（计算数学专业论文）含高阶空间导数偏微分方程的局部间断galerkin方法.pdf

t 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本 文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：埋幽：玺 日期：鲨竺篁：兰笙 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他 复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：幽害导师签名：壹! l 蕴遗日期：趔兰：羔= 埠 j 目录 中文摘要1 英文摘要3 第一章引言5 第二章线性k d v - b u r g e r s 方程的局部间断g a l e r k i n 方法7 2 1 引言7 2 2 空间分解和变分形式7 2 3 时间分解9 2 4 稳定性分析1 0 2 5 误差估计1 3 2 6 数值算例1 8 第三章c a h n - h i l l i a r d 方程的局部间断g a l e r k i n 方法1 9 3 1 引言1 9 3 2l d g 格式2 0 3 3 稳定性分析2 l 3 4 数值算例冷 第四章进一步推广砑 参考文献泣 致谢3 害 攻读硕士学位期间完成论文情况3 c o n t e n t s c h i n e s ea b s t r a c t 【 e n g l i s ha b s t r a c t 3 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 5 c h a p t e r2l o c a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o df o rk d v - b u r g e r se q u a t i o n 7 2 1i n t r o d u c t i o n 7 2 2s p a c ed i s c r c t i z a t i o na n dv a r i a t i o n a lf o r m u l a t i o n 7 2 3t i m ed i s c r e t i z a t i o n 9 2 4s t a b i l i t ya n a l y s i s 1 0 2 5 e r r o re s t i m a t e 1 3 2 6 n u m e r i c a le x a m p l e 1 8 c h a p t e r3l o c a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o df o rc a h n - h i u i a r de q u a t i o n 1 9 3 1 i n t r o d u c t i o n 1 9 3 2 l d gs c h e m ef o r m u l a t i o n 2 0 3 3s t a b i l i t ya n a l y s i s 2 1 3 4 n u m e r i c a le x a m p l e 2 3 c h a p t e r4c o n c l u s i o n 2 9 r e f e r e n c e s 3 0 a c k n o w l e d g e m e n t s 3 3 山东大学硕士学位论文 含高阶空间导数偏微分方程的局部间断g a l e r k i n 方法 田明鲁 ( 山东大学数学学院，济南，山东2 5 0 l o o ) 中文摘要 间断有限元方法是利用完全间断的分片多项式空间对近似解 和试验函数进行空间离散的有限元方法。自八十年代末开始逐渐 引起了一些数学家们的注意，因此也得到了很好的发展。本文主 要应用这种方法求解两类含高阶空间导数的偏微分方程，构造相 应的l d g 格式，做了稳定性和误差分析，并给出了数值试验。 本文共分为四章。 第一章是引言，简单介绍了间断有限元方法的由来和发展，并 对这种方法的优点做了一个总结。 第二章用局部间断有限元方法求解如下线性k d v - b u r g e r s 方程： 鬲6qu+一ouo：塑+坐(z，t)删啪xo x 2o x 3一+ 一= 一+ 一 i tf l l nn i i i j ，i 现。 、。7 。”3 一。”1 “( z ，o ) = “o ( z )z a ，6 】 我们针对以上方程构造了l d g 格式，给出了稳定性和误差分 析以及数值算例 第三章用局部间断有限元方法求解如下c a h n - h i l l i a r d 方程初边 值问题： 容+ 昙( u 一护+ 7 象) ：。