（热能工程专业论文）带源汇点的网格上完全非对称简单排它过程的研究.pdf

摘要 摘要 非对称简单排它过程( a s e p ) 是描述粒子随机行走且粒子间具有硬核排斥作 用的一种网格模型。由于该模型具有丰富的动力学特性及相行为，近年来受到广 泛研究，并逐渐成为研究化学、物理和生物领域中相关问题的重要工具。例如， 它被用来解释凝胶体电泳、表面生长、生物聚合以及蛋白质合成等现象的动力学 机理，该模型还被成功引入到交通流的模拟中。 本文中我们首先研究了在一条网格分成两条平行网格这样的网格设置上的 完全非对称简单排它过程( t a s e p ) 模型，这种带分岔点的结构在车辆或者马达蛋 白的运动中很常见。在分岔点，粒子( 车辆或马达蛋白) 以相同的概率r 2 任选这 两条平行网格中的一条跳入并在其上继续运动。r ( r 1 ) 可以理解为：( 1 ) 驾驶员 在分岔口因为要考虑选择走哪一条路而可能会放慢速度行驶；( 2 ) 马达蛋白在微 管中类似于分岔1 3 的位置可能受到某些力的阻碍而导致的减速效应。通过引入等 效的进出口概率，模型可视为三个已知道准确解的单条网格上的t a s e p 模型的耦 合。我们采用平均场近似和蒙特卡洛方法从理论解析和数值模拟两个角度得到了 系统的相图以及稳态相的密度分布。我们发现，相图的结构和，有关。，存在一 个临界值= 2 一2 ，当由， 变到， 乞a n d ， 0 ) 以概率厂降低1 ： 形= m a x ( r , 一1 ，0 ) ，对应于由各种不确定因素( 如路面状况不好、驾驶员的不同心 态等等) 造成的车辆减速。 第四阶段：第，辆车以获得的速度前进，即从位置x ，前进到x ，+ k 。 n s 模型虽然具有十分简单的形式，但却可以模拟出一些基本的交通现象。 如低密度情况下的自由流，高密度情况下的拥挤交通，拥挤交通中有自发形成在 阻塞，整个系统是阻塞区和自由流区共存，即走走停停现象。 日本学者f u k u i 和i s h i b a s h i 在1 9 9 6 年提出了一个新的一维交通流模型( f i 模 型) 3 4 1 ，f i 模型将n s 模型的第一阶段( 1 p 力n 速阶段) 修改为：若第辆车的速度l 尚未达到最大速度m ，不论原速度是多少则可以直接增加到最大速度m ；第三 阶段( 随机慢化阶段) 修改为：获得最大速度圪。= m 的车以概率厂慢化为次最大 速度肘一1 ，其他未达到最大速度的车则保持原速度不可慢化。 9 第1 章绪论 若在t a s e p 模型中引入慢启动规则就可以得到t t 模型 3 5 1 ，扩展到二维规 则网格上则可得到描述二维交通流的b m l 模型 3 6 】。改变t a s e p 模型的演化规 则和网格结构还可以得到很多不同的模型，以考虑真实交通条件下的多种复杂因 素和各种效应。 尽管n s 模型、f i 模型等较之t a s e p 模型，能模拟更实际的交通状况，但 难以对其进行数学解析，t a s e p 模型却可以通过矩阵乘积法( m a t r i xp r o d u c t a n s a t z ，m p a ) 、b e t h ea n s a t z 方法求得其精确解，应用于交通可以从数学角度加 深对交通流中相变等现象的理解。此外，a s e p 模型作为一种典型的自驱远离平 衡态多体系统，能模拟得到维平衡系统所不具备的，丰富多彩的合作现象，如 边界条件诱导相变、非平衡态相变、激波、自发对称破缺现象等等 3 7 4 2 ，是研 究非平衡态统计力学的很好的工具。 a s e p 模型除了在蛋白质合成、马达蛋白的运动、交通流这几个领域的应用， 还可以用来模拟表面生长【4 3 ，4 4 】，凝胶体电泳( g e le l e c t r o p h o r e s i s ) 4 5 ，重介质 ( d e n s em e d i a ) 中的聚合行为 4 6 1 ，孔隙输运 4 7 等。a s e p 模型能引起众多学者的 研究兴趣，除了上述应用领域外，还因为a s e p 模型是研究非平衡系统的一个很 好的模型，对于理解非平衡过程的动力学机制有着重要的意义，促进了统计物理、 流体力学、非线性动力学、应用数学、交通工程学等多学科的交叉和发展。因此 对a s e p 模型的研究，不仅具有一定的工程应用价值，还有其深远的科学意义。 