（物理电子学专业论文）dpl中不对称热效应研究.pdf

摘要 摘要 在实验中，发现激光器的输出光斑形状常常不对称。根据对称性原理可知， 物理条件出现了不对称，不对称的热效应就是影响因素之一，为指导实际实验和 研究，本文研究了不对称热效应对激光光斑形状的影响。 激光器的输出光分布主要由激光器的增益和损耗两部分来决定，同时增益和 损耗之间又相互联系。 论文中采用泊松方程的积分解来计算温度分布，使用基尔霍夫渐射积分计算 光强分布和场相位分布。文中讨论了三种泵浦光：圆形高斯光、椭圆高斯光和平 顶高斯光，即三种不同的增益分布。 d p l 激光器中存在三个轴：泵浦源l d 输出光的轴线、工作晶体的轴线和谐 振腔的轴线，在实际中这三个轴线不可能完全重合。 当泵浦光轴线与晶体轴线一致时，通过泊松方程的积分解，计算出自由边界 的温度分布，把晶体的热效应等效成薄透镜，薄透镜对振荡光起到相位调制作用， 这种相位调制作用可以通过相移分布来描述，并由菲涅尔一基尔霍夫衍射积分迭 代法，得到输出光强分布和光场的相位分布，即得到光斑的形状；对于不对称的 温度分布，同理可以得到光斑的形状。 当泵浦光轴线与晶体轴线存在一定夹角时，这种情况的温度计算也进行了讨 论。 论文提出了一个描述光斑形状的偏圆度，它基于最小二乘法圆拟合计算。并 讨论了在特定的温度分布下，不同谐振腔长、不同泵浦功率时，偏圆度的变化。 发现特定的温度分布下，不同腔长对偏圆度的影响较大，在研究的范围内，偏圆 度先增大后减小；不同泵浦功率对偏网度的影响较小，在研究范围内，偏圆度的 值在l o o 以内。它对激光器的设计和调试起到了定的指导作用。 总的来说，论文给出一种考察热效应对光斑形状影响的方法。只要给出特定 的温度场分布，由迭代即可得出光斑的形状。 关键字：激光器i ) p k 激光谐振腔热效应不对称 a b s t r a c t i i i a b s t r a c t i t i sf o u n dt h a tt h ed i s t r i b u t i o no ft h e o u t p u tb e a mi s o f t e na s y m m e t r i c a l a c c o r d i n gt ot h es y m m e t r yi np h y s i c sl a w , i tc o u l db ec o n c l u d et h a ta s y m m e t r i c a l p h y s i c sc o n d i t i o n sa p p e a r e d ，a n do n eo f t h e s ec o n d i t i o n si sa s y m m e t r i c a lt h e r m a le f f e c t f o rg u i d i n gt h ea c t u a le x p e r i m e n ta n dr e s e a r c h ，t h ei n f l u e n c eo ft h ea s y m m e t r i ct h e r m a l e f f e c td i s t r i b u t i o no nt h es h a p eo f t h el a s e rb e a mi sc a l c u l a t e di nt h i sp a p e r t h ei n t e n s i t yd i s t r i b u t i o no ft h eo u t p u tl a s e rb e a md e p e n d sm a i n l yo ng a i na n dl o s s ， a n dt h e yi n t e r a c tw i t he a c ho t h e r t h et e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o ni so b t a i n e db yt h ei n t e g r a ls o l u t i o no fp o i s s o n e q u a t i o n ，t h ed i s t r i b u t i o no ft h ei n t e n s i t ya n dp h a s ei sc a l c u l a t e db yt h ei n t e g r a t i o no f k i r c h h o f f sd i f f r a c t i o n t h i s p a p e r d i s c u s s e st h r e e p u m pm o d u l a t i o n s ：c