（应用数学专业论文）一维奇异plaplacian三点边值问题的多重正解.pdf

摘要 非线性常微分方程奇异边值问题是微分方程理论中一个重要的研究课题 本文共分两章，第一章简述问题产生的历史背景和本文的主要工作第二章主要用l 钉a y - s c h a u d e r 抉择和锥不动点定理证明非线性奇异边值问题 ， j ( 西( u ，) ) 7 + g ( 亡) ，( u ( t ) ) = o ，o t 1 ， l t 正( o ) = o ，t 正( 1 ) = u ( ) ，o 1 ，允许在u = o 和t = o 处具有奇性 在文【6 ，7 】= 2 ) 中， r p a g 盯w d 和d o r e g a n 用l e r a 扩s c h a u d e r 抉择和锥不 动点定理证明了一个和多个正解的存在性其中g ( t ) 允许在t = o 或亡= 1 处具有奇性，非线性 项允许在y = 0 处具有奇性 本文是应用文【6 ，7 】的方法证明问题存在多个正解 关键词：l e r a y - s c h a u d e r 抉择；锥不动点定理；奇异一维p l 印1 a c i 髓边值问题；正解的 存在性 i a b s t r a c t s i n g u l a rb o u n d 盯y 、，吼u ep r o b l e m sf o rn o n l i n e a ro r d i n a r yd i 矗矗e n t 谳e q u a t i o n s ，i s b e c o m ea ni m p o t a n tt o p i ci no r d i n a r ye q u a t i o n s 五e l d s t h i st h e s i si sc o m p o s e do ft w oc h 印t e r s i nt h e 丘r s 七c h 印t e r ，w ei n t r o d u c et h e h i s t o r i c a lb a c k 口o u n do fp r o b l e m sw h i c h 诵1 1b ei n 、，e s t i g a t e da n dt h em 8 j nr e s u l t so ft h i s p a p e r 。 i nc h a p t e r2 ，w ee s t a b l i s ht h ee 西s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v es 0 1 u t i o n s d rt h e s i n g u l a rn o n l i n e a rb o u n d 8 r yv ! 蛆u ep r o b l e m ( 圣( u ，) ) 7 + g ( 亡) ，( 缸( t ) ) = o ，o t 乱( o ) = o ，u ( 1 ) = u ( ) ，o o ( 1 1 1 ) 和 白( t ) ) 7 + g ( 亡) 矿= o ，亡 o ( 1 1 2 ) 其中口( o + ) = o o ，p ( o + ) = o o ，它最早出现在天体力学的研究中近几十年来，奇异方 程形式由e m d e n f o w l e r 方程发展成各种各样，方程的奇性不仅仅产生于自变量也产 生于相变量例如，当r o 在 ( o ，1 ) 上连续且满足 f 亡( 1 一t ) g ( 亡) 出 o ，6 o ，6 o 是常数利用摄动方法，比较原理等技巧，当o 6 1 时( 超线性问题) ，文 1 1 】用摄动方法和l e r a y - s c h a u d e r 非线性抉择解决了此问题，他们证明了( 1 1 3 ) 至 少存在一个正解u c 【o ，1 】nc 2 ( o ，1 ) 且在( o ，1 ) 上札( t ) o 1 9 9 6 年，文 1 0 】建立了奇异一维p l a p l 撕a n 方程边值问题 ? ：黑o r 上要娶叻= o o 2 1 ( 1 1 6 ) lj u ( o ) = u ( 1 ) = o ， r 7 解的存在惟一性定理，其中g 在亡= o 和t = 1 处具有奇性，在仳= o 处具有奇 性，其主要结果如下 定理2 【1 0 】假设 ( 研) ，( 乱) 是定义在( o ，。o ) 上正的右连续函数，且l i o ，( u ) = + o o ； ( 玩) g ( t ) 是( o ，1 ) 上的非负可测函数 则( 1 1 6 ) 存在惟一解当且仅当 。 