（粒子物理与原子核物理专业论文）重核裂变动力学过程的颈部研究.pdf

重核裂变动力学过程的颈部研究 中文摘要 本论文利用试验粒子反复多次通过位垒方法，讨论鞍点回流现象，并利用该 模型系统讨论了复合核热裂变速率，非谐势对核裂变速率的影响，裂变时钟问题 以及颈部振荡问题，提出颈部长度概念，得到了不少有意义的结论。 对裂变扩散模型的深入研究使人们发现通常的试验粒子首次通过鞍点模型 模拟的定义在鞍点处的稳态裂变速率要比断点处的大，因此在数值模拟中有作者 选择断点作为裂变的判断依据。然而鞍点是一个普遍的非常重要的物理概念，它 广泛地应用在许多物理领域，包括核裂变及熔合问题。因此定义在鞍点处的裂变 速率在裂变的研究中仍然是十分重要的。试验粒子的l a n g e v i n 轨道在通过鞍点 之后具有一定的返回几率，存在着回流现象，因此利用试验粒子多次通过鞍点模 型来模拟核裂变动力学过程是非常合理的。 我们把试验粒子反复多次通过鞍点方法即通常的试验粒子首次通过鞍点方 法计算的热复合核的裂变速率进行了比较，发现前者计算的裂变速率要低于后者 的结果，但是与定义在断点处的稳态裂变速率一致。 考虑到鞍点回流现象，我们对热核裂变位垒作了非谐修正，发现鞍点后越 “陡”的势中回流效应越弱，核容易发生裂变。 在对裂变时钟问题的讨论中，我们发现在裂变核系统颈部生长过程中存在着 颈部的振动过程，且具有一定的稳定性，因此我们提出了颈部长度，颈部宽度的 概念，并研究其受温度及粘滞系数的影响，发现在高温度低粘滞系数的情况下， 在鞍点处能够生长出长而宽的“脖子”。 关键词回流效应，裂变速率，裂变时间尺度，颈部长度 t h e i n v e s t i g a t i o no ft h en e c k i nn u c l e a rf i s s i o n a b s t r a c t t e s tp a r t i c l e sm u l t i - p a s s i n go v e rs a d d l ep o i n lm o d e li sp r o p o s e , w h e r et h e b a c k - s t r e a m i n ge f f e c ti st a k e ni n t oa c c o u n lt h et h e r m a lf i s s i o nr a t ei sd i s c u s s e d s y s t e m a t i c a l l yw i t ht h em o d e l w i t hf u r t h e ri n v e s t i g a t i o no ft h ed i f f u s i o nm o d e lf o rf i s s i o n , p e o p l ef o u n dt h a t t h es t a t i o n a r yf i s s i o nr a t ea tt h es a d d l ep o i n td i f f e r sf r o mt h a ta tt h es c i s s i o np o i n tw i t h o r i g i n a ll a n g e v i ns i m u l a t i o n f i s s i o nr a t ea tt h es e i s s i o np o i n ti sc h o s e na st h ec r i t e r i a o ff i s s i o nb ys o m ea n t h o & n e v e r t h e l e s s ，s a d d l ep o i n ti sg e n e r a l l yav e r yi m p o r t a n t p h y s i c a lc o n c e p t i o n ri sw i d e l yu s e di nm a n yf i e l d so fp h y s i c a l ，i n c l u d i n gn u c l e u s f i s s i o na n df u s i o n f i s s i o nr a t ea tt h es a d