能梯度热释电材料矩形板在不同边界条件和载荷情况下的精确解和功能 梯度热释电材料平板柱形弯曲的精确解；杨正光等【4 2 】研究了功能梯度圆板轴对 称自由振动问题；( 2 ) 材料常数沿径向按k = k o ，4 幂函数形式变化，这种假设 形式多用于极坐标系下的圆柱壳、球壳等结构分析中【4 3 】- 【4 8 1 ，配合幂级数展开或 f r o b e n i u s 级数展开【4 9 】解法，使得问题的求解变得非常方便。此外，也有材料常 数按其它规律变化的研究工作，a b d a l i a e t a l 【剐研究了内表面作用冲击压力同时 边界温度保持不变时功能梯度空心圆柱内的瞬态响应，在研究中作者假设材料 常数按c o s h 规律变化。 由于功能梯度材料的梯度特性，再加上近年来发展的力、热、电、磁等多 场耦合作用，原有的板壳理论能否完全适用于功能梯度材料还不十分清楚，因 此寻找不带任何人为假设的功能梯度材料板壳的精确解或者是可以控制精度的 解析解是十分必要的。解析解有助于全面了解功能梯度材料板或壳内部的位移、 应力以及电场、磁场等场量的分布规律，为发展针对功能梯度材料特点的简化 理论和发展有限元方法提供依据，还可以作为检验简化理论和有限元方法正确 性的标准算例。 在特定的边界条件下，针对具有特定物理参数的特定几何结构，功能梯度 材料板壳结构的精确解或者是解析解是可以得到的。陈伟球、丁皓江等【5 l 卜p ”、 t a m 掣5 8 】- 【6 3 】和仲政、张晓日【“喇用状态空间法，直接从三维基本方程出发，对 压电材料板、壳等结构的弯曲、振动、稳定等一系列问题作了研究。范加让咐j 在其专著中详细论述了用状态空间法对板壳问题进行求解的过程。用状态空间 法求解的好处是对位移场、应力场不引入任何人为的假设，直接导入到状态空 间求解，获得精确解，对任何厚度的板都适用，且形式简单，很容易推广到具 有热、电、磁等多场耦合效应的情况。但这种方法在处理非四边简支的其它边 第1 章绪论 界条件时不太理想，尤其是具有多场耦合效应的板壳，目前人们的工作仅限于 四边简支、接地的理想边界条件。 1 3 本文的主要工作 主要工作包括以下几个方面： 第2 章从弹性力学平面应变问题的基本方程出发，假设材料的杨氏模量在 圆柱壳径向上呈幂函数的梯度分布，泊松比为常数，引入应力函数，采用分离 变量的方法求解微分方程，推导出了简支边界情况下功能梯度圆柱壳的精确解。 第3 章对于材料常数在径向上呈幂函数分布，泊松比为常数的圆筒，导出 了两种载荷边界条件下的精确解。该方法所得到的圆筒问题的二维精确解可以 为其它求解圆筒问题的近似或半解析的方法提供正确性的评判标准，分析所得 的结果也很好地反应了功能梯度圆筒的一些规律性特征。 4 第2 章功能梯度圆柱壳平面应变问题精确解 第2 章功能梯度圆柱壳平面应变问题精确解 2 1 概述 本章从平面应变问题的基本方程出发，假设材料的杨氏模量沿圆柱壳径向 呈特殊的梯度分布，泊松比为常数，导出了简支边界情况下功能梯度圆柱壳静 力问题精确解。所得圆柱壳问题的二维精确解可以为其它近似或半解析的方法 所得结果提供判据，数值算例也很好地反应了功能梯度圆柱壳的一些规律性特 征。 2 2 基本方程 考虑处于平面应变状态的功能梯度圆柱壳( 内外半径分别为r = 口，r ：= b ， 圆心角为口) ，两端简支，假设材料的杨氏模量e ( r ) 在半径，方向呈一定的梯度 变化，泊松比v 恒为常数，采用极坐标系( ，0 ) 如图2 1 所示。 图2 1 极坐标系中两端简支功能梯度圆柱壳几何示意图 第2 章功能梯度圆柱壳平面应变问题精确解 平向应变i 司题的物理方程一： 占，= 丽1 ( 0 r v 1 ) ( 2 1 ) 知= 赤( 叫一) ( 2 2 ) = 哿锄 ( 2 3 ) 其中e 1 ( ，) = 譬，嵋= 芒r _ 分别为平面应变情况下的杨氏模量和泊松比。 