( 圳【o 2 叫【o 卅， ( z ，0 ) = u o ( x ) z o ，2 7 r 】 山东大学硕士学位论文 其中，y 0 表示迁移率，并且对于任意时间，u 具有周期边界条件， 即：u ( x ，) = u ( x + 2 7 r ，) 我们针对以上方程构造了l d g 格式，给出了稳定性分析和数 值算例。 第四章是全文的总结，并提出了一些希望 关键词：局部间断g a l e r k i n 方法；k d v - b u r g e r s 方程；c a h n h i l l i a r d 方程；稳定性；误差估计 2 山东大学硕士学位论文 l o c a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o d sf o r p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hh i g h e r o r d e rs p a t i a ld e r i v a t i v e s m i n g l ut i a n ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，s h a n d o n g2 5 0 1 0 0 ，p r c h i n a ) a b s t r a c t t h ed i s c o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n tm e t h o di san u m e r i c a lm e t h o du s i n gc o m - p l e t e l yd i s c o n t i n u o u sb a s i sf l l n c t i o n sw h i c ha x eu s u a l l yc h o s e na sp i e c e w i s ep o l y n o - m i a l s ，a n dt h et i m ed i s c r e t i z a t i o ni sa c h i e v e db yt h ee x p l i c i tr u n g e - k u t t am e t h o d s i n c et h ee n do f1 9 8 0 s ，i ta t t r a c t e dt h ea t t e n t i o no fm a t h e m a t i c i a n sa n dw a sd e - v e l o p e dw e l l i nt h i sp a p e r ，w ed e v e l o pl o c a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o d sf o r s o l f i n gt w op a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hh i g h e ro r d e rs p a t i a ld e r i v a t i v e s t h e s t a b i l i t ya n de r r o re s t i m a t e sa r eo b t a i n e da n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o ni sp r e s e n t e d t h i sp a p e rc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s c h a p t e r1i sa l li n t r o d u c t i o n i nt h i sp a r tw eb r i e f l yi n t r o d u c et h eo r i g i na n d d e v e l o p m e n to ft h el o c a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nf i n i t ee l e m e n tm e t h o da n dm a k e as u m m a r yo ft h ea d v a n t a g e so ft h i sm e t h o d i nc h a p t e r2 ，w ew ea p p l yt h el o c a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i n ( l d g ) m e t h o d t os o l v el i n e a rk d v - b u r g e r se q u a t i o n ： 雾+ 筹：丽0 2 u + 蠹3 ( 州) 刚【o m 疣如如2 。