z 三一( 办枷肌r ( 如m 如 慨 显然当g ( 亡) = 亡一m ( 1 一t ) ，o m ，n p 时，满足上式 研究过程中，利用解的凹性( 因眵( u ，) 】7 o ) ，并利用凹性给出了另一种g r e e n 算 子的表达式此证明过程中，主要应用比较原理和摄动技巧 当，o 并在札= o 不具有哿陛时，文【4 ，5 用锥不动点定理证明了一维p l 印l 捌a j l 方程的多重正解的存在性 j r 删b b 【2 1 1 考虑三点边值问题 j ( 西( u ，) ) 7 + 夕( t ) ，( u ) = o ， o t 1 ， i 仳( o ) = o ，u ( 1 ) = 伽( 叩) 正解的存在性w 龇用不动点指数理论证明了一些关于至少存在一个或两个正解 的存在结果 r y m a 2 2 】也考虑了当，超线性或次线性时多个正解的存在性 j u n y uw 缸g 和d a 鹏iz h e n g 【2 3 】考虑关于一维p l 印l 晒a n 三点边值问题 j ( 西( ( t ) ) ) 7 + 口( t ) ，( t 正( 亡) ) = o ， o t 1 ， lu ( o ) = o ，u ( ) = t 上( 1 ) 东北师范大学硕士学位论文 作者们用k r a s n o s e l s l 【i s 锥不动点定理和缸z e k 舡c 0 1 i 定理证明了此一维p l a p l a d 眦 方程当，超线性或次线性时正解的存在性 1 2 本文研究的主要问题 本文主要参考文【2 3 】，目的是研究下面p l 印l 鲥a n 奇异三点边值问题的多个正 解的存在性 嚣答搿兰漪 薯- 1 2 iu ( o ) = o ，t 正( 1 ) = t ( ) ，o 1 ，允许窖( 亡) 在艺= o 处具有奇性，并且非线性项，在缸= o 处具有奇性 贯穿全文，作如下假设： ( 以1 ) ：g ( t ) ：( o ，1 ) 一( o ，o 。) 连续并且存在o q o 使得 ：i 忐z r 丕= j 宅爹两 上1 圣一1 ( z 1g ( z ) d 茁) d 亡， ( 1 2 3 ) p ( 1 + 粥) 五一( 俐7 厶2 、以叭叫 卜“ 成立，其中圣一1 ( u ) ：= m 奇s g n u 是圣( 似) 的反函数 ( a 4 ) ：选择n ( o ，) ，o r 使得 一0 ( 酬1 + 槲】) 成立，其中 府，( 1 2 4 ) 府= r 一( 厢伽啪s ( 1 2 5 ) 注1 2 1 例如，当q ( 口一1 ，p 一1 ) n 【o ，p 一1 ) 时，函数 g ( 亡) = 亡，o t 1 ，o 口 p 3 东北师范大学硕士学位论文 满足条件( a 1 ) 注1 2 2 容易验证条件1 ) 表明 z 1 圣一1 ( z 1g c z ，d z ) 巩 o ，并且u ( o ) = o ，u ( 1 ) = u ( ) ，o 1 ， ( 3 ) 圣( u 他) ) 在( o ，1 ) 上一致绝对连续，且 ( 圣( u ，) ) 7 + g ( t ) ，( u ( 亡) ) = o ， o 亡 1 4 东北师范大学硕士学位论文 第二章一维奇异p l a p l a c i 强三点边值问题的多重正解 本章共分三节，第一节给出与本文有关预备知识，第二节讨论多重正解的存在 性，最后给出实例加以说明主要定理 2 1 预备知识 定义2 1 11 1 2 】设x 为实b 啦a c h 空间，k 是x 中的闭凸子集，如果它满足 ( 1 ) 若z k ，a o ，则入z k ； ( 2 ) 若z 五一z k ，贝! jz = o 则称k 是x 中的闭锥( 简称锥) 本文的证明将用到以下几个引理，其中引理2 1 1 是l e r a y - s c h 8 u d e r 型非线性 抉择，引理2 1 2 是锥不动点定理 引理2 1 1 f 1 1 】假设k 为b n n o c h 空间e 的一个凸集，q 为k 的一个相对开 子集，o q ，映射a ：囝一为一个紧算子，则 ( 1 ) a 在两上有个不动点，或者( 2 1 1 ) ( 2 ) 存在z a q 和o a 1 ，使得z = m ，( z )( 2 1 2 ) 必有一个成立 引理2 1 2 【7 】设e = ( e ，”l i ) 是b a n a c h 空间，kce 是锥，且令”i i 相对k 是严格增的此外，常数r ，r 满足o 7 i r 假设a ：q rnk _ k ( 这里q 冗= 缸e ，恻i | | z l l( 2 1 4 ) 成立则a 在n 和e ：，f 尉上有个不动点 定义c 0 ，1 】中锥k 如下 k ：= 扣c 【o ，1 】：u ( t ) 是非负的凹函数) 5 东北师范大学硕士学位论文 根据函数牡( t ) 在 o ，1 】上的凹性，下面的引理成立 引理2 1 3 【4 ，引理1 】令u k 且6 ( o ，) 则 t 工o ) 6 i l u i |6 t 1 ； 让( 亡) u ( 1 ) 亡6 i i t 上i i 亡 o t 1 ； 其中i = s u p i u ( 亡) l ：o t 1 ) 且存在盯【0 ，1 】使得u ( 盯) = | 6 由( a 2 ) ，对o ts 叽口j 得 。