中美初中数学教材难度的比较的分析以我国的人教版与美国prentice hall教材为例.pdf

论文摘要 基础教育课程教材改革是实施素质教育的核心环节。进行教材改革，需考虑 的一个重要问题就是教材的难度。目前，我国黄甫全、鲍建生、史宁中等学者分 别建立了相应的课程难度模型，这为对教材难度进行量的分析提供了良好的理论 基础。本文采用史宁中教授建立的“难度系数模型n = a s t + ( 卜a ) g t ”和鲍建生 建立的“由探究、背景、运算、推理和知识含量五个因素构成的习题综合难度模 型”，分别对中美新课程背景下的初中数学教材部分相应内容进行量化分析，从而 得出两国教科书内容的实际难度水平。 本文由五大部分组成： 第一章阐述了问题提出的背景和意义，并给出了论文研究目标和方案。 第二章对中美数学教材比较及课程教材难度研究的已有成果进行了梳理，从 而确定了自己的研究方向。 第三章对两国教材中方程与函数的内容进行量化分析，得出美国教材在内容 难度上要高于我国人教版教材，在习题难度上低于人教版教材。 第四章对两国教材三角形和四边形内容进行量化分析，得出美国教材在内容 难度上高于人教版教材，在习题难度上低于人教版教材。 第五章对上两章的比较结果进行分析与思考。 关键词：中美比较初中数学教材教材难度 i i i a b s t r a c t t h ec u r r i c u l u mr e f o r mo fb a s i ce d u c a t i o ni st h ec o r et a c h eo f e d u c a t i o nf o ra l l r o u n dd e v e l o p m e n t d e a l i n gw i t ht h ec h a n g eo ft e x t b o o k s ， a ni m p o r t a n ti s s u es h o u l db ec o n s i d e r e di st h ed i f f i c u l t yo ft e x t b o o k s p r e s e n t l y ，c h i n e s es c h o l a r sh u a n gp u q u a n ， b a oj i a n s h e n g ，s h in i n g z h o n g h a v ed e v e l o p e dc u r r i c u l u md i f f i c u l t ym o d e l ss e p a r a t e l y t h e s em o d e l s p r o v i d ew e l lt h e o r e t i cb a s ef o rq u a n t i t a t i v ea n a l y s i so nc u r r i c u l u m d i f f i c u l t y t h i ss t u d yu s e st w om o d e l st od ot h eq u a n t i t a t i v ea n a l y s i s o nm i d d l e s c h 0 0 1m a t h e m a t i c a lt e x t b o o k si nc h i n aa n da m e r i c au n d e rt h e n e wc u r r i c u l u m t h et w om o d e l sa r et h e“d i f f i c u l t yc o e f f i c i e n tm o d e l n = a s t + ( 1 一a ) g t ， r a i s e db yp r o f e s s o rs h in i n g z h o n ga n dt h e“d i f f i c u l t y o fm a t h e m a t i c a lp r o b l e mm o d e l ，r a i s e db yp r o f e s s o rb a oj i a n s h e n g ，w h i c h c o n s i s t so fe x p l o r i n g ， b a c k g r o u n d ，o p e r a t i o n ， r e a s o n i n ga n dk n o w l e d g e t h i ss t u d yw a n t st of i n dt h ea c t u a lc u r r i c u l u md i f f i c u l t y1 e v e li nc h i n a a n da m e r ic a n t h i ss t u d yc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s ： c h a p t e ro n ee x p o u n d st h eb a c k g r o u n da n dm e a n i n g so ft h eq u e s t