清华大学微积分考试真题7.pdf

作者：闫浩作者：闫浩 2011 年年 9 月月 page 1 of 2 微积分 b(1)第七次习题课题目（第九周） 微积分 b(1)第七次习题课题目（第九周） 1证明方程0122 2 =+xx x 至多有两个不同实根 2已知0 132 21 0 = + + n aaa a n l，证明0 2 210 =+ n nx axaxaal至少有一 个实根 3.设( ) , f xc a b，在),(ba内可导，( )( )0f af b=。求证：,( , )ra b 使得 ( )( )ff=. 4 设)(xf在,ba上一阶可导， 在),(ba内二阶可导，0)()(=bfaf，0)()(bfaf， 证明： （1）存在),(ba，使0)(=f； （2）存在),(ba，使)()(ff= ； （3）存在),(ba，使得)()(ff= 5设函数)(),(),(xhxgxf在,ba上连续，在),(ba内可导，试证存在),(ba，使得 0 )()()( )()()( )()()( = hgf bhbgbf ahagaf 6. 设 2 0 ( )(,)f xdx+，且 0 lim( )lim( ) xxx f xf x + =。 求证：存在 0 (,)x +，使得( )0f=. 7设)(xf在,ba上二阶可导，过点( ,( ),( ,( )a a f ab b f b的直线与曲线( )yf x=相交 于( ,( )c c f c，其中acb= + afbfaf且， 求证：存在),(ba，使得0)( f （试用几种不同的方法进行证明） 9已知函数)(xf在0,1上连续，在(0,1)内可导，且0)0(=f，1) 1 (=f证明： (i) 存在) 1 , 0(，使得=1)(f； (ii) 存在两个不同的点) 1 , 0(,，使得1)()(= ff 作者：闫浩作者：闫浩 2011 年年 9 月月 page 2 of 2 10若),()( 2 +dxf证明对任意的bca f， 试 证 存 在ba,满 足ba，证明 ab ba 17已知函数3 )1 ( )( 2 3 + + = x x xf，求： （1）函数的增减区间及极值； （2）函数的凹凸区间及拐点； （3）函数图形的渐近线 18求椭圆1 2 2 2 2 =+ b y a x 上的点p，使得过此点引切线与坐标轴构成的三角形的面积最小 19在半径为r的球内作内接正圆锥，试求其最大体积 20若 n xnxxf)1 (2)(=，求：(1) )(max 1 ,0 xfm x n =； (2) n n m lim 作者：闫浩作者：闫浩 2011 年年 9 月月 page 1 of 12 微积分 b(1)第七次习题课题目参考答案 微积分 b(1)第七次习题课题目参考答案 （第九周） （第九周） 1证明方程0122 2 =+xx x 至多有两个不同实根 证明 （罗尔定理） 设0122 2 =+xx x 有三个不同实根，则 0142ln2=+ x x 至少有两个不同实根，方程 04)2(ln2 2 =+ x 至少有一个实根但44)2(ln2 2 + x ，所以矛盾，故方程0122 2 =+xx x 至多有两 个不同实根 2已知0 132 21 0 = + + n aaa a n l，证明0 2 210 =+ n nx axaxaal至少有一 个实根 证（rolle 定理） 令 13221 0 132 )( + + += nn x n a x a x a xaxfl， 则)(xf可导且0) 1 ( , 0 )0(=ff， 所 以存在) 1, 0(使得0)(= f，即 0 2 210 =+ n n aaaal 3.设( ) , f xc a b，在),(ba内可导，( )( )0f af b=。求证：,( , )ra b 使得 ( )( )ff=. 证明：构造( )( ) x f xf x e =，利用罗尔定理即可。 