1 2a s e p 模型简介 a s e p ( a s y m m e t r i cs i m p l ee x c l u s i o np r o c e s s ) 模型刻画的是具有硬核排斥作 用的简单一维格气系统。考虑一个由三个格点从左至右依次连接而成的一维链， 格点f ( 1 i s 三) 或为空或被一个粒子占据。所谓“排它( e x c l u s i o n ) ，指由于粒子 间具有硬核排斥作用，每个格点最多被一个粒子占据，否则为空。在每个时间步， 每个粒子要么以恒定的概率p 尝试跳跃到其右边的相邻格点，要么以概率 q = 1 一p 尝试跳跃到其左边的相邻格点，粒子每一次的跳跃尝试只有当其目标格 点为空时才会真正实现。所谓“非对称( a s y m m e t r i c ) ”，指粒子向左跳与向右跳的 概率不等，即p q 。当p = q 时，称为对称简单排它过程( s y m m e t r i cs i m p l e e x c l u s i o np r o c e s s ，缩写为s s e p ) 。当p = 1 或q = 1 时，此时称为完全非对称排它 过程( t o t a l l y a s y m m e t r i cs i m p l ee x c l u s i o np r o c e s s ，缩写为t a s e p ) ，1 1 节中的核 糖体在信使r n a 上的运动，驱动蛋白沿微管的运动以及1 8 4 模型都是用t a s e p 来研究的。 模型中可采用周期性边界条件( 如图1 5 0 ) 所示) ，粒子从最后一个格点跳出 l o 第1 章绪论 后又重新回到第一个格点，粒子数守恒。开放性的边界条件( 如图1 5 ( b ) 所示) ， 在链的最左端，如果没有粒子占据，以概率口从外界注入一粒子；在链的最右端， 如果有粒子占据，则粒子以概率跳离格点。下文中如没有特殊说明，都是讨论 的p = 1 时的t a s e p 模型。 1 2 1 模型的更新规则 模型的更新规则有i n 种 4 8 1 ，随机更新( r a n d o m s e q u e n t i a lu p d a t e ) ，顺序更新 ( o r d e r e d s e q u e n t i a lu p d a t e ) ，局部并行更新( s u b l a t t i c e - p a r a l l e lu p d a t e ) ，全局并行更 新( p a r a l l e lu p d a t e ) 。 ( a ) qp 1l ( b ) 图1 5a s e p 模型的示意图( a ) 周期性边界条件下：( b ) 开边界条件下。 随机更新：每个时间步随机选取一个格点f ，若1 f 三，如果格点上有粒子 占据且右边格点为空，则粒子向前跳一格：若扛l ，且格点为空，则以概率口从 外界注入一粒子；若f = l ，且格点上有粒子占据，则粒子以概率跳离格点。 顺序更新：首先考虑位于格子最右边的第三个格点，如果该格点被一个粒子 占据，则该粒子以概率跳出系统；然后考虑第三一1 个格点，如果该格点被一个 粒子占据，则该粒子尝试跳跃到第三个格点，其中粒子的每次跳跃都只有当其目 标格点为空位时才能实现；接下来用同样的规则考虑第一2 个格点，第三一3 个 格点直到考虑完第二个格点；对于位于格子最左边第一个格点，如果有粒子占 据，则该粒子跳到第二个格点；如果第一个格点为空，一个粒子以概率口从外界 第1 章绪论 跳入系统，在经过一次顺序更新后，系统经历了其演化过程的一个时间步。当然， 也可以首先考虑第一个格点，按上述规则演化直至最后一个格点，这种方向上的 变换对结果没有影响，因为在t a s e p 中，存在着“粒子一空格对称( p a r t i c l e h o l e s y m m e t r y ) ，即粒子从左到右的运动可以看做空格从右到左的运动。 局部并行更新：每个时间步可分为两步，如图1 6 所示，三为偶数，上半个 时步对奇数( 或偶数) 位置上的格点对( f ，i + 1 ) 进行更新，下半个时步则对偶数( 或 奇数) 位置上格点对( f ，f + 1 ) 进行更新。这种更新规则的一个优点是在用矩阵乘积 法( m a t r i xp r o d u c ta n s a t z ，m p a ) 进行解析时易于处理。 