i r c u l a r g a u s s i a nb e a m , e l l i p t i c a lg a u s s i a nb e a m a n df l a t t e n e dg a u s s i a nb e a m ，n a m e l y , t h r e e d i f f e r e n tg a i nd i s t r i b u t i o n s t h e r ea r et h r e ea x e sw h i c ha g et h ea x i so ft h ep u m pb e a m , t h ea x i so ft h ec r y s t a l a n dt h ea x i so ft h er e s o n a t o ri nd p l l a s e r , b u tt h e yc a n n o tm a t c hc o m p l e t e l yi np r a c t i c a l o p e r a t i o n w h e nt h ea x i so ft h ec r y s t a la n dt h ea x i so ft h ep u m pb e a ma r eo nt h es a m el i n e ， t h et e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o n su n d e rf l e eb o u n d a r yi sc a l c u l a t e db yt h ei n t e g r a ls o l u t i o n o fp o i s s o ne q u a t i o n ，t h et h e r m a le f f e c to ft h ec r y s t a lc o u l db ee q u i v a l e n tt oat h i nl e n s w h i c hp l a y sar o l eo fm o d u l a t o rf o rt h ep h a s eo fo s c i l l a t e db e a m , i t sm o d u l a t i o nc o u l d b ed e s c r i b eb yp h a s es h i f td i s t r i b u t i o n ，a n dt h e nt h ed i s t r i b u t i o no ft h eo p t i c a li n t e n s i t y a n dt h e o p t i c a lf i e l dp h a s ec o u l db e o b t a i n e db y t h ei n t e g r a t i o no fk i r c h h o f f s d i f f r a c t i o n u s i n gt h es a m ew a y , i tc o u l db ef o u n dt h ed i s t r i b u t i o no ft h o s eu n d e r a s y m m e t r i c a lt e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o n w h e nt h ea x i so ft h ec r y s t a la n dt h ea x i so ft h ep u m pb e a me x i s ta t i n ya n g l e ，t h e t e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o no f t h i ss i t u a t i o nh a sa l s ob e e nd i s c u s s e di nt h i sp a p e r t h i sp a p e rp u t sf o r w a r dt h ep a r t i a lr o u n d n e s sw h i c hb a s e do nc i r c l ea d o p t i n gu s i n g t h el s m ( 1 e a s ts q u a r em e t h o d ) t od e s c r i b es h a p eo fl a s e rb e a m ，a n dd i s c u s s e dt h e c h a n g eo fp a r t i a lr o u n d n e s sw i t