多机系统Hamilton实现的Hessian矩阵正定判定与应用.pdf

第 4 1 卷 第 2 3 期 2 0 1 3 年 1 2月 1日 电 力 系统 保 护 与 控制 P o we r S y s t e m P r o t e ct io n a n d Co n t r o l Vb1 41 NO-23 De c 1 。 201 3 多机系统 Ha milt o n实现的 He s s ia n矩阵正定判定与应用 殷 婷 ，王 杰 ( 上海交通大学电子信息与电气工程学院，上海 2 0 0 2 4 0 ) 摘要 ：对于传统的电力系统广义 H a m i1 t o n实现 ，判定 H a m ilt o n函数 H e s S ia n矩 阵的正定性是保证 系统 L y a p u n o v意义下稳 定的充分条件，而复杂电力系统中此 H e s S ia n矩阵通常为高维分块矩阵，其正定性判定较为困难。基于二次型和块对角占优 的思想， 推导出判断高阶分块矩阵正定性的一般方法， 利用矩阵分块理论并结合矩阵块的行或列的性质来实现。计算过程简 单，大大减小了计算量。运用电力系统暂态能量函数方法有助于控制的设计和研究，并使用上述方法判断系统在平衡点处 H e s S ia n矩阵的正定性。在四机系统中进行 s im u lin k仿真，证明了所推导判据的准确性和控制策略的有效性，简化了广义 H a m ilt o n系统实现 的 H e S S ia n矩 阵正定性 的判 断过程。 关键词 ：1 a m ilt o n系统 ；能量 函数 ；H e s S ia n矩阵； 二次型；块对角 占优矩 阵 J udg m e n t a nd a pplica t ion o f H e s s ia n m a t r ix po s it iv e de fi nit e ne s s f o r m ul ti - ma chin e s ys t e m Hamilt o nia n r e a liz a t ion YI N Ting， WANG J le ( S ch o o l o f E l e ct r o n i c I n f o r ma t i o n a n d E le ct r ica l E n g in e e r i n g ，S h a n g h a i J i a o T o n g Un i v e r s it y ，S h a n gha i 2 0 0 2 4 0 ，C h in a ) Ab s t r a ct ： T h e p o s i t i v e d e fi n it e n e s s j u d g me n t o f H e s s i an ma t r i x o f Ha mi l t o n f u n ct i o n is a s u ffi ci e n t co n d i t io n t o g u a r ant e e t h e s y s t e m s t a b ilit y in t h e Ly a p u n o v s e n s e f o r t h e g e n e r a liz e d Ha milt o n ia n r e a liz a t io n o ft h e t r a d it io n a l p o we r s y s t e m。 Ho we v e r ， t h e He s s ia n ma t r ice s o f co mp l e x p o w e r s y s t e m are u s u a ll y h i g h - d i me n s i o n b l o ck e d ma tr i ce s and t h e j u d g me n t s o f p o s i t i v e d e fi n i t e n e s s are v e r y d iffi cu l t 。T h e g e n e r a l me t h o d t o j u d g e t h e p o s i t i v e d e fin i t e n e s s o f h ig h - o r d e r b l o ck e d ma t r ix i s d e r i v e d b a s e d o n t h e id e a o f q u a d r a t ic for m a n d b lo ck d ia g o n a l d o min a n ce ， a n d it C an b e r e a liz e d b y u s in g t h e ch ara ct e r is t ics o f t h e b lo ck e d r o ws o r co lu mn s o f ma t r ix an d b l o ck e d ma tri x t h e o r y。