d l ep o i n t , t h e r e f o r e ，i ss t i l li m p o r t a n ti nt h e i n v e s t i g a t i o no ff i s s i o n t h el a n g e v i nt r a j e c t o r i e sm a yw i t hac e r t a i np r o b a b i l i t yt ob e b a c ka f t e rh a v i n gs u r m o u n t e dab a r r i e rt o ph a sb e e nf o u n d s o ，t h em e t h o do ft h e p a r t i c l e sm u l t i p a s s i n go v e rt h es a d d l ep o i mc o u l db ew i d e l yu s e di nt h ep a s s i n g p r o b l e m so v e rab a r r i e rt o pi nn u c l e u sf i s s i o no rf u s i o n t h es t a t i o n a r yf i s s i o n 豫t ci n0 1 1 m o d e lb e c o m e sl e s si nc o m p a r i s o n 、v i t l lt h e o r i g i n a lo n ea n dc o i n c i d e sw i t l lt h er e s u l t sa tt h es c i s s i o np o i n t t h er e p e a t e d l y - p a s s i n g - o v e r - s a d d l em o d e li sa l s oe x u d e dt o a p p l yt ot h e g e n e r a lp a s s i n gp r o b l e mo v e rab a r r i e rt o p t h en o n - h a r m o n i ce o r r e e t i o u sf o rf i s s i o n p o t e n t i a la 托m a d e i ti sf o u n dt h a tt h es t e e p e rp o s t - s a d d l ep o t e n t i a l t h ew e a k e r b a c k - s t r e a m i n ge f f e c t , w h i c hr e s u l t si ne a s yf i s s i o n v i at h ed i s c u s s i o no ff i s s i o nc l o c k , w ef m dt h a tt h e r ee x i s t sn e c ko s c i l l a t i o nd u r i n g g r o w i n gu po f t h ec o m p o u n dn u c l e u sn e c k , w h i c hh a sc e r t a i ns t a b i l i t y w ep r o p o s et h e n e c kl e n g t 】ha n dt h en e c kw i d t h ，w ef u r t h e r n l o r ei n v t i g a t et h ei n f l u e n c eo f t e m p e r a t u r e a n dd a m po nt h e m w ef o u n dt h eh i g h e rt e m p e r a t u r ea n dl o w e rd a m p t b el o n g e ra n dw i d e rn e c k w i l lg r o wo nt h es a d d l ep o i n t k e yw o s = b a c k - s