上半个时触忒卜l l l o 下擀时阂步n 厂、八n 下举个时阔步二一。l 一。三一一 l l 图1 6t a s e p 局部并行更新规则示意图 全局并行更新：在每个时间步同时对所有个格点进行更新。在交通流模型中， 通常采用这种规则。在这种规则下，粒子之间强烈的相互作用导致了格点占据状 态的复杂的空间和时间关联，因此数学上的解析十分复杂。 1 2 2 模型的演化方程 在a s e p 模型中人们普遍感兴趣的宏观性质是系统在稳态下的密度p 和流 量，。其中密度是指系统中格点被粒子占据的平均概率，而流量指的是在稳态时 粒子流入或流出系统中任一格点的平均概率。定义变量l 来表示第f 个格点的状 态，r i = 1 ( 0 ) 表示格点上有( 没有) 粒子占据。第i ( 1 i t i l 一 出 、 “” 坚； 一 o = 一f i 一， d t 。ll ( 1 2 ) ( 1 3 ) 第1 章绪论 其中口 表示第一个格点上为空时有粒子注入时的概率； 表 示第三个格点上有粒子占据时粒子跳出时的概率。 达到稳态时，d d t = 0 ，( 1 i l ) 。流量 j = 口 = = = = ( 1 4 ) = = 在方程( 1 1 ) 中涉及到 这样的量，而 的演化也遵循方程： 竿= 一 ( 1 5 ) 此式中又会涉及到 以及 这两个量，如果继续研究这两 个量的演化，将会涉及到更多的量，关联到更多点的状态。 在方程( 1 1 ) 中如果我们采用平均场( m e a nf i e l d ) 近似，忽略格点之间的相关 性，即让 = ，则方程( 1 1 ) 可化为： 警矾l ( 1 刊刊1 _ 肌) ( 1 6 ) 流量也可以表示为： ，= t z ( 1 一向) = 尼( 1 一辟+ 1 ) = 舰 ( 1 7 ) 式中p t 为第i ( 1 i l ) 个格点上粒子的密度。 1 2 3 模型的精确解 在开边界条件下采用随机更新规则时，文献4 9 中利用递推关系法( r e c u r s i o n r e l a t i o n s ) 计算了o c = 夕= 1 这种特殊情况下t a s e p 的密度和流量。文献5 0 中得 到了普适情况下任意口，( 0 口1 ，0 1 ) 下密度和流量的解。d e r r i d a 等 人首次将m p a 方法应用到求解t a s e p 模型 5 1 】，该方法还可以得到任意阶密度 相关函数的解析表达式。利用b e t h ea n s a t z 方法也可以求得t a s e p 中流量和密度 的精确的解析解 5 2 】。需要指出的是，m p a 方法与b e t h ea n s a t z 方法等只能应用 于求解相对简单的t a s e p 模型，对一些扩展的较复杂的t a s e p 模型，通常用平 均场方法 4 9 ，5 3 ，来得到近似解。 下面介绍t a s e p 在开边界条件下采用随机更新以及全局并行更新【5 4 5 7 】这 两种常用更新规则时的解。 在随机更新规则下，当入e l 概率口和出口概率取不同的值时，模型中呈现 出三个稳态相，如图1 6 所示，由o t 和口组成的相图被分为三个区域。 第1 章绪论 图1 6 开边界条件下采用随机更新规则时t a s e p 的相图 当口 1 2 ，口 时，粒子进入的概率比跳出的概率小，粒子在网格中比较 稀疏，系统处于低密度相( l o wd e n s i t y , 缩写为l d ) ，如图1 7 ( a ) 所示。此时系统 的状态由入1 2 1 决定，稳态时粒子流量和密度为： 厂= 5 ( 1 一口) ，p b 。肫：口，p l = 口，见= 塑掣 ( 1 8 ) p 式中岛啪为中间格点上的粒子的密度。 当 1 2 时，系统处于最大流量j ( 1 j ( m a x i m a lc u r r e n t ，缩写为m c ) ， 如图1 7 ( b ) 所示。稳态时粒子流量和密度为： = 孑1 ，= j 1 ，= 万1 j p b 。u , p l ，见= l 一击 ( 1 1 0 ) 2 孑 2 j ，2 万见- 1 一石 u 圳 当口= 1 一l p ， 1 4 i - p 时，系统处于m c 相，其中： ，：! 二型! 