几何方程： 占：盟 ( 2 4 ) 2 苗 屺一 岛= 等弓鲁 亿s ， ，。：三丝+ 堕一生 ( 2 6 ) y m2 7 荔+ 苗一亨 u 巾 应变相容方程为： 7 1 石8 ( r 簪= ( 7 1a o ：- 一号导h + 7 1 石0 ( ，2 争 ( 2 7 ) 需要满足的简支边界条件如下： 在圆柱壳的两端，即口= o ，口时：“，= 0 ，= 0 ； ( 2 8 ) 在圆柱壳的内表面，即，= 口时： o - r = 只( ，f 柑= ( 口) ： ( 2 9 ) 在圆柱壳的外表面，即，= b 时： o r = p a e ) ，f = r a e ) ； ( 2 1 0 ) 引入应力函数萄：萄f ，们，令： 6 第2 章功能梯度圆柱壳平面应变问题精确解 1a 石 i - 铲- 鬲v - 田2 ；素+ 7 万 ：宴 ( 2 1 1 ) 2 萨 心 = 一旦， 正r 笃0 0 把式于( 2 1 1 ) 带入到方程( 2 1 ) ( 2 3 ) ，得剑用厦力豳散表不昀匝燹 表达式： 铲赤c 吾警+ 专窘- - v l 争 组 2 丽7 季+ 7 护 ( 2 1 2 旷南c 窘叫e 筹+ 吉 亿 一哿昙c 吾 亿 将式子( 2 1 2 ) ( 2 1 4 ) 再带入方程( 2 7 ) ，得到关于( ，口) 的变系数4 阶偏微分方捍为： 窘+ 4 窘砌2 黪砌嘉窘协3 雾窘+ ，警 + 器阿窘砌2 等吻4 窘+ _ ，3 窘争 亿 一嚣_ 2 ( 嚣) 2 】【r 4 雾唧和w - - - v i f 2 = 。 引入无量纲变量：户= ，k ，盎= 4 ，孟，占= 6 j 圣，其中孟= t a + b 为圆柱壳 的平均半径。则方程( 2 1 5 ) 变为： 7 窘+ 4 窘伽2 参却等参伽3 雾雾+ p 篆 + 鬻p p 等。箬- 2 p 2 器i 2 p 4 雾小- 咖：等参 二粥一2 c 粉2 舻4 堕a p 2w 3 雾叫p 2 2 。 p = 五时：盯，= p a o ) ，7 印- t a e ) ( 2 1 7 ) p = 占时：= 弓( d ，7 矽= 乃p ) ( 2 1 8 ) 用分离变量法来求解方程( 2 1 6 ) ，把应力函数( p ，口) 写成分离变量的形式： 爹( p ，d = r ( 力y ( 护) ( 2 1 9 ) r y ( 4 ) + 4 r y 一+ 2 p 2 r 。y 。一2 p r y + p 4 r ( 4 ) y + 2 p 3 r 。y - p 2 r 。r + p r y + e 臣l ( ( p 力) r 3 p r y - 2 p 2 r , y _ 2 p 4 r y + ( _ 一2 ) p 3 r y + p 2 r 明( 2 2 。) 一【器_ 2 端) 2 】咖7 w 3 f 卜盯弘。 了y ( 4 ) 二磊y - 三2 髟r y 馨_ r z y 事4 r 4 ) ：1 二3 琴r m _ 2 群r _ _ 篑亿：。， ：酴叫嚣2 d 4 等叫p 3 r e t - p 2 争一。 将上式对p 求一阶偏导数得到： 8 第2 章功能梯度圆柱壳平面应变问题精确解 斗2 筹却和即p 2 争怒w 2 ( 器一2 船2 + 陋筹+ ( v 1 - 2 ) p 3 筹篝 器却4 簧w 3 簧) ( 器划- e 球。( 叭p ) j 2 ) + p 警伽3 等筹+ p 篑 = 。 蚩便上虱成业，必烈伺5 rl p 4 警+ 2 p 3 等一p 2 等+ p 篑i 1 p _ - 2 r mp i r + ( 3 p - 2 p 2 - 簧，糍w 2 ( 器叫嚣，2 ) j l - 2 p 4 筹+ ( v , - 2 ) p 3 筹匐器叱4 和矿百r e ) ( 器叫鬻，2 p 等却等+ ( 3 p - 2 p 2 争锱p 2 ( 器嘣鬻，2 ) = 一矛 ( 2 2 3 ) 其中旯为常数。