hd i f f e r e n tr e s o n a t o rl e n g t ha n dd i f f e r e n tp u m pp o w e r u n d e rs p e c i f i ct e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o n t h er e s u i to ft h ed i s c u s s i o ni st h ei n f l u e n c eo f c h a n g i n gr e s o n a t o rl e n g t hg r e a t e rt h a nc h a n g i n gp u m pp o w e r t h ep a r t i a lr o u n d n e s si s l o w e r10 0i nt h ed i s c u s s e de x t e n t i tm a k e ss e n s et ot h ed e s i g na n d d e b u go f l a s e r i v s t u d yo nt h ea s y m m e t r i c a lt h e r m a le f f e c ti nd i o d ep u m p e ds o l i ds t a t el a s e r i naw o r d , am e t h o dt od e s c r i b et h e r m a le f f e c to nt h es h a p eo fl a s e rb e a mi s p r e s e n t e d w i t ht h em e t h o do fi t e r a t i o n ，t h es h a p eo fl a s e rb e a mc o u l db ef o u n d ，s ol o n g a s g i v e nt h es p e c i f i ct e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o n i t i so b t a i n e dt h ei n f l u e n c eo f a s y m m e t r i c a lt h e r m a le f f e c to nt h es h a p eo fl a s e rb e a mi no t h e rw o r d s k e y w o r d s ：l a s e r s d p ll a s e rr e s o n a t o rt h e r m a le f f e c t s a s y m m e t r i c 第一章绪论 第一章绪论 激光器已经发明5 0 多年了。5 0 年来激光科学与技术以其强大的生命力谱写了 一部典型的学科交叉创新发明史。激光的应用已经遍及科技、经济、军事和社会 发展的众多领域，远远超出了5 0 年前人们原有的预想。 激光二极管泵浦固体激光器( 1 a s e r - d i o d e p u m p e ds o l i d s t a t el a s e r , d p l ) 是采用 激光二极管( l a s e rd i o d e ，l d ) 作为泵浦源，以掺杂的晶体等固体材料作为增益介 质的激光器。它具有结构紧凑、电光转换效率高、光束质量好、可靠性高等优点 成为当前激光技术发展的主要方向之一。 二极管泵浦的一个优点是，高效率的泵浦过程极大地减少了激光介质吸收的 热量。因为泵浦光的波长更接近于发射激光的波长，所以量子亏损发热减少；激 光活离子吸收带范围之外的泵浦辐射造成的基质材料的发热也完全消除了。例如， 当输出的激光相同时，二极管泵浦n d ：y a g 激光器中晶体的发热量仅是闪光灯泵 浦的1 3 。 d p l 按照所用工作物质的形状可以分为：圆棒、板条、薄片等；按照泵浦方 式可以分为：端面泵浦和侧面泵浦【2 】。 1 1 二极管泵浦固体激光器 1 1 1 二极管泵浦固体激光器的发展2 】 激光器自1 9 6 0 年诞生以来已经5 0 余年了。5 0 年来，激光的应用已经遍及其 科技、经济、军事和社会发展的许多领域，远远超出了5 0 年前人们原有的预想。 2 0 世纪6 0 年代是全固态激光器发展的萌芽阶段，1 9 6 2 年第一支g a a s 激光二 极管的研制成功，为d p l 提供了泵浦源；1 9 6 3 年，美同科学家n e w m a n 首次提出 采用g a a s 激光二极管泵浦n d ：c a w 0 4 固体激光增益介质的设想；1 9 6 4 年，美国 林肯实验室的k e y e s 等人以冷却至4k 情况下工作的g a a s 激光二极管作为泵浦 源，研制成功了首台激光二极管泵浦固体激光器；1 9 6 8 年，麦道公司的r o s s 第一 次实现了采用g a a s 激光二极管泵浦n d ：y a g 激光器。