t r e a m i n ge f f e c t ，f i s s i o nr a t e ，n o n - h a r m o n i c p o t e n t i a l ，f i s s i o nt i m es c a l e ，n e c kl e n g t h 重核裂变动力学过程的颈部研究 核裂变理论模型 ( 一) 原子核裂变 第一章引言 核裂变是指一个重核自发地或者通过中子，光子，带电粒子或重离子打进原 子核产生的核反应，使这个核分成两个质量相当的碎片，这一现象是1 9 3 8 年至 1 9 3 9 年间发现的，m e i n t e r 借助生物学上细胞分裂的概念，把这种现象称为“裂 变”。通常把重核分裂成两个碎片的过程叫二分裂变，把重核分裂成三块或四块 的裂变叫三分裂变或四分裂变。1 9 4 7 年，钱三强和何泽慧首先观察到中子打铀 的三分裂变，三分裂变产物通常是两个大裂变碎片和一个口粒子，三分裂变比二 分裂变的几率小得多，一般为二分裂变的千分之三，四分裂变几率就更小了，核 裂变的重要特点就是在裂变过程中有不同能量和数量的中子放出。 核裂变一般分为两种，自发裂变和诱发裂变。 自发裂变指原子核在无外来粒子轰击下自行发生的裂变，通常只有很重的原 子核才进行自发裂变，然而很重的原子核大多数具有口发射性，可见在重核的自 发裂变中存在与口衰变的竞争。 原子核的自发裂变几率取决于裂变位垒，这是原子核在裂变过程中所要克服 的库仑势垒。它与原子核的电荷数有关，如果穿透势垒的几率大，白发裂变就容 易发生，半衰期就短，穿透势垒的几率小，半衰期就长。 诱发裂变指在外来粒子如具有一定能量的中子，光子，质子，重离子等的轰 击下，重原子核发生的裂变反应。由于中子与靶核作用无库仑势垒，能量很低的 中子就可以引起核裂变，因而这种裂变几率较大，研究较多。本论文主要是针对 这种诱发裂变进行细致深入的研究。 ( - - ) 原子核裂变理论模型 裂变发现后不久，b o h r 和w h e e l e r i 发表了“核裂变机制”的经典性文章， 成为这一时期最重要的科学成就，它的某些基本概念和公式至今一直沿用着。 b o h r 根据复合核概念提出核裂变的机制：任何核裂变都分为两个步骤，第一步， 原子核接受一个激发( 如打进一个中子) 形成高度激发并具有长寿命的复合核， 第二步，通过发射粒子进行退激，对于重核可能产生核裂变与之竞争。 重核裂变动力学过程的颈部研究 1 9 3 9 年b o h r 提出液滴模型，把原子核类比为带正电的液滴，因此它的势能 主要由两部分组成即表面能和库仑能，对于一个球形的原子核，其表面能是阻止 发生形变的，而库仑能则是促使发生形变的，当形变刚开始时，表面能的增加比 库仑能的减少要快，使总位能增加，当形变达到某个临界值( 鞍点之后) 库仑能 的减少要比表面能的增加要快，因而系统的势能很快减小，w h e e l e r 等人为了研 究能引起核裂变的最小激发能，引入了裂变位垒的概念，形变能最大的点对应的 能量称为裂变位垒，相应的形交点称为鞍点，如图1 所示位能与形变的关系： v w ，。 。弋 l x _ d x | c 图1 核在势阱底部时为球形的复合核状态，当它达到鞍点时，形变能达到最大，球形 变成哑铃形。经过鞍点后哑铃形继续伸长直到断点，裂变片被分裂为碎片。 为了确定核的裂变几率或裂变宽度1f ，b o h r 根据他的平衡态统计模型，假 定当一个重核吸收一个粒子后，在基态与鞍点上都瞬时达到统计平衡，这样裂变 宽度可表示为： 1 一一f r ，2 互荔【户( 弘易一& 矽毛 其中，“d 是基态能级密度，而p ( d 是鞍点上的能级密度。这个公式就 是有名的b o h r - w h o e l c r 公式，在很长一段时间内，人们借助此模型来描述裂变 过程与轻粒子发射的竞争，但随着实验技术的提高和大量新实验数据的出现已有 的理论和实验之间的矛盾逐渐暴露出来，例如：近年来，对重离子诱发核裂变中 断前中子发射进行测量，揭示了一个重要事实，即实验上测得的中子多重性随入 射能量的增加比此模型的计算值要高得多。这个现象称为断前中子多重性增强现 2 重核裂变动力学过程的颈部研究 象，因此人们认为核裂变过程并不像平衡态统计理论所假设的那样，在复合核态 和鞍点态之间瞬时达到平衡，而是一个具有粘滞性的非平衡输运模型，事实上， 裂变的非平衡态输运模型和平衡态统计理论几乎是同时出现的。