（光学工程专业论文）周期结构成像理论及其应用研究.pdf

摘要 由于在光学、电子衍射和电子显微学、光通讯等方面的重要性，近 年来，周期结构衍射成像受到广泛关注，成为当前研究的热点之一。论 文将衍射过程看成是光子与衍射物之间的互作用过程，从光子学角度重 新审视了衍射现象并对超声光栅、环孔衍射等一般光学问题，运用光子 学方法，简洁地给出了与现行文献相同的结论。 在分析现有周期结构衍射成像结果的基础上，提出光子对周期结构 信息具有记录和再现的作用，并根据这一假设对t a l b o t 效应进行了深 入的研究，引入调节参数。并指出它在正、偏自成像中的作用。 论文还运用光子学方法对莫尔效应进行了综合研究，指出普通云纹 是干涉云纹的衍射极限，这样，就将一般云纹技术和干涉云纹技术原理 建立在一个统一的框架内，更便于理解。此外，在对周期结构的塔尔博 特效应研究中，论文利用维纳分布函数，在空一频域内对周期结构衍射 进行了研究，得到了塔尔博特( t a l b o t ) 效应的相关结论。 为拓展周期结构成像的应用领域，论文在分析了信号与系统关系的 基础上，提出将扩大系统综合孔径实现超分辨成像方法延伸到亚波长 段，用t a l b o t 效应和莫尔条纹技术实现亚波长周期结构超分辨成像。 这种方法的要点是：光经过透镜准直后照射在亚波长周期结构( 如 r o n c h i 光栅) 上，在亚波长周期结构物后面，满足塔尔博特公式的位 置上，形成t a l b o t 像，在该像位置放置一个编码器，将产生莫尔条纹， 由莫尔原理可知，莫尔条纹的空间周期可能大于原亚波长周期结构物光 栅的周期，以至于衍射波可通过光学系统传播。再经过恰当的解码，滤 掉编码波，就会再现原亚波长周期物的空间信息，取得用传统光学仪器 对一维亚波长周期结构的成像，于是用这种新颖的成像技术，便实现了 对亚波长周期物的超分辨。一维亚波长周期结构的超分辨结果已经验证 了设计的可行性，论文还给出了一般二维亚波长周期结构超分辨的实验 设计。 关键词：成像；莫尔技术；周期结构；亚波长；塔尔博特效应；光栅； 光子学；编码；解码；带宽积；维纳分布 中图分类号：t n 9 1 1 7 3 ；t n 9 1 1 7 4 ：t n 2 4 8 1 ；0 4 3 8 2 博士论文 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，s i n c et h ei m p o r t a n c eo fi ti nt h ef i e l d so fo p t i c s ， e l e c t r o n i cd i f f r a c t i o n ，e l e c t r o n i cm i c r o s c o p ya n do p t i c a lc o m m u n i c a t i o n ， o n e sp a yt h e i ra t t e n t i o n st od i f f r a c t i v ec h a r a c t e r i s t i co fp e r i o d i cs t r u c t u r e d i f f r a c t i v ec h a r a c t e r i s t i co fp e r i o do b j e c t sw e r ea n a l y z e da n dg e n e r a l i z e d b yt h ep h o t o n i c sm e t h o d t h ep h o t o n i cf r a u n h o f e rd i f f r a c t i o na taa n n u l a r a p e r t u r eo rau l t r a s o n i cg r a t i n gb ee x p l a i n e df r o mp r o b a b i l i t yw a v ei n q u a n t u mt h e o r y ，t h es a m ec o n c l u s i o nw i t hh u y g e n s f r e s n e lp r i n c i p l eo r f o u r i e rt r a n s f o r mb eo b t a i n e d t a l b o te f f e c ti se x p l a i n e dw i t ht h ev i e w p o i n to fp h o t o n i e s t h es a m e c o n c l u s i o n st op o s i t i v es e l f - i m a g i n g ，n e g a t i v es e l f - i m a g i n ga n df r a c t i o n i m a g i n gw i t hh u y g e n s f r e s n e lp r i n c i p l eo rf o u r i e rt r a n s f o r mb eo b