1 9 7 1 年，o s t e r m a y e r 首次 实现了室温条件工作的激光二极管泵浦n d ：y a g 激光器，并且获得了1 4 m w 的 1 0 6 4 n m 激光输出。2 0 世纪8 0 年代以来，随着大功率半导体激光器的发展，采用 激光二极管泵浦的全固态激光器随之发展，1 9 8 0 年，a l l e n 等人采用l d 侧面泵浦 n d ：y a g 获得1 0 8 m w 的1 0 6 4l l m 激光输出；从此，激光二极管泵浦固体激光器的 发展迈上了一个新台阶，输出功率和电光转换效率不断提高，高平均功率固体激 2 d p l 中不对称热效应研究 光技术已逐渐成熟，光束质量逐渐好转，系统结构更为紧凑，生产成本逐步降低。 目前，高平均功率全固态激光器是固体激光器发展的一个重要方向，其输出 功率从2 0 世纪8 0 年代末期的几百毫瓦量级提高到现在的千瓦量级，应用领域也 从工业加工拓展到激光武器以及受控核聚变。鉴于高平均功率d p l 独特的优势以 及广阔的应用前景，美、俄、日、德等国都投入了大量的人力财力进行研究并取 得了重大进展。实现高功率全固态激光器的途径也是多种多样的，如采用新型激 光介质构型、新型热管理方式等。 1 1 2 二极管泵浦固体激光器的泵浦方式【3 ，4 】 在二极管泵浦固体激光器发展的过程中，采用的最基本的泵浦方式主要有两 种：端面泵浦方式和侧面泵浦方式【5 】。 1 端面泵浦方式 端面泵浦指的是通过一套耦合系统将发光面较大的激光二极管泵浦光耦合到 激光介质上。耦合系统的作用主要是将泵浦光的面积缩小以后再注入激光介质， 以此来提高泵浦光的面密度。端面泵浦条件下，只要工作物质足够长，泵浦光能 量就能全部吸收，而且泵浦光与激光同轴可以使泵浦光场与增益介质空间模体积 获得最大程度的交叠，用这样的方法可使得激光二极管泵浦光能量得到最大程度 的利用，且有利于获得单模激光输出。 光纤耦合系统激光棒和热沉输出镜 图1 1 端面泵浦二极管固体激光器示意图 由于在介质中产生的温度梯度是纵向的，所以通过这种方式可以大大降低介 质的热畸变。由于工作物质端面面积有限，从端面不可能输入很大的泵浦功率。 构建小功率的二极管泵浦固体激光振荡器的时候，这种端面泵浦方式被人们广泛 采用，多数时候都是采用简单的光纤透镜耦合方式进行单侧端面泵浦，也有采用 两组激光二极管从介质的两端同时进行泵浦的情况，以此提高泵浦光的能量。由 于单个的激光二极管的功率有限，为了更高平均功率的激光输出，人们采用了将 第一章绪论 3 许多激光二极管阵列堆叠起来的办法来提高泵浦光功率。将许多激光二极管阵列 堆叠起来，通过一个透镜耦合系统之后注入到激光介质，激光介质棒的两端面均 镀有双色膜，左端的双色膜对泵浦光波长为增透，而对激光振荡波长为高反：右 端的双色膜对激光振荡波长为增透，而对泵浦光波长为高反，这样有利于激光介 质对抽云光进行的充分吸收，可提高轴向增益的均匀性。 端面泵浦的方式有其本身的缺点：由于采用了透镜耦合系统，因此其结构变 得复杂，增大了泵浦光的损失。另外，把具有较大发光孔径较大的大功率激光二 极管泵浦光会聚成光斑半径为 。) 式( 2 - 2 2 ) 热传导方程含有温度对时间的一阶偏导数，它给出温度随时问变化的规律。 所以要确定物体的温度分布，只要给出初始时刻内部各点的温度和边界上的情况 就可以了。因此，热传导方程的初始条件一般为 “b ，y ，z ，o ) = 烈x ，y ，z ) 式( 2 2 3 ) 对于边界条件有三种类型的提法。 第一类：已知任意时刻t ( t = 0 ) 边界面上的温度分布 u ( x ，y ，z ，t ) l = 石( ，t ) 式( 2 2 4 ) 它直接给出函数u 在边界上的数值。 第二类：给出函数u 在边界面沿外法线方向的热量流速，即 i o ul ：正x - 戈( 2 2 5 ) e l i = ，一 锄l z “ 这种形式的边界条件称为第二类边界条件。 第三类：给出函数u 在边界面沿外法线的导数与某种线性组合的值，即 塑可 i-。-i上一 p ：一 xe y 一 口 h一吨 p z = w x 一一 e ，一 一 v 一 塑 第二章激光器的温度分布 1 7 c 笔) l - - z 这种形式的边界条件称为第三类边界条件。 2 3 2 稳定温度分布嗍 式( 2 2 6 ) 若导热物体内的热源和边界条件不随时间变化，经过相当长的时间后，物体 内部的温度分布将达到稳定状态，而不随时间变化，故热传导方程中对时间的偏 微分项为零，从而无热源和有热源的热传导方程变为，拉普拉斯方程和泊松方程。 