阮 、。，叫岬”j “l v 1j u ( z ，0 ) = 咖( z )z 【a ，6 】 3 山东大学硕士学位论文 t h es t a b i f i t ya n de r r o re s t i m a t e sa r eo b t a i n e d ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o ni sp r e s e n t e d i nc h a p t e r3 ，w ea p p l yt h el o c a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i n ( l d g ) m e t h o dt o s o l v eo n e - d i m e n s i o n a ln o n l i n e a rc a h n h i l l i a r de x l u a t i o n ： 害+ 暴( “卅+ 7 象) = 。瓦+ 否( “一乱。+ 7 石j 2 o t ( z ，0 ) = u o ( x ) ( z ，t ) 【0 ，2 7 r 】【0 ，卅， z 【0 ，2 7 r 】 t h ee n e r g ys t a b i l i t yi so b t a i n e da n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o ni sp r e s e n t e d c h a p t e r4i sac o n c l u s i o no ft h ep a p e r k e y w o r d s ：l o c a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o d ；k d v b u r g e r se q u a - t i o n ；c a h n - h i l l i a r de q u a t i o n ；s t a b i l i t y ；e r r o re s t i m a t e 4 山东大学硕士学位论文 第一章引言 间断g a l e r k i n ( d g ) 有限元方法是1 9 7 3 年由r e e d 和h i l l 首先提出 的f ，并应用于求解中子传输方程a u + d i v ( s u ) = f ( 其中仃是一个实 常数，五是一个实向量) 。后来l e s a i n t 和r a v i a r t 对这种方法做了成 功的分析【引，但是并没有的得到广泛的应用和推广。一直到2 0 世 纪8 0 年代末，c o c k b u r n 和s h u 结合r u n g e - k u t t a 时间离散方法将d g 方法成功推广【3 4 5 ，6 一，用来求解一维非线性守恒律方程和方程组、 高维守恒律方程和方程组，并给出了部分收敛性理论证明。从此 该方法才引起人们的注意，并逐渐应用于水动力学、气动力学、波 传播、电磁学、半导体、天气预报等问题中。 间断有限元法除保持了通常有限元法的优点外，还有其独特的 性质：用完全间断的多项式作基，可以更好的模拟解的剧烈改变； 能够处理复杂的区域边界和具有复杂边界条件的问题，并获得与 区域内部一致的计算精度；易于网格加密和高精度处理边界条件， 实现自适应计算；可得到任意阶精度的格式，具有很好的局部紧 致性；存在信息传递，适于并行计算等。 由于近似解空间在边界的间断性，间断g a l e r k i n 有限元方法不 能用来直接求解高阶偏微分方程。局部间断g a l e r k i n ( l d g ) 有限元 方法是c o c k b u r n 、s h u 为代表的r u n g e - k u t t a 间断g a l e r k i n ( r k d g ) 方法 在对流扩散问题中的推广，并由c o c k b u r n 、s h u 推广到一般的对流 扩散问题【8 】。l d g 方法由于所采用的有限元函数空间可以是不连 续的，在每一个单元网格上求解时只需用到相邻单元边界上的值， 而不需要其它单元太多的信息，从而形成的系数矩阵是稀疏的，通 过适当的选取基函数使得质量矩阵是分块对角的，而且每一块的阶 数和单元自由度相同，从而处理器之间的信息量保持最小，有利 于并行算法的实现。l d g 方法在处理复杂区域或函数变化很大甚 至间断的情况上具有相当的优势，可以在区域变化剧烈的地方或 者函数变化剧烈的区域采用细网格、高次多项式逼近，而平缓区 5 山东大学硕士学位论文 域或函数变化平缓的区域采用粗网格、低次多项式逼近进行计算， 即我们常说的h - pa d a p t i v i t y ，从而提高计算效率。