t a i n e d t h ea d j u s t a b l ec o e f f i c i e n tqf o rt a l b o t e f f e c ti sa d v a n c e d ，i t sa c t i o n sf o r p o s i t i v es e l f i m a g i n g ，n e g a t i v es e l f - i m a g i n ga n df r a c t i o ni m a g i n g ，a sw e l l a st h ep h a s er e l a t i o n sb e t w e e nt h eo b j e c ta n dt h ei m a g eb ed i s c u s s e d t h es e l f - i m a g i n gp r o c e s si sd i s c u s s e di n s p a t i a l f r e q u e n c yd o m a i n w i t hw i g n e rt r a n s f o r mf u n c t i o n u n i f i e de x p l a n a t i o no ft h ee f f e c t sd u et o t a l b o ta n dm o n t g o m e r ye f f e c ti sp r e s e n t e di ns p a t i a l f r e q u e n c yd o m a i n d i f f r a c t i v ec h a r a c t e r i s t i co fp e r i o d i cs t r u c t u r eo b j e c t sw e r ea n a l y z e d a n dg e n e r a l i z e db yt h ep r i n c i p l eo ft h er e c o r d a t i o na n dr e a p p e a r a n c ef o r s p a t i a li n f o r m a t i o no fo b j c o tb yp h o t o n s o r d i n a r ym o l t 6e f f e c tc a nb e r e g a r d e da st h el i m i to ft h ec o h e r e n tm o i r 6e f f e c t a tt h es a m et i m e ，t h e d i r e c t i o no fm o i r ds p a t i a lf r e q u e n c y ，s p a t i a lp e r i o do fm o i r df r i n g ea n d t h es t e po ft h em e a s u r i n gg r a t i n gb eg i v e nw i t ht h em e t h o du s e d b e i n gi t s s i m p l i c i t yi nm a t h e m a t i c s ，t h em e t h o ds u g g e s t e di se a s yt ou s ew i d e l y ， e s p e c i a l l yi nt h ef i e l d so fi n f o r m a t i o n w h e nap e r i o d i co b j e e tw i t hs u b w a v e l e n g t hs t r u c t u r eb ei l l u m i n a t e d b y n o r m a li n c i d e n tm o n o c h r o m a t i cl i g h t - b e a m ，e v a n e s c e n tw a v e sc a n o c c u r b i n ga t t e n u a t e dq u i c k l y ，t h eo b j e c tw i t hs u b w a v e l e n g t hs t r u c t u r e c a nn o tb e i m a g e db yo r d i n a r ym e t h o d h o w e v e r ，o n e d i m e n s i o n a l p e r i o d i co b j e c tw i t hs u b l a m b d as t r u c t u r e c a nb ec o r d e db yag r a t i n gs o t h a th o m o g e n e o u sw a v e sc a nb eo b t a i n e d p a s s i n gt h r o u g ht h eo p t i c s n 博士论文 周期结构成像理论及其应用研究 