2 3 3 热传导模型【3 3 】 垂+ 垂+ 磐：o 0 x 2 a y 2 。a z 2 。 鲁+鲁+窘=一-专f(xc3x o y 班z ) 2 2 a z 2 ，”7 式( 2 2 7 ) 式( 2 - 2 8 ) 光纤耦合l d 端面泵浦n d ：y a g 激光器，晶体内部的温度分布与泵浦光产生的 热耗、晶体的热物性参数、几何结构以及外部散热等条件相关。 通常在计算中假设晶体各向同性、轴对称，因此在直角坐标系中，稳态热传 导方程为： 窘+ 窘+ 窘= 一万1 咖力 叙2 却2 玉2疋”一7 式中：r 和z 分别为晶体的径向和轴向坐标；t 为晶体内的温度； 导热系数。 2 4 温度分布 厶- t 皿，叉j7 l l j 式( 2 2 9 ) k 为晶体的 在前两节中，已经找到热功率密度和热传导方程。下面只要解出热传导方程 式( 2 2 9 ) 臣1 3 可，即 v 2 丁= 一吼( 七) 式( 2 3 0 ) k 、。 在电磁场理论中，我们曾经也遇到类似的方程静电势的微分方程”1 。静 电势的微分方程可以从静电场的微分方程得到。静电场的微分方程是： v x 云= 0 式( 2 3 1 ) v 西= 尸r 式( 2 - 3 2 ) 1 8 d p l 中不对称热效应研究 把b = c i ：和豆= 一v 妒代入式( 2 3 2 ) 得 v 西= 押( 一v 缈) = 一刃2 妒= 乃 式( 2 3 3 ) 即 v z 缈：一生式( 2 3 4 ) 占 其中，乃表示电荷密度，式式( 2 - 3 4 ) 就是静电势伊所满足的微分方程，通常称 为泊松方程。 经过理论推导，方程式( 2 3 4 ) 满足边界条件纯= 0 的解为： 贴膨) = 去学半 桕5 ， 其中r a 为观察点到场源中某点的距离。 回到温度场，对比可以得出热传导方程的解为： 脚 z ) 2 去热域型学 娴6 ) 其中，( 五弘z ) 为晶体上任一点坐标， ，y ，z ) 为热功率密度任一点处坐标。r d 表示两点间距离，即 白= 石二f 面j f 而 2 5 1 圆形高斯光束泵浦 2 5 数值计算 1 泵浦光轴与品体轴线一致，自由边界 丁( w ，z ) ：# 簪笔( 1 - e x p - r ，) 2 万2 r c 热域筹一 蹦2 。7 上述公式计算的是泵浦光轴对称入射时，晶体的温度分布。 第二章激光器的温度分布 1 9 图2 2 晶体切面示意图 场源( 即热功率密度分布) 无限大，即矿一，万- - - 。由于热功率密度在 较远处很小，所以可以忽略不计。观察点空间( 即晶体体积) 是圆柱体，半径 ，：l m m ，晶体长度为，= l o m m 。在计算中要注意在精确度和计算时间取一个平衡 点。温度场的计算结果如图2 3 所示。 当泵浦功率为l o w ，泵浦光束的半径为比= 0 6 r a m ，晶体半径，= l m m ，长 度为，= l o r n m 时，温度分布如下： 5 0 4 0 芷 暑3 0 交2 0 e 芒1 0 0 0 0 1 b l g 廿1 m 0 1 r a c ：l l u s l m c o r 吨o u r _ ，一、 一 一一一 ，”，一 一一动 矿。，二：j = ：- 、 | | 、 + 季i ( ? ) 、) i ， 图2 3 圆形高斯光泵浦时，晶体轴向温度分布 由图2 3 和图2 4 ，看出晶体的温度分布是关于轴线对称的。最高温度在晶体 的轴线上，但是不在晶体的端面，而是在晶体端面附近的轴线上，其值约为4 5 摄 氏度；最低温度在远离泵浦光的一侧的端面边缘，其值约为4 摄氏度。 2 0 d p l 巾不对称热效应研究 p i n = 1 0 w , w p = = 0 6 m m , z = = 0 m m ，_ ，一_ - 。 。 一，一j 一：j | 。 r a c l u s m。1 1 r a c l i t j s m 图2 4 圆形高斯光泵浦时，晶体端面的温度分布 2 泵浦光轴与晶体轴线一致，散热不均匀时 温度分布如下图所示： 由图2 5 、图2 6 和图2 7 可以看到这种不对称的温度分布是，晶体侧面，三 个方向的散热是均匀的，另外一个方向的散热与其它不同。晶体的最高温度在晶 体轴线附近，但不在晶体的端面，最高温度约为2 5 摄氏度；最低温度在散热较好 的一侧，最低温度约为1 8 摄氏度。 ： 蓄3 0 詈： 1 s 0 0 1 x = 0 m m 时槭面 一。 1 e l - ) 0 0 、，m0 1 a a c i j s m 图2 5 圆形高斯光泵浦时，散热不均匀，x = 0 m m 时轴截砸温度分布 幻 弱 药 巧， 3a，譬dpjea土 2 1 3 泵浦光轴与晶体轴线存在一定夹角 令 同时， 如舻，= d 等学q 计曲 式( 2 3 8 ) 式( 2 3 9 ) 一 滑： 6 x l 、。