由于近似解的间 断性假设，对网格正则性要求不高，不需要考虑像一般有限元方 法中连续性的限制就可以对网格进行加密或减疏处理，能够捕获 精确解的间断性或大梯度而不会产生虚假震荡【3 ，9 1 0 1 1 1 。l d g 方法 在许多方面的应用上显示了前所未有的效能，在含有问断现象的 问题中发挥r 越来越大的作用。 在应用数学与工程技术领域中经常会遇到一些含高阶空间导 数偏微分方程的初值问题和初边值问题。我们使用最多的是有限差 分方法( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ，记f d m ) 和传统的有限元方法( f i n i t e e l e m e n tm e t h o d ，记f e m ) 以及在此基础上发展出米的有限体积方法 ( f i n i t ev o l u m em e t h o d ，记f v m ) 。有限差分方法形式多样，方便灵活， 收敛性和稳定性等理论结果比较完善，但它不适合求解复杂区域 问题；传统有限元方法采用弱解变分形式，虽然能够适应复杂区 域求解，但是在处理大变形等间断问题时则显得比较困难；有限 体积方法虽然在一定程度上吸收了f d m 和f e m 的长处，不但具有 间断解的适应性，而且适于复杂的求解区域，但是若要提高该方 法的精度，则需要扩大节点模版，着增加了方法的复杂性。而局部 间断有限元方法将高分辨率的f d m 和f e m 中的数值流通量和限 制器的思想自然融入到f e m 中，吸取f e m 和f d m 的长处，克服其 不足，不但能够处理复杂的求解区域，具有间断解的适应性，而且 具有一致形式的高阶精度。 在本文的研究中，我们利用局部间断有限元方法求解两类含高 阶空间导数的偏微分方程，构造l d g 格式，并且给出稳定性分析 以及相应的误差分析 6 山东大学硕士学位论文 第二章线性k d v - b u r g e r s 方程的局部间断g a l e r k i n 方法 2 1 引言 k d v - b u r g e r s 方程作为描述具色散和耗散相互作用的非线性波 动的模型方程【，。，捌，大量出现于物理学、流体力学等实际问题中。 广义的k d v - b u r g e r s 方程为： u t + 巾t ) z 一( 。( 札) ) 。+ ( r ) 9 ( r ( 让) 。) 。) 。- - 0 ， ( 1 ) 其中，( u ) ，n ( u ) 0 ，r ( 让) ，9 ( 口) 是任意函数。本文考虑如下的线性k d v - b u r g e r s 方程的初边值问题： t + t k = t 正。+ 乱。霉 ( z ，t ) 【a ，b 】【0 ，卅，( 2 ) “( z ，0 ) = 咖( z )z 【n ，6 i ( 3 ) 并且对于任意时间t ，牡具有周期边界条件，即：缸( z ，) = u ( x + b n ，) 其中口，b 为常数，b n 为函数u 的周期。 下面针对方程( 2 ) ( 3 ) ，构造l d g 格式，并证明其稳定性和误差 分析 2 2 空间分解和变分形式 记区间j = 陋，6 】，令乃= b 一壶，巧+ 吾】，j = l ，2 ，为计算区域 的一个剖分，其中z 吾= 。，z + 吉= 6 。定义离散区间中点为x j = ( x j 一丢+ + 吾) 2 ，单元长度为= x j + 吾一勺一，单元长度不一定是一 致的。设有限元空间为 坛= 口：t ，l 1a ，b l ， i 易p ( 易) ，j = l ，2 ，) ， 其中p ( 乃) 为定义在易上的次数不超过忌的多项式集合数值解 和检验函数都来自空间玩 7 山东大学硕士学位论文 注意到在空间中，函数在剖分区间端点处可以是不连续的， 因此k 垡日- ，这是局部间断g a l e r k i n 有限元方法与大多数其它有限 元方法的主要区别。并且在不同的剖分区间上和多项式的次 数可以是不同的，从而易于实现h - p 自适应性。 取易= b 一1 2 ，x j + 。2 】上的l c g e n d r c 多项式作为基函数， 毋( z ) = 1 ，u p ( z ) = z x j ，谚( z ) = o x j ) 2 一去豸， 在我们的数值算例中，我们在【一 ， 】上用单位化的l e g e n d r e 多项 式， 罐( ) = 1 ， p ( f ) = f ，蟛i f ) = 2 一去， 下面构造l d g 格式。l d g 方法的思想是通过引入中间变量，将 高阶导数化为一阶导数。针对方程( 2 ) ，我们引入中间变量q = 及 p = q x = “将方程( 2 ) 写成如下的形式： 饥+ ( 札一q p ) 。