Th e ca l cu l a t in g p r o ce s s wi l l b e s imp l e r ，and i t g r e a t l y r e d u ce s t h e a mo u n t o f ca l cu l a t i o n s 。At t h e s a me t ime， i t wi ll b e co n d u ci v e t o t h e r e s e arch a n d d e s i g n o f t h e co n tro l b y me a n s o f t h e t r a n s i e n t e n e r g y f u n ct i o n me t h o d o f p o we r s y s t e m，an d t h e p o s i t i v e d e fin it e n e s s o f He s s i an ma t r i x a t the e q u il ib r iu m p o i n t is j u d g e d b y the a b o v e me th o d s 。T h e s imu l a t i o n e x a mp le i s g i v e n for fou r ma ch in e s y s t e m t o p r o v e the a ccur a cy o f t h e cr it e r io n an d t h e e f f e ct iv e n e s s o f t h e co n t r o l s t r a t e gy ，wh ich s imp lifi e s t h e j u d g me n t p r o ce s s o f t h e p o s i t iv e d e fin i t e n e s s o f He s s i an ma t r ix o f g e n e r a li z e d H a mil t o n i an r e a l iz a t io n 。 T h i s w o r k is s u p p o s e d b y Na t i o n a l Na t ura l S ci e n ce F o und a t i o n o f C h i n a ( N o 。6 1 0 7 4 0 4 2 ) 。 Ke y wo r d s ： Ham ilt o n s y s t e m ； e n e r gy f u n ct io n； He s s ia n ma t r ix； q u a d r a t ic for m ； b lo ck d ia g o n a lly d o min an t ma t r ice s 中图分类 号： T M7 1 1 文献标识码： A 文章编号： 1 6 7 4 - 3 4 1 5 ( 2 0 1 3 ) 2 3 - 0 0 1 6 - 0 7 0 引言 随着现代电力系统技术与研究的迅速发展，不 同组元的相互连接与多变的运行方式带来 了超大规 模的电力 网络 。由于现代 电力系统结构的复杂性， 其安全稳定运行问题显得尤为突出。电力系统的复 杂性研究 已成为众多学者和研究人员的重要研究方 向，这将为解决电力系统分析和运行的稳定性问题 提供有效 的方法I l J 。 Ha mil t o n系统是非线性科学研 基金项 目：国家自然科学基金项目( 6 1 0 7 4 0 4 2 ) 究中的重要方 向之一，其控制设计方法能够提供系 统及控制行为的物理解释 ，实现直观的几何和物理 描述，对电力系统的非线性分析和稳定性控制起到 了重要 的作用 3 - s 。 关于 Ha mil t o n 函数及其系统实现方面的研究 已取得 了相 当大的进展 ，例如文献 6 给出了一种 Ha mi lt o n函数的构造方法 ，实现 了一类非线性系统 的直接镇定控制， 进而推导出系统渐近稳定的条件 。 文 献 f 7 运 用 能 量 整 形 方 法 提 出 了 可 作 为 系 统 L y a p u n o v函数 的 Ham ilt o n能量函数，并设计了镇 定该系统的励磁控制器 。暂态能量函数法 的应用为 殷 婷，等 多机系统 Ha mi lt o n实现的 H e s s i a n矩阵正定判定与应用 1 7 电力系统 的稳定与安全分析提供 了有效 的解 决方 法L 8 J 。 