4 设)(xf在,ba上一阶可导， 在),(ba内二阶可导，0)()(=bfaf，0)()(bfaf， 证明： （1）存在),(ba，使0)(=f； （2）存在),(ba，使)()(ff= ； （3）存在),(ba，使得)()(ff= 作者：闫浩作者：闫浩 2011 年年 9 月月 page 2 of 12 证明 （导数概念，极限性质，连续函数的零点存在定理，罗尔定理） （1） 不妨设, 0)( a f0)( b f，由 0 )()( lim)( = + ax afxf af ax ， 存在),( 1 bax ，使得0)()( 1 =afxf；由 0 )()( lim)( = bx bfxf bf bx 存在),( 2 bax ， 使得0)()( 2 =， 1 ()( )0fxfc= 由拉格朗日中值定理，对于 1 ( ,)xx+， 11111 ( )()( )()()()()f xf xfxxf xfxxx=+， 因此lim( ) x f x + = +，矛盾。 7设)(xf在,ba上二阶可导，过点( ,( ),( ,( )a a f ab b f b的直线与曲线( )yf x=相交 于( ,( )c c f c，其中acb 根据微分中值定理，存在),( 1 cax ，),( 2 bcx ，使得 0 )()( )(, 0 )()( )( 21 = cb cfbf xf ac afcf xf， 从而存在),(),( 21 baxx，使得 0 )()( )( 12 12 + af，所以存在),(bac，使得 )()()(bfafcf= 由于)(xf在,ba上连续，所以存在),( 0 bax ，使得 )(max)( 0 xfxf bxa =，从而 0)( 0 = x f根据 taylor 公式可知，存在),(ba，使得 2 0 2 0000 )( 2 1 )( 2 1 )()()(0 xafxafxaxfxfaf = +=， 故 0)( f 法四 因为)(xf在,ba上连续，在),(ba内二阶可导，)()(bfaf=且，所以根据罗尔定 理，存在),(ba使得0)(= f，从而存在),(),(baa，使得 0 )()()( )( 由于)(xf在,ba上连续，所以存在),( 0 bax ，使得 )(max)( 0 xfxf bxa =，从而 0)( 0 = x f根据 taylor 公式可知，存在),(ba，使得 2 0 2 0000 )( 2 1 )( 2 1 )()()(0 xafxafxaxfxfaf = +=， 故 0)(=gg， 由连续函数零点定理，存在) 1 , 0(使得01)()(=+=fg，即=1)(f (ii) 根据拉格朗日中值定理，存在) 1 ,(), 0(，使得 = = 1)0()( )( ff f， 与 = = = 11 )1 (1 1 )() 1 ( )( ff f， 所以 1 1 1 )()(= = ff 注：第二问能否如下证明？ 令xxffxg=)()(，则01)1 () 1 (, 00)0()0(=ffgffg，根据罗尔定 理， 存在) 1 , 0(， 使得01)()()(=fffg， 记)(f=， 则1)()(= ff 10若),()( 2 +dxf证明对任意的bca,都存在),(ba,使得 作者：闫浩作者：闫浩 2011 年年 9 月月 page 6 of 12 )( )( )( )( )( )( bcac cf cbab bf caba af + + )( 2 1 f = 解 （泰勒公式，介值定理，或罗尔定理） 法一 （泰勒公式）因为 .)( 2 1 )()()( ,)( 2 1 )()()( 2 2 2 1 cbxfcbcfcfbf caxfcacfcfaf += += 所以 )( )( )( )( )( )( bcac cf cbab bf caba af + + 111 ( ) ()()()()()() f c ab acba bcca cb =+ 12 111 ( )()() 2 cabc fcfxfx abbababa + 12 11 ()()( ) 22 cabc fxfxf baba =+= 注 用到了二阶导函数)(x f 的介值性质. 法二 （待定系数法） 记 k bcac cf cbab bf caba af 2 1 )( )( )( )( )( )( = + + , 则0)()( 2 1 )()()(=+cacbbakbacfacbfcbaf. 令)()( 2 1 )()()()(cacxxakxacfacxfcxafxf+=, 则 0)()()(=cfbfaf, 所以,存在),(ba,使得0)(= f,即0)()(=+ cakacf. 故 )(fk = 11.设( )f x在0,1上可微，且(0)0f=. 1 |( )|( )| 2 fxf x。证明：在0,1上，( )0f x . 