= 0 ， p 一= 0 ， q t l z = 0 ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) 取检验函数钉，l ( z ) ，w ( z ) ，孙( z ) v h 分别乘以方程( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) 的两端， 并在单元易上积分。于是求解方程( 2 ) ( 3 ) 的逼近格式为：求u h ( x ，) ， p a ( x ，t ) ，q h ( x ，t ) y h ，使得对任意的v h ( x ) ，w ( z ) ，z h ( x ) u h ，满足： 舯t v h d x - ( u h - q h - p h 弛如血 + ( 如一甄一甄) j + 专( ) 再吾一( 蟊 一饥一甄) 卜吾( ) 二 2 0 ， j l p h w h d x + z 。吼( t t ，j 1 ) 。d z 一( 甄) j + 毒( 叫 ) j 砉+ ( 如) 卜 ( 姚) 二；2 o ，( 8 ) 8 山东大学硕士学位论文 其中( ) l 毒表示 _ + 姜) ，) l 三表示( z 二喜) ，其它类似，下文中 也采用此表示方法在上式中的”a 项被称为数值流通量，是由于 数值解在区间端点不连续造成的，求解( 7 ) 一( 1 0 ) 式的关键是寻找 合适的数值流通量。在文献【3 】中给出了一种按交替原则的取法。 在本文中取下面的数值流通量：砒= 札i ，衍= p 去，而靠出现在 两个式子中，我们采用不同的取法，在式( 7 ) 中取缸= 口去，在式( 8 ) 中取甄= 蝣。 2 3 时间分解 经过间断有限元空间离散后，格式可以写成一个关于时间变量 t 的常微分方程组： 昙札h ：l h ( u _ 1 ) ( 1 1 ) 瓦札h 2 u 砂 【1 1 ， 我们将采用显式的非线性稳定的r u n g e - k u t t a 方法来离散时间变量 t ，通常间断有限元方法采用的时间离散格式是s h u 在1 9 8 8 年基于非 线性守恒律的差分框架中所提出的有界变差不增( t v d ) 的r u n g e - k u t t a 格式【1 4 1 首先，我们对时间t 【o ，列做一个剖分缈 磐o ，记a t n = t n + 1 一 t t l ，n = 0 ，l ，一1 。求解方程( 1 1 ) 的t v d 。r u n g e - k u t t a 方法实际上是 一些向前的e u l e r 离散的凸线性组合，即， u ? = 缸嚣； 一l 仳；j ) = ( q 引札2 - 1 - f l i t l h ( u ( 1 ) ) ； j = l 计1 = u 乎“； 这里常数七是时间离散格式的阶数。只要证明一阶e u l e r 向前离散 格式在任何条件下保持强稳定性，我们就会自然而然的得到高阶 时间分解仍然会保持相同的强稳定性。 9 山东大学硕士学位论文 我们经常用的t v dr u n g e - k u t t a 方法有二阶和三阶的，格式中的 参数如下： k = 2 c z l 0 = 3 1 0 = 1 ： a = 三肠= o ，q 。，= 仍，= i 1 ； 七= 3 口1 0 = 3 1 0 = 1 ； 口2 。= 互3 筋= o ，q 2 l = 岛l = 石1 ； 。3 0 = 吾肠= o ，q 3 1 = 风1 = o ，毗= 3 3 2 = 否2 显式的r u n g e - k u t t a 方法对c f l 常数有一定的要求。如f 1 5 】中指 出，如果空间离散采用七次分片多项式，时闻采用岛+ 1 阶的离散 格式，理论上，c f l 常数最大是1 ( 2 k + 1 ) ，但是从实际的数值试验 结果看，当后2 时，实际的c f l 常数要比理论值1 ( 2 k + 1 ) 小5 左右。 2 4 稳定性u 一 定理l ：半离散格式( 7 ) 一( 1 0 ) 的数值解满足如下的熵不等式： 三未- l ( 乱 ) 2 d z + ( 口 ) 2 d z + 毫+ 吾一宅一丢。 ( 2 ) 其中 户：华嘶簖+ 砖) ( 1 3 ) 1 0 山东大学硕士学位论文 证明：将( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) 式相加，并引入记号 b i ( u h ，q h ，p h ；v h ，w h ，z h ) = 厶( u n ) t 出一( 缸 一瓠一舰) ( 观) z d z + ( 饥一饥一加) 升吾( ) 再 一( 锄一甄一如) 产 ( ) 二吾 ( 1 4 ) 上式中的数值流通量按2 2 中取法，并取检验函数v h = “ ，w h = 一啦，张= p h + q h ，可得： 够，【“ ，q h , p h ；t ，- - q h , p h + q h ) 2 z ，( t ，1 ) t u h d x - z ；( 札，i 一鲰一p ) ( u ) z 妇 + ( “- i 一菇一p 去) 升 ( u ) 再 一( u h 一对一p 去) j 一( u h ) 二 一f i p h q hd x z ，口 ( q ) z d x + ( 口 ) 再圭( 劬) 再 一( 弧) 二吉( q ) 二盖 + q h ( p h + q h ) 出+ z ；t + 帆) 。