远在1 9 4 0 年， k r a m e r s 2 1 就提出利用布朗运动原理研究粒子越过势垒的逃逸问题，即裂变问题。 该模型的主要思想是：将原子核的变形运动比作布朗粒子的扩散运动，将核内核 子运动作为一个热浴处理，将单粒子自由度与变形自由度的耦合比作介质分子对 布朗粒子的碰撞作用。并在准稳态近似下推导了越过鞍点的逃逸流公式，第一次 将粘滞性引入裂变速率的计算中，得到了著名的k f m n e l 瞎裂变速率，但由于此公 式是在准稳态近似下得到的，因此只适用于低温，当核温度远小于势垒时还应考 虑量子穿透效应，并且它给出的裂变速率不随时间变化，因此不能用来研究裂变 的瞬态现象。近年较有影响的核裂变动力学模型是首次通过鞍点模型，但该模型 忽略了鞍点后的动力学效应，没有考虑鞍点后扩散过程对鞍点稳定流的影响。因 此我们使用的是自己提出来的试验粒子多次通过鞍点模型。 二核裂变的应用 ( 一) 核武器 核武器是利用自持进行的核裂变或聚变反应瞬时释放的能量产生爆炸，并具 有大规模杀伤破坏效应的武器的总称。目前，核武器已有三类：原子弹，氢弹和 中子弹，以原子弹为多。 原子弹是利用2 3 5 u 或2 3 9 p u 等重原子核的链式裂变反应原理制成的，这种 核武器也称裂变武器，它是靠化学炸药使处于次临界体积的裂变装料瞬间达到超 临界状态，并适时用中子源提供若干中子，触发链式反应。 我国于1 9 6 4 年1 0 月1 6 日首次试爆成功原子弹，并且两年后，完全依靠自 己的力量和科技人员的聪明才智，掌握了氢弹制造原理，是世界上原子弹到氢弹 时间间隔最短的国家。 核武器的巨大破坏力和杀伤力给人类带来了无尽的灾难，核辐射正严重威胁 人类健康。然而无论历史将怎样评判，核武器在战争中的使用是人类历史上的一 个重要事件，核武器的拥有和核威胁的抗衡至今仍然衡量着世界大国之间军事发 展水平。 重核裂变动力学过程的颈部研究 ( 二) 核能 核裂变的另一个重要应用就是获取核能，目前全世界已知的可供利用的煤， 石油，天然气这类化石燃料只够烧1 0 0 多年了，又由于这些化石燃料分布极不均 衡，各个国家的社会经济发展程度相差很大，发展中国家能源问题最为突出。我 国是一个正在以高速发展的特大发展中国家。现在制约我国持续高速度发展的主 要因素之一就是能源问题，面对当前现实，考虑到长远的全球的能源需求，全世 界的科学家，经济学家和政治家都认识到发展核能是必由之路，大势所趋。 核武器中的裂变反应实际上是一种不可控的核反应过程，要将裂变反应的能 量作为动力为人类服务，必须实现可以控制的核反应。而为了这种持续的链式反 应，就必须使在反应过程中，任何一代中子数目“，大于它上一代的中子数v t _ i ， 通常用k 来表示它们的比值称为中子增殖系数，当k = l 时，裂变反应能稳定持续 进行，因此要利用原子能作为动力关键在于控制裂变反应的中予增殖系数k 。核 反应堆就是这样一个装置，在核反应堆中裂变过程释放大量能量，这些能量绝大 部分最终都转变为热能，反应堆中产生的热量通过载热剂输送出来可以用来推动 发电机，也可以作为热源供给人们取暖。 核能最早应用于潜艇，1 9 5 4 年美国第一艘核潜艇下水，目前，美国共有1 1 8 艘核潜艇，我国是世界上第5 个拥有核潜艇的国家，另外，核能还被广泛应用载 航空母舰，宇宙飞船上。 总之，核能是一种安全而又干净的能源，未来世界不可缺少。同各种化石燃 料相比，核能对环境和人类健康的危害更小。 核裂变的发现是核物理基础研究的产物，6 0 多年来它虽然已在核能等方面 得到广泛应用，但核裂变的基础研究一直没有间断，并倍受重视。由于实验条件 的不断完善和新设备的建立，以及理论上的巨大进步，直到今天它仍然是核物理 研究中一个非常活跃的领域。 三本文研究的目的、意义和主要研究的问题 目前，对于重核裂变机制以及超重核合成动力学机制的研究是国内外核物理 学中的长期和重大的前沿课题，它为实验上寻找超重元素提供着理论指导。但是 国内在这方面的研究还有很多空白，尤其是在重核裂变过程中，对于颈部构成的 研究很少，多重于势能面和核结构的静态性质的研究，同时利用了很多的近似， 颈部自由度的关键性作用还有待进一步的工作。