i o n ，a n d r e s e a r c hp r o j e c ta n dm e t h o d s c h a p t e rt w oa r r a n g et h ef o r m e rr e s e a r c hf i n d i n g so nc o m p a r a t i v es t u d y o nd i f f i c u l t yo fc h i n aa n da m e r i c a ns c h 0 0 1m a t h e m a t i c sc u r r i c u l a ，a n df i n d m yo w nr e s e a r c hp r o j e c t c h a p t e rt h r e ea n a l y s e st h ee q u a t i o na n df u n c t i o nc o n t e n ti nc h i n a a n d a m e r i c a nm a t h e l a t i c st e x t b o o k ( u s et h em a t h e 髓t i c st e x t b o o k sp u b l i s h e d b yp e o p l e se d u c a t i o np r e s si nc h i n a ) ，a n df o u n dt h a tt h ec o n t e n ti n a m e r i c a nt e x t b o o ki sm o r ed i f f i c u l tt h a no u r s ，b u tr e v e r s e do ne x e r c i s e s c h a p t e rf o u ra n a l y s e st h et r i a n g l ea n d ( w a d r i 1 a t e r a lc o n t e n ti nc h i n a a n d a m e r i c a n m a t h e m a t i c st e x t b o o k( u s et h ei n a t h e l a t i c s t e x t b o o k s p u b l i s h e db yp e o p l e se d u c a t i o np r e s si nc h i n a ) ， a n df o u n dt h a tt h e c o n t e n ti na m e r i c a nt e x t b o o ki sm o r ed i f f i c u l tt h a no u r s ，b u tr e v e r s e d o ne x e r c i s e s c h a p t e rf i v ea n a l y s e st h er e s u lt so fc h a p t e rt h r e ea n dc h a p t e rf o u r ， a n dg i v es o m et h i n k i n ga n ds u g g e s t i o n st ot h er e f o r mo fc u r r i c u l u m 1 【e yw o r d s ：c h i n a a m e r i c ac o m p a r i s o n ；m i d d l es c h 0 0 1 腿t h e i i l a t i c s t e x t b o o k ； t h ed i f f i c u l t yo ft e x t b o o k v 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名： 地日期：一7 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在 解密后适用本规定 学位论文作者签名硼霹例号麓形午 11 日期： 妒s 毛毛 第一章引言 第一节问题的提出 基础教育课程教材改革是实施素质教育的核心环节。课程教材集中体现了国 家的教育思想和教育观念，是学校组织学生活动的最主要的依据。它制约着学校 教育的活动方式，影响着学生的身心发展。综观中外的教育改革，无不把课程教 材改革放到突出位置。近年来，世界许多国家特别是一些发达国家无论是反思本 国教育的弊病，还是对教育提出新的目标和要求，都是从课程教材改革入手。通 过改革，调整人才培养目标，改变人才培养模式，提高人才培养质量。 进行教材改革，需考虑的一个重要问题就是课程教材难度。在中小学教育实 践中，教材难度存在的突出问题主要有两个：一是在横向上对学生差异的包容度 过小，仅照顾了一部分学生，而对另一部分学生来说，要么难度过高“吃不了 ， 要么难度过低“吃不饱；二是在纵向上梯度分布不合理，有的内容梯度过大， 超越了学生发展水平，从而阻碍学生的发展，而有的则梯度过小，落后于学生发 展水平，从而迟滞学生的发展。导致这些问题的主要原因，是中小学课程教材难 度的设计、实施和评价，一直采用主观经验性方法。