证明：由拉格朗日中值 定理，有 1 ( )( )(0)( )f xf xfxf =， 1 0 x。由于 1 |( )|( )| 2 fxf x，得到 1 11 |( )|( )|( )| 22 fxf xx f =. 作者：闫浩作者：闫浩 2011 年年 9 月月 page 7 of 12 在 1 0,上在用拉格朗日中值定理 1112 ( )()(0)()ffff=， 21 0.在, m x 上运用拉格朗日中值定理，得到 ( )()( )()()f xf mfxmf mxm=+， 因此lim( ) x f x + = +. 14 设 函 数)(xf二 阶 可 导 ， 若0)( f， 试 证 存 在ba,满 足ba f，于是为)(xf的一个极小值点，所以存在 21 xx， 不妨假设)()( 21 xfxf，根据连续函数的介值定理，存在),( 23 xx，使得 )()( 13 xfxf= 取 31, xbxa=，则ba = fg， 所以存在ba,使得 0 )()( = ab agbg ， 即 0 )()()()( = + ab afafbfbf 故 )( )()( f ab afbf = 15求极限 （1） ) 1( 2sin 2 1 cos1 lim 2 2 2 0 x x ex xxx ； （2） x xx x 1 0 sin lim + ； （3） xx xx x x ln1 lim 1 + ； （4） nm x x n x m 11 lim 1 解 （1） （罗必达法则、等价无穷小代换） 1 x 3 x 2 x 作者：闫浩作者：闫浩 2011 年年 9 月月 page 9 of 12 。 3 1 3 sin lim cossin lim )cos(sinsin lim ) 1( 2sin 2 1 cos1 lim 2 0 3 0 4 0 2 2 0 2 = = = x xx x xxx x xxxx ex xxx xx x x x （2）解法 1： （重要极限，微分中值定理，等价无穷小代换） 。1 sin 1lim sin 1lim sin 1lim sin lim 0 ) 2 1 ( sin 0 1 )1(cos sin 0 1sin sin 0 1 0 = += += += + + e x xx x xx x xx x x xxx x x xxx x x xx xx xx x x x x 由于x0，所以10,0，证明 ab ba 解 （函数单调性） 当eab时， b b a a baabba ab lnln lnln 令 x x xf ln )(=，则 )(0 ln1 )( 2 ex x x xf时，有 b b a alnln ， 即 ab ba 注 本题构造辅助函数 )(lnln)(eaxxaaxxf=也可 17已知函数3 )1 ( )( 2 3 + + = x x xf，求： （1）函数的增减区间及极值； （2）函数的凹凸区间及拐点； （3）函数图形的渐近线 解 函数的定义域为), 1() 1,(+u 43 2 )1 ( 6 )(, )1 ( )3( )( x x xf x xx xf + = + + =， 作者：闫浩作者：闫浩 2011 年年 9 月月 page 11 of 12 由0)(= x f得 3, 0=xx， 由0)(= x f得 0=x 所以： （1）函数的单增区间为), 1(),3,(+，单减区间为) 1, 3(；极大值为 4 15 ) 3(=f （2）函数的凹区间为)0 , 1(),1,(，凸区间为), 0( +；拐点为0=x （3）因为= )(lim 1 xf x ，所以1=x是3 )1 ( 2 3 + + = x x y的一条垂直渐近线； 又由于1)(lim, 1 )( lim= xxf x xf xx ，故1+= xy是3 )1 ( 2 3 + + = x x y的一条斜渐近 线 18求椭圆1 2 2 2 2 =+ b y a x 上的点p，使得过此点引切线与坐标轴构成的三角形的面积最小 解 （导数的几何意义，函数的最值） 根据对称性，只考虑点p位于第一象限中的情形 设点p的坐标为),( ts，则椭圆1 2 2 2 2 =+ b y a x 在点p的切线方程为 )( 2 2 sx ta sb ty=， 此切线在两坐标轴上的截距分别为 s a x 2 0 =， t b y 2 0 = 此切线与两坐标轴围成的三角形面积为 )0( 2 2 22 322 bt tbt ab s