s y s t e md e s i g n e ds p e c i a l l y ，t h ew e l l - d i s t r i b u t e dw a v e sw i t he v a n e s c e n t w a v e sb ee n l a r g e ds ot h a ti tc a nb er e c o g n i z e db yc c dc a m e r a a f t e rt h a t ， t h eh o m o g e n e o u sw a v e sw i t he v a n e s c e n tw a v e sb ed e c o d e db yad e c o d i n g g r a t i n g b yd e c o d i n g ，t h ei n f o r m a t i o no fe n c o d i n gg r a t i n gi sf i l t e r e d ，t h e i m a g eo ft h eo b j e c tw i t hs u b w a v e l e n g t hs t r u c t u r ec a nb er e a p p e a r e di nt h e i m a g ep l a n e t h ei m a g i n gt e c h n i q u eb a s e do nt h ec o n v e n t i o n a lo p t i c s s e t u pi san o v e lt e c h n i q u e ，b yt h a t ，s u p e r r e s o l u t i o ni m a g eo fo b j e c tw i t h s u b w a v e l e n g t hs t r u c t u r e c a nb eo b t a i n e d t h e o r e t i c a la n a l y s i so ft h e i m a g i n gp r o c e s sf o rt h eo b j e c tw i t hs u b w a v e l e n g t hs t r u c t u r eb eg i v e nw e l l b yp h o t o n i c sm e t h o d i tb ed e s i g n e dt h a tw h e r et h ee n c o d i n gg r a t i n ga n d t h ed e c o d i n gg r a t i n ga r ep l a c e d ，s od o e sh o wt oc h o o s et h et i i t a n g l e s b e t w e e nt h et w og r a t i n g sa n dt h eo b je c t a tt h es a m et i m e ，i tb ed i s c u s s e d t h a tt h el o wp a s sf i l t e r su s e di nt h en o v e lt e c h n i q u ea l s o t h er e s u l t so f e x p e r i m e n td e m o n s t r a t et h a tt h et h e o r yw h i c hu s e di sv a l i d t h e o r e t i c a l a n a l y s i s a n d e x p e r i m e n t a ld e s i g n f o rt h e i m a g i n gp r o c e s s o f t w o - d i m e n s i o n a lo b j e c tw i t hs u b w a v e l e n g t hs t r u c t u r eb ea l s og i v e nb y p h o t o n i c sm e t h o d k e y w o r d s ：i m a g i n g ；m o i r 6t e c h n o l o g y ；p e r i o d i cs t r u c t u r e ；s u b w a v e l e n g t h ； t a l b o te f f e c t ；g r a t i n g ；p h o t o n i cm e t h o d ；e n c o d i n g ；d e c o d i n g ；b a n d w i d t h p r o d u c t ；w i g n e rd i s t r i b u t i o n c l c c ：t n 9 1 1 7 3 ；t n 9 1 1 7 4 ：t n 2 4 8 1 ：0 4 3 8 2 1 1 1 声明尸明 本学位论文是我在导师指导下所取得的科研成果，尽我所知。