基于能量的 L y a p u n o v函数在 电力系统的稳定 性分析中起着重要的作用。文献 9 给出了双机 电力 系统 H a milt o n函数的构造过程 ， 并由此得到了基于 能量的 L y a p u n o v函数 。 文献【 1 0 基于 Ha mil t o n能量 方法推导 了三 相 电压型 P WM 整流器的端 口受控 H a milt o n模型，并结合系统的无源性设计了 P WM 整流器的无源控制算法，使得系统能够具有 良好 的 动静态性能和鲁棒性 。 文献 1 1 】 从能量的观点出发， 应用 Ha mil t o n实现方法进行 了结构保持多机 电力 系统非线性励磁控制器的设计 。 在使用 Ha mil t o n能 量 函数 法 判 断 系 统 稳 定 性 时 ， 为 使 得 系 统 在 L y a p u n o v意义下实现稳定 ， 需要满足其能量函数对 应的 He s s ia n矩阵正定性的条件。然而 以上这些文 献都未提及 Ham i lt o n能量 函数 中 He s s i a n矩阵的正 定性 问题 ，特别是在多机系统 中的研究。 为保证H a milt o n 函数在某一平衡 点附近保持稳 定，可以通过判断其对应He s s ian矩阵的正定性来实 现。 目前关于矩阵正定性的文献 已经提供了许多判 断方法。文献 1 2 1 3 分别使用降阶法和块对角占优 矩 阵的性质来判定矩阵正定性。文献 1 4 基于矩阵 最小奇异值和特征值圆盘的估计 ，给 出了正定矩阵 谱半径 的估计 ，同时基于最优化理论得到了矩阵正 定性的判断算法。国内外对于矩阵正定性的研究都 是从特殊矩阵的角度出发，无法适用于高阶矩阵的 正定性判断，因此很难得到推广并应用到电力系统 He s s ian矩阵的正定性判断 1 5 - 2 2 J 。但 由于Ha mil t o n 系 统中He s s ia n 矩阵的特殊性质，可 以结合高阶矩阵分 块和对角 占优理论来实现其正定性的判断。 本 文则是在高阶矩 阵分块 与块对角 占优 的基 础上提 出了复杂矩阵正定性的判断方法，并基于电 力系统H a milt o n 函数 的He s s ian矩阵特性提出了判定 该系统渐近稳定的新思路，大大简化了以往判断复 杂系统稳定性的过程 。同时从能量角度 出发给出了 电力系统的Ha mil t o n 函数并使用一般的控制策略进 行系统的分析。对He s s ian矩阵分析时关于各个元素 单位不一致的问题我们提 出了相应的解决办法 ，具 有广泛 的实用性。最后针对 电力系统四机系统进行 时域仿真，运用本文提出的新方法并结合系统参数 来判断系统的稳定性，结果表明该判别方法可 以实 现对复杂系统He s s ian矩阵正定性的判断，并实现系 统稳定性的控制。 1 问题描 述 考虑仿射非线性系统 ) = ( ( f ) ) + g ( ( f ) ) ( ) ( 1 ) 其中： 状态X = ( l ， x 2 ， ， ) R ” ；， ( ) c ( R ) ； g ( ) C ( R ) ， r 1 ；控带 0 = ( “ 1 ， 2 ， ， U m ) 。 对于上述仿射非线性系统，若存在下有界函数 H( x ) 使得厂 ( ) = M( x ) O ( ) + p ( ) ， 则系统可以 表示为 = M( x ) O H( x ) + p ( ) + g ( x ) u ( 2 ) 这里，M( x ) = ( ( x ) ) 为结构矩阵，p ( ) = ( P ， P ： ， ， P ) R ， 记a H= 3 x， 则称非线性 系统具有伪广义受控 H ami l t o n 实现，函数H( x 1 为 系统的一个广义 H a milt o n函数 。 系统( 2 ) 的平衡点 x 0 应满足 M( x o ) O H( x o ) + p ( X o ) = 0 ( 3 ) 取相应的能量函数为 ( ) = ( ) + ( ) 一 H( x o ) ( 4 ) 其中， x k ) = ( X l 0 , 2 0 ， I ， X k - I,0 X k ， + l 一 ， 0 ) 。 要使 是 W( x ) 的极小值的驻点，则其 H e s s ian 矩阵：a ： ( a ( ) ) = a ( a ( ) ) + D ( ) 在x o 处是正 定 的 ， 这 里 D( ) =d ia g ( O ， a ， a )， = ( x ) p ( x ) 。 对于多 机系统， 其对应的H e s s i a n 矩 阵相 当复杂， 很难用解析表达式给出其正定条件 。 