叫亡) = z 2 一( 口九( 拙) d s 一( f 匙驰) 如 p 亨一( z 1 州掣d s ：阜亡皆垂一1 ( f 1 矿 ( z ) 如) ， p 一1 一a 、j o 则y ( o ) = o 类似可得y ( 1 ) = y ( ) 因此，y ( 亡) 在【o ，1 】上连续，且 y ( o ) = o ，y ( 1 ) = y ( f ) ， 降( y 7 ) ) 】7 = 一九( 亡) ， 亡( o ，1 ) 易证唯性，类似后文的引理2 1 6 的证明方法中用的比较原理可得到 证毕 在本章中，令礼4 是一个固定的自然数对每一个仳k 考虑下面的问题 j ( 西( 加7 ( t ) ) ) 7 + g ) f ( u ( t ) ) = o ，o t o 使得 h 小班如+ 西( 掣) 舛 ( 2 1 1 3 )1 7 - l g ( 5 ) m d s + 西( 竺等半) c ，( 2 1 1 3 ) ，口上一u 且 i 下+ g ( s ) f ( u ( s ) ) d s i c ( 2 1 1 4 ) 由( 2 1 1 1 ) ，( 2 1 1 3 ) 和( 2 1 1 4 ) ，可得 i 伽7 0 ) i c ( 口，m ) ，口t 1 其中c ( o ，m ) 是与口，m 有关的正常数 引理2 1 8 对任意有界闭子集qck ，集合雯( q ) 在【o ，1 】上等度连续 证明对任意的u q ，令m o 且满足f ( u ) m 对任意的 o ，从v 衍( t ) 在 【o ，1 】上的连续性和v k ( o ) = o 知，存在6 1 ( o ，丢) 使得 ( 亡) 丢 t 0 ，2 以】 东北师范大学硕士学位论文 令u q 因为( 雯u ) ( t ) 一击( t ) ，则对任意的t 1 ，t 2 【o ，2 西】，i 亡l 一亡2 i 以， 有 l ( 皿u ) 0 1 ) 一( 皿u ) 0 2 ) i= i ( 皿u ) 1 ) 一丢+ 丢一( 皿u ) ( 亡2 ) i i ( 皿t 正) 0 1 ) 一击i + i ( 皿t 正) ( t 2 ) 一丢f ( 亡1 ) + ( t 2 ) 由引理2 1 7 ，当t 吼，1 】时，i ( 霍u ) 咏) i c ( 6 1 ，m ) = ：l 令如= 艺则当t 1 ，t 2 陬，1 】且j 亡1 一t 2 l 面时，有 i ( 皿u ) ( 亡1 ) 一( 皿t 正) ( t 2 ) i 三l t l 一亡2 f 设6 = m 讥炳，面) 则当t 1 ，t 2 【o ，1 且i 亡1 一亡2 i o 且i l u l | | r i i u 2 | | r 在本节中，考虑下面的奇异非线性边值问题 嚣芒翟筵罢z 吕 ：三： 1 2 iu ( o ) = o ，u ( 1 ) = 让( ) ，o o ，且 z 1 圣。( z 1 g ( z ) 如) 以( 2 2 1 ) 选择n o 1 ，2 ，便得吉 令十2 【伽，咖+ 1 ，) 我们百先证明f 面的边僵 问题 ， ( 圣( 仳7 ) ) 7 ，+ g ( 亡) ，i t 正( 亡) ) = o ， o 亡 1 ， ( 2 2 2 ) n iu ( o ) = 击， u ( 1 ) = u ( ) ，o 丢且i l | i r + ，为证( 2 2 2 ) 他有一个解，我们考虑下面的边值问题 。( 圣( ) ) 7 + g ( t ) f ( u ( t ) ) = o ，o 1 ( 2 2 3 ) n lu ( o ) = 丢， u ( 1 ) = u ( ) ，o 1 ， 礼+ ， 、7 其中f 的定义见( 2 1 8 ) 固定n + 。