在该 文写作过程中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表 或者在正式场合已经公布过的研究成果，也不包含我曾经为获得任何教 育机构的学位或学历而使用过的材料。与我在一起工作的同事对本学位 论文作出的贡献均己在论文中作了明确的说明。 研究生签名：叠找鍪么曰# - 7 月7 日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或 者上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或者机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对于 保密论文，按保密的有关规定处理。 研究生签名：筮盛x 唧年7 月7 日 博士论文周期绪构成像理论及其应用研究 1 周期结构成像与发展现状 1 1 塔尔博特效应简介 1 8 3 6 年，塔尔博特( t a l b o t 发现了一个有趣的现象，用一单色平 面波照明具有周期结构的透明物体( 例如龙基r o n c h i 光栅) 时，在物 体后面周期性距离的平面上，形成与该物相似的条纹或波带图样。后 来，人们把这种因物体横向周期结构所产生的衍射场在纵向所表现出的 周期现象称为塔尔博特效应，又称自成像现象咄1 。 假设某一维周期结构物的振幅透过率函数为 f ( 工) = 疋e x p ( i 2 j r n x d ) ( 1 1 ) 当用单位振幅的平面波垂直照明该物时，紧靠物后面的光场分布即为 f ( 力，将该光场看成空间频率取离散值( n d ，0 ) 的无穷多个平面波的线性 叠加，研究与该物相距z 的观察平面上光场分布，显然是一个菲涅尔衍 射问题。 按菲涅尔衍射公式，观察面上的光场可表为 u o ( ：c o ，虬) = e i k z t ( x o ) p e x p ( i ) ( 1 2 ) t a zz ： 符号圆表示卷积运算。上式是卷积运算的空域形式，将其转换为频域形 式更便于分析，为此，对上式作傅里叶变换并运用卷积定理得 f u o ( x o ，) = 扩f f f e x p ( i k x 2 ) ( 1 3 ) 其中， ， f ( 对) = 以6 ( 六一予 ( 1 4 ) f e x p ( i k 工2 ) ) = 压ze x p ( i n 4 ) e x p ( 一f 矶彩) ( 1 5 ) 以上用到了编码函数e x p ( i n x 2 ) 的傅里叶变换 f e x p ( d r x 2 ) = e x p ( i ，r 4 ) e x p ( 一切r ) ( 1 6 ) 于是， ，)=若昙扩exp【一f矾z哆)2】重以占(正一尹nfuo(xo n 于是， ，) ) = 善乒扩e x p 【一f 矾z e ) 2 】以占( 正一， f 、，l z“ “ 说明频率为( n d , o ) 的平面波分量，在观察面上仅引入相移 e x p 一i 砝z ( n d ) 2 e x p ( i k z ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) l 周期结构成像与发展现状博士论文 当距离满足条件 z ：n g t ：2 n d 2 ( 1 9 ) 旯 行为整数时，e x p 一i 厩z ( n d ) 2 】- 1 ，不同空频( n l d ，o ) 在观察平面上引入的 相移除一个常数园子外，都是2 ：r 的整数倍，在该特殊情况下， f u o ( x o ，) = = 岳b “p “妻以万( 正一三) ( 1 1 0 ) f 、，a , g a 对上式作逆傅里叶变换得光场复振幅分布为 to(uo(xo，yo)=篇扩圭们p(i2：r号。xo)tq z= 爰t x t e ( 1 ，= 等p “以e x= 每p “如) ( 1 1 1 ” l z 强度分布为 ? ( ，y o ) = _ 1 f ( x ) 1 2 ( 1 12 ) 若不计无关紧要的常数因子，则像强度分布与物相同。于是，在 z t = 2 d 2 2 的整数倍距离上可以观察剑物体的像，这就是塔尔博特效应， 将磊称为塔尔博特距离。例如：物体是躅期d = 0 1 m m 的一维光栅，照明 光波长五= 5 1 0 一m m ，可算出z ，= 4 0 r a m ，在z = 4 0 m m ，8 0 m r n ，1 2 0 m m 位置上 可观察到原周期结构的再现“”1 。 研究表明在塔尔博特效应中除重构像外，还可观察到许多类似 于原周期结构的像形“1 ，通常认为这些像是菲涅尔衍射的结果，称那些 属于原周期结构再现的特殊菲涅尔像为傅单叶像，而其它像则被称为菲 涅尔像。当然，最初观察到的也只是龙基光栅或超声波光栅等一维简单 情况，随着理论与实验方面的研究迸展，现在，已经观察到更为复杂的 周期结构衍射”像。 瑞利( l o r dr a y l e i g h ) 首先对周期为d 的一维光栅进行了研究，给 出了( 1 9 ) 式表示的塔尔博特距离公式，式中旯为照射光波长而厅为整 数”。 