2 一般矩阵正定性的判定方法 2 1矩阵正定的一般判断方法 对于实方阵 A = A ( AR ” ) 正定性 的判断，一 般常用的方法有：( 1 )A是正定阵甘 A的特征值全 大于 0 甘 存在可逆矩阵 C， 使得 A=c C； ( 2 )A正 定 的充要条件是各阶顺序主子式为正；( 3 )凸函数 对应的 He s s ia n矩阵为正定矩阵；( 4 ) 阶矩阵 A分 块 为 f 1 ， 其 中 A ， 是A 的 ，z 一 1 阶 主 子 阵 ， 搴I。 7 ) ) 为列 向量 ， ，则 A正定的充要 条 件 是 0且 以 下 的 n 一1阶 方 阵 B=A 1 一 ( 4 r ) ( + ) ( + ) 是正定的；( 5 ) 正定的充要 条 件 是 存 在 唯 一 的 三 角 分 解 A=上 ， 其 中 L n =( f f ) ， 0， ， =0 ( i 0 ， -， = 1 ， 2 ， ， ( 1 0 ) ， ( 5 ) 则可 以判定出矩阵 是正定的。 这样就可以把高阶 复杂矩阵的正定性问题转化为判断多个分块小矩阵 的正定性。 若 存 在 ( 1 ， 2 ， ， ， z ) ， 且( 1I II II ， 则 称 A 为 块 对 角 占 优 矩 阵 。 其 中 范 数 取 为 IIA l l = m ax 噼 喜 l n n n 1) ， 该 范 数 满 足 ( ) IIA II 0 A IIA II ： 0 铮A = 0 ； ( 2 ) Il a A II = l a l l l A Il， R ： ( 3 ) + 圳 l 14+ l l n l I 。 本 文主 要 运用 二次 型来 判断 矩阵的正定性。 对于矩阵 BR 她有如下不等式： 2 x l v B x IIB l l x ,T X + l l B l l x 2 W x ( 6 ) 这 里IIn l I ： IIn l l = m 1 。 证 明 ： X k = l X k l 庀 = ，2 ， = ( ： ， 2 ， B x 2 = 2 ( ：)( b222, x 22) = 2 ( b l 1 X 1 l+ b 2 1 X 12 ) j c 2 1 + 2 ( 6 I2 X 1 1 + 6 22 2 ) X 2 2 ( Ib , I + l b 。： I) x 。 + ( 16 2 I + l b I) x + ( I+ l b I) x 2 + ( 16 l 2 I + l b I) x ： l In l l x + l l n l l x ： + l l B l l x 2 + l l n l l x ： ： = 1I l l x ,w X 。 + l l n l l x 2 W x 因而 I B x ： 1- 0 ， I J 一 ( II + l l h ： l 1) 0 即可得到 He s s ia n矩 阵的正定性。 4 2四机系统稳态情况下的仿真 系统模型中每个区域内有两台电机 ， 为例 ，仿真模型图如图 1 所示。 系统发电机参数如下，参数均采用标 幺值 X d l =X d 2 3= 4=1 8； X q 1 = X q 2= 3 4 1 t 7； = 。= = =0 3； l = 2= 3= 4=0 5 5； Di =D2= = D4=1 0； M =M 2=1 3 ， M 3=M 4：1 2 3 5； = = = ： 8 潮流计算结果为： =0 3 5 2 6， ：0 1 8 3 3， =一0 1 1 8 7，s 4=一0 2 9 6 7， I =0 9 5 1 6， 2=0 9 6 3 5， 3 = 0 9 4 2 4 ，4=0 9 4 3 2。 图 1四机系统的仿真模型图 一 ( I L + I L, ， l 1) = r 1 0 0 、 r 0 7 7 3 7 0 0 0 8 7 、 l 0 1 0 l_ l 0 0 0 7 7 0 l ( 0 7 5 0 9 + 0 3 5 7 5 ) = 0 0 1 0 0 8 7 0 0 4 6 5 3 ) 0 4 0 9 1 4 7 0 0 9 6 4 0 0 4 8 4 34 1 1 【一0 J J 一 ( I1 + 11 l 1) = f ， 1 0 0 、 f ， 0 8 4 3 9 0 - 0 0 1 4 1 l 0 1 0 l _ l 0 0 0 7 7 0 l ( 0 _7 4 9 5 + 0 3 8 6 4 ) = 0 0 1 I tc-o 0 1 4 1 0 0 4 5 7 7 满足各阶顺序主子式大于 0的条件 ，即可得到该矩 阵正定。 