于是得到关于y ( 力的微分方程： r + 矛y = 0( 2 2 4 ) 由于在推导过程中对p 求了一次导数，所以关于r ( 力的方程不能从方程 ( 2 2 3 ) 中得到，需要换一种方式来获得关- 于r ( p ) 的方程。由方程( 2 2 4 ) 可 得： y 。= 一斧y( 2 2 5 ) 进一步 】，4 ) = 一刀y 。= y ( 2 2 6 ) 9 第2 章功能梯度圆柱壳平面应变问题精确解 将它带入到方程( 2 2 0 ) ，并且等式两边同除以】，( 曰) 可得： q p p 4 舞e t 卜 - 兹二：棼鬻二荔声眩2 枷础肭如2 舞w 3 ( 器一2 c 搿2 炉 门俨p 器吨p 2 ( 器叫粉2 肛。 这就是任意梯度变化形式下，经分离变量所得到的关于r ( 力的变系数四阶常微 分方程。分别求解常微分方程( 2 2 4 ) 和( 2 2 7 ) 可以得到y ) 和r ( 力的通解， 再通过应力函数痧( p ，力= r ( 力y ( 护) 就可以得到功能梯度圆柱壳平面应变问题的 所有位移、应力分量。 2 3 特殊分布形式 关于y ( 臼) 的二阶常微分力程( 2 2 4 ) 是很容易求解的，通解为： 】，( 伊) = c 1s i n 五8 + g c o s 2 口 ( 2 2 8 ) 这里c i c ，是待定系数。 当材料的杨氏模量沿径向按照一定特定函数变化( 例如杨氏模量为幂函数 分布) 时，关于r ( p ) 的变系数四阶常微分方程( 2 2 7 ) 是可以求得精确解的。 我们假设杨氏模量的按如下幂函数分布： e ( 力= 印“ ( 2 2 9 ) 其中，口为常数，可由功能梯度圆柱壳内表面处的材料常数值得到，有 曩= 等 ：( 2 3 0 ) 则有： ! 墨盟：三 ( 2 3 1 ) e ( p )p 1 0 第2 章功能梯度圆柱壳平面应变问题精确解 鱼盟一2 ( 鱼塑) z ：一旦骘旦 ( 2 3 2 ) e ( p )、e ( p ) p 2 把( 2 2 9 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 带入到微分方程( 2 2 7 ) 中得： p 4 r 4 + 2 p 3 ( 1 一n ) r _ + p 2 ( 栉2 + l ，l n 一一一1 2 矛) r + d l + ? i - - v l n ( n + 1 ) + 2 刀( 撑+ 1 ) 】五+ 【力一名( 4 + 3 n - v l 以( ，l + 1 ) ) 】r = 0 ( 2 3 3 ) 这是个欧拉方程，具有形如r ( 力= p 的解，以r ( 力= p 代入( 2 3 3 ) 并约去 因子p ，就得到确定k 的代数方程： k ( k 一1 ) ( x 一2 ) ( 足一3 ) + 2 ( 1 一n ) k ( k 一1 ) ( 置一2 ) + ( n 2 + v t n n - 1 2 1 2 ) x ( x 1 ) + 1 + h - v l n ( n + 1 ) + 2 a 3 ( n + 0 k + 刀一名【4 + 3 n - v i n ( n + 1 ) 】= 0 ( 2 3 4 ) 经过计算发现：当”= 0 ( 材料退化为均匀材料) 时，五= 0 和五= 1 的情况下， 方程( 2 3 4 ) 的解会有重根。当，0 时，只有在a = 0 ，玎= 2 p 砰一i ) 时， 方程( 2 3 4 ) 的解才会出现重根。又因为泊松比u l ，而_ ，作为p 的指数是不 会取虚数的。综合以上分析，在杨氏模量为梯度变化( 即n 0 ) 的时候，方程 ( 2 3 4 ) 的解是不会有重根情况出现的。本文主要研究的是梯度材料，所以就 不讨论均匀材料中重根的情况，但应该注意到的是本文中所得到的结果当旯= 0 和五= 1 时，不能退化为均匀材料的解。