如一( “ ) 再 + ) 再吾+ 扛，i ) 二丢( p + 眈) 二吾 = 丢熹。c 乱 ) 2d z + r ( q h ) 2 d z + f 。( q h + p h 如出+ 厶u + q ) 加一丘( 篮2 灿一( 和z ： + ( 啄一砖一p + b + ( 札 ) 矗吾+ ( ) j 丢( 咖) 再吾一( u ) j 吉+ 弧) j 吾 一( 让i 一对一p + b 一( ) 二一( q ) 二三( 舶) 二 + ( 乱 ) 二 + 帆) 二 1 1 = ；昙( 锄) 2 d z + ( 锄) z d z 二：! ! ! ：i ：焉i ，矗；) 打( 垸，( 口 壤专，决) 二娑一篓一磐睁“岷c 铴磊一峨( p h q + q 。h ) 州- ：鞴毫嚣等爱霉西 肚一) 删之篡小机h - r t q h ) q h ) - ( u h ) - 。h + q ) - 三茎三!；主三：差主；蓑二fui9手一矽手，c乱，一十c钰，一“巩，一一c缸，一。+锄，一 e = 掣一( 对+ p 手) ( “ ) 一一日( ( 批 ) + ，( 口 ) + ， h ) + ) (uf一靖一磅)(札)+一(讥)一)+()一(p+g)十(u = h ) 2 + 2 ( q h ) 2 - 一( 对+ 枇 广 “驯 一鲥+ 秸) 乱毒+ 蛙 i t + 崎2 业+ 2 ( 1 5 ) - h ( + u 一曼一p 广_ ( 矿( g ) + 饰矿+ 矿 ：蛙趣望鳢= 蝼 “”w 兰未z ( 札 ) 2 d z + 么( g ) zd z + t + 吾一e 一s 。 山东大学硕士学位论文 定理1 得证。 定理2 ：在周期边界条件( 3 ) 下，半离散格式( 7 ) 一( 1 0 ) 的数值解 u ，q h 满足如下的三z 稳定性： 新让 ) 2 d x + 2 伽) 2 d x 0 ，使得： i i p w ( x ) 一w ( x ) l l + 、万i | 驴埘( z ) 一叫( z ) i i rsc l h 知+ 1i i 1 1 日- + - ( 2 0 ) 其中 咿叫刊肛n ( ( ( p 叫刊苒；) 2 + ( ( m 刊二) 2 ) 咿叫刊l = ( ( ( p t t ，一加) 苒；) 2 + ( ( m 一叫) 二) 2 ) 山东大学硕士学位论文 引理2 ：存在常数q 0 ，使得 伽( z ) 一w ( x ) l i c 2 h 七十1i l w l l h + 1 定理2 ( 误差估计) ：若方程( 2 ) ( 3 ) 有唯一的连续解仳，q ，p ，u h , q h ，p h 是半离散格式( 7 ) 一( 1 0 ) 的唯一解，则存在常数c 0 ，使得： 0 u 一“_ i i i c h 七+ 互1i | u i i h k + 3 证明：前面已将半离散格式记为： 岛( u ，q h ，p h ；v h ，w h ，z h ) = 0 ， v v h ，w h ，z h y h ，巧= 1 对于方程的精确解“，q ，p ，我们由解的连续性容易验证： 岛( 乱，q ，p ；v h ，w h ，z h ) = 0 ， 两式相减，可得误差方程 并取： 则 v v h ，w h ，z h y h ，= 1 易( u 一札，l ，g q h ，p p h ；v h ，w h ，z h ) = 0 ， v v h ，w h ，z h v h ，助= 1 e = t i u h ，虿= q 一口 ，季= p p h e h = v u u h ，勃= f q q h ，氟= p p p h ； e h = t 一p ，乱，靠= q p q ，磊= p 一却 e = e h - t - ，虿= _ + 靠，善= 2 e h + 磊 于是误差方程( 2 3 ) 可写为： 1 4 ( 2 2 ) ( 1 3 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 岛( e 稚，毳；， 孙) = b j ( - e h , - g h , - 零h ；v h , w h , z h ) ， ( 2 7 ) ，i v h ，z h y h ，= 1 山东大学硕七学位论文 取检验函数v h = e ，w ，l = 一勘，孙= 该+ 毳，可得 岛( e h 瓠；e 一现，瓢+ 磊) = 马( 一飘一磊，一黾；，一砘，魂+ 