1 因此，研究如何才能使课 程教材难度有效适应并促进学生发展，必须借助于在普遍意义上具有可操作性的 模型化方法。目前，我国黄甫全、鲍建生、史宁中等学者对此作了深入研究，分 别建立了相应的课程教材难度模型，这为对教材难度进行量的分析提供了良好的 理论基础。 数学历来被认为是一门在各国中小学课程中相对比较一致的学科，这也是一 些国际组织如i e a 、0 e c d 和n c e s 等之所以选择数学作为国际评价科目的一个重要 原因。但许多大规模国际比较项目却表明，各国学生的数学成就存在着显著差 异，特别是亚洲学生的表现远远超过其欧美对手。如1 9 9 1 年i a e p i i 的1 3 岁年龄 组数学测试，先后有1 9 个国家共2 1 个团体参加。测试结果表明，我国大陆学生数 学测试的平均正确率为8 0 ，居2 1 个团体之首；英格兰和美国分别为6 1 和5 5 ； 国际平均5 8 。2 造成中美学生数学成绩差异如此之大的原因有很多，但无疑两国 数学教材的差异是主要原因之一。教育部调查表明3 ，我国旧课程存在诸多有目 共睹的问题，比如反映在学习内容上，过分追求逻辑的严谨和体系形式化，在 不同层次上存在“繁、难、偏、旧的状况；而美国传统教材则是“一英里宽， 一英寸深”。对此，中美两国分别与2 0 0 1 年与2 0 0 0 年出台了新的课程标准，并依 1 黄甫全s 中小学学生负担与课程难度，吉林教育科学( 普教研究) ，1 9 9 3 年第2 期 2 鲍建生：中英两国初中数学课程综合难度的比较研究，华东师范大学博士学位论文，2 0 0 2 年 3 刘兼，孙晓天主编：全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) 解读，北京，北京师范大学出版社，2 0 0 2 ：7 l 此编制了相应的数学教材。 而新的标准下两国教材有何差异? 难度有何变化? 通过调查发现，目前大多 数的研究多是立足于对中、美两国教材的编写理念、标准和内容包括知识、习题、 语言表述等，定性地介绍数学教材的有关情况，而定量的分析与比较相对缺乏， 多数人对美国中学数学教材的印象仅限于“一英里宽，一英寸深”。美国的教材 在内容难度上与我国的教材相比究竟有多大的差异? 这个问题的解决对于我国 的数学教材改革无疑具有重要意义。故本文拟解决的主要问题为： 1 中、美初中数学教材在内容的广度、深度上有何差异? 由内容的广度、 深度和课时所决定的难度有多大的差异? 教材例题、习题难度在各个难度因素及 总体难度水平差异性又如何? 2 两国初中数学教材难度的差异性对我国初中数学课程改革有何重要启 示? 第二节研究方案和概念的界定 一、概念的界定 1 课程：什么叫课程，至今还没有一个公认的定义。中国大百科全书教 育中对课程定义是“课业及进程”。广义指所教学科( 教学科目) 的总和，或指 学生在教师指导下各种活动的总和；狭义指一门学科。本文中的课程主要是指学 科，包括课程标准和教材及其教学的进程。 2 教材：所谓教材，是指具有特定结构、可供学生和教师阅读、视听及借 以操作的材料，是帮助教师和学生认识世界、获得发展的一种载体。教材的范围 包括教科书、讲义、讲授提纲、参考书、活动指导书以及各种视听材料。教科书 是教材整体中的主体部分1 ，本文中的“教材 主要是指教科书( 按照课程标准 编写的系统反映学科内容的教学用书) 。本文中所提到的“中国教材或“我国 的数学教材”均指人民教育出版社2 0 0 4 年版7 9 年级学段的义务教育课程标准实 验教科书；“美国的数学教材 是指由美国 p e a r s o np r e n t i c eh a l l 出版社2 0 0 4 年出版的7 q 年级学段数学教科书。之所以选用这两套教科书作为比较的对象， 主要有如下两个原因：两套教材在本国的使用范围都比较广泛，其中美国 p r e n t i c eh a l l 出版的中学教科书占美国中小学教科书出版市场的2 4 左右2 。 这两套教材都是新课程改革背景下的教科书。我国教材依据的是2 0 0 1 年出台的 1 教育部基础教育教材审定工作办公室编：新起点，北京，北京师范大学i i 版社，2 0 0 2 年8 月第5 页 2 郑旺全：美国中小学教科书概况，课程教材教法2 0 0 4 年3 月，第2 4 卷第3 期 2 全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) ，美国教材则以全美数学教师理事会 于2 0 0 0 年出版的学校数学教育的原则和标准作为主要依据。 3 教材难度：简单地说就是指教材的难易程度。教材难度是课程难度的物 化表征形式。国内对课程难度进行系统研究的第一人是黄甫全。他从认识论的角 度给出了课程难度的定义和特点，“课程难度是预期的教育结果从简单到复杂、 从低级到高级的质和量在时间上相统一的动态进程。”影响课程难度的基本要素 至少有三个：课程深度、课程广度和课程实施时间。这样，课程难度可以看成课 程广度、课程深度、课程实施时间的一个函数，其中任何一个量的变化均会引起 函数值即课程难度的变化。教材是教育者和受教育者据以进行教育活动的材料， 是课程的物化形态。