所以方程( 2 3 3 ) 具有下面形式的通解： r ( p ) = d 1 p k t + d2 p k 2 + d3 p 茁，+ d 4 p k , t ( 2 3 5 ) 其中k 。o = 1 , 2 ，3 ，4 ) 是方程( 2 3 3 ) 的特征根，由方程( 2 3 4 ) 确定。 r ( 力、y 徊) 确定之后，通过应力函数痧( p ，目) 就可以把所有的位移、应力分 量表示出来，其中的待定常数需要由边界条件( 2 8 ) 、( 2 1 7 ) 、( 2 1 8 ) 确定。 将通解( 2 2 8 ) 和( 2 3 5 ) 带入到( 2 1 6 ) ，得到如下形式的应力函数： ( p ，日) = 【c ls i n 名口+ c 2c o s 五口】【d l p 毛+ d 2 p 篁：+ d ，p 岛+ d p 置】 ( 2 3 6 ) 将应力函数( 2 3 6 ) 带入到简支边界条件( 2 8 ) 中。可以得到： g = o ，以= 竺( 脚= l 2 州3 ) ( 2 3 7 ) 第2 章功能梯度圆柱壳平面应变问题精确解 将它带入到( 2 3 6 ) ，不妨取c l = 1 并作如下的和： 缈( p ，目) = s i n 九优d 1 p ”+ d ，p 时+ d f p 口+ d 4 p ? 】 ( 2 3 8 ) = 1 显然这个函数满足方程( 2 1 6 ) 和简支边界条件( 2 8 ) ，待定常数w 、上譬、 d f 、d ? ( m = l ，2 ，3 ，) - a fe h 内外表面的边界条件( 2 1 7 ) 、( 2 1 8 ) 来确定 把应力函数表达式( 2 3 7 ) 代入( 2 1 1 ) 得到应力分量表达式为： 其中 盯p = 尸“( p ) s i na 。p m = 1 = q “( p ) s i n 旯。口 ( 2 3 9 ) 村= l f 加= - z 丁”( p ) c o s 兄。口 扣矿知c 力 聪( p ) ( 2 4 0 ) 以( 吉蹦矿古蹦棚 同样，位移分量也可以写成如下的形式： 其中： 2 p “们咖九口 ( 2 4 1 ) “口= 一u 罗( p ) c o s a 。口 昭加志孑h 2 职p ! + 删如) + 坛+ 1 + ( 砖- 1 - n ) v - 地( 力 + g 吒一3 ) 等r ( 州 昭加志髫= 嚣署和) + l _ 2 耻她 + ( 3 + ( 1 一叠一以) 嵋) 兰 r ( 户) 】 力力力，l，ll m p q 丁 ，l_-_-l-_llil【 第2 章功能梯度圆柱壳平面应变问题精确解 ( 2 4 2 ) 于是位移分量、应力分量都可以用含有待定常数d 1 啊、0 7 、0 7 、0 7 ( m = 1 ，2 ，3 ，) 来表示，将p “、q “、t 4 、叼、w 写成矩阵形式的表达式为： p “ 丁捌 u ： u ； 彳嚣 彳墨 彳墨 彳z 彳品 a t , 么蠹 彳嚣 彳嚣 彳丢 彳三 a t , q ”= 淄髭群以】1 荽 磷 l d ? d 0 d ? d ： d ： 这里带( i = 1 ，5 ；，= 1 , - - ，4 ) 均为p 的函数，具体见附录a 作用于圆柱壳内外表面的载荷可按傅立叶级数展开为： 只( 口) ：艺掣s i n ( 2 , a ) 瓦( 口) = - “3 - + 万e o s ( & o ) 甲 弓( d = 彳s i n ( & o ) t s ( e ) = 等+ 彳e o s ( & o ) 下 o 其中： 露= 吾r 只( 印s i n ( & e ) d o 霉= 昙r 弓( d s 呱丸力d 9 万= 吾r 乃( 刃c o s ( 以护) d 口 ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) ( 2 5 0 ) ( 2 5 1 ) 第2 章功能梯度圆柱壳平面应变问题精确解 r 7 = 昙r 弓( d c o s ( 以力d 口 ( 2 5 2 ) 巧= 詈r 瓦( 州p ( 2 5 3 ) 巧= 詈r 乃( 力d 护 ( 2 5 4 ) 从( 2 3 9 ) 中可以发现，结果中不包含圆柱壳内外表面受均匀剪应力的情 况，所以需要在应力函数中补充上这一项。