氟) ， ( 2 8 ) 协l f i ，w h ，z h y h ，= 1 在上式左端，我们利用2 4 中稳定性分析的过程可得 其中， z j ( e h ，一e h ，黾；e h ，- - 一e h ，一e h + 磊) = 丢未( e ) 2 d z + - ( 虿 ) 2 d z + e + 一毫一；+ e ，一 2 9 e i 一1 2 j 2 下面计算式( 2 7 ) 的右端 2 岛( 一 ，一靠，一靠：e h ，一动，魂+ _ ) 一) t e h d x + j ( ”靠一础e ) 础 一( z h 一对一豸) 升 ( e _ i ) 再 + ( e i 一硅一磊) 卜 ( e ) 二 + z ，黾磊d z + z ，磊) z d z 一矗) 再吾) 再丢+ 氤丢) 二丢 一黾( 瓢+ 氟) d x 一e ，l ( h + 氟) 。d x j 1 1j l + ( ) 二瓢+ 磊) 再一( ) 二吾( 甄+ 磊) 二吾， 根据投影p 和p ，的定义可知： z ( 一靠一磊) ( e ) z 妇= 。，z 靠瓢d z = 。，z 磊( - ) z 妇= 。 一z 磊( 瓢+ 孙一。， 以及 z 甄( - + 融妇- o ( “) 再吉2 o ， ( ) 二 2 o 1 5 其中， 0 = 簖+ 磊) e i 一( 磊) 一( - ) 一 利用一c h a u c h y 不等式，可得 b j c - - e h ，一瓢，一磊；e h ，一瓢，瓢- i - 磊) 三二( ( ) t 2 d x - t - i 1 ( e ) 2 如+ 岛+ 一岛一； + ( ( 瓢) 二 ) 2 + ( 而) 二) 2 + 孔 ) 二；- ( e ) - t - ) 2 + 三( 而) 二 ) 2 + 三( ( _ ) 二 一吼) 二) 2 联立( 2 8 ) 与( 3 0 ) 式可得： 1 6 丢未厶( e ) 2 妇+ ( 瓢) 2 出+ b + 吾一e 一三 冬三z ( ( ) t 2 d x - t - 三( e ) 2d z + 岛+ 一岛一 ( 3 2 ) + ( ( 勃) 二 ) 2 + ( ( 磊) 二 ) 2 + 三( ( 黾) 二吾) 2 山东大学硕士学位论文 上式对歹求和，利用周期边界条件，化简得 + 蓦n ( 2 ( ( h 象 ) 2 + 2 ( 函乒 ) 2 + ( 佩) 二 ) 2 ) 根据引理1 与引理2 可得： ( 3 3 ) 面d ( ) 2 妇+ 2 ，) 2 d z s z ( e ) 2 d x + c 1 h 2 k + l 瞻啪 ( 3 4 ) 其中q 0 为常数。由g r o n w a l l 不等式，可得 i hi i c 2 h 。+ 丢 1 u l l 。+ 3 其中伤 0 为常数。从而， 定理得证 1 | 札一“_ h i i = i i e + e i l 0 e i l + i 忙h l i c h 七十 l l 札1 1 日七+ 3 ( 3 5 ) 1 7 山东大学硕士学位论文 考虑如下的问题： 2 6 数值算例 毗+ 乱。= t 正+ t 正z 。z( z ，t ) 【- i ，1 】( 0 ，卅， 札( z ，o ) = e 一。+ e 。z f - - i ，1 】 方程的精确解为u ( z ，) = e t ( e 一- b e z ) 。采用局部间断g a l e r k i n 方法，时 间方向的离散采用三阶显式r u n g e - k u t t a 方法，分别采用线性多项 式和次多项式进行逼近，所得的结果如表l 和表2 所示。数值结 果表明，对k 次多项式，在l ：范数和l * 范数均能达到k - b1 阶精 度。 nl 2 误差o r d e r 工o 。误差 o r d e r 1 02 0 9 e 21 6 2 e 1 广2 2 04 9 2 b 32 0 8 ，1 05 0 l b 31 6 9 5 8 4 01 1 9 b 32 0 3 9 51 3 8 e 一31 8 6 3 l 8 02 9 5 e 一42 0 1 8 73 5 1 董41 9 4 7 2 1 6 07 3 5 e 52 0 0 9 18 5 6 量- 52 0 3 1 7 表1 采用尸t 多项式，取t = 1 ，计算的误差和误差阶 n l 2 误差 o r d e r三* 误差o r d e r 1 01 9 7 e 41 4 8 e 1 4 2 02 5 4 e 一52 9 5 7 82 1 3 垂52 7 9 5 3 4 03 2 2 i 62 9 7 7 02 8 7 e _ 62 8 8 9 1 8 04 ，0 7 i 72 9 8 7 93 7 1 e i 广72 9 5 1 8 1 6 05 1 1 8 82 9 9 3 84 6 6 l 82 9 9 0 - 1 表2 采用p 。