定义雪：瓯一k 为 f 去+ z l 圣一1 ( g ( z ) f ( u ( z ) ) d z ) d s ，o t ， ( 虬m ) = 去+ 鬈扩1 ( 吼如州瑚嘲如 ( 2 2 4 ) i + z 1 一( 厶如) 聊( 砌如) 如氏t 1 东北师范大学硕士学位论文 其中( 0 ，1 ) 是f 面方程的唯一解 纫( 丁) ：= 去+ z ：西一1 ( 下g ( z ) f ( u ( z ) ) 如) d s = 去+ 上圣一1 ( r g ( z ) f ( u ( z ) ) d z ) d s + z 1 圣一1 ( f g ( z ) f ( 札( z ) ) 如) d s = = z 1 ( 丁) ，o r 1 类似于引理2 1 1 0 的证明，可得皿：霭_ k 是全连续的 首先证明 t 正入霍u入( o ，1 ) ，t 正a q r ( 2 2 5 ) 假设上式不成立，即存在一个入( o ，1 ) 和u a 皿使得u = 入霍u 则有 j 一( 西( ) ? 妒_ 1 9 ( 亡) f ( u ( t ) ) ，o t 1 ，( 2 2 6 ) n l 札( o ) = 会，u ( 1 ) = u ( ) ，o o ，则u n ( 亡) o ，t ( o ，1 】 下面我们证明 ) 住+ 在【o ，1 】上一致有界且等度连续( 2 2 1 4 ) 返回到( 2 2 7 ) ( 用代替u ) ，可得 巾( 仳) ( 嘶小1 + 黝拟巩 ( 2 2 1 5 ) 因为在 o ，1 】上，u 竹( 亡) 丢，则存在( o ，1 ) 在( o ，) 上， 心( t ) o ，而在 ( ，1 ) 上，心( t ) o 且( ) = i l n l l ， 对( 2 2 1 5 ) 式从t ( o o ，j 在【0 ，b 上连续 ，( ) ) 。+ 在【o ，1 上一致有界且等度连续 等度连续性可从下式得到( 这里t ，s 0 ，1 】) 叭删- ，掣少l 2 热蚓 一( 1 + 黔) l 肛。( 晔) ) + 圣晶。删c m i ( t ) 一( s ) i = i r l ( ，( 仳他( t ) ) ) 一，( ( s ) ) ) l ， 存在t l g 【o ，1 】使得u 住在 o ，1 】上一致收敛于u 则由( 2 2 1 3 ) 得，在 0 ，1 】上， ( t ) k ( r ) ( t ) 特别地，在( o ，1 】上，札( t ) o u n ( 1 ) = ( 亡) + 西- 1 【圣( 心( 1 ) ) + g ( z ) ，( ( z ) ) d 叫如 ( 2 2 2 1 ) ，t ，0 由( 2 2 1 9 ) ，i 心( 1 ) l 圣- 1 ( 9 ( ( 1 ) ) ) 南西_ 1 ( 9 ( ( r ) ( 1 ) ) 南则【心( 1 ) ) n 东北师范大学硕士学位论文 限则对上面固定的t ( o ，1 】，在上，令n 一( 我们注意到g ，在紧子区间 陋，l 】( o ，r 】上一致连续) 得 u ( 1 ) ：缸o ) + f 1 西一1f 西( 内) + 1 口( z ) ，( u ( z ) ) d 叫d s ( 2 2 2 2 ) - ，t，s 。 亡取遍( o ，1 】可得 ( t ) = 圣一1 【圣( r 0 ) + g ( z ) ，( u ( z ) ) d z ，o t 1 ， 因此伯= ( 1 ) ，则有( 圣( 札，) ) 7 + g ( t ) ，( u ( t ) ) = o ，o t 1 ，u ( o ) = 仳( 1 ) 一u ( ) = o 最后 容易证明l l ，t ( 注意到如果= r ，与( 2 2 7 ) 一( 2 2 1 2 ) 的证明一样可推出矛盾) 这样我们就证明了问题( 1 2 1 ) 至少有个正解u ( t ) c 0 ，1 】nc 1 ( o ，1 】，且l o ( s ，- ) ，使得( 2 2 1 ) 成立设伽 1 ，2 ，) 使得 击 ，击 o r 令+ = n o ，珊+ 1 ，) 首先证明 ( 亏_ 7 ) ) 7 ，+ g ( ? ( u ( 亡) ? o ， o 1 ( 2 2 2 ) n lu ( o ) = 击，u ( 1 ) = u ( ) ，o 丢且r i i | i 兄 对v n + ，为证( 2 2 2 ) n 存在解，考虑下面的边值问题 ( 垂( ) ) 7 ，+ g ( 亡) ? ( u ( 亡) ) = o ，o t 1( 2 2 3 ) 。 iu ( o ) = 丢，仳( 1 ) = u ( ) ，o f 1 ， 几+ 、 固定礼+ 定义皿：k k 为 f 去+ z ! 