在重离子诱发核裂变反应中，颈 部断裂条件是影响裂变输出量的重要因素之一，而简单的几何构形不能对裂变输 4 重核裂变动力学过程的颈部研究 出量如裂变碎片平均动能，动能及质量分布宽度和断前中子多重性等同时给出合 理的描述。因此，在本论文中，我们利用自己提出的试验粒子多次通过位垒方法 进行朗之万数值模拟计算，考虑了回流效应引起的颈部振荡，重点研究在裂变过 程中颈部振动对核裂变速率的影响，以期解决目前的扩散模型造成对重核裂变速 率过高估计的问题，这些都将进一步加深和丰富人们对于重核裂变过程中的动力 学机制的理解。 本文主要对以下几个方面做了研究和探讨： ( 一) 讨论非谐势对裂变速率的影响，例如：我们已经构建了带结构的势垒形式， 可以将其应用到核裂变速率的计算中，具体讨论带结构的势对核裂变速率的影 响，以便选用最接近核内真实势的形式。 ( 二) 用试验粒子多次通过位垒方法讨论重核裂变动力学过程中，颈部振动对裂 变速率的影响以及对裂变时间尺度等物理量的影响。进一步认识和理解回流效应 和颈部振动变化对重核裂变机制的影响。 ( 三) 编写计算颈部振动的程序，进一步讨论颈部长度的一些物理性质例如：它 随着温度，阻尼的变化情况，更深入地讨论颈部振动对核裂变速率的影响，我们 还可以讨论试验粒子在鞍点处的振荡频率，给出它的定义式，编写程序计算鞍点 处的振荡频率。 重核裂变动力学过程的颈部研究 第二章理论基础 布朗运动和朗之万方程馏钔 1 8 2 7 年，英国生物学家r o b e r tb r o w n 【5 】发现，在含有花粉小颗粒的水悬浮 液中，花粉小颗粒做断续的无规则运动。1 9 0 7 年，a e i n s t e n ，v s m o l u c h o w s k i 以及e l a n g e v i n 等人从理论上给出了令人满意的解释。进一步的理论研究结果表 明，b r o w n 运动是一种典型的随机过程，它和通常的规则运动不同，在规则运动 过程中，由于粒子受到确定的力f ( f ) 的作用，则按照牛顿第二定律 m 害： d r 。 ( 1 ) 通过解该方程，我们就可以得到，从某一时刻出发，经过任意时刻t 粒子的 位置及运动状态。而在随机过程中，由于粒子在任意时刻t 所受的外力是不确定 的，因此，粒子的运动状态与时间t 之间不存在这种一一对应的关系，我们无法 某一时刻粒子的运动状态来推测下一时刻粒子的运动状态。而只能通过对粒子的 长期观察，来得到各种运动状态在某一时刻分布的几率。 如果我们设一布朗粒子所受的随机力为声( f ) ，则我们可以把该力形式的分为 两部分 f ( o = ( ，( f ) ) + r ( ，) ( 2 ) 这里的( 万( f ) ) 表示随机力对随机系综的平均，显而易见，平均值( ( f ) ) 反映 了随机力对布朗粒子的平均作用，它和粒子的运动状态之间存在着如下的关系 ，( r ) ) = 一r u ( t ) ( 3 ) 如果我i f 3 弓i 入粒子所受外力场v 的作用， m 粤：_ v 矿一肘店+ i ( r ) 出 则我们可以得到下面的运动方程 ( 4 ) 这就是有名的随机过程的运动方程朗之万方程。它的一般形式为 m 警- - - - v y m 少t ) u c t + _ ( o ( 5 ) 由该方程，我们可以得到，随机力具有如下的重要性质： 6 重核裂变动力学过程的颈部研究 ( 酬 ( 6 ) ( r , ( t ) r j ( s ) l = 2 d s u s ( t s ) 方程( 4 ) 在忽略外力时，可以得到解 矾) _ 录音+ 击弘音“诫s 油 ( 7 ) 作系综平均，可以得到 可以看出，当t 寸m 时，其平均速度为零。但是，由于粒子受到了周围液体 分子的撞击，相当于具有一定温度的液体，为布朗粒子提供了一个热浴，因此， 布朗粒子的运动并不为零。 二朗之万方程数值模拟 重核裂变的动力学过程可以用l a n g e v i n 方程来描述，两碎片质心距g ( f ) 随时 间演化的运动方程为： 尊( f ) = 肌- 1 ( g ) 户( f ) ， ( 9 a ) p ( f ) ：一丢望单p 2 一了c g v ( q ) 一，( g ) m - i 国) p ( f ) + g ( g ) 孝( f ) ( 9 b ) zo q 其中v ( q ) 是势场，r e ( q ) 和r ( q ) 分别是系统沿伸长自由度g 上的惯性质量和阻尼， 计算中所用到的约化阻尼= y ( q ) m ( q ) 取作常数，噪声强度埘( g ) ( g ) r ， r 是以m e v 为单位的复合核温度，k 。