根据式( 2 1 1 ) 设其为： 矿= c , a ( 2 5 5 ) 麻力表达式为： 相应的位移表达式为： 仃：= o 西= o 略= 导 f 器 显然此时内外表面剪力还应该满足总体力矩平衡条件： r 五2 t d o = r 占2 r ；d e 于是两边简支的功能梯度圆柱壳的应力和位移的表达式为： o r p = p “( p ) s i n 旯。口 o r 口= q 4 ( p ) s i n 旯。p m r = l r 矽2 等一蚤r 沁九口 1 4 ( 2 5 6 ) ( 2 5 7 ) ( 2 5 8 ) 第2 章功能梯度圆柱壳平面应变问题精确解 k = 【，；( p ) s i n a 。口 【“一2 一i ；黔一薹u 孑c p ，c o s 旯。p 将方程( 2 5 8 ) 代入边界条件( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 得： p = a 时， p “( a ) s i i l 五。口= 只( 口) ， + 善州五炳以p = 乃( 钆 p = 6 时， 尸“$ ) s 面以护= 忍p ) ， m = l ( 2 6 0 ) ( 2 6 1 ) 参+ 薹r ( 甸o o s 印2 驴) ； ( 2 6 2 ) 根据傅立叶级数展开，于是得到c 3 、三r 、d 7 ，三f 、z v ( m = 1 ，2 , 3 ，) 所满 足的代数方程组： w 筒( a ) + 霹雒( 舀) + 掣雒( a ) + 纠m 4 m 。l 口 ) = f i g ( a ) s i n ( l o ) a o ( 2 6 3 ) w 筋( a ) + 彤镌( a ) + w 铭( a ) + w 以( a ) = 一号r 瓦( 印c 。s ( 九力d 口 ( 2 6 4 ) 研雒( 占) + d 7 a 嚣( b ) + 掣川够) + 纠m m 。l 。 ) = 丢r 忍( 口) s i n ( l e ) a e ( 2 6 5 ) 吖筋西+ 硝筋西+ 硝西+ 硝以西= 一言r 乃( 印c o s ( 丸口) d 口 ( 2 6 6 ) c 3 = a 2 r 2 = 9 2 r ；2 ( 2 6 7 ) 由此求出c s 、w 、d 、d f 、d 7 ( 册= 1 ，2 ，3 ，) 以后，即可求得简支边 界条件下功能梯度圆柱壳所有位移分量、应力分量。 2 4 算例及分析 算例1 ，受内压力作用：考虑一段圆心角口= 詈功能梯度材料圆柱壳，内外 第2 章功能梯度圆柱壳平面应变问题精确解 半径分别为a = 6 0m m ，b = 1 0 0m l n ，内表面作用三角函数形式的荷载 = 1 s i n 3 0 m p a ，外表面只= 0m p a ，由于荷载是三角函数形式的，只要在前 面的推导结果中只计算m = 1 的情况。毛为功能梯度圆环内表面处的杨氏模量 值，取e o = 1 0 1 0 9 1 v i p a 。 图2 2 一图2 6 给出了在7 种材料梯度变化系数胛= o 士o 5 ，土1 2 情况下，圆 柱壳内口= 三a 的应力盯，o e ，7 一，位移甜，随坐标p 的变化。计算结果 _ r 表明： ( 1 ) 对于阼= 0 的情况时，梯度材料退化为均匀材料。从结果图中可以看出， 在杨氏模量梯度变化的圆柱壳中的各应力，位移值会大于或小于相应的均匀材 料中的数值。