圣一1 ( 吼g ( z ) f ( u ( z ) ) 如) 如，o t ( 啡) = 去+ 鬈一( 观如州训纠d s ( 2 2 2 3 ) 【+ z 1 一( 厶如) 跏( 砌如) 如， 其中是下面方程的唯一解 和( r ) ：= 去+ z ：西一1 ( r g ( 茁) f ( 乱( z ) ) d z ) d s = 去+ r 一( 小妒( u ( 砌嘲d s + ，1 圣一1 ( ，5g ( z ) f ( u ( z ) ) d z ) d s = z 1 ( 下) ，o 丁1 东北师范大学硕士学位论文 m 心筘缎翥筠m 郴啪s= r 一( 胁u m + 揣) g ( 郴啪s z e 一觚趴1 + 描) 小班啪s 筇( 酬1 + 躲) ) z e 一( 序班啪s 腑( 肿+ 器) ) o ) 云+ k ( r ) o ) ， o t 1 ，( 2 2 2 7 ) 东北师范大学硕士学位论文 定理2 2 3 的证明由定理2 2 1 可得u 1 的存在性，由定理2 2 2 可得u 2 的存在 性 例子考虑奇异边值问题 苗兰面竺磊爨盏吣k 1 协2 鹏， i 仳( o ) = o ，让( 1 ) = 让( ) ，o o ，卢 p 一1 设 9 ( u ) = u a ， ( 仳) = ，9 1 ) = t 一仇，g ) = 盯g l ( 亡) ， 6 t ：= z 1 西一1 ( z 1 g ，( z ) d z ) 砒 则6 0 ：盯击6 1 应用定理2 2 3 ，可知如果存在， o 满足 盯 o ， 则 喇= z 器，咻一( 糕) 南 z ( o ，) p 十l p 选择r = z o 则( 2 2 2 9 ) 成立显然，定理2 2 3 中的似1 ) 一( 也) 成立因此，( 2 2 2 8 ) 存在两个解u 1 ，u 2 叫o ，1 】nc 1 ( o ，1 】使得在( o ，1 】上，仳1 o ， t 正2 o 且i i u l | | r = z o l i 仳2 1 8 东北师范大学硕士学位论文 - 【3 】 参考文献 d o r e g a 以t h e o r yo fs i n g u l a rb o u n d a r yv 砒u ep r o b l e m s 【j w - o r l ds c i 翻p t i 丘c ，s i n g 印o r e ，1 9 9 4 d q j i 8 n g 觚dh l i u o t h e 麟j s t e n c eo fn o n n e g a t i v er a 碰a ls o l u t i o n sf o r p l 印1 8 商a ne l h p t i cs y s t e m s 【j 】a 佗礼p d z d 佗m 口轨，1 9 9 9 ，l x x i 1 ：1 皿2 9 j y 、确l i l g t h ee 菇s 七e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h eo n 争d i m e n s i o n 出p l 8 p l a c i a n j p 阳c a m e r m 以 s d c ，1 9 9 7 ，1 2 5 ：2 2 7 5 2 2 8 3 ， 4 】 l k o n ga n dj y w h g m u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o 璐f o rt h eo n 争d i m e n s i o n a l p l 印1 a c i a n 【j 】d 礼丘记ra 佗n ：，2 0 0 0 4 2 ：1 3 2 7 - 1 3 3 3 【5 】 r p a g 跗w a la n dd o 鼬g a n t 诵ns 0 1 u t i o 璐t os i n g u l 8 rd i r i c h l e tp r o b l e m s 【j 】 。 j 纯轨a 码0 2 a p p 厶1 9 9 9 ，2 4 0 ：4 3 3 - 4 4 5 r p a g 哪同a n dd o 鼬g a n e 菇s t e n c et h e o r yf o rs i n g l ea n dm u l t i p l e 鼢 l u t i o st os i n g u l 缸p o s i t o n eb o u n d a r y d u ep r o b l e m s j 】 j d i 触他亿石口z e g 仳口挽d 粥，2 0 0 1 ，1 7 5 ：3 9 孓4 1 4 r p a g a r 砌髓dd o g a n t 诵ns o l u t i o n st o8 i n g u l a rb o u n d 雒y 砌u ep r o k 1 e m s j 】p r d c a m e 7 忱s d c ，2 0 0 0 ，1 2 8 ( 7 ) ：2 0 8 5 2 0 9 4 d q j i 8 d l g m u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n st os i n g u l a rb o u n d 盯yv a l u ep r o b l e l s f o rs u p e r l i n e 跗h i g h e r o r d e ro d e s 【j 】c d 竹叨u t e r s 口他d 且彳。