（应用数学专业论文）关于共振映射的正规形及其相关问题的研究讨论.pdf

j 一 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名盔盟妻日期望哞地臼 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名茎参婚师签名 摘要 摘要 本论文主要研究了映射在其双曲不动点附近的光滑正规形及其分类。主要分 为两部分：第一部分讨论在任意有限维空间，映射在其双曲不动点附近的c 1 等 价正规形及其c 1 等价分类：第二部分讨论了彤空间中，强1 共振映射在其双曲 不动点附近可以r 共轭等价于一个多项式正规形。 本论文的第一部分主要是在经典正规形理论的基础上，根据经典的p o i n c a r e d u l a c 正规形定理、c h e n 定理以及s a m o v o l 线性化定理，利用研究映射正规形的一 些方法和技巧，考虑映射在某一个等价关系下的模自由正规形，研究映射的有限 次光滑等价分类问题。本文通过探讨映射的线性逼近来考虑其在某一等价关系下 的模自由正规形( 即不含参数的正规形) ，以及任意有限维空间和低维空间中映 射在双曲不动点附近的光滑正规形问题和光滑等价分类问题。 本论文的第二部分研究了任意有限维空间中强l 共振映射的光滑等价正规形 问题。在经典的正规形理论的基础上，本文证明了强l 共振映射可以无穷次光滑 等价于一个多项式正规形。 关键词严格相似；双曲映射；模自由正规形；共振 北京工业大学工学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i sp r e s e n tt h e s i sm a i n l yr e s e a r c ht h es m o o t hn o r m a lf o r mo ft h em a p a n di t s s m o o t hc l a s s i f i c a t i o n t h i st h e s i sp r i m m i l yc o n s i s t so ft w op a r t s ：i nt h ef i r s tp a r t ，w e m a i n l ys t u d yt h a tt h em a p i nt h en e i g h b o r h o o do fi t sh y p e r b o l i cf i x e dp o i n tc a nb ee q u i v 。 a l e n tt oi t sc 1n o r m a lf o r ma n di t sc le q u i v a l e n tc l a s s i f i c a t i o no fi nt h ea r b i t r a r yf i n i t e - d i m e n s i o n a ls p a c e i nt h es e c o n dp a r t ，w es t u d yt h a t ，i nt h er 九，t h em a p w i t hs t r o n g l y 1 - r e s o n a n tl i n e a rp a r tc a nb er e q u i v a l e n tt oi t sp o l y n o m i a ln o r m a lf o r m i nt h ef i r s tp a r to ft h i st h e s i s ，w em a i n l yu s et h ec l a s s i c a ln o r m a lf o r mt h e o r y , s u c ha st h ec l a s s i c a lp o i n c a r e d u l a cn o r m a lf o r mt h e o r e m ，c h e nt h e o r e ma n ds a m o v o ll i n e a f i z a t i o nt h e o r e m ，t os t u d yf i n i t e l ys m o o t hc l a s s i f i c a t i o no fm a pb yc o n s i d e r i n g i t sm o d u l i f r e en o r m a lf o r m s u n d e rg i v e ne q u i v a l e n c