下面将给出塔尔博特效应的理论与实验研究综述。 1 。2 塔尔博特效应的理论 1 2 1 平面物自成像的波带条件 将透过率函数为t ( x ，y ) 的物体置于z = 0 的平面，用波长为a 的相干 平面波沿着z 方向照明该物a ，y ) 用其傅晕叶变换，( 六， ) 可表示为 博士论文周期结构成像理论及其应用研究 f ( 墨y ) = je ，f y ) e x p t i 2 7 r ( f , x + f y y ) d f d f y ( 1 13 ) 其中正和六分别表示在x 和y 方向的空自j 频率。根据傅里叶变换角谱在 空间传播的理论可得，在z = z 平面上光场t ( x ，j ，z ) 的表达式为 l 协月力= ，五) e x p 瞄酸1 一名鬈一磐彩妒】铡障2 万( 锈+ 够掰彬 ( 】1 4 ) 址+ 髓y p 上式适合于( 力+ ) 托“形的情形，e p 不包含隐失波情况。通常情况下 仅讨论菲涅尔近似情况，从频域看，若菲涅尔近似成立，要求 ( + ) 尼“形 ( 1 1 5 ) 充分得到满足，以至于可认为， e x p k z o 一五z 一磐刀】兰嘲) 【惫( 1 一；a 2 z 一；彩) 】 ( 1 16 ) 而光波的零频成分一般不为零，否则便无净能量流动，设对所有零频 e x p ( i 也) = e x p ( i z t l t ) ( 1 17 ) 为一常数，若要求光波在z = z 的平面恢复原有物分布，则对所有正和 工，由( 2 x z 2 ) ( 2 2 毒2 2 ) = 2 万m 要求，必有 = ( 2 2 z ) “2 m “2 ( 1 18 ) 其中m 是取决于旧的非负整数，表示绝对值为旧的成分传播z 距离后， 相对于零频经历了多少个2 石的位相变化。( 1 1 8 ) 就是m o n t g o m e r y 导 出的关于自成像的波带条件，它与菲涅尔波带片波带半径具有类似的表 达形式。不过，此处的蚓代表物空闻频率的绝对值，且m = 0 也是允许 的。将( 1 1 8 ) 用菲涅尔一狄拉克取样式来表达，即 i 毒1 - - ( 2 2 z ) “2 v s ( v - - m ”2 ) ( 1 1 9 ) m - o i 2 ( 1 1 9 ) 式表明，若要出现自成像，物的任一空间频率的绝对值必须在 以上取样式规定的值上。实际上，( 1 1 8 ) 式就是自成像的充要条件。 但应注意的是，该式并不要求吲出现在m = o ，1 2 所有波带上。波带条 件还说明了蚓具有离散分布。可以想到的是，具有周期分布的光场较容 易满足以上离散分布条件“。同1 1 节比较可以看出，不同研究方法 给出的周期结构像，其信息稍有不同。那么，哪些周期结构才能产生自 成像呢? 1 2 2 平面物自成像位置与像形结构 设在z = o 平面有二维周期物u ( r ) ，r 为位置矢量，d 。，d 2 为矢量周 l 周期结构成像与发展现状博士论文 期( 见图1 1 ) ，表d ，一h 。d l + 以2 d 2 ，其中n l 和n 2 为整数，有 u ( r ) 一u ( r + d ) ( 1 2 0 ) 对所有的r ，甩。和厅：成立。v ( r ) 的傅里叶展开式为 u ( r ) 一。e x p z , - r i ( r b ，。：) 】 ( 1 2 1 ) 其中，气，：为傅里叶系数，而 b j ，一n x b l + ”2 b 2 ( 1 2 2 ) 式中b 。和b z 为d 。，d 2 的倒易矢量，满足d 。b j 一屯( f ，一1 ，2 ) 关系。利用 角谱传播仅位相变化的概念及相关计算公式，可得在z = z 平面上的光 场函数为 【，( q ) 一只me x p i k z ( b i l t ：) 】e x p 2 z i ( r b i l ，) 】 ( 1 2 3 ) n l 。2 一 其中e x p i k z ( b 。 ) 1 代表与波数k 、b ：及z 有关的相因子。其显含形式不 。b 2 “ f i g l 1f e n o d i cv e c t o r so tt w od i m e n s i o n sa n dt h e i rl e v c t $ ev e c t o r s - 图1 1 二维周期矢量d l ，d 2 及其倒易矢量 难解出。参考( 1 1 6 ) 式，得到在所非负条件下，周期物自成像条件是 | b - l ，b ，i 一( 2 a z ) l 心臃“2 由于不同的l b 。i 对应于不同的m ，可将上式改写成为 l b ：i f f i ( 2 a z ) “2 眠，2 ( 1 2 4 ) m 。：为取决于和n 2 的非负整数。在给定条件下，若i b 。j 1 2 - ( 2 , l z ) m , ，。及 l b 0 ，。卜( 2 a z ) m o ，l ，则有 博士论文 周期结构成像理论及其应用研究 l b l + b 2 1 2 = 砰+ 霹+ 2 b i b 2 f f i 2 2 z m t o + 肼+ 2 j ，| l o m 2 0c o s ( b t a b 2 ) 1 ( 1 2 5 ) 为保证l b ，+ b ：i 也在某一波带上，上式括号内的数值为整数，当c o s ( b a b ：) 的值取0 或1 2 ，且l b | ：i b ：l 时，能保证i b 。