为玻耳兹曼常数，无规力善( f ) 遵守 = o ， = 2 8 ( t t r ) 我们用随机龙格一库塔方法和单步迭代方法相结合，求解方程( 9 ) ，这样既避免 了产生高阶导数，同时精度也较高。 首先把方程组( 9 ) 变为 雪( f ) = v ( f ) ( 1 0 ) 7 黼 重核裂变动力学过程的颈部研究 所( 口) 地) = 1 2 v 2 o r e 矿( q ) 一百o v 一v ( f ) + 献) 设g ( 蛳( r ) ) 专宴a 掣qv 2 ( f ) - 掣a 斗q 叫g ) v ( f ) ， z 对( 1 0 ) 积分 q ( t + a t ) - q ( t ) ：f + “吣) 豳：扛( v ( f ) ( f ) ) = i 吣) 豳= 去出( v ( f ) + v ( f ) ) 其中 v ( f ) = v ( ，) + 丽1 啪m ) & + 士r e ( q ) 屈面m 【们 所以 孵圳喇m 址+ 南 g ，v ( f ) ) r + 届_ 对( 1 1 1 颓锛 ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 肼( g ) v ( f + 出) 川) = 等似v ( 啪g ( z ( f ) ，v ) ) 七厕 其中，( f ) 式取 ，( f ) = x ( t ) + v ( t ) a t ( 1 6 ) 所以 岍川) + 赤陬轨v m g ( 确棚p ) + 赤历面 这里g ( f ) 和v ( f ) 为单步迭代方法的模拟解。l l ，是均值为零，方差是1 的标准高 斯随机数。由( 1 4 ) 式和( 1 7 ) 式我们便可以模拟出任意时刻粒子的坐标q ( t ) 和 速度v ( t ) ，当试验粒子第一次通过鞍点后，继续跟踪粒子的轨道直到粒子最后一 次通过鞍点并落到断点，记录试验粒子最后一次通过鞍点的时间，这样随时间变 化的裂变速率被定义如下 ，( f 卜器 8 ( 1 8 ) 重核裂变动力学过程的颈部研究 其中n ( t ) 是，时刻未发生裂变的粒子数，a n ( t ) 是t 到t + a t 内发生裂变的粒子 数。为了得到统计结果，设置一时间间隔则在r 斗r + 时间内核裂变的平均速 率为 ，( f ) = 爿1 1 1 ( f ) 一l n n ( t + r j ) ( 1 9 ) 需要强调一下，这里的“( f ) 是指记录的最后一次通过鞍点的粒子数。 三f o k k e r - pia n k 方程洲 求解朗之万方程，虽然很直观，但计算工作量大，而且只能进行数值计算， 因此人们常常使用直接计算集体运动在相空间分布函数的f o k k e r - p l a n k 。下面我 们就从附录i 中式( 1 ) 开始推导f o k k e r - p l a n k 方程。 首先假定 p ( x t l x ，t + a t ) = 1 - y ( x ) 出 烈x 。一x ) + ( x 1 w l x a t + o c a t ) ( 2 0 ) 代入附录i 中式( 1 ) 得 p ( x t , i 工t ) - - p ( x t 。l x , t - a t ) 1 一，( 功& 】+ p ( x f f l f f ) 硝( x 。1 w l xa t + d ( f ) ( 2 1 ) 取缸- - + 0 ，对于任意初始条件，几率密度满足同一演化方程 讲a - - - w ( x , t ) = 一w ( x , t ) y ( 功+ 吵( x , t ) d x ( x 。i 矿卜) ( 2 2 ) d f o、。 