大于，还是小于取决于栉是大于零，还是小于零。 ( 2 ) 径向位移。( 图2 5 ) 的变化几乎和坐标p 无关；剪应力f 砷( 图2 4 ) 近似为坐标p 的二次函数。 ( 3 ) 在数值上要大于盯，所以在工程中是要考虑的。而7 印在数量 级上和盯。是同一数量级。 图2 2 应力巳 1 6 第2 章功能梯度圆柱壳平面应变问题精确解 o - e k 图2 3 应力 p 图2 4 应力 1 7 第2 章功能梯度圆柱壳平面应变问题精确解 p 图2 5 径向位移甜。 p 图2 与环向位移 1 8 第2 章功能梯度圆柱壳平面应变问题精确解 算例2 ，受剪力作用：考虑一段圆心角口= 姜功能梯度材料圆柱壳，内外半 j 径分别为口= 9 0m i l l ，b = 1 0 0n m l ，内外表面作用的荷载为= 0i v p a ， 瓦= 2 c o s 3 0m p a 。e o 为功能梯度圆环内表面处的杨氏模量值，取 e o = 1 0 x 1 0 9 m p a 。 图2 7 一图2 1 1 给出了在7 种材料梯度变化系数拧= 0 ，0 5 ，+ 1 4 - 2 情况下，圆 柱壳内p = 三的应力0 9 ，0 0 ，如，位移，随坐标p 的变化。计算结果 表明： ( 1 ) 与受压力载荷作用情况相同：对于刀= 0 的情况时，功能梯度圆柱壳结 构就退化为均匀材料。在杨氏模量梯度变化的圆柱壳中的各应力、位移值会大 于或小于相应的均匀材料中的数值。大于，还是小于取决于f 是大于零，还是小 于零。径向位移甜，( 图2 1 0 ) 的变化几乎和坐标p 无关；剪应力7 砷( 图2 9 ) 近似为坐标，的二次函数。 ( 2 ) 与受压力载荷作用情况不同的是：0 0 比盯，要大，而且7 印与盯，也是 同一数量级，所以在工程中当结构受剪力作用时不但要考虑矿。，而且更是要注 意。 p 图2 7 应力盯， 1 9 第2 章功能梯度圆柱壳平面应变问题精确解 o - o t 荫 p 图2 8 应力 p 图2 9 应力 2 0 第2 章功能梯度圆柱壳平面应变问题精确解 4 8 6 - 8 4 a e - 8 4 a e - 8 4 2 e - 8 u p 4 o e - 8 3 8 e - 8 3 6 e - 8 3 4 e - 8 一n = 2 一t n = - t r m o5 - n = o 一n = 0 5一一n = l 一n = 2 9 6 9 81 0 01 0 21 0 4 p 图2 1 0 径向位移“。 p 图2 1 1 环向位移 第3 章功能梯度圆筒平面应变问题精确解 3 1 概述 第3 章功能梯度圆筒平面应变问题精确解 本章从平面应变问题的基本方程出发，假设材料的杨氏模量在圆筒径向上 里幂函数的梯度分布，泊松比为常数，推导出了平面应变情况下功能梯度圆筒 问题的精确解。该方法所得到的圆筒问题的精确解可以为其它求解圆筒问题的 近似或半解析的方法提供正确性的评判标准，分析所得的结果也很好地反应了 功能梯度圆筒中的一些规律性特征。 3 2 基本方程 考虑处于平面应变状态的功能梯度圆筒( 内外半径分别为a , b ) ，假设材料 的杨氏模量e ( ，) 在半径r 方向呈一定的梯度变化，泊松比y 恒为常数。采用极坐 标系( r ，0 ) 如图3 1 所示： y 伛 、 何。 f 1 。 图3 1 极坐标系中功能梯度圆筒几何示意图 平面应变状态的物理方程： 铲赤一嵋) x ( 3 1 ) 第3 章功能梯度圆筒平面应变问题精确解 ：i 去p 口- - v i o r ) 2 丽p 9 = 哿铂 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 其中置( r ) = 譬，嵋= f v 了分别为平面应变情况下的杨氏模量和泊松比 几何方程： b ：竽 o r 白= 争+ 7 1 面0 u o y 。：三盟+ 堕一生 ，一。