+ b ：i 在某一波带上。简单代数 分析证明，当前述三者满足波带条件时，吩b ，、n l b ：及b ，+ n z b ：也必然 满足波带条件，从而保证在z = z 平面上出现自成像。所以矩形光栅和 六角形光栅作为周期结构衍射物，在适当的。值条件下一定出现自成 像，现今人们几乎全部采用这两种周期结构衍射物进行自成像及其应用 开发研究，也说明了这一点。 显然，一维周期结构光栅必定满足波带条件，设其周期为d ，根据 ( 1 2 4 ) 式，对空间频率n d 有( n d ) 2 = ( 2 1 2 z ) m 。，要使任意频率均满足 波带条 牛，只需选择挪。= 一2 即可，这时有 ：= 玉= 2 d 2 2( 1 2 6 ) 这就是瑞利首先导出并定义的塔尔博特长度。在塔尔博特长度4 整数倍 的平面位置处，也会出现自成像。对于矩形光栅，若x 、y 方向上的空 间周期分别为d ，= g p ，d y = 印，式中g 、h 各为正整数，且两者之间无 公约数，p 为一标准长度。取m ，。= 1 ，则在x 方向上的塔尔博特长度。l 。 为 毛o = 2 9 2 p 2 a ( i 2 7 ) 同理可求得y 方向上的塔尔博特长度z o 。为z o 。= 2 h 2 p 2 a ，而矩形光栅的 塔尔博特长度应为铂和气。的公倍数，即 厶= 2 9 2 h 2 p 2 2 ( 1 2 8 ) 例如方形光栅g = h = 1 ，d x = d 。= p ，有z t = 2 刃，a 。 1 2 3 点源照射下的塔尔博特效应 考虑一个点光源放在空间坐标( x ，y ，z ) = ( x o ，y o ，o ) 处，该点光源辐射的 球面波进入z 0 区域，取该区域内任一平面z = z o ，则该平面，光波的 复振幅可表为 “( x , y , z o ) = t ，瓜哥可丽霹 一愕瓜哥丽丽可 用傍轴近似可将上式简化为： “儿) ：上e x p ( f 等) e x p f 冬时+ ，) 气1 a 畈弓啊+ 露) 气】c x p 一了2 7 ( 碣+ y y o ) z o ： l ( 1 2 9 ) 5 1 周期结构成像与发展现状博士论文 ( 1 2 9 ) 式右侧的前三项是z 一0 平面上坐标原点处点光源辐射的球面波 近似，第四项是一个常数相因子，这一相因子依赖于点光源在x y 平 面的坐标，最后一项是与平面坐标x 和y 有关的一个位相因子。 假设有一周期结构物放在z - z o 的平面上，该物沿坐标x 和y 方向的 空间周期分别是d 。和d ，。从一般意义上讲，这个衍射物可能调节了光的 位相，也可能调节了光波的振幅或者兼而有之，其复振幅传递函数可以 表为 t ( x ，y ) = 4 。e x p i 2 口( m x d , ；+ n y l d ，】 ( 1 3 0 ) 当用上式乘以入射球面波前时，上式的每一个傅里叶分量都将产生一个 不同的衍射波前，由方程( 1 2 9 ) 可知，这些衍射波前好像是来自于z y 平面上的不同点( x 0 ，y 。) = ( 一州z 。a d x ，- n z o a d ，) ，每一点提供的位相因子为 e x p ( i ) = e x p - i z a ( x ：+ y g ) z o 】le x p - i z z o ) ( m 2 d ；+ 2 d ；) 】 ( 1 3 1 ) 由此可以看出，周期结构物的作用就是用一个周期性点源阵列取代了单 一的点源。在这里，周期性点源阵列中每一个点源的复振幅应该是 a m 。e x p ( ) 。在观测平面，每一个点源将产生一个球面波前，该球面波 前将满足( 1 2 9 ) 表达的规律，只是z 。将被+ 气取代。于是，可获得 下面的关系式 “似y ，z o + 气) 。! 一e x p 【f _ 2 v r + 训。吨 p + y 2 ) ( z o + 五) 】如唧【勘幢+ n 2 ，2 ) 】 磊+ 五 嚣 。 e x p i 矗& ( m 2 d ；+ 拄2 d y 2j z 0 2 ( z o + z 1 ) e x p i 2 z x ( m z o d x ) + y ( n z o d y ) l ( z o + z 1 ) ( 1 3 2 ) 上式前两个因子联系着曲率半径为z o + 乞的球面波前，可在讨论中忽略 其作用。如果定义放大系数为m - ( z 。+ z 。) z o ，可将上式的最后一个因子 简化为 e x p i 2 # x m ( m , i ) + y n ( m d ，) 】 ( 1 3 3 ) 这是一个伽，1 ) 级的平面波成分，其周期d 。和d 。已经被放大了m 倍。