er e l a t i o n s h i p s ，w ed i s c u s st h e s m o o t hn o r m a lf o r mp r o b l e m sf o rt h em a pa n ds m o o t he q u i v a l e n c ec l a s s i f i c a t i o n sf o r t h em a pi nt h en e i g h b o r h o o do fh y p e r b o l i cf i x e dp o i n t s t h es e c o n dp a r to ft h et h e s i sm a i n l ys t u d yt h en o r m a lf o r m sp r o b l e mf o rt h em a p w i t hs t r o n g l y1 - r e s o n a n tl i n e a rp a r ti na r b i t r a r yf i n i t e d i m e n s i o n a ls p a c e w ep r o v et h a t t h em a pw i t hs t r o n g l y1 - r e s o n a n ti sr e q u i v a l e n tt oap o l y n o m i a ln o r m a lf o r m k e y w o r d s s t r i c t l ys i m i l a r , h y p e r b o l i cm a p ，m o d u l i - f r e en o r m a lf o r m ，r e s o n a n t _ _ _ 一 一 目录 目录 摘要i a b s t r a c t 第1 章绪论1 1 1 向量场和映射的正规形理论的研究现状1 1 2 课题来源4 1 3 本文的研究内容和主要成果4 第2 章预备知识7 2 1 映射正规形理论基本思想及几个经典结果7 2 2 映射在不动点附近的正规形9 2 3 本章小结1 1 第3 章彤中映射的c 1 等价正规形及其c 1 等价分类1 2 3 1 主要结果1 2 3 2 基本的定理及思想1 5 3 3 定理3 1 的证明1 6 3 4 定理3 2 的证明1 7 3 5 本章小结2 0 第4 章r n ( ns5 ) 中映射的c 1 等价正规形及其c 1 等价分类2 1 4 1 主要结果2 1 4 2 定理4 1 的证明2 2 4 3 映射在尺5 中有重根时的c 1 分类及尺6 中的一个典型例子2 9 4 4 本章小结2 9 第5 章尺叫p 双曲的强1 共振映射的多项式正规形3 0 5 1 主要结果3 0 5 2 定理5 1 的证明3 0 5 3 本章小结3 3 结论与展望3 4 参考文献3 6 致谢3 8 i 第1 章绪论 第1 章绪论 本章综述了向量场和映射的光滑正规形及有限次光滑线性化的发展历史、国 内外研究现状以及取得的成果，给出了本文研究的主要内容。 1 1向量场和映射的正规形理论的研究现状 正规形方法是研究非线性问题时广泛采用的一种手段，无论是它自身的理论 发展还是其应用都具有特别重要的意义。近几十年，由于这一理论在动力系统分 类问题、h i l b e r t 第十六问题、分岔理论以及微分同胚嵌入流问题等领域中的广泛 应用，它越来越受到人们的关注。非线性系统的线性化是正规形研究领域中的重 要研究课题之一。它主要研究了对给定的非线性系统能否转化为相应的线性系 统，即线性化问题，以及在线性化过程中该非线性系统的什么性质可以得以保 持，即线性化的光滑度问题。上述问题在理论研究与应用中都有重要意义。 对正规形理论和方法的系统研究早在p o i n c a r e 时期就开始了，其基本思想甚 至可以追溯至u j a c o b i 、b r i o t 、b o u q u e t 等人的早期工作。具体说来，在微分方程定 性理论发展的早期，法国数学家p o i n c a r e 就着手研究微分方程的变换理论，目的 在于通过一个接近于恒同的变换尽可能地把原来的微分方程简化。p o i n c a r e 主要 考虑了在形式等价和解析等价意义下向量场在它的奇点附近的简化问题，并得到 了特征根在通有情况下向量场和映射的形式线性化和解析线- l 生化定理( 共振情况 下的关于形式等价和解析等价意义下的p o i n c a r e - - d u l a c 定理) ，参见文献 1 】。 