因此，课程难度最终便具体化和详细化为教材难度。课程难 度通常可分为统计难度和内容难度。课程的统计难度指在确定的被试对象上表现 出来的难度值，主要是通过考试，衡量学生是否达到课程目标的要求，也叫相对 难度：课程的内容难度是由课程目标确定的、在课程标准和教材上表现出来的难 度，课程标准和教材一旦形成，课程的内容难度便成为一种不附加任何条件、不 受任何限制的客观存在，因此也叫绝对难度。除难度模型中特指的课程难度，本 文在量化的过程中所提到的课程难度或教材难度主要是指教科书的绝对难度。 二、研究的目标、内容和方法 1 研究的目标 通过使用课程难度模型对中美两国初中数学教材进行定性和定量分析比较， 从而较准确刻画出两国初中数学课程难度的差异，并进一步探讨这种差异性对师 生及课程难度的影响。 2 研究内容和方法 研究的主要内容分为五大部分。第一部分：引言；第二部分：文献综述；第 三部分：对两国初中数学教材中方程、函数难度进行了比较：第四部分：对三角 形及四边形的难度的进行比较；第五部分：结论与思考。 研究方法：文献法比较法定性分析定量分析 首先在查阅文献的基础上，运用教育比较法对中美中学( 七九年级) 的数 学教材进行定性分析与比较，找出我国教材的优势与不足。在此基础上采用难度 系数模型n = a s t + ( 卜a ) g t1 和数学题综合难度模型2 对两国教材部分相应内容进 行量化分析，从而得出两国教科书内容的实际难度水平。 3 研究的创新与不足 创新之处：使用难度系数模型，对中美应用较为广泛的中学数学教材进行详 1 史宁中、孔凡哲、李淑文：课程难度模型：我国义务教育几何课程难度的对比，东北师范大学学报( 社 会科学版) ，2 0 0 5 年第6 期 2 鲍建生：中英两国初中数学课程综合难度的比较研究，华东师范大学博士学位论文，2 0 0 2 年 3 细的量化分析，使中美中学数学教材的难度的差异性更具体化，而不是仅囿于感 性知觉。这在中美数学教材比较中尚不多见。 不足之处：由于两国教材都有多个版本，所以本文对中美两国各一套教科 书比较得出的结论不具有普适性。本文所采用的难度系数模型还有待于进一步 验证。 4 研究的意义 意义之一：通过与美国的初中数学教材进行比较，从一个侧面反映出我国目 前的数学教育教材改革的优势与不足，把美国的教改之路作为一面镜子，进而反 思自身，可少走一些弯路。 意义之二：通过使用定量方法对一些具体内容先进比较，可较清晰地看出两 国教材内容深、广度的差异，有助于我们更加准确地把握教材难度的分布。 意义之三：通过分析教材深广度对学生学习和发展的影响，对我国的教材改 革提出一些建议。 中美数学教材比较研究的意义 基础教育课程教材改革是实施素质教育的核心环节，课程教材集中体现了国 家的教育思想和教育观念，是学校组织学生活动的最主要的依据。它制约着学校 教育的活动方式，影响着学生的身心发展。综观中外的教育改革，无不把课程教 材改革放到突出的位置。近年来，世界许多国家特别是一些发达国家无论是反思 本国教育的弊病，还是对教育提出新的目标和要求，都是从课程教材改革入手， 通过课程教材的改革，调整人才培养目标，改变人才培养的模式，提高人才培养 质量。这些国家都把基础教育课程教材改革作为增强国力，继续未来国际竞争实 力的战略措施加以推行1 。当代著名比较教育学家艾德蒙金( e d m u n dk i n g ) 在 其比较教育名著别国的学校和我们的学校一今日比较教育一书中，把美国称 为“轮子上的国家”。的确，美国教育在建国2 0 0 多年来，一直处于不断变革之 中。战后更是如此，第二次世界大战结束至今，美国教育经历了三次大的变革， 而每次变革，中学课程教材都是首要问题。回顾2 0 世纪的数学教育改革，每次 改革，美国都引领了世界数学教育改革的潮流。美国作为世界第一经济、政治强 国，在t i m s s 等大型国际比较活动中学生的数学科学成绩却不尽人意，他们通过 比较研究发现，成绩最好的国家或地区都有全国( 或全地区) 统一的大纲或课程， 而美国没有，因此全美数学教师理事会( n a t i o n a lc o u n c i lo ft e a c h e r so f m a t h e m a t i c s ，简称n c t m ) 经过几年的努力于1 9 8 9 年出台学校数学的课程与评 价标准，1 9 9 1 年出台数学教学专业标准，2 0 0 0 年4 月正式出版学校数学 1 教育部基础教育教材审定工作办公室编：新起点，北京，北京师范大学出版社，2 0 0 2 年8 月第1 7 页 4 教育的原则和标准。美国的数学教育改革走过一段漫长而曲折的旅程，历经上 世纪6 0 年代的“新数运动 ( n e wm a t hm o v e m e n t ) ，7 0 年代“回到基础 ( b a c k t ob a s i c ) ，8 0 年代问题解决( p r o b l e ms o l v i n g ) ，2 0 0 6 年的“课程焦点” ( c u r r i c u l u mf o c a lp o i n t s ) 。美国数学教育改革十多年的风雨历程应成为当前 我国正在进行的数学课程改革的“前车之鉴 ，他们所面临的问题和挑战同样也 值得我们认真思考和对待。