物 信息从位于z 0 的平面到位于+ 毛的观察平面传播过程中，除了放大因 子外，傅里叶基本函数并无变化，因此，( 1 3 2 ) 中的主要因子是位于 求和号内的前两个因子，可将其写成如下形式 e x p 一f 属( 小2 + 雄2 d ；) z o z l i ( z o + z 1 ) 卜e x p 一i l r a ( z l m ) ( m 2 d ；+ 弗2 d ；) 】( 1 3 4 ) 假设彩和d ：存在最小公倍数，即 肛d ；一，d j = d 2 ( 1 3 5 ) 博士论文 罔期结构成像理论及其应用研究 其中和v 都是整数，则方程( 1 3 4 ) 巾的位相因子可表达为 e x p 一f ，z a ( 五， 4 玎2 ) 】( 所2 + 胛2 v ) ( 1 3 6 ) 因拼2 + 撑2 ，是整数，若选择 匆= ：i = 2 x m d 2 a ( 1 3 7 ) 这里的茁表示整数，那么方程( 1 3 6 ) 对所有的( m ，拧) 取值将为l ，可将 其略去，在这种情况下，( 1 3 2 ) 式给出在观测平面所在位置的一个放 大图形，这实际上就是塔尔博特效应的本质所在。，如果令z b 寸o o ，则以 上讨论结果很容易被推广到平面波照明下的周期结构衍射成像问题中， 此时的放大因子为m = l 。 1 2 4 分数塔尔博特效应 分数傅罩叶变换概念是n a m i a s 1 首先提出的，后来由m c b r i d e 和 k e r r 把它发展成一个较为完整的数学理论“”，使其成为傅里叶变换的 全族。后来，l o h m a n n “在分析w ig n e r 函数的基础上建立了光学领域的 分数傅里叶变换，并给出了其光学实现的两种方案。m e n d l o v i c 和o z a k t a s “7 ”研究了分数傅罩叶变换的某些特性以及在光纤中的光学实现， 文献 1 9 2 2 报道了一些分数傅罩叶变换的应用。整数塔尔博特效应是 光栅在相干光照明下在自由空f b j 中某些特定的距离z 处自成像的现象， 分数塔尔博特效应( 或称分数塔尔博特自成像) 指物像发生在分数塔尔 博特距离上，如卸2 ，勺3 等位置，关于它的基本理论及应用的回顾可在 文献 2 3 中找到。本节介绍如何用分数傅晕叶变换，使光栅产生分数塔 尔博特像，或者说如何使分数傅里叶变换和分数塔尔博特自成像同时发 生，而这两种过程同时发生有一定的实用意义，利用这双重的分数变换 ( 自成像也可看作一种变换) 有助于一些光学系统的设计和分析也有助 于光路级联计算的简化，将分数傅里叶变换用于位相物体观察系统的光 学设计，得到的装置比波面成像剪切干涉系统简单，尺寸又小，而且还能 满足观察不同大小物体的要求“”2 。 1 2 4 1 分数塔尔博特效应和分数傅里叶变换 用某相干光照明光栅，在自由空间中距光栅某些特定距离的乎厩上 能出现一些光栅准确的塔尔博特像和更多的分数塔尔博特像，傅里叶光 学中，一块周期为d 。开口为口的龙基光栅可用下式表示 g ( x ，j ，) = 肝c ，( 妾) o e 占( x m d ) ( 1 - 3 8 ) 7 1 周期结构成像与发展现状博士论文 符号“o ”表示卷积。用单色平面波照明光栅，冥菲涅耳衍射场在光栅 后方自由空间中传播，在距光栅为z 的平面上，光强分布为“”1 y ) 1 2 = i 咖。e 砸胁2 忱) | 2 = | 俐( 言) p 砸：盘f 1 ) 1 2 ( 1 3 9 ) 这里略去了所有的常数因子。在距离 z ：旦一d 2 ( 1 4 0 ) b 九 处，如果a l f l 是一个整数，则l ( x ：a f 1 ) 是5 ( x r o d ) ，这时j ”( t y ) 1 2 就是 光栅g ( x ，y ) 的准确像；如果a 及都是大于1 的整数且a f l 是一个不 萱l ，一 口 i z l 厂 二单职一 ，i ( 工l f i 9 1 2f r a c t i o n a lf o u r i e r t r a n s f o r ms e t u p 图1 2 分数傅里叶变换装置 能再约分的分数，则方程式( 1 3 9 ) 表示的f u ( x ，y ) 1 2 将是光栅的分数塔尔 搏特像。这些分数塔尔博特像的周期为d 口，同时可能伴有一横向位移， 其详细论述可见文献 2 37 。光学分数傅里叶变换由l o h m a n n 给出，在图 1 2 中g o ( x o ) 是待变换的物体，蜀( 五) 表示其分数傅里叶变换。l o h m a n n 给出的分数傅里叶变换定义是 蜀( 五) = f 9 g o ( x o ) 】= i 岛( x o ) e x p i x ( x ；+ 彳) “a z 喀妒) 】e x p 卜，2 丌五t ，：s i n 妒i d x o ( 1 4 1 ) 这里z = f q ，是透镜焦距，q 表示s i n 妒，其中伊和分数p 是通过下式联 系在一起的，即 = p z 2 ( 1 4 2 ) 1 2 4 2 分数傅里叶变换产生分数塔尔博特效应 首先考虑单透镜系统的分数傅罩叶变换产生的分数塔尔博特效 8 博士论文周期结构成像理论爱其应用研究 应，分数傅里叶变换的定义为方程式( 1 4 1 ) ，整理后得光强分布为 i g , 0 b ) 1 2 = 忙。( x o ) e x p i 石( x o x 。c o s 妒) 2 舭脾妒) 1 2 ( 1 4 3 ) 若令 伪驴一互毛，。