正规形理论在p o i n c a r e 之后的一百多年问经过d u l a c 、b i r k h o f f 2 、s t e i n b e r g 3 ，4 】、 c h e n 5 1 、b r u n o 6 ，7 】等众多数学家的进一步研究得到了极大的发展和完善。具体说 来，s t e i n b e r g 3 , 4 】研究了向量场在c ”等价意义下的正规形问题，c h e n 5 讨论了 双曲向量场形式等价与r 等价之间的关系，即当两个r 向量场在双曲奇点处 形式等价时，那么它们在奇点的附近r 等价。s a m o v o l 8 ，9 1 、b e l i t s k i i 1 0 一1 3 等探 讨了r 向量场的有限次光滑正规形问题。s a m o v o l 8 ，9 】证明了当向量场的特征根 满足共振关系的条件时，可以通过不等式求出一自然数，这样，向量场在原点的 附近有限次光滑等价于它的线性部分。k o p a n s k i i 1 4 】考虑了有限次光滑向量场的 有限次光滑正规形。正规形方法是研究非线性问题时广泛采用的一种手段，无论 是对它自身的理论发展还是其应用都具有特别重要的意义。特别是近几十年来， 1 北京工业大学工学硕士学位论文 由于这一理论在动力系统分类问题、h i l b e r t 第十六问题、分岔理论以及微分同胚 嵌入流问题等领域中的广泛应用，使人们逐渐关注到其重要性，在这方面的研究 成果日趋深刻和完善，文献和专著时有新见，如 1 5 、【1 6 、【1 7 】、【1 8 1 等。 1 9 2 3 年，d u l a c 通过研究平面解析向量场在奇点附近的正规形得到了多 角环后继映射的著名展开式，这是h i l b e n 第1 6 问题的第一个重大进展。2 0 世 幺_ e 4 0 年代初，s i e g e l 运用快速收敛的方法：t , 每p o i n c a r e 关于解析线性化的结果推广到 非p o i n c a r e 域。2 0 世纪五六十年代，s t e r n b e r g 、c h e n 、h a r t m a n 1 9 】等人给出了向 量场( 或映射) 在奇点附近光滑线性化的条件。2 0 世纪7 0 年代以来，t a k e n s 2 0 】等人 的工作进一步发展了正规形理论。 向量场的线性化研究已经有相当丰富的结果，关于非线性动力系统的线 性化结果有著名的g r o b m a n h a r t m a n 拓扑线性化定理【1 6 , 2 1 】。在2 0 世幺e s 0 年代末 $ 1 1 6 0 年代初，俄罗斯数学家格罗布曼( d m g r o b m a n ) $ i i 美国数学家哈特曼( p h i l i p h a r t m a n ) 各自独立地证明了向量场在它的双曲奇点附近拓扑等价于它在该奇点处 的线性部分，从而该向量场在其双曲奇点附近具有与其相应的线性化系统同样的 拓扑结构。之后，h a n m a n 【2 2 进一步证明了在平面中适当光滑的向量场在其双曲 奇点附近可以c 1 等价于它在该奇点处的线性化系统。 在最近十几年，映射的线性化问题在无限维空间中得到了进一步发展。m r h i l d e b r a n d o 幂l l j s o l a m o r a l e s 2 3 ，2 4 1 证明了在b a n a c h 空间中对于压缩的c l ，1 的映射 在其双曲不动点附近可以c l 共轭等价于它的线性部分；以及证明了在b a n a c h 空 间中对于c 1 ，仪的映射在鞍点附近可以c 1 共轭等价于它的线性部分。m s e l b i a l y 2 5 】证明了在b a n a c h 空间中对于压缩的c 1 ( k 1 ) 的映射在不动点附近可 以萨共轭等价于它的线性部分。 双曲向量场的有限光滑线性化和有限光滑等价的研究则要比相应的拓扑分 类更加困难和复杂，因此目前的结果尚不多，更谈不上系统和完整。j y a n g $ 1 z r e n 陋一3 0 】通过探讨双曲型向量场的特征根来确定其( 有限次) 光滑等价分类。 主要采用经典的正规形方法同时结合双曲向量场的线性化和光滑等价的最新 方法和结果，去研究具有相同特征根的双曲向量场是如何最大可能地光滑等 价。他们还完全解决了钟( r 5 ) 中双曲向量场的c 1 分类和c 1 轨道等价分类 问题。具体结果如下：( 1 ) 在刚4 ) 中非线性部分为通有的两个双曲向量场 x ：戈= 缸+ 与y ：9 = b y + 是共轭等价的，当且仅当a 与b 严格相似；x 与y 是c 1 轨道等价的，当且仅当a 与b 相似。