因此美国的课程教材改革对我国课程教材的建设具有 重要参考价值，这也是在中外数学教育比较研究中，中美数学教育研究居于首位 的主要原因。通过中美数学教材比较，可以把美国的数学教材变革作为一面镜子， 透过这面镜子，反思我国的数学教育教材改革，以少走一些弯路。 通过量化分析真正认清两国中学数学教材的异同 目前研究者们多是立足于对中、美两国教材的编写理念、标准和内容包括知 识、习题、语言表述等定性地介绍一些发达国家数学教育的有关情况，缺乏定量 的分析与比较。目前多数人对美国数学教材的印象仅限于“一英里宽，一英寸深 。 这种直观的印象很容易造成一种错觉，就是我国的数学教材应降低难度，才能减 轻学生的学习负担。故新课程标准下的数学教材难度大大降低，但效果却适得其 反，教师，学生的负担变得更加沉重。究其因，课程教材的编者没有搞清造成学 生负担过重的真正原因。另，西方的教材尤其是美国教材在内容难度上与我国教 材相比究竟有多大差异? 这需要对两国的教材在深度和广度、课程实施时间等方 面加以量化分析，真正做到知己知彼。 5 第二章文献综述 第一节中美数学课程教材比较的研究综述 中美数学教育的比较一直是理论探索的热点，有关中美数学课程、教材比较 的论文和著作居于教材比较的首位。通过对已检索到的中、英文资料的分析，大 致分为以下两个方面：一、课程理念、课程标准( 大纲) 的比较。二、教材内容的 比较。 一、课程理念、课程标准( 大纲) 的比较 美国的教育，由州政府管理，数学课程标准的制定和教材的选用有相对独立 性，没有全国统一的课程标准。但自2 0 0 0 年全美数学教师协会n c t m 发表了学校 数学教育的原则和标准以后，情况发生变化，现在大多数州都按照标准的精神 修订它们的数学教科书，出版商也都以他们出版的教科书符合“标准”的要求进 行宣传。我国的数学教育研究工作者从不同角度对中美两国的课程理念和标准进 行了分析与比较，有宏观的比较，也有从具体内容标准等微观上的比较。 白改平、褚海峰通过对两国课程标准进行宏观比较，得出两国课程理念和目 标的异同点。 1 指导思想基本相同。两者都给出了不同的标准，知识技能目标( 美国的标 准称之为数学内容目标) 与过程性目标( 美国为活动目标) 。前者为知识内容目 标，后者为方法类目标；知识技能目标具体指明了学生应当知道的，过程性目标 则是指明了实现上述目标的途径。这两类目标的设计都是围绕以下两个问题展 开： 在整个学习过程中，学生应当掌握哪些数学基本知识，可能获得哪些方面 的能力。 为使所有学生实现数学上的高水准，相应的教学设计应如何进行。 2 编排体系基本相同。两者都将知识内容目标放在前，方法类目标放在后， 说明两国都意识到基础知识的教与学在整个数学教育中具有十分重要的作用。 3 学段的划分不尽相同。美国划分了四个年级段：学前期至二年级、三至五 年级、六至八年级和九至十二年级。而我国划分了三个学段：小学( 一至六年级) 、 初中( 七至九年级) 、高中( 十至十二年级) ； 4 教学内容存在一定的差异但总体上有互相靠近的趋势。 中国增强弹性降低弹性 美国 拓宽学习内容及方法，删减加强技能、概念的学习 减低某些内容 进一步明确教学内容。 由以上可看出两国所提供的数学课程目标，在结构和内容方面有基本的一致 性，说明在数学课程目标的基本方面，中国数学课程已发展到与美国数学课程标 6 准相当一致的程度。 微观上，王林全、吴跃忠( 2 0 0 3 ) 1 从教学目的的差异和对学生能力的存在差 异等方面，对中美两国的几何教学理念与内容进行了比较。刘长明( 2 0 0 3 ) 2 以 中、美两国初中学段数学课程标准中的内容标准为切入点，分别从“空间与图形 、 “数与代数”和“概率与统计”这三个领域，对两国标准的异同点、优势与劣势 进行了横向上的比较研究。其中在“数与代数领域与美国标准相比，中 国标准偏重于学生对实际问题的有效解决，教学目标的重心在“双基”，包 含内容更广，教学要求更深。在案例支持上，中国标准显得过于简单。回 二、教材内容的比较 1 教材内容的取舍与编排体系 与我国教材相比，美国初中数学教材的基本内容涉及面广，故每册的章节数 较多，不如我国数学教材精练，系统性强。其基本编排是“宽而广”的模式，而 我国的传统模式是“窄而深 。我国初中阶段代数、几何的内容一般是同步进行 的，即在每个年级代数，几何的所占的比重基本相当，但美国的教材七年级、八 年级主要学习代数的内容，九年级学习几何。 美国教材在代数方面的内容分别是代数式、实数、解方程、多项式、线性方 程与函数的图像、线性方程组、多项式的乘法与因式分解、代数分式及其应用、 不等式组及其图像、有理数与无理数、解二次方程、概率与统计。我国初中代数 的基本内容这里都包括了，而线性方程的图像、不等式组的图像这两部分内容， 是比我国多出的部分。 上述美国初中代数所需的教学时间是1 7 0 课时，只是我国初中代数总课时的 一半左右。当然，在相关内容的教学要求上，美国教材要低一点。 再看几何部分的内容，分别是几何工具与测量、几何的证明、平行线与平面、 三角及向量、相似形、平行四边形的性质、圆、多边形与圆的面积、立方体、 变换在几何中的应用、坐标在几何中的应用。