以 区 域 1 J 一 ( l + l I ： II) = 一 一 一 殷 婷，等 多机系统 Ha mil t o n实现的He s s i a n矩阵正定判定与应用 2 1- f 1 0 0 1 f 0 7 6 5 4 0 - -0 0 7 3 9 l 0 1 0 I- 1 0 0 0 7 7 0 l (0 3 8 4 7 + 0 3 8 8 ) = 1 0 0 1 j _ 0 0 7 3 9 0 0 4 7 1 8 f 0 4 0 8 6 0 0 0 5 7 1 1 1 0 0 9 4 0 5 0 I l 0 0 5 7 1 0 0 6 3 5 4 J 1 1 1 0 2x1 0 - 1 6 ,0 6 55 6 ， 1 1 8 9 8 ， 1 61 8 5 ， O 1 0 呈0 0 5 0 0 0 一 0 0 5 一 O 1 0 j l O 4 1 0 2 苫 x - 1 0 0 0 9 8 八 V 0 l 2 3 4 5 6 图2 发电机G 1 的有功功率 F ig。 2 Act iv e p o we r o f g e n e r a t o r G1 、 0 l 2 3 4 5 6 图3 发 电机G 1 的机端 电压 Fig 。 3 V o lt a g e o f g e n e r a t o r G 1 经过短暂的故障后，系统 能够很快地恢复到新 的平衡状态 ，因此系统具有较好 的调节性 能。与 H e s s i a n矩阵正定性 的判断结果相一致 ， 说 明该 四机 系统是稳定的。 由以上可知，运用本文所提 出的判据可以判断 电力系统动态方程 H e s s ian 矩阵的正定性，该方法 在复杂 电力系统中充分利用 电机之间独立的条件， 在证明系统运行稳定性 中是可行的。 5 结论 基于 Ha mil t o n 系统 的控制设计方法能够提供 系统及其控制行为的物理解释，实现直观的几何和 物理描述 ，具有广泛的应用前景。对于多机系统， 根据 L y a p u n o v稳定性定理，可通过判断 H e s s ia n矩 阵的正定性来判断系统能否H a m i l t o n 实现。 对于复 杂n 阶系统的H e s s i an矩阵一般为3 阶， 当n 3 时， 矩阵阶数将很高，使用一般矩阵正定性的办法很难 判断系统稳定性，比如直接判断特征值 、各阶顺序 主子式和矩阵分解等方法。针对 电力系统本身的结 构特点，其 He s s ia n矩阵对称 ，而且不同发电机之 间判断稳定性时只与本机互联的机组有关。一般简 单判断 He s s ia n矩阵正定性的普通方法则会出现强 耦合的复杂现象，并且难 以给出正定性的条件并适 应 电力系统本身的独有特 点。而本文采用的二次型 判别方法 以及分块对角 占优思想弥补了这一方面的 不足，使得 He s s ia n矩阵正定性的判定对于每个不 同机组来说是相对独立的，极大地降低 了计算工作 量 。本文在对于 He s s ian 矩阵分析时注意到 He s s ia n 矩阵中各个元素单位不一致的问题 ，针对该 问题提 出了相应的解决办法 ，具有较强的实用性。以四机 系统为例，只需判断三个三阶矩阵的正定性就可 以 完成之前需要判断一个 9阶矩阵正定性的工作量， 提高了计算的效率和准确度。最后通过 S imu lin k仿 真和 Ma t la b程序语言运算实现了该方法在四机系 统中的应用 ，证 明了本文所提 出的判断方法的正确 性 。 参考文献 1 曹一家，王光增电力系统复杂性及其相关问题研究 J 电力 自动化设备， 2 0 1 0 ， 3 O ( 2 ) ： 5 - 1 0 C A O Y i - j i a WA NG G u a n g - z e n g T h e r e s e a r ch o f co mp le x it y o f e le ct r ic p o we r s y s t e m a n d t h e r e la t e d p r o b le ms J P o we r Au t o ma t i o n E q u ip me n t ， 2 0 1 0 ， 3 0 ( 2 ) ： 5 1 0 2 杨黎晖，马西奎基于分岔理论的含双馈风电机组的 电力系 统 电压 稳 定性 分析 J 电工技 术 学报，2 0 1 2 ， 2 7 ( 9 ) ： 1 - 8 Y ANG Li h u i， MA Xi k u i An a ly s i s o n v o l t a g e s t a b il i ty o f p o we r s y s t e m wit h d o u b ly - f e d in d u ct io n g e n e r a t o r w in d t u r b i n e b a s e d o n B if u r ca t i o n t h e o r y J T r a n s a