p 3 e i l 矿 冬二一。 式丛a入z 勿簪 2 2 d p l 巾不对称热效席研究 当泵浦功率为l o w ，泵浦光束的半径为= 0 6 r a m ，晶体半径，= 1 ，删，长 度为，= l o m m ，对于不同的倾角，将有不同的结果。 2 5 2 椭圆高斯光束泵浦 泵浦光轴与晶体轴线一致 把此时的热功率密度式( 2 1 3 ) 代入式( 2 3 6 ) ，得到泵浦光为椭圆高斯光束时的 温度分布为： 丁( 工，j ，z ) = 2 倥r c 2 k w 尸b ( 1 - c x p - 口1 ) 一2 f + d式( 2 4 0 ) ，r p - , a 2 6 2j e x p ( - a z ) d x d y d z i ；= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 2 热瘫域4 c x - x ) 2 + ( y j ，) 2 - i - ( z z ) 2 当泵浦功率为l o w ，泵浦椭圆高斯光束的长轴为口= 1 2 r r 册，短轴b = 0 6 r a m ， 晶体半径，= l m m ，晶体长度为，= l o m m ，温度分布如下： i 爿n f f i l o w , w p = o 6 m m 工= o m m 一| “一一 f 。! ” ；i ， 哪，m 0 1 r a d l j s m 磷二二互二= ：一一y 谚 0 1旬500 51 r 文l u s m 4 图2 8 椭圆高斯光泵浦时，x = o m m 轴向温度分布 由图2 8 、图2 1 0 和图2 1 0 可以看出，晶体温度分布关于晶体轴线对称，最 高温度在晶体轴线上，但不在晶体的端面，而是在晶体端面附近的轴线上，其值 约为3 5 摄氏度；最低温度在晶体的侧面与另一侧端面的交线上，大约为4 摄氏度。 同时比较x = o m m 和y = 0 m m 时的温度分布发现，x = o m m 面的径向温度梯度大于 ) ，：0 m m 面的径向温度梯度。 吼 瞄 啪 嘟 瞄 螂 嘶 蚴 雠 姒 喇 渊 啪 蝴 咖 啪 咖 咖 蝴 呈5 口5 一 l 1 o p、，q鑫e霉 0 第二章激光器的温度分布 4 0 怠2 0 强 重1 0 0 0 0 1 p i n = l o w , w p = o 6 m m , y = o m m ，一“。一 一i。， i ，”“ b _ g 廿、m 0 。l r a c h m c o n t o u r 。：；一口 韵= 一，一。 、而 f 乏i ) 图2 9 椭圆高斯光泵浦时，y = o m m 轴向温度分布 r a c j a s m1 - 1 r a c t a s m 图2 1 0 椭圆高斯光泵浦时，端面温度分布 2 泵浦光轴与晶体轴线一致，散热不均匀时 温度分布如下图所示： 由x = o m m 、y = o m m 两轴截面温度分布和z = o m m 处晶体端面温度分布可以看 出，晶体侧面三个方向的散热是均匀的，在另外一个方向散热速度较快，温度相 对较低。由图2 1 l 发现最高温度不在晶体的端面，同时也不在晶体的轴线上，而 是在它们附近，其值约为3 0 摄氏度。最低温度在晶体散热速度较快的一侧区域， 其值约为1 2 摄氏度。 辐 嚣 坫1 芝mjl0e芒 2 4 d p l 中不对称热效虑研究 ： 誉2 5 歪1 5 1 0 0 0 1 3 5 等 寺2 5 邕 垦2 0 1 5 0 0 1 兰 蓍z - 董兰 坞 1 4 1 0 x = o m m 时轴裁面 图2 1 i 椭圆高斯光泵浦时。散热不均匀，x = o m m 轴截面温度 y = o m m 时轴曲面c o n f _ 】o l j z u：。 厂 ， j l蔓 4 j：w 一一 一；、 一一r ，一、： ：z 矗、j 、 ，= ： 、。 南一 + ：d 一 ：墨一。1 ， 图2 1 2 椭圆高斯光泵浦时，散热不均匀，y = 0 m m 轴截面温度 z ；0 m m 一” r a 文5 ，ml l r a 直8 ，m 罔2 1 3 椭圆高斯光象浦时，散热不均匀，z = 0 m m 端而温度 量5 0 一 詈叠qe 第二章激光器的温度分布 2 5 3 泵浦光轴与晶体轴线存在一定夹角 令 g c x ，y ，z ，= e x p 之( 量三! 旦学+ 苦) e x p c 一口z ， 同时，这种情况下的屹为： 白= 瓜i 瓦万i 面矿石j f 石二磊f 丽式( 2 41 ) 把此时的热功率密度式( 2 1 4 ) 和式( 2 4 1 ) 代入式( 2 3 6 ) ，得到泵浦光为椭圆高斯 光束时的温度分布。 