大体上，这些内容属于传统的欧氏 几何的内容，与我国教材相近，但要求要低一些。后三章则是新增加的，是我国 初中不学习的内容。 2 教材习题的比较 对教材内容比较的文献多集中于对习题的比较。通过比较发现美国的习题比 中国的习题要求更加灵活，配置了更多的开放性问题、文字题和带有图形的问题。 而中国课本上的封闭性问题和纯数学形式的问题比例较大。美国正文中对例题的 解答多是用“画图或模型”的方法，中国多用“列方程 方法。美国对问题的解 1 王林全、吴跃忠：中美几何教学理念和内容的比较，数学教育学报，2 0 0 3 年8 月第1 2 卷第3 期 2 刘长明：中、美两国初中学段课程标准的比较研究，东北师范大学硕士论文，2 0 0 3 年5 月 7 答比我国的详细，有达6 7 的问题至少包含波利亚问题解决的两个阶段。y ep i n g l i ( 2 0 0 2 ) 1 为了解释中美两国对学生的期望( 与数学体验相关) 间的共性和差异， 制定了一个由数学特征、情景特征和任务要求三个维度构成的框架，并根据此框 架对几本美国和中国数学教材中整数加减法内容之后的所有相关问题进行了比 较分析，认为美国教材中的习题比中国教材中的习题对学生的要求更加灵活，对 概念理解的要求更加深刻。f a n z h u( 2 0 0 4 ) 2 将数学教材中的问题归纳为常规 题与非常规题、开放题与封闭题等七类，并据此比较了中美初中数学教材中题目 的配置方式，研究了教材中问题配置方式的差异和共性，得出的结论是美国初中 数学教材比中国教材配置了更多的非传统问题，而且非传统题的分布也更均衡： 而中国教材中的数学问题比美国的更具有挑战性，包含了更多的解题步骤。朱雁 比较了中国、新加坡和美国初中一、二年级数学课本对问题解决的表述。具体地 说，她比较了这三个国家这两个年级数学教材上的问题类型及分布( 种类和个 数) ，波利亚问题解决四阶段( 理解题意、设计一个解决方案、实施该方案、回顾) 在例题中的体现以及所用的解法。发现美国对问题的解答最详细，有达6 7 的问 题至少包含波利亚问题解决的两个阶段3 第二节课程教材难度文献综述 一、国外对课程教材难度的研究 国外第一位系统触及课程难度问题的是赞可夫。他以心理学家的渊博造诣， 长期躬身耕耘于教学实验上，提出了“以高难度进行教学的原则”。他的智慧和 心血凝结成了“实验教学论体系”。赞可夫的卓越工作是成功地把小学学制缩短 一年，他的新思想和成功的教学实验给世界教育改革注入了一股新活力。与赞可 夫同期的布鲁纳，依据认知心理学原理提出了结构主义课程论。布鲁纳强调教育 “应传授知识与发展智力”。他认为没有难教难学的知识，“任何学科都能够以某 种智育上适宜的方式教给任何发展阶段的任何儿童。”为此，他特别重视学习的 迁移规律并倡导“发现学习法”。布鲁纳的教学理论由于过分强调学科的结构化、 1 y 印i n gl i 咖撕no fp 曲l 啪sl l l a t f o l l o ws e l t c dc o n t tp 豫嗣t a l i i l la m 耐啪锄dc l i m e 粥 m a t h 咖撕c s 陷t b o o k j o u m a l 断r 鹤r c hi nm a t h 哪a l i 铝e d u c a t i ，2 0 0 2 ( 2 ) 2 f 锄& z i i u a na n a l y s i so f l e 脚p r c 湖伽o no f p 曲l 锄聊璐i nc t i i i l 雠鲫du sm a m 啪砒i c s1 钒b 0 0 i 【s p a p 盯a 印t c df 研l c m e - l o d i s 伽s s i o ng 枷p1 4c o p c n h a g ，d 咖a 咄2 0 0 4 3 转引江春莲：中美数学教育比较研究摘录，数学通讯，2 0 0 6 年第3 期 8 形式化，脱离学生的认知水平和生活实际，教材内容过难，多数学生接受不了， 而遭到了来自社会各个方面的批评。 2 0 0 1 年1 1 月在美国国家教育统计中心官方网站( h t t p ：n c e s e d g o v p u b s e a r c h ) 上公布的工作报告( n o h a r a ，2 0 0 1 ) 对三项大规模的学生数学成就测 试：n a e p2 0 0 0 ，t i m s s r 和p i s a 2 0 0 0 的总体难度( o v e r a l ld i f f i c u l t y ) 进行比较 研究。在这份报告中，作者从扩展性问题，实际背景，运算，多步推理四个难度 因素对三组试题的难度进行了比较，根据每个难度因素所占的百分比，利用多边 形模型刻画了三组试题的整体难度。从而直观地得出下面的结论：三份试卷中， 总体难度最大的是p i s a2 0 0 0 ，其次是n a e p2 0 0 0 ，最低的是t i m s s r 二、国内对课程教材难度的研究 国内对课程难度的刻画大致可分为三种模型： 1 黄甫全建立了由低值模型、均值模型和高值模型组成的中小学课程难度 灰色模型体系。 国内对课程难度进行系统研究的第一人是黄甫全。