( 2 ) 在r 5 中除了下述两种情况， 2 第1 章绪论 结论( 1 ) 仍然成立。这两种情况是：当向量场在奇点处的线性部分矩阵a 的特征 根形式为( 一0 ，一i x + p ，- t - a + p ，p ，p ) 或( 一0 【，一0 c ，一仅+ p ，p ，p ) ，其中仪d 0 ，a 为 对角的或a 有两个二维j o r d a n 块。又讨论了任意维空间彤中双曲向量场的c 1 分类，得到了双曲向量场c 1 共轭等价的两个充分条件。设矩阵a 的特征根为 人= 1 ，似，v 1 ，v “) ，r e 1 的尼，i 求和。 定义2 1 7 映射的不动点称为双曲的，如果映射在该不动点处的线性部分矩阵的 所有特征根都不在单位圆上 定义2 1 8 映射称为双曲的，如果映射的不动点为双曲的 2 2 映射在不动点附近的正规形 下面引入i 共振定义，i 共振在研究映射正规形及多项式正规形中有广泛的 应用。 定义2 2 1 称n 元数组九= ( 九1 ，h ) 或映射的特征根九是i 共振的，如果 由集合m z 阜i 护= 1 ) 生成的加法半群的生成元的个数为i 。这里z 罩表示n 元 非负整数组集合。 9 北京工业大学工学硕士学位论文 由定义2 2 1 易知，若九= ( 九1 7 ，h ) 是零共振的，则不存在非负整数组m = ( m l ，m n ) 且m l + + m 九0 ，使得舻= 1 。而九是1 共振等价地可以定义为： 称九是1 共振的，如果存在，z 元非负整数组m = ( m l ，m n ) ，m l + + ，z n 0 ，使 得式子 胪= 矸1 砰= 1 成立；若有另一非负整数组z = ( 1 1 ，乙) 且l l + + 如0 ，使得= l 成立， 则一定存在正整数k ，使得l j = k m j ，j = 1 ，n 。 定义2 2 2 称n 元数组九= ( 九1 ，h ) c n 或映射的特征根九是强1 共振的，如 果九是1 共振的，并且九的所有共振关系都可以表示成下面的形式 九f = 九f 九加，i 【1 ，z ) ，k n 定义2 2 3 称映射f ( 对于某一不动点而言) 分别是f 共振的、强1 共振的，如果f 在该不动点处的特征根九分别是f 共振的、强1 共振的。 必须注意：共振映射都是针对于不动点而定义的。比如，由定义易 知，p o i n c a r e 型映射是零共振的，实际上说的就是p o i n c a r e 型映射在其唯一的 不动点处的特征根是零共振的。零共振映射肯定是双曲映射，反之不一定成立。 引理2 7 1 8 映射f ( x ) = 触+ x ) 可以通过一个形式的正规化变换x = ) ，+ h ( y ) 变为 f ( y ) = a y + o a ( y ) ( 2 - 1 0 ) 其中( y ) 中所有的单项式为共振项。表达式( 2 - l o ) 称为f ( x ) = 瓜+ x 0 ) 的共振 正规形。 引理2 8 ( c h e n ) 1 8 如果两个r 的映射的形式级数在双曲不动点处是共轭的， 那么它们在不动点的附近c ”等价。 引理2 9 1 8 】映射f ( x ) = 血+ x ) 可以通过一个形式的正规化变换x = y + h ( y ) 变为 ，( y ) = a y + 0 ) ( y ) ， ( 2 1 1 ) 其中c o ( y ) 中所有的单项式为共振项。称( 2 - 1 1 ) 为f ( x ) = a x + x ( x ) a 。j p o i n c a r e d u a l c 共振正规形。 1 0 第2 章预备知识 引理2 1 0 【1 8 】令0 是r 映射f ：r n r 九的双曲不动点，则对任意自然数k ，存 在一个自然数n = ( 七) ，使得厂在0 点附近萨等价于它的n 阶正规形 2 3本章小结 本章介绍了有关映射正规形理论的基本思想以及几个经典结果。然而在现实 生活中，大多数问题都是非线性的，而非线性问题的研究比线性要难得多。于 是，人们就致力于寻找将非线性问题转化为线性问题的方法，或者是将非线性系 统化简为一个统一的比较简单的模型，映射的光滑等价分类就是为了解决此类问 题。 北京工业大学工学硕士学位论文 第3 章彤中映射的c 1 等价正规形及其c 1 等价分类 3 1主要结果 考虑映射厥： x 4 兰a x + f ( x ) ，z r n 并且以原点d 为双曲不动点( 本文中若不做特殊说明都是以原点为不动点 的) ，其中a 为n ，l 的矩阵。