0 s 伊一毛 ( 1 4 4 ) 那么方程 1 4 3 ) 可重写为 i g ，“) 1 2 - | 【g o 魄) 唧缸) 舭乙) 1 2 ( 1 4 5 ) 比较方程( 1 4 5 ) 与方程( 1 4 3 ) 可知，它们在形式上是等效的。若粕( ) 是 一块周期为d 的龙基光栅，且 z 。竺生( 1 4 6 ) a 那么在观察平面礼上就会形成周期为d ，多的塔尔博特像。由于实际观察 平面是五，因而它还有一比例因子mi c o s t , ，所以像的实际周期为 c o s 础灌e 把方程( 1 4 4 ) 代入方程( 1 ，4 6 ) 并设分数塔尔博特数口芦- n ，则有 t g q j i n i d 2 a 丘 ( 1 4 7 ) 此式表示光学分数傅里叶变换产生分数塔尔博特像所要遵循的条件。 1 2 5m o n t g o m e r y 自成像理论与阵列照明器的提出 a w l o h m a n n 最先利用分数塔尔博特效应制作光学照明阵列拈” 剐，而采用菲涅尔一狄拉克取样实现无透镜阵列成像的则是k a l c s t y n s k i ， m o n t g o m e r y 等人所做的工作印”。 研究中，在z = o 平面放置透过率函数为f ，y o ) 的透明片，用z 方 向传播的相干平行光照射该透明片，在透明片的夫琅禾费衍射区z 一，平 面放置一个透过率函数为f ，o ，) 的矩形光栅作为取样滤波器。光波再经 过距离口的菲涅尔衍射后，到达观察平面z + q 。研究目的是：( 1 ) 证明 存在一些q 值，在z 1 “孽平面上出现原物阵列像；( 2 ) 给出口的表达式； ( 3 ) 给出阵列像的解析表达式。经夫琅禾费衍射后，在取样光栅前表面光 场为 ，“) ，f ) 一叫) 4 e x p ( i k ) e x p 秀 2 + ) 2 ) 忆畴，寺) ( 1 4 8 ) 其中r o e ，去) 代表f ( ，y o ) 的傅里叶变换。 f f 假设取样光橱透过率为 9 1 周期结构成像与发展现状 博士论文 t f ( x , y ) - 淝力。去倒砖( 未，旁 ( 1 4 ” 其中t c ( x ，j ，) 为矩形光栅基本单元的透过率函数，d 。、d 。分别代表光栅在 x 、y 方向上的周期，固表示卷积运算。在取样光栅后表面的光场为 u + ( x ，y ，) = u 一( x ，y ，f ) t f ( x ，j ，) ( 1 5 0 ) 在观察平面z = l + q ，光场u ( 而，y 。，“g ) 为 ( ，( x l , y p l + q ) = ! 苎旦雩凳t 2 q 盟e x p 【鸶( 奸+ 衍) 】堙e x p 秀( x 2 + j ，2 脶( 嘉，去a i 以薯力 2 痒。： “ f 。矗c 。研6 ( 言，言) e x p 尝q ( x 2 + y 2 ) 】e x p 一百i 2 r c ( q + 例出砂 ( 1 5 1 ) 引入约亿长度 q = l q ( t + q ) ( 1 5 2 ) 并表( 1 5 1 ) 式的积分值为i ，则 ，2 h e x 眯丌面x 2 + 苏) 】) 。f 瓦( 嘉，寺) ) ，纵训啪f 去m 6 ( x ，考) ) ( 1 5 3 ) 式中傅罩叶变换频率为正= 五1 2 q ，工= 乃i ：c q ，各傅里叶变换式分别为 f e x p 【f 丌( 刍十刍) 】) = i q 2 e x p _ 衙【导( 群+ 枷) ( 1 5 4 ) 隅( 砉，扣刮2 r ( 等，学 5 5 f t 。”) = 瓦口，丛) ， ( 1 5 6 ) g q f t 杏b ( x 2 瓦3 , 2 q z 墨；c 一等堋一等， s ， 将这些变换结果代入( 1 5 3 ) 式，忽略无关紧要的常数因子，运用卷积 的交换率、结合律、函数- q 占函数的乘积、卷积运算等规律可得 k 差夕柑防暑酝一等灿c m 一雩n 瓦c 薏，言归碍，争 可以看出，若，代表t ( x 。，y o ) 的阵列像，求和符号所表示的必是一梳状函 数，以下计算证明，只有当t c ( m d ，n d y ) 为常数才可能，由此得出结论： 一般而言用本节描述的方法不可能得到原物的阵列像，侣旱若取样光栅 1 0 博士论文周期结构成像理论及其应用研究 设计得当，使t a m l d ；，h i d 。) 是m 和门的缓变函数，即取样光栅透过率函 数本身十分接近梳状函数，因而可将，以，n l d y ) 提出求和号2 _ 夕1 - ，则 有可能形成相当清晰的原物阵列像。假设这种近似处理条件是成立的， 于是( 1 5 8 ) 式求和符号代表的量s u m 变为 s u m 。e 埘一学c # + 卯刀差 唧疽一z 石譬葛+ 善刀c x 小z 石詈c 薏玉+ 毒m m ， 记 丝2r 生d 2 , + 筹) = ( 1 5 9 ) 而k 。是依赖于m 、糟的非负整数，于是s u m 求和号中的第一因子将消 失，从而得到 。墨喇加詈秀一+ 万1 , 1 咒h = 砌c 爱，雾，= 警。量配一参嘁，月一丢鸭， 这样，在t a m d x ，n d 。) 非常光滑的情况下，( 1 5 9 ) 式求和符号果然代表 原物与一梳