饶e m 口挽c s 谢纨a p p 丘c o 抚d 瑚，2 0 0 0 ，4 0 ：2 4 皿2 5 9 一 d q j i a n g m u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o st os i n g u l a rb o u d 船yv 出u ep r o b l e m s f o rs u p e r l i n e a rs e c o n do r d e rf d e s 【j 】a 佗佗p d 幻他饶，2 0 0 0 ，l x x v ( 3 ) ：2 5 7 - 2 7 0 1 0 】j w 妇g a n dw g a 0 as i n g u kb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rt h eo n 争 出m e n s i o n 越p - l 印l a c i a 丑 j ，朋_ 口饥a 礼以a 即f ，1 9 9 6 ，2 0 1 ：8 5 1 8 6 6 【1 1 】 r p a g a r w 甜 觚d d o r e 9 8 n n o n l i n e a rs u p e r l i n e 8 rs i n g u l 雏 a j l d n o n s i n g u l 甜 s e c o n do r d e r b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s 【j 】 j d 咖r e 佗挽以 肋u 口抚d 邶，1 9 9 8 ，1 4 3 ：6 0 - 9 5 【1 2 】钟承奎，范先令，陈文源非线性泛函分析引论【m 】兰州大学出版社， 1 9 9 8 【1 3 】 s d 7 砌a f e r r o a o n h n e a rs i n 9 1 1 1 a rb o u n d a r y 词u ep r o b l e m 【j 】d n 托n r a 礼口玩s 诂；1 9 7 9 ，3 ：8 9 7 - 9 0 4 m ，同 。 m ， 东北师范大学硕士学位论文 f 1 4 】l e b o b i s u d ，d o r e g a na n dw dr d 删蚵s i n 9 1 1 1 8 rb o u n d 船y 词u ep r o b k m j a p p 托c4 t z 口瑰s i s ，1 9 8 6 ，2 3 ：2 3 孓2 4 3 【1 5 】章熙康具有奇性的常微分方程边值问题【d 】博士论文，吉林大学，1 9 9 0 【1 6 】d o 鼬g a n p o s i t i v es o l u t i o n st os i n 9 1 l l a ra n dn o n s i n g u ks e c o n d - o r d e r b o u n d 盯yv 出u ep r o b l e m s j 】，m 口统a 佗口己a 即1 9 8 9 ，1 4 2 ：4 0 5 2 【1 7 】j y 、7 v j l i l g o np o s i t i v es o l u t i o n so fs i n g u l a rn o n l i n e 8 rt w 争p o i n tb o u n d a r y p r o b l e m s j 】，d 船7 1 b 礼挽o ：e g 仳口抚d 7 硌，1 9 9 4 ，1 0 7 ：1 6 孓1 7 4 【1 8 】l i ux i y u s o m ee 茹s t e n c ea n d o n e 菇s t e n c ep r i n c i p l e sf o rac l a s so fs i n g u l 鲍 b o u n d a r y 、，a l u ep r 6 b l e m