他从认识论的角度给出了 课程难度的定义和特点，“课程难度是预期的教育结果从简单到复杂、从低级到 高级的质和量在时间上相统一的动态进程。作用于课程难度的因素主要有三个： 一是社会发展的要求与可能，二是人的要求与可能，三是人类知识的发展及其体 系结构。这三个因素分别地制约着课程难度，又综合地决定着课程的难度。课程 难度具有动态统一性、动态阶梯性、可塑性、主客观统一性、对象性等特点。然 后根据课程难度的标准是学生发展的动态水平的原理，首先验证了儿童青少年的 心理发展与大脑发育之间存在异步正相关规律，而且相关程度极高，然后以儿童 脑电频率数据作为心理发展的映射量建立起了由低值模型、均值模型和高值模型 组成的中小学课程难度的灰色模型体系。并通过“中小学课程难度问卷对小学 毕业生、中学毕业生、大学一年级学生进行了调查，调查的题目有：学习过难的 年级：学习过难的科目；学习过难的主要原因：学习过易的年级；学习过易的科 目；学习过易的主要原因。得出的结论是：学习过难的年级是小学1 年级、5 年级， 初中2 年级、高中3 年级；学习过难的科目是数学、英语、物理。 2 鲍建生建立了由探究、背景、运算、推理和知识含量五个因素构成的数 学题综合难度模型。 鲍建生( 2 0 0 2 ) 在其博士论文中英两国初中数学课程综合难度的比较研究 中：建立了由探究、背景、运算、推理和知识含量五个因素构成数学题综合难度 模型，并以“数学题综合难度模型 为平台，对中英两国数学课程综合难度进行 了比较。这个研究可以说是国际课程比较研究的一个创新。鲍先生在其博士论文 中提出了如下数学题综合难度的多因素模型： 9 翱阻 知讽竹 奠【霓 图2 1 数学题综合难度模型 这个模型包含了五个难度因素，每个因素又进一步划分为不同的水平。如表2 1 ： 表2 1 五个难度因素水平的划分 难度因素水平 探究识记理解探究 背景无实际背景个人生活公共常识科学情景 运算无运算数值运算简单符号运算复杂符号运算 推理无推理简单推理复杂推理 知识含量 1 个知识点2 个知识点3 个及以上知识点 这样，一方面可以在每个因素上对数学题的水平进行分析和比较；另一方而，还可 以根据等级权重利用下面的公式计算一组题目在每个因素上的加权平均： 吒 t z 莩铲；川删，5 ；h 2 ，) ( 幸) d i ( i 一1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 依次分别表“探究、“背景 、“运算”、。推理 、 “知识含量”五个难度因素上的取值：d i j 为第i 个难度因素的第j 个水平的权重 ( j 依水平分别取1 ，2 ，3 ，) ；n i j 则表这组题目属于第i 个难度因素的第j 个水平 的题目的个数，其总和等于该组题目的总数n 3 孔凡哲、吕世虎、史宁中等构建了刻画课程教材难度的数学模型n ：as t + ( 1 一a ) g t 。 影响课程难度的基本要素至少有三个：课程深度、课程广度和课程实施时间。 其中，课程深度是指课程内容所需要的思维的深度。这是一个非常难以量化的要 素，涉及到概念和原理的抽象程度，以及概念之间的关联程度，还涉及到课程内 容的推理与运算步骤。目前多是用课程目标要求的不同程度或是用抽象度分析法 l o 来量化。课程实施时间是指完成课程内容所需要的时间，可以用“课时 来量化。 这样，课程难度可以看成课程广度、课程深度、课程实施时间的一个函数，其中 任何一个量的变化均会引起函数值即课程难度的变化。如果用n 表示课程难度，g 表示课程广度，s 表示课程深度，t 表示课程实施时间，可建立如下数学课程难度 的模型：n = a s t + ( 1 一a ) g t ， 其中，g t 表示可比广度( 单位时间下课程的广度) ，s t 表示可比深度( 单 位时间下课程的深度) ，a 称为加权系数，0 a l 是一个经验常数，反映了可比 广度、可比深度对课程难度影响的侧重程度。 由以上课程难度模型可看出：课程难度与课程的可比广度和可比深度成正 比。单独增加课程的可比广度或可比深度，课程难度都将增加。课程的可比广 度增加，即使降低课程的可比深度，课程难度也有可能增加；课程的可比深度增 加，即使降低可比广度，可比广度也有可能增加。这说明在课程实施时间固定的 情况下，无论是窄而深的课程设计模式还是广而浅的课程设计模式，都对课程难 度有影响。如果希望课程难度不变，增加课程的可比广度就必需降低课程的可比 深度，反之亦然。以此数学难度模型定量比较我国普通高中数学课程标准( 实 验) 与全日制普通高级中学数学大纲( 实验修订本) 中三部分几何内容的难 度，得出以下结论：与大纲相比，标准中立体几何部分的内容难度大大 降低，解析几何部分内容难度略有增加，平面向量部分内容难度基本没有变化。 孔凡哲，史宁中( 2 0 0 6 ) 利用课程难度定量模型n = as t + ( 卜a ) g t ，以“四 边形 为例，对我国初中阶段三套典型的义务教育数学课程标准实验教科书进行 课程难度的定量比较分析，并对三套教科书与全日制义务教育数学课程标准( 实 验槁) 的吻合程度进行了分析比较，结果显示，课程标准下各个版本的义务 教育数学课程标准实验教科书中，“人教版”整体的课程难度最大，“华师大版 整体的课程难度最小。