7 j 方+ 言一亨 ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 应变相容方程为： 7 1 石0 驴百c o y r o ) = ( 吉嘉一詈昙磅+ 7 1 瓦0 ( ，2 等) ( 3 7 ) 需要满足的静力边界条件如下： 在圆筒的内表面，即，= 口时： 盯，= 只( 0 ) ，f m = l ( 口) ； 在圆筒的外表面，即，= b 时： o r = 只( 口) ，l r 口= 瓦( 力5 引入应力函数矿= ( r ，d ，令： ( 3 8 ) ( 3 9 ) 1a 蟊1a 2 田2 7 言+ 一r 2 。0 0 2 ：窖 ( 3 1 0 ) 2 萨 = 一昙e 等 第3 章功能梯度圆筒平面应变问题精确解 把式子( 3 1 0 ) 带入到方程( 3 1 ) ( 3 3 ) ，得剑用厦力函数表不的_ 匝夏 表达式： = 赤c ；- g 痧+ 吉雾- - v i 争 2 丽斗7 萨 1 1 知= 南t 雾叫e 等+ 专， 协 一哿导专等 慨 引入无量纲变量：p = r ，盖，a = 口，盖，占= 6 孟，其中盖= t g + b 为圆筒的 平均半径。边界条件( 3 8 ) 和( 3 9 ) 变为： p = 盎时： = 尼( 曰) ，7 矽= 瓦( d ( 3 1 4 ) p = 占时：盯。= 只( 口) ，f 卯= 暑( 口) ( 3 1 5 ) 3 3 应力函数 当材料的杨氏模量沿径向按照特定函数变化， ( p ，d 的表达式。我们假设杨氏模量按幂函数分布： e ( 力= b p ” 可以找到关于应力函数 ( 3 1 6 ) 其中，口为常数，可由功能梯度圆筒内表面处的材料常数值得到： 丑：盟 ( 3 1 9 ) 五4 参考第二章的分析过程，可直接设应力函数的表达式为： 矿( p ，口) ：主【卵s i n m e + c fc 。s 历口】【d ，p 矸+ d f p 盯+ d f p 日+ d ：_ p 曰】 m = o 第3 章功能梯度圆筒平面应变问题精确解 3 4 应力函数求解 作用在圆筒内外表面的外力边界条件按傅立叶级数沿0 方向展开为： ( 3 1 8 ) 尼( 曰) = 露+ 【瑶e o s ( m e ) + p zs i n ( m e ) ( 3 1 9 ) 乃( 印= 露+ 【瑶s i n ( m a ) + t zc o s ( t o o ) ( 3 2 0 ) m l 忍( d = 弓+ 瞄c o s ( m a ) + 呓s i n ( t o o ) ( 3 2 1 ) m - i 乃( 占) = 巧+ 瑶s i n ( m o ) + 呓e o s ( m e ) ( 3 2 2 ) m 。i 巧2 去只( 口) d 口，巧= 去忍( 目) d 口 ( 3 2 3 ) 巧2 去疋( 功d 口，巧= 去【乃( p ) d p ( 3 2 4 ) 呀2 去e 只( 口) c 。s ( 坍e ) a o ，瞄= 昙b ( 口) c 。s ( 聊e ) a e ( 3 2 5 ) 磁。去忍s i n ( t o o ) d 8 ，呓2 妻弓s i n ( m e ) d e ( 3 2 6 ) 瑶2 去瓦( 口) s 啦m e ) a o ，瓒= 去弓( d s i n ( 丸蹦锄 ( 3 2 7 ) 磁2 去乃( d c o s 咖e ) a o ，磁2 寺乃( 力c o 聊o ) d o ( 3 2 8 ) 从上面可以看出巧、只、巧、巧相当于在边界上受均匀分布载荷作用的 情况。下而榀椐不同的载荷情况俞别讨论。 3 4 1 载荷关于j 轴对称 当边界上的载荷分布是关于x 轴对称时，应力两数表达式为； 第3 章功能梯度圆筒平面应变问题精确解 菇( p ，占) = c o s m 研d ，p 7 + d ，p 盯+ d f p f +