我们来定义随机标符r ( x ，f ) 昙形= 少( 打) d x ( x i r l x ) ( 2 3 ) 如果该方程仅描述一定态过程，则它就仅与x 有关 p f ) = r ( x ) p ( x ，t ) 为了推导f p 方程，我们做如下的变量替换： 工专qw ( x ，r ) 专p ( x ，f ) ，= g g 则式( 2 2 ) 可以写作 昙础，f ) = 一缈( ) a r p ( 吖) + i w ( q - r , r ) d r p ( 鼋- ，d ( 2 4 ) 将方程级数展开 9 重核裂变动力学过程的颈部研究 我们定义 这样， 如果 则有 知垆喜譬( 割i d r r “w ( q , r ) p ( q , t ， 啪= m l i + m 。l ( ，”q 知力= 喜学寿w 妣力 a n ( q ) = 0 知力= k 并g 卜o ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 该方程就是我们所熟知的f o k k e r - p l a n k 方程。 下面，我们就以朗之万方程( 3 ) 为例，来推导上面方程的系数。 方程( 3 ) 对时间f 在t 寸f + r 间隔内积分 一t + 6 t a u = - r u a t + 1fr ( t ) d r + o ( a o( 2 8 ) m ； 如果假定r ( r ) 是一个高斯过程则 l i i n 鳢：一埘 慨警：击溉i 了她，r 心地叱：等 c 2 9 ， ( 矿) l i r a 土_ 上= 0 由于 a x = u a t l i m 垃：“ 所以l i m 鳢斗o l i m 幽_ o 将以上结果代入方程( 2 7 ) 幽o t 蜘罢+ k 塑o u = 旦o u l 川+ 2 塑m 岳l p 阮) 缸l 锄l 1 0 ( 3 0 ) ( 3 1 ) 重核裂变动力学过程的颈部研究 四核裂变速率的近似计算方法呻1 ( 一) 准稳态近似下的k r a m e r s 裂变速率 根据核裂变的扩散模型，可把裂变原子核的变形运动看作布朗粒子的扩散 运动，把裂变坐标x 和共轭速度1 ，看作经典变量，在二维相空问中，几率密度 w ( x ，v ，f ) 服从如下形式的f o k k e r - p l a n c k 方程： 疗署+ “番堡旦( u w k u w ) + g 尝， 320uo uo u )+ “+ = i1 卜口t - ，【) 8 毋。? i、i z 在上式中，g2 了k2 一百。矿( x ) 是核在形变时所受的位势。鉴于求解含时 f o k k c r - p l a n c k 方程的复杂性，k m m e 鹉在他开拓性工作中，首先研究了核温度远 低于势垒高度的情况。这时在鞍点上的扩散流很小，可作准稳态处理，认为在基 态势阱中粒子达到平衡分布，其他区域并未达到平衡，在这些物理条件下，求解 f o k k c r - p l a n c k 方程，获得鞍点上的逃逸流。 基态粒子的b o l t z m a n n 分布为： w = c c x p 卜矿+ 2 l ( 3 3 ) 显然，该分布满足f o k k e r - p l a n k 方程，但是由于它只适用于基态位置，而其他位 置并不适用，我们可以在此基础上，设在其他点的分布为 形= c f ( x , u ) e x p ( 叫 2 + 2 r ) ( 3 4 ) 并且假定边界条件 f 似甜) 2 1 x=o(35、 f ( x ，“) 0 x = t 下面就来确定函数f ( x ，“) ，见附录i i 叶型 jj时邓么)ap2nq ， lj 三 印 满足边界条件 f lp _ o o 、f 寸0p “ 等价于 ( 3 6 ) ( 3 7 ) 重核裂变动力学过程的颈部研究 f 斗l f 斗o 工寸 x 寸 这样， 一g e - m s - e x p - m ( 扛蝴 j 唧 - ( a - p ) 卜 在鞍点上的速率分布为 矿：c _ 一哆厶 ；e 一雳；! 