r ( 五少，z ) = ，2 偿x ”2 。k 。p a b ( 1 - e x p - a 1 ) 热域墨蔓苎二! 二掣式( 2 - 4 2 ) 当泵浦功率为1 0 w ，泵浦椭圆高斯光束的长轴为a = 1 2 r a m ，短轴b = 0 6 r a m ， 晶体半径，= l m m ，长度为j = l o m m ，对于不同的倾角y 将得到不同的结果。 2 5 3 平顶高斯光束泵浦 1 泵浦光轴与晶体轴线一致 把此时的热功率密度式( 2 1 8 ) 代入式( 2 3 6 ) ，得到泵浦光为平顶高斯光束时的 温度分布为： 脚纠= 丝訾q e x p 一唧惰：降l 脚丌：l jl 式( 2 4 3 ) 当泵浦功率为1 0 w ，平顶高斯光束的光束半径雌= 0 6 r a m 晶体半径，| = 1 删， 长度为，= 1 0 m m ，温度分布如下： 由图2 1 4 和图2 1 5 ，看出晶体的温度分布是关于轴线对称的。最高温度在晶 体轴线上，但是不在晶体的端面，而是在晶体端面附近的轴线上，其值约为4 5 摄 氏度；最低温度在远离泵浦光的一侧的端面边缘，其值约为4 摄氏度。 d p l 中不对称热效应研究 5 0 4 0 蓍3 0 盈2 0 e 掣1 0 o 0 0 l 4 0 3 s 芝 喜3 0 邕2 5 e 芒2 0 1 5 1 d x1 0 p i n = 1 0 w , w p = o 6 m m , x = o m m c o n t o u 四， 一，p - _ - 一、 i 王霉竺s j o j r j 毒彳蚕蠢，j 麓： 图2 1 4 平顶高斯光泵浦时，晶体轴向温度分布 图2 1 5 平项高斯泵浦时，晶体端面温度分布 2 泵浦光轴与晶体轴线一致，散热不均匀时 温度分布如下图所示： 等6 0 专4 0 圣 昱2 0 o 0 0 1 x = o m m 肘轴魏面 ： ，。 一_ ： ? 1 1 0 o o r l l r 己蛏 j 1 蔗 - 、，、j ， f，“誓、；1 i i l 隔羧 图2 1 6 平顶高斯光泵浦时，散热不均匀，x - - 0 m m 端面温度 第二章激光器的温度分布 2 7 由图2 1 6 图2 1 7 和图2 1 8 可以看到这种不对称的温度分布是，晶体侧面， 三个方向的散热是均匀的，另外一个方向的散热与其它不同。晶体的最高温度约 为7 5 摄氏度；最低温度在散热较好的一侧，并且在远离泵浦源的端面上，最低温 度约为1 0 摄氏度。 5 0 鲁4 0 鏊 垦2 0 0 0 0 l y = 0 m m 时轴诧面 - - 。 - t - 。” 。 ： 一 0 1 1 ， 1 0 图2 1 7 平顶高斯光泵浦时，散热不均匀，y = o m r n 端面温度 z = 0 0 0 m m 一一 1 a 1 0 图2 1 8 平顶商斯光泵浦时，散热不均匀，z = o n 盯n 端面温度 3 泵浦光轴与晶体轴线存在一定夹角 令 g c x ，y ，z ，= e x p 二兰堕兰! 圣兰三兰二；号i ；呈上尘笪 e 一口z 2 剖垫警 砉pp芷 o 1 3口a京塞e掣 x 脚 2 8 d p l 中不对称热效应研究 同时，这种情况下的r e 为： 屹=x(x-xcosy+zsiny)2+(y_yr)2+(z_x,siny_z,cosy)2式(244) 把此时的热功率密度式( 2 一l8 ) 和式( 2 4 4 ) 代入式( 2 3 6 ) ，得到泵浦光为平项高斯 光束时的温度分布。 丁( x ，y ，z ) = 旦! 羔翌铲热域篓! 兰二2 三掣式( 2 4 5 ) 当泵浦功率为i o w ，泵浦光束的半径为瓦= o 6 r a m ，晶体半径，| = i m m ，长 度为，= l o m m ，对于不同的倾角y 将有不同的结果。 第三章激光模式 2 9 第三章激光模式 一切被约束在空问有限范围内的电磁场都将只能存在于一系列分立的本征状 态之中，场的每一个本征态将具有一定的振荡频率和一定的空间分布。在激光技 术的术语中，通常将激光谐振腔内可能存在的电磁场的本征态称为腔的模式。 3 1 横模与横模的形成 当光在两镜面问往返传播时，将产生各种损耗。由反射镜的有限大小所引起 的衍射损耗就是其中之一。衍射损耗主要是发生在镜的边缘，因而，对场的空间 分布将发生重要影响，而且，只要镜的横向尺寸是有限的，这一影响将永远存在。 为了突出开腔的主要特性，以简化分析，这里提出一个理想的开腔模型：两块反 射镜片( 平面的或曲面的) 沉浸在均匀的、无限的、各向同性的介质中。 1 图3 1 理想开腔 图3 2 等效开腔，自再现模宵形成 考虑在上述开腔中往返传播一列波。设初始时刻在镜l 上有某一场分布， 则当波在腔中经第一次渡越到达镜2 时，将在镜2 上生成一个新的场分布u ：，场甜： 经第二次波越后又将在镜l 上生成一个新的场分布地。