a 的特征根集合为人= 胁，肛1 ，v l ，v “ ，并 且s + u = n ，且特征根满足条件：协 p l 1 v 1 v “。 首先，引进严格相似的定义。 定义3 1 1 称方阵a 和b 严格相似，如果存在一个可逆矩阵r ，使得a = t b t 一1 。 由h a r t m a n g r o b m a n 定理知道，尺2 上c 1 映射在它的双曲不动点附近拓扑等 价于它的线性部分。也就是说双曲映射的线性化完全决定了它的拓扑性质。 从已有的一些结果，我们知道双曲映射的线性逼近还能够提供更高阶光滑共 轭等价的信息。例如，以下是通过研究映射的线性逼近来刻画映射的等价分类。 ( 1 ) 由h a i t m a n 【2 2 】可知，r 2 上的映射忍在其双曲不动点附近可以c 1 线性化。 由此可以得到，r 2 中双曲映射最和而是c 1 等价的，当且仅当其线性部分矩阵 a 和b 严格相似。 ( 2 ) i 主l b e l i t s k i i 1 0 1 ：r n 中c 1 的映射f ：r ，z _ 础： ，0 ) = 触+ 厂 ) ，f ( 0 ) = f 7 ( o ) = 0 ， a 是一个线性算子，其特征根为九1 ，k ，如果它的特征根满足条件： k b ，( 队i 1 l b i ) ， ( ，) 则映射f 可以c 1 线性化。 下面给出映射c 七( 0 k ) 共轭等价和映射萨线性化的定义。 定义3 1 2 称两个映射，和g 在其相应的不动点附近拓扑共轭等价，即c 0 共轭 等价，如果存在一个同胚映射h ，使得 f o h = h o g ， 1 2 第3 章彤中映射的c 1 等价正规形及其c 1 等价分类 如果日是一个萨的映射，则相应的有f 和g 在其相应的不动点附近萨共轭等 价。特别地，不妨设不动点是原点，如果f 和它的线性部分d f ( o ) 在原点附近 是萨共轭等价，也就是说，f 可以萨线性化。 也就是说，如果两个映射萨共轭等价于同一个线性映射，则它们是c 七共轭 等价的。事实上，我们采用映射的线性逼近来研究系统的等价问题，这样影响了 分类的光滑度；但另一方面，我们知道映射的特征根常常在研究的过程当中起到 重要的作用，可以提供更多的信息。因此，我们希望利用特征根的信息得到光滑 度更高的分类。 例3 1 1 任何两个具有特征根( 2 ，4 ) 的映射，由 2 2 知道，它们能够c 1 共轭等价于 它的线性部分；同时它们也可以r 共轭等价于 x + = 2 x ，y + = 匆+ 即，任何两个具有此特征根的映射都可以r 共轭等价。 定义3 1 3 一个映射的正规形称为在给定的等价关系下的模自由正规形，如果它 不包含任何可以区分不同等价类的参数。 由定义3 1 3 可知，线性映射是一个特殊的模自由正规形，映射的线性逼近问 题已经研究了映射可以简化为这类给定的特殊的模自由正规形。其实，在前面已 经提到，如果把映射简化为这类特殊的正规形，会导致光滑度降低。由例3 1 1 可 知，如果我们考虑将映射简化为一个简单的模自由正规形，而不是线性映射，这 样分类的光滑度可以提高很多。即，通过模自由正规形的角度去研究分类问题。 现有的主要结论是关于向量场的分类，对于向量场的分类的结果如下： ( i ) 2 9 d p 证明了除了线性部分矩阵为d i a g l ，九，2 九) 外，任何两个非线性部 分为通有的尺3 中的p o i n c a r e 型多项式向量场至少是c 1 共轭等价当且仅当它们的 线性部分的矩阵严格相似。 ( i i ) 2 7 证明了r n ( ，z 5 ) 中对任何双曲向量场的c 1 等价分类，除了两类 特殊的情况除外，任何非线性部分为通有的双曲向量场至少c 1 共轭等价当且仅 当它们的线性部分矩阵严格相似。 ( i i i ) 3 0 中证明了胖中任何具有相同特征根的双曲向量场是c 1 共轭等价 的充分必要条件它们对应的线性部分矩阵严格相似。 13 北京工业大学工学硕士学位论文 ( i v ) 【3 1 d 0 证明了任意两个非线性部分为通有的零共振d 0 非p o i n c a r e 型的双 曲映射都c 。共轭，只要其线性逼近的矩阵非奇异且严格相似。 上面提到的结果都是通过向量场和映射的线性化( 即线性逼近) 问题来研究映 射的光滑分类问题。事实上，特征根所起的作用不仅仅是能够刻画映射的线性 化，利用映射的线性逼近会得到更细的等价关系。如果对于一个给定的等价关 系，能够利用线性逼近的信息把映射化为关于这一等价关系的模自由正规形，则 可以解决映射对于这一等价关系的分类。 