二翌 2 当 口， 1 一撕一p 时，系统处于h d 相，此时有： ，2 铎，= 而p - p 当口 ，口 1 一1 一p 时，系统处于l d 相，此时有： ，= 掣pm 此= 等 一a 。d 一岱 当p = 1 时，相图中m c 缩为一点，j ：1 2 仅在口= ：1 时取得。 ( 1 1 2 ) ( 1 1 4 ) aa 图1 8 开边界条件下采用全局并行更新规则时t a s e p 相图 5 8 】 ( a ) p = 1 时：( a ) p r c 变化n r ，：时，系统6 p ( m c ，l d ) 相完全转化为( h d ，l d ) 相。 在相边界上，我们利用域墙( d o m a i n w a u ) 理论计算了其密度分布，解析结果和模 拟的结果吻合得很好。 第三章中，我们研究了带“汇”点的网格上的t a s e p 模型。在两条平行的 网格汇合成一条网格的结构上，p r o n i n a 等研究了两平行网格上入口概率相同的 情况 1 0 0 ，我们在此基础上进行了扩展，研究了入1 2 1 概率不同这一更为常见的 情况，发现系统存在更为丰富的相。运用平均场分析及域墙( d o m a i nw a l l ) 理论等 得到的解析结果和m o n t e c a r l o 方法进行了模拟结果是一致的。 第四章中，总结了全文的工作并对后续的研究工作作了展望。 1 9 第2 章带分岔点的网格上t a s e p 模型的研究 第2 章带分岔点的网格上t a s e p 模型的研究 真正的道路通常是复杂的网络，在高速公路上通常会有两个或者多个方向的 分岔，甚至有更复杂的交错的道路。除了车辆之外，之前讨论的马达蛋白也不会 只在直线上移动，细胞内也有许多微管，马达蛋白其实是在网络上移动，也会遇 到马达蛋白的前进路线分岔的情况。 为了透过模型化手法研究这些粒子流动的特性，刚开始当然尽量从简单的情 况出发比较好。基于此，我们研究了一道分成两道这种带分岔点的简单道路上的 t a s e p 模型。 2 1 模型的规则 c h a i n 2 l 十1 3 l c h a i n 至h 图2 1 带分岔点的网格上t a s e p 模型的示意图 如图2 1 所示，网格中包含三条等长链：c h a i ni ，c h a i ni i ，c h a i ni i i ，分别 从格l ，三+ l ，2 三+ 1 到上，2 三，3 三。模型中采用了随机更新规则，在每个时 间步，随机选取一个格点f ( 1 f 密) ，演化规则如下： ( i ) 如果f = l ，即第一个格点被选中。如果没有粒子占据，以概率口注入一个 粒子；如果有粒子占据，且第二个格点为空，则以概率1 跳到第二个格点。 ( i i ) 如果1 i l ，即c h a i ni 的中间格点被选中。如果有粒子占据，且相邻的 i + i 格点上为空，则以概率1 跳到第i + 1 个格点。 ( i i i ) 女1 果f = l ，即分岔点被选中。如果有粒子占据，那么从c h a i ni i 和c h a i n i i i 中以相同的概率1 2 随机选择一条，假如c h a i ni i ( i i i ) 被选中，且格点 上+ 1 ( 2 z + 1 ) 为空，则粒子以概率，( ，1 ) 跳入格点三+ 1 ( 2 l + 1 ) 。这里， l 可以 理解为： ( 1 ) 驾驶员在分岔口可能会减速，以便观察前面路况，考虑选择走哪一条路； 第2 章带分岔点的网格上t a s e p 模型的研究 ( 2 ) 马达蛋白在微管中类似于分岔口的位置受到某些力的阻碍而减速。 ( i v ) 如果三+ l f 2 l ，即c h a i ni i 上的格点被选中，再从c h a i ni i 上随机选择 一个格点( 2 三+ 1 j 3 l ) ，以此来模拟两条路上都有粒子运动的情况。f 和j 按 以下规则更新： 如果f _ 2 l 或者j = 3 l ，即c h a i ni i 或c h a i ni l l 的出口位置被选中，且其上 有粒子占据，则粒子以概率跳出系统：如果工+ l f 2 l ( 2 l + 1 f 3 l ) ，即 除了出口位置之外的格点被选中，如果有粒子占据，且相邻的f + 1 ( ，+ 1 ) 上为 空，则以概率1 跳到第i + 1 ( j +