ct i o n s o f C h i n a E le ct r o t e ch n ica l S o cie ty, 2 0 1 2 ， 2 7 ( 9 ) ： 1 - 8 3 Z d z is la w B u b n i ck i Mo d e m co n t r o l t h e o r y M S p r in g e r P r e s s ， P o la n d ， 2 0 0 2 4 石访，王杰 基 于 H a mil t o n 能量 函数 的发 电机励磁与 T CS C 协调控制 J 电力系统保 护与控制 ，2 0 1 2 ， 4 0 ( 1 5 、 ： 2 4 - 2 8 S HI F a n g ， W ANG J ie Co o r d in a t e d co n t r o l o f g e n e r a t o r e x c i t a t i o n a n d TCS C b a s e d o n Ha mil t o n e n e r g y f u n ct io n J P o w e r S y s t e m P r o t e ct io n a n d C o n t r o l， 2 0 1 2 ， 4 0 ( 1 5 ) ： 2 4 - 2 8 ： 5 吴忠强，马宝明，孔启翔 基于 H a mil t o n系统的风力 发电双 P WM 变流器控制研究 J 电力系统保护与控 制， 2 0 1 2 ， 4 0 ( 1 7 ) ： 1 9 2 3 WU Z h o n g q i a n g ，MA B a o - mi n g ，K O NG Qi - x i a n g R e s e a r c h o n d o u b l e P W M co n v e r t e r co n t r o l o f wi n d 2 2 电力 系统保护与控制 e n e r g y b a s e d o n Ha mi l t o n s y s t e m J P o we r S y s t e m P r o t e ct io n a n d C o n t r o l， 2 0 1 2 ， 4 0 ( 1 7 ) ： 1 9 2 3 6 石访，王杰 伪广义 H am il t o n理论及其在多机 电力系 统非线性励磁控制中的应用 J 中国电机工程学报， 2 0 1 1 ， 3 1 ( 1 9 ) ： 6 7 7 4 SHI Fa ng ， WANG J ie Ps e ud o- g e n e r aliz e d Ha milt on ian t h e o r y a n d it s a p p lica t io n t o mu lt i- ma ch in e p o we r s y s t e m n o n l i n e a r e x ci t a t io n co n t r o l J P r o ce e d i n g s o f t h e C S E E ， 2 0 1 1 ， 3 1 ( 1 9 ) ： 6 7 7 4 7 陆冬良，张秀彬基于 H am il t o n能量整形的多机电力 系统励磁控 制 J 电力系 统保护与控制 ， 2 0 1 1 ，3 9 ( 5 ) ： 45 5 O LU Do n g lia n g ZHANG Xiu - b in E x citat io n co n t r o l o f mu lt i ma ch in e p o we r s y s t e ms b a s e d o n Ha milt o n ian e n e r gy s h a p in g J P o w e r S y s t e m P r o t e ct i o n a n d C o n t r o l， 2 0 1 1 ， 3 9 ( 5 ) ： 4 5 5 0 8 卢锦玲，朱永利基于暂态能量裕度的电力系统脆弱 性评估 J _电工技术学报， 2 0 1 0 ， 2 5 ( 6 ) ： 9 6 1 0 3 LU J in - lin g ，ZHU Y o n g liP o we r s y s t e m v u ln e r a b ilit y a s s e s s me n t b a s e d o n t r a n s i e n t e n e r gy marg in J T r ans a ct io n s o f Ch i n a E le ct r o t e ch n i ca l S o cie ty,2 0 1 0 ， 2 5 ( 6 ) ： 9 6 - 1 0 3 9 