本章的主要结果： 定理3 1 如果a 的特征根满足条件( j ) ，则由a 可完全决定映射昂的c 1 分类， 即，映射昂c 1 共轭等价于而当且仅当存在一个可逆矩阵丁，使得a = t b t 一， 也就是线性部分矩阵a 和艿严格相似。 定理3 2 如果a 的特征根满足条件： 胁1 v j l a i 2 v j 2 ，v ( i l ，i x ) ( i 2 ，歹2 ) ( i i ) 则由a 可完全决定映射忍的c 1 分类，即，映射厥c 1 共轭等价于如当且仅当 存在一个可逆矩阵丁，使得a = t b t 一1 ，也就是线性部分矩阵a 和b 严格相似。 下面通过几个例子来说明以上两个定理的条件是相互独立且都不是必要的。 特征根集合满足人= ( ；，三，2 ，3 ，5 ，7 ) ，且满足条件( ，) ，根据定理3 1 可知，任 何两个以人为特征根且非线l 生为通有的映射是c 1 共轭等价的，即，它们都c 1 共轭等价于同一个模自由正规形 工；= ；1 z l ，呓= 乏1 砣，y ；= 2 y l ，y i = 3 y 2 ，粥= 5 ) ，3 ，y , ；= 7 y 4 ， 但是人不满足条件( ) 。 特征根集合a 1 = ， ，3 ，5 ，6 ，1 0 ) ，且满足条件( ) ，根据定理3 2 ，任何两 个以人l 为特征根非线性部分通有的映射是c 1 共轭等价，即，它们都c 1 共轭等 价于同一个模自由正规形 工；= 三工1 ，呓= 芝1 规，) ，：= 3 y l + z 1 ) ，3 ，y ；= 5 y 2 + x 2 y 4 ，y ；= 6 y 3 ，蜡= 1 吼， 但是人l 并不满足条件( ，) 。 1 4 第3 章科中映射的c 1 等价正规形及其c 1 等价分类 但是以a 2 = 丢，；，2 ，4 ，8 ，1 6 ) 为特征根的任何两个映射都不可以c 1 共轭，并 且也不可能通过坐标变换得到一个模自由的正规形，实际上等价于如下形式 工：= 戈1 ，z ；= x 2 a t a l x l y l ，y ：= 2 y l + x l y 3 + x 2 y 2 ， 虻= 4 y 2 q - x l y 4 + a 5 x 2 y 3 ，y ；= 8 y 3 + a 6 x 2 y 4 ，) ，；= 1 6 y 4 3 2 基本的定理及思想 利用p o i n c a r e d u l a c 定理和c h e n 定理，对于任意给定的以原点为双曲不动点 的映射f 都可以c 鼬等价于它的p o i n c a r e d u l a c 共振正规形，再由定理2 1 0 ，映射 ，在其双曲不动点o 附近c 七等价于它的阶p o i n c a r e d u l a c 共振正规形，高于 的共振单项式都可以通过萨变换消去。即，任何一个r 的双曲映射都可以有 限次光滑等价于它的有限次p o i n c a r e d u l a c 多项式正规形。所以在研究映射在其 双曲不动点附近的有限次光滑正规形时，只需要考虑其相应的多项式正规形。 本文要用到的的另一个主要结果就是s 锄o v o l 白勺关于双曲映射的有限次光滑 线性化，它可以对映射的p o i n c a r e d u l a c 共振正规形在有限次光滑等价意义下作 出进一步的简化。 引理3 1 【1 4 考虑r n 中，一个以o 为双曲不动点的r 映射f ，且f 在不动点 处的特征根( t l l ，风，v 1 ，v “) 满足 胁 卢1 1 v 1 v h ，s + u = n ， 假设对某一个正整数k ，下面条件成立( 将此条件称为s ( | i ：) 条件) ：对任何共振关 系 脚= 砰，席v - v 争 或 v ，= 砰1 肭m 、，m 1 v 弘 都存在一个m j 或者h “，使得 v l v 1 v 争 或者 厩七f 厩 则f 在点d 的附近等价于它的线性部分。 1 5 北京工业大学工学硕士学位论文 为了证明我们的结果，我们这样应用s a m o v o l l 拘结果：如果映射f 中的共 振单项式满足s ( k ) 条件，则这个共振单项式可由一个萨坐标变换消去。根 据s a m o v o l 定理，我们可以证明最与晟是萨等价的。其中最是把忍中满足 s ( k ) 条件的共振项消去而把其它项保留从而得到的。所以，共振项的消去在有限 次光滑变换作用下是可以逐项进行的。 