由于每经一次渡越时，波 都将因衍射而损失一部分能量，而且衍射还将引起能量分布的变化。由于衍射主 要是发生在镜的边缘附近，因此，在往返传播过程中，镜边缘附近的场将衰落得 更快。 可以预期，在经过足够多次渡越以后，能形成这样一种场：分布彳再受衍射 * ，i罗i，- 罗l ， | 勉 3 0 d p l 中不对称热效应研究 的影响，在腔内往返一次后能够“再现 出发时的场分布。这种稳态场经一次往 返后，惟一可能的变化是，镜面上各点的振幅按同样的比例衰减，各点的相位发 生同样大小的滞后。当两个镜面完全相同时( 对称开腔) ，这种稳态场分布应在腔 内经单程渡越后即实现“再现”。 我们把开腔镜面上的经一次往返能再现的稳态场分布称为开腔的自再现模或 横模。自再现模一次往返所经受的能量损耗称为模的往返损耗。在理想开腔中， 等于前面所指出的衍射损耗。自再现模经一次往返所发生的相移称为往返相移， 该相移等于2 万的整数倍，这就是模的谐振条件。 研究表明，开腔的自再现模确实存在。一方面，人们从理论上论证了自再现 模的存在性，并且用数值和解析的方法求出了各种开腔的横模。另外，又从实验 上观测到了激光的各种稳定的强度花样，而且理论分析与实验观测的结果符合很 好【3 8 j 。 a 回回 征t e m z o 豇! 图3 3 圆形镜共焦腔模的强度花样 在实际情况下，我们多采用的是圆对称酌腔，对于该腔型中的各阶横模做出 如下约定：孢m 。模中m 表示沿径向的节线圆的数目，i t 表示角向的节线数目。 表3 1 不同横模的光腰半径 横模阶次 t e m t e m o lt e m 啦础。t e m l lt e m l 2 。w o j1 5 0 w o ，1 7 7 ，1 9 2 w o ， 2 2 1w o ， 2 3 8 ， 与方形镜的情况相似，随着m ，刀的增加，模的光斑也将增大，但在圆形镜系 统中光斑随m 的增大要比随着刀的增大的来得更快。我们将光斑半径定义为场 振幅降落到最外面一个极大值的l e 的点与镜面中心的距离。 3 2 菲涅尔一基尔霍夫衍射积分 如的波源s ，在某一时刻所产生波的波阵面为，则面上的每一点都可以看 第三章激光模式 3 1 作是一个次波源。它们发出球面次波，其后某一时刻的波阵面，即是该时刻这 些球面次波的包迹面，波阵面的法线方向就是该波的传播方向。这就是惠更斯原 理。 图3 4 惠更斯原理 惠更斯原理能够很好的解释的光的直线传播、光的反射和折射现象，但不能 说明衍射过程及强度分布。菲涅尔研究了光的干涉现象后，考虑到次波来自于同 一光源，认为这些次波应该相干，因而波阵面。上每一点的光振动应该是在光源 和该点之间任一波面( 如面) 上的各点发出的次波场叠加的结果。 基尔霍夫在以上理论的基础上，从微分波动方程出发，利用场论中的格林 ( g r e e n ) 定理，给出了菲涅尔基尔霍夫衍射积分理论。 菲涅尔基尔霍夫衍射积分理论为基础的光学谐振腔的衍射积分方程理论。这 是比较严格的理论，但也有近似。其主要的近似之处在于把光当作标量来处理， 即只考虑对光现象起主要作用的电场强度一个分量的标量振幅。而且假定其它分 量可以用同样的方式独立处理。这就忽略了它们是麦克斯韦方程组相耦合这一事 实，也不涉及电磁波的偏振特性。但是，当满足： 1 当腔反射镜( 衍射孔径) 几何尺寸比波长远大； 2 不要在离反射镜太近的地方观察场； 由标量衍射理论可以得到相当满意的结果。在这种意义上，与其它理论相比 较，可以认为它是比较普遍和准确的理论。 从菲涅尔基尔霍夫衍射积分出发，可以建立一个描述光学谐振腔特性的本征 方程，利用这个方程原则上可以求得任意光腔( 稳定腔、非稳腔和临界腔) 的模 参数，包括腔模的场振幅、相位分布、谐振频率和衍射损耗等。 虽然本征积分方程的解的存在性在数学上已经严格证明是无疑的，但是迄今 只在少数情况下求出了解析形式的解，在大多数情况下，需要求数值解。 上节中已经叙述了开腔模的物理概念，那么根据它的思想，我们要解决一个 问题，如果已知某一镜面上的场分布0 ：y ) ，如何求出在衍射作用下经腔内一次 渡越而在另一个镜面上生成的场u 2 ( x ，y ) 。其中( x ，y ) 、( x ，y ) 分别表示两个镜面上 3 2 d p l 中不对称热效应研究 场点的坐标。 如图3 5 所示，设已知空间任一曲面j 。上光波场的振幅和相位分布函数 u z ( x , y 3 ，由它在所要考察的空间任一点( x ，y ) 处产生的场为u 2 ( x ，y ) ，则 姒w ) = 等炒：y - ) 芈( 1 + c o s o 柳) 镜面1s i s 2 镜面2 | j f r 材1 f x 。谚 l-_-_ 詹t 一2 i 兄 图3 5 一般光学谐振腔 式中，r 为源点( x ,