王玉振，程代展，李春文 广义 H a mil t o n实现及其在 电力系统 中的应用 J _自动 化学报，2 0 0 2 ，2 8 ( 5 ) ： 7 45 7 5 3 NG Yu- z he n， CHENG Da i z ha n ， LI Chu n we n Ge n e r a liz e d Ham ilt o n ia n r e a liz a t io n an d it s a p p lica t io n t o p o w e r s y s t e ms J A ct a A u t o ma t ica S in i ca , 2 0 0 2 ， 2 8 ( 5 ) ： 7 45 75 3 1 O 张晓华，张卫杰 三相电压型 P WM 整流器的 I DA P B 控制【 J 电工技术学报， 2 0 0 9 ， 2 4 ( 3 ) ： 1 2 2 1 2 7 Z HA NG X ia o h u a , Z HA NG We i - j ie I D A P B co n t r o l f o r t h r e e p h a s e P WM v o l t a g e s o u r ce r e ct i fi e r J T r a n s a ct i o n s o f C h i n a El e ct r o t e ch n i ca l S o ci e ty,2 0 0 9 ， 2 4 ( 3 ) ： 1 2 2 1 2 7 1 1 郝晋，王杰，陈陈， 等基于Ham il t o n 系统理论的结构 保持多机 电力系统 非线 性励 磁控制 J 中国电机 工程 学报， 2 0 0 5 ， 2 5 ( 1 8 ) ： 6 - 1 2 HAO J in ，W ANG J ie ，CHE N C h e n ，e t a 1 No n lin e a r e x cit a t io n co n t r o l o f mu lt i- ma ch in e p o we r s y s t e m wit h s t r u ct u r e p r e s e r v in g mo d e ls b a s e d o n Ha milt o n ian s y s t e m t h e o ry J P r o ce e d in g s o f t h e C S E E ， 2 0 0 5 ， 2 5 ( 1 8 ) ： 6 - 1 2 1 2 王元 明，许衡 汾矩 阵正定性 的判定 f J 1 山西大 学学 报 ， 1 9 9 0 ， 1 3 ( 3 ) ： 2 6 2 2 6 7 WA NG Y u a n - ruin g ，X U He n g - f e n T h e j u d g me n t o f p o s i t i v e ma t r ix J J o u r n a l o f S h a n x i U n i v e r s i ty,1 9 9 0 ， 1 3 ( 3 ) ： 2 6 2 - 2 6 7 1 3 刘玉块对角占优矩阵及其应用 J 哈尔滨师范大学 自然科学学报， 1 9 9 2 ， 8 ( 2 ) ： 2 2 - 2 6 LI u Yu Dia g o n a lly d o min an t ma t r i x an d t h e a p p li ca t i o n J S ci e n ce J o u r n a l o f Harb in No r ma l U n i v e r s i t y , 1 9 9 2 ， 8 ( 2 ) ： 2 2 2 6 1 4 邹黎敏矩阵数值特征和正定矩阵的研究 D】 重庆： 重庆大学， 2 0 0 9 Z OU Li min T h e n u me r ica l ch a r a ct e r is t ics o f ma t r ix a n d t h e r e s e arch o f p o s i t i v e ma t r ix D C h o n g q in g ： Ch o n g q i n g Un i v e r s i ty, 2 0 0 9 1 5 R a j e n d r a B h a t i a P o s i t i v e d e fi n i t e ma t rice s M P r i n ce t o n Un iv e r s it y P r e s s ， 2 0 0 7 1 6 B e r ma n A ， P l e mmo n s R J N o n n e g a t i v e mat r ice s i n t h