多项式，取t = 1 ，计算的误差和误差阶 1 8 山东大学硕士学位论文 第三章c a h n h i l l i a r d 方程的局部间断g a l e r k i n 方法 3 1 引言 我们考虑如下c a h n h i l l i a r d 方程初边值问题： 警+ i 0 2 ( u - u 3o u u 、= o ( 础) 【0 ，2 小嘲， 瓦+ i 一 2 0 ( z ，) 【0 ，2 州l o ，孔 u ( x ，0 ) = 如( z )z 【o ，2 叫 ( 3 6 ) ( 3 7 ) 其中，y 0 表示迁移率【埘，并且对于任意时间t ，具有周期边界条 件，即：u ( x ，t ) = u ( x + 2 7 r ，t ) 。 c a h n - h i u i a r d 方程是一类重要的4 阶非线性扩散方程，最初由 c a h n 和h i l l i a r d 在1 9 5 8 年研究热力学中两种物质之间相互扩散现象 时提出的【埘，也可以用于描述生物种群的竞争与排斥现象、受周 围环境影响的人口扩散与迁移等许多扩散现象自c a h n - h i h i a r d 方 程提出以来，人们对其进行了深入的研究，关于c a l m h i u i a r d 方程 解的理论已有较丰富的结果 1 8 1 9 2 0 1 近年来c a h n h i l l i a r d 方程数值 方法的研究引起了人们的广泛关注，文献给出了一类含小参数 的c a h n h i l l i a r d 方程的半离散和全离散有限元方法，在初始条件和 求解区域弱正则性的假设下得到了时间上的拟最优和空间上的最 优误差估计；文献给出了具有离散l 。模二阶格式的差分方法； 文献【2 3 】给出了一维c a h n - h i u i a r d 方程的守恒差分格式，并证明r 该格式是能量不增的；文献【2 4 】中介绍了谱方法，并人为增加了一 小项，从而可以在时间上采用大步长进行计算。本文采用局部间 断g a l e r k i n ( l d g ) 方法对c a h n - h i l l i a r d 方程进行求解，论证了有限元 解的稳定性，并给出了数值模拟。 空间离散与基函数的选取，以及时间离散，和第二章中相同 下面构造l d g 格式并证明其稳定性。 1 9 _ _ _ _ _ _ _ _ - 。 山东大学硕士学位论文 3 2l d g 格式 对问题( 3 5 ) ，为方便起见，我们将其中的非线性项进行处理， 记： m ) = 牡3 飞卿) = 百u 4 一萼 ( 3 8 ) 显然f 协) = ，( u ) 。于是( 3 6 ) 式可以写为： 丝o t = 嘉( 一嚣+ ，( 乱) ) ( 3 6 ，) 一2 砸i 一7 孬十_ r 【乱j 户 j l d g 方法的思想是通过引入中间变量，将高阶导数化为一阶导 数。针对问题( 3 6 ) ，我们引入适当的中间变量，将( 3 6 ) 式写为如下 的形式： u t2 阢， p = ( f q ) 。， g27 w x ， 加= “2 ， f = f 7 ( 让) ( 3 9 ) ( 4 0 ) ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) 关于( 4 3 ) 式，在进行数值计算时并不需要，写在这儿是为了稳定性 证明做准备。利用间断g a l e r k i n 方法离散问题( 3 9 ) 一( 4 3 ) 即得局部间 断g a l e r k i n 方法 下面构造l d g 格式。求解问题( 3 6 ) 的l d g 方法为：寻找“ ( t ) 、p h ( t ) 、 q h ( t ) 、w h ( t ) 、 ( t ) ，使得对任意的检验函数u 1 ( z ) 、抛( z ) 、v 3 ( x ) 、钒( z ) 、 v s ( x ) v h ，满足： ，( u h ) t u ld x = 一力m ( 秽1 ) z d x + 慨) j + 吾( u 1 ) 再吾一慨) j 一吾( 口1 ) 二 ， ( 4 4 ) j l ij l i 。?1 j1 趸 。 1 j1 f l l j p h v 2 d x = - - ( f h - - q h ) ( 蚴一 ， + ( a 一蟊) j + ( 现) 二吾一( h 一靠) j 一言( 2 ) 二丢， 山东大学硕士学位论文 z ，弧u 3 d z 2 _ 7 上，埘 ( t ，3 ) # 妇+ ，y ( 哆) j + 吾( 铂) 再 一，y ( 晚) j 一言( 如) 二 ，( 4 0 ld z = z ，u 7 l ( 蛳) zd z + ( 如) j + ( u 4 ) 矗一( 畹) 卜 ( 啦) 二；，(47)j w h y 4 a v 5 d x = 厶f ，( 札椭如 ( 4