“北师大版 与“人教版”具有几乎相同的吻合度，但方 向有异：“北师大版 是从稍微容易的方向，而“人教版 是从稍难的方向。 李淑文( 2 0 0 6 ) 的博士论文中日两国初中几何课程难度的比较研究以“课 程难度模型n = as t + ( 卜a ) g t ”为平台，对我国初中新旧几何课程以及中日两国 初中现行几何课程的难度进行比较研究，找出我国新、旧及日本初中几何课程难 度之间的差异，并对中日两国初中几何课程难度差异对中日两国学生空间想象能 力和数学推理能力的影响进行了分析。 以上三种课程难度模型，各有利弊，但比较好操作的当属n = as t + ( 卜a ) g t 。 4 分析与思考 从以上不难发现，研究者们多是立足于对中、美两国教材的编写理念、标准 和内容包括知识、习题、语言表述等进行比较分析，以此实现对教材与教学活动、 学生成就之间的相互联系和相互作用的理解。这些研究的主要特点是运用“分析 文件”的方法，从学制与课程设置、教学大纲( 或课程标准或学习指导要领) 、教 材编写等角度，动态地介绍一些发达国家数学教育的有关情况，但缺乏比较和分 析，基本是名为比较实为介绍，比较方法也是宏观的多、微观的少，定性的多、 定量的少。比较所依托的材料多是比较陈旧的，已被翻译成中文的美国教材。 从已有的比较材料可看出，我们对美国中学数学教材的总体印象仍旧是“一 英里宽，一英寸深 。这种印象对我国的数学新教材的编写起到了一定的负作用， 一些教育专家认为可通过降低数学教材难度这一途径，来减轻学生的课业负担， 从而能真正对中学生进行素质教育。因此在新的课程标准下编写的教材通过删减 知识点或降低对知识点的要求降低了教材的难度，但带来的结果是不仅学生的负 担没有减轻，老师也在叫苦连天。根本原因就在于给学生造成负担的真正原因是 由于教师、学校间的竞争、中考、高考、就业等因素迫使教师不得不给学生补充 大量的、难度较大的练习题，不得不使用频考的策略刺激学生学习数学，而不是 教材本身的难度加重了学生的负担。 本人通过给上海国际学校的几位学生进行数学辅导的切身感受和对他们所 使用的美国教材的分析，发现单就教科书的内容来看，美国教材并不比我国的教 科书的浅。但这只是个人的感觉和印象，在两国新课程改革背景下，两国的初中 数学教材在内容难度上究竟有何差异? 在这个问题上，至今仍无人使用定量的方 法进行分析和比较。因此本人将分别使用以上和两种数学难度模型对中美新 课程背景下的初中数学教材进行定量分析，以期对两国教材难度的差异性有一个 较清晰的刻画。 1 2 第三章代数及统计与概率难度的比较 第一节课程教材难度的比较方法 蔡上鹤认为“教科书是由正文、例题、习题三部分有机组成的。中学数学 课程不但包括数学概念、性质、公式、公理、定理和技能等教学内容，还包括对 学生数学概念的形成、数学命题的掌握以及能力发展具有重要作用的数学问题。 可见，要想全面、客观地评价不同国家的课程难度，至少应从内容难度和数学习 题难度两个方面进行比较。 所以，本文一方面利用n = as t + ( 1 一a ) g t 难度模型，对中美两国7 9 年级学 段的代数内容正文部分的难度进行比较；另一方面，利用鲍先生的“数学题综合 难度模型 对中美两国初中教材中的例题、习题的难度进行比较。 在n = as t + ( 1 一a ) g t 此模型中，对教材的深度、广度和时间具体刻画如下： 广度：对知识点的理解和中学数学中知识点的划分，目前尚无统一认识。一 个定理、概念、运算等都可以看作为一个知识点。为了比较的公平性，我们把两 国在新授课中需花费一个课时( 4 0 4 5 分钟) 进行的主要内容看作为一个大的知 识点，通过对两国相应内容的比较发现两国每个大的知识点所包括的定理、概念、 运算等数量基本一致。美国的教材每章中的每一小节基本上就是一个课时，因此 每一小节的主要内容就视为一个知识点。对此，本人通过对使用此版本教材的两 所国内学校即上海中学国际部和上海美国学校，以及国外一所学校即美国非常有 名的私立中学c h o a t er o s e m a r yh a l l 的师生进行访谈，验证了以上的划分是比较 合理的。我国人教版的初中数学教材每个小节视内容的多少，每节相应分成几个 部分，每一部分需一课时，这也通过国内使用人教版初中教材的学校的教师得到 验证。 时间：对每部分内容所占课时的多少，我国的教材主要是根据人教社所制定 的课时计划( 见附录2 ) ，初中3 年总课时数为3 5 5 课时。美国的初中数学教材每一 小节就是一个课时，共有2 6 5 个小节。这与美国课程标准所公布的总课时数约为 2 6 0 课时基本一致。 深度：目前对其进行的量化方法有两种。 方法一：可以用课程目标要求的不同程度来量化。我国的课程标准在对 知识和技能目标进行阐述时，使用了“了解( 认识) 、理解、掌握、灵活运用”的 目标动词，将对教学内容的要求分为以下几个层次： 了解：对知识的涵义有感性的、初步的认识，能够说出这一知识是什么，能够( 或 会) 在有关的问题中识别它。 理解：对概念和规律( 定律、定理、公式、法则等) 达到理性认识，不仅能够说出 概念和规律是什么，而且能够知道它是怎样得出来的，它与其它概念和规律之间 1 3 的联系，有什么