唧- ( a 一，卜 令彳：型：隆监m 2 q2 p k t 上式可进一步地写为 ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 4 0 ) ( 4 1 ) 矽= c ( 昙 j 1e 一鲁一筹 j e - 4 i t 2 d u + 弘一 幽 = c ( 手1 器睇+ 击p 瓴厄) ， 斗器 h 形c 厄， 如果在基态附近，力场为谐振子力场 m ) = 三m x 2 则 w = c e x p ( 埘( 矿耐x ) 相应的粒子数为 2 u 懒( 2 万吃) 在鞍点的扩散流 ，= j 形c z o ，甜，砌= c 乞r 1 鲁j 咖e 丽- m u l - ! i td 一十所 通过分步积分 ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) 重核裂变动力学过程的颈部研究 鲁r p ， 这样就可以得到越过鞍点的粒子逃逸速率 p = 上= 屹 ( 4 8 ) 其中，吼和q 分别是基态势阱和势垒的宽度，易是裂变势垒高度。这就是著名 的k r r m e r s 公式。由于公式简单，它受到理论和实验者的关注； ( 二) 热力学稳态裂变速率及修正的k r a m e r s 速率 豇 a m e r s 速率公式只在低激发能下适用，当激发能高于势垒的一半时，其结 果与朗之万模拟结果相差甚大。考虑到粒子在翻越势垒的过程中，质量和约化阻 尼都并非常数，而是随坐标连续变化的，因此根据热力学方法，导出新的裂变速 率公式。改进后的公式对于激发能与势能位垒高度相当的热裂变同样适用，其结 果比勋狮e 璐公式更接近朗之万模拟值。 根据热力学方法，核裂变达到稳定时，裂变速率与自由能虚部之间有如下关 系 9 - 1 3 】 ：一2 _ k t ci m f ( 4 9 ) ” 危七2 。 其中自由能f = k t l n z ( z 为配分函数) ，t 为复合核温度，k 为玻耳兹曼常 数，为跨越温度，为修正的势垒频率，它由方程 2 + 扎一订= 0 ( 5 0 ) 决定以和分别是鞍点处的阻尼和频率，其中2 = 面b p 。( 吼) i 。 对于玻耳兹曼平衡态，我们写出一维经典情况下的配分函数： z = 击j c 坤 一吉 瓦p 2 + y c g ， ) 懒 c s ， 这里n o 是一个归一化常数。注意到质量m 与坐标g 有关，对上式动量进行积 分： 1 3 一 等 重核裂变动力学过程的颈部研究 z = 击厄丽! 瓜万唧( 一等) 幻 2 击历! 厕懿p ( 一铡由+ 击唧厕e x p ( 铡砌， 当计算上式第二个积分的时候，由于过鞍点后势场下降，积分的不稳定性导 致了从吼到a o 的积分发散。为了解决这个困难，将积分变换为上半复平面，即令 留2 吼+ 耖，进而提供了一个具有虚部的复配分函数， z = 袁! 唧( 一警由h 时掣p ， 其中常数 = 11 ：! 。 1 _ 2 兀k t 引入有效势k ( 9 ) = 矿( g ) 一k t i n ( m ( q ) ) ，将有效势巧( g ) 在鞍点处展开，即 k ( 吼+ 叻= k ( 吼) + 丢矿( 似谚+ j i v 卿( q d ( i y ) 3 ( 5 4 ) 这里吼指的是有效势的鞍点，因此热力学裂变速率解析解公式： 咯= 詈圮( 器 ， 奠中 r e z = 击由唧( _ 等争一可1e x p ( - 三挚f d , o x p 一互万1 陌瓴) f y 2 ) s 缸 嘉k 圆瓴矿 h z = 击晰学f 方唧 _ 面1 ，i y 2 h 嘉叩伽3 当温度远远低于位垒高度时，也即r “屹，则i m z o 乏 ，一、 叮 q 图5 简谐势k ，k 和非谐势巧，k 图6 a 组图为温度取4 m e v 时，a i ，a 2 ，a 3 分别为利用首次通过鞍点方法， 多次通过鞍点的方法及定义在断点3 种方法模拟核在非谐势巧和非谐势k 中裂 重核裂变动力学过程的颈部研究 变速率随时间的演化结果。b ，c 两组图为温度取4 8 8 m e v ，6 m e v 时的结果， 每个图中模拟的试验粒子数均为1 5 0 0 0 0 个，上，中，下3 条曲线分别代表在非 谐势k ，简谐势k ，非谐势圪中核的裂变速率。 如图所示，图a 1 利用首次通过鞍点方法并不能给出非谐势k ，圪对于裂变 速率的影响，因为基态到鞍点势垒形式都是一致的，而试验粒子一旦通过鞍点便 不再继续追踪记录，因此在这一位置通过粒子几率是相等的，首次通过鞍点方法 正是粒子第一次过鞍点就裂变掉了，并没有考虑鞍点后的扩散过程对于裂变速率 的影响。而我们提出的利用多次通过鞍点方法可以清楚的模拟出的鞍点后不同形 式的势垒形式对于裂变速率的影响，并且与模拟在断点时的裂变