例考虑映射( 2 x l ，3 砣，7 轨+ 薪鼋+ z 1 焉) ，其中单项式霹p 4 满足s ( 2 ) 条 件，保留工1 爰，通过一个c 2 的坐标变换将映射变为： ( 及l ，3 砣，6 x 3 ，7 2 x 4 + x l x ；) 又因为单项式x , 焉e 4 满足s ( 1 ) 条件，则可以通过一个c 1 的坐标变换将单项式 x l 写e 4 消去。 3 3定理3 1 的证明 必要性：因为矩阵a 和曰严格相似，则存在一个可逆矩阵丁，使得 a = t b t 一1 。则a 和b 是c o o 等价的。由于a 的特征根满足条件，则b 的特征 根也一定满足条件，那么昂c 1 等价于它的线性部分触，而c 1 等价于它的线 性部分觑，由此可知，映射f a c l 共轭于岛。 充分性：不妨设最和肠不动点分别是p ，q ，那么由不动点定义可 知，f ( p ) = p ，f ( q ) = q 。因为最和而是c 1 共轭等价的，则必然存在一个 c 1 的映射日，满足h ( p ) = q 和 h0 f a = f b0 h 对方程两边求微分，由链式法则知 d h ( f a ) ) o d f a ( x ) = d 历( h ( x ) ) o d h ) 取工= p ，代入上式有， d h ( f a ( p ) ) o d f a ( p ) = d 历( h ( p ) ) o 朋( p ) d h ( p ) o d 最( p ) = d f b ( q ) o d 日( p ) 而d f a ( p ) = a ，d f b ( q ) = b ，从而，d h ( p ) o a = bo d h ( p ) ，因为h 是一个c 1 的，故日是可逆矩阵，所以a 和曰严格相似，故得证。 1 6 第3 章彤中映射的c 1 等价正规形及其c 1 等价分类 3 4 定理3 2 的证明 首先，根据p o i n c a r e d u l a c 定理、c h e n 定理和定理2 1 0 ，我们知道映射最可 以c 。等价于它能j p o i n c a r e d u l a c 多项式共振正规形；为了证明定理我们只需要 考虑r 的c 1 正规形最，最是f a 的多项式共振正规形中满足s ( 1 ) 条件的共振 项都都消去，保留其他的项，此外只有x i y j 型的共振项它不满足s ( 1 ) 。 所以利用引理3 1 进一步简化最的c 1 共振正规形，使得最中的非线性项是 由二项式x i y j 组成的。实际上，要证明f a 的c 1 正规形晟在定理中所有可能的 情形都是模自由的，即，履的所有非线性项的系数都可以通过线性变换尺度化 为1 。 下面只需要证明忍的c 1 正规形晟都是模自由的即可。 如果在条件( ) 下能证明最可以c 1 等价于一个模自由正规形，再有a 和b 严格相似，而可以c 1 等价于同一个模自由正规形，得证。所以下面我们只需要 证明最可以c 1 等价于一个模自由正规形。 在条件) 下，易证得下面的命题成立。 对于向量( x 1 ，) ，1 ，弛) ，其每个分量对应的单位向量记为e l e 。， e s + 1 + “。为了记号简单，我们引入了新的记号，令e ；= e s + 1 ，已：= e s + “。 在条件) 下，易证得下面命题成立。 命题3 4 1 ( 1 ) 在每个分量x i + 或y j 中至多有一个形式为x i y j 的共振项。 ( 2 ) 若坐标蜀( y j ) x i y j e h ( x i y j e t k ) 中至多出现一次。即若有两个共振项x i l y j l e h l 和x i 2 y j 2 e h 2 ，则i l i 2 ( x i l y j l l 和锄已乞，则j l j z ) 。 下面利用双重归纳假设法来证明定理，一个是关于稳定变量数j ，另一个是 对固定的s ，对所有的变量数目n 进行归纳。 现在从s = 1 开始进行归纳。 第一步：当j = 1 时。此时，特征根集合人= 姐1 ，v 1 ，v h ) ，1 + “= n 。由于 所有不能c 1 消去的共振项形式为x l y j e 2 ( 1 k j “) 。首先考虑，如果f a 中 只有一个这样的共振单项式a x l y j e ：( a o ) ，则可以通过如下线性变换 ，y - ，y k 一，姒，溉+ ，弛) 号( 工，) ，t ，胤一- ，云1 掀，胤+ ，弛) 可以将参数a 尺度化为1 ，从而得到如的c 1 模自由正规形为： 工：= p l x l ，y ；= v l y l ，y = v k y k + x t y j ，y